数学建模实验题目解答
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数学建模实验题目解答
题目一:慢跑者与狗
一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的常速v=1跑步,设椭圆方程为:
x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻击他. 这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者.狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹,并分析狗是攻击到慢跑者.
一,建立模型.
设时刻t慢跑者的坐标为(X(t)，Y(t))，狗的坐标为(x(t)，y(t)),
又X=10+20cost, Y=20+15sint.
由于狗的运动方向始终指向慢跑者,
故此时狗与人的坐标连线就是此时狗的轨迹曲线弧处的切线，
即dy/dx=(Y-y)/(X-x), y’=(dy/dt)/(dx/dt) 又运动时间相同:
,解得可得参数方程为:
二,求解模型
w=20时,建立m-文件xy1.m如下:
function dy=xy1 (t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt
((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);
0 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ) sin 15 20 (
) sin 15 20 ( ) cos 20 10 ( ) cos 20 10 (
) sin 15 20 ( ) cos 20 10 (
2 2 2 2
y x y t
y t x t w
dt dy x t
y t x t w
dt dx dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt
((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);
取t0=0，tf=6.0，建立主程序fangcheng1.m如下:
t0=0;tf=6.0;
[t,y]=ode45('eq3',[t0 tf],[0 0]);
T=0:0.1:2*pi;
X=10+20*cos(T);
Y=20+15*sin(T);
plot(X,Y,'-')
hold on
plot(y(:,1),y(:,2),'*')
轨迹线如下图:
发现狗没有攻击到慢跑者,
于是,从4.0开始,不断的更改tf的值,发现当tf=3.15时, 刚好追上慢跑者.其轨迹线如下图所示:
W=5时, 建立m-文件xy2.m如下:
function dy=xy2(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt
((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);
dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt
((10+20*cos(t)- y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);
取t0=0，tf=30立主程序fangcheng2.m如下: t0=0;tf=30
[t,y]=ode45('eq4',[t0 tf],[0 0]);
T=0:0.1:2*pi;
X=10+20*cos(T);
Y=20+15*sin(T);
plot(X,Y,'-')
hold on
plot(y(:,1),y(:,2),'*')
轨迹线如下图:
发现狗没有攻击到慢跑者,
当tf=50, 轨迹线如下图:
在fangcheng2.m不断修改tf的值,分别取tf=60.70…1000….
可以看出,狗永远追不上慢跑者.
