二次型及其标准型

§5 二次型及其标准形

在解析几何中，为了便于研究二次曲线

122cybxyax （4）

的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换

,cos'sin',sin'cos'yxyyxx

把方程化成标准形

.1''22nymx

（4）式的左边是一个二次奇次多项式，从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次奇次多项式，使它只含有平方项。这样一个问题，在许多理论问题或实际问题中常会遇到。现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次奇次多项式的化简问题。

定义 8 含有n个变量nxxx,,,21的二次

奇次函数

nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222),,,( 称为二次型。

取ijjiaa，则ijjijiijjiijxxaxxaxxa2，于是（5）式可写成

.1,2221122222212211121122111jinjiijnnnnnnnnnnnxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaf （6）

对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换

nycycycxycycycxycycycxnnnnnnnnn22112222112212121111,,

使二次型只含平方项，也就是用（7）式代入（5），能使

.2222211nnykykykf

这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）.

如果标准型的系数nkkk,,,21只在1，-1,0三个数中取值，也就是用（7）代入（5）能使则称上式为二次型的规范形。当为复数时，称为复二次型；当为实数时，称为实二次型，这里，我们仅讨论实二次型，所求的线性变换（7）也限于实系数范围。 由（6）式，利用矩阵，二次型可表示为

第二节 化二次型为标准形

若二次型),,,(21nxxxf经可逆线性变换化为只含平方项的形式

,2222211nnybybyb

则称之为二次型),,,(21nxxxf的标准形.

由上节讨论知,二次型AXXxxxfTn),,,(21在线性变换CYX下,可化为.)(YACCYTT 如果ACCT为对角矩阵

nbbbB21

则),,,(21nxxxf就可化为标准形,2222211nnybybyb其标准形中的系数恰好为对角阵B的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A能否合同于一个对角矩阵.

内容分布图示

★ 二次型的标准性

★ 用配方法化二次型为标准形

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 用初等变换化二次型为标准形

★ 例5 ★ 例6

★ 定理3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形

★ 例7 ★ 例8

★ 二次型与对称矩阵的规范形

★ 例9 ★ 例10

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题5-2 ★ 返回

内容要点：

一、用配方法化二次型为标准形.

定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.

拉格朗日配方法的步骤:

(1) 若二次型含有ix的平方项,则先把含有ix的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;

(2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0jiaij,则先作可逆变换

),,,2,1(jiknkyxyyxyyxkkjijjii且

化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方.

注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A的特征值无关.

因为二次型f与它的对称矩阵A有一一对应的关系，由定理1即得:

定理2 对任一实对称矩阵A，存在非奇异矩阵C，使BACCT为对角矩阵. 即任一

二次型的标准型及其应用

二次型在数学中具有重要的地位和广泛的应用。在二次型的研究过程中，标准型是一个关键的概念。本文将介绍二次型的标准型及其应用，并对其进行深入的探讨。

一、二次型的定义和性质

首先，我们来定义什么是二次型。二次型是指一个关于n个变量x1,

x2, ..., xn的二次多项式，可以表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。在这个定义下，二次型有以下几个性质：

1. 对称性：二次型与矩阵A的选择无关，只与矩阵A的对称性有关。也就是说，如果存在一个实对称矩阵B，使得B = P^TAP，其中P为一个非奇异矩阵，那么二次型Q(x) = x^TAX与Q(x) = x^T(Bx)是等价的。

2. 可负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX<0，那么称二次型Q(x)为负定的。

3. 可正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX>0，那么称二次型Q(x)为正定的。

4. 可半负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≤0，那么称二次型Q(x)为半负定的。 5. 可半正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≥0，那么称二次型Q(x)为半正定的。

6. 不定性：如果二次型既不是正定的也不是负定的，则称其为不定的。

二、二次型的标准型

在研究和应用二次型时，将其转化为标准型是一个常见的方法。标准型是指经过合适的线性变换将原二次型化为一个特殊的形式，使得计算和分析更加简洁明确。对于任意的实对称矩阵A，存在一个非奇异矩阵P，使得PTAP = D，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为二次型的特征值。设x = Py，则有Q(x) = x^TAx = (Py)^T A (Py) =

y^TP^TAPy = y^TDy。

标准型的存在可以简化二次型的分析和计算过程，使得我们能够更加直观地理解和处理二次型的相关问题。

三、二次型的应用

二次型作为一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。下面我们将介绍二次型在优化问题、物理问题和统计学中的应用。

化二次型为标准形的几种方法

摘 要

二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方．

关键词：正交变换法 配方法 初等变换法 雅可比方法 偏导数法

reduce the quadratic forms to the

standard forms

Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of

quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This

is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard

form of orthogonal transform method, method: match method, elementary

transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces

several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate

examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method