三角恒等式与公式

三角恒等变换公式大全

1.正弦和余弦的平方和差关系：

sin²𝑥 + cos²𝑥 = 1

sin²𝑥 = 1 - cos²𝑥

cos²𝑥 = 1 - sin²𝑥

2.正弦和余弦的和差关系：

sin(𝑥 + 𝑥) = sin𝑥 cos𝑥 + cos𝑥 sin𝑥

sin(𝑥 - 𝑥) = sin𝑥 cos𝑥 - cos𝑥 sin𝑥

cos(𝑥 + 𝑥) = cos𝑥 cos𝑥 - sin𝑥 sin𝑥

cos(𝑥 - 𝑥) = cos𝑥 cos𝑥 + sin𝑥 sin𝑥

3.正切和余切的和差关系：

tan(𝑥 + 𝑥) = (tan𝑥 + tan𝑥) / (1 - tan𝑥 tan𝑥)

tan(𝑥 - 𝑥) = (tan𝑥 - tan𝑥) / (1 + tan𝑥 tan𝑥)

cot(𝑥 + 𝑥) = (cot𝑥 cot𝑥 - 1) / (cot𝑥 + cot𝑥)

cot(𝑥 - 𝑥) = (cot𝑥 cot𝑥 + 1) / (cot𝑥 - cot𝑥)

4.正弦和余弦的二倍角关系：

sin(2𝑥) = 2sin𝑥 cos𝑥

cos(2𝑥) = cos²𝑥 - sin²𝑥 = 2cos²𝑥 - 1 = 1 - 2sin²𝑥

5.正切和余切的二倍角关系： tan(2𝑥) = (2tan𝑥) / (1 - tan²𝑥)

cot(2𝑥) = (cot²𝑥 - 1) / (2cot𝑥)

6.正弦和余弦的三倍角关系：

sin(3𝑥) = 3sin𝑥 - 4sin³𝑥

cos(3𝑥) = 4cos³𝑥 - 3cos𝑥

7.正切和余切的三倍角关系：

tan(3𝑥) = (3tan𝑥 - tan³𝑥) / (1 - 3tan²𝑥)

cot(3𝑥) = (cot³𝑥 - 3cot𝑥) / (3cot²𝑥 - 1)

第三章 三角形公式定理

第三章 三角形

1 三角形的有关概念和性质

1.1三角形的内角和

在同一平面内,由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形叫做多边形.组成多变形的那些线段叫做多边形的边.相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.多变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角,简称多边形的角.多变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角.

三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180

在原来图形上添画的线叫做辅助线

依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.

在直角三角形中,夹直角的两边叫做直角边,直角的对边叫做斜边.

推论1 直角三角形的两个锐角互余

推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

1.2三角形的有关线段

三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线

连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线

从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高

2 全等三角形

2.1全等三角形的证明

边边边 有三边对应相等的两个三角形全等

边角边 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等

角边角 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

定理 有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

2.2直角三角形全等的判定

定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

3 等腰三角形

3.1等腰三角形及其性质

三角形的三边,有的三边互不相等,有的有两边相等,有的三边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角

三角恒等变换公式

同角关系

ααα=ααincossintan1=cos+2：商数关系平方关系：2s

两角和与差的三角函数：

cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossinsin()sincoscossintantantantantan()tan()1tantan1tantan辅助角公式

22sincossin()tan及所在象限baxbxabxa

二倍角公式

22222sin22sincoscos2cossin2cos112sin2tantan21tan半角公式

1cossin221coscos221costan21cossin1cos1cossin

万能公式：

22222tansin21tan1tancos21tan2tantan21tan2（或用代替）

9种常用三角恒等变换技巧总结

三角恒等变换是数学中常用的一种技巧，在解决三角函数相关问题时非常有用。下面总结了九种常见的三角恒等变换技巧。

1.倍角公式：

sin2θ = 2sinθcosθ

cos2θ = cos²θ - sin²θ

tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)

这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的倍角，从而简化计算。

2.半角公式：

sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)

cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)

tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))

这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的半角，从而简化计算。

3.和差公式：

sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB

cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB

tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB) 这些公式可以用于将两个角度的三角函数变成一个角度的三角函数，从而简化计算。

4.和差化积公式：

sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)

sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)

cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)

这些公式可以用于将和或差的三角函数转化为乘积的三角函数，从而简化计算。

5.积化和差公式：

sinAcosB = 1/2(sin(A+B) + sin(A-B))

cosAsinB = 1/2(sin(A+B) - sin(A-B))

cosAcosB = 1/2(cos(A+B) + cos(A-B))

sinAsinB = -1/2(cos(A+B) - cos(A-B))