高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》测试题

第三章 空间向量与立体几何

一、坐标运算

111222,,,,,axyzbxyz

121212121212111121212,,,,,,,,abxxyyzzabxxyyzzaxyzabxxyyzz则

二、共线向量定理

,0,=.abbabab充要对于使

三、共面向量定理

,,.abpabxypxayb充要若与不共线，则与共面使

,,,1.OOPxOAyOBPABxy充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线

,1.PABCOOPxOAyOBzOCPABCxyz充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点

11,1.PABCAPxAByACOPOAxOBOAyOCOAOPxOByOCxyOAxyzxyz证明：①必要性、、、四点共面，，，，令

1,1,xyzOPyzOAyOBzOCOPOAyOBOAzOCOAAPyABzACABCP②充分性，，、、、四点共面.

六、空间向量基本定理

,,abcpxyzpxaybzcabcabc若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,,都叫做基向量.

七、立体几何中的向量方法

121212,,.nnllvv设平面和的法向量为和直线和的方向向量为

11121111121212121212nvlllnvlllvvllvvnnnn①或②若③④⑤⑥

八、角、距离

1异面直线的夹角，

coscos,ABCDABCDABCD则

2,线与面的夹角

sincosanan则

第三章 空间向量与立体几何

一、坐标运算

111222,,,,,axyzbxyz

121212121212111121212,,,,,,,,abxxyyzzabxxyyzzaxyzabxxyyzz则

二、共线向量定理

,0,=.abbabab充要对于使

三、共面向量定理

,,.abpabxypxayb充要若与不共线，则与共面使

,,,1.OOPxOAyOBPABxy充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线

,1.PABCOOPxOAyOBzOCPABCxyz充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点

11,1.PABCAPxAByACOPOAxOBOAyOCOAOPxOByOCxyOAxyzxyz证明：①必要性、、、四点共面，，，，令

1,1,xyzOPyzOAyOBzOCOPOAyOBOAzOCOAAPyABzACABCP②充分性，，、、、四点共面.

六、空间向量基本定理

,,abcpxyzpxaybzcabcabc若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,,都叫做基向量.

七、立体几何中的向量方法

121212,,.nnllvv设平面和的法向量为和直线和的方向向量为

11121111121212121212nvlllnvlllvvllvvnnnn①或②若③④⑤⑥

八、角、距离

1异面直线的夹角，

coscos,ABCDABCDABCD则

2,线与面的夹角

sincosanan则

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1 高二数学选修2-1第3章空间向量与立体几何单元测试题（含答案）

空间向量是解立体几何的一种常用方法，以下是第3章空间向量与立体几何单元测试题，希望对大家有帮助。 一、填空题 1.判断下列各命题的真假： ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同; ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量; ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为________. 2.已知向量AB，AC，BC满足|AB|=|AC|+|BC|，则下列叙述正确的是________.(写出所有正确的序号)

空间向量与立体几何一.选择题 1. 在下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；,ab,ab②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；,ab,ab③若三个向量两两共面，则向量共面；,,abc,,abc④已知是空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得,,abcp；其中正确的命题的个数是 （ ）pxaybzc（A）0 （B）1 （C）2 （D）32. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ）（A）（）和（）； （B）（）；32222,,105232222,,105232222,,1052（C）（）和（）； （D）（）；32222,,105232222,,105232222,,10523. 已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到M∈平面ABC的充分条件是 （ ）（A）； （B）；111222OMOAOBOC1133OMOAOBOC（C）； （D）OMOAOBOC2OMOAOBOC4. 已知点B是点A（3，7，-4）在xOz平面上的射影，则等于 （ ）2()OB （A）（9，0，16） （B）25 （C）5 （D）135. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（ ）A（-1，-2，5） B（-1,1,-1） C（1, 1,1） D（1，-1，-1）6. 如图所示，在正三棱柱ABC——A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成的角2的大小为 （ ）（A）60° （B）90° （C）105° （D）75°7. 到定点的距离小于或等于1的点集合为（ ）1,0,0 A. B.222,,|11xyzxyz222,,|11xyzxyz C. D.,,|11xyzxyz222,,|1xyzxyz8. 已知均为单位向量,它们的夹角为60,那么等于（ ）,ab3abA． B． C． D．4710139. 在平面直角坐标系中, ,沿x轴把平面直角坐标系折成120的二面角后,则(2,3),(3,2)AB线段AB的长度为（ ） A． B． C． D．2211324210. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的( ) mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二．填空题11. 若空间三点A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p,3,q+2）共线，则p=______,q=______。12. 设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________． 13. 如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且DCBAENMBNMDCA PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的余弦值等于________；14.已知，，，若共同作用于123Fijk223Fijk3345Fijk123,,FFF一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功是 .15. 已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于 .26题号 1 2345678910题号题号1112131415题号三．解答题16. 设向量并确定的关系，使3,5,4,2,1,832,,ababab，计算,轴垂直abz与17. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，（1）求线段PQ的长度；（2）求证PQ⊥AD； （3）求证：PQ//平面CDD1C1； 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 ，E，F分别是AD，PC的中点 2（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。19. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中A 点（1）证明：PEBC（2）若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值20. 如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得.PSPD (1)求a的最大值; (2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小; (3)当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量n及点P到平面SCD的距离.21. 如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①;32a②;③;④;⑤;1a3a2a4a (1)当在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值?请说明理由; (2)在满足(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值; (3)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n=1,2,3,…),若a取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个?试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小;答案1-5 AABBB 6-10 BACBB e 11. 3，2 12. 13. 14. 14 15. 3023316. 解：（9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28)323(3,5,4)2(2,1,8)ab(3,5,-4)(2,1,8)=6+5-32=-21ab由()(0,0,1)(32,5,48)ab(0,0,1)480即当满足＝0即使与z轴垂直.,48ab17. 解：以D为坐标原点。DA、DC、DD1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（1，1，0），A（1，0，0），∵P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，∴P，Q（），∴，所以512(,0,)171755,,01717512(0,,)1717PQ（1）∴；13||17PQPQ（2）∵，∴，∴PQ⊥AD；(1,0,0)DA0PQDA（3）∵，，∴，又平面(0,1,0)DC1(0,0,1)DD15121717PQDCDD1,DDDCCDD1C1，PQ平面CDD1C1，∴PQ//平面CDD1C1；18. 解法一 （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD是矩形。∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √ 2,0)，D(0，2 √ 2，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，√ 2，0),F(1，√ 2，1)。∴=（2，2 √ 2，-PC2）=（-1，√ 2，1）=（1,0,1），∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，BFEFPCBFPCEF∴⊥，⊥，∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,∴PC⊥平面BEFPCBFPCEF（II）由（I）知平面BEF的法向量平面BAP 的法向量 设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ，则∴ θ=45℃， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45 e and All things in their being are fr 解法二 （I）连接PE，EC在 PA=AB=CD, AE=DE,∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，又F是PC 的中点，∴EF⊥PC,又，F是PC 的中点，∴BF⊥PC.又