数学北师大版九年级上册2.1认识一元二次方程(1)教学设计

九年级上册第二章《一元二次方程》

第一节：认识一元二次方程（1） 教学设计

一、备课标

（一）内容标准：能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

（二）数学思想、方法：

在本节课的教学过程中，注意学生方程建模思想、数形结合思想的培养，运用类比法更好的理解一元二次方程的概念，加强学生的运算能力及应用意识、特殊与一般的思想的培养。

二、备重点、难点

（一） 教材分析：

本节课是九年级上册第二章《一元二次方程》第一节第一课时的内容。本节课是在学习了一元一次方程、二元一次方程（组）的概念及整式运算的相关法则、公式的基础上的进一步学习。通过本节课的学习，进一步体会方程建模思想，为下一步二次函数有关知识的学习做好准备，也为后续学习高次方程及高次函数的做好知识铺垫。本节课通过丰富的生活实例，引导学生根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程的模型思想；让学生通过观察、抽象、归纳出一元二次方程的概念并整理为一般形式；并能准确的辨别二次项、一次项、常数项及它们的系数。

（二）教学重点、难点内容：

重点：分析问题找出等量关系列出方程；能将方程转化为一元二次方程的一般形式

难点：如何引导学生从具体问题中找出等量关系并列出方程；如何根据二次项系数不为0判别字母系数的范围

二、 备学情

（一） 学习条件和起点能力分析：

1.学习条件分析：

（1）必要条件：经历过方程模型建立的过程，学习了一元一次方程、二元一次方程的概念，已经理解了“元”和“次”的含义；学习过整式的有关运算法则及公式。

（2）支持性条件：将未知知识转化为已知知识的思想方法。此处表现为类比一元一次方程的概念，自然过渡对一元二次方程概念的理解。经历过由一般到特殊、特殊到一般思想的应用。此外学生已经经历过合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

2.起点能力分析：

（1）能从较简单的具体问题中找出等量关系并列出方程。

（2）掌握了整式的相关运算能力，能较熟练准确的进行化简整理。

（二） 学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：

学生已经经历过根据具体问题的数量关系列出方程的过程；学习过类似概念，因此在概念的理解上应比较容易。在将方程转化为一般形式容易出错，主要表现在学生对于整式相关运算能力不够熟练；对于判别二次项系数、一次项系数、常数项时易出现漏掉符号的现象；对于涉及字母系数的二次方程求字母范围的问题时，较难理解。特别是二次项系数不为0这一条件，学生掌握不好；如何找出等量关系列出方程仍将是学生的难点。针对以上问题，应加强学生审题能力的培养，从题目中获取有效信息，逐步找到已知、未知条件，从而列出方程；在审题时，加强数形结合思想的培养；进一步强化学生的运算能力。

四、备教学目标

1、通过分析实际问题找到等量关系列出一元二次方程。

2、理解一元二次方程及其相关概念，能判断方程是不是一元二次方程。

3、能熟练对方程进行化简、整理为一般形式，会识别每部分的名称。会求字母系数二次方程的字母范围。

五、备教学过程

一、构建动场

幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？

如果设所求的宽度为xm，那么你能列出怎样的方程？

【设计意图：本环节通过具体问题，进一步让学生体会方程的建模思想。培养学生从问题中找出有效信息，逐步找出已知条件、未知条件，从而列出方程的能力。并将方程按照未知数的次数进行整理，为后续归纳一元二次方程提供材料。】

二、自主学习

活动一：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？

得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？

根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

在难以找到的情况下，归结为方程去解决。

上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想，然后让学生根据猜想继续找这样的五任务分析的结果图示：

起点能力 必要条件 终点目标

学习了一元一次方程、

二元一次方程概念

理解了“元”和“次”的含义

支持性条件：类比法、数形结合思想、特殊与一般思想 本课教学目标1、2、3 能从简单的具体问题中找出等量关系

掌握了整式的相关运算能力 个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。

鼓励学生自主探究，在巡视过程中，针对无从下手的学生可给与必要的指导，对于已经解决问题的学生，给予适当的鼓励，调动学生的积极性。

活动二：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？

【设计意图：通过前两个环节的学习，直接让学生设未知数，列出适合条件的方程。涉及图形问题时，引导学生利用数形结合的思想梳理题目条件，更好的列出方程。本环节要求学生列出方程并对方程进行整理，为下一步归纳一元二次方程的概念及一般形式做好准备。】

三、交流探究

归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

练习1：下列方程是否是一元二次方程，并说明理由

. ①x²-2xy+1=0 ②x+y-5=0 ③8x²=1 ④x(x-4)+2=0 ⑤ ax²+bx+c=0

【本练习旨在加强对一元二次方程概念的巩固，并体会要判断一元二次方程需要先将方程转化为一般形式。】

练习2：把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

【本练习的设置主要是进一步训练学生的化简、整理能力，并通过练习发现学生的易错点进行总结。通过对各部分名称的判别为下一步知识的拓展做好铺垫。】

练习3：判断关于x的方程，

（1）何时为一元二次方程 （2）何时为一元一次方程

练习4：已知方程034)2(xxaa是关于x的一元二次方程，求a的值

【本环节通过两个练习进一步加强对一元二次方程概念的理解。并学会如何求字母系数的二次方程的字母范围。】

以上环节主要是通过练习的形式引导学生由易到难、层层深入的加深对概念的掌握及应用。体现了数学学科的特点，要时刻注重运算能力的训练和培养，练中发现问题、分析问题、解决问题、总结问题。在教学过程中，主要是由学生自主交流探究，当发现意见不统一或有难度时，教师在进行适当的帮助。

四、综合建模

1、通过本节课的学习，谈谈你的收获

【对本节课的重点内容及注意事项进行梳理、归纳】

2．在完成本节课的相关练习时，你都运用了哪些数学思想及方法？ 802)42(2abxxa【培养学生对数学思想、方法的归纳及应用】

五、 当堂检测

基础达标：

1、下列是关于x的一元二次方程的是（ ）

A、3222yxyx B、02cbxax C、422x D、4x-5=1

2、562xx的二次项是 ，一次项是 ，常数项是

3、把方程6432xx化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项

4、如果03422xxa是一元二次方程，判别a的取值。

5、将边长为4的正方形沿它的两边减去两个宽均为x的矩形，剩余面积为9,则可列方程：

本环节所设计的题目主要考查学生基础知识的掌握，题目由易到难、层层深入，利于学生的学习。

能力提升：

1、 已知关于X的方程21(3)2(1)10mmxmx

（1） 当K为何值时，此方程为一元二次方程，并写出二次项、一次项及常数项。

（2） 当K为何值时，此方程为一元一次方程。

【本题在设计上进一步加深对一元二次方程概念的理解，并会球字母系数二次方程的字母范围。在第二问的设计上，注重分类讨论思想的培养，从而进一步加深概念间的区别。】

2、 如图，要建造一个面积为130平方米的矩形仓库，仓库一面靠墙，在与墙平行的一面有一个1米宽的门，现有能围成32米长的木板，求仓库的长与宽。

设垂直于墙的一面的长为X米，可列方程：（并整理为一般形式）

【本题为一元二次方程中常见的面积问题，主要考查学生能否根据具体问题中的等量关系列出方程并加以整理。本环节设计的练习由易到难、层层深入，及时的检测有助于学生对本节课知识的理解与掌握。此外，问题的设置注重分层，有助于学生能力的提高】

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