第1章因素试验及其正交设计第1节概述在实际生产或科学研究中，需要考察的因素较多，而且因素的水平数也多于2个，如果对每个水平组合（或称水平搭配，处理组合）都进行试验的话，试验次数会很多。
例如，对于3因素4水平的试验，即使在每个水平组合上进行1次试验，就要做43=64次试验。
对于4因素4水平的试验，如果进行全面试验的话，至少要进行44=256次试验。
所以，随着因素数量的增加，试验次数也会迅速增加，那么试验周期就会增加；另外还需要相当长的时间对试验数据进行分析计算，所耗费的人力、物力将会是非常大的。
而如果用正交设计来安排试验，则试验次数将会显著减少，而分析计算过程将会得到简化。
一基本术语1 正交设计（Orthogonal Design）正交试验设计，简称正交设计，是研究多因素试验的一种设计方法。
它通过正交表选出具有代表性很强的部分水平组合进行部分试验，以减少试验次数来进行因素优选的一种科学试验方法。
正交试验设计法最早由日本质量管量专家田口玄一提出，称为国际标准型正交试验法。
认为：“一个工程技术人员若不掌握正交试验设计法，只能算半个工程师”。
2 试验指标试验指标简称指标，是根据因素、水平安排试验而得到的试验结果。
例如，在香蕉真空冷冻干燥试验中，需要考察香蕉片在真空干燥过程中含水率的变化，那么含水率就是该试验的指标。
3 因素在试验过程中，需要考察的、可能对指标产生影响的参数。
用大写拉丁字母A、B、C等表示。
例如，在香蕉真空冷冻干燥试验中，香蕉片的厚度、干燥温度、真空泵的真空度、干燥时间等可能对干燥过程中香蕉片含水率的变化有影响，那么这些参数都可作为该试验的因素。
试验因素又分为可控因素和不可控因素两种。
3.1 可控因素试验中，可以人为控制和调节的因素，称为可控因素。
例如干燥时间、干燥温度等都是人为设定的，所以属于可控因素。
3.2 不可控因素试验中，由于自然条件、技术水平和设备等条件的限制，暂时不能人为控制的因素，称为不可控因素。
例如，一块耕地中土壤的坚实程度、肥力分布等等都是不能人为控制的，所以属于不可控因素。
4 水平试验中，某因素所选取的各种不同的状态、数量、等级，等等。
以拉丁字母加下脚标表示，如B1、B2、B3等。
例如，在香蕉真空冷冻干燥试验中，根据需要或经验，干燥温度A分别设置为65℃、70℃和80℃。
那么这三个温度就是因素A的3个不同的水平，可写为A1、A2、A3。
5 处理/处理组合处理是指单因素试验中的每一个水平。
例如，在作物品种试验中，每个品种就是一个处理。
处理组合，又称为水平组合或水平搭配，是指多因素试验中，各因素不同水平的相互搭配。
例如，A1B1C1是一种处理组合，A2B2C2也是一种处理组合。
6 全面试验在试验过程中，对因素的全部水平组合都进行试验的方法，即为全面试验。
例如，因素A、B各取2个水平，则水平组合有4个（A1B1，A1B2，A2B1，A2B2），如果这4个水平组合都进行试验的话，就称为全面试验。
7 部分试验在试验过程中，从全部水平组合中选取部分水平组合进行试验的方法，即为部分试验。
例如，因素A、B各取2个水平，则水平组合有4个（A1B1，A1B2，A2B1，A2B2），如果从这4个水平组合中选取其中的2个进行试验的话，就称为部分试验。
二正交表正交表是由数学工作者编制的一系列规范化的表格，是正交试验中合理安排试验并对试验数据进行分析计算的基本工具。
1 正交表的分类正交表的种类有很多，大致可分为两种。
1.1 等水平正交表所谓等水平正交表，就是各因素的水平数目是相同的。
如表6-1所示为L8(27)等水平正交表。
表6-1 L8(27)等水平正交表1.1.1 等水平正交表的符号等水平正交表可写为L n(r m)其中，L为正交表代号；n为试验号，即需要做的试验次数；r为因素水平数；m为正交表的纵列数目，即最多安排的因素数目。
对于L8(27)正交表，它可安排7因素2水平试验，只要安排8次试验就可以了。
如果要进行全面试验的话，需要进行27=128次试验。
因此，采用正交表安排试验，能极大地减少试验次数，同时又能保证获得足够的试验信息。
1.1.2 等水平正交表的性质（1）表中任意一列，不同的水平（即数字1和2）都出现，且出现的次数相同。
例如，L8(27)中水平“1”和“2”都在每列中出现了，且都出现了4次。
（2）表中任意两列，把同一行的两个数字看成有序数字对时，所有可能的数字对（即水平组合）都出现，且出现的次数相同。
例如，L8(27)中的任意两列中，同一行所有可能的有序数字对为（1，1）、（1，2）、（2，1）和（2，2）共4种，它们都出现，且都出现了2次。
（3）推论：正交表的行可置换、列可置换、同一列中的水平数字可置换。
等水平正交表的两个性质合称“正交性”，使得试验点在试验范围内排列整齐、规律，也使试验点在试验范围内散布均匀，即“整齐可比，均衡分散”。
1.2 混合水平正交表1.2.1 混合水平正交表符号在试验中，由于条件所限，某因素不能多取水平；有时重点考察的因素应该多取水平，其它因素水平数可适当减少。
针对这些情况，产生了混合水平正交表，即各因素的水平数不完全相同的正交表。
表6-3 L8(41×24)如表6-3所示，L8(4×2)共有5列8行，要做8次试验，最多可安排5个因素，其中1个是4水平因素，4个是2水平因素。
1.2.2 混合水平正交表性质（1）表中任意一列，不同的数字都出现，且出现次数相同。
例如，L8(41×24)中的第1列有“1”、“2”、“3”、“4”个数字，它们各出现了2次。
（2）每两列，同行两个数字组成的不同水平组合出现次数都相同，但不同的两列间所组成的水平组合种类及出现次数是完全不同的。
例如，L8(41×24)中，第1列安排4个水平，它与其它任何一个2水平列所组成的同行数字对有8种：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2），它们都出现1次；第2~5列都是2水平，它们任意两列组成的同行数字对为（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2），它们各出现2次。
因此，用混合水平正交表安排试验时，每个因素的各水平之间的搭配也是均衡的。
三正交设计优点例题6-1 某工厂为提高产品的质量，考察了工艺中的3个主要因素：温度A、时间B、加碱量C，每个因素各选取3个水平进行试验，如表6-4所示。
试寻求最适宜的操作条件。
表6-4 例题6-1的因素及水平表这是一个3因素3水平的试验，采用不同的设计方法，试验次数和试验结果的可靠性不同。
下面通过不同的设计方案的比较，说明正交设计的优点。
1 全面试验当因素和水平数不多时，人们一般首先想到的是全面试验，并且通过数据分析获得丰富的信息，而且结论也比较准确。
该试验最多安排33=27次，如图6-1所示。
优点是数据点分布的均匀性好，水平组合全面，缺点是试验次数太多。
2 正交设计例题6-1中可选用L9(34)正交表，只需安排9次试验，如表6-4所示。
其试验点的分布如图6-2所示。
可见：（1）虽然只安排了9次试验，但这9个试验点能够很好的代表全面试验的27个试验点的试验效果。
（2）通过对这些少数试验方案的试验结果进行统计分析，可以推出较优方案，而且所得到的优方案往往不包含在这些少数试验方案中。
（3）对试验结果作进一步分析，可以得到试验结果之外的更多信息。
例如，各因素对试验结果影响的重要程度，各因素对试验结果的影响趋势等等。
表6-4 L9(34)正交表图6-1全面试验试验点分布图6-2正交设计试验点分布四正交设计步骤1 明确试验目的，确定试验指标任何试验都是为了解决某一问题，或为了得到某些结论而进行的。
所以，试验设计之前，必须要明白为什么要做这个试验，做这个试验是为了解决什么问题，即试验目的。
然后，根据试验目的，确定要衡量的指标是什么。
2 选择因素，确定水平影响试验指标的因素有很多，但是由于试验条件的限制，只能根据试验目的，选出主要影响因素，以减少考察的因素数目。
试验设计中，考察的因素不能太多，一般以3-7个为宜，以免增加无效试验的工作量。
确定因素水平数时，重要因素可多取一些水平；各水平的数值应适当拉开，以利于对试验结果的分析。
在满足试验目的的前提下，尽可能选择等水平正交表，以方便数据处理。
3 选择正交表，设计表头3.1正交表选择根据因素数和水平数来选择合适的正交表。
一般，因素数不超过正交表列数，因素水平数与正交表对应的水平数一致。
在满足这两个条件的前提下，尽可能选择小的正交表。
例如，对于4因素3水平试验，L9(34)和L27(313)都能满足要求，一般建议选择L9(34)。
但是，如果试验要求精度高，并且试验条件允许，则可选择大的正交表。
如果各因素所取的水平数不相等，应选择混合水平正交表。
如果考虑因素间的交互作用，则应把交互作用看做一个因素，从而选择合适的正交表；同时，根据交互作用列安排原则来安排交互作用在正交表中的位置。
3.2 表头设计表头设计就是将各因素安排到正交表的相应列中。
当因素数恰好等于正交表的列数时，优先将水平改变困难的因素放在第1列，水平变换容易的因素放在最后一列，其余因素随意安排。
当因素数小于正交表的列数，即表中有空列（正交表中不放置因素或交互作用的列）时，若不考虑交互作用，空列可作为误差列，放置于正交表的中间或靠后位置。
比如，例题6-1中，表头可设计为如下形式：4 明确试验方案，安排试验，得到结果根据正交表和表头设计，确定每个试验号的方案，然后进行试验，得到试验结果。
5 对试验结果进行统计分析试验结果的统计分析主要有两种方法，一是直观分析法，一是方差分析法。
通过统计分析，能偶得到因素的主次顺序、最优水平组合等有用信息。
6 进行验证性试验，作进一步分析最优水平组合是通过对试验结果的统计分析得到的，还需要进行验证性试验，以保证最优水平组合与实际情况一致。
否则，需要重新进行新的正交试验。
第2节正交设计的直观分析法通过正交表安排试验方案后，进行试验，得到相应的试验结果。
接下来就是对实验结果进行统计分析，以确定因素主次和最优水平组合。
目前，直观分析法和方差分析法是最常用的正交设计统计分析方法。
下面以一个例题来说明直观分析法的分析步骤。
一无交互作用正交设计的直观分析法例题6-2 柠檬酸硬脂酸单甘脂是一种新型的食品乳化剂。
现对其合成工艺进行优化，以提高乳化剂的乳化能力。
根据探索性试验，确定因素和水平如表6-5所示，假定因素间无交互作用。
表6-5 例题6-2试验因素及水平表1 明确试验目的，确定试验指标通过题意可知，本试验的目的是提高乳化剂的乳化能力，其指标即为乳化能力y。
2 选择因素，确定水平通过探索性试验，将温度A、酯化时间B和催化剂种类C作为考察因素，且每个因素各取3个不同的水平。
