高一数学试题第一学期期末教学质量调研检测（时间：120分钟 满分：150分）第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内） 1、设集合{},01|>+∈=x Z x A 集合{}02|≤-=x x B ，则=B A A 、)2,1(- B 、]2,1(- C 、{}2,1- D 、{}2,1,0 2、已知角α的终边经过点)1,2(-P ，则=αsinA 、55 B 、55- C 、552 D 、552- 3、已知函数,0,3log 0,)(21⎩⎨⎧>-<=-x x x x x f 则=-+)21()16(f f A 、3 B 、1 C 、-1 D 、-2 4、式子4tan 2cos 1sin ⋅⋅的符号为A 、正B 、负C 、零D 、不能确定 5、下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是6、已知一扇形的半径为2，弧长为4，则此扇形的圆心角的弧度数和此扇形的面积分别为A 、2，4B 、4，4C 、2，8D 、4，8 7、函数)1lg(2)(+-=x xx f 的定义域是A 、]2,1(-B 、]2,0()0,1[ -C 、]2,0()0,1( -D 、]2,0( 8、已知角α满足ααcos 2sin =，则=α2cosA 、54B 、54-C 、53D 、53- 9、函数)10(||)(<<=a a xx x f x的大致图象是10、已知x x e c b x a e x ln ln 1,)21(,ln ),1,(===∈-（e 是自然对数的底数），则c b a ,,之间的大小关系是A 、a c b >>B 、a b c >>C 、c a b >>D 、c b a >> 11、若函数)(x f y =的图象的一部分如图（1）所示，则图（2）所对应的的函数解析式可以是A 、)212(-=x f y B 、)12(-=x f yC 、)2121(-=x f yD 、)121(-=x f y12、已知函数)2||,80)(sin()(πϕωϕω<<<+=x x f，若)(x f 满足2)1611()163(=+ππf f ，则下列结论正确的是 A 、函数)(x f 的图象关于直线16π=x 对称B 、函数)(x f 的图象关于点)0,167(π对称 C 、函数)(x f 在区间]16,16[ππ-上单调递增 D 、存在]8,0(π∈m ，使函数)(m x f +为偶函数第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上） 13、函数x y 2tan =的最小正周期为_______________. 14、已知31)sin(=+απ，则=+)2cos(απ_________________. 15、定义域为R 的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f -=+，且1)1(=f ，则=)7(f ___________. 16、某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量)(x f （单位：万斤）与年份x （记2015年为第1年）之间的关系统计如下：则)(x f 近似符合以下三种函数模型之一：①b ax x f +=)(；②a x f x+=2)(；③b x x f +=2)(.则你认为最适合的函数模型的序号是_______________.三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）（1）计算：43213)161(38log log ---；（2）已知b a ==7lg ,5lg ，试用b a ,表示49log 28.18、（本题满分12分）已知集合{}R a ax x x A ∈=+-=,03|2. （1）若A ∈1，求实数a 的值；（2）若集合{}R b b bx x x B ∈=+-=,02|2，且{}3=B A ，求B A .19.（本题满分12分）已知函数)0)(6cos(sin )(>++=ωπωωx x x f 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）求函数)(x f y =的单调区间； （2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f y =的最大值和最小值，并指出此时的x 的值.20.（本题满分12分）某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元.已知销售收入)(x R （万元）满足,)10(44)100(4.106.0)(2⎩⎨⎧>≤≤+-=x x x x x R （其中x 是该产品的月产量，单位：百台），假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题： （1）将利润表示为月产量x 的函数)(x f y =；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？21．（本题满分12分）已知函数b x x f a +=log )(（其中b a ,均为常数，10≠>a a 且）的图象经过点)5,2(与点)7,8( （1）求b a ,的值； （2）设函数2)(+-=x xab x g ，若对任意的]4,1[1∈x ，存在]5log ,0[22∈x ，使得m x g x f +=)()(21成立，求实数m 的取值范围.22. （本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角)26(παπα<<的顶点是坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点),(11y x A ，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π，交单位圆O 于点),(22y x B （1）若531=x ，求2x 的值； （2）分别过B A ,向x 轴作垂线，垂足分别为D C ,，记△AOC ，△BOD 的面积分别为21,S S .若212S S =，求角α的大小.高一数学试题参考答案 第一学期期末教学质量调研检测第Ⅰ卷二、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1.D 解析：由已知得{}{}2|,1|≤=->∈=x x B x Z x A ，则{}2,1,0=⋂B A . 故选D.2.B 解析：根据正弦函数的定义得()5551121sin 22-=-=-+-=α. 故选B. 3.C 解析：由已知得()134316log 162=-=-=f ，221211-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--f ，所以()1212116-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+f f . 故选C.4.B 解析：因为1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，所以sin10>，cos20<，tan 40>，故选B.5.B 解析： A ，C ，D 中的图象均可用二分法求函数的零点. 故选B.6. A 解析：此扇形的圆心角的弧度数为224=，面积为42421=⨯⨯. 故选A. 7.C 解析：由201011x x x -≥⎧⎪+>⎨⎪+≠⎩，得12x -<≤且0x ≠. 故选C.8.D 解析：将ααcos 2sin =代入1cos sin 22=+αα，解得51cos 2=α，根据二倍角公式知531cos 22cos 2-=-=αα. 故选D. 9. A 解析：0()0x xxa x xf x a x a x ⎧>⎪==⎨-<⎪⎩，，. 故选A. 10.A 解析：因为1e 1x -<<，所以1ln 0a x -<=<，ln 1122xb ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1ln e e 1x c x -<==<. 故选A.11.B 解析：函数()f x 先整体往右平移1个单位，得到(1)y f x =-，再将所有点的横坐标压缩为原来的12倍，得到()12-=x f y . 故选B ． 12.C 解析：设函数()x f 的最小正周期为T ，根据条件知21631611πππ=-=nT ，其中n 为正整数，于是ωππ22==n T ，解得n 4=ω，又80<<ω，则4=ω，()()ϕ+=x x f 4sin ，将163π=x 代入，又2πϕ<知4πϕ-=，所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=44sin πx x f ，经验算C 答案符合题意. 故选C ．第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上） 13.π2解析：因为函数tan y x ω=的最小正周期为πω，所以函数tan 2y x =的最小正周期为π2. 14.13解析：由()31sin =+απ，得31sin =-α，即31sin -=α， 所以3131sin 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⎪⎭⎫⎝⎛+ααπ. 15.8-解析：()()()()()()()8182143423252257-=-=+==+-=-=+=f f f f f f f . 16. ①解析：若模型为②，则()421=+=a f ，解得2=a ，于是()22+=xx f ，此时()()()184,103,62===f f f ，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则()411=+=b f ，解得3=b ，于是,3)(2+=x x f ()()()194,123,72===f f f 此时，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得⎩⎨⎧=+=+734b a b a ，解得25,23==b a ，经检验是最适合的函数模型. 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分） 解：（Ⅰ）3421281log 3log 316-⎛⎫-- ⎪⎝⎭()34222log 3log 8log 316=+-- ………3分（注：每项1分）38=- ………4分 5=-. ………5分（Ⅱ）28lg 49log 49lg 28=……6分 2lg 72lg 2lg 7=+ ………8分()2221lg 522b bb a b==-+-+. ………10分18. （本题满分12分）解：（Ⅰ）由条件知将1=x 代入方程032=+-ax x ，得031=+-a ，解得4=a .…………5分（Ⅱ）由{}3=⋂B A 知B A ∈∈3,3.将3=x 代入方程032=+-ax x ，得0339=+-a ，解得4=a . ………6分解方程0342=+-x x ，得1=x 或3=x ，此时{}3,1=A . ………8分 将3=x 代入方程022=+-b bx x ，得0318=+-b b ，解得9=b . .………9分解方程09922=+-x x ，得23=x 或3=x ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧=3,23B . ………11分所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋃3,23,1B A . ………12分19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）π()sin cos 6f x x x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1sin sin 2x x x ωωω=-1sin 2x x ωω=+ πsin 3x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. .………2分 因为函数()y f x =图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以函数()y f x =的最小正周期为π，即2ππω=，得2ω=，所以π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. .………4分 由ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤+≤+∈得π7πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈， 所以函数()y f x =的单调递减区间为π7πππ+(Z)1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，. .………6分 （Ⅱ）当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，ππ4π2333x ≤+≤， 所以当ππ232x +=即π12x =时，函数()y f x =的最大值为1； ………9分当π4π233x +=即π2x =时，函数()y f x =的最小值为2-. ………12分 20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由条件知20.610.40.84,010()4440.8,10x x x x f x x x ⎧-+--≤≤=⎨-->⎩ ………4分 20.69.64,010400.8,10x x x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩ ………6分（Ⅱ）当010x ≤≤时，()22()0.69.640.6834.4f x x x x =-+-=--+，当8x =时，()y f x =的最大值为34.4万元； ………9分 当10x >时，()400.840832y f x x ==-<-=万元， ………10分 综上所述，当月产量为8百台时，公司所获利润最大，最大利润为34.4万元. …12分21．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得⎩⎨⎧=+=+78log 52log b b aa ， ………2分 消去b 得24log 2log 8log ==-a a a ，即42=a ，又0>a ，1≠a ，解得4,2==b a . ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知函数()x f 的解析式为()4log 2+=x x f . .………5分()224+-=x x x g . ………6分 当[]4,1∈x 时，函数()4log 2+=x x f 单调递增，其值域为[]6,4=A ； ………7分 令t x =2，当[]5log ,02∈x 时，[]5,1∈t ，于是()()42424222--=-=-=+t t t x g x x []5,4-∈. ………8分 设函数()()m x g x h +=，则函数()x h 的值域为[]m m B ++-=5,4， ………9分 根据条件知B A ⊆，于是⎩⎨⎧≤+-≥+4465m m ，解得81≤≤m .所以实数m 的取值范围为[]8,1. ………12分22. （本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得54531cos 1sin ,53cos 221=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===αααx ， ……2分 所以10343235421533sin sin 3cos cos 3cos 2-=⨯-⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=παπαπαx . …………5分（Ⅱ）根据条件知ααα2sin 41cos sin 211==S ， …………6分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=322sin 413cos 3sin 212παπαπαS ， …………8分 因为212S S =，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin 2cos 32cos 2sin 2322sin 22sin παπαπαα αα2cos 32sin -=， …………10分 于是02cos =α，22πα=，解得4πα=. …………12分。
