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第4讲万有引力与航天考点1中心天体质量和密度的估算（c）【典例1】(2018·浙江4月选考真题)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图）,每16天绕土星一周,其公转轨道半径约为1.2×106 km,已知引力常量G=6。
67×10—11 N·m2/kg2,则土星的质量约为（)A.5×1017 kg B。
5×1026 kgC。
7×1033 kg D.4×1036 kg【解题思路】解答本题应注意以下三点:关键点（1）土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力。
(2)轨道半径和周期的单位要换算为米和秒。
(3)警示点:计算时单位统一使用国际单位.【解析】选B。
卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力,设土星质量为M：=m R,解得M=。
代入计算可得：M=kg=5×1026 kg，故B正确,A、C、D 错误。
1。
通过观测冥王星的卫星,可以推算出冥王星的质量。
假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。
这两个物理量可以是（）A。
卫星的速度和质量B.卫星的质量和轨道半径C。
卫星的质量和角速度D。
卫星的运行周期和轨道半径【解析】选D.根据线速度和角速度可以求出半径r=,根据万有引力提供向心力:=m,整理可以得到：M==,故选项A、B、C错误；若知道卫星的周期和半径，则=m(）2r，整理得到:M=,故选项D正确。
2.“嫦娥二号”卫星是在绕月极地轨道上运动的,加上月球的自转，卫星能探测到整个月球的表面。
卫星CCD相机已对月球背面进行成像探测,并获取了月球部分区域的影像图。
假设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为H,绕行的周期为T M；月球绕地球公转的周期为T E ,半径为R0。
地球半径为R E，月球半径为R M。
若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响,则月球与地球质量之比为(）A。
知识总结典型例题1如图，2如图，3如图1如下图，已知2如图1如图，在凹四边形2如图，3如图，知识总结典型例题题型：三角形-外角角分线如图所示，1如图，点两个外角平分线的交点，如果23如图，在D.如图，已知射线41如图，2如图，，三、数学万花筒帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度。
任意两个相同直角三角形一定能拼成长方形，每一个长方形的内角和是360（四个直角）恰好包含了直角三角形的6个内角，所以一个直角三角形的内角和是360÷2=180。
任意两个相同的直角三角形一定能拼成长方形在此基础上证明任意锐角三角形内角和是180°. 在三角形内作一条高，会分割出两个不同的直角三角形。
因为直角三角形的内角和是180°，所以除直角外的两个锐角和为180°-90°=90°.两个直角三角形中共有4各锐角，恰好组成了原来大锐角三角形的三个内角，即可得出任意锐角三角形内角和为90°+90°=180°.同理可证，任意钝角三角形内角和也是180°，因为只有一条高在其内部，所以作高是没有选择余地了。
任意锐角三角形内作高任意钝角三角形内作高既然任意直角三角形、锐角三角形钝角三角形的内角和都是180°，小帕斯卡才会非常肯定地说：任意三角形的内角和是都是180°。
这里有个误区，有的教师以为学生在三种类型的三角形中各选择一个分别测量，就是代表了全部的三角形，实际上具体的锐角三角形不能代表所有的锐角三角形，这与帕斯卡证明方法中的任意三角形有本质的不同。
四、巩固加油站三角形>三角形及多边形>多边形>题型：不规则图形的多角求和题型：三角形内角的应用两个外角平分线的交点，如果D.。
第四讲余数问题（二）知识点拨一、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差，或这个差除以c的余数。
3.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
二、弃九法在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
三、中国剩余定理1.中国古代趣题中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
调和点列与调和线束定义对于线段AB 的内分点C 和外分点D 满足AC ADCB DB，则称C 、D 调和分割线段AB 或者A 、B 、C 、D 是调和点列。
我们允许无穷远点的存在，即规定如果D 为无穷远点，则1ADDB，也可以说，当C 平分线段AB 时，A 、B 、C 以及直线AC 上的无穷远点四点成调和点列。
性质1 设,,,A B C D 是共线四点，点M 是线段AB 的中点，则,C D 调和分割线段AB 的充要条件是满足下列六个条件之一： （1） 点,A B 调和分割CD （2） 112AC AD AB（3） 22AB CD AD BC AC DB （4） CA CB CM CD （5） DA DB DM DC （6） 22MA MB MC MD性质2 （调和点列的角元形式）设A 、C 、B 、D 是共线四点，过共点直线外一点P 引射线PA ，PC ，PB ，PD ．令1APC θ ，2CPB θ ，3BPD θ ，则AC BD CB AD 的充要条件132123sin sin sin sin()θθθθθθ ．性质3 设,,,A B C D 是共线四点，过共点的直线外一点P 引射线,,,PA PC PB PD ，则,C D 调和分割线段AB 的充分必要条件是满足下列两个条件之一：（1） 线束,,,PA PC PB PD 其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出相等的两线段；l 分别交射线,,,PA PC PB PD 于点（2） 另一直线',',','A C B D 时，点','C D 调和分割线段''A B 。
性质4对线段AB 的内分点C 和外分点D ，以及直线外一点P ，给出如下四个论断：AM CBD（1） PC 是APB 的平分线 （2） PD 是APB 的外角平分线 （3） ,C D 调和分割线段AB（4） PC PD以上四个论断中，任意两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题。
第4讲 正三角形【知识体系】等边三角形是学习等腰三角形知识的一个拓展，同时也是学习其它知识的基础. 从知识性来看，应明确等边三角形的性质和判定方法; 从应用性上看, 它有其不同寻常的生活价值. 通过等边三角形的学习, 可以解决生活中的许多实际问题. 所以, 这一内容无论从知识性还是技能上来讲，在教学中都占有重要的地位, 在实践中都有其发展的必要.【热身训练】1. 如图已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使1CE C D ==，连接DE ，则DE = .2. 如图正六边形DEFGHI 的顶点都在边长为6cm 的正三角形ABC 的边上，则这个正六边形的边长是 cm ．3. 如图，△ABC ，△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点. 若AB ＝4时，则图形ABCDEFG 外围的周长是 （ ）A ．12B ．15C ．18D ．214. 我们把两个三角形的中心之间的距离叫做中心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，中心距为2，那么 当它们的一对角成对顶角时，中心距为 ． 5. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内的两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC =∠E =60°，若BE =6，DE =2，EDCB AI HCGF BEDA CDE FGAB 第1题图 第2题图 第3题图CDE A例1. 证明：已知等边ΔABC 和点P ，设点P 到ΔABC 三边AB 、AC 、BA 的距离分别为 123,,h h h ，ΔABC 的高为h ，若点P 在一边BC 上（如图1），此时30h =，可得结论123h h h h ++=.请直接应用上述信息解决下列问题：当点P 在ΔABC 内（如图2），和点P 在ΔABC 外 （如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，123,,h h h与h 之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明.图1 图2 图3CE FPM BDACE FP M BDAMPFE DCBA解析：由图1，连结AP ，得APB APC ABC S S S ∆∆∆+=，可得12DP•AB+12PE•AC=12AM•BC ，化简得DP+PE=AM ，此时30h =，即123h h h h ++=；同理在图2中，连结AP ，BP ，CP ，由ABC APB APC PBC S S S S ∆∆∆∆=++,化简得123h h h h ++=. 同样道理在图3中，可得123h h h h +-=.简答：（1）92PB t =-cm ；5BQ t =cm ；小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1） 特殊情况•探索结论：当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与的DB 大 小关系．请你直接写出结论：AE DB （填“＞，＜，=”）．（2）特例启发•解答題目：题中AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“＞，＜，=”）． 理由如下：如图2，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，（请你完成以下解答过程） (3) 拓展结论•设计新题：在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线 BC 上，且ED =EC ．若△ABC 的边长为1，AE =2，求CD 的长（请你直接写出结果）．例4. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图1，若P A=PB ，则点P 为△ABC 的准外心.应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD=1AB ，求 ∠APB 的度数.探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC=5， AB=3，准外心P 在AC 边上，试探究P A 的长.解析： ① 若PB=PC ，连接PB ，则∠PCB=∠PBC ，，∠PCB=30°. ∴∠PCD=∠PBC=30°，∴PD=3DB=6AB . 与已知PD 12=AB 矛盾;② 若P A=PC ，连接P A ，同理可得P A ≠PC ; ③ 若P A=PB ，由PD12=AB ，得PD=AD=BD ，∴∠APD=∠BPD=45°. ∴∠APB=90°. 探究：∵BC=5，AB=3，∴4== . ① 若PB=PC ，设P A=x ，则2223(4)x x +=- ，∴78x =，即P A=78; ② 若P A=PC ，则P A=2; ③若P A=PB ，由图知，在Rt △P AB 中，不可能. ∴ PA=2或78.例5. 已知：等边ABC △的边长为a ．探究（1）：如图１，过等边ABC △的顶点A B C 、、依次作AB BC CA 、、的垂线围成△MNG ，求证：MNG △是等边三角形且．MN =；探究（2）：在等边ABC △内取一点O ，过点O 分别作,,OD AB OE BC OF CA ⊥⊥⊥， 垂足分别为点,,D E F .① 如图2，若点O 是ABC △的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质 得到两个正确结论：结论1．OD OE OF ++=；结论2．32AD BE CF a ++=.② 如图3，若点O 是等边ABC △内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果 成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．解析：如图1，ABC △为等边三角形，60ABC ∴∠=°，BC MN BA MG ⊥⊥ ， ∴90CBM BAM ∠=∠=°，9030ABM ABC ∴∠=∠=︒°-，60M ∴∠=︒，同理：60N G ∠=∠=︒MNG ∴△为等边三角形. 在Rt ABM △中，3BM a =，在Rt BCN △中，3BN =，MN BM BN ∴=+= （2）结论1成立．证明：如图2，连接AO BO CO 、、， 由ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△＝()12a OD OE OF ++ , 可证得OD OE OF ++=. 结论2成立．证明：过顶点A B C 、、依次作边AB BC CA 、、的垂线围成△MNG ，由（1）得MNG △为等边三角形且MN ，过点O 分别作OD MN '⊥于D ',OE NG '⊥于NG 于点E OF MG ''⊥，于点F '，由结论1得：32OD OE OF a '+'+'==; 又OD AB AB MG OF MG ⊥⊥'⊥ ，，，90ADO DAF OF A ∴∠=∠'=∠'=︒,∴四边形ADOF '为矩形，OF ∴'=AD ，同理：OD BE '=，OE CF '=，32AD BE CF OD OE OF a ∴++='+'+'=【独立尝试】A ．3B ．4C ．5D ．66. 如图所示，已知等边△ABC 的边长为a ，P 是△ABC 内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，则PD+PE+PF= ．7. 如图，凸六边形ABCDEF 的六个角都是120°，边长AB=2cm ，BC=8cm ，CD=11cm ，DE=6cm ，则这个六边形的周长 ．8. 如图，是由9个等边三角形（三条边都相等的三角形）组成的装饰图案，已知中间最小的等边三角形（阴影部分）边长为1cm ，现欲将此图案的周边镶上一根彩线，则彩线至少需要 .9. 若三角形的三边为a ，b ，c ，且满足444222222a b c a b b c c a ++=++，则该三角形为 三角形．10. 如图，△ABC 是等边三角形，P 为△ABC 内部一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后能与△ACP′重合，如果AP=3，则PP′ ．11. ①请你在等边三角形ABC 所在平面上找到一点P ，使△P AB ，△P AC ，△PBC 均为等腰三角形，满足条件的点P 有多少种可能？②请你在正方形ABCD 所在平面上找到一点P ，使△P AB，△PBC ，△PCD ，△PDA 均为等腰三角形，满足条件的P 有多少种可能？请同学们进一步思考，若将“正方形”改为正五边形，结果如何？12. 阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？问题（2）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ，且b a >，若CE PDBFAFEDCBABP 'PCB A第6题图 第7题图 第8题图 第10题图Rt△ABC是奇异三角形，求::a b c.13.如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°-12∠DBC．求证：AC=AD．【拓展提升】（2）求△MNP 面积的最大值．6. 如图，正三角形ABC 的边长为a ，D 是BC 的中点，P 是AC 边上的动点，连结PB 和PD 得到△PBD . 求：（1）当点P 运动到AC 的中点时，△PBD 的周长； （2）△PBD 的周长的最小值.【挑战探索】我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题．譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题．问题提出：如何把一个正方形分割成n （n ≥9）个小正方形？ 为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”．基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形．基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形．① ② ③ ④ ⑤ ⑥问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n （n ≥9）个小正方形．（1）把一个正方形分割成9个小正方形．一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成459+=（个）小正方形．另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就+=（个）小正方形．可增加3个小正方形，从而分割成639（2）把一个正方形分割成10个小正方形．方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加+⨯=（个）小正方形．⨯个小正方形，从而分割成4321032（3）请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）（4）把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依次类推，即可把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n（n≥9）个小正方形．【热身训练】1.2. 23. B4. 45. 86. 34- 提示：过F 作FG BE ⊥，可求出BE 边上的高FG . 7.（1）甲、乙的结论都正确；（2）证明略．8. （1）△COD 是等边三角形．（2）∵AD 2+OD 2=()()22212n n -+=()221n +=AO 2， ∴△AOD 是直角三角形，且∠ADO=90°，∵△COD 是等边三角形，∴∠CDO=60°，∴∠ADC=∠ADO+∠CDO=150°，根据旋转的性质，α=∠ADC=150°；（3）∵α=∠ADC ，∠CDO=60°，∴∠ADO=α-60°，又∵∠AOD=190°-α，∴∠DAO=50°，∵△AOD 是等腰三角形，∴①∠AOD=∠ADO 时，190°-α=α-60°，解得α=125°，②∠AOD=∠DAO 时，190°-α=50°，解得α=140°，③∠ADO=∠DAO 时，α-60°=50°，解得α=110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD 是等腰三角形．9. （1）图中有5个等腰三角形，EF=BE+CF ；（2）还有两个等腰三角形，为△BEO 、△CFO ，EF=BE+CF 存在；（3）有等腰三角形：△BEO 、△CFO ，此时EF=BE -CF .【独立尝试】1—4. BBBB 5. D 提示：2个正四面体拼接的形状.6. a 提示：过P 点作三边平行线7. 46cm8. 设AB=x ，则BH=2x ，GH=GF=FE=x+1，ED=CD=x+2，BC=x+3，又∵BH=BC ，∴2x=x+3，解得x=3，则可求出这根彩线至少长30cm ．9. 等边三角形 10. 3．11. （1）10种 （2） 9种.12. 提示：（1）真命题；（2）在Rt △ABC 中，2c b a =+ ， ∵ 0>>>a b c ，∴2222b a c +>，2222c b a +<，∴若Rt △ABC 为奇异三角形,一定有2222c a b += ，∴()22222b a a b ++= ，∴222a b = 得a b 2=， ∵22223a a b c =+= ，∴a c 3=，∴3:2:1::=c b a .ED 的长就是PB+PD 的最小值，即当点P 运动到ED 与AC 的交点G 时，△PBD 的周长最小. 从点D 作DF ⊥BE ，垂足为F ．因为BC a =,所以1,2BD a BE ===，因为030DBF ∠=，所以1124DF BD a ==，4BF ==，4EF BE BF =-=，2DE a ==， 所以△PBD 的周长的最小值是a a a 2712721+=+ 【挑战探索】提示：把一个正方形分割成11个小正方形（如图⑥）.。
第4讲基本不等式1.基本不等式：√ab≤a＋b2（1）基本不等式成立的条件：①a＞0，b＞0.（2）等号成立的条件：当且仅当②a＝b时取等号.（3）其中，③a＋b2叫做a，b的算术平均数，④√ab叫做a，b的几何平均数.基本不等式表明：正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意若a＜0，b＜0，应先转化为－a＞0，－b＞0，再运用基本不等式求解.2.几个重要不等式（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.（2）a＋b≥2√ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.（3）2aba＋b ≤√ab≤a＋b2≤√a2＋b22（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.3.利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0.（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值⑤2√P（简记：积定和最小）；（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值⑥S 24（简记：和定积最大）.注意应用基本不等式求最值应满足三个条件“一正”“二定”“三相等”.1.下列说法正确的是（）A.函数y＝x＋1x的最小值是2B.函数f（x）＝cos x＋4cosx ，x∈（0，π2）的最小值为4C.“x＞0且y＞0”是“xy ＋yx≥2”的充分不必要条件D.不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥√ab有相同的成立条件2.矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是（）A.4B.92C.3√22D.23.已知a，b为正数，则下列不等式中不成立的是（）A.ab≤a2＋b22B.ab≤（a＋b2）2 C.√a2＋b22≥a＋b2D.2aba＋b≥√ab4.[教材改编]已知x＞2，则4x－2＋x的最小值是.命题点1利用基本不等式求最值角度1配凑法例1 （1）[2024四川省南充第一中学模拟]已知a＞b＞0，则2a＋9a＋b ＋4a－b的最小值为（）A.4B.6C.3D.10（2）[2024宁夏银川模拟]已知0＜x＜4，则√x（4－x）的最大值为.角度2常数代换法例2 （1）[2023江西省南昌一中模拟]已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为（）A.54B.56C.72D.81（2）[山东高考]若直线xa ＋yb＝1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a＋b的最小值为.角度3消元法例3 （1）[2024河南名校调研]若正数x，y满足xy－2x－y＝0，则x＋y2的最小值是（）A.2 B.2√2 C.4 D.4√2（2）[江苏高考]已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是.训练1 （1）[2024辽宁省阜新市高级中学模拟]两个正实数x，y满足1x ＋4y＝1，若关于m的不等式x＋y4＜m2＋3m有解，则实数m的取值范围是（）A.（－1，4）B.（－4，1）C.（－∞，－4）∪（1，＋∞）D.（－∞，－3）∪（0，＋∞）（2）[2021天津高考]若a＞0，b＞0，则1a ＋ab2＋b的最小值为.（3）[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则xyz的最大值为.命题点2基本不等式的综合问题角度1基本不等式的综合应用例4 （1）[2021浙江高考]已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sinγcos α三个值中，大于12的个数的最大值是（）A.0B.1C.2D.3（2）[多选/2022新高考卷Ⅱ]若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（）A.x＋y≤1B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2D.x2＋y2≥1角度2利用基本不等式解决实际问题例5 [江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.例6 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本G（x）万元，且G（x）＝{x2+120x，0<x≤50，201x＋4 900x－2 100，50<x≤100，每台该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）写出年利润W（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式（利润＝销售收入－成本）.（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？训练2 （1）[2024陕西省商洛市部分学校阶段测试]在△ABC 中，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 是线段AD 上的动点（与端点不重合），设CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋y CB ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则8x+3y 3xy的最小值是（ ） A.6B.7C.8D.9（2）[2023湖南省部分学校联考]某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1 800平方米的矩形ABCD ，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的最大面积是（ ） A.1 208平方米 B.1 448平方米 C.1 568平方米D.1 698平方米基本不等式链与柯西不等式的应用角度1 求最值例7 已知x ，y 均为正实数，且1x+2＋1y+2＝16，则x ＋y 的最小值为 .角度2 判断关于不等式的命题的真假例8 [2024四川成都联考]已知正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，则下列不等式中错误的是（ ） A.mn ≤14B.2m 2＋2n 2≥1C.m （n ＋1）＜1D.√m ＋√n ≤1方法技巧1.柯西不等式：（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）≥（ac ＋bd ）2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立.2.无论是均值不等式还是柯西不等式，在使用的时候都要注意“配凑”技巧，还要注意验证等号成立的条件.训练3 （1）已知正实数x ，y 满足1x+3y ＋12x ＋y＝1，则x ＋y 的最小值是 .（2）[多选/2024云南省大理模拟]若12a ＝3，12b ＝4，则下列结论正确的是（ ）A.ba＞1B.ab ＞14C.a 2＋b 2＞12D.2a －b ＞121.[2024河北保定模拟]设x ，y 均为正数，且x ＋y ＝4，则xy 的最大值为（ ） A.1B.2C.4D.162.[2024江苏常州模拟]已知a ＞1，b ＞12，且2a ＋b ＝4，则1a －1＋12b －1的最小值是（ ） A.1B.43C.2D.33.当x ＞0时，函数y ＝3+x ＋x 21+x 的最小值为（ ）A.2√3B.2√3－1C.2√3＋1D.44.[2023山西忻州第二次联考]已知0＜a ＜2，则1a ＋92－a的最小值是（ ） A.4B.6C.8D.165.[多选]小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均速度为v ，则下列选项中正确的是（ ） A.a ＜v ＜√ab B.v ＝√abC.√ab ＜v ＜a ＋b 2D.v ＝2ab a ＋b6.[多选/2023重庆市三检]已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy －3＝0，则下列结论正确的是（ ）A.xy 的取值范围是（0，9]B.x ＋y 的取值范围是[2，3）C.x ＋2y 的最小值是4√2－3D.x ＋4y 的最小值是37.[2024广西河池联考]若x ＞0，y ＞0，且1x ＋2y ＝4，则yx 的最大值为 . 8.[2023济南市模拟]已知正数x ，y 满足4x ＋2y ＝xy ，则x ＋2y 的最小值为 .9.某电商自营店，其主打商品每年需要6 000件，每年进n 次货，每次购买x 件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为年平均库存量为x2件，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用（手续费＋库存费）最低，则每年进货次数为 .10.[2024山东烟台模拟]如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点A ，B 在直径上，顶点C ，D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为 （单位：cm 2）.11.[2021全国卷乙]下列函数中最小值为4的是 （ ）A.y ＝x 2＋2x ＋4B.y ＝｜sin x ｜＋4｜sinx ｜C.y ＝2x ＋22－xD.y ＝ln x ＋4lnx12.[2024江西南昌模拟]正数m ，n 满足m ＋n ＝5，则√m +1＋√n +3的最大值为（ ） A.2√5B.3√2C.6D.313.[多选/新高考卷Ⅰ]已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A.a 2＋b 2≥12B.2a －b ＞12C.log 2a ＋log 2b ≥－2D.√a ＋√b ≤√214.[天津高考]若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1ab的最小值为 .15.[角度创新/2024河北石家庄模拟]李老师在黑板上写下一个等式1（ ）＋4（ ）＝1，请同学们在两个括号内各填写一个正数，使得等号成立，哪个同学所填的两个数之和最小，则该同学获得“优胜奖”.小郭同学要想确保获得“优胜奖”，他应该在前一个括号内填上数字 .。
第4讲细胞中的糖类、脂质【基础自主梳理】一、细胞中的糖类1.组成元素：C、H、O。
2.分类及特点：根据是否能水解及水解成单糖的数量分为：(1)单糖：不能水解，可直接被细胞吸收，如葡萄糖、果糖、核糖等。
(2)二糖：两分子单糖脱水缩合而成，必须水解成单糖才能被吸收，常见种类有蔗糖、麦芽糖和乳糖。
(3)多糖：多个单糖脱水缩合而成，水解成单糖后才可被吸收。
常见的种类有植物细胞中的淀粉和纤维素，动物细胞中的糖原。
3.功能：细胞的主要能源物质，其中“生命的燃料”是指葡萄糖；组成生物体的重要成分，如纤维素是构成植物细胞壁的成分。
[思考感悟]糖类都是能源物质吗？提示：糖类是细胞中非常重要的一类有机化合物，其作用主要有以下几个方面：(1)作为生物体的结构成分：植物的根、茎、叶含有大量的纤维素、半纤维素和果胶物质等，这些物质是构成植物细胞壁的主要成分。
肽聚糖是细菌细胞壁的结构多糖。
昆虫和甲壳动物的外骨骼也是糖类，称壳多糖。
(2)作为生物体内的主要能源物质：糖类在生物体内(或细胞内)通过生物氧化释放出能量，供给生命活动的需要。
生物体内作为能源储存的糖类有淀粉、糖原等。
(3)在生物体内转变为其他物质：有些糖类是重要的中间代谢产物，糖类通过这些中间产物为合成其他生物分子如氨基酸、核苷酸、脂肪酸等提供碳骨架。
(4)作为细胞识别的信息分子：糖蛋白是一类在生物体内分布极广的复合糖。
它们的糖链可能起着信息分子的作用。
细胞识别、免疫、代谢调控、受精作用、个体发育、癌变、衰老、器官移植等都与糖蛋白的糖链有关。
二、细胞中的脂质1.组成元素：主要由C、H、O，有的还含有P和N。
2.分类：分脂肪、磷脂和固醇三类。
3.功能(1)脂肪是细胞内良好的储能物质，还有保温、缓冲和减压等作用。
(2)磷脂是构成细胞膜和多种细胞器膜的重要成分。
(3)固醇类物质包括胆固醇、性激素和维生素D等。
①胆固醇是构成细胞膜的重要成分，在人体内还参与血液中脂质的运输；②性激素能促进人和动物生殖器官的发育以及生殖细胞的形成；③维生素D能有效地促进人和动物肠道对钙和磷的吸收。
三年下册奥数试题-差倍问题姓名得分一、【名师解析】解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。
在一般问题下，它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。
当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量。
解答差倍应用题的基本数量关系是：差÷（倍数－1）=小数小数×倍数=大数或：小数+差=大数二、【例题精讲】【例1】光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。
参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？练习：城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人。
三年级和一年级各有多少人？【例2】仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。
仓库有大米和面粉各多少千克？练习：三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍多2人，已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？【例3】育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只，足球的只数是篮球的3倍。
足球、排球和篮球各买了多少只？练习：玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个，三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。
每个月各生产多少个？【例4】商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖重量相等。
商店原有红糖和白糖各多少千克？练习：甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍，从甲仓库运走720千克，从乙仓库运走120千克后，两个仓库所剩的面粉相等。
两个仓库原来各有面粉多少千克？【例5】甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本，从乙书架取出60本后，甲书架的本数是乙书架的3倍。
原来两个书架各有图书多少本？练习：甲、乙两人的存款相等，甲取出60元，乙存入20元后，乙的存款是甲的3倍。
第4讲找规律兴趣篇1．★找规律，填空：(1)2，6，10, 14, 18，22,___,___,34(2) 97, 88, 79, 70, 61,____,___,34;(3)___,___, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99.答案：（1）26、30；（2）52、43；（3）3、8解答：（1）相邻两项的差都等于4，所以横线上应该填上22+4=26,26+4=30：（2）数列的后一项总比前一项少9，所以61后的两项应为61-9=52,52-9=43(3)相邻两项的差是一个连续递的奇数数列，所以15与前一项的差为7，那么15的前一项应为15 -7=8．类似可知8与前一项之差为5，它的前一项为8-5=3．2．★找规律，填空：(1)1,1,2,3,5,8,13, 21,___,___,89;(2)___,___,12, 19, 31, 50, 81, 131, 212.答案：(1)34，55；(2)5.7解答：(l)教列从第3项起，每一项都为前两项之和．所以，横线上应填13 +21—34，21+ 34—55；(2)数列从第3项起，每一项都为前两项之和．所以，l数列的第2项为：19 -12=7；数列的第1项为12 -7=5．3．★★找规律，填空：(1)1，3，9，27，81,___,729.(2)l，4，9，16，25,___,___64.答案：(1) 243; (2) 36, 49解答：(1)数列的后一项都等于前一项乘以3，所以，横线上应填81×3—243;(2)方法一：相邻两项的差组成的数列是3，5，7，9，…正好是连续的奇数，则差的下两项应该是11、13.所以横线上应填25 +11=36，36 +13=49;方法二：发现1×1=1，2×2=4．3×3=9，4×4 =16，5×5= 25，所以横线上应填6×6=36，7×7=49.4．★★找规律，填空：(1) 40, 2, 37, 4, 34, 6, 31, 8,___,___25,12(2)1,2,2,4,3,8,4,16,5,___,___,64,7.答案：(1) 28, 10; (2) 32,6解答：(1)把这个数列分成两个数列来考虑，发现这个数列的奇数项组成的数列中，每一项都比前一项少3．偶数项组成的数列中，每一项都比前一项多2．所以横线上依次要填的数为31-3=28，8+2=10.(2)把这个数列分成两个数列来考虑，发现这个数列的奇数项是一个从1开始的连续自然数数列；偶数项组成的数列中，每一项都是前一项的2倍，所以横线上依次要填的数足16×2 = 32，5+1=6．5．★找规律，请在图4 -1中的空格内填入适当的数．答案：(1)13; (2)34解答：(1)方法一：发现每行中，相邻两项的差都等于4，每列中，下面的数都比上面的数大2．所以空格中应该填的数是9+4=13.方法二：按下面箭头方向，此数列是一个从1开始的连续奇数，所以空格中应该填13.（2）按下面箭头方向、此数列从第三项起、每一项都为前两项之和，所以空格中应该填13+21=346.★找规律，请在图4-2中的空格内填人适当的数．(1)┏━━━┳━━━┳━━━┳━━━┓┃ 18 ┃ 27 ┃ 39 ┃ 45 ┃┣━━━╋━━━╋━━━╋━━━┫┃ 35 ┃ 44 ┃ 56 ┃┃┗━━━┻━━━┻━━━┻━━━┛(2)┏━━━┳━━━┳━━━┓┃ 18 ┃ 3 ┃ 15 ┃┣━━━╋━━━╋━━━┫┃ 36 ┃ 15 ┃ 21 ┃┣━━━╋━━━╋━━━┫┃ 27 ┃┃ 15 ┃┗━━━┻━━━┻━━━┛答案：(1)62；(2)12解答：(1)发现每一列中，第2行的数比第1行的数都大17.所以第4列第2行的数为45 +17=62;(2)发现每一行中，左边第1个数是它右边两个数的和．所以空格中的数为27 -15=12.7．★★图4-3的表格中的数有一定的规律，请你按照规律填出空格中的数．答案：13, 55解答：如下图，把被箭头相连的数作为一组，那么数表中的数可以分为两组．第1组的数为1，3，5，7，9，11，？，15，17.这些数组成了一个从1开始的奇数数列，所以这一组的i“？”处应填13．第2组的数为：3，5，8，13，21，34，？，89, 144发现从第3项起，每一项都为前两项的和，所以这一组的“？”处应填的数为21+ 34=55.8．★★观察图4-4中各组图形的规律，填出空格处的图形．答案：(1)从一幅图到下一幅图，图中4个图案的位置按顺时针方向旋转一格．所以第4幅图即为第3幅图的图案按顺时针方向旋转一格；（2）先把手指数换成数字，如下图：从图中发现，每个表格中的三个格子中手指的个数满足下面的关系：右下+右上=左上；或右下-右上=左上，所以在第4幅图中，右下角的手指数应该有1+2=3（个）9.★★观察图4-5中四幅图的规律，画出D处的图形．答案：观察图形可知，从第2幅图起，每幅图的直线都是前一幅图的直线顺时针旋转45度得到的。
