2018年高考数学 考点一遍过 专题52 几何概型 理

考点五十 几何概型知识梳理1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3．几何概型的两个特点几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性． 4．几何概型与古典概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个．典例剖析题型一 与长度有关的几何概型例1 (2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________． 答案 35解析 在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.变式训练 (2015山东文)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为________． 答案 34解析 由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32. ∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝32－02－0＝34.解题要点 基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 题型二 与面积有关的几何概型例2 (2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.变式训练 (2015福建文)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案 14解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∴S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.解题要点 求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．题型三 与体积有关的几何概型例3 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 1－π12解析 点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. 变式训练 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.解题要点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．当堂练习1．(2015陕西文)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为________． 答案 14－12π解析 由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π.2．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________． 答案127解析 由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.3. 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为________． 答案 13解析 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.4．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为________． 答案 45解析 由(x ＋1)(x －3)≤0，得－1≤x ≤3.由几何概型得所求概率为45.5．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为__________． 答案 23解析 由3a －1＞0得a ＞13，由几何概型知P ＝1－131＝23.课后作业一、 填空题1．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间的概率为________． 答案 15解析 可以判断属于几何概型．记正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间为事件A ，那么正方形的边长为[5,7]内，则事件A 构成的区域长度是7－5＝2(cm)，全部试验结果构成的区域长度是10cm ，则P (A )＝210＝15.2．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是________． 答案310解析 这是一个与长度有关的几何概型．所求的概率P ＝(10，13)的区间长度(10，20]的区间长度＝310.3．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为________． 答案 23解析 由题意如图知点C 在C 1C 2线段上时分成两条线段围成的矩形面积小于32cm 2, ∴P ＝812＝23.4．如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．答案235解析 据题意得S 阴影S 矩形＝S 阴影2×5＝138300⇒S 阴影＝235.5．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率为________． 答案334π解析 设圆O 的半径为R ，“所投点落在△ABC 内”为事件A ，则P (A )＝34AB 2πR 2＝34(3R )2πR 2＝33. 6．一只蚂蚁在一直角边长为1cm 的等腰直角三角形ABC (∠B ＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A 点不超过1cm 的概率为________． 答案 2－ 2解析 如图，E 为斜边AC 上的点，且AE ＝1cm ，则蚂蚁应在线段AE 及边AB 上爬行，所求概率P ＝22＋2＝2－ 2. 7．(2015湖北文)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则________． 答案 p 1<12<p 2解析 在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12，xy≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S △ABO S 四边形OCDE ，p 2＝S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE，而12＝S △OEC S 四边形OCDE ，所以p 1<12<p 2.8．在区间[20,80]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50,75]内的概率为________． 答案512解析 选择区间长度度量，则所求概率为75－5080－20＝512.9．(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝______.答案 3解析 由图知要使|x |≤m 的概率为56，易得m ＝3.10． (2014·福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 几何概型与随机模拟实验的关系．由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18.∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.11．取一个边长为2a 的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．答案 π4解析 记“豆子落入圆内”为事件A ，则P (A )＝μA μΩ＝圆面积正方形面积＝πa 24a 2＝π4.二、解答题12．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．解析 (1)易知基本事件(a ，b )共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16，设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，a ，b ∈N *}，其面积为16. 设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为14×π×42＝4π.故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解析 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8. 因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π， 故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，所求概率为P 2＝S 2S ＝12.。

2018高考数学知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

∅注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂ （答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n ，22,12,12---n n n 非空真子集个数是真子集个数是非空子集个数是4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。

()），，·∴，∵·∴，∵（259351055550353322Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒≥--∉<--∈a aa M aa M5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝ 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 至少有一个为真、为真，当且仅当若q p q p ∨ 若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。

）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，A 中元素不可剩余，允许B 中有元素剩余。

） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？10. 如何求复合函数的定义域？ []如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_ []（答：，）a a -11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） ()()如：求函数的反函数f x xx xx ()=+≥-<⎧⎨⎪⎩⎪1002()()（答：）f x x x x x -=->--<⎧⎨⎪⎩⎪1110() 13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？[]（内层）（外层），则，（)()()(x f y x u u f y ϕϕ===∴……）15. 如何利用导数判断函数的单调性？()在区间，内，若总有则为增函数。

1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121()2log x +≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14 答案 A解析 由－1≤121()2log x +≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝32－02－0＝34.3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．4．(2017·南昌月考)一个边长为3π cm 的正方形薄木板的正中央有一个直径为2 cm 的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2 cm 的区域内的概率等于________． 答案 12解析 如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm 为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2 cm ，其中黑色区域面积为S 1＝S 正方形－4S 扇形－S 小圆＝(3π)2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点的距离都大于2 cm 的概率为P ＝S 19π－π＝4π8π＝12.5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310(2)(2017·太原调研)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________． 答案 (1)B (2)13解析 (1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)B (2)16解析 (1)如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.(2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n答案 C 解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn ，∴π＝4mn，故选C.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题 例3 (2016·武汉模拟)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB＝2－142＝78.命题点3 与定积分交汇命题的问题例4 (2015·福建)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案512解析 由题意知，阴影部分的面积S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝(4x －13x 3)|21＝53，所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)(2016·昌平模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( ) A.413 B.513 C.825 D.925(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．答案 (1)D (2)2e2解析 (1)作出平面区域D ，可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域．当点在△AEF 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2. ∴P ＝S △AEF S △ABC ＝12×6×312×10×5＝925.(2)由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|1＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形面积为e 2， 故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.题型三 与体积有关的几何概型例5 (1)(2016·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18 B.16 C.127 D.38(2)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.(2)当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．(2016·哈尔滨模拟)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．答案 23解析 如图，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，要使三棱锥S －APC 的体积大于V3，只需△APC 的面积大于△ABC 的面积的13.假设点P ′是线段AB 靠近点A 的三等分点，记事件M 为“三棱锥S －APC 的体积大于V3”，则事件M 发生的区域是线段P ′B . 从而P (M )＝P ′B AB ＝23.16．几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C.34D.78 错解展示解析 (1)∵∠C ＝90°，∠CAM ＝30°， ∴所求概率为3090＝13.(2)两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为12.答案 (1)13 (2)B现场纠错解析 (1)因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a ＝33.(2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ， 则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.答案 (1)33(2)C 纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积.1．(2016·佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．16.32B ．15.32C ．8.68D ．7.68 答案 A解析 设椭圆的面积为S ，则S4×6＝300－96300，故S ＝16.32.2．(2016·昆明三中、玉溪一中统考)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14 B.13 C.23 D.12 答案 D解析 以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB →＋PC →＝PD →， 因为PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12，故选D.3.(2016·菏泽一模)已知函数f (x )的部分图象如图所示，向图中的矩形区域内随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计ʃ10f (x )d x 的值约为( )A.61100B.39100 C.10100 D.117100答案 D解析 ʃ10f (x )d x 表示阴影部分的面积S . 因为S 3＝39100，所以S ＝117100.4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.5．(2017·武昌质检)如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0，1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π答案 B解析 根据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为ππππ44(sin cos )d (cos sin )|x x x x x -=--⎰＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.6.欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．答案49π解析 依题意，所求概率为P ＝12π·(32)2＝49π.7．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.9．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析 半圆区域如图所示．设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π. 10．(2017·大连月考)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案 23解析 正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－(－23)＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个， 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}， 满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}． 画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.12．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分． 所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.*13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P(A)＝A的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.。

立体几何热点一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解.【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝π4，O 为AB 边上一点，且3OB ＝3OC ＝2AB ，已知PO⊥平面ABC ，2DA ＝2AO ＝PO ，且DA∥PO. (1)求证：平面PBD⊥平面COD ；(2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值.(1)证明 ∵OB ＝OC ，又∵∠ABC ＝π4， ∴∠OCB ＝π4，∴∠BOC ＝π2.∴CO ⊥AB. 又PO ⊥平面ABC ， OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥OC.又∵PO ，AB ⊂平面PAB ，PO ∩AB ＝O ， ∴CO ⊥平面PAB ，即CO ⊥平面PDB. 又CO ⊂平面COD ， ∴平面PDB ⊥平面COD.(2)解 以OC ，OB ，OP 所在射线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设OA ＝1，则PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1.则C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴PD →＝(0，－1，－1)，BC →＝(2，－2，0)，BD →＝(0，－3，1). 设平面BDC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n·BC →＝0，n·BD →＝0，∴⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－3y ＋z ＝0，令y ＝1，则x ＝1，z ＝3，∴n ＝(1，1，3). 设PD 与平面BDC 所成的角为θ， 则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PD →·n |PD →||n| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×0＋1×（－1）＋3×（－1）02＋（－1）2＋（－1）2×12＋12＋32＝22211. 即直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值为22211. 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标.第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角.第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】 如图所示，在多面体A 1B 1D 1­DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F. (1)证明：EF∥B 1C.(2)求二面角E­A 1D ­B 1的余弦值.(1)证明 由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D⊂面A1DE，B1C⊄面A1DE，于是B1C∥面A1DE.又B1C⊂面B1CD1，面A1DE∩面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.(2)解因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD.以A为原点，分别以AB→，AD→，AA1→为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，12，1.设平面A1DE的一个法向量n1＝(r1，s1，t1)，而该面上向量A1E→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，A1D→＝(0，1，－1)，由n1⊥A1E→，n 1⊥A1D→得r1，s1，t1应满足的方程组⎩⎨⎧12r1＋12s1＝0，s1－t1＝0，(－1，1，1)为其一组解，所以可取n1＝(－1，1，1).设平面A1B1CD的一个法向量n2＝(r2，s2，t2)，而该面上向量A1B1→＝(1，0，0)，A1D→＝(0，1，－1)，由此同理可得n2＝(0，1，1).所以结合图形知二面角E­A1D­B1的余弦值为|n1·n2||n1|·|n2|＝23×2＝63.热点二立体几何中的探索性问题此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线、面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种解决方式：(1)根据条件作出判断，再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在.【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB ＝1，AD＝2，AC＝CD＝ 5.(1)求证：PD⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM∥平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.(1)证明 因为平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ， 所以AB⊥平面PAD ，所以AB⊥PD.又PA⊥PD，AB ∩PA ＝A ，所以PD⊥平面PAB. (2)解 取AD 的中点O ，连接PO ，CO. 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD.因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD.因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO. 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD.如图，建立空间直角坐标系O －xyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n·PD →＝0，n·PC →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0，令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2. 所以n ＝(1，－2，2).又PB →＝(1，1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n·PB →|n||PB→|＝－33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33. (3)解 设M 是棱PA 上一点，则存在λ∈[0，1]，使得AM →＝λAP →. 因此点M(0，1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ). 因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM∥平面PCD ，则BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0，解得λ＝14.所以在棱PA 上存在点M ，使得BM∥平面PCD ，此时AM AP ＝14. 【类题通法】(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 【对点训练】如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，DC ＝6，AD ＝8，BC ＝10，∠PAD ＝45°，E 为PA 的中点. (1)求证：DE∥平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF⊥DB？若存在，试求出二面角F －PC －D 的余弦值；若不存在，请说明理由.(1)证明 取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN⊥AB，垂足为点N.∵CN ⊥AB ，DA ⊥AB ，∴CN ∥DA ，又AB∥CD，∴四边形CDAN 为平行四边形， ∴CN ＝AD ＝8，DC ＝AN ＝6，在Rt △BNC 中，BN ＝BC 2－CN 2＝102－82＝6，∴AB ＝12，而E ，M 分别为PA ，PB 的中点， ∴EM ∥AB 且EM ＝6，又DC∥AB，∴EM ∥CD 且EM ＝CD ，四边形CDEM 为平行四边形， ∴DE ∥CM.∵CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ， ∴DE ∥平面BPC.(2)解 由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ， 则A(8，0，0)，B(8，12，0)，C(0，6，0)，P(0，0，8). 假设AB 上存在一点F 使CF⊥BD， 设点F 坐标为(8，t ，0)，则CF →＝(8，t －6，0)，DB →＝(8，12，0)， 由CF →·DB →＝0得t ＝23.又平面DPC 的一个法向量为m ＝(1，0，0)， 设平面FPC 的法向量为n ＝(x ，y ，z). 又PC →＝(0，6，－8)，FC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－8，163，0. 由⎩⎪⎨⎪⎧n·PC →＝0，n·FC →＝0，得⎩⎨⎧6y －8z ＝0，－8x ＋163y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝34y ，x ＝23y ， 不妨令y ＝12，有n ＝(8，12，9).则cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝81×82＋122＋92＝817.又由图可知，该二面角为锐二面角， 故二面角F －PC －D 的余弦值为817.热点三 立体几何中的折叠问题将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称为立体几何中的折叠问题，折叠问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题，考查学生的空间想象力和分析问题的能力.【例3】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：D′H⊥平面ABCD ； (2)求二面角B －D′A－C 的正弦值.(1)证明 由已知得AC⊥BD，AD ＝CD. 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD，故AC∥EF. 因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3. 于是D′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D′O 2，故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H ， 所以D′H⊥平面ABCD.(2)解 如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H －xyz. 则H(0，0，0)，A(－3，－1，0)，B(0，－5，0)，C(3，－1，0)，D ′(0，0，3)，AB →＝(3，－4，0)，AC →＝(6，0，0)，AD ′→＝(3，1，3). 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD′的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m·AB →＝0，m·AD′→＝0，即⎩⎨⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4，3，－5).设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD′的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n·AC →＝0，n·AD′→＝0，即⎩⎨⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3，1). 于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝－1450×10＝－7525.sin 〈m ，n 〉＝29525. 因此二面角B －D′A－C 的正弦值是29525.【类题通法】立体几何中的折叠问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.【对点训练】如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)证明：CD⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值. (1)证明 在题图1中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE⊥AC.即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 从而BE⊥平面A 1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A 1OC. (2)解 由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，OB →，OC →，OA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22，－22，CD →＝BE →＝(－2，0，0). 设平面A 1BC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎨⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1，1，1)；⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎨⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63， 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63.。

几何概型【考点梳理】1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).【考点突破】考点一、与长度(角度)有关的几何概型【例1】(1)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34(2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．[答案] (1)B (2)13[解析] (1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.(2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′.依题意，点P ′在上任何位置是等可能的，且射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点P ′在上发生”．又在Rt △ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π6.故所求事件的概率P ＝＝π6·1π2·1＝13.【类题通法】1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．(1)第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求P ＝12.(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 【对点训练】1．设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )A.34B.12C.13D.35[答案] B[解析] 作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在上运动时，弦长|AB |＞2R ，∴P ＝＝12.2．在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．[答案] 34[解析] 由直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，得|5k |k 2＋1<3， 即16k 2<9，解得－34<k <34.由几何概型的概率计算公式可知P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝34.考点二、与面积有关的几何概型【例2】从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2nm C.4m n D.2m n[答案] C[解析] 因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4m n . 【例3】在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( ) A.14 B.316C.916D.34[答案] D[解析] 由x ，y ∈[0，4]可知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分．易知A (4,2)，S 正方形＝16，S 阴影＝(2＋4)×42＝12. 故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34.【类题通法】1. 与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.2．解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解. 【对点训练】1．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( )A.π3 B ．π C ．2π D ．3π[答案] D[解析] 设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S ′＝π·32＝9π. 由几何概型的概率得S S ′＝13，则S ＝3π. 2．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π D.14－12π[答案] D[解析] |z |＝(x －1)2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时，y ≥x 表示的是图中阴影部分．∵S 圆＝π×12＝π， S 阴影＝π4－12×12＝π－24.故所求事件的概率P ＝S 阴影S 圆＝π－24π＝14－12π.考点三、与体积有关的几何概型【例3】在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6[答案] B[解析] 设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A .则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部． ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝23π.∴P (A )＝23－23π23＝1－π12.【类题通法】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解． 【对点训练】如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率为________.[答案] 12[解析] 设四棱锥M -ABCD 的高为h ，由于V 正方体＝1. 则13·S ABCD ·h ＜16， 又S ABCD ＝1，∴h ＜12， 即点M 在正方体的下半部分， ∴所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.。

高中课程复习专题——数学立体几何一空间几何体㈠空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。

其中，这条直线称为旋转体的轴。

㈡几种空间几何体的结构特征1 棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2 棱柱的分类1.3 棱柱的性质⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形；⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。

1.4 长方体的性质⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12⑵ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的三条棱所成 的角分别是α、β、γ，那么：cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2⑶ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则：cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 2 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 11.5 棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。

1.6 棱柱的面积和体积公式S 直棱柱侧面 = c ·h (c 为底面周长，h 为棱柱的高) S 直棱柱全 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 圆柱的结构特征2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。

2018 年普通高中数学学业水平测试知识点大全【必修一】一、 集合与函数概念 并集：由集合 A 和集合 B 的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。

记作： A ∪B 交集：由集合 A 和集合 B 的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作： A ∩B补集：就是作差。

1、集合 a 1,a 2,...,a n 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1个；非空子集有 2n–1 个；非空的真 子有 2n–2 个.2、求 y f(x)的反函数：解出 x f 1(y)， x, y 互换，写出 y f 1(x)的定义域；函数图象关于 y=x 对称。

3、( 1)函数定义域：①分母不为 0；②开偶次方被开方数 0；③指数的真数属于 R 、对数 的真数 0. 4、函数的单调性： 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1，x 2，当 x 1<x 2 时，都有 f(x 1)<( )f(x 2) ，那么就说 f(x) 在区间 D 上是增(减)函数，函数的单调性 是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。

5、奇函数： 是 f(- x)= - f (x) ，函数图象关于原点对称(若 x 0 在其定义域内，则 f (0) 0 )；偶函数： 是f(- x)= f (x ) ，函数图象关于 y 轴对称。

6、指数幂的含义及其运算性质：1)函数 y a x(a 0且a 1) 叫做指数函数。

2) 指数函数 y a x(a 0,a 1)当 0 a 1 为减函数，当 a 1为增函数； ① a r a s a r s；② (a r )s a rs ；③ (ab)r a r b r(a 0,b 0,r,s Q) 。

3) 指数函数的图象和性质0a1(1) 定义域：R (2)值域：( 0，+∞)(3)过定点( 0， 1)，即 x=0 时， y=1( 4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数(5) x 0,a 1; xx 0,0 a 1(5) x 0,0 a x1;xx 0,a 1a17、对数函数的含义及其运算性质：1)函数 y log a x(a 0,a 1) 叫对数函数。

第三节 几何概型【考点点知】知己知彼，百战不殆几何概型是新课标新增添内容，所以高考在考查上可能会有所侧重，当然由于课时所限，也不会占分太多，由于几何命题的空间较为广阔,因而此部分的考题也相当的丰富．复习时应理解好基本概念，注意培养用几何度量来理解概率问题的习惯．考点一: 几何概型公式 1.随机地向正方形内投点，此点落在阴影区域的数目与落在正方形中的数目的比等于阴影区域的面积与正方形面积的比，即P （点落在阴影区域）=阴影区域面积整个区域面积.由此可以看到点落在阴影区域的概率只与阴影区域的面积成正比，而与阴影区域的位置和形状没有关系，满足上述条件的试验称为几何概型.2.几何概型的概率公式为：P （A ）=构成事件A 的区域面积试验构成的整个区域面积.考点二: 几何概型公式的推广1.对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这个区域可以是线段、角、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型. 也只因为区域中每一点被取到的机会都一样（等可能性），某个事件发生的概率才只与构成该事件区域的“长度”成比例.2.几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A .3.很多概率问题可以归结为几何概型.对于几何概型,随机事件A 的概率P (A )与表示它的区域(面积、长度或体积)成正比,而与区域的位置和形状无关.只要表示两个事件的区域有相同的长度、面积或体积,不管它们的位置和形状如何,这两个事件的概率一定相等.由此可知,利用公式求概率的关键在于求解产生指定范围内的随机数或指定范围内的面积、体积、长度等的计算.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007山东临沂期中,4)设点A 是圆O 上一定点，点B 是圆O 上的动点，6,πθθ≤则的概率为（ ）A ．61 B ．41 C ．31 D ．21 思路透析:如右图所示,当点B 在劣弧 CD上运动时, 6AO AB πθ≤ 与的夹角为,此时∠DOC=22263ππ⨯⨯=,则6πθ≤的概率 2323R CD P R πππ==劣弧长=圆周长, 故应选C.点评:在本题中，构造几何图形，找出两“弧长”，套用几何概型公式.此类几何概型题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率.例2.(基础·2007海南模)如图，60AOB ∠=，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，则AOC ∆为钝角三角形的概率是____________.思路透析:如图，由平面几何知识： 当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形 记”AOC ∆为钝角三角形”为事件M ，则11()0.45OD EB P M OB ++===即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．点评:求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.例3.(综合·2007南城期末)二次方程02=++bx a x )2,0(,(∈b a ）的两根都是实数的概率为 ( )A 41 B.31 C .21D. 1思路透析:由题意得:0≥-=∆b a又[]2,0,∈b a ∴结合图形得21=P ,故选点评:本题考查了几何概率模型，先由二次方程x ）的两根都是实数，由判别式0≥-=∆b a 得出 a,b 的关系式，转化为几何概率模型,利用线性规划求面积当作“测度”求其概率.例4.(综合·2007灌云期末)在线段[0,a ]上随机地取三个点，则由点O 至三个点的线段能够成一个三角形的概率为 .思路透析:令A =“三线段能构成一个三角形”. 设三线段各长为x ,y ,z ,则每一个试验结果可表示 为:(x ,y ,z ),0≤x ,y ,z ≤a ,所有可能的结果组成集合 Ω={(x ,y ,z )|0≤x ,y ,z ≤a }.因为三线段构成一个三角形的条件是:x +y >z,x +z >y ,y +z >x ; 所以事件A 构成集合A ={(x ,y ,z )|x +y >z ,x +z >y ,y +z >x ,0≤x ,y ,z ≤a }，表示一个以O 、A 、B 、C 、D 为顶点的六面体，其体积等于a 3－3·31·22a ·a =21a 3.a从而P (A )=的体积的体积ΩA =3321aa=0.5.点评:在必修2中我们学习了空间直角坐标系,本题中引入了三个随机变量,其变量的轨迹为正方体,而符合条件的随机事件为六面体,该几何概型为的概率为两个几何体的体积之比.你还能用其它方法解决这一问题吗?例5.(创新探究·2007海南模)已知实数,a b 满足11,11a b -≤≤-≤≤，则方程220x ax b -+=有实数解的概率为 （ ）A14 B 12 C 23 D 34思路透析:因为方程220x ax b -+=有实数解， 所以2440,a b =-≥ 即2b a ≤; 又11,11a b -≤≤-≤≤，则满足条件的点012S P S ==所表示的平面区域为如图阴影部分,所以所求的概率属于几何概率,而阴影面积为1231000182(1)2(1)33S a da a =+=+=⎰;而224S =⨯=.所以023S P S ==. 故选C.点评:解决此类问题时，首先根据条件，列出相应表达式,根据结构和形式可判断出这类概率属几何概率,在条件范围内画出相应图形,算出相应面积求其比值即可.考查了考生对一元二次方程的实根分布、几何概型、线性规划等知识的掌握,解决实际问题的能力及创新意识.例5.(创新探究·2007宁夏卷文科20)设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．思路透析:设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)，，，，，，，，，，(12)(20)(21)，，，，，， (22)(30)(31)(32)，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==．（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥． 所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．点评:本题中不少考生将区域约束条件不等式列式错误,导致平面区域的面积求解出现偏差.在几何概型问题的分析中,试验的构成区域决定着概率运算的正确性,因而列式时要注意范围列式中边界值的确定依据.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)几何概型的两个特征:①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的区域来表示. ②每次试验的各种结果是等可能的(2)几何概型公式的应用需说明以下几点：①公式中的“长度”并不是实际意义上的长度，有些书上把它叫做“测度”，测度的意义依试验的全部结果构成的区域而定，当区域分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等；②当试验的全部结果所构成的区域长度一定时，A 的概率只与构成事件A 的区域长度有关，而与A 的位置和形状无关.如图所示.A2.学以致用:(1)面积为S 的△ABC ，D 是△ABC 内部任一点,那么2DBC SS ∆>的概率为（ ）. A.13B.12 C.14 D.16 (2)在圆心为90o的扇形OAB 中,以圆心O 为起点任作射线OC ,OD ,则使得30o AOC BOD ∠+∠<的概率是( )A.13 B.16 C.118 D.136(3)取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是.A.21 B.31 C.41D.不确定 (4)已知实数,a b 满足11,11a b -≤≤-≤≤，则方程2220x ax b -+=有实数解的概率为 .答案:(1)C 解析:如右图所示,当且仅当点D 在AMN ∆ 内(MN 为ABC ∆中BC 边上的中位线).则2DBC S S ∆>的概率1144AMN ABCSS P S S ∆∆===,故应选C ． (2)A 解析:事件30oAOC BOD ∠+∠<构成的测度为角度6π, 所求概率为1632P ππ==.(3) 记“剪得两段绳长都不小于1 m ”为事件A ，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31，所以事件A 发生的概率P（A ）=31. 故应选B.(4)12解析:因为2220x ax b -+=方程有实数解，所以22440a b =-≥ 即220a b -≥; ∴()()0a b a b +⋅-≥.即0,0,a b a b +⎧⎨-⎩≥≥ 或0,0.a b a b +⎧⎨-⎩≤≤又11,11a b -≤≤-≤≤， 则满足条件的点(,)P a b 所表示的 平面区域为如图阴影部分,所以所求的概率属于几何概率, 而阴影面积为02,S =而4S =,所以012S P S ==.3.易错分析:(1)解几何概型的试题时，尤其是与平面几何相关的作图问题时，一定要明确指定作图的路径,选择正确的测度,不同测试的选择其结果往往不相同..(2)理解题意“出错”，对“测度的值”没有弄清,利用几何概型处理相关问题时，等可能性是非常重要的，同时对表示事件的区域的确定也是非常重要的(3)解题过程中的概率通过长度或面积等来计算,但有注意的问题是在同一个问题中的两个测度必须是一致的.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.在500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,发现草履虫的概率为（ ）A.0B.5001C.2501 D.1 2.在区间(0，L )内任取两点，则两点之间的距离小于3L的概率为( )A. 13B. 23C. 49 D.953.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形.这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为（ ）A.8136 B.3612C.8112D.41 4.如图，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN的概率为（ ）A ．15 B ．14 C ．13 D ．125.向右图中所示正方形内随机地投掷飞标,飞标落在阴影部分的概率为（ ）A.41 B.3625C.14425D.16.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[)85.4,8.4（ g ）范围内的概率是（ ）A 0.62B 0.38C 0.02D 0.68二、填空题:7.在等边三角形ABC 内任意取一点P ，A 、B 、C 中至少存在一点与P 的距离不大于三角形边长的一半的概率是 .8.公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，乘客候车不超过3 min 的概率为 .9.已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内任取点M ，则使点M 到底面ABC ∆的距离小于2h的概率为 . 10.在ABC ∆中， 45,60=∠=∠C B ，高3=AE ，在BAC ∠内作射线AM 交BC 于M ，则BM ＜1的概率为 .三、解答题:11.如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率.12.在地面上画一正方形框，其边长为一枚硬币半径的4倍，向框中投硬币（硬币完全落在正方形外的不计），试求硬币与正方形框相交的概率．13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.14.如左下图,在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.【能力训练】参考答案 一、选择题:1. C2. D3. D4. D5. C6. C 二、填空题:7..8. 0.6 9. 87 10. 25三、解答题:11.解法一: 用计算机随机模拟这个试验，步骤如下:(1)用计数器n 记录做了多少次投飞镖的试验，用计数器m 记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置n =0,m =0.(2)用函数rand( )*4－2产生一个－2～2的随机数x 、y ，x 表示所投飞镖的横坐标，y 表示所投飞镖的纵坐标.(3)判断(x ,y )是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x |<1,|y |<1,如果是则m 的值加1，即m =m +1；否则m 的值保持不变.(4)表示随机试验次数的记录器n 加1，即n =n +1.如果还需要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束.程序结束后飞镖投在小正方形发生的频率nm作为概率的近似值. 解法二:用几何概型概率计算公式得P =大正方形小正方形S S =41.12.解析:这是一道二维几何概型问题，设硬币半径为r ， 则正方形框的边长为r 4，将硬币视为一几何点， 则问题转化为：以正方形上任一点为圆心，与圆心距 离小于等于r 的平面区域是有利场合的测度d ， 而正方形的面积加上有利场合中正方形外的测度 就是基本事件空间的测度D ，于是3228])4()4(4[)2(])4()4(4[22222++=+⨯⨯+-+⨯⨯+=ππππr r r r r r r r r D d . 13.解析:这是一个几何概率问题.设甲、乙两艘船到达码 头的时刻分别为x 与y ，A 为“两船都需要等待码头空 出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24,要使两船都不需要等待码 头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早 到达2 h 以上,即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ={(x ,y ):y －x ≥1或x －y ≥2,x ∈[0,24],y ∈[0,24]}. A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24 的正方形.由几何概率定义，所求概率为 P (A )=的面积的面积ΩA =2222421)224(211)(24⨯-+⨯－=5765.506=0.87934. 14.解析:设三条线段的长度分别为x 、y ,1－x －y ,则⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<,110,10,10y x y x 即⎩⎨⎧+-<<<<.10,10x y x 在平面上建立如右上图所示的直角坐标系,直线x =0,x =1,y =0,y =－x +1围成如右上图所示的三角形区域G ,每一对(x ,y )对应着G 内的点(x ,y ).由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.三条线段能构成三角形当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>->--->+,1,1,1y y x x y x y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+->.21,21,21y x x y 因此图中的阴影区域g 就表示“这三条线段能构成三角形”.容易求得g 的面积为81,G 的面积为21,由几何概型的概率计算公式,“这三条线段能构成三角形”的概率 P (这三条线段能构成三角形)=的面积的面积G g =41.。

解析几何热点一 圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型.【例1】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1D.x 2－y 23＝1(2)若点M(2，1)，点C 是椭圆x 216＋y 27＝1的右焦点，点A 是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值为________.(3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线y 2＝2px(p ＞0)有相同的焦点F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点，若直线PQ 经过焦点F ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为________.答案 (1)D (2)8－26 (3)2－1解析 (1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点为F(2，0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意得2ba 2＋b2＝3，② 联立①②解得b ＝3，a ＝1， 所求双曲线的方程为x 2－y23＝1，选D.(2)设点B 为椭圆的左焦点，点M(2，1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a ＝4，|BM|＝（2＋3）2＋1＝26，所以(|AM|＋|AC|)最小＝8－26.(3)因为抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设椭圆另一焦点为E.如图所示，将x ＝p 2代入抛物线方程得y ＝±p，又因为PQ 经过焦点F ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 且PF⊥OF.所以|PE|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋p 2＝2p ， |PF|＝p ，|EF|＝p. 故2a ＝2p ＋p ，2c ＝p ，e ＝2c2a＝2－1.【类题通法】(1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题. (2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果.【对点训练】已知椭圆x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A ，B 两点，以下结论：①△ABF 2的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB|＝83.其中正确结论的个数为( ) A.3 B.2C.1D.0答案 A解析 ①由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝4，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB|，所以△ABF 2的周长为|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，故①正确；②由条件，得F 1(－2，0)，因为过F 1且倾斜角为45°的直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋2，则原点到l 的距离d ＝|2|2＝1，故②正确；③设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 24＋y 22＝1，得3x 2＋42x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－423，所以|AB|＝1＋1·|x 1－x 2|＝83，故③正确.故选A. 热点二 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.【例2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上.(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. (1)解 由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0，b ≠0)， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x M ，y M ). 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【类题通法】解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值. 第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论. 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论.【对点训练】已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点.(1)解 因为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x.(2)证明 ①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t .因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，联立得⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0. 根据根与系数的关系得y A y B ＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.所以y A y B ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ， 即y ＝k(x －8).综上所述，直线AB 过定点(8，0). 热点三 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.【例3】平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D.直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. ①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标.(1)解 由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m>0)，由x 2＝2y ，可得y′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m(x －m).即y ＝mx －m 22.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0).联立方程⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m<2＋5(或0<m 2<2＋5).(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1），因为y 0x 0＝－14m. 所以直线OD 方程为y ＝－14mx ，联立方程⎩⎨⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上.②由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝⎛⎭⎪⎫0，－m 22，又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1）， 所以S 1＝12·|GF|·m ＝（m 2＋1）m4，S 2＝12·|PM|·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1）.所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2.设t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2，当1t ＝12， 即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94，此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.【类题通法】圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值. 【对点训练】如图，设抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|－1. (1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F(1，0)， 可设A(t 2，2t)，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s≠0)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0.故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2tt 2－1， 故直线FN 的斜率为－t 2－12t，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M(m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m ＝2t ＋2t t 2－t 2＋3t 2－1， 于是m ＝2t 2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞). 热点四 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立.涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题.【例4】已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由. (1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0，b ≠0)， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x M ，y M ).将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kbk 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k ，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)解 四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x.设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎨⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m2得x 2P＝k 2m 29k 2＋81，即x P＝±km 3k 2＋9.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m 3（k 2＋9）.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M .于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9）， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1，2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形.【类题通法】(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 【对点训练】在平面直角坐标系xOy 中，过点C(2，0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). (1)求证：y 1y 2为定值；(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由. (1)证明 法一 当直线AB 垂直于x 轴时， y 1＝22，y 2＝－2 2. 因此y 1y 2＝－8(定值). 当直线AB 不垂直于x 轴时， 设直线AB 的方程为y ＝k(x －2)， 由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y 2＝4x ，得ky 2－4y －8k ＝0. ∴y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8为定值.法二 设直线AB 的方程为my ＝x －2， 由⎩⎨⎧my ＝x －2，y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0. ∴y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8为定值. (2)解 设存在直线l ：x ＝a 满足条件， 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋22，y 12，|AC|＝（x 1－2）2＋y 21. 因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC|＝12（x 1－2）2＋y 21＝12x 21＋4， 又点E 到直线x ＝a 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋22－a 故所截弦长为 2r 2－d 2＝214（x 21＋4）－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋22－a 2 ＝x 21＋4－（x 1＋2－2a ）2＝－4（1－a ）x 1＋8a －4a 2.当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x ＝1.。

专题51 古典概型（1）理解古典概型及其概率计算公式.（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.一、基本事件在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件.基本事件有如下特点：（1）任何两个基本事件是互斥的.（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.二、古典概型的概念及特点把具有特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.三、古典概型的概率计算公式() P AA事件包含的基本事件数试验的基本事件总数.四、必记结论（1）古典概型中的基本事件都是互斥的．（2）在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视它们是否是等可能的．考向一 古典概型的概率求解1.求古典概型的基本步骤： (1)算出所有基本事件的个数n . (2)求出事件A 包含的所有基本事件数m . (3)代入公式()mP A n=，求出P (A )． 2.求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件.基本事件的表示方法有列举法、列表法、树状图法和计数原理法，具体应用时可根据需要灵活选择3.对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.4.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.典例1 一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为、、x y z ，当且仅当,y x y z >>时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{}1,2,3,4中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为A ．23 B ．13 C ．16D ．112【答案】B典例2 某校高一、高二、高三分别有400人、350人、350人.为调査该校学生的学习情况,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本.已知从高一的同学中抽取8人. (1)求样本容量n 的值和从高二抽取的人数；(2)若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动,已知高二被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选中的概率. 【解析】(1)由题意可得8400350350400n =++,解得22n =,从高二抽取83507400⨯=人.从这7位同学中任选2人,有女生的有:{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F ,{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,A G B C B D B E B F B G 共 11 种, 故至少有1名女同学被选中的概率为1121.1．在1,2,3,4中任取2个不同的数,则这2个数的和小于5的概率为 ．2．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,与此同时,相关管理部门推出了针对电商商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品好评率为3,5对服务好评率为3,4其中对商品和服务都做出好评的交易为80次． (1)是否可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关?(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率． 注:()()()()()22,其中n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.考向二 用随机模拟估计概率用随机模拟估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果，然后按实际需要将所得的随机数分为若干个一组（比如试验要求随机抽取三个球就三个数据一组），明晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组，即可求解概率.典例3 已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示命中靶心,4,5,6,7,8,9表示未命中靶心,再以每三个随机数为一组,代表三次打靶的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数: 321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 388 230 113 507 965 据此估计,小李三次打靶恰有两次命中的概率为 A ．0.25 B ．0.30 C ．0.35 D ．0.40【答案】B3．袋子中有四个小球，分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字，从中任取一个小球，取到“丙”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 21 34 据此估计，直到第二次就停止的概率为A．15B．14C．13D．121．甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为A．13B．23C．16D．562．现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为A．110B．25C．12D．7103．袋中共有6个除颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两个球,则两个球的颜色为一白一黑的概率等于A．15B．25C．35D．454．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：137 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A．0.40 B．0.30C．0.35 D．0.255．某车间共有6名工人,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.从该车间6名工人中,任取2名,则至少有1名优秀工人的概率为A ．815 B ．49 C ．35D ．196．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为A ,从集合A 中任取一个元素a ,则函数[),0,a y x x =∈+∞是增函数的概率为A ．37 B ．45 C ．35D ．347．2017年1月18日支付宝集福活动又来了,假定每次扫福都能得到一张福卡(福卡一共有五种:爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),且得到每一种类型福卡的概率相同,若小张已经得到了富强福、和谐福、友善福,则小张再扫两次可以集齐五福的概率为___________.8．已知集合A ={-2,3,5,7},从A 中随机抽取两个不同的元素a ,b ,作为复数z =a+b i(i 为虚数单位)的实部和虚部.则复数z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率为___________.9．某中学有一调查小组为了解假期期间本校学生白天在家的时间情况,从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天在家的时间(在家时间超过4小时的就认为具有“宅”属性,否则就认为不具有“宅”属性).采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,若从这6人中随机选取3人做进一步的调查,则选取的3人中至少有1名女生的概率为___________.10．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2016年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们按年龄分成6段[)[)[)[)[)[]:20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,80后得到如图所示的频率分布直方图.(l)计算这40名广场舞者中年龄分布在[)40,70的人数;(2)若从年龄在[)20,40中的广场舞者任取2名,求这两名广场舞者中恰有一人年龄在[)30,40的概率.11．某市为了了解高三学生的身体综合素质,从甲、乙两所学校(两所学校的高三学生人数均按365计算)各抽取20名学生的数据作为样本,将综合素质分进行统计,如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).总分在35分以下(不包括35分)的为需要加强训练的学生;35~75分之间的为需要提高训练的学生;75分以上(不包括75分)的为运动健儿.(1)以这20名学生的身体综合素质分来估计全校365名高三学生的身体状况,则甲、乙两所学校中分别约有多少名需要加强训练和需要提高训练的高三学生?(2)从两所学校共抽取的40名高三学生中综合素质分在[60,80]内的学生中随机抽取2名,求抽取的2名高三学生均为运动健儿的概率.1．（2017山东理科）从分别标有1，2， ，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A．518B．49C．59D．791．【答案】132．【解析】(1)由题意可得关于商品评价和服务评价的22⨯列联表:计算得2K 的观测值为()22008010407011.11110.828,1505012080k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关．(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,则好评的交易次数为3次,不满意的次数为2次,令好评的交易为,,,A B C 不满意的交易为,a b . 从5次交易中,取出2次的所有取法为()()(),,,,,A B A C A a ,()()(),,,,,A b B C B a ,()(),,,B b C a ,()(),,,C a a b ，共计10种情况．其中只有一次好评的情况是()()()()()(),,,,,,,,,,,,A a A b B a B b C a C b 共计6种情况． 因此,只有一次好评的概率为63105=． 3．【答案】B【解析】由题意知在20组随机数中表示第二次就停止的有13 43 23 13 13，共5组随机数，故所求概率为51204P ==.1．【答案】A【解析】甲、乙两人参加三个不同的学习小组共包含9个基本事件, 其中两人参加同一个小组包含3个基本事件()()(),,,,,A A B B C C , 则所求概率为3193P ==.故选A ． 2．【答案】C【解析】共有10个几何体,其中旋转体有5个,所以从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为51102=. 3．【答案】B4．【答案】B【解析】由题意，得在20组模拟数据中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的数据有137、191、271、932、812、393，共6个数据，则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为60.3020=.故选B ． 5．【答案】C【解析】依题意,平均数()20603079156x ++++++==22,故只有2名优秀工人,从中任取2名共有26C =15(种)情况,其中至少有1名优秀工人的情况有26C -24C =9(种),故至少有1名优秀工人的概率为P =93155=. 6．【答案】C 【解析】该程序的运行过程如下:x =-3,输出3;2y x ==-,输出0;1y x ==-,输出1;0y x =-=,输出0;1y x ==,输出3;2y x ==,输出8;3y x ==,输出y =15,程序结束,故A ={3,0,-1,8,15},其中有3个元素可使得函数[),0,ay x x =∈+∞是增函数, 故所求概率为35. 7．【答案】种,根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为P (M )=.8．【答案】12【解析】从集合A ={-2,3,5,7}中随机抽取两个不同的元素a ,b ,组成复平面内的对应点有(-2,3),(-2,5),(-2,7),(3,-2),(3,5),(3,7),(5,-2),(5,3),(5,7),(7,-2),(7,3),(7,5),共12种; 其中位于第一象限的点有(3,5),(3,7),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5),共6种. 所以复数z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率为P =61122=.故填12. 9．【答案】45【解析】记事件M 为“选取的3人中至少有1名女生”,则事件M 为“选取的3人都是男生”.采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,其中男生有4人,编号分别为a ,b ,c ,d ,女生有2人,编号分别为A ,B ．从6人中随机选取3人的基本事件有{a ,b ,c },{a ,b ,d },{a ,b ,A },{a ,b ,B },{a ,c ,d },{a ,c ,A },{a ,c ,B },{a ,d ,A },{a ,d ,B },{a ,A ,B },{b ,c ,d },{b ,c ,A },{b ,c ,B },{b ,d ,A },{b ,d ,B },{b ,A ,B },{c ,d ,A },{c ,d ,B },{c ,A ,B },{d ,A ,B },共20个. 事件M 所含的基本事件分别为{a ,b ,c },{a ,b ,d },{a ,c ,d },{b ,c ,d },共4个, 所以事件M 的概率为P (M )=41205=, 所以事件M 的概率为P (M )=1-P (M )=1-1455=.()()()232434,,,,,,b b b b b b其中恰有1人在[)30,40的有8种,故这两名广场舞者中恰有一人年龄在[)30,40的概率为815p =. 11．【解析】(1)从甲、乙两所学校中各抽取的20名高三学生的身体综合素质分中可得,甲学校有15名需要加强训练和需要提高训练的高三学生,乙学校有16名需要加强训练和需要提高训练的高三学生. 由样本估计总体知,甲学校中需要加强训练和需要提高训练的高三学生人数为365×=273.75≈274,乙学校中需要加强训练和需要提高训练的高三学生人数为365×=292.(2)在抽取的40名高三学生的样本数据中,身体综合素质分在[60,80]内的有6名,而身体综合素质分在(75,80]内的有3名,分别记为D 1,D 2,D 3,身体综合素质分在[60,75]内的有3名,分别记为d 1,d 2,d 3, 则从这6名高三学生中随机抽取2名共有15种结果:(D 1,D 2),(D 1,D 3),(D 2,D 3),(d 1,d 2),(d 1,d 3),(d 2,d 3),(D 1,d 1),)=.1．【答案】C【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.。