【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第二章平面解析几何初步教案苏教版必修22．1直线与方程2．1.1 直线的斜率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率概念及他们间的关系．(2)经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2．过程与方法(1)通过教学，使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜率的过程，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想．(2)充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想．3．情感、态度与价值观(1)通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．●重点难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式．难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程．重难点突破：从学生熟知的概念“坡角”入手，充分利用学生已有的知识，引导学生把这个刻画倾斜程度的量与斜率联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的计算公式，难点之一得以解决；然后以确定直线位置的几何要素为切入点，采用数形结合思想给出直线倾斜角的概念，并分析斜率同倾斜角的关系，从而化难为易，突破难点．(教师用书独具)●教学建议鉴于本节知识概念抽象、疑难点较多的特点，教学时，可采用观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法，把概念化抽象为直观，突出概念的形成过程，另在直线斜率公式教学的导出过程中，应渗透几何问题代数化的解析几何研究思想．引导帮助学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生进一步体会“数形结合”的思想方法．●教学流程创设问题情境，引出问题：直线位置的倾斜程度如何刻画？⇒引导学生通过观察、思考，类比坡度给出斜率的计算方式．⇒通过引导学生回答所提问题理解倾斜角的概念及斜率与倾斜角的关系．⇒借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成例3及其变式训练，使学生的知识进一步深化．⇒通过例2及其变式训练，使学生理解直线的倾斜角同斜率的关系．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线的斜率公式．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．(见学生用书第38页)课标解读1.理解直线的倾斜角和斜率的概念及它们之间的关系．(难点)2．掌握过两点的直线斜率计算公式．(重点)3．了解直线的倾斜角的范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．(易错点)直线的斜率【问题导思】如图，楼梯或路面的倾斜程度可用坡度来刻画．1．平面直角坐标系中，过点P (1,1)，Q (3,3)的直线，其倾斜程度如何刻画？ 【提示】 其倾斜程度如图所示，可用3－13－1＝1来刻画．2．对于平面直角坐标系中，过点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的倾斜程度如何刻画？【提示】 可用y 2－y 1x 2－x 1来刻画． 已知两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，如果x 1≠x 2，那么直线PQ 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，如果x 1＝x 2，那么直线PQ 的斜率不存在．直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.倾斜角α的范围为0°≤α<180°.直线的斜率与倾斜角的关系【问题导思】观察下图中的三条直线l 1、l 2和l 3，回答下列问题．1．直线l 1的斜率k 1与其倾斜角α1间存在怎样的等量关系？ 【提示】 k 1＝tan α1 2．直线l 3的斜率存在吗？ 【提示】 不存在．3．直线的斜率为正时，其倾斜角范围如何？直线的斜率为负时呢？【提示】 当直线的斜率为正时，其倾斜角α的范围为(0°＜α＜90°)；当直线的斜率为负时，其倾斜角α的范围为(90°＜α＜180°)．1．从关系式上看：若直线l 的倾斜角为α(α≠90°)，则直线l 的斜率k ＝tan_α. 2．从几何图形上看 直线 情形α的0°0°<α<90°90°90°<α<180°大小k 的大小k ＝tan_α不存在k ＝tan_α＝－tan(180°－α)k 的范围0 k >0 不存在k <0(见学生用书第39页)求直线的斜率经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)A (－1,0)，B (0，－2)； (2)A (－3，2)，B (2，－3)； (3)A (a ，a ＋b )，B (c ，b ＋c )； (4)A (2，－1)，B (m ，－2)． 【思路探究】 当x 1≠x 2时，利用y 1－y 2x 1－x 2求解直线的斜率，否则斜率不存在． 【自主解答】 (1)∵－1≠0， ∴斜率存在，且k ＝－2－00－－1＝－2.(2)∵－3≠2， ∴斜率存在，且k ＝2－－3－3－2＝2＋3－2－3＝－1. (3)∵a ≠c (否则A ，B 两点重合为一点)， ∴斜率存在，且k ＝a ＋b －b ＋ca －c＝1.(4)当m ＝2时，斜率不存在．当m ≠2时，斜率k ＝－2－－1m －2＝12－m.1．本题(4)因m与2的关系不定而分m＝2和m≠2两种情况求解．2．注意事项：(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值．【解】依题意知直线AC的斜率存在且m≠－1，由k AC＝3k BC，得－m＋3－4 m－－1＝3×m－1－42－－1，∴m＝4.倾斜角与斜率的关系已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．【思路探究】画图――→斜率公式斜率k的范围――→k＝tan α倾斜角α的范围【自主解答】如图所示，由题意可知k PA＝4－0－3－1＝－1，k PB＝2－03－1＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.1．本题在求解过程中应用了数形结合思想，求解的关键是分析边界点的斜率同其他点斜率间的关系．2．数形结合是解决数学问题的常用思想方法．当直线绕定点由与x 轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐增大到＋∞，按顺时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐减小到－∞.这种方法既可定性分析倾斜角与斜率的关系，又可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．已知直线AB 的斜率为－3，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．【解】 ∵k AB ＝－3，∴直线AB 的倾斜角是120°， ∴直线l 的倾斜角是60°，∴k l ＝tan 60°＝ 3.斜率公式的综合应用已知某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1(2，y 1)，P 2(x 2，5)，P 3(3,1)是此直线上的三点，求x 2，y 1的值．【思路探究】 直线l 的倾斜角α――→k ＝tan α直线l 的斜率――→三点共线kp 1p 2＝kp 2p 3――→解方程得x 2，y 1的值【自主解答】 由α＝45°，故直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， 又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ， 即5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得x 2＝7，y 1＝0.三点共线问题的求解策略 (1)从三点中任取两点，求其斜率．(2)若斜率存在且相等，则由两直线有公共点得到三点共线；若斜率都不存在，由两直线有公共点，也可得到三点共线．(2013·怀化检测)若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于________．【解析】 ∵A 、B 、C 三点共线， ∴k AB ＝k AC . ∴b －1－2－3＝11－18－3， 即b ＝－9.【答案】 －9(见学生用书第40页)因忽略斜率不存在的情况而致误求经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 【错解】 由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m >1时，k ＝1m －1>0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1<0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.【错因分析】 在上述解题过程中遗漏了m ＝1的情况，当m ＝1时，斜率不存在． 【防范措施】 斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1的适用前提条件为x 1≠x 2，因此在含字母的点的坐标中，需计算直线的斜率时，要保证斜率公式有意义．【正解】 当m ＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m >1时，k ＝1m －1>0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1<0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度． 2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系，学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系．3．运用两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)求直线斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1应注意的问题： (1)斜率公式与P 1，P 2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x 2－x 1，y 2－y 1中x 2与y 2对应，x 1与y 1对应)．(2)运用斜率公式的前提条件是“x 1≠x 2”，也就是直线不与x 轴垂直，而当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.(见学生用书第40页)1．直线l 的倾斜角α＝120°，则其斜率为________．【解析】 直线的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－ 3. 【答案】 － 32．与x 轴垂直的直线，其倾斜角α＝________. 【解析】 与x 轴垂直的直线，其倾斜角α为90°. 【答案】 90°3．(2013·广州检测)若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是________． 【解析】 过点(1,2)，(4,2＋3)的斜率k ＝2＋3－24－1＝33，由tan α＝33可得α＝30°.【答案】 30°4．求证：A (1,5)、B (0,2)、C (2,8)三点共线．【解】 利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率．k AB ＝5－21－0＝3，k AC ＝8－52－1＝3. ∵k AB ＝k AC ，又过同一点A ，∴A 、B 、C 三点共线.(见学生用书第101页)一、填空题1．(2013·中山检测)已知A (1,1)，B (2,4)，则直线AB 的斜率为________． 【解析】 由题意可知，k AB ＝4－12－1＝3.【答案】 32．(2013·无锡检测)过点P (2,3)和Q (－1,6)的直线PQ 的倾斜角为________． 【解析】 ∵k PQ ＝6－3－1－2＝－1，设直线PQ 的倾斜角为α，由tan α＝－1，可知α＝135°.【答案】 135°3．(2013·泰兴检测)已知两点A (1，－1)，B (3,3)，点C (5，a )在直线AB 上，则a ＝________.【解析】 由题意可知k AB ＝k AC ，即3－－13－1＝a －－15－1，解得a ＝7.【答案】 74．下列说法中正确的是__________． ①倾斜角为0°的直线只有一条； ②一条直线的倾斜角是－30°；③平面直角坐标系内，每一条直线都有惟一的倾斜角；④直线倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系． 【解析】 ①与x 轴平行或重合的直线的倾斜角都为0°，这样的直线有无数条，①错误；②直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，②错误；③平面直角坐标系内，每一条直线都有惟一的倾斜角，③正确；④一条直线的倾斜角确定时，直线位置不能确定，直线倾斜角α集合{α|0°≤α<180°}与直线集合不能建立一一对应的关系，④错误．【答案】 ③图2－1－15．如图2－1－1，已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是________．【解析】 由图可知，直线l 3比直线l 2的倾斜度大，故k 3>k 2>0，又k 1<0，所以k 3>k 2>k 1. 【答案】 k 3>k 2>k 16．过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线斜率不存在，则m 的值等于________． 【解析】 由题意可知，点P 和Q 的横坐标相同，即m ＝－2. 【答案】 －27．若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是________．【解析】 设P (a ，b )为l 上任一点，经过平移后，点P 到达点Q (a －3，b ＋1)，此时直线PQ 与l 重合．故l 的斜率k ＝k PQ ＝b ＋1－b a －3－a ＝－13.【答案】 －138．已知A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使直线AB 的斜率为2，则B 点坐标为________． 【解析】 设B (x ，y )，则2＝y －4x －3，若x ＝0，则y ＝－2；若y ＝0，则x ＝1.故B 为(0，－2)或(1,0)．【答案】(0，－2)或(1,0)二、解答题图2－1－29．如图2－1－2所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率．【解】l1的斜率：k1＝tan α1＝tan 30°＝3 3.∵l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l2的斜率k2＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.10．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1)(－3,5)，(0,2)；(2)(4,4)，(4,5)；(3)(10,2)，(－10,2)．【解】(1)k＝2－50－－3＝－1<0，∴倾斜角是钝角．(2)倾斜角是90°，斜率不存在．(3)k＝2－2－10－10＝0，∴倾斜角是0°.11．若直线l的斜率为函数f(a)＝a2＋4a＋3(a∈R)的最小值，求直线l的倾斜角α.【解】f(a)＝a2＋4a＋3＝(a＋2)2－1，∴f(a)的最小值为－1，∴k l＝－1＝tan α.又0°≤α<180°，∴α＝135°.(教师用书独具)过点M (0，－3)的直线l 与以点A (3,0)，B (－4，1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．【思路点拨】 画图斜率公式,倾斜角α的取值范围k ＝tan α,斜率k 的取值范围【规范解答】 如图所示，(1)直线l 过点A (3,0)时，即为直线MA ，倾斜角α1为最小值，∵tan α1＝0－－33－0＝1，∴α1＝45°.(2)直线l 过点B (－4,1)时，即为直线MB ，倾斜角α2为最大值， ∵tan α2＝1－－3－4－0＝－1，∴α2＝135°.所以直线l 倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°. 当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1； 当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．直线l 过点M ，斜率变化时，可以理解为直线l 绕定点M 旋转，使直线l 与线段AB 的公共点P 从端点A 运动到端点B ，直线l 的倾斜角就由最小值α1变到最大值α2.这是数形结合的思想方法．2．当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律．但倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大．已知直线l 过P (－2，－1)，且与以A (－4,2)、B (1,3)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．【解】 根据题中的条件可画出图形，如图所示： 又可得直线PA 的斜率k PA ＝－32，直线PB 的斜率k PB ＝43，结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为[43，＋∞)；当直线l 由与y 轴平行的位置变化到PA 位置时，它的倾斜角由90°增大到PA 的倾斜角．故斜率的变化范围是(－∞，－32]，综上可知，直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－32]∪[43，＋∞)．2.1.2 直线的方程第1课时点斜式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围．(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程．(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系．2．过程与方法(1)在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程．(2)学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别．3．情感、态度与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线的点斜式方程和斜截式方程．难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用．重难点突破：以“直角坐标系内确定一条直线的几何要素”为切入点，先由学生自主导出“过某一定点的直线方程”，再通过组内分析、交流，找出所求方程的差异，明其原因，最终达成共识，得出直线的点斜式的形式及适用前提，最后通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，在帮助学生突出重点化解难点的同时，引出斜截式方程，并通过多媒体演示“截距”与“距离”的异同，化解难点．(教师用书独具)●教学建议解析几何的实质是“用代数的知识来研究几何问题”，而直线方程恰恰体现了这种思想．由于直线的点斜式方程是推导其它直线方程的基础，在直线方程中占有重要地位．故本节课易采用“启发式”的教学方法，从学生原有的知识和能力出发，寻找过某一定点的直线方程的求解方法，鉴于学生在“数”和“形”之间转换的难度，教师可引导学生通过合作、交流等方式，对难点予以突破；可通过多媒体直观演示，让学生明确点斜式方程和斜截式方程的适用条件．对于斜截式方程，明确以下三点：(1)他是点斜式方程的特殊形式；(2)讲清“截距”的概念；(3)了解其与一次函数的关系，其他问题不必扩充太多．由于点斜式方程是学习其他方程的前提，故教师可适当的补充教学案例，让学生在训练中进一步感知解析法的思想．●教学流程创设问题情境，引出问题：过某一定点的直线方程，如何求解？⇒通过引导学生回忆直线的斜率公式，找出求“过某一定点的直线方程”的方法．⇒通过引导学生回答所提问题理解直线的点斜式方程及斜截式方程的适用条件．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线的点斜式方程的求法．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的斜截式方程的求法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．(见学生用书第41页)课标解读 1.掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)直线的点斜式方程【问题导思】1．若直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？【提示】y－y0＝k(x－x0)．2．经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线l如何表示？【提示】x＝x0.1．过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．2．过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1.直线的斜截式方程【问题导思】经过点(0，b)且斜率为k的直线l的方程如何表示？【提示】y＝kx＋b.斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距.(见学生用书第41页)直线的点斜式方程根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(3)经过点D(1,1)，与x轴垂直．【思路探究】(1)(2)先求斜率，再利用点斜式求解；(3)利用垂直于x轴的直线方程形式求解．【自主解答】(1)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.(2)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.(3)∵直线与x轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是1，故这条直线方程为x＝1.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．直线经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，求直线的点斜式方程，并画出直线l.【解】直线经过点P(2，－3)，且斜率k＝tan 45°＝1，代入点斜式方程可得x－y －5＝0.画图时，根据两点确定一条直线，只需再找出直线l上的另一点即可．如点Q(5,0)在该直线上，则过P，Q两点的直线即为所求．如图所示．直线的斜截式方程根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.【思路探究】求直线的斜率k→求直线在y轴上的截距→得方程y＝kx＋b.【自主解答】 (1)根据题意得直线的斜截式方程是y ＝3x －3. (2)∵k ＝tan 60°＝3，∴直线的斜截式方程是y ＝3x ＋5. (3)∵k ＝tan 30°＝33， ∴直线的斜截式方程是y ＝33x .1．使用斜截式方程的前提是直线的斜率必须存在，在利用斜截式求解直线方程时，应对直线的斜率是否存在进行讨论．2．直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．3．利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k ，只需引入参数b ；同理如果已知截距b ，只需引入参数k .已知直线l 在y 轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．【解】 由题意可知，直线l 的斜率必存在，设l 的方程为y ＝kx －3，则l 与两坐标轴的交点分别为(3k，0)和(0，－3)．由它与两坐标轴围成的三角形的面积为6可知 2×|3k |×3＝6，解得k ＝±34.故直线l 的方程为y ＝±34x －3.(见学生用书第42页)因忽略点斜式方程的适用条件致误已知直线l 的倾斜角为α，且经过点(1，－2)，求直线l 的方程．【错解】 由直线l 的倾斜角为α，得该直线的斜率k ＝tan α，由点斜式得，直线l 的方程为y ＋2＝tan α(x －1)．【错因分析】 上述解法的错误在于忽略了倾斜角α＝90°时，tan α不存在的情形． 【防范措施】 在使用点斜式求直线方程时，应分“斜率存在”与“斜率不存在”两种情况分别考虑，以免丢解．故本题在求解时，应分α＝90°和α≠90°两类分别求直线l 的方程．【正解】 当α≠90°时，直线l 的斜率为tan α，由点斜式得，直线l 的方程为y ＋2＝tan α(x －1)．当α＝90°时，直线的斜率不存在，故过点(1，－2)的直线方程为x ＝1. 综上，可得直线l 的方程为y ＋2＝tan α(x －1)或x ＝1.1．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y －y 1x －x 1＝k ，此式是不含点P 1(x 1，y 1)的直线方程，必须化为y －y 1＝k (x －x 1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x ＝x 1.2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b )点、斜率为k 的直线y －b ＝k (x －0)，即y ＝kx ＋b ，其特征是方程等号的一端只是一个y ，其系数是1；等号的另一端是x 的一次式，而不一定是x 的一次函数．(见学生用书第42页)1．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.【答案】y＝1 x＝12．过点(0,1)，且斜率为－1的直线方程为________．【解析】由斜截式方程得，所求直线方程为y＝－x＋1.【答案】y＝－x＋13．直线方程为y＋2＝2x－2，则直线的斜率为________，在y轴上的截距为________．【解析】直线的方程可以化为y＝2x－4，故斜率为2，在y轴上的截距为－4.【答案】 2 －44．求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A(2,5)，斜率为4；(2)过点B(－2，2)，倾斜角为30°；(3)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.【解】(1)y－5＝4(x－2)，即4x－y－3＝0.(2)由斜率k＝tan 30°＝33，得直线方程为y－2＝33(x＋2)，即33x－y＋63＋2＝0.(3)由直线y＝－3x＋1的斜率为－3可知此直线的倾斜角为120°，由题意知所求直线的倾斜角为60°，所求直线的斜率k＝ 3.直线在y轴上的截距为－10，由直线的斜截式方程得y＝3x－10，即3x－y－10＝0.(见学生用书第103页)一、填空题1．(2013·湖南师大附中检测)已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为________．【解析】 由题意可知，该直线的倾斜角为45°，故其斜率k ＝tan 45°＝1.所以由斜截式得，所求方程为y ＝x ＋2.【答案】 y ＝x ＋22．(2013·广州检测)过点P (－2,0)，且斜率为3的直线的方程是________． 【解析】 设所求直线方程为y ＝3x ＋b ，由题意可知3×(－2)＋b ＝0. ∴b ＝6，故y ＝3x ＋6. 【答案】 y ＝3x ＋63．(2013·郑州检测)直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________． 【解析】 直线x ＋y ＋1＝0变成斜截式得y ＝－x －1，故该直线的斜率为－1，在y 轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.【答案】 135°，－1图2－1－34．如图2－1－3，直线y ＝ax －1a的图象如图所示，则a ＝________.【解析】 由图知，直线在y 轴上的截距为1，∴－1a＝1，∴a ＝－1.【答案】 －15．斜率与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线的点斜式方程是________．【解析】 ∵直线y ＝32x 的斜率为32，∴过点(－4,3)且斜率为32的直线方程为y －3＝32(x ＋4)．【答案】 y －3＝32(x ＋4)6．直线y ＝kx ＋b 经过二、三、四象限，则斜率k 和在y 轴上的截距b 满足的条件为________．【解析】 直线y ＝kx ＋b 经过二、三、四象限，如图所示，故直线的斜率k <0，在y 轴上的截距b <0.【答案】 k ＜0，b ＜07．下列关于方程y ＝k (x －2)的说法正确的是________．(填序号)①表示通过点(－2,0)的所有直线 ②表示通过点(2,0)的所有直线 ③表示通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线 ④通过(2,0)且除去x 轴的直线．【解析】 直线x ＝2也过(2,0)，但不能用y ＝k (x －2)表示． 【答案】 ③8．将直线l ：y ＝－3(x －2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°得到直线l ′，则直线l ′的方程为________．【解析】 因为直线的倾斜角为120°，并且(2,0)是该直线与x 轴的交点，绕着该点顺时针旋转30°后，所得直线的倾斜角为120°－30°＝90°，此时所得直线恰好与x 轴垂直，方程为x ＝2.【答案】 x －2＝0 二、解答题9．求倾斜角为直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线的方程： (1)经过点(－4,1)； (2)在y 轴上的截距为－10.【解】 由直线y ＝－3x ＋1的斜率为－3可知此直线的倾斜角为120°，由题意知所求直线的倾斜角为60°，所求直线的斜率k ＝ 3.(1)直线过点(－4,1)，由直线的点斜式方程得y －1＝3(x ＋4)，即为3x －y ＋1＋43＝0.(2)直线在y 轴上的截距为－10，由直线的斜截式方程得y ＝3x －10，即为3x －y －10＝0.10．(2013·临沂检测)已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°，故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过点(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0.(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是23，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12·23·2＝233.11．已知△ABC 在第一象限中，A (1,1)、B (5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边、BC边所在直线的方程．【解】(1)∵A(1,1)，B(5,1)，∴直线AB的方程是y＝1.(2)由图可知，k AC＝tan 60°＝3，∴直线AC的方程是y－1＝3(x－1)，即3x－y－3＋1＝0.∵k BC＝tan(180°－45°)＝－1，∴直线BC的方程是y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0.(教师用书独具)已知直线l经过点P(－1，－2)，在y轴上的截距的取值范围为[2,6]，求此直线斜率的取值范围．【思路点拨】解答本题可先写出点斜式方程，再化为斜截式方程，求出直线在y轴上的截距，最后解不等式求斜率的取值范围．也可设出直线l的斜截式方程，再将点P坐标代入找到斜率与在y轴上截距的关系，从而求出斜率的范围．【规范解答】法一设直线l的斜率为k，由于这条直线过点P(－1，－2)，所以，它的点斜式方程是y－(－2)＝k[x－(－1)]，可化为斜截式方程是y＝kx＋k－2，。
