2024年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学命题：___________ 主审：___________本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第I 卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,4,6,8U =，集合{}{}2320,4,M x x x N x x a a M =-+===∈∣∣，则()U M N ⋃=ð（ ）A. {}6 B. {}4,6,8 C. {}1,2,4,8 D. {}1,2,4,6,8【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交并补即可求解.【详解】由题知{}{}(){}1,2,4,8,6U M N M N ==∴⋃=ð，故选：A.2. 设复数z 满足1i 1zz+=--，则z =（ ）A. iB.C. 1D.【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法解出z ，由模长公式计算z .【详解】由1i 1zz+=--解得()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z +--+===--+-+--，所以1z =.故选：C.3. 曲线2y x =在点()1,1处的切线方程为（ ）A. y x = B. 21y x =-C. 21y x =+ D. 32y x =-【答案】B 【解析】【分析】先求在1x =处的导数值，即切线的斜率，再写出切线方程.【详解】由题知，12,2,x y x y ='='=∴切线方程为()121y x -=-，即21y x =-，故选：B.4. 已知单位向量,a b满足()2a a b ⊥- ，则,a b = （ ）A.2π3B.π3C.π4D.π6【答案】B 【解析】【分析】由向量垂直得到方程，求出12a b ⋅= ，再利用向量夹角余弦公式求出答案.【详解】由()2a a b ⊥- 得()22||20a a b a a b ⋅-=-⋅=，又,a b为单位向量，12a b ∴⋅= ，1cos ,2a b a b a b ⋅∴==，π,3a b ∴= .故选：B.5. 已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 100【分析】设这100个圆的半径从小到大依次为12100,,,r r r ，由题意得211r =且2211n n r r +-=，可求100r .【详解】设这100个圆的半径从小到大依次为12100,,,r r r ，则由题知，211r =每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，有()22111,2,,99n n r r n +-== ，则{}2n r 是首项为1公差为1的等差数列，1,2,,100n = ，所以2100100r =，得10010r =.故选：C.6. 如图，小明从街道的E 处出发，到F 处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（ ）A 8B. 12C. 16D. 24【答案】D 【解析】【分析】根据分步分类计数原理即可求解.【详解】中途共三次转向可以分为两类:第一类，先向北走再往东走的情况，即第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有3412⨯=种方法，第二类，先向东走再往北走的情况上右上，此时共有4312⨯=种方法.故总的方法有24种，故选：D.7. 已知ππsin cos 123θθ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πcos 23θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.13B. 13-C.D..【分析】根据和差角公式以及诱导公式可得3cos 12θθ=，由辅助角公式以及二倍角公式即可求解.【详解】由ππsin cos 123θθ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1cos cos 12θθθ+=，进而可得3cos 12θθ=，π16θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πππ1cos cos 22cos 16363θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=∴-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B.8. 已知πππ3642e ,e ,m n p -===，则（ ）A. n m p >>B. m p n >>C. p n m >>D. m n p>>【答案】D 【解析】【分析】观察选项，构造函数()e cos xf x x =，利用导数求得其单调性，结合指数函数的性质即可得解.【详解】令()e cos xf x x =，则()()πecos sin cos 4xx f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭'，当ππ,24x -∈⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当π5π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；所以()f x 在ππ,24⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增；在π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以ππ43f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且ππ46f f ⎛⎫⎛⎫>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ341e e2>ππ64->ππ342e e >ππ642e ->，所以,m n m p >>，又ππ036e e,e n p -=>=<=<，所以n p >，综上所述，m n p >>，故选：D.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下图是离散型随机变量X 的概率分布直观图，其中35,23a b b c ==，则（ ）A. 0.5a =B. () 2.3E X =C. ()0.61D X =D. ()2 1.22D X =【答案】ABC 【解析】【分析】由所有取值频率之和为1，结合已知条件，解出,,a b c ，利用期望和方差公式计算数据，验证选项即可.【详解】由题知1,35,23,a b c a b b c ++=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得0.5,0.3,0.2a b c ===，A 选项正确；所以()10.220.330.5 2.3E X =⨯+⨯+⨯=，B 选项正确；()222(1 2.3)0.2(2 2.3)0.3(3 2.3)0.50.61D X =-⨯+-⨯+-⨯=，C 选项正确；()()222 2.44D X D x =⋅=，D 选项错误.故选：ABC.10. 已知双曲线C的两个焦点分别为()()12,F F -，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为224x y -=，则条件p 可以是（ ）A. 实轴长为4 B. 双曲线C 为等轴双曲线C.D. 渐近线方程为y x=±【答案】ABD 【解析】【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.【详解】设该双曲线标准方程为22221x y a b-=，则c =对于A 选项，若实轴长为4，则2a =，2224b c a ∴=-=，符合题意；对于B 选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a b =，又c =2228a b c +==，可解得224a b ==，符合题意；对于C 选项，由双曲线离心率大于1知，不合题意；对于D 选项，若渐近线方程为y x =±，则a b =，结合2228a b c +==，可解得224a b ==，符合题意，故选：ABD.11. 如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（ ）A. 4ω=B. 9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭的C. 函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D. 若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π24【答案】ACD 【解析】【分析】令()f x =,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()sin f x x ωϕ=+=π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33ω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5ππ4,2π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+⎪⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确. 故选：ACD.12. 正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（ ）A.B.C. 2D.【答案】BD 【解析】【分析】分类讨论两个平面的位置，作截面结合正方体的结构特征运算求解.【详解】设该正方体为1111ABCD A B C D -，且其棱长为a ，若考虑4个平面中最中间的两个平面，共有两种情况.①若中间的两个平面为平面1A BD 和平面11B D C ，如图1所示，则过1,,A A C 作截面，截面图如图2所示，其中,E F 分别为11,AC A C 中点，则11,,===AE AA a A E ，设相邻两平面间距离即为A 到1A E 的距离h ，可得1122⨯=⨯a h ，解得h =，即相邻两平面间距离即为A 到1A E ，1=，解得a =②若中间的两个平面如图3所示，过1,,B C C 作截面，截面图如图4所示，其中,M N 分别为11,BC B C中点，则111,,2===BM a AA a A E ，设相邻两平面间距离即为B 到1B M 距离d ，可得111222⨯⨯=⨯a a d，解得d =，即相邻两平面间距离即为B 到1B M，1=，解得a =；故选：BD.【点睛】方法点睛：根据题意分类讨论平面的位置分布，结合正方体的结构特征以及截面分析求解.第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 6⎛+ ⎝的展开式中常数项的二项式系数为__________.【答案】20【解析】【分析】求出二项式展开式的通项公式，令x 的次数为0，求得答案.【详解】此二项式展开式的通项公式为663166C 2C rrrr r rr T x ---+==，()0,1,2,3,4,5,6r =，则当3r =时，对应的为常数项，故常数项的二项式系数为36C 20=，故答案为：20.的14. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，若点Q 是抛物线C 上到点()4,0距离最近的点，则QF =__________.【答案】3【解析】【分析】根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解, 0 2.x =由抛物线的焦半径公式即可求解.【详解】由题知()1,0F ，设()()00,,4,0Q x y A ，其中00x ≥，则QA ===由于点Q 是抛物线C 上到点()4,0距离最近的点，002.13x QF x ∴=∴=+=，故答案为：3.15. sin 1x =的一个充分不必要条件是__________.【答案】π2x =（答案不唯一）【解析】【分析】根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解.【详解】因为π2x =时sin 1x =，由sin 1x =可得π2π,Z 2x k k =+∈,故sin 1x =的一个充分不必要条件是π2x =，故答案为：π2x =（答案不唯一）16. 已知,,A B C 是半径为1的球面上不同的三点，则AB AC ⋅u u u r u u u r的最小值为__________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】根据数量积的几何意义结合二次函数的性质即可求解.【详解】,,A B C 是球面上不同的三点，,,A B C ∴不共线，故平面ABC 截球面得到的是一个圆，记此圆半径为(01)r r <≤，当且仅当平面ABC 过球心时，1r =.在半径为r 的圆中，对于任意的弦AB ，过C 作CN AB ⊥于N ,由向量数量积的几何意义知，当C 在如图所示的位置时，AB AC ⋅u u u r u u u r取最小值，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最小值为211||22AB AN AB r AB AB r AB ⎛⎫-⋅=-⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭，当AB r = 时，||||AB AN -⋅ 取最小值212r -，又r 的最大值为1，故所求最小值为12-.故答案为：12-四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且21232521,2a a a a a +==⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设log n n a b =，求证：2121n nb n <+.【答案】（1）12n na = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等比数列基本量计算；（2）根据对数运算求得12n b n =-，由21021n nb n +-<+得证.【小问1详解】设{}n a 的公比为q ，由23252a a a =⋅知()()()2241112a q a q a q =，12q ∴=，由1221a a +=得111121,2a a q a +⋅⋅=∴=，12n n a ∴=.【小问2详解】证明：由题知1log 2nn a b n==-，所以()212111021221221n n n b n n n n n -+-=--=<+++，2121n nb n ∴+<+.18. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22b ac a =+.（1）求证：2B A =；（2）当373c ab+取最小值时，求cos B 的值.【答案】（1）证明见解析 （2）1cos 3B =-【解析】【分析】（1）利用余弦定理并结合正弦函数两角和差公式化简即可求解.（2）利用基本不等式求得373c a b +的最小值时的取等条件b =，再结合余弦定理从而求解.【小问1详解】证明：由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-，又因为22b a ac =+，所以2222cos a ac a c ac B +=+-⋅，化简得2cos a c a B =-，所以sin sin 2sin cos A C A B =-，因为πA B C ++=，所以()sin sin 2sin cos A A B A B =+-，所以sin sin cos cos sin 2sin cos cos sin sin cos A A B A B A B A B A B =+-=-，所以()sin sin A B A =-，因为()()0,π,π,πA B A ∈-∈-，所以A B A =-或()πA B A +-=（舍），所以2B A =.【小问2详解】由题知，()222237373743333b a a c a ac a b a b ab ab a b -+++===+⋅≥=当且仅当b =时取等，又因为22b ac a =+，所以13c a =，所以2222221331cos 12323a a a cb B ac a a ⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭+-⎝⎭===-⨯.19. 如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC⊥平面BCD ，且BC BD BA ==，120CBA CBD ∠∠== ，点P 在线段AC 上，点Q 在线段CD 上.（1）求证：AD BC ⊥；（2）若AC ⊥平面BPQ ，求BPBQ的值；（3）在（2）的条件下，求平面ABD 与平面PBQ 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）BP BQ =（3【解析】【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解.（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】证明：过A 作AO ⊥直线BC 于O ，连接DO .由题知,,60BA BD BO BO ABO DBO ∠∠====，,90ABO DBO DOB AOB ∠∠∴≅∴== ，即BC DO ⊥，又,,,BC AO AO DO O AO DO ⊥⋂=⊂平面AOD ,BC ∴⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，BC AD ∴⊥，即AD BC⊥【小问2详解】方法一： 平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，,AO BC AO ⊥⊂平面ABC AO ∴⊥平面BCD .以O 为原点，以OB 的长度为单位长度，以,,OD OC OA u u u r u u u r u u r的方向分别为x 轴，y 轴，z 的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则)(()(),,0,1,0,0,3,0D A B C .AC ⊥ 平面,,BPQ AC BP AC BQ ∴⊥⊥.BA BC P =∴ 为AC中点，由题知)(3,0,0,3,CD AC =-=设()))0,2,03,0,23,0BQ BC CD λλ=+=+-=-，()23230,3AC BQ λλ∴⋅=-=∴=，,BQ BQ ⎫∴=∴=⎪⎪⎭又在ABC 中，2,120BC BA ABC ∠===，所以1,BP BP BQ =∴=.方法二：AC ⊥ 平面,,BPQ AC BP AC BQ ∴⊥⊥.设2BA BC ==，由120ABC ∠= 知，1BP ∴=.平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面,,BCD BC AO BC AO =⊥⊂平面ABC ，AO ∴⊥平面BCD ，又BQ ⊂平面,BCD AO BQ ∴⊥，又,AC BQ AC AO A ⊥⋂=，BQ ∴⊥平面ABC BQ BC ∴⊥.2,30,2BP BC BCQ BQ BQ ∠==∴==∴= 【小问3详解】由（2）知，平面PBQ 的一个法向量为AC，设平面ABD 的一个法向量为()((),,.0,1,,n x y z AB DB ===，则0,0,n AB y n DB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令y =则()n =，cos ,||||AC n AC n AC n ⋅===∴平面ABD 与平面PBQ.20. 某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68：②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.（1）分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.（2）若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司网约车出行？并说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）该用户选择乙公司出行的概率更大，理由见解析【解析】【分析】（1）利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，即可得出结论；（2）利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率，比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：设事件:M 用户选择甲公司的网约车出行，事件:A 用户对等待时间满意，的事件:B 用户对乘车舒适度满意，事件:C 用户对乘车费用满意.则()()()()()0.320.620.680.780.7288P A P M P A M P M P A M =+=⨯+⨯=，()()()()()0.320.680.680.610.6324P B P M P B M P M P B M =+=⨯+⨯=，()()()()()0.320.210.680.320.2848P C P M P C M P M P C M =+=⨯+⨯=所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.【小问2详解】解：由题知，()()()0.320.685440.63241581P MB P M B P B ⨯===，()()()0.680.6110370.63241581P MB P M B P B ⨯===，所以，()()P M B P M B <，故该用户选择乙公司出行的概率更大.21. 已知如图，点12,B B 为椭圆C 的短轴的两个端点，且2B 的坐标为()0,1，椭圆C .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 不经过椭圆C 的中心，且分别交椭圆C 与直线1y =-于不同的三点,,D E P （点E 在线段DP 上），直线PO 分别交直线22,DB EB 于点,M N .求证：四边形12B MB N 为平行四边形.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解,a b 得椭圆方程；（2）设直线方程，证明MO ON =后知O 平分对角线得四边形12B MB N 为平行四边形.【小问1详解】由题知2221,.b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得222,1a b ==.故椭圆C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】方法一：显然直线l 不能水平，故设直线l 方程为()0x k y t t '''=+≠，设()()()()1122,,,,,,,N N M M D x y E x y N x y M x y ，由22,12x k y t x y =+⎧'='⎪⎨+⎪⎩得()2222220k y k t y t ''''+++-=，令0∆>得，2220k t ''-+>.所以212122222,22k t t y y y y k k '''--+==''++，令1y =-，得(),1P t k ''--.故直线PO 方程为1y x k t =''-，直线2DB 方程为1111y y x x -=+.由11111y x k t y y x x ⎧=⎪-⎪⎨-=+''⎪⎪⎩得()11M k t x x k t y -==+''''，将M x 中11,x y 换成22,x y 得()22Nk t x x k t y -=+''''.()()()()()()()1212211212M N k t x k t x x k t y x k t y x x k t k t y k t y k t y k t y '''''''''--+++∴+=+=-++++'''''''''，()()()()1221121221x k t y x k t y k x x t x y x y +++=+++'''''' ()()()121221k k y t k y t t k y t y k y t y ⎡⎤=+++++++'''''''''⎣'⎦()()()()()2222221212222210,2k t k t k t k t k t y y k t y yk ''-+++''''''''''=++++==+'O ∴为线段MN 中点，又O 为11B B 中点，∴四边形12B MB N 为平行四边形.方法二：设()()()()1122,,,,,,,M M N N D x y E x y M x y N x y .直线2B D 方程为1111y y x x -=+，当直线l 的斜率不存在时，设l 方程为()000x x x =≠，此时()0,1P x -，直线PO 方程的为01y x x =-，由010111y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩得01M x x y =-，同理0122,0N M N x x y y x x y -==-∴+= ，当直线l 斜率存在时，设l 方程为()0y kx t t =+≠，由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220k x ktx t +++-=.令0∆>得，22012k t ->+.由韦达定理得2121222422,1212kt t x x x x k k--+==++.将1y =-代入y kx t =+得1,1t P k --⎛⎫-⎪⎝⎭∴直线PO 的方程为1k y x t =+由11111y y x x k y xt -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得()()()()11211111111M x t x t x y t kx ktx t -+-+==-+-+-同理可得()22211N x t x ktx t -+=+-.()122212111M N x x x x t ktx t ktx t ⎛⎫∴+=-++ ⎪+-+-⎝⎭()()()()()21212221221111ktx x t x x t ktx tktx t +-+=-++-+-()()()()()222121222222142101212kt t tkt ktx x t x x kk---+-+=+=++ ，0M N x x ∴+=，综上所述，0,M N x x O +=∴为线段MN 中点，又O 为11B B 中点，∴四边形12B MB N 平行四边形.【点睛】关键点点睛：证明四边形12B MB N 为平行四边形的方法用对角线相互平分得到.22. 已知函数()e e xxf x x λλ=-+，其中λ为实数.（1）若函数()y f x =是定义域上的单调函数，求λ的取值范围；（2）若1x 与2x 为方程()0f x '=的两个不等实根，()()12ln31f x f x -≤-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）(]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）1.2⎫⎪⎪⎭【解析】【分析】（1）利用导数研究函数单调性，分类讨论函数是定义域上的单调函数的条件；（2）根据方程()0f x '=解出两个不等实根1x 与2x ，有12e e 1x x ⋅=，所以()()12-=+f x f x，令1)t t =<<，构造函数()1ln21tg t t t-=++，利用导数求函数单调性，通过t 的取值范围求λ的取值范围.【小问1详解】为函数()y f x =的定义域为R ，()11e 1e e e xx x x f x λλλ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭'当0λ≤时，()()0,f x f x '>在R 上单调递增，当12λ>时，由于1e 2e xx +≥，所以()()0,f x f x '<在R 上单调递减，当12λ=时，()0f x '≤恒成立，当且仅当0x =时取等，所以()f x 在R 上单调递减.当102λ<<时，令()0f x '<，解得ln x <x >则函数()f x在,ln∞⎛- ⎝和ln∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，令()0f x ¢>，解得x <<得函数()f x在⎛ ⎝上单调递增，此时不合题意.综上所述，λ的取值范围是(]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】不妨设12x x <根据题意，1x 与2x 是方程()2e e 0xx λλ-+=的两根，1221e e 0Δ140x x λλ⎧+=>⎪⎨⎪=->⎩，所以102λ<<，12e x x ==，且12e e 1x x ⋅=，所以()()()122112121212e e 2e e eexx x x x x f x f x x x x x λλλλλ-=-+-+-=-+-12lne lne x x =-+=令1)t t =<<，()1ln21tg t t t -=++，则()22201g t t '=+<-.故()y g t =在()0,1上单调递减，又()11ln 11ln3,0023g g ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭.故由()()12ln31f x f x -≤-恒成立可得102t <≤12λ≤<，所以λ的取值范围是12⎫⎪⎪⎭.方法二：由题知1x 与2x 为方程1e 1e x x λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个不等实根，102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭,，即12121111e ,e e e x x x x λλ+=+=，两式相减并化简可得12e 1+=x x ，则120x x +=，不妨设120x x <<，则()()12121212e e e e x x x x f x f x x x λλλλ-=-+-+-()()()212121*********e e e e2e e 22e e e e x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ--=-+-+⋅=-+-=+-⋅，由1111e e x x λ+=可得112e e 1x x λ=+，所以()()1121224lne2e 1-=+-+x x f x f x ，令12e (01)=<<x t t ，()4ln 2(01)1=+-<<+h t t t t ，则()22214(1)0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++，所以函数()h t 单调递增.又()110,1ln33h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故由()()12ln31f x f x -≤-恒成立可得1 1.3t ≤<所以121e 13x ≤<1e 1x ≤<，令1e 1⎫≤<⎪⎪=⎭x m m ，()1ϕ=+m m m ，则()2110ϕ'=-<m m 在⎫⎪⎭上恒成立，()m ϕ在⎫⎪⎭上单调递减，()()1ϕϕϕ<≤m ，即()ϕ⎛∈ ⎝m ，所以1111e e x x λ⎛=+∈ ⎝，进而解得λ的取值范围是1.2⎫⎪⎪⎭【点睛】方法点睛：利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
