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二、排列 1. 选排列和全排列 例 用1,2,3,4四个数码,可写出多少个数码不重复 的三位数? 解 共有 4 3 2 24 个
4种 3种
2种
定义 从n个不同元素中任取k个元素 ( k n) 按照 一定顺序排成一列,称为从n个不同元素中取k个的 排列.
定义 从n个不同元素中任取k个元素 ( k n) 按照 一定顺序排成一列,称为从n个不同元素中取k个的 排列. 定义中n个元素是相异的， 不允许有相同的元素; 取出的k个元素 也是相异的,不允许重复使用元素. 如果 k n, 称上述定义的排列为选排列;如果k=n 则称之为全排列. 从n个不同元素中 取k个 的选排列的个数为
显然该试验为古典概型。
3 事件A1 ={ HHT, HTH }, , THH 故P(A1) 8 事件 A2 { HHH}, 故P(A2) 1 P( A2 ) 1 1 7 8 8
在计算古典概型时,所使用的基本工具是排列 组合的计算方法.
一、两个基本原理 1. 加法原理 例 从甲地到乙地, 可以乘飞机 或者乘火车或 汽车,从甲地到乙地,每天有飞机一班、 火车六班、 1 汽车三班,问一天中乘飞机 6 或不同班次的火车、汽车, 有几种不同的选择方法? 3 解 共有 1 6 3 10 种
...
(二)样本空间的点数以组合计算
例 一只箱子里装有100件某产品， 其中有8件次品, 其余为正品, 从中任取5件,求(1) A : 至多一件次品
(2) B : 至少二件次品 的概率.
解 基本事件总数为 C
5 100
8
92
设 X 表示取出的5件中次品的数量 P ( A) P{ X 0 或 X 1 } P{ X 0} P{ X 1}
n 或 k
k P n( n 1)( n 2)...( n k 1) n k Cn k! k! 个 k n个 k k k n k C n k ! Pn Cn Cn
(一)样本空间的点数 以排列计算
例 设有n个人, 每个人以同样的概率分配到N间 房中, ( n N ) 求 (1)指定的n间房中各有一人的概率. (2) 每个房间最多一人的概率.
[ 0, 60 ) S ( A)
n n n ... n n k
n种 n种 n种 n种 n种
三、组合 例 从7,8,9三个数里,任意取出两个相乘, 可得到 多少个不同的积? 2 P 解 78 8 9 共有 3 3 2 3 79 个 2 2 8 7 9 7 9 8 定义 从n个不同元素中, 任取k个 ( k n)不管怎样的 顺序并成一组,称为从n个不同元素中每次取出k个 元素的组合. k ( k n ) C 从n个不同元素中任取k个 的组合数记为 n
3 A 2,4,6 P A m 3 表示“出现偶数点” 设
例 把一颗骰子掷两次, A表示 “点数之和为8”,
6
, P(A),P(B) B表示 “第一次出奇数点”求 解 样本空间为(1,1),..,(1,6), (2,1),..,(2,6), (3,1),..,(3,6),
S ( A) P ( A) S ( )
[
0
x 1
]
S ( )
M
定义 设Ω为欧氏空间的一个区域， 用 S ( ) 表示
Ω的度量 A A是Ω中一个可以度量的子集, 定义
S ( A) P ( A) S ( )
为事件A发生的概率, 称为区域Ω上的 几何概率.
例 设电台每到整点报时, 某人午觉醒来, 他打开 收音机, 求他等待时间不超过10分钟 就听到报时 的概率. 解 以分钟为单位, 设上一次报时时刻为0, 下一次 报时时刻为60,此人打开收音机的时间在 [ 0, 60 ) 内
§1.3 古典概型与几何概型 一、古典概型
即样本空间 (ⅰ) 试验的全部可能的结果 是有限个, 是个有限集;
(ⅱ) 每次试验中, 各样本点出现的可能性相同, 即每个基本事件 发生的概率相等.
一、古典概型： 1.有限性 试验的所有基本事件总数有限. 2.等可能性 每次试验中, 各个基本事件出现的可能 性 都相同. 即 (ⅰ)样本空间 是个有限集: 1 , 2 , ..., n (ⅱ)每个基本事件 的概率相同.
1 (ⅱ) P 1 P 2 ... P n n
并设A中含有m个样本点 设A是任一事件，
A i1 , i2 , ... , im 1 , 2 , ..., n
P ( A) P i1 , i2 , ... , im
例 设有n个人, 每个人以同样的概率分配到N间 房中, ( n N ) 求 (3)某指定的房间不空的概率. (4)某指定的房间 恰有k个人的概率. ( k n )
n N 解 总的分法有 N N ... N
(3) C “某指定的房间不空”
C “某指定的房间是空的.” ******** ( N 1)n P C 1 P C 1 Nn nk (4) D “ 某指定的房间恰有k个人” k C n ( N 1) P D Nn
1 P ( ) P 1 , 2 , ..., n P 1 P 2 ... P n
1 例如 掷一枚均匀的骰子,每一面出现的概率都是 6
1 P 1 P 2 ... P n n
古典概型： (ⅰ)样本空间 是个有限集: 1 , 2 , ..., n
3
二、几何概型 1. 计算机在区间[0,1]上 任意打一个数 x , 求
1 x 小于 的概率. 3
0
1 x 3
1
2. 随机地在单位圆内任掷一点M,
1 求点M到原点的距离小于 2 的概率.
பைடு நூலகம்
1 2
这两个随机试验 的样本空间Ω,都是欧氏空间的 一个区域, 样本点落在区域内的每一点的机会 都 均等. 设区域 A , 如果样本点落在A中, A 就说事件A发生了. “机会均等” 的确切含义是: 点落在A中的可能性的大小 P ( A) 与A的面积 S ( A) 成正比, 而与A的位置形状无关. 1 P ( A) t S ( A ) 由 1 P ( ) t S ( ) t
(4,1),..,(4,6), (5,1),..,(5,6), (6,1), ..,(6, 6)
共有36个样本点. A (2,6) ,(3,5) ,(4,4) ,(5,3) ,(6,2)
B (1,1),...,(1,6), (3,1),...,(3,6), (5,1),...,(5,6) P A 5 P B 18 0.5 36 36
加法原理: 如果完成某件事有 k 种方式,第一种方式中有n1
个方法,第二种方式中有n2个方法, ... 第 k 种方式 中有nk个方法,不论用哪一种方式中的哪一个方法, 都能达到完成该事件的目的,那么完成这件事共有
n1 n2 ... nk 种不同的方法.
n1 n2
nk
2.乘法原理 例 从甲地到丙地,必须经过乙地,甲地到乙地的 交通线路有铁路、 公路和水路;从乙地到丙地的 交通线路只有公路和水路.一旅客从甲地经过乙地 到丙地,有几种不同的途径? 甲 乙 丙 解 有 3 2 6 种 乘法原理: 如果完成某件事分k个步骤,第一步有n1种方法, ...,第k步有nk种方法,各个步骤 第二步有n2种方法, 依次连续完成,该事件才算完成, 则完成这件事共有 n1n2 ...nk 种不同的方法. nk n n
P ( B1 )
602
0.36
100
2
P ( B2 )
302
0.09
1002
2 10 P ( B3 ) 2
100
0.01
由概率的可加性，得 3 P ( B ) P ( Ai ) 0.36 0.09 0.01 0.46
i 1
例 假设有100件产品，其中有60件一等品，30件 二等品，10件三等品，如果随机地抽取一件， 连续两次，分有放回和无放回，求两次取到 的产品等级相同的概率。 解： 设事件Bi " 取到两个 i 等品"，i 1, 2, 3. 事件B " 取到两个 等级相同" , 显然 B1 , B2 , B3 互不相容，且 B B1 B2 B3 2.不重复抽样(无放回)
n! (1) A “指定的n间房中 各有一人.” P A N n A中包含的基本事件数为 n !
(2) B “每个房间最多一人.”
解
n N N N ... N 总的分法有
...
n N ( N 1)( N 2)...( N n 1) PN ******** P B n N Nn
5 C 92
C
5 100
4 1 C 92 C8
C
5 100
0.95
P ( B ) P ( A) 1 P ( A) 0.05
例 箱中有m个白球, n个黑球,从中任取 p q 个,
( p m , q n) 求取到的球中恰有 p 个白球,q 个黑球
的概率.
pq 解 基本事件总数为 C m n
29 30 29 60 59 59 10 9 P ( B3 ) P ( B1 ) P ( B ) 2 100 99 165 100 99 330 100 99 1 由概率的可加性，得 110
59 29 1 5 P ( B ) P ( Ai ) 165 330 110 11 i 1
