异名三角函数转化为同名三角函数问题的探究

三角恒等变换技巧之七变三角恒等变换是三角的精华，三角恒等变换是以三角基本关系式，诱导公式，和、差、倍角等公式为基础的，三角变换的常见策略有：（1）发现差异；（2）寻找联系；（3）合理转化.概括起来就是：利用和、差、倍等三角公式实行各种转化，从而达到问题解决的目的，本文归纳以下七种主要的变换技巧，供同学们在学习时参考.一、变“名”三角变换的主要目的在于“消除差异，化异为同”，而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要变“名”，即化异名函数为同名函数.变换的依据是同角三角的关系式和诱导公式，切化弦、弦化切等.例１已知=，求sin2+sincos+2cos2的值.分析由已知可得tan=2. 若由tan=2分别求出sin，cos 的话可以解答此题，但需要对分别在第一、三象限两种情形进行讨论，相当繁琐且运算量大，仔细阅读sin2+sincos+2cos2的话，发现这是一个关于正弦和余弦的三项齐次式，倘若能把所求的式子转化为只含有tan的式子，则题目就相当容易解答了.联想所学过的公式知道sin2+cos2=1，=tan因此得到下面的简单解法.解析由已知可得tan=2.sin2+sincos+2cos2=====.评析解答本题的关键是实施变“名”，即将sin2+sincos+2cos2化成只含有tan的式子，从而快速解题.例２已知A为三角形的一个内角，且满足tan（+A）=，求的值.分析因为是齐次式，分子分母同除于cos2A，便可得到，所以由已知条件只要求出tanA的值即可.解析由tan（+A）=可得=，解得tanA=-.∴==--=-.评析挖掘题目中的隐含条件，通过分子分母同除cos2A 后得到含有tanA的式子,因此达到快速解题目的.二、变“角”在三角化简、求值中，题目中的表达式中往往会出现较多的相异角，根据角与角之间的和差、倍角、互补、互余的关系，这时需要变“角”，即寻找已知条件与结论中角的差异，从而使问题获解.常见的变角方式有=（+）-，2=（+）+（-），等等.例３已知tan（+）=，tan（-）=，求tan（+）的值.分析已知角为+、-，未知角+，发现有+=（+）-（-）成立，且tan（+）=tan[（+）-（-）]问题便迎刃而解.解析因为+=（+）-（-），所以tan（+）===.评析通过变“角”巧妙地解答了此题.例4 已知sin=msin（2+），且+≠+k（k∈Z），≠（k∈Z），m≠1. 求证：tan（+）=tan.分析已知角为、2+，未知角为+、，发现有=（+）-，2+=（+）+成立，且sin[（+）-]=msin[（+）+]，又tan=，tan（+）=，所以（1+m）sincos（+）=（1-m）cossin（+），因此我们找到了解题的思路.证明由sin=msin（2+），得sin[（+）-]=msin[（+）+]，展开得sin（+）cos-cos（+）sin=msin（+）cos+mcos（+）sin，整理得（1+m）sincos（+）=（1-m）cossin（+），因为+≠+k（k∈Z），≠（k∈Z），m≠1.所以=，得tan（+）=tan.评析三角证明中经常要化未知角为已知角，看准角与角的关系，相当重要.哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪个角，条件中有没有这些角，在审题中必须认真观察和分析，本题正是抓住了“角”的变换顺利获得了证明.三、逆变在进行三角变换时，顺用公式较多，但有时若能逆用两角和差的正弦、余弦、正切公式解题可以帮助我们快速开拓解题思路.例5 已知A，B为三角形ABC的两个内角，sin（A-B）cosB+cos（A-B）sinB=，求sin（A+）的值.分析从所求的结果来看与角B无关，因此我们应想方设法把角B去掉.由已知条件联想所学过的知识逆用两角和的余弦公式得：sin（A-B）cosB+cos（A-B）sinB=，即sinA=. 因为A为三角形ABC的内角，所以A可能为钝角，也可能为锐角，接下来我们便得到了题目的思路.解析由已知sin（A-B）cosB+cos（A-B）sinB=，可得sin （A-B+B）=sinA=.当A为第一象限角时，所以cosA==.所以sin（A+）=sinAcos+cosAsin=×+×=.当A为第二象限角时，所以cosA=-=-.所以sin（A+）=sinAcos+cosAsin=×-×=.评析本题根据已知条件逆用两角和的余弦公式得到了sinA=，再对A进行讨论，A可能为钝角，也可能为锐角，所以需要利用分类讨论思想方法求解.例6 求函数y=sinx+cosx+1的周期及最大值.分析要求y=sinx+cosx+1的周期及最大值，一定要先将三角函数化成y=Asin（x+）的形式才能够作出判断，由sinx+cosx=2（sinx+cosx)联想逆用两角和的正弦公式即可得到解题思路.解析y=sinx+cosx+1=2（sinx+cosx)+1=2sin（x+）+1，所以y=sinx+cosx+1的周期为2，最大值为3.评析本题逆用两角和的正弦公式化简了式子，从而解答了此题.四、“1”的变换在三角函数变换过程中，“1”的作用有时是相当大的，“1”的变换主要有1=sin2+cos2，1=tan45°，1=tan?cos等等.例7 求y=+的最小值.分析观察式子，由分母的结构我们联想到1=sin2+cos2的代换，有y=+=+，于是我们找到了解题的思路.解析y=+=+=5+cot2x+4tan2x≥5+2=9（当且仅当tan2=时取等号），即函数的最小值是9.评析解答本题的关键是灵活应用了1=sin2+cos2，从而巧妙解答了此题.五、利用降次与升幂进行变换分析题目的结构，掌握题目结构上的特点，通过降次升幂等手段，为使用公式创造条件，也是三角变换的一种重要策略，常见的降次与升幂公式主要有cos2=，sin2=，cos4+sin4=1-2sin2cos2等.例8 化简．分析这道题的分子与分母部分的次数分别是4次与6次，次数较高，题目不容易下手解答，应当考虑降低式子的次数，联想学过的知识我们有cos4+sin4=（cos2+sin2）2-2sin2cos2=1-2sin2cos2，cos6+sin6=（cos2）3+（sin2）3=（cos2+sin2）（cos4-sin2cos2+sin4）=1-3sin2cos2，这样我们就容易处理问题了.解析因为====.评析在三角恒等变换过程中，若能充分利用降次与升幂等三角变换手段，能快速帮助我们解答一些涉及到高次幂的三角函数问题，希望同学们在备考复习中要注重总结这种方法，以提高自己解答这类题的能力例9 已知函数f（x）=sin2x+cosx+2cos2x，x∈R. 求函数f（x）的最小正周期和单调增区间.分析要求出三角函数的周期及单调增区间，关键是要先化简三角函数式，能得到f（x）=Asin（x+）的形式，再利用周期公式及单调性的定义来解答，观察题目的条件是二次式，考虑降次，联想sin2=，cos2=，我们便得到了解题的思路.解析f（x）= sin2x+cosx + 2cos2x = +sin2x+（1+cos2x）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+.所以f（x）的最小正周期T==.由题意得2k-≤2x+≤2k+，k∈Z，即k-≤x≤k+，k∈Z.所以f(x)的单调增区间为[k-，k+]，k∈Z.评析本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图像和性质等基本知识，以及推理和运算能力，这类题是高考的考查热点，解答的关键是充分利用三角公式进行降幂.六、利用数学思想方法进行变换数学思想与方法是数学知识在更高层次上的概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中.数学思想方法主要有转化与化归思想、整体化思想、特殊与一般化思想等等例10 设锐角三角形ABC的内角A，B ，C，B=，求cosA+sinC的取值范围．分析由三角形的内角和定理可得A+C=-=，要想求得cosA+sinC的范围我们必须利用消元思想把A，C用另一个角表示，即化成只有一个角的形式，这样我们就容易处理问题了.解析因为B=，所以C=-（A+），得cosA+sinC=cosA+sin（--A）=cosA+sin（+A）=cosA+cosA+sinA=sin（A+）.由△ABC为锐角三角形知，-A＞-B，-B=-=?＜A+＜，所以sin（A+）＜．由此有＜sin（A+）＜×，所以cosA+sinC的取值范围为（，）．评析在三角恒等变换过程中，若能充分利用一些重要的数学思想和方法，能快速帮助我们找到解题思路，本小题主要考查利用消元思想与两角和差公式求三角函数式的范围值.七、结构的变换在三角函数变换过程中，认真观察题目，挖掘题目的隐含条件，充分把握题目的整体结构，有助于我们找到解题的思路.例11 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值.分析表面上看，因为20°、40°、80°都不是特殊角，想直接求出它们的值是不可能的，认真观察题目，从把握题目的整体结构入手的话我们可以看出式子结构上给人一种对称美、和谐美的感觉.由已知条件联想类比所学过的二倍角公式2sincos=sin2，我们不妨通过设置辅助因子23sin20°，于是我们找到了解题的思路.解析cos20°cos40°cos60°cos80°=cos20°cos40°cos80°======.评析凡呈二倍角的余弦的连乘结构的题目，均可采用本题之方法，此法有火烧连营之势，妙得很.总之，解答三角恒等变换的题目的方法不拘泥,万变不离其宗，要注意灵活运用,要注意这样的口决，要努力作到“三看”，即（1）看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化；（2）看名,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；（3）看式,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用.责任编校徐国坚注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文。

三角函数变换的方法与技巧 (1)一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。

常见角的变换方式有：ββαα-+=)(；)()(2βαβαα-++=；αβαβα+-=-)(2；22αα=等等。

例1、已知1),tan()tan(-≠-=+n n βαβα，求证：112sin 2sin +-=n n αβ。

分析：在条件中的角βα+和 βα-与求证结论中的角βα2,2是有联系的，可以考虑配凑角。

解： )()(2βαβαβ--+=，)()(2βαβαα-++=，∴)]()sin[()]()sin[(2sin 2sin βαβαβαβααβ-++--+=)sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-++-+-+--+=)tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα-++--+=11)tan()tan()tan()tan(+-=-+----=n n n n βαβαβαβα 二、函数名称的变换三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。

而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。

变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。

如把正(余)切、正(余)割化为正、余弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。

常见的就是切割化弦。

例2 、(2001年上海春季高题)已知k =++αααtan 12sin sin 22 )24(παπ<<，试用k 表示ααcos sin -的值。

分析：将已知条件“切化弦”转化为ααcos ,sin 的等式。

解：由已知k ==++=++ααααααααααcos sin 2cos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22；24παπ<<ααc o s s i n >∴∴ααcos sin -k -=-=-=1cos sin 21)cos (sin 2αααα。

三角函数的题型和方法令狐采学一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。

asinθ+bcosθ=22ba+sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a、b的符号确定，ϕ角的值由tanϕ=ab确定。

（6）万能代换法。

巧用万能公式可将三角函数化成tan2θ的有理式。

2、证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4、解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。

2、三角变换的一般思维与常用方法。

注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如ααββαββαα22122)()(⨯=⨯=+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。

三角函数的同角变换与化简三角函数是数学中的重要概念之一，在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

同角变换与化简是解决三角函数问题的一种常见方法，它充分利用了三角函数的性质和特点，简化了计算过程，提高了计算效率。

本文将探讨三角函数的同角变换与化简方法。

一、三角函数的定义在开始探讨三角函数的同角变换与化简之前，我们首先来回顾一下三角函数的定义。

在直角三角形中，假设角A的对边、邻边和斜边分别为a、b和c，那么正弦函数、余弦函数和正切函数可以定义如下：正弦函数 sin(A) = a / c余弦函数 cos(A) = b / c正切函数 tan(A) = a / b这些函数都是以角A为自变量的函数，它们的值可以通过三角形的边长来确定。

在一般的三角形中，这些函数的定义可以通过三角恒等式进行扩展。

二、同角变换与化简同角变换是指三角函数在角度上发生相同变化时函数值的相互转换。

通过同角变换，我们可以将复杂的三角函数表达式转化为简洁的形式，从而简化计算过程。

下面介绍几种常见的同角变换与化简方法：1. 互余关系互余关系是指两个三角函数的正交关系。

对于任意角A，有以下互余关系成立：sin(A) = cos(90° - A)cos(A) = sin(90° - A)通过互余关系，我们可以将一个三角函数的值转化为另一个三角函数的值，从而简化计算。

2. 和差化积公式和差化积公式是将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的乘积。

对于任意角A和B，有以下和差化积公式成立：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)通过和差化积公式，我们可以将三角函数的加减运算转化为乘法运算，从而简化计算。

3. 倍角公式倍角公式是将一个角的两倍转化为一个三角函数的表达式。

对于任意角A，有以下倍角公式成立：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 1 - 2sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1通过倍角公式，我们可以将一个角的两倍与一个三角函数的表达式建立联系，从而简化计算。

三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1 2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类（解析版）T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sinα1+cosα=1-cosαsinα，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2α2=1-cosα2，cos2α2=1+cosα2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos-75°的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+2415(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.116(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．17(2023·全国·高三专题练习)sin220°-cos220°sin45°cos155°1-sin40°=.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sinα=23，cosβ=-75，则cos(α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.2141519(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cosα=13，cosα-β=223，则cosβ=()A.89B.79C.429D.020(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tanα+π4=15，则tanα=()A.-23B.23C.-13D.1321(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A卷))已知α，β为锐角，且tanα=2，sinα+β= 22，则cosβ=()A.-31010B.31010C.-1010D.101022(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tanαtanβ=2，cosα+β=-15，则cosα-β=()A.35B.-35C.115D.-11523(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cosα-π4=210，则sinα+π3=24【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sinα=13，cos(α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin(α+β)=±13B.cosβ=-79C.cos2β=-1781D.sin(α-β)=-232725(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan(α+β)=3，tanα+π4=-3，则tanβ=()A.-15B.15C.-17D.1726(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sinα=2sinβ，2cosα=cosβ，则sinα-β=.(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cosα=17,cos(α+β)=-1114，则β=.28(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=17，cos(α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．29(2023·河南·校联考模拟预测)设tanα，tanβ是方程x2+33x+4=0的两根，且α,β∈-π2 ,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π330(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=255，sinβ=1010，且α∈0,π2，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π431【多选】(2023·全国·高三专题练习)若tan α+tan β=3-3tan αtan β，则α+β的值可能为()A.π3 B.π6C.-2π3D.-5π632(2023·全国·高三专题练习)已知0<α<π2，cos α+π4 =13．(1)求sin α的值；(2)若-π2<β<0，cos β2-π4=33，求α-β的值．33(2023·全国·高三专题练习)已知角α为锐角，π2<β-α<π，且满足tan α2=13，sin β-α =7210(1)证明：0<α<π4；(2)求β.34(2023·全国·高三专题练习)已知sin π4-α=-55,sin 3π4+β =1010，且α∈π4,3π4,β∈0,π4，求α-β的值为．(四)三角函数式的化简35(2023·福建厦门·统考模拟预测)已知sin α+sin α+2π3=sin π3-α ，则sin α=()A.0B.±217C.±22D.±3236(2023春·山西·高三校联考阶段练习)已知2sin θ+π4 =3cos θ，则sin θsin θ-cos θ=.37(2023·湖北·校联考模拟预测)已知sin x +π4 =-35,3π4<x <5π4，则sin x 1-tan x =()A.21100B.-21100C.7280D.-728038(2023·全国·高三专题练习)已知θ≠k π+π4k ∈Z ，且cos2θcos 3π2-θ=cos θ-sin θ，则tan θ-π4-tan2π2-θ =()A.83B.53C.-13D.-13339(2023·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知α,β∈0,π2,sin (2α+β)=2sin β ，则tan β的最大值为()A.12B.33C.22D.3240(河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题)已知向量a=2cos75°,2sin75°，b =cos15°,-sin15° ，且(2a +b )⊥(a -λb )，则实数λ的值为()A.8B.-8C.4D.-441(2023·陕西·统考一模)在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，且AB =4，BD =2.cos B =1116，cos C =64，则DC =.42【多选】(2023·江苏南通·模拟预测)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中∠COD =2π3，OC =3OA =3，动点P 在CD 上(含端点)，连结OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ =xOC +yOD，则下列说法正确的是()A.若y =x ，则x +y =23B.若y =2x ，则OA ⋅OP=0C.AB ⋅PQ≥-2D.PA ⋅PB ≥11243(广东省潮州市2023届高三二模数学试题)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3tan A tan C =tan A +tan C +3.(1)求角B 的大小；(2)求cos A +cos C 的取值范围.考点二二倍角公式(一)给角求值44【多选】(2023·全国·高三专题练习)下列等式成立的是()A.sin275°-cos275°=32B.12sin15°+32cos15°=22C.sin75°cos75°=14D.1-tan15°1+tan15°=3345(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)4sin40°-tan40°sin75°-cos75°sin75°+cos75°的值为()A.66B.12C.63D.146(2023·重庆·统考模拟预测)式子2sin18°3cos29°-sin29°-1cos6°+3sin6°化简的结果为()A.12B.1C.2sin9°D.247(2023·全国·高三专题练习)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°，若m2+n=4，m n2cos227°-1 =.48(2023·全国·高三专题练习)若λsin160°+tan20°=3，则实数λ的值为()A.4B.43C.23D.433(二)给值(式)求值49【多选】(2023·山西·校联考模拟预测)已知sin x=35，其中x∈π2,π，则()A.tan x=-43B.cos x2=1010C.sin2x=-2425D.cos x-π4=-21050(2023·福建泉州·校考模拟预测)已知cosα=-35,π2≤α≤π，则cos2α+π4=．51(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中)已知sinα-cosα=-23，则sin2α=．52【多选】(2023·全国·高三专题练习)已知cosα+β=-55，cos2α=-45，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是()A.sin2α=35B.cosα-β=-2255C.cosαcosβ=510D.tanαtanβ=1353(2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习)已知α∈0,π，cosα=-35，则cos2α2+π4=．54(2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知α∈0,π2，sin2α=cosπ4-α，则cos2α的值为()A.0B.12C.32D.-3255(2023·全国·高三专题练习)已知sinαsinπ3-α=3cosαsinα+π6，则cos2α+π3=()A.-32B.-1 C.12D.3256(2023·全国·高三专题练习)已知cos2π4+α=45，则sin2α=()A.35B.-35C.15D.-15(三)给值求角57(2023·全国·高三专题练习)已知tan α=13,tan β=-17,且α,β∈(0,π)，则2α-β=()A.π4B.-π4C.-3π4D.-3π4或π458(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π ，cos2α=sin 2α2-cos 2α2，则α=．(四)与同角三角函数的基本关系综合59(2023·全国·高三专题练习)已知α∈π4,π2，且sin2α=45，则3sin α-cos α4sin α+2cos α=60(2023·海南·校联考模拟预测)已知tan α=2，则1-3cos 2αsin2α=．61(2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)已知tan α=2，则sin2αsin 2α+sin αcos α-cos2α-1的值为()A.12B.1C.2D.-1(五)与诱导公式的综合62(2023春·江西南昌·高三统考开学考试)已知tan (π-α)=22，则sin2α=()A.429B.229C.-229D.-42963(2023·全国·高三专题练习)若cos π3-2x =-78，则sin x +π3的值为( ).A.14B.78C.±14D.±7864(2023·河北·统考模拟预测)已知sinα-π6=-25，则cos2α+5π3=()A.825B.1725C.255D.5565(2023·湖北武汉·统考二模)已知sinα+π3=35，则sin2α+π6=()A.2425B.-2425C.725D.-725(六)利用二倍角公式化简求值66(2023·全国·高三专题练习)已知tanα=3，则sinα-π4cosα+π4sin2α=．67(2023·全国·高三专题练习)若sinθ1-cosθ=2，则1+2sin2θ+3cos2θ1-2sin2θ+3cos2θ=()A.5B.43C.2D.468(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin2x+cos2x-2sinπ-xcosπ+xsin9π2-x-cos13π2+x．(1)求fπ12的值；(2)已知fα =23，求sin2α的值．考点三辅助角公式的应用69(2023·全国·高三专题练习)函数y =cos x +cos x -π3x ∈R 的最大值为，最小值为.70(2023·陕西铜川·统考二模)已知函数f x =cos x +π2 cos x +π4，若x ∈-π4,π4，则函数f x 的值域为.71(2023·山东泰安·统考二模)已知sin α+3cos α=233，则sin 5π6-2α =.72(2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测)若sin 2α+π6+cos2α=-3，则tan α=.73(2023·辽宁丹东·统考二模)若cos α≠0,2(sin2α+5cos α)=1+cos2α，则tan2α=()A.-43B.-34C.34D.4374(2023秋·福建莆田·高三校考期中)已知函数f (x )=23sin x cos x -2cos 2x +1.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间-5π12,π6的值域；考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用75(2023秋·河北石家庄·高三统考期末)已知1+cos θsin θ=33，则tan θ2=.76(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π2 ，sin α2-cos α=tan α2，则tan α=( )．A.33B.3C.34D.6277(2023·全国·高三专题练习)若cos α=-45，α是第三象限的角，则1-tan α21+tan α2=()A.2B.12C.-2D.-1278(2023·浙江·校联考二模)数学里有一种证明方法叫做Pr oofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH ⊥AB ，垂足为H ，记∠COB =θ，则由tan ∠BCH =BHCH可以直接证明的三角函数公式是()A.tanθ2=sin θ1-cos θB.tanθ2=sin θ1+cos θC.tanθ2=1-cos θsin θD.tanθ2=1+cos θsin θ(二)三角恒等式的证明79(2023·全国·高三专题练习)已知α，β∈0,π2 ，且满足sin βsin α=cos α+β ．(1)证明：tan β=sin αcos α1+sin 2α；(2)求tan β的最大值．80(2023·高三课时练习)小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2-18°cos48°；+cos248°-sin-18°⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°．(1)请依据②式求出这个常数；(2)相据(1)的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．81(2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习)已知△ABC为斜三角形．(1)证明：tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C；(2)若△ABC为锐角三角形，sin C=2sin A sin B，求tan A+tan B+tan C的最小值．(三)三角恒等变换的综合问题82(2023春·北京·高三清华附中校考期中)已知函数f x =sin x +cos x 2-2sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f x 在区间0,π2上的最大值和最小值，并求相应的x 的值.83(2023·上海浦东新·统考三模)已知向量a =3sin x ,cos x ，b =sin x +π2,cos x .设f x =a ⋅b .(1)求函数y =f x 的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若f A =1，b =4，三角形ABC 的面积为23，求边a 的长.84(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，且满足a +b +c a +b -c =3ab .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 是锐角三角形，求a +2bc的取值范围.85(2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中)已知向量a =sin x +π6,cos 2x ，b =cos x ,-1 ．设函数f x =2a ⋅b +12，x ∈R ．(1)求函数f x 的解析式及其单调减区间；(2)若将y =f x 的图像上的所有点向左平移π4个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数h x 的图像．当x ∈m ,m +π2(其中m ∈0,π2 )时，记函数h x 的最大值与最小值分别为h x max 与h x min ，设φm =h x max -h x min ，且使对∀m ∈0,π2都有k ≥φm 成立，求实数k 的最小值．86(2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中)嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高三年级学生中征集解决方案.如图所示，AB=BC=AC=2km,D是BC中点，E､F分别在AB､AC上，△CDF拟建成办公区，四边形AEDF拟建成教学区，△BDE拟建成生活区，DE和DF拟建成专用通道，∠EDF=90°，记∠CDF=θ.(1)若θ=30°，求教学区所在四边形AEDF的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E-D-F的路程最短？最短路程是多少？三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sin α1+cos α=1-cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2=1-cos α2，cos 2α2=1+cos α2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos -75° 的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+24【答案】C【解析】变形cos -75° =cos 45°-120° 后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.【详解】cos -75° =cos 45°-120° =cos45°⋅cos120°+sin45°sin120°=22×-12+22×32=6-24，故选：C .【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.15(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.1【答案】A【分析】根据诱导公式及三角恒等变换化简求值即可.【详解】已知可化为：sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin 20°+40° =32.故选：A16(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．【答案】-2【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：cos70°-cos20°cos65°=cos (90°-20°)-cos20°cos65°=sin20°-cos20°cos 45°+20°=sin20°-cos20°cos45°cos20°-sin45°sin20°=- 2.故答案为：- 2.17(2023·全国·高三专题练习)sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=.【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为sin 220°-cos 220°=sin20°-cos20° sin20°+cos20° ，cos155°=-cos25°=-cos 45°-20° ，1-sin40°=cos 220°+sin 220°-2sin20°cos20°=cos20°-sin20° =cos20°-sin20°，所以sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=cos20°+sin20°22cos 45°-20° =cos20°+sin20°22×cos45°cos20°+sin45°sin20°=cos20°+sin20° 12cos20°+sin20°=2故答案为：2.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sin α=23，cos β=-75，则cos (α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.21415【答案】A【分析】先根据0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75求出cos α，sin β，再利用两角差的余弦公式求cos (α-β)【详解】解析：∵0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75，∴cos α=1-sin 2α=1-29=73，sin β=1-cos 2β=1-725=325，∴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=73×-75 +23×325=-115，故选：A .19(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cos α=13，cos α-β =223，则cos β=()A.89B.79C.429D.0【答案】D【分析】利用三角恒等变换计算即可，注意整体思想的运用.【详解】解法一：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，又-π<α-β<0,cos α-β =223⇒-π2<α-β<0，∴sin α-β =-13，∴cos β=cos α-α-β =cos αcos α-β +sin a sin α-β=13×223+223×-13 =0，故选：D ．解法二：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，∴cos α-β =sin α，即cos β-α =cos π2-α ∵0<β-α<π，0<π2-α<π2∴β-α=π2-α⇒β=π2,cos β=0，故选：D ．20(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tan α+π4 =15，则tan α=()A.-23B.23C.-13D.13【答案】A【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为tan α+π4 =15，所以tan α=tan α+π4 -π4 =15-11+15×1=-23.故选：A .21(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A 卷))已知α，β为锐角，且tan α=2，sin α+β =22，则cos β=()A.-31010B.31010C.-1010D.1010【答案】D【分析】由条件，结合同角关系求sin α,cos α，再由特殊角三角函数值求α+β，再利用两角差的余弦公式求cos β.【详解】因为tan α=2，所以sin α=2cos α，又sin 2α+cos 2α=1，α为锐角，所以sin α=255，cos α=55，且α>π4．因为α，β为锐角，α>π4，所以π4<α+β<π，又sin (α+β)=22，所以α+β=3π4，故cos β=cos 3π4-α =cos 3π4cos α+sin 3π4sin α=1010．故选：D .22(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tan αtan β=2，cos α+β =-15，则cos α-β =()A.35B.-35C.115D.-115【答案】A【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出sin αsin β,cos αcos β，代入两角差的余弦公式即可.【详解】由题意可得tan αtan β=sin αsin βcos αcos β=2cos α+β =cos αcos β-sin αsin β=-15，即sin αsin β=2cos αcos βcos αcos β-sin αsin β=-15 ，sin αsin β=25cos αcos β=15，故cos α-β =cos αcos β+sin αsin β=35.故选：A .23(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cos α-π4 =210，则sin α+π3=【答案】4-3310【分析】根据同角三角函数的基本关系求出sin α-π4，由cos α=cos π4+α-π4 求出cos α，从而求出sin α，再利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】∵cos α-π4 =210，α∈π2,3π4 ，所以α-π4∈π4,π2，∴sin α-π4 =1-cos 2α-π4 =7210，∴cos α=cos π4+α-π4 =cos π4cos α-π4 -sin π4sin α-π4 =22×210-7210×22=-35，sin α=1-cos 2α=45，所以sin α+π3 =sin αcos π3+cos αsin π3=45×12-35×32=4-3310.故答案为：4-331024【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sin α=13，cos (α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin (α+β)=±13B.cos β=-79C.cos2β=-1781D.sin (α-β)=-2327【答案】BD【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得α+β=π-α，进而可判断A ，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD .【详解】由于0<α<π2且sin α=13，所以cos α=223，又α+β∈π2,3π2 ，cos (α+β)=-223=-cos α，故α+β=π-α或α+β=π+α，当α+β=π+α时，β=π显然不满足，故α+β=π-α，所以sin (α+β)=13，故A 错误，对于B ，cos β=cos α+β cos α+sin α+β sin α=-223×223+13×13=-79，故B 正确，对于C , cos2β=2cos 2β-1=2×-792-1=1781，故C 错误，对于D ，由B 可知sin β=1-cos 2β=429，所以sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β=13×-79-223×429=-2327，故D 正确，故选：BD25(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan (α+β)=3，tan α+π4=-3，则tan β=()A.-15B.15C.-17D.17【答案】D【分析】由tan α+π4 =-3求得tan α，再使用凑配角由tan (α+β)=3求tan β.【详解】tan α+π4 =1+tan α1-tan α=-3，解得tan α=2，则tan β=tan [(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan β=17．故选：D 26(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sin α=2sin β，2cos α=cos β，则sin α-β =.【答案】35/0.6【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得α、β角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.【详解】因为sin α=2sin β，2cos α=cos β，即cos α=12cos β，所以sin 2α+cos 2α=4sin 2β+14cos 2β=1，又4sin 2β+14cos 2β=154sin 2β+14sin 2β+14cos 2β=1，即sin 2β=15，则cos 2β=45，又α、β均为锐角，所以sin β=55，cos β=255，所以sin α=255，cos α=55，所以sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=255×255-55×55=35.故答案为：35(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cos α=17,cos (α+β)=-1114，则β=.【答案】π3/60°【分析】要求β，先求cos β，结合已知可有cos β=cos [(α+β)-α]，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】∵α、β为锐角，∴0<α+β<π∵cos α=17，cos (α+β)=-1114∴sin α=1-cos 2α=437，sin (α+β)=1-cos 2α+β =5314∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=-1114 ×17+5314×437=12由于β为锐角，∴β=π3故答案为：π328(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=17，cos (α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．【答案】π3【详解】因为cos α=17,0<α<π2,所以sin α=437,又因为0<α-β<π2,所以sin (α-β)=3314,所以sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin (α-β)=437×1314-17×3314=32,又因为0<β<π2,所以β=π3.29(2023·河南·校联考模拟预测)设tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，且α,β∈-π2,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π3【答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，所以tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=3，因为tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan α<0,tan β<0,且α,β∈-π2,π2，所以α,β∈-π2,0 ，所以α+β∈-π,0 ，所以α+β=-2π3，故选:B .30(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=255，sin β=1010，且α∈0,π2 ，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π4。

异名三角函数化同名三角函数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：同名三角函数和异名三角函数是高中数学中的重要概念，它们在解决三角函数问题和分析三角形性质时起着至关重要的作用。

同名三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，通常用于解决直角三角形中的各种问题；而异名三角函数包括余割函数、正割函数和余切函数，其定义与性质与同名三角函数有一定的关联，但在实际应用中却往往被忽略或较少涉及。

本文旨在探讨异名三角函数与同名三角函数的关系，通过化简、转换等方法，探讨如何将异名三角函数化为同名三角函数，以及在教学和实际问题中的应用。

本文将从同名三角函数和异名三角函数的定义与性质入手，分析它们之间的联系，探讨将异名三角函数化为同名三角函数的意义和应用领域展望，旨在为学生和相关领域的研究人员提供理论和实践上的启发与帮助。

1.2 文章结构文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的结构安排和每个部分的内容概述的介绍。

文章结构：本文共分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要介绍了本文的写作目的、文章结构和概述。

正文部分是本文的重点，包括同名三角函数的定义与性质、异名三角函数的定义与性质以及异名三角函数与同名三角函数的关系。

结论部分对整篇文章进行总结，并展望了异名三角函数化同名三角函数的意义和应用领域。

每个部分的内容概述：1. 引言部分介绍了本文的写作目的，即探讨异名三角函数和同名三角函数之间的关系。

同时介绍了文章的结构和概述了各部分的内容。

2. 正文部分包括同名三角函数的定义和性质的介绍，以及异名三角函数的定义和性质的介绍，最后讨论了这两者之间的关系，为文章的重点。

3. 结论部分对整篇文章进行了总结，强调了异名三角函数化同名三角函数的意义并展望了其在未来的应用领域。

文章结构清晰，各部分之间的内容逻辑严谨，读者能够清晰地了解本文的结构和各部分的内容概述。

1.3 目的本文旨在探讨异名三角函数与同名三角函数之间的关系，并通过对异名三角函数的定义与性质进行分析，探讨如何将异名三角函数化为同名三角函数的形式。

三角函数异名化同名三角函数是数学上一个重要的分支，在研究三角函数方面，一些抽象的概念受到了许多学者的关注，其中包括三角函数异名化同名。

在中学数学课本中，所谓三角函数异名化同名，就是当两个不同的三角函数的名称描述实际相同的概念时，就称为异名化同名。

下面将从三个方面来介绍三角函数异名化同名。

首先，关于三角函数异名化同名，我们应该了解每个三角函数的异名含义。

若多个三角函数表达相同的概念，那么它们有可能拥有不同的名称。

例如，假设现有三个三角函数：三角函数sinx、三角函数cosx和三角函数tanx，它们在概念上是一致的，只是名称不同。

所以，在学习三角函数异名化同名的过程中，应该搞清每个三角函数的具体含义，以便正确理解它们的概念。

其次，在实际运用中，三角函数异名化同名也有它的优势。

三角函数的应用较为广泛，有些概念可以使用不同的函数来进行描述，而这些函数又具有相同的概念。

在这种情况下，使用三角函数异名化同名来描述，可以更方便地使用这些函数，并且可以有效地避免混淆。

这便大大地提高了三角函数的效率，也为更好地应用三角函数提供了便利。

最后，要正确使用三角函数异名化同名，大家也需要注意一些问题。

总的来说，在使用异名化同名时，应该注意它们有可能描述的对象不同，可能存在一定的差异。

因此，大家在使用的时候，最好事先判断这些函数是否能表达相同的概念，并能够正确掌握它们的含义，以免在应用中出现不必要的错误。

总之，三角函数异名化同名是数学中一个重要的概念，它有助于我们理解不同的三角函数，并能帮助我们更熟练地操作。

真正掌握三角函数的重要性，需要经过多次的练习，只有习得正确的概念和熟练的操作，才能将三角函数的应用推向更高的境界。

三角函数异名化同名公式
三角函数异名化同名公式是指在三角函数的计算过程中，有些
函数的名称可能会有所不同，但其实质是相同的。

在数学中，常见
的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在三角形
的计算、图形函数的绘制等方面起着重要作用。

下面列举一些常见的三角函数异名化同名公式：
1. 正弦函数的异名化同名公式：
- sin(x) = cos(π/2 - x)
- sin(x) = cos(π - x)
- sin(x) = cos(3π/2 - x)
2. 余弦函数的异名化同名公式：
- cos(x) = sin(π/2 - x)
- cos(x) = sin(π + x)
- cos(x) = sin(3π/2 - x)
3. 正切函数的异名化同名公式：
- tan(x) = cot(π/2 - x)
- tan(x) = cot(π + x)
- tan(x) = co t(3π/2 - x)
这些公式在三角函数的计算中起着重要作用，可以帮助简化计
算过程，提高计算效率。

同时，了解这些异名化同名公式也有助于
深入理解三角函数之间的关系，从而更好地应用它们解决实际问题。

总之，三角函数异名化同名公式是数学中常见的概念，掌握这
些公式有助于提高数学计算的效率和准确性，同时也有助于深入理
解三角函数的性质和应用。

希望以上内容能够帮助你更好地理解三角函数异名化同名公式的概念和应用。

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