甘肃省兰州四中2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

兰州市高二上学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）下列命题中真命题是（）①;②命题“”的否定是“”;③“若a>b>0,c<0则”的逆否命题是真命题;④若命题p:。

命题q:。

则命题是真命题。

A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ②③④2. （2分）(2018·河北模拟) 设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若的面积是的三倍，，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）(2012·辽宁理) 在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A . 58B . 88C . 143D . 1764. （2分）若实数x,y满足,则z=x+2y的最小值是（）A . 0B .C . 1D . 25. （2分） (2016高二上·黄石期中) 双曲线 =1和椭圆 =1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 等腰三角形6. （2分） (2018高二下·科尔沁期末) “a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的（）A . 充要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）等差数列中，，则的值为（）A . 50B . 18C . 39D . 368. （2分） (2016高二上·湖北期中) 在△OAB中，C为边AB上任意一点，D为OC上靠近O的一个三等分点，若=λ +μ ，则λ+μ的值为（）A .B .C .D . 19. （2分）(2017·九江模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为，从C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为（）A . ﹣ =1B . ﹣y2=1C . ﹣ =1D . x2﹣ =110. （2分）已知向量=（0，2，1），=（1，﹣1，2 ）的夹角为（）A . 0°B . 45°C . 90°D . 180°11. （2分） (2015高二上·宝安期末) 若动点M（x，y）始终满足关系式 + =8，则动点N的轨迹方程为（）A .B .C .D .12. （2分）如图所示，A,B,C分别为的顶点与焦点，若∠ ABC=90°，则该椭圆的离心率为（）A .B . 1－C . －1D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）在等比数列{an}中，an＞0，（n∈N+）且a3a6a9=8，则log2a2+log2a4+log2a6+log2a8+log2a10=________．14. （1分）(2018·石家庄模拟) 命题：，的否定为________15. （1分）(2017·广西模拟) 椭圆的离心率为________．16. （1分） (2017高二上·南通期中) 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为________．三、解答题： (共6题；共31分)17. （5分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，CD=2，AD=4．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若异面直线PQ与CD所成的角为45°，二面角C﹣BM﹣D的大小为θ，求cosθ的值．18. （1分）(2017·延边模拟) 已知抛物线y= x2 ， A，B是该抛物线上两点，且|AB|=24，则线段AB 的中点P离x轴最近时点的纵坐标为________．19. （5分） (2017高二下·临沭开学考) 如图，在△ABC中，AC=10，，BC=6，D是边BC延长线上的一点，∠ADB=30°，求AD的长．20. （5分） (2016高三上·厦门期中) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．21. （10分）设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S2=12，且a1 ， a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=an•（n﹣λ），且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．22. （5分） (2018高二上·南阳月考) 曲线，设过焦点且斜率为的直线交曲线于两点，且，求的方程.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共31分)17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。

甘肃省兰州市数学高二上学期理数期末联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）命题p：“”,则“非p”为（）A .B . ，C .D .2. （2分） (2018高三上·凌源期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分）取一根长度为5米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米，且以剪得的两段绳为两边的矩形的面积都不大于6平方米的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）“x≥1”是“x+≥2”（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分且必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2019高二下·福州期中) 椭圆C的焦点在 x 轴上，一个顶点是抛物线的焦点，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）已知的三个内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，向量，，若∥，则=（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一上·烟台期中) 若，，，则下列关系成立的是A .B .C .D .8. （2分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A . cm3B . cm3C . 2000cm3D . 4000cm39. （2分） (2018高一下·北京期中) 已知平面向量，，则向量等于（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·韶关模拟) 设M是圆O：x2+y2=9上动点，直线l过M且与圆O相切，若过A（﹣2，0），B（2，0）两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是（）A . =1（y≠0）B . =1（y≠0）C . =1（y≠0）D . =1（y≠0）11. （2分）如图，在正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一下·滨海期末) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=a2+c2﹣ac，ac=4，则△ABC的面积为（）A . 1B . 2C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 点（3，4）不在不等式y≤3x+b表示的区域内，而点（4，4）在此区域内，则实数b的取值范围是________．14. （1分） (2018高一上·上海期中) 已知不等式的解集是，则不等式的解集是________。

甘肃省兰州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·万州期末) 已知为命题，则“ 为假”是“p 为假”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）等差数列的前n项和为Sn ，若，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·河南期末) 已知实数对（x，y）满足，则2x+y取最小值时的最优解是（）A . 6B . 3C . （2，2）D . （1，1）5. （2分） (2016高三上·思南期中) 过抛物线y2=2px焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 不确定D . 钝角三角形6. （2分） (2016高二上·上杭期中) 已知a∈R，“函数y=logax在（0，+∞）上为减函数”是“函数y=3x+a ﹣1有零点”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2016高一下·宜春期中) 一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列，若且前4项和，则此样本的平均数和中位数分别是（）A . 22,23B . 23,22C . 23,23D . 23,248. （2分）(2014·安徽理) 在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，| |=| |=1，• =0，点Q满足 = （ + ），曲线C={P| = cosθ+ sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A . 1＜r＜R＜3B . 1＜r＜3≤RC . r≤1＜R＜3D . 1＜r＜3＜R9. （2分） (2017高三下·漳州开学考) 已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2 ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2 ，则e1e2的取值范围为（）A .B .C . （2，+∞）D .10. （2分）已知A点的坐标是(-1,-2,6)，B点的坐标是(1,2,-6)，O为坐标原点，则向量的夹角是（）A . 0B .C .D .11. （2分） (2016高二上·蕲春期中) 方程 + =1表示曲线C，给出下列四个命题，其中正确的命题个数是（）①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4③曲线C不可能是圆④若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，则1＜t＜．A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2016高二上·商丘期中) 已知F1、F2是椭圆C： =1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥ ，若△PF1F2的面积为9，则b的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·桐乡期中) 若等差数列{an}的公差d≠0且a9 ， a3 ， a1成等比数列，则=________．14. （1分）命题“∃x0∈R，使”的否定为________命题（填“真”或“假”）．15. （1分） (2018高二上·淮北月考) 若点坐标为，是椭圆的下焦点，点是该椭圆上的动点，则的最大值为，最小值为，则 ________．16. （1分） (2015高二上·湛江期末) 已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得 =8a，则双曲线的离心率的取值范围是________．三、解答题： (共6题；共36分)17. （5分）四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，且AB=AD=1，PD=DC=2，E是CD的中点．（Ⅰ）求异面直线AE与PC所成的角；（Ⅱ）线段PB上是否存在一点Q，使得PC⊥平面ADQ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18. （1分） (2017高二下·淄川开学考) 设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为________．19. （5分）为了绘制海底地图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，A，B两点的距离为海里．（1）求△ABD的面积；（2）求C，D之间的距离．20. （10分） (2016高二上·衡水期中) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（1）求证：A1O∥平面AB1C；（2）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．21. （5分） (2017高三上·济宁期末) 数列{an}是公比为q（q＞1）的等比数列，其前n项和为Sn ．已知S3=7，且3a2是a1+3与a3+4的等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设bn= ，cn=bn（bn+1﹣bn+2），求数列{cn}的前n项和Tn ．22. （10分） (2018高三上·南阳期末) 平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点、．①求证：；②求面积的最大值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共36分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2016-2017年甘肃省兰州市第四中学高二第一学期期末考试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.（2016四中理）等比数列{}n a 中，a 5a 14=5,则a 8a 9a 10a 11=（）A.10B.25C.50D.752.（2016四中理）设a=（x ，4，3），b=（3,2，z ），且a//b,则xz 等于（） A.-4 B.9 C.-9 D.964 3.（2016四中理）如果x 2+ky 2=2代表焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）A.），（∞+0B.（0,2）C.），（∞+1 D.（0,1） 4.（2016四中理）“-4＜k ≤0”是“抛物线y=kx 2-kx-1恒在x 轴下方”的（）条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要 5.（2016四中理）若方程11222=+-+λλy x 表示双曲线，则λ的取值范围是（） A.1-＞λ B.2-＜λ C.1-2-＜＜λ D.2-1-＜或＞λλ6.（2016四中理）在等差数列{}n a 中，若a 1+a 2+a 12+a 13=24，则a7为（）A.6B.7C.8D.97.（2016四中理）已知△ABC 中，a=4，b=34，A=30°，则B 等于（）A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°8.（2016四中理）已知三角形的三边长分别为a,b,22b ab a ++，则三角形的最大内角是（）A.135°B.120°C.60°D.90°9.（2016四中理）命题p ：存在实数m ，使方程x 2+mx+1=0有实数根，则“非p ”形式的命题是（）A.存在实数m ，使得方程x 2+mx+1=0无实根B.不存在实数m ，使得方程x 2+mx+1=0有实根C.对任意的实数m ，使得方程x 2+mx+1=0有实根D.至少有一个实数m ，使得方程x 2+mx+1=0有实根10.（2016四中理）抛物线顶点是坐标原点，焦点是椭圆x 2+4y 2=1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是（） A.32 B.3 C.23 D.43 11.（2016四中理）设AB 为过抛物线y2=2px(p ＞0)的焦点的弦，则B A 的最小值为（）A.2p B.p C.2p D.无法确定 12.（2016四中理）已知F 1、F 2是双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点，以线段F 1、F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.324+B.1-3C.213+ D.13+ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.（2016四中理）若点P 到点F （4,0）的距离比他到直线x+5=0的距离少1，则动点P 的轨迹方程是14.（2016四中理）的坐标为则向量），（已知向量c b a b a 43-2),3,1,4(1,5,3+--== 。

甘肃兰州高二上册期末数学试题一、单选题(每小题5分，共60分)1．已知复数其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为A ． 1B ．C ．D ．2．若命题p ：∀x ∈，tan x >sin x ，则命题p 为( )A.∃x 0∈，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈，tan x 0>sin x 0 C.∃x 0∈，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈∪，tan x 0>sin x 03．下列说法错误的是（）A ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小B ．在回归直线方程ˆy=0.2x+0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位C ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1D ．回归直线过样本点的中心（x ， y ） 4．已知0,0>>y x ，若m x yxx y 2822+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m≥4或m≤－2 B ．m≥2或m≤－4 C ．－2＜m ＜4 D ．－4＜m ＜25．若变量满足，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．6．“函数在区间上单调递增”是“”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件7.点到双曲线渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且若=⋅C B sin sin A A sin sin ⋅，则的形状是A.等腰三角形B.直角三角形C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 9．=+⨯+⨯+⨯+⨯)2(1751531311n n A)2(1+n n B ．)211(21+-n C ．)211123(21+-+-n n D ．)111(21+-n10．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过F 直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MN 的中点为，则双曲线的方程为A ．B ．C ．D ．11．已知三角形的三边分别为a ，b ，c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为R .类比三角形的面积可得四面体的体积为( )A ．B ．C ．D ．12．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题5分，共20分） 13．等差数列中，，，则当取最大值时，的值为__________．14．在中，分别是内角的对边，且，，，，若n m⊥，则__________．15．已知点为双曲线的右焦点，直线交于两点，若，，则的虚轴长为________16．函数1223+-=ax x y 只有一个零点，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题（共70分.第17题10分，其余每题各12分，写出必要的解答过程） 17．（10分）已知等比数列的前n 项为和，且，，数列中，，．求数列，的通项和；设n n n b a c .=，求数列的前n 项和．18．（12分）的内角所对的边分别为,且满足0232cos cos =++abc A C (Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若外接圆半径为,求的面积.19．（12分）《道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《道路交通安全法》 第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份1 2 3 4 5 违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：能否据此判断有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过1年 22 8 30 驾龄1年以上 8 12 20 合计302050参考公式及数据：.（其中）20．（12分）16．已知抛物线x y =2与直线：l )1-(x k y =相交于A 、B 两点，点O 为坐标原点 .（1）当k=1时,求OB OA ⋅的值； （2）若OAB ∆的面积等于45，求直线l 的方程. 21．（12分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间22．（12分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．求椭圆E 的方程； 过点作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使⋅为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案：1__5CCADD6__10BCCCD 11__12BB6【详解】若，则对称轴，所以在上为单调递增，取，则对称轴，在上为单调递增，但，所以“在上为单调递增”是“”的必要不充分条件.11.根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，则的面积为，对应于四面体的体积为，故选B．12.构造函数，当时，，故函数在上单调递减.由于是奇函数，故为偶函数.所以函数在上单调递增，且，即.根据函数的单调性可知，当或时，，当时，.所以当或时，.故选B.13．14．1516．16.，，由得或，在上递增，在上递减，或在上递增，在上递减，函数有两个极值点，因为只有一个零点，所以，解得，故答案为.17．（1）；（2）.（1）设等比数列的公比为，∵，，∴，，解得，，∴数列是等比数列，∴．∵，即数列是以2为公差的等差数列，又，∴；（2）∵∵，∴，两式相减得：，∴．18．（1）（2）（Ⅰ）由及正弦定理得从而即又中, ∴.（Ⅱ）外接圆半径为3,,由正弦定理得再由余弦定理,及得∴的面积.19．（1）；（2）有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．（1）由表中数据知，，∴，∴，∴所求回归直线方程为。

2017-2018学年甘肃省兰州高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线y=16x2的准线方程是（）A．x=4 B．x=﹣4 C．y=D．y=﹣2．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3．（5分）“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．A．2B．4C．4D．25．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F 2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A．B． C．D．6．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当||取最小值时，x的值等于（）A．19 B． C．D．7．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞1，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题8．（5分）设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：﹣y2=1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是（）A．B． C．D．9．（5分）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A．B． C． D．11．（5分）已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，=3，则|k|=（）A．2B．C． D．12．（5分）过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）A．B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）给定下列命题：①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；②“若sinα≠，则α≠”；③若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；④命题“∃x0∈R，使x2﹣x+1≤0”的否定．其中真命题的序号是．14．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若，，三向量共面，则λ=．15．（5分）已知A是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围．16．（5分）如图，已知点C的坐标是（2，2）过点C的直线CA与X轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．（1）甲、乙至少有一个是真命题；（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．18．（12分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值．19．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆C上两点，N（3，1）是线段AB的中点．（1）求直线AB的方程；（2）若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程．21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．2017-2018学年甘肃兰州高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线y=16x2的准线方程是（）A．x=4 B．x=﹣4 C．y=D．y=﹣【解答】解：抛物线的方程为y=16x2，其标准方程为x2=y，其开口向上，且p=，则其准线方程为：y=﹣；故选：D．2．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．3．（5分）“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立，当m=2时，满足1＜m＜3，但此时方程+=1等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立故“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B4．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．A．2B．4C．4D．2【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x=2 ，故水面宽为4m．故选：B5．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F 2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），∴=，即e2=，∴e=，即此椭圆的离心率为．故选B．6．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当||取最小值时，x的值等于（）A．19 B． C．D．【解答】解：=（1﹣x，2x﹣3，﹣3x+3），||==求出被开方数的对称轴为x=当时，||取最小值．故选C7．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞1，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题【解答】解：对于命题p：例如当x=10时，8＞1成立，故命题p是真命题；对于命题q：∀x∈R，e x＞1，当x=0时命题不成立，故命题q是假命题；∴命题p∧￢q是真命题．故选：C．8．（5分）设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：﹣y2=1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是（）A．B． C．D．【解答】解：依题意，曲线C1：+=1的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）双曲线C2：﹣y2=1的焦点也为F1（﹣2，0），F2（2，0）∵P是曲线C2与C1的一个交点，设其为第一象限的点由椭圆与双曲线定义可知PF1+PF2=2，PF1﹣PF2=2解得PF1=+，PF2=﹣设∠F1PF2=θ则cosθ==，故选：C9．（5分）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：椭圆的方程为，∴2a=6，2b=4，c=2，连接AF1，BF1，则由椭圆的中心对称性可得△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|，当AB位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为2b=4，l=2a+|AB|=6+|AB|≥6+4=10．故选：D．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A．B． C． D．【解答】解：过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．作EF⊥BC1于F，易证EF⊥平面ABC1D1，可求得EF=B1C=．故选B．11．（5分）已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，=3，则|k|=（）A．2B．C． D．【解答】解：设A在第一象限，如图，设A、B在准线上的射影分别为M，N，过B作BE⊥AM与E，根据抛物线定义，可得：AF=AM=3m，BN=BF=m，∴AE=2m，又AB=4m，∴∠BAF=60°，k=，当A在第四象限时，可得k=﹣．故选：B．12．（5分）过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）A．B． C． D．【解答】解：由题意过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，可得＜|AB|=4b，并且2a＞4b，e ＞1，可得：e＞或1综合可得，有2条直线符合条件时，：e＞或1．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）给定下列命题：①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；②“若sinα≠，则α≠”；③若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；④命题“∃x0∈R，使x2﹣x+1≤0”的否定．其中真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，由x＞1不能得到x＞2，由x＞2能得到x＞1，∴“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，命题①为假命题；对于②，∵“若，则sin”为真命题，∴其逆否命题“若sinα≠，则α≠”为真命题，命题②为真命题；对于③，由xy=0，可得x=0或y=0，∴“若xy=0，则x=0且y=0”为假命题，则其逆否命题为假命题；对于④，∵x02﹣x+1=，∴命题“∃x0∈R，使x2﹣x+1≤0”为假命题，则其否定为真命题．∴真命题的序号是②④．故答案为：②④．14．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若，，三向量共面，则λ=．【解答】解：∵=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），，，三向量共面三向量共面，∴存在p，q，使得=p+q，∴（7，5，λ）=（2p﹣q，﹣p+4q，3p﹣2q）∴，解得p=，q=，λ=3p﹣2q=．故答案为：．15．（5分）已知A是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围（1，2）．【解答】解：∵△APQ是锐角三角形，∴∠PAF为锐角，∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠PAF=∠QAF＜45°∴PF＜AF∵F为座焦点，设其坐标为（﹣c，0）所以A（a，0）所以PF=，AF=a+c∴＜a+c即c2﹣ac﹣2a2＜0解得﹣1＜＜2双曲线的离心率的范围是（1，2）故答案为：（1，2）16．（5分）如图，已知点C的坐标是（2，2）过点C的直线CA与X轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为x+y﹣2=0 ．【解答】解：由题意可知：点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点，又是Rt△OAB的斜边AB 的中点．∴|OM|=|CM|，设M（x，y），则，化为x+y﹣2=0．故答案为x+y﹣2=0．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．（1）甲、乙至少有一个是真命题；（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．【解答】解：若命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅为真命题则△=（a﹣1）2x﹣4a2=﹣3a2﹣2a+1＜0即3a2+2a﹣1＞0，解得A={a|a＜﹣1，或a＞}若命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数为真命题则2a2﹣a＞1即2a2﹣a﹣1＞0解得B={a|a＜﹣，或a＞1}（1）若甲、乙至少有一个是真命题则A∪B={a|a＜﹣或a＞}；（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题（A∩CU B）∪（CUA∩B）={a|＜a≤1或﹣1≤a＜﹣}．18．（12分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）以A为原点建系如图，则S（0，0，3），A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0）．∴=（，1，0），=（，1，﹣3），=（0，2，﹣3）…（6分）（2）设面SBC的法向量为．则令y=3，则z=2，x=，∴．设AB与面SBC所成的角为θ，则sinθ=…12分19．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF ， 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）因为直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，所以AA 1⊥CD ， 由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ， 又AA 1∩AB=A ，于是，CD ⊥平面ABB 1A 1， 设AB=2，则AA 1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A 1D=，DE=，A 1E=3故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE ⊥A 1D ，所以DE ⊥平面A 1DC ， 又A 1C=2，过D 作DF ⊥A 1C 于F ，∠DFE 为二面角D ﹣A 1C ﹣E 的平面角，在△A 1DC 中，DF==，EF==， 所以二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．sin ∠DFE=．20．（12分）已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率e=，A ，B 是椭圆C 上两点，N （3，1）是线段AB 的中点． （1）求直线AB 的方程； （2）若以AB 为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程．【解答】解：（1）离心率e=，设椭圆C ：x 2+3y 2=a 2（a ＞0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意，设直线AB 的方程为y=k （x ﹣3）+1，代入x 2+3y 2=a 2， 整理得（3k 2+1）x 2﹣6k （3k ﹣1）x+3（3k ﹣1）2﹣a 2=0．①△=4[a2（3k2+1）﹣3（3k﹣1）2]＞0，②且x1+x2=，由N（3，1）是线段AB的中点，得．解得k=﹣1，代入②得a2＞12，∴直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0..（6分）（2）圆心N（3，1）到直线的距离d=，∴|AB|=2．当k=﹣1时方程①即4x2﹣24x+48﹣a2=0．∴|AB|=|x1﹣x2|==2，解得a2=24．∴椭圆方程为…（12分）21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：化简得y2=4x（x＞0）．（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，于是①又．⇔（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②又，于是不等式②等价于③由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围．22．（12分）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，得到P2，P3，P4三点在椭圆C上．把P2，P3代入椭圆C，得，得出a2=4，b2=1，由此椭圆C的方程为．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA ），B（m，﹣yA），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，=﹣1解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，…①∵直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，∴==…②①代入②得：又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．。

兰州市高二上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）给定下列两个命题：①“”为真是“”为假的必要不充分条件；②“，使”的否定是“，使”.其中说法正确的是（）A . ①真②假B . ①假②真C . ①和②都为假D . ①和②都为真2. （2分）(2018·绵阳模拟) 已知集合，，集合，则集合的子集个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）已知点P是圆C:x2+y2+4x+ay-5=0上任意一点，P点关于直线2x+y-1=0的对称点在圆上，则实数a等于（）A . 10B . -10C . 204. （2分） (2016高三上·巨野期中) 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A . 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B . 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C . 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D . 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）5. （2分）将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·和平期中) 已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（1）=1，且对任意x∈R都有f （x+4）=f（x），则f（99）等于（）A . ﹣1B . 0D . 997. （2分）(2017·江西模拟) 美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A . 2.81B . 2.82C . 2.83D . 2.848. （2分）已知，，，则（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . a＞c＞bD . b＞c＞a9. （2分） (2017高一下·怀仁期末) 等比数列{an}中，a3 ， a9是方程3x2—11x+9=0的两个根，则a6=（）A . 3B .C . ±D . 以上皆非10. （2分）(2018·唐山模拟) 已知双曲线的左右焦点分别为为坐标原点，点在双曲线上，且，则（）A .B .C .D .11. （2分）若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积F（a）取得最大值时a的值为（）A . 1B .C .D .12. （2分） (2016高一上·青海期中) 设函数f（x）= ．若f（a）=4，则实数a=（）A . ﹣4 或﹣2B . ﹣4 或 2C . ﹣2 或 4D . ﹣2 或 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·台州期末) ________.14. （1分）如图，正方形ABCD的边长为3，M为DC的中点，若N为正方形内任意一点（含边界），则•的最大值为________15. （1分）(2017·凉山模拟) 设点M，N是抛物线y=ax2（a＞0）上任意两点，点G（0，﹣1）满足•＞0，则a的取值范围是________．16. （1分）已知偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x+ ，则f（log 5）的值等于________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲82 81 79 78 95 88 93 84乙92 95 80 75 83 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；若将频率视为概率，对甲学生在培训后参加的一次数学竞赛成绩进行预测，求甲的成绩高于80分的概率；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两中）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18. （10分） (2016高一下·揭阳期中) 如图，在△ABC中，B= ，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若ED= ，求角A的大小．19. （10分） (2016高三上·吉林期中) 已知数列{an}的通项公式为an= ，n∈N*（1）求数列{ }的前n项和Sn（2）设bn=anan+1，求{bn}的前n项和Tn．20. （10分） (2018高三上·沈阳期末) 如图1，在直角梯形ABCD中，，，， M为线段AB的中点. 将沿AC折起，使平面ADC 平面ABC，得到几何体，如图2所示.（1）求证:平面ACD；（2）求二面角的余弦值.21. （10分） (2016高二上·温州期末) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，直线l经过F2且交椭圆C于A，B两点（如图），△ABF1的周长为4 ，原点O到直线l的最大距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2作弦AB的垂线交椭圆C于M，N两点，求四边形AMBN面积最小时直线l的方程．22. （10分）已知函数f（x）=tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求出函数y=f（x）的表达式；（2）对任意的a∈R，求y=f（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（理科）注意事项：1.全卷共150分，考试时间120分钟。

2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上。

3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。

4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，共150分，考试时间120分钟.一、第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小5题分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2017一中理）（5分）抛物线216y x =的准线方程是（ ） A.4x =B.4x =-C.164y =D.164y =-【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析其开口方向以及p 的值，由抛物线的准线方程即可得答案．【解答】解：抛物线的方程为216y x =，其标准方程为2116x y =， 其开口向上，且132p =， 则其准线方程为：164y =-； 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意将抛物线的方程变形为标准方程．2．（2017一中理）（5分）若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点()3,4-，则此双曲线的离心率为（ ）A.B.54C.45D.53【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到,a b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点()3,4-，可得34b a =，即()222916c a a -=，解得53c a =． 故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．3．（2017一中理）（5分）“13m <<”是“方程22113x y m m+=--表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若方程22113xy m m+=--表示椭圆， 则满足103013m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即132m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩，即13m <<且2m ≠，此时13m <<成立，即必要性成立，当2m =时，满足13m <<，但此时方程22113x y m m +=--等价为22111x y +=为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立 故“13m <<”是“方程22113x y m m+=--表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键． 4．（2017一中理）（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（ ）米．A ．22B ．42C ．43D ．23【分析】先建立直角坐标系，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把4y =-代入抛物线方程求得0x 进而得到答案．得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将()2,2A -代入2x my =， 得2m =-∴22x y =-，代入()0,4B x -得022x = 故水面宽为42． 故选：B ．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．5．（2017一中理）（5分）椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ,左、右焦点分别是12,F F ．若1121,,AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A ．14B 5C ．12D 52【分析】由题意可得，1121,2,AF a c F F c F B a c =-==+，由1121,,AF F F F B 成等比数列可得到22215c e a ==，从而得到答案．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c ，由题意可得，1121,2,AF a c F F c F B a c =-==+， ∵1121,,AF F F F B 成等比数列， ∴()()()22c a c a c =-+，∴2215c a =，即215e =， ∴5e =5． 故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用,a c 分别表示出1121,,AF F F F B 是关键，属于基础题．6．（2017一中理）（5分）若()(),5,21,1,2,2A x x x b x x --+-，当AB 取最小值时，x 的值等于（ ） A. 19B ．87-C ．87D ．1914【分析】利用向量的坐标公式求出AB 的坐标；利用向量模的坐标公式求出向量的模；通过配方判断出二次函数的最值．【解答】解：()1,23,33AB x x x =---+，()()()22212333AB x x x =-+-+-+2143219x x -+求出被开方数的对称轴为87x =， 当87x =时，AB 取最小值． 故选：C ．【点评】本题考查向量的坐标公式、考查向量模的坐标公式、考查二次函数的最值与其对称轴有关． 7．（2017一中理）（5分）已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题:,1x q x R e ∀∈>，则（ ） A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题 C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命()p q ∨⌝是假命题【分析】利用函数的性质先判定命题p q ，的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出． 【解答】解：对于命题p ：例如当10x =时，81>成立，故命题p 是真命题； 对于命题:,1x q x R e ∀∈>，当0x =时命题不成立，故命题q 是假命题； ∴命题()p q ∧⌝是真命题． 故选：C ．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，属于基础题． 8．（2017一中理）（5分）设12,F F 为曲线221:162x y C +=的焦点,P 是曲线222:13x C y -=与1C 的一个交点，则12cos F PF ∠的值是（ ）A ．12B C ．13D 【分析】先计算两曲线的焦点坐标，发现它们共焦点，再利用椭圆与双曲线定义，计算焦半径12,PF PF ，最后在焦点三角形12PF F 中，利用余弦定理计算即可．【解答】解：依题意，曲线221:162x y C +=的焦点为()()122,0,2,0F F -， 双曲线222:13x C y -=的焦点也为()()122,0,2,0F F -， P 是曲线2C 与1C 的一个交点，设其为第一象限的点 由椭圆与双曲线定义可知1212PF PF PF PF +=-=解得12PF PF = 设12F PF θ∠=则()()()()222636341cos 326363θ++--==+-， 故选：C ．【点评】本题综合考查了椭圆与双曲线的定义，解题时要透过现象看本质，用联系的观点解题．9．（2017一中理）（5分）已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点,2F 是椭圆的右焦点，则2ABF ∆的周长的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】利用三角形的周长以及椭圆的定义，求出周长的最小值．【解答】解：椭圆的方程为22194x y +=， 26,24,25a b c ∴===，连接11,AF BF ，则由椭圆的中心对称性可得2ABF ∆的周长22122l AF BF AB AF AF AB a AB =++=++=+， 当AB 位于短轴的端点时，AB 取最小值，最小值为24b =， 266410l a AB AB =+=+≥+=.故选：D ．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义及焦点三角形的性质，考查数形结合思想，属于基础题．10．（2017一中理）（5分）如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，O 是底面1111ABC D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ）A ．12B 2C 2D 3【分析】过O 作11AB 的平行线，交11BC 于E ，则O 到平面11ABC D 的距离即为E 到平面11ABC D 的距离．作1EF BC ⊥于F ，进而可知EF ⊥平面11ABC D ，进而根据114EF BC =求得EF ． 【解答】解：过O 作11AB 的平行线，交11BC 于E ， 则O 到平面11ABC D 的距离即为E 到平面11ABC D 的距离． 作1EF BC ⊥于F ，易证EF ⊥平面11ABC D ， 可求得1124EF BC == 故选：B ．【点评】本题主要考查了点到面的距离计算．解题的关键是找到点到面的垂线，即点到面的距离． 11．（2017一中理）（5分）已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线24y x =相交于A B 、两点，F 为抛物线的焦点，3AF FB =，则k =（ ） A ．22B 3C 2D 3【分析】设A 在第一象限，A B 、在准线上的射影分别为,M N ，过B 作BE AM ⊥与E ，根据抛物线定义，可得：3,,60,3AF AM m BN BF m BAF k ====∠==，当A 在第四象限时，可得3k =-． 【解答】解：设A 在第一象限，如图，设A B 、在准线上的射影分别为,M N ， 过B 作BE AM ⊥与E ，根据抛物线定义，可得：3,,2AF AM m BN BF m AE m ====∴=， 又4,60,3AB m BAF k =∴∠==， 当A 在第四象限时，可得3k =- 故选：B ．【点评】本题考查了抛物线的性质、定义，属于中档题．12．（2017一中理）（5分）过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，使得4AB b =，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．5⎛ ⎝⎭B ．)5,+∞C ． 55⎝D ．()55,⎛+∞ ⎝⎭【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB 只与双曲线右支相交，②AB 与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．【解答】解：由题意过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，使得4AB b =，若这样的直线有且仅有两条，可得224b AB b a <=，并且24,1a b e >>，224b AB b a>=，并且24a b >，可得：51e <或5e 综合可得，有2条直线符合条件时，51e <或5e 故选：D ．【点评】本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解；要避免由弦长公式进行计算．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上. 13．（2017一中理）（5分）给定下列命题： ①“1x >”是“2x >”的充分不必要条件； ②“若1sin 2α≠，则6πα≠”； ③若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题；④命题“0,x R ∃∈使20010x x -+≤”的否定． 其中真命题的序号是__________．【分析】①直接由充分条件、必要条件的概念加以判断； ②找给出的命题的逆否命题，由其逆否命题的真假加以判断； ③由原命题的真假直接判断其逆否命题的真假；④首先判断给出的特称命题的真假，然后判断其否定的真假． 【解答】解：对于①，由1x >不能得到2x >，由2x >能得到1x >，∴“1x >”是“2x >”的必要不充分条件，命题①为假命题；对于②， “若6πα=，则1sin 2α=”为真命题， ∴其逆否命题“若1sin 2α≠，则6πα≠”为真命题，命题②为真命题； 对于③，由0xy =，可得0x =或0y =，∴“若0xy =，则0x =且0y =”为假命题，则其逆否命题为假命题；对于④，0,x R ∃∈使20010x x -+≤22000131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，∴命题“0,x R ∃∈使20010x x -+≤”为假命题，则其否定为真命题． ∴真命题的序号是②④．故答案为：②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，着重考查原命题与其逆否命题之间的真假关系，考查了命题与命题的否定，是中档题．14．（2017一中理）（5分）已知()()()2,1,3,1,4,2,7,5,a b c λ=-=--=，若,,a b c 三向量共面，则λ=__________．【分析】,,a b c 三向量共面三向量共面，存在,p q ，使得c pa qb =+由此能求出结果． 【解答】解：()()()2,1,3,1,4,2,7,5,a b c λ=-=--=，,,a b c 三向量共面三向量共面，∴存在,p q ，使得c pa qb =+， ()()7,5,2,4,32p q p q p q λ∴=--+-274532p q q p p q λ-=⎧⎪∴-=⎨⎪=-⎩， 解得331765,,32777p q p q λ===-=． 故答案为：657． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共面定理的合理运用．15．（2017一中理）（5分）已知A 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线C 于P Q 、两点，若APQ ∆是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的范围 ． 【分析】利用双曲线的对称性及锐角三角形45PAF ∠<得到AF PF >，求出A 的坐标；求出,AF PF 得到关于,,a b c 的不等式，求出离心率的范围． 【解答】解：APQ ∆是锐角三角形，PAF ∴∠为锐角，双曲线关于x 轴对称，且直线AB 垂直x 轴，45PAF QAF ∴∠=∠<, AF PF ∴>F 为座焦点，设其坐标为(),0c -所以(),0A a所以2,b AF a c PF a =+=2b ac a∴<+即2220c ac a --< 解得12ca-<< 双曲线的离心率的范围是()1,2 故答案为：()1,2【点评】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：222c a b =+考查双曲线的离心率问题就是研究三参数,,a b c 的关系．16．（2017一中理）（5分）如图，已知点C 的坐标是()2,2过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ，设点M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程为__________．【分析】由题意可知：点M 既是Rt ABC ∆的斜边AB 的中点，又是Rt OAB ∆的斜边AB 的中点，可得OM CM =，利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：由题意可知：点M 既是Rt ABC ∆的斜边AB 的中点，又是Rt OAB ∆的斜边AB 的中点． OM CM ∴=，设(),M x y ()()222222x y x y +-+-化为20x y +-=． 故答案为20x y +-=.【点评】本题考查了直角三角形的斜边的中线的性质和两点间的距离公式，属于基础题． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.请将解答过程写在答题卡的相应位置）. 17（2017一中理）（一中）．（10分）给出两个命题： 命题甲：关于x 的不等式()2210x a x a +-+≤的解集为∅， 命题乙：函数()22xy a a =-为增函数． 分别求出符合下列条件的实数a 的范围． （1）甲、乙至少有一个是真命题； （2）甲、乙中有且只有一个是真命题．【分析】根据二次函数的图象和性质可以求出命题甲：关于x 的不等式()2210x a x a +-+≤的解集为∅为真命题时，a 的取值范围A ，根据对数函数的单调性与底数的关系，可以求出命题乙：函数()22xy a a =-为增函数为真命题时，a 的取值范围B ．（1）若甲、乙至少有一个是真命题，则A B 即为所求 （2）若甲、乙中有且只有一个是真命题，则()()U U A C B C A B 即为所求．【解答】解：若命题甲：关于x 的不等式()2210x a x a +-+≤的解集为∅为真命题 则()222143210a a a a ∆=--=--+<，即23210a a +->，解得113A a a a ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或若命题乙：函数()22xy a a =-为增函数为真命题 则221a a -> 即2210a a -->解得112B a a a ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或（1）若甲、乙至少有一个是真命题 则1123AB a a a ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或；（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题()()111132U U A C B C AB a a a ⎧⎫=<≤-≤<-⎨⎬⎩⎭或.【点评】本题以复合命题的真假判断为载体考查了函数的性质，其中分析出命题甲乙为真时，a 的取值范围，是解答的关键．18．（2017一中理）（12分）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，3SA =，（1）如图建立空间直角坐标系，写出,SB SC 的坐标； （2）求直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值．【分析】（1）以A 为原点建系，则()()()()0,0,3,0,0,0,3,1,00,2,0S A BC ，即可求解．（2）求出面SBC 的法向量 ()3,3,2n =．设AB 与面SBC 所成的角为θ，则3sin 4n AB n ABθ⋅==⋅． 【解答】解：（1）以A 为原点建系如图，则()()()()0,0,3,0,0,0,3,1,00,2,0S A BC ．()()()3,1,0,3,1,3,0,2,3,AB SB SC ∴==-=-…（6分）（2）设面SBC 的法向量为(),,n x y z =． 则330230n SB x y z n SC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令3y =，则()2,3,3,3,2z x n ==∴=.设AB 与面SBC 所成的角为θ，则3sin 4n AB n ABθ⋅==⋅…12分【点评】本题考查了空间向量的应用，属于中档题．19．（2017一中理）（12分）如图，直棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB AB ===． （Ⅰ）证明：1//BC 平面1ACD ; （Ⅱ）求二面角1D AC E --的正弦值．【分析】（Ⅰ）通过证明1BC 平行平面1ACD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明1//BC 平面1ACD （Ⅱ）证明DE ⊥平面1ACD ，作出二面角1D AC E --的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结1AC 交1AC 于点F ，则F 为1AC 的中点， 又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ， 因为DF ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， 所以1//BC 平面1ACD ． （Ⅱ）因为直棱柱111ABC A B C -，所以1AA CD ⊥， 由已知,AC CB D =为AB 的中点，所以CD AB ⊥， 又1AA AB A =，于是，CD ⊥平面11ABB A ，设22AB =，则12AA AC CB ===，得90ACB ∠=， 112,6,3,3CD A D DE A E ====故22211A D DE A E +=，即1DE AD ⊥，所以DE ⊥平面1A DC ， 又122AC =，过D 作1DF AC ⊥于F ，DEF ∠为二面角1D AC E --的平面角， 在1A DC ∆中，116A D DC DF AC ⋅==，2232EF DE DF =+=， 所以二面角1D AC E --的正弦值．6sin DE DEF EF ∠==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．（2017一中理）（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率6e =，,A B 是椭圆C 上两点，()3,1N 是线段AB 的中点．（1）求直线AB 的方程；（2）若以AB 210x y +-=相切，求出该椭圆方程．【分析】（1）根据椭圆的性质，利用离心率公式，得到椭圆()222:30C x y a a +=>，设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为()31y k x =-+，联立消元，得到含有参数k 的关于x 的一元二次方程，利用判别式，韦达定理中点坐标公式，求得直线方程． （2）由圆心()3,1N10y +-=的距离d，可得AB =1k =-时方程①即2212424480,x x a AB x -+-=-224a =．【解答】解：（1）离心率e =，设椭圆()222:30C x y a a +=>， 设()()1122,,,A x y B x y 由题意，设直线AB 的方程为()31y k x =-+，代入2223x y a +=， 整理得()()()2222316313310k x k k x k a +--+--=．①()()2224313310a k k ⎡⎤∆=+-->⎣⎦，②且()12263131k k x x k -+=+，由()3,1N 是线段AB 的中点，得1232x x +=． 解得1k =-，代入②得212a >，∴直线AB 的方程为()113y x -=--，即40x y +-=..（6分） （2）圆心()3,1N10y +-=的距离d，AB ∴= 当1k =-时方程①即22424480x x a -+-=． 1221206124x x a x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=-⎪⎩12AB x ∴-224a =．∴椭圆方程为221248x y +=…（12分） 【点评】题主要考查了椭圆的性质以及和椭圆和直线的位置关系，关键设点的坐标，利用方程的思想，属于中档题．21．（2017一中理）（12分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点()1,0F 的距离减去它到y 轴距离的差都是1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设(),P x y 是曲线C 上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．（Ⅱ）首先由于过点(),0M m 的直线与开口向右的抛物线有两个交点,A B ，则设该直线的方程为x ty m =+（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现0FA FB ⋅<的等价转化；最后通过,m t 的不等式求出m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设(),P x y 是曲线C 上任意一点，那么点(),P x y ()10x x =>化简得()240y x x =>．（Ⅱ）设过点()(),00M m m >的直线l 与曲线C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ．设l 的方程为x ty m =+，由24x ty m y x =+⎧⎨=⎩得()22440,160y ty m t m --=∆=+>，于是121244y y t y y m+=⎧⎨⋅=-⎩①又()()()()()()112212*********,,1,,01110FA x y FB x y FA FB x x y y x x x x y y =-=-⋅<⇔--+=-+++<② 又24y x =，于是不等式②等价于()()222222121212121212121102104444164y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫⎡⎤⋅+-++<⇔+-+-+< ⎪⎣⎦⎝⎭③由①式，不等式③等价于22614m m t -+<④对任意实数2,4t t 的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于2610m m -+<，解得33m -<+由此可知，存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<，且m 的取值范围(3-+．【点评】本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．22．（2017一中理）（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，四点()()12341,1,0,1,,P P P P ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭中恰有三点在椭圆上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A B 、两点，若直线2P A 与2P B 直线的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到234,,P P P 三点在椭圆C 上．把23,P P 代入椭圆C ，求出224,1a b ==，由此能求出椭圆C 的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设():1l y kx b b =+≠，与椭圆方程联立，得()222418440kx kbx b +++-=，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点()2,1-．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，得到234,,P P P 三点在椭圆C 上．把23,P P 代入椭圆C ，得22211,1344b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得出224,1a b ==，由此椭圆C 的方程为2214x y +=． 证明：（2）①当斜率不存在时，设()():,,,,A A l x m A m y B m y =-， ∵直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，22111A A P A P B y y k k m m---+=+=- 解得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设():1l y kx b b =+≠()()1122,,,A x y B x y ，联立2244y kx bx y =+⎧⎨+=⎩，整理，得()222418440k x kbx b +++-=， 12221228144414kb x x k b x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩…① ∴直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-， ∴()()()()2212211212212112121121111P A P B x kx b x kx b kx x b x x y y k k x x x x x x +-++-+-+--+=+===-…②①代入②得：()()()21111k b b b -=--+又1,21b b k ≠∴=--，此时64k ∆=-，存在k ，使得0∆>成立， 直线l 的方程为21y kx k =--， 当2x =时，1y =-，l ∴过定点()2,1-．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．。

2017-2018学年甘肃省兰州四中高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣107．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．48．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．“x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为．15．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．16．（5分）设双曲线C：分别为双曲线C的左、右焦点．若双曲线C存在点M，满足|（O为原点），则双曲线C的离心率为．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．19．（12分）已知集合A是函数y=lg（20﹣8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣1（a∈R）．（1）若对任意实数x，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜2x﹣3．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．2017-2018学年甘肃省兰州四中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项【解答】解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，∴a n==，∴=2=，∴n=26，故2是这个数列的第26项，故选：C．2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解答】解析：∵2cosB•sinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．答案：C3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]【解答】解：根据变量x，y满足约束条件画出可行域，由⇒A（3，﹣3），由图得当z=x﹣y过点A（3，﹣3）时，Z最大为6．故所求z=x﹣y的取值范围是（﹣∞，6]故选：D．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．5．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．【解答】解：方法一：若a＜b＜0，不妨设a=﹣2，b=﹣1代入各个选项，错误的是A、B、D，故选C．方法二：∵a＜b＜0∴a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）＞0即a2＞b2，故选项A不正确；∵a＜b＜0∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0即a2＞ab，故选项B不正确；∵a＜b＜0∴﹣1=＜0即＜1，故选项C正确；∵a＜b＜0∴＞0即，故选项D不正确；故选C6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，∴﹣=﹣+，=﹣×，解得a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14故选：B7．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为x2=y，其中p=，则抛物线的焦点到准线的距离p=，故选：C．8．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若与共线，则1×2﹣m（m﹣1）=0，即m2﹣m﹣2=0，得m=2或m=﹣1，则“m=2”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．“x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为：“若x2≤1，则x≤1”，故A 错误；“x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的既不充分又不必要条件，故B错误；命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故C错误；若x=y，则x与y的各三角函数值相等，再由逆否命题与原命题等价，故D正确；故选D．11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由得，，∴，当且仅当x=y=时取等号．故选：D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a．∴．故选：A．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，2+2] ．【解答】解：当x＞2时，不等式恒成立，即求解x+的最小值，x+=x﹣2++2=2+2，当且仅当x=2+时，等号成立．所以a的取值范围是：（﹣∞，2+2]．故答案为：（﹣∞，2+2]．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为或．【解答】解：∵，∴cosB×tanB=sinB=∴B=或故选B．15．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，则a=5，由椭圆的定义得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20，又由|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8，故答案为：8．16．（5分）设双曲线C：分别为双曲线C的左、右焦点．若双曲线C存在点M，满足|（O为原点），则双曲线C的离心率为．【解答】解：如图，由题意可设M（），代入双曲线方程，可得，∴，由，可得|MF1|=3|MF2|，又|MF1|﹣|MF2|=2a，则|MF2|=a，∴，整理得：c2=2a2，即．故答案为：．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知得解得…（4分）∴a n=3+（n﹣1）×1，即a n=n+2…（6分）（2）由（1）知，b1+b2+b3+…+b10=21+22+…+210=…（10分）=2046…（12分）18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得b2=4+25﹣2×2×5×=17，∴b=；（2）∵cosB=，∴sinB==由正弦定理=，即=，解得sinC=19．（12分）已知集合A是函数y=lg（20﹣8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由条件得：A={x|﹣10＜x＜2}，B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}若A∩B=∅，则必须满足所以，a的取值范围的取值范围为：a≥11；（2）易得：¬p：x≥2或x≤﹣10，∵¬p是q的充分不必要条件，∴{x|x≥2或x≤﹣10}是B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}的真子集，则∴a的取值范围的取值范围为：0＜a≤1．20．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵ADEF为正方形，∴ED⊥AD．又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD．又∵ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD．又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC．∵AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，∴BD=BC==2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，∵BD∩ED=D，∴BC⊥平面BDE．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，2，0），E（0，0，2），C（0，4，0），=（2，2，﹣2），=（0，4，﹣2），设平面BEC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（1，1，2），平面ADEF的法向量=（0，1，0），设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ，则cosθ===．∴平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣1（a∈R）．（1）若对任意实数x，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜2x﹣3．【解答】解：（1）对任意实数x，f（x）＜0恒成立，即有a=0时，﹣1＜0恒成立；a＜0时，判别式小于0，即为a2+4a＜0，解得﹣4＜a＜0；a＞0时，不等式不恒成立．综上可得，a的范围是（﹣4，0]；（2）由题意可得ax2﹣（2+a）x+2＜0，可化为（x﹣1）（ax﹣2）＜0，a＞0，10当0＜a＜2时，∴＞1，其解集为（1，）；20当a=2时，即=1，其解集为∅，30当a＞2，即＜1，其解集为（，1）．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），∴，解得，b=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）k1+k2是定值．证明如下：设过M的直线：y=k（x﹣1）=kx﹣k或者x=1①x=1时，代入椭圆，y=±，∴令A（1，），B（1，﹣），k1=，k2=，∴k1+k2=2．②y=kx﹣k代入椭圆，（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）=0设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=，y1+y2=﹣2k=，y1y2=k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2=﹣，k1=，k2=，∴k1+k2==2．。

甘肃省兰州市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·荆门期中) 将集合表示成列举法，正确的是（）A . {2，3}B . {(2，3)}C . {x＝2，y＝3}D . (2，3)2. （2分）已知等比数列{an}的公比为q，则“”是“{an}为递减数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当a<b时，。

则函数有（）（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A . 最大值为，无最小值B . 最大值为，最小值为1C . 无最大值，无最小值D . 无最大值，最小值为14. （2分）已知双曲线x2-4y2=4上一点P到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么P点到另一焦点的距离等于（）A . 10C .D .5. （2分）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A .B .C .D .6. （2分）抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（）A .B . 1C . 2D . 47. （2分）如图. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填（）A . i≥10?B . i≥11?D . i≥12?8. （2分）(2020·西安模拟) 将函数的图象向右平移个单位长度得函数的图象，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数图象.则（）A . 是偶函数且在单调递增B . 是偶函数且在单调递减C . 是奇函数且在单调递增D . 是奇函数且在单调递减9. （2分）A .B .C .D .10. （2分）若A（－2，3），B（3，－2），C（，ｍ）三点共线则ｍ的值为（）A .B .C . －2D . 211. （2分）(2017·绵阳模拟) 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）A . 50B . 75C . 25.5D . 37.512. （2分） (2019高二下·鹤岗月考) 已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是（）A . 函数在上为单调递增函数B . 是函数的极小值点C . 函数至多有两个零点D . 时，不等式恒成立二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·凌源期末) 已知，且，则的最小值是________．14. （1分） (2015高二下·福州期中) 如图：在底面为平行四边形的棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．则向量可用 = ， = ， = 表示为________．15. （1分） (2017高一下·濮阳期末) 已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=________．16. （1分）若直线f（x）=x+t经过点P（1，0），且f（a）+f（2b）+f（3c）=﹣，则当3a+2b+c=________ 时，a2+2b2+3c2取得最小值．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高二上·兴庆期中) 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题： ,不等式恒成立.（1）若“ ”是真命题，求实数的取值范围；（2）若“ ”为假命题，“ ”为真命题，求实数的取值范围.18. （10分） (2018高二上·通辽月考) 已知数列{an}，且an+1＝3an－2(n∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式（2）设，求数列的前n项和为Sn19. （5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4sinAsinC﹣4cos2=﹣2．求角B的大小20. （5分） (2017高二下·邢台期末) 中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取6名同学进步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计甲，乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（Ⅱ）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；（Ⅲ）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．21. （10分） (2016高二下·六安开学考) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22. （10分）(2018·临川模拟) 如图所示，在四棱锥中，平面是的中点, .（1）证明：平面；（2）若是上的点，且，求二面角的正弦值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。