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导数的概念课题：导数的概念课时：1课时课型：新授课一、教学目标1.知识与技能目标通过实例的分析，理解平均变化率，瞬时变化率的概念，了解它们之间的关系.2.过程与方法目标通过导数概念的形成过程，体会导数的思想及内涵，感悟极限思想.3.情感态度与价值观目标通过对导数概念的学习，体会逼近、类比，以已知求未知，从特殊到一般的数学思想方法.二、教学重难点1.重点导数概念的形成过程及导数概念的内涵. 2. 难点对导数概念的理解.三、 教学设计（一） 复习引入，温故知新 函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为代数定义 y x ∆=∆2121()()f x f x x x --几何含义函数在给定点附近的平均变化率f f 1()f x -y x ∆=∆11()()f x x f x x +∆-∆问：在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?（二） 讲授新知，讨论练习（1）问题：跳水运动员从m 10高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。
假设t 秒后运动员相对于水面的高度为()105.69.42++-=t t t H ,计算运动员在2秒到t ∆+2秒内的平均速度。
那么如何求运动员在第2秒的瞬时速度呢?（2）瞬时速度：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不一定能反映他在某时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2=t时的瞬时速度是多少？我们先考察2=t附近的情况.在2=t之前或之后，任意取一个时刻2，t∆是时间的改变量，可以是正值，也可以是负值，但不能为+t∆0.当0<∆t时，t∆+2在2之后.计算区间∆t时，t∆+2在2之前，当0>[]2,+和区间[]t∆+2,2内的平均速度v，可以得到如下表格：2t∆平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?()10tH=tt+5.69.42+-当t∆趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?我们发现，当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1. 从物理角度看，时间间隔t ∆无限变小时，平均速度v 就无限趋近与2=t 时的瞬时速度.因此，运动员在2=t 时的瞬时速度是s m /1.13-.()()".1.13,0,2"1.1322lim ,0-∆=-=∆-∆+→∆定值趋近于确平均速度时趋近于当表示我们用为了表述方便v t t th t h t ()().0221.13时的极限趋近于当是我们称确定值t th t h ∆∆-∆+-(2)(2)h h t h t t∆+∆-=∆∆ 4.913.1t =-∆-0当t ∆→4.913.113.1有t -∆-→-:00思考为什么要从和两方面来说明？t t ∆>∆<00(2)(2)lim lim 13.1t t h h t h t t ∆→∆→∆+∆-==-∆∆（3）定义：函数 )(x f y =在 0x x = 处的瞬时变化率是x x x f x x f x x y lim )()Δ(lim 0000∆∆=∆-+→∆→∆称为函数)(x f y = 在0x x =处的导数, 记作)(0x f '或0x x y ='，即。
§3.1.3导数的几何意义教学设计
一、教材内容与解析
本节课设计内容是高中数学选修1-1(人教A版P76-P78)，导数的几何意义，导数是中学数学的重要内容．本节课是在学习前两节的变化率问题、导数的概念之后，从几何图形的角度来研究导数，理解一般曲线的切线定义，渗透“以直代曲”的数学思想，会简单应用导数的几何意义。
为后续的导数研究函数其他性质（如极值等）奠实基础。
因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．
二、教学目标
根据本课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，考虑学生已有的认知结构与心理特征，我制定以下教学目标：
（一）知识与技能 :
通过实验探求和理解导数的几何意义；
体会导数在刻画函数性质中的作用；
（二）核心素养目标
通过具体情境分析概括出切线的定义，培养学生学生数学抽象核心素养，“以直代曲”
的渗透逼近培养直观想象核心素养
三、教学的重点难点
本着新课程标准的教学理念，针对教学内容的特点，同时根据学生学习能力和旧有的知识的特点，我认为学生在定义了曲线的切线后，对于导数的几何意义为什么会与切线相关，如何相关会产生疑惑。
因此我确定以下重点和难点：
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：导数的几何意义．
突破了重点难点，也就解决了存在的问题
四、教学支持条件分析
本着新课程标准的教学理念，根据本章特点，重视信息技术的使用，采用多媒体辅助教学，用动画的形式演示，将抽象的理论通过直观的图形说明白，学生简单易懂
五、教学过程设计
平均变化率 瞬时变化率(导数）x
y ∆∆x y x ∆∆→∆0lim
六、目标检测设计。
《导数的概念》教学设计一、教学内容解析导数是微积分学的核心概念之一，不仅是数学知识，也是一种数学思想，也蕴含着函数思想和极限的思想方法，本节内容的核心是用平均变化率的极限来刻划瞬时变化率，从而引出导数的概念。
从教材的编写看，淡化了极限的形式化定义，直接通过实例来反映导数的思想和本质。
导数属于事实型知识（函数的瞬时变化率是客观存在的），导数是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具。
因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、效率最高、用料最省等实际问题的最有力的工具。
在天文、地理等各方面都有广泛的应用，教材中也是有实例引出导数概念，再由实际问题来巩固导数的概念。
让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法，领悟“无限趋近”思想，进一步体会数学的本质。
二、学生学情分析学生已较好地掌握了函数的平均变化率及高一物理中的平均速度、瞬时速度，并积累了一定量的关于函数变化率的经验；高二年级的学生思维较活跃，并具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力；对导数这一新鲜的概念，具有较强的求知欲和渴望探究的积极情感态度。
由于瞬时变化率就是导数，又是用平均变化率“无限接近”进行研究，而“无限”是非常抽象的，是学生首次接触，要求学生既要具备一定的直观感悟能力，又要具有较高的抽象思维能力。
从平均速度、瞬时速度到平均变化率、瞬时变化率，是将实例抽象为数学模型，是本节认识的一次飞跃，借助几何画板的动态演示学生能初步感悟，但是对“是无限趋近于0，但始终不能为0”，学生不能自主或合作顺利完成，需要教师在此充分发挥作用进行点拨．综上分析确定本节的难点是：对极限思想的感悟及用平均变化率的极限刻划瞬时变化率的科学性。
突破策略为：用几何画板动态直观演示以降低思维难度；多利用实例以降低抽象程度，强化对过程的感悟；给足时间让学生充分合作交流；教师恰当精讲点拨。
三、教学目标1、掌握导数的概念；会依据定义求简单函数在某点处的导数，能初步按定义归纳求函数在某点处导数的基本步骤。
第三章导数及其应用§3.1.1变化率问题一．教材分析：新课标对本节的要求是：“通过大量实例的分析，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。
”新课标对导数及其应用内容是按照“平均变化率——瞬时变化率——导数的概念——导数的几何意义”的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数。
变化率问题在内容上起到承上启下的作用。
一方面变化率问题是对前面所学过的函数性质的进一步深入研究，另一方面本节通过实例分析，总结归纳出一般函数的平均变化率，同时探讨平均变化率的几何意义，为下节研究瞬时速度和切线斜率作知识铺垫，对导数概念的形成起着奠基作用，同时在这个过程中渗透着从特殊到一般、从具体到抽象以及数形结合等数学思想方法，对于培养学生的观察、分析、归纳总结能力具有十分重要的意义。
二．学情分析：在学习本节课之前，学生已学过直线斜率、物体运动的平均速度等知识，具有一定的归纳、概括、类比等能力基础，但是从特殊到一般，从具体到抽象的概念构建过程会有认知障碍。
三．教学目标：1．知识与技能：理解平均变化率的概念及意义，掌握求函数平均变化率的基本步骤，会求函数在某点处附近的平均变化率。
2．过程与方法：体验从特殊到一般，从具体到抽象和数形结合的思想方法和以直代曲的思想。
3．情感态度与价值观：培养学生严谨的学习态度，勇于探究的精神和合作交流的习惯。
四．教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 五．教学难点：平均变化率的概念．六．教学方法：引导启发式、师生合作式、多媒体教学模式。
七．学习方法：教师引导和自主探究相结合 八．教学过程： 1.创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; （2）求曲线的切线;（3）求已知函数的最大值与最小值; （4）求长度、面积、体积和重心等。
3.1.1变化率问题教学设计一、教材分析本节内容选自课程标准实验教科书人教A版选修1-1第三章第一节的内容。
导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。
平均变化率是为了导数的引入做过渡性的铺垫，理解平均变化率并以此为基础再到瞬时变化率的过程，是理解导数思想的关键环节。
二、学情分析学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．三、教学目标知识与技能：1.理解平均变化率的概念；2.通过具体的事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程.过程与方法：1.通过动手计算培养学生的观察、分析、比较和归纳能力；2.通过对实际问题的探究使学生体会从特殊到一般的数学思想.情感、态度与价值观：感受数学模型在刻画客观世界的过程，体会数学在生活中的意义与作用.四、教学重点、难点重点：平均变化率概念的归纳；难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程.五、教学方法引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解如何求函数的平均变化率.六、教学过程（一）、合作探究探究1：问题1：2010年至2012年这2年内我国人均GDP 平均每年增加多少美元？ 2010年至2017年这7年内我国人均GDP 平均每年增加多少美元？思考1：如何从数学角度刻画2010年至2017年这7年我国人均GDP“猛增”？【设计意图】通过创设情境，引导学生感受生活中数学的意义，构建模型，归纳数学知识.探究2：现某市某年3月和4月某天日最高气温记载（注：3月18日为第一天）问题2：如何表示3月18日到4月18日、4月18日到4月20日的温度变化？思考2：如何从数学角度刻画气温“陡增”？【设计意图】：从数学实际背景出发，进一步引导学生利用现有知识解决问题，让学生意识到事物变化的快慢程度.探究3：我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 问题3：当V 从0增加到1时,气球半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？思考3：如何从数学的角度描述气球的膨胀快慢？【设计意图】通过生活实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上构建新知识，深刻体会平均变化率概念的构建.问题4：由探究得出平均变化率计算关系式，他们有什么共同特点?对于一般函数f (x )，如何计算其平均变化率？归纳出结论：平均变化率的概念【设计意图】让学生结合实例，对比、分析，抽象概括出一般形式，经历由特殊到一般的数学过程.问题5： 观察函数f (x )的平均变化率xyx x x f x f ∆∆=--1212)()( ，你能联想到什么？【设计意图】从几何角度得到平均变化率的几何意义，体现数形结合的思想.（二）、精讲释疑例1：已知函数f (x ) =2x +1、g (x ) =-2x , 分别计算在区间 [-3, -1]、[0, 5]上 f (x )及 g (x )的平均变化率．思考：一次函数y =kx +b (k ≠0)在区间[m,n ]上的平均变化率有什么特点？例2：求2x y =在0x x =附近的平均变化率.（三）、训练检测1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线,求出当1.0=∆x 时割线的斜率.（四）、课堂小结 通过节课你收获了什么？ 知识层次： 思想层次：。
《3.1.1变化率问题》说课稿一、内容和内容解析（1）内容：本节主要包括两方面的内容：变化率和导数的概念。
从平均变化率开始，用平均变化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种不同变化率在数量上的精确描述，即导数。
（2）内容解析：通过实例，让学生切身体会平均变化率；再经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，在对实际背景问题研究的基础上，抽象概括出导数的概念。
导数的概念是微积分的核心概念之一，是即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的基础。
导数是研究事物变化快慢，研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化问题的有力工具。
本节内容课堂教学的主线是渗透其中蕴涵的逼近思想，教学重点是导数的概念。
二、目标和目标解析（1）目标①了解微积分的概貌及其在数学中的位置，经历运用数学描述刻画现实的过程；②理解变化率的概念，体验由平均变化率到瞬时变化率的过程；③掌握导数的概念，探究运用形象直观的“逼近”方法定义导数的过程。
（2）目标解析①了解微积分的概貌及其在数学中的位置，让学生接受数学文化的熏陶，体会数学的价值。
有关微积分起源的具体例子的列举，像计算抛物线弓形的面积（建筑物的上顶）、求速度的问题（高台跳水）等，会引发学生的求知欲，而经历运用数学描述刻画现实的过称可以通过气球膨胀率作为平均变化率的应用实现。
②理解平均变化率和瞬时变化率的概念，这一点可以用高台跳水的例子实现。
③导数的定义是在反思瞬时速度建立过程的基础上，总结思想和计算方法，有特殊到一般形成的，通过探究导数的定义，掌握利用导数定义来解决实际问题。
三、教学问题诊断分析1．微积分是有文化底蕴的数学内容，了解微积分的发展史能够激发学生的求知欲，但如果介绍过于简单，学生可能下课后就会没有任何印象；如果介绍过于详细，便会占用大量时间，影响本节课内容的完成；2.气球膨胀是学生非常熟悉的生活现象，但是从直观的生活感知（气球越来越难吹）到它的数学描述，对于学生来讲是比较困难的。
3.1.1 变化率问题内容和内容解析：变化率是建立数学重要概念——导数的基石，对理解导数概念及其几何意义有着重要作用。
新课标对此有明确阐述：通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。
变化率是一个重要的过渡性概念，是“进军”导数的必经之路。
对变化率概念意义的建构直接影响导数概念的学习。
目标和目标解析：1、通过微积分发展史的认识，了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的精神与智慧；2、通过实例，理解平均变化率及其几何意义，初步感受以直代曲的思想；能计算函数的平均变化率；3、通过实例，培养学生将实际问题抽象成数学问题的能力。
教学问题诊断分析：微积分概念的产生、形成、建立、完善经历了一个漫长的过程，在这个过程中，极限思想的形成到数学化经过了无数数学家的努力。
两千年的形成的一个知识，学生需要在十几个课时就要接受，他们最大的困难也在对极限思想的理解。
平均变化率是理解瞬时变化率的基础，虽然平均变化率的定义很简单，运用也很简单，但是理解以直代曲的意识，极限的思想是这节课要给建立的基本意识。
另外如何用平均变化率解决实际问题，关键在于能不能把实际问题转化为数学问题，这也是学生遇到的难点。
例如温度突降，突增；吹气球时为什么越到后面膨胀越来越慢。
学生需要把生活常识与数学联系起来，并解决它，是难点。
本节课存在大量的计算，对于文科生，公式多了，计算量大了，都对他们是考验。
这也是这节课面临一个难点。
教学支持条件分析：学情分析：作为文科生，数学是他们的拦路虎。
部分文科生就是因为数学不好才选择文科，我现在班上学生就是这样的情况。
班级优势：我班一共只有31名学生，我会在上课期间用大量的时间巡视他们的书写过程，并在课堂及时个别辅导。
技术手段：本节课需要动态演示，我利用了几何画板；并且利用投影将学生书写当面批改。
教学过程设计：一、启中入在物理上，我们会遇到这样的问题：1、如图1，从图象我们可以得知：物体是匀速运动，物体在不同时刻的速度都是一样的。
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率 (1)定义式：ΔyΔx＝－x2－x1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx＝－x2－x1表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx→0 ΔyΔx ＝lim Δx→0＋Δ－Δx .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx→0＋Δ－Δx.[基础自测]1．思考辨析 (1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( )(3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0.( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )【导学号：97792121】A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 D [Δ＝Δs Δt ＝3＋2.12－＋2.1－2＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难]则ΔyΔx＝( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图311，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为__________．图311(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________． [解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1) ＝2(Δx )2＋4Δx ∴ΔyΔx＝2Δx ＋4，故选C. (2)由题意知，v1＝k OA ，v2＝k AB ，v3＝k BC . 根据图象知v1<v2<v3.(3)Δv ＝43π×23－43π×13＝283π.∴Δv Δr ＝283π. [答案] (1)C (2)v1<v2<v3 (3)283π＋Δx.的值可正，可负，但Δx ≠0，Δy 1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为＋Δ－＋Δ－x0＝＋Δ＋2]－20＋Δx＝6x0·Δx ＋ΔΔx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx )2＋3Δx ，∴Δy Δx＝－Δ＋3ΔxΔx＝－Δx ＋3.]若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋－，0≤t<3，3t2＋2，t≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据v ＝ΔsΔt 求解．(2)先求Δs Δt ，再求lim Δx →0 ΔsΔt.[解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)， 所以Δs Δt＝Δ－12ΔtΔt＝3Δt －12(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δx→0 ΔsΔt ＝lim Δx→0 (3Δt －12)＝－12(m/s)．2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【导学号：97792122】[解] v ＝limΔx→0＋Δ－Δt＝lim Δx→0＋Δ－2×22Δt ＝lim Δx→0 (2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝－3－1＝2×32＋3－＋2＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值ΔyΔt ；②求t 1＝4时的导数． [思路探究] (1)求Δy →求Δy Δx →求lim Δx→0 ΔyΔx (2)①Δy ＝－→ΔyΔt②求Δy →求Δy Δt →求lim Δt→0ΔyΔt [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， lim Δx→0 11＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝2.[答案] 12(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②lim Δx→0 Δy Δt ＝lim Δx→0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48. 简称：一差、二比、三极限．取极限时，一定要把ΔyΔx 变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的3．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx→2，∴f ′(1)＝2，即函数y ＝x －x在x ＝1处的导数为2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2C [Δy Δx＝＋Δ－Δx＝＋Δ－2Δx＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt －4C ．4D ．－2Δt 2－4ΔtB [v ＝4－＋Δ－－2×Δt＝－4Δt －ΔΔt＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________.【导学号：97792123】8 [s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )2－2×22＝2(Δt )2＋8Δt . ∴lim Δt→0 ＋Δ－Δt ＝lim Δt→0Δ＋8ΔtΔt ＝lim Δt→0(2Δt ＋8)＝8.]4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 2 [f ′(1)＝limΔt→0＋Δ－Δx＝lim Δt→0＋Δ＋4－＋Δx＝a ，又∵f ′(1)＝2，∴a ＝2.]5．求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．[解] Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx＝Δ＋16ΔxΔx＝2Δx ＋16.y ′|x ＝3＝lim Δt→0ΔyΔx ＝lim Δt→0(2Δx ＋16)＝16.。
3.1 变化率与导数第1课时 变化率问题、导数的概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 72～P 76的内容，回答下列问题． (1)气球膨胀率气球的体积V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3，如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么r (V )＝33V4π.①当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球的平均膨胀率是多少？ 提示：r （1）－r （0）1－0≈0.62(dm/L)．②当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球的平均膨胀率是多少？ 提示：r （2）－r （1）2－1≈0.16(dm/L)．③当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率又是多少？ 提示：r （V 2）－r （V 1）V 2－V 1．(2)高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.①在0≤t ≤0.5这段时间里，运动员的平均速度v 是多少？ 提示：v ＝h （0.5）－h （0）0.5－0＝4.05(m/s)．②在1≤t ≤2这段时间里，运动员的平均速度v 是多少？ 提示：v ＝h （2）－h （1）2－1＝－8.2(m/s)．③在t 1≤t ≤t 2这段时间里， 运动员的平均速度 v 又是多少？⎝ ⎛⎭⎪⎫其中，t 1<t 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，6549提示：v ＝h （t 2）－h （t 1）t 2－t 1．2．归纳总结，核心必记 (1)函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1和x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为Δy Δx．(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f （t 0＋Δt ）－f （t 0）Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t 0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是：，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝=．[问题思考](1)设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，则函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝f （x 1＋Δx ）－f （x 1）Δx表示什么？提示：表示割线AB 的斜率．(2)Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示：Δx ，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为0，平均变化率ΔyΔx 可正、可负、可为零．(3)在高台跳水中，如何求在[1，1＋Δt ]这段时间内的平均速度v ？当Δt 趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？提示：v ＝v （1＋Δt ）－v （1）（1＋Δt ）－1.当Δt 趋近于0时，平均速度v 即为t ＝1时的瞬时速度．(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？提示：(1)区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；(2)联系：当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．[课前反思](1)平均变化率的定义是： ； (2)什么是函数的瞬时变化率？它与平均变化率有什么区别和联系？； (3)导数的定义是什么？如何表示？； (4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？．[思考1] 平均变化率可用式子ΔyΔx 表示，其中Δy 、Δx 的意义是什么？提示：Δy 、Δx 分别表示函数值和自变量的变化量．[思考2] 如何求函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率？ 提示：平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1．讲一讲1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．[尝试解答] (1)因为f (x )＝3x 2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5) ＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5 ＝6x 0Δx ＋3(Δx )2.函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 6x 0Δx ＋3（Δx ）2Δx＝6x 0＋3Δx .(1)求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(2)求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx的形式．练一练1．已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．解：自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f （2）－f （1）2－1＝2＋12－（1＋1）1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为f （5）－f （3）5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．某物体按s ＝f (t )的规律运动．[思考1] 该物体在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是什么？在t 0的瞬时速度是多少？[思考2] 如何求ΔyΔx(当Δx 无限趋近于0时)的极限？名师指津：(1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算． (2)求出ΔyΔx 的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．讲一讲2．若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3（t －3）2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[尝试解答] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt ＝2，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系s ＝s (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (3)求平均速度ΔsΔt；练一练2．一质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？名师指津：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．Δx →0时，ΔyΔx 的极限不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．讲一讲3．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．[尝试解答] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11 ＝Δx ＋Δx1＋Δx，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限． 练一练3．求函数f (x )＝x 2＋5x 在x ＝3处的导数． 解：∵Δy ＝f (3＋Δx )－f (3) ＝(3＋Δx )2＋5(3＋Δx )－(32＋5×3) ＝9＋6Δx ＋(Δx )2＋15＋5Δx －9－15 ＝(Δx )2＋11Δx ，∴Δy Δx ＝（Δx ）2＋11Δx Δx＝Δx ＋11，————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————— 1．本节课的重点是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的定义，也是本节课的难点． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)平均变化率的求法，见讲1； (2)瞬时速度的求法，见讲2;(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法，见讲3.3．本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错，见讲3.注意：在导数的定义中，增量Δx 的形式是多样的，但不论Δx 是哪种形式，Δy 必须选择相对应的形式．课时达标训练（十三） [即时达标对点练]题组1 求函数的平均变化率1．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 解析：选B 平均变化率为1－33－1＝－1. 2．已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上点P (1，2)及邻近点Q (1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx 的值为( )A ．4B ．4xC ．4＋2Δx 2D ．4＋2Δx 解析：选D Δy Δx ＝2（1＋Δx ）2－2×12Δx＝4＋2Δx .3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1，1＋Δx ]内的平均变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－（1＋Δx ）（1＋1＋Δx ）1＋Δx＝－Δx（1＋1＋Δx ）1＋Δx，∴Δy Δx ＝－1（1＋1＋Δx ）1＋Δx. 题组2 求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示，则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt＝（t 0＋Δt ）3－2－（t 30－2）Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0（Δt ）2＋（Δt ）3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s.6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s ，求t 0的值．解：由v ＝s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt ＝（t 0＋Δt ）3－2－（t 30－2）Δt＝3t 20Δt ＋3t 0（Δt ）2＋（Δt ）3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2，所以由3t 20＝27，解得t 0＝±3， 因为t 0>0，故t 0＝3，所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 题组3 利用定义求函数在某一点处的导数7．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b8．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－39．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．[能力提升综合练]A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定 解析：选D k 1＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝（x 0＋Δx ）2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f （x 0）－f （x 0－Δx ）Δx ＝x 20－（x 0－Δx ）2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负，所以k 1与k 2的大小关系不确定．3．A ，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W 1(t )，W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示，则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知，A 机关所对应的图象比较陡峭，B 机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C ∵Δs Δt ＝1－（3＋Δt ）＋（3＋Δt ）2－（1－3＋32）Δt＝5＋Δt ，5.如图是函数y ＝f (x )的图象，则(1)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为f （1）－f （－1）1－（－1）＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为f （2）－f （0）2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx （4＋Δx ＋2）.∴Δy Δx ＝124＋Δx （4＋Δx ＋2）.＝12×4×（4＋2）＝116.∴y ′|x ＝4＝116.答案：1167．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．即物体的初速度为3 m/s.即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反． (3)v ＝s （2）－s （0）2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.8．路灯距离地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度从路灯O 在地面上的射影点O ′沿某直线离开路灯，求人影长度在任意时刻t 0的瞬时变化率．解：如图，设人的高度为AB ，则AB ＝1.6，人的影子长AC ＝h ， 84 m/min ＝1.4m/s ，由直角三角形相似得1.68＝hh ＋1.4t，第2课时 导数的几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 76～P 79的内容，回答下列问题． 观察教材P 77图3.1－2，回答下列问题． (1)割线PP n 的斜率k n 是什么？提示：割线PP n 的斜率k n ＝Δy n Δx n ＝f （x n ）－f （x 0）x n －x 0．(2)当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 与过点P 的切线PT 有什么关系？ 提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于过点P 的切线PT ． (3)当P n 无限趋近于点P 时，k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ 提示：k n 无限趋近于切线PT 的斜率k ． (4)如何求得过点P 的切线PT 的斜率？提示：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即2．归纳总结，核心必记 (1)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即.(2)导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝.[问题思考](1)若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)函数y＝f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x1)、f′(x2)和f′(x3)的大小吗？提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且k A>k B，在C处的切线斜率小于零，所以f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)．(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．(4)f′(x0)与f′(x)有什么区别？提示：f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．[课前反思](1)导数的几何意义是：；(2)导数的概念是：；(3)如何求函数f(x)在x＝x0处的切线方程？．[思考1] 直线的点斜式方程是什么？提示：y－y0＝k(x－x0)．[思考2] 如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？名师指津：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．[思考3] 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？名师指津：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k ＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．讲一讲1．已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3，5)的切线方程．[尝试解答] (1)设切点为(x0，y0)，∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)点P(3，5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3，5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20，②联立①，②得x0＝1或x0＝5.从而切点为(1，1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5，25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)， 即y ＝10x －25.综上所述，过点P (3，5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x －25.利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，求在点(x 0，y 0)处的切线方程，先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若点(x 0，y 0)不在曲线上，求过点(x 0，y 0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．练一练1．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 在x ＝1处的切线方程； (2)求第(1)问中的切线与曲线C 的公共点． 解：(1)∵Δy Δx ＝（x ＋Δx ）3－x3Δx＝3x 2＋3Δx ·x ＋(Δx )2，又x ＝1时，y ＝1，∴切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，3x －y －2＝0，得x 3－3x ＋2＝0，即x 3－x －2x ＋2＝0，(x －1)2(x ＋2)＝0. 解得x ＝1或x ＝－2，∴切线与曲线C 的公共点为(1，1)和(－2，－8)．[思考] 如何处理切点问题？ 名师指津：切点问题的处理方法：(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等．2．若曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝9x －1，求P 点坐标及切线方程．[尝试解答] 设P 点坐标为(x 0，y 0)， Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝（x 0＋Δx ）3－3（x 0＋Δx ）2＋1－x 30＋3x 20－1Δx＝(Δx )2＋3x 0Δx －3Δx ＋3x 20－6x 0.＝3x 20－6x 0，于是3x 20－6x 0＝9，解得x 0＝3或x 0＝－1，因此，点P 的坐标为(3，1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P 处的切线方程为y ＝9(x －3)＋1或y ＝9(x ＋1)－3，即y ＝9x －26或y ＝9x ＋6.根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标． 练一练2．已知曲线y ＝2x 2－a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标及a 的值．解：设切点P (x 0，y 0)，＝4x ，得k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 0. 根据题意4x 0＝8，x 0＝2， 代入8x －y －15＝0得y 0＝1.故所求切点为P (2，1)，a ＝2x 20－y 0＝7.3．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的( )(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )[尝试解答] (1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.[答案] (1)A (2)D导数与函数图象升降的关系若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．练一练3．如图，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )解析：选D 函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0，2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0，2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2，3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2，3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．—————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是求曲线在某一点的切线方程及导数几何意义的应用，难点是求曲线的切线方程．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求曲线的切线方程的方法，见讲1；(2)已知曲线的切线求切点坐标，见讲2；(3)导数几何意义的应用，见讲3.3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上，这是本节课的易错点．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的曲线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在曲线上，则先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点 .课时达标训练（十四）[即时达标对点练]题组1 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9.2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线方程．所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即4x ＋y －4＝0. 题组2 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A ∵点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.∴过点(0，b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0，2x 20＋4x 0)，又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3，30)． 答案：(3，30)5．已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°； (2)切线平行于直线4x －y －2＝0； (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.解：设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ，(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1， 即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1，3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝－1，即k ＝8.故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2. ∴切点坐标为(2，9)． 题组3 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0，y 0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A ，B ，D 错误．7．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在解析：选B 根据导数的几何意义，f (x )在x 0处的导数即f (x )在x 0处切线的斜率，故f ′(x 0)＝－12<0.8．如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 不妨设A 固定，B 从A 点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x 很小，即弧AB 长度很小，这时给x 一个改变量Δx ，那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时，同样给x 一个改变量Δx ，那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B 点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢． 由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D 正确．9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示， 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时，f ′(x )＝0，当x >0时，f ′(x )<0，故②符合．答案：②[能力提升综合练]1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直答案：B2．曲线y ＝1x －1在点P (2，1)处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ， 斜率为－1，倾斜角为3π4. 3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1，0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：选A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx所以在点(1，0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1，0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A ．(1，0)B ．(2，8)C ．(1，0)或(－1，－4)D ．(2，8)或(－1，－4)由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0，y 0)，则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1，P 0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．5.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝________．解析：由题意，f′(4)＝－2.f(4)＝－2×4＋9＝1.因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.答案：－17．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快；(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快．8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象，结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．解：如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．。
