鲁教版第5周：二次函数与一元二次方程专题训练

鲁教版2019初三数学下册一元二次方程专项训练题（一元二次方程的概念及解法） 考点1：下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．ax ²＋bx+c=0 B. k ²x ＋5k+6=0 C.3x ²＋2x+1x=0 D.( k ²＋3) x ²＋2x+1=0 考点2：解方程：x ²＋2x －3=0考点3：已知方程5x2+kx －10=0一个根是－5，求它的另一个根及k 的值．三、针对性训练：1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）2222211.3(1)2(1) .20.0 .21A x xB y xC ax bx cD x x x +=++-=++=+=-2、若2x ²+3与2x-4互为相反数，则x 的值为__________3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0化为2781()416t -= D.3y2-4y-2=0化为2210()39y -=4、关于x 的一元二次方程22(1)2m x x m m +++-30-= 的一个根为x=0，则m 的值为（） A ．m=3或m=－1 B ．m=－3或m= 1 C ．m=－1 D ．m=－35、若x 1 ，x 2 是方程x ²－5x+6=0的两个根，则x 1 +x 2的值是（ ）A .1 B.5 C. －5 D.66、若x 1 ，x 2 是方程x ²－3x －1=0的两个根，则1211x x +的值为（ ）A.3B.－3C. 13D.－137、若x 1 ，x 2 是方程x ²－6x+k －1=0的两个根，且221224x x +=，则k 值为（ ）A.8B. －7C.6D.58、若方程kx 2－2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A.k ＞－1B. k ＞－1且k ≠0C. k ＜1D. k ＜1且k ≠09、已知一元二次方程x 2 +2x －8=0的一根是2，则另一个根是______________.10、若关于x 的方程－x 2 +（2k+1）x+2－k 2=0有实数根，则k 的取值范围是_______11、解方程：(1) 22(23)32x -=; (2)3y （y-1）=2（y-1）(3) 3(4x ² －9)－(2x －3)=0; (4) x ²－6x+8=012、关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；不存在说明理由。

3.7 二次函数与一元二次方程同步训练2024-2025学年鲁教版（五四制）数学九年级上册一、单选题1．抛物线y=(x−1)2+5与y轴的交点坐标为（）A．(1,5)B．(−1,5)C．(0,5)D．(0,6)2．已知抛物线y=x2−x−2与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m2−m+2018的值（）A．2017B．2018C．2019D．20203．根据下表可知，方程x2+3x−5=0的一个解x的取值范围为（）x 1.1 1.2 1.3 1.4x2+3x−5−0.490.040.59 1.16A．1<x<1.1B．1.1<x<1.2C．1.2<x<1.3D．1.3<x<1.44．如图，点P从右向左运动的运动路线在抛物线y=a(x+1)2−1上，点P第一次到达x轴时的坐标为A(1,0)，则当点P再次到达x轴时的坐标为（）A．(−2,0)B．(−2.5,0)C．(−3,0)D．(−3.5,0)5．若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为x=2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（）A．(2,4)B．(−2,4)C．(−2,−4)D．(2,−4)6．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−1，且过点(1，0)．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab>0，且c<0；①4a−2b+c>0；①8a+c>0；①c=3a−3b；①直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1⋅x2=5．其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个7．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，给出下面4个结论：①b2>4ac；①a−1b2c3>0；①8a+c>2b；①若点(−0.5,y1)，(−2,y2)在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上，则y1<y2．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题8．二次函数y=x2−6x+1与y轴的交点坐标是．9．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，图象与y轴交于(0,−1)，顶点纵坐标为−3，关于x的方程ax2+b|x|+c=k有四个不相等的实数根，则实数k满足．10．二次函数y=ax2−4x−1与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标在−2和0之间（不包括−2和0），则a的取值范围是．11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标(x,y)对应值列表如下：x…01030…y…2−32…则关于x的方程ax2+bx+5=0的解是．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；①a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；①m（am+b）≤﹣a（m为实数）；①c＜﹣3a；①ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（只填写序号）．三、解答题13．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=x与二次函数y=ax2的图像相交于A、B两点，且A点坐标为(1,1)，求出a的值和B点坐标．14．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)、B两点，其顶点P的坐标为(−3,2)．（1）求这二次函数的关系式；（2）求△PAB的面积．15．已知二次函数y=x2−2mx+1．(1)若该二次函数图象过(m−1,1)，且不过第四象限，求y>1所对应的自变量x的取值范围；(2)若点(−1,y1)，(m+1,y2)，(2m,y3)在抛物线上，且y1<y2<y3，求m的取值范围．16．已知抛物线y=−x2−2x+8．(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)当y>0时，自变量x的取值范围是______；(3)当−3<x<0时，函数值y的取值范围是_____；(4)若A(m，y1)，B(m+2，y2)两点都在抛物线上，且y1<y2，直接写出m的取值范围是_____．17．已知抛物线C:y1=a(x−ℎ)2+2，直线l:y2=kx−kℎ+2(k≠0)．(1)直接写出抛物线C的顶点，请问直线l是否经过该点？(2)若a=−1,ℎ=1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1=a(x−ℎ)2+2的最大值为−6，求t的值；(3)点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤a≤3时，若线段PQ（不含端点P,Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求k的取值范围．。

初中数学鲁教版九年级上册第三章7二次函数与一元二次方程练习题一、选择题1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图所示，则下列4个结论：：①b2−4ac<0；②2a−b=0；③a+b+c<0；④点M(x1,y1)、N(x2,y2)在抛物线上，若x1<x2，则y1≤y2，其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC，对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc<0；②a+12b+14c=0；③ac+b+1=0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1.下列结论中：①abc>0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；④4a−2b+c=0；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，其中正确的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.若抛物线y=−x2+2x+m+1(m为常数)交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y=−x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点；②若点M(−2,y1)、点N(12,y2)、点P(2,y3)在该函数图象上，则y1<y2<y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y=−(x+1)2+m；④点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为3+√2+√13.其中错误的是()A. ①③B. ②C. ②④D. ③④5.已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx−k在同一坐标系内的大致图象是()与反比例函数y=kxA. B.C. D.6.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为(−1,0).则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a−2b+c<0；③b2−4ac>0；④当y<0时，x<−1或x>2.其中正确的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0,1)和(−1,0)，下列结论：①ab<0，②b2−4ac>0，③a−b+c<0，④c=1，⑤当x>−1时，y>0．其中正确结论的个数是()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标(x,y)对应值列表如下x…0123…y…−2−3−21…则下列说法错误的是()A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴为直线x=1C. 方程ax2+bx+c=0有一个正根大于3D. 当x>1时，y随x的增大而增大9.二次函数y=x2+bx的对称轴为直线x=1，若关于x的方程x2+bx−t=0(t为实数)在−1<x<4的范围内有实数解，则t的取值范围是()A. t≥−1B. −1≤t<3C. −1≤t<8D. t<310.二次函数y=x2+bx的对称轴为x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx−t=0(t为实数)在−3<x<3的范围内有解，则t的取值范围是()A. −1≤t<15B. 3≤t<15C. −1≤t<8D. 3<t<15二、填空题11.若抛物线y=x2−(2k+1)x+k2+2与x轴有两个交点，则整数k的最小值是______．12.已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是______．x…−1012…y…0343…13.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，对称轴为x=−1，则当y<0时，x的取值范围是______．14.如图，二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D若点P为y轴上的一个动点连接PD，则√10PC+10PD的最小值为______．15.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,5)，且无论m为何值，不等式a+b≥am2+bm恒成立，则关于x的方程ax2+bx+c=5的解为______．三、解答题16.如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x−b与y轴交于点B；抛物线L：y=−x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．(1)若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0,y1)，(x0,y2)，(x0,y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0,0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．17.若抛物线的顶点到x轴的距离与抛物线截x轴所得的线段长度之比为整数，则称该抛物线为倍比抛物线，这个整数比叫做抛物线的倍比值．(1)判断下列抛物线是否为倍比抛物线，在横线上填“是”或“不是”，如果“是”，直接写出倍比值．①y=(x−2)2−1______；②y=2(x−1)2−8______；③y=−3(x−√2)2+12______(2)有一条倍比值为1的抛物线y=ax2+bx+c，交x轴于点A(m,0)，点B(1,0)，交y轴于点C(0,3)，求这条倍比抛物线的解析式．18.如图，若二次函数y=x2−x−2的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点．(1)求A，B两点的坐标；(2)若P(m,−2)为二次函数y=x2−x−2图象上一点，求m的值．。

初中数学二次函数一元二次方程练习题 一、单选题1.如果方程()()23330m x m x --++=是关于x 的一元二次方程，那么m 不能取的值为（ ）A.3±B.3C.3-D.都不对2.下面关于x 的方程中①20ax bx c ++=;②223(9)(1)1x x --+=;③2150x x++=;④232560x x -+-=;⑤2233(2)x x =-;⑥12100x -=是一元二次方程的个数是( )A.1B.2C.3D.43.一元二次方程220x x -=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 为（ ）A.2-B.1C.2D.04.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )A. 31y x =-B. 2y ax bx c =++C. 2221s t t =-+D. 21y x x=+5.已知(2)2m y x m x =+-+是关于x 的二次函数，那么m 的值为( ) A.2- B.2 C.2± D.06.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.7.在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =-与y bx a =+的图象可能是( ) A. B. C. D.8.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x ，则x 满足（）A.16(12)25x +=B.25(12)16x -=C.216(1)25x +=D.225(1)16x -=9.如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(3,0).给出下列结论：①0a >；②20a b +=；③0a b c ++>；④当13x -<<时，0y >.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、证明题10.如图,四边形ABCD 是平行四边形, E 、F 是对角线BD 上的点, 12∠=∠.1.求证: BE DF =;2.求证: //AF CE . 11.已知抛物线212y x bx c =++经过点3(10),0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1.求该抛物线的函数解析式；2.将抛物线212y x bx c =++平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的图象所对应的函数表达式。

一元二次方程测试题1. 一块矩形菜地的面积是120m 2，如果它的长减少2cm ，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是m ．2. 如果关于x 的方程x 2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，那么m= ．3. 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长．已知该养殖户第1年的可变成本为2．6万元．设可变成本平均每年增长的百分率为x ．（1）用含x 的代数式表示第3年的可变成本为____万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7．146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x ．4. 已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是1，则m = ，另一个根为 ．5. 已知关于x 的方程==++k k x x ，则的一个根是1-022_________．6. 方程x 2﹣3x+2=0的根是 ．7. 方程x 2﹣2x =0的解为 ．8. 已知关于x 的方程的两个根分别是、，且，则k 的值为___________．9. 若关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则m= ．10. 若一元二次方程x 2﹣x ﹣1=0的两根分别为x 1、x 2，则= ． 11. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则m 的值为 ．12. 关于x 的方程x 2﹣（2m ﹣1）x+m 2﹣1=0的两实数根为x 1，x 2，且x 12+x 22=3，则m=_______． 13. 已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2-2=0的两根x 1和x 2，且（x 1-2）（x 1-x 2）=0，则k 的值是＿＿。

14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm ，AD 为BC 边上的高．动点P 从点A 出发，沿A→D 方向以cm/s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，运动时间为t 秒（0＜t ＜8），则t=_____秒时，S 1=2S 2．15. 一元二次方程220x x m -+=总有实数根，则m 应满足的条件是（ ）A ．1m >B ．1m =C ．1m <D ．1m ≤16. 已知某校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底的绿化面积将会增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率。

2.7二次函数与一元二次方程1. 抛物线2283y x x =--与x 轴有个交点，因为其判别式24b ac -=0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为．2. 函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个3. 关于二次函数2y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图像开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a-；④当0b =时，函数的图像关于y 轴对称．其中正确命题的个数是（ ）Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个4. 关于x 的方程25m x m x m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于点，此时m =．5. 抛物线2(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位．6. 关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（）Ａ．116m <-Ｂ．116m -≥且0m ≠Ｃ．116m =-Ｄ．116m >-且0m ≠ 7. 已知抛物线21()3y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x 轴上截得的线段长是h 和k 的值． 8. 已知函数22y x mx m =-+-．（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点； （2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式． 9. 下图是二次函数2y ax bx c =++的图像，与x 轴交于B ，C 两点，与y（1）根据图像确定a ，b ，c 的符号，并说明理由；（2）如果A 点的坐标为(03)-，，45ABC ∠=，60ACB ∠=表达式．10. 已知抛物线222m y x mx =-+与抛物线2234m y x mx =+-在直角坐标系中的位置如图所示，其中一条与x 轴交于A ，B 两点．（1）试判断哪条抛物线经过A ，B 两点，并说明理由； （2）若A ，B 两点到原点的距离AO ，OB 满足条件1123OB OA -=，求经过A ，B 两点的这条抛物线的函数式．11. 已知二次函数2224y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ，且△ABC 的面积为二次函数的函数表达式．12. 如图所示，函数2(2)(5)y k x k =--+-的图像与x 轴只有一个交点，则交点的横坐标0x = ．13. 已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，，212(0)()B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根，且221210x x +=．（1）求A ，B 两点坐标； （2）求抛物线表达式及点C 坐标；（3）在抛物线上是否存在着点P ，使△PAB 面积等于四边形ACMB 面积的2倍，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．14. 二次函数269y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为 ． 15. 二次函数25106y x x =-+的图像与x 轴有 个交点． 答案： 1.0 92-<没有实数根．2.Ｃ3.Ｃ4.一 45.4或96.Ｂ7.21()3y x h k =--+，顶点()h k ，在2y x =上，2h k ∴=，22221122()3333y x h h x hx h ∴=--+=-++．又它与x轴两交点的距离为，12x x ∴-==== 求得2h =±，4k =，即2h =，4k =或2h =-，4k =．8.（1）222()4(2)48(2)4m m m m m ∆=---=-+=-+，不论m 为何值时，都有0∆>， 此时二次函数图像与x 轴有两个不同交点． （2）2244(2)5444ac b m m a ---==-，2430m m -+=，1m ∴=或3m =， 所求函数式为21y x x =--或231y x x =-+．9.（1）抛物线开口向上，0a >；图像的对称轴在y 轴左侧，02ba-<，又0a >， 0b ∴>；图像与y 轴交点在x 轴下方，0c ∴<．0a ∴>，0b >，0c <．（2）(03)A -，，3OA =，45ABC ∠=，60ACB ∠=，3tan OAOB ABC==∠，3tan 60OAOC ==(30)B ∴-，，C ．设二次函数式为(3)(y a x x =+，把(03)-，代入上式，得3a =，∴所求函数式为2(3)(1)333y x x x x =+=+-． 10.（1）抛物线不过原点，0m ≠，令2202m x m x -+=，2221()402m m m ∆=--⨯=-<，222m y x mx =-+∴与x 轴无交点，∴抛物线2234y x mx m =+-经过A ，B 两点．（2）设1(0)A x ，，2(0)B x ，，1x ，2x 是方程22304x mx m +-=的两根12x x m +=-，21234x x m =-，A 在原点左边，B 在原点右边，则1AO x =-，2OB x =．123OB OA 1-=．211123x x ∴+=，121223x x x x +=，22334m m -=-，得2m =，∴所求函数式为223y x x =+-．11.（1）22222(4)421688m m m m m ∆=--⨯⨯=-=．0m ≠，280m ∴>，∴这个抛物线与x 轴有两个不同交点．（2）设1(0)A x ，，212(0)()B x x x >，，则1x ，2x 是方程22240x mx m -+=两根， 122x x m+=，2122m x x=，21AB x x =-====，C 点纵坐标22224816442c ac b m m y m a --===-⨯， ∴△ABC 中AB 边上的高22h m m =-=．21124222ABCSAB h m m ===，2m =，2m =±， 2284y x x ∴=++或2284y x x =-+．12.13.（1）由122(1)x x m +=-，2127x x m =-，22222121212()24(1)2(7)10x x x x x x m m +=+-=---=，得2m =，11x ∴=-，23x =，(10)A -，，(30)B ，．（2）抛物线过A ，B 两点，其对称轴为1x =，顶点纵坐标为4-，∴抛物线为2(1)4y a x =--．把1x =-，0y =代入得1a =，∴抛物线函数式为223y x x =--，其中(03)C -，．（3）存在着P 点．(10)A -，，(03)C -，，(14)M -，，(30)B ，，∴9ACMB S =四形，18ABPS=，即1182P y AB =．4AB =，9P y ∴=．把9y =代入抛物线方程得11x =，21x =(1P ∴-或(1P +． 14.（3，0） 15.0。

周测4 二次函数与一元二次方程、不等式(时间：60分钟 满分：100分)一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．设集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则A ∩B 等于( )A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2}答案 D解析 由题意得B ＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{1，2}．2．不等式5－xx ＋4≥1的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x ≤12B ．{x |－4<x ≤5}C ．{x |x ≤－4或x >5}D ．{x |x <－4或x ≥5}答案 A解析 因为5－xx ＋4≥1等价于1－2xx ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ (2x －1)(x ＋4)≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.3．已知a >2，关于x 的不等式ax 2－(2＋a )x ＋2>0的解集为() A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <2a 或x >1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2a <x <1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1或x >2a D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1<x <2a答案 A解析 不等式ax 2－(2＋a )x ＋2>0化为(ax －2)(x －1)>0，∵a >2，∴2a <1，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <2a 或x >1. 4．不等式ax 2－bx ＋c <0的解集为{x |x >1或x <－2}，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象大致为( )答案 C解析 ∵不等式ax 2－bx ＋c <0的解集为{x |x >1或x <－2}，∴a <0，∴⎩⎨⎧ c a ＝－2，b a ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2a ，b ＝－a ， ∴y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－ax －2a ＝a (x 2－x －2)，∴函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，两个零点分别为x 1＝2，x 2＝－1.结合图象知C 选项正确．5．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈{x |0≤x ≤3}恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．{m |m ≥－3}B ．{m |－3≤m ≤0}C ．{m |m ≤－4}D ．{m |m ≤－3或m ≥0}答案 C解析 因为不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈{x |0≤x ≤3}恒成立，令y ＝x 2－4x ，0≤x ≤3，则m ≤y min ，因为y ＝x 2－4x 在x ∈{x |0≤x ≤3}上的最小值为－4，故m ≤－4.6．若关于x 的不等式x 2－(m ＋3)x ＋3m <0的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为( )A ．6<m ≤7B ．－1≤m <0C ．－1≤m <0或6<m ≤7D ．－1≤m ≤7答案 C解析 不等式x 2－(m ＋3)x ＋3m <0，即(x －3)(x －m )<0，当m >3时，不等式的解集为{x |3<x <m }，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故6<m ≤7；当m ＝3时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m <3时，不等式的解集为{x |m <x <3}，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故－1≤m <0，故实数m 的取值范围为－1≤m <0或6<m ≤7.二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)7．下列不等式中，解集不是∅的是( )A ．x 2－3x ＋5>0B ．x 2＋4x ＋4>0C ．x 2＋4x －4<0D ．－2＋3x －2x 2>0答案 ABC解析 对于A ，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －322>－114，这个不等式恒成立，故原不等式的解集为R ； 对于B ，原不等式可化为(x ＋2)2>0，解得x >－2或x <－2，故原不等式的解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)；对于C ，原不等式可化为(x ＋2)2<8，解得－22－2<x <22－2，故原不等式的解集为(－22－2，22－2)；对于D ，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －342<－716，无解，故原不等式的解集为空集． 8．(2022·芜湖模拟)已知关于x 的不等式a (x －1)(x ＋3)＋2>0的解集是{x |x 1<x <x 2}，其中x 1<x 2，则下列结论中正确的是( )A ．x 1＋x 2＋2＝0B ．－3<x 1<x 2<1C ．|x 1－x 2|>4D ．x 1x 2＋3<0 答案 ACD解析 原不等式可化为ax 2＋2ax －3a ＋2>0，∵不等式的解为x 1<x <x 2，∴a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝2a －3<0，∴x 1＋x 2＋2＝0，x 1x 2＋3＝2a<0，则A ，D 正确； 原不等式可化为a (x －1)(x ＋3)>－2，令y ＝a (x －1)(x ＋3)，则函数图象开口向下，且与x 轴交点的横坐标为－3和1，又x 1<x 2，作出大致图象如图所示，∴由图知x 1<－3<1<x 2，|x 1－x 2|>4，故B 错误，C 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．不等式－x 2＋5x >6的解集是________．答案 {x |2<x <3}解析 不等式－x 2＋5x >6变形为x 2－5x ＋6<0，因式分解为(x －2)(x －3)<0，解得2<x <3.所以不等式－x 2＋5x >6的解集为{x |2<x <3}．10．关于实数x 的不等式－x 2＋bx ＋c <0的解集是{x |x <－3或x >4}，则关于x 的不等式cx 2－bx －1>0的解集是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－14或x >13 解析 因为关于实数x 的不等式－x 2＋bx ＋c <0的解集是{x |x <－3或x >4}，所以－3，4是方程－x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －9－3b ＋c ＝0，－16＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝12，所以不等式cx 2－bx －1>0即为12x 2－x －1>0，即(3x －1)(4x ＋1)>0，解得x <－14或x >13. 11．如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案 {k |－1<k ≤0}解析 当k ＝0时，原不等式等价于－2<0，显然恒成立，所以k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，(2k )2－4k ·[－(k ＋2)]<0， 解得－1<k <0，综上，实数k 的取值范围是{k |－1<k ≤0}．12．若不等式x 2＋ax －2>0在{x |1≤x ≤5}上有解，则a 的取值范围是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a >－235 解析 关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在{x |1≤x ≤5}上有解，∴ax >2－x 2在{x |1≤x ≤5}上有解，即a >2x－x 在{x |1≤x ≤5}上有解． 当x ＝5时，2x －x 有最小值－235， ∴要使a >2x－x 在{x |1≤x ≤5}上有解， 则a >－235， 即a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a >－235. 四、解答题(本大题共3小题，共40分)13．(12分)解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}．(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根分别为x 1＝2a，x 2＝2. ①当0<a <1时，2a>2， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a＝2， 所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；③当a >1时，2a<2， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根分别为x 1＝2a，x 2＝2， 则2a<2， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2a <x <2. 综上，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x <2a . 14．(13分)已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }(b >1)．(1)(6分)求a ，b 的值；(2)(7分)当x >0，y >0，且满足a x ＋b y＝1时，有2x ＋y ≥k 2＋k ＋2恒成立，求k 的取值范围． 解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }(b >1)，所以1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且a >0，所以⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1·b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2. (2)由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 于是有1x ＋2y ＝1， 故2x ＋y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y ≥8， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4时，等号成立， 依题意有(2x ＋y )min ≥k 2＋k ＋2，即8≥k 2＋k ＋2，得k 2＋k －6≤0，即－3≤k ≤2，所以k 的取值范围为[－3，2]．15．(15分)某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)(5分)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的取值范围；(2)(5分)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；(3)(5分)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值．解 税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即销售额为y 1＝80(80－10P )，税金为y 2＝80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6.故P的取值范围为{P|2≤P≤6}．(2)∵y1＝80(80－10P)(2≤P≤6)，∴当P＝2时，y1取最大值，为4 800万元．(3)∵0<P<8，y2＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128，∴当P＝4时，每年税收金额最高，为128万元．。

2.7二次函数与一元二次方程1. 抛物线2283y x x =--与x 轴有个交点，因为其判别式24b ac -=0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为．2. 函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个3. 关于二次函数2y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图像开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a-；④当0b =时，函数的图像关于y 轴对称．其中正确命题的个数是（ ）Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个4. 关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于点，此时m =．5. 抛物线2(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位．6. 关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（）Ａ．116m <-Ｂ．116m -≥且0m ≠Ｃ．116m =-Ｄ．116m >-且0m ≠ 7. 已知抛物线21()3y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x 轴上截得的线段长是h 和k 的值． 8. 已知函数22y x mx m =-+-．（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点； （2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式． 9. 下图是二次函数2y ax bx c =++的图像，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于（1）根据图像确定a ，b ，c 的符号，并说明理由；（2）如果A 点的坐标为(03)-，，45ABC ∠=，60ACB ∠=表达式．10. 已知抛物线222m y x mx =-+与抛物线2234m y x mx =+-在直角坐标系中的位置如图所示，其中一条与x 轴交于A ，B 两点．（1）试判断哪条抛物线经过A ，B 两点，并说明理由； （2）若A ，B 两点到原点的距离AO ，OB 满足条件1123OB OA -=，求经过A ，B 两点的这条抛物线的函数式．11. 已知二次函数2224y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ，且△ABC的面积为，求此二次函数的函数表达式．12. 如图所示，函数2(2)(5)y k x k =-+-的图像与x 轴只有一个交点，则交点的横坐标0x = ．13. 已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，，212(0)()B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根，且221210x x +=．（1）求A ，B 两点坐标； （2）求抛物线表达式及点C 坐标；（3）在抛物线上是否存在着点P ，使△PAB 面积等于四边形ACMB 面积的2倍，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．14. 二次函数269y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为 ． 15. 二次函数25106y x x =-+的图像与x 轴有 个交点． 答案：1.0 92-<没有实数根．2.Ｃ3.Ｃ4.一 45.4或96.Ｂ7.21()3y x h k =--+，顶点()h k ，在2y x =上，2h k ∴=，22221122()3333y x h h x hx h ∴=--+=-++．又它与x轴两交点的距离为，12x x ∴-==== 求得2h =±，4k =，即2h =，4k =或2h =-，4k =．8.（1）222()4(2)48(2)4m m m m m ∆=---=-+=-+，不论m 为何值时，都有0∆>， 此时二次函数图像与x 轴有两个不同交点．（2）2244(2)5444ac b m m a ---==-，2430m m -+=，1m ∴=或3m =， 所求函数式为21y x x =--或231y x x =-+．9.（1）抛物线开口向上，0a >；图像的对称轴在y 轴左侧，02ba-<，又0a >， 0b ∴>；图像与y 轴交点在x 轴下方，0c ∴<．0a ∴>，0b >，0c <．（2）(03)A -，，3OA =，45ABC ∠=，60ACB ∠=，3tan OAOB ABC==∠，3tan 60OAOC ==(30)B∴-，，C ．设二次函数式为(3)(y a x x =+， 把(03)-，代入上式，得a =，∴所求函数式为2(3)(1)333y x x x x =+=+-． 10.（1）抛物线不过原点，0m ≠，令2202m x mx -+=，2221()402m m m ∆=--⨯=-<，222m y x mx =-+∴与x 轴无交点，∴抛物线2234y x mx m =+-经过A ，B 两点．（2）设1(0)A x ，，2(0)B x ，，1x ，2x 是方程22304x mx m +-=的两根12x x m +=-，21234x x m =-，A 在原点左边，B 在原点右边，则1AO x =-，2OB x =．123OB OA 1-=．211123x x ∴+=，121223x x x x +=，22334m m -=-，得2m =，∴所求函数式为223y x x =+-．11.（1）22222(4)421688m m m m m ∆=--⨯⨯=-=．0m ≠，280m ∴>，∴这个抛物线与x 轴有两个不同交点．（2）设1(0)A x ，，212(0)()B x x x >，，则1x ，2x 是方程22240x mx m -+=两根， 122x x m+=，2122m xx =，21AB x x =-====，C 点纵坐标22224816442c ac b m m y m a --===-⨯， ∴△ABC 中AB 边上的高22h m m =-=．21124222ABCSAB h m m ===，2m =，2m =±， 2284y x x ∴=++或2284y x x =-+．12.13.（1）由122(1)x x m +=-，2127x x m =-，22222121212()24(1)2(7)10x x x x x x m m +=+-=---=，得2m =，11x ∴=-，23x =，(10)A -，，(30)B ，．（2）抛物线过A ，B 两点，其对称轴为1x =，顶点纵坐标为4-，∴抛物线为2(1)4y a x =--．把1x =-，0y =代入得1a =，∴抛物线函数式为223y x x =--，其中(03)C -，．（3）存在着P 点．(10)A -，，(03)C -，，(14)M -，，(30)B ，，∴9ACMB S =四形，18ABPS =，即1182P y AB =．4AB =，9P y ∴=．把9y =代入抛物线方程得11x =，21x =(1P ∴-或(1P +． 14.（3，0） 15.0。

鲁教版数学九年级上册3.7--二次函数与一元二次方程专题练习一、填空题1.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为(−1,0)，(3,0)，则一元二次方程x2+bx+c=0的根为______．2.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)，则方程ax2=bx+c的解是______．3.二次函数y=ax2+bx +c(a≠0)的部分对应值如下表：x−3−2−1012 y−12−50343利用二次函数的图象可知，当函数值y>0时，x的取值范围是______．4.抛物线y=x2−bx+1与x轴只有一个交点，那么b=____．5.如图，二次函数y=415x2−815x−4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则35PC+PD的最小值为______．6.(1)若反比例函数y=2−kx的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是_____．(2)若点A(−1,7)、B(5,7)、C(−2,−3)、D(k,−3)在同一条抛物线上，则k的值等于_____．(3)抛物线y=2(x+2)2+4的顶点坐标为_____．(4)如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y=3x(x>0)，y=−6x(x>0)的图象交于A点和B点，若C为y轴任意一点．连接AC、BC，则△ABC的面积为_____．(5)若函数y=x2+2x−m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为_____．二、计算题7.抛物线y=ax2+2ax+c与x轴交于点A，B(点A在点B右边)，且AB=4，求点A、B的坐标．8.已知二次函数y=x2−2mx+m2−4．(1)求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点；(2)若把它的图象向上平移1个单位，再向左平移2个单位后图象经过原点，求m的值．9.已知关于x的一元二次方程mx2−(m−1)x−1=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若抛物线y=mx2−(m−1)x−1与x轴有两个公共点A，B，且AB=3，求m的值．10.已知二次函数y=ax2+bx−4(a,b是常数，且a≠0)的图象过点(3,−1)．(1)试判断点(2,2−2a)是否也在该函数的图象上，并说明理由．(2)若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数的表达式．(3)已知二次函数的图象过(x1,y1)和(x2,y2)两点，且当x1≤x2≤23时，始终都有y1>y2，求a的取值范围．11.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−5与x轴交于A(−1.0).B(5,0)两点，与y轴交于点C．(1)求地物线的解析式；(2)在地物线的对称轴上找一点M.使得MA+MC最小，请求出点M的坐标；(3)在直线BC下方抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E.点P为抛物线对称轴上一点．(1)若点(m,4)在抛物线上，求m的值；(2)连接PC、PB，当∠PCB=∠PBC时，求点P的坐标；(3)以BP为边在BP的下方作等边三角形△BPQ，当点P从点D运动到点E的过程中，求出点Q经过路径的长度是多少？13.抛物线y=−12x2+12x+c交x轴于A、B两点(A在B的左边)，交y轴于点C，AB=5，点P是抛物线上一动点，且保持在第一象限．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P到直线BC的距离为√22，求点P的坐标；(3)直线BP关于直线BC的对称直线交抛物线于点Q，过点A作平行于y轴的直线l，点P、Q到直线l的距离分别为PM、QN，当点P在抛物线上运动时，PM⋅QN的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，说明理由．14.已知二次函数y=a(x−m)−a(x−m)(a、m为常数，且a≠0)．(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D．①当△ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．15.如图1，抛物线y=−x2+mx+n交x轴于点A(−2,0)和点B，交y轴于点C(0,2)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M在抛物线上，且S△AOM=2S△BOC，求点M的坐标；(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．答案和解析1.【答案】−1或3【解析】解：物线y =x 2+bx +c 与x 轴交点的坐标分别为(−1,0)，(3,0)， 则一元二次方程x 2+bx +c =0的根为：x =−1或3， 故答案为：−1或3．物线y =x 2+bx +c 与x 轴交点的坐标分别为(−1,0)，(3,0)，则一元二次方程x 2+bx +c =0的根为：x =−1或3，即可求解．本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求确实理解函数与x 轴交点与一元二次方程根之间对应的关系．2.【答案】x 1=−2，x 2=1【解析】解：∵抛物线y =ax 2与直线y =bx +c 的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)， ∴方程组{y =ax 2y =bx +c的解为{x 1=−2y 1=4，{x 2=1y 2=1，即关于x 的方程ax 2−bx −c =0的解为x 1=−2，x 2=1． 所以方程ax 2=bx +c 的解是x 1=−2，x 2=1 故答案为x 1=−2，x 2=1．根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组{y =ax 2y =bx +c 的解为{x 1=−2y 1=4，{x 2=1y 2=1，于是易得关于x 的方程ax 2−bx −c =0的解．本题考查抛物线与x 轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．3.【答案】−1<x <3【解析】解：根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x =0+22=1，∴顶点坐标为(1,4)， 所以a >0，开口向上，∴根据抛物线的对称性知：与x 轴交于(−1,0)、(3,0)两点， 则当函数值y >0时，x 的取值范围是−1<x <3． 故答案为：−1<x <3．由表格给出的信息可看出，对称轴为直线x =1，a <0，开口向下，与x 轴交于(−1,0)、(3,0)两点，则y >0时，x 的取值范围即可求出．本题考查了二次函数的图象及其性质，正确掌握才能灵活运用．4.【答案】±2【解析】本题考查抛物线与x 轴的交点，解题的关键是明确二次函数y =x 2−bx +1的图象与x 轴只有一个公共点就是y =0时，方x 2−bx +1=0有两个相等的实数根．根据二次函数y =x 2−bx +1的图象与x 轴只有一个公共点，可知y =0时，方程x 2−bx +1=0有两个相等的实数根，从而可以求得b 的值． 【解答】解：∵二次函数y =x 2−bx +1的图象与x 轴只有一个公共点， ∴y =0时，方程y =x 2−bx +1=0有两个相等的实数根．∴△=(−b)2−4×1×1=0． 解得，b =±2， 故答案为：±2．5.【答案】165【解析】【试题解析】 解：连接ACy =415x 2−815x −4与x 轴交点A(−3,0)、B(5,0)，点C(0,−4)，对称轴x =1，∴sin∠ACO =35，作点D 关于y 轴的对称点D′，作点A 关于y 轴的对称点A′，过点D′作D′E ⊥CA′于点E ，则D′E 为所求； 由对称性可知，∠ACO =∠OCA′， ∴sin∠OCA′=35， ∴35PC =PE ，再由D′P=DP，∴35PC+PD的最小值为D′E，∵A′(3,0)，D′(−1,0)，∴A′D′=4，CO=4，A′O=3，∴CA′=5，∴cos∠ED′A′=cos∠OCA′=D′E4=45∴D′E=165；故答案为165；连接AC，作点D关于y轴的对称点D′，作点A关于y轴的对称点A′，过点D′作D′E⊥CA′于点E，则D′E为所求；由对称性可知A′(3,0)，D′(−1,0)，CO=4，A′O=3，CA′=5，由∠ED′A′的余弦值可得45=D′E4，即可求出D′E=165；本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，轴对称−最短路径问题，解直角三角形．6.【答案】(1)k>2；(2)6；(3)(−2,4)；(4)4.5；(5)−1【解析】(1)【分析】本题考查反比例函数性质，解题关键点是熟练掌握反比例函数性质.根据反比例函数性质解答即可．【解答】解：∵反比例函数y=2−kx的图象在第二、四象限，∴2−k<0，∴k>2．故答案为k>2；(2)【分析】本题考查抛物线的性质，解题关键点是熟练掌握二次函数的性质.根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：已知点A(−1,7)、B(5,7)，则抛物线的对称轴是x=2，又C(−2,−3)和D(k,−3)关于x=2对称，则−2+k=4，即k=6，故k=6；(3)【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x=ℎ．【解答】解：抛物线y=2(x+2)2+4的顶点坐标为(−2,4)，故答案(−2,4)；(4)【分析】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，熟练掌握相关知识是解题的关键．设出点P坐标，分别表示点AB坐标，由题意△ABC面积与△ABO的面积相等，因此只要求出△ABO的面积即可得答案..【解答】解：设点P坐标为(a,0)则点A坐标为(a,3a)，B点坐标为(a,−6a)∴S△ABC=S△ABO=S△APO+S△OPB=12×AP×OP+12×BP×OP=4.5，故答案为4.5；(5)【分析】本题考查了抛物线和x轴的交点问题，解题关键点是熟练掌握一元二次方程的根的判别式.根据题意可得△=0，从而求出m的值．【解答】解：根据题意，得△=22+4m=0.解得m=−1，故答案为−1．7.【答案】解：∵抛物线y=ax2+2ax+c，∴抛物线的对称轴为：直线x=−1，∵A在B右边，且AB=4，∴B(−3,0)，A(1,0)．【解析】首先求出抛物线的对称轴，进而得出A，B点坐标．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，得出其对称轴是解题关键．8.【答案】解：(1)证明：令y=0，则x2−2mx+m2−4=0，△=(−2m)2−4(m2−4)=16>0∴x2−2mx+m2−4=0有两个不同的实数根，即该二次函数的图象与x轴有两个交点；(2)y=x2−2mx+m2−4=(x−m)2−4通过平移后得到y=(x−m+2)2−4+1=(x−m+2)2−3，将x=0，y=0代入以上函数解析式，得0=(−m+2)2−3，∴m=2±√3．【解析】(1)证明：令y=0，则x2−2mx+m2−4=0，△=(−2m)2−4(m2−4)=16>0，即可求解；(2)y=x2−2mx+m2−4=(x−m)2−4通过平移后得到y=(x−m+2)2−4+1=(x−m+2)2−3，将x=0，y=0代入以上函数解析式即可求解．本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到图象的几何变换，是一道难度不大的基本题．9.【答案】解：(1)一元二次方程的根的判别式≥0．Δ[−(m−1)]2−4m·(−1)=m2−2m+1+4m=m2+2m+1=(m+1)2≥0∴m的取值范围为不等于0的任意实数(2)设x1，x2为抛物线y=mx2−(m−1)x−1与x轴交点的横坐标．y=mx2−(m−1)x−1令y=0，则mx2−(m−1)x−1=0由求根公式得x1=1，x2=−1m∵AB=3即|x1−x2|=3，∴I1−x2|=3，∴x2=−2或x2=4，∴m=12或m=−14．【解析】【试题解析】本题考查了根的差别式，根与系数关系，二次函数与一元二次方程的关系：有实数根则Δ≥0，无实数根则Δ<0(1)先计算判别式可得到Δ≥0，列出关于m的不等式，得到(m+1)2≥0，可得到所求；(2)根据抛物线与x轴有两个公共点，可令y=0，利用一元一次方程中根与系数关系，列出方程，解出m 的值．10.【答案】解：(1)将点(3,−1)代入解析式，得3a+b=1，∴y=ax2+(1−3a)x−4，将点(2,2−2a)代入y=ax2+bx−4，得4a+2(1−3a)−4=−2−2a≠2−2a，∴点(2,2−2a)不在抛物线图象上；(2)∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴△=(1−3a)2+16a=0，∴a=−1或a=−19，∴y=−x2+4x−4或y=−19x2+43x−4；(3)抛物线对称轴x=3a−12a，当a>0，3a−12a≥23时，a≥35；当a<0，3a−12a≤23时，a≥35(舍去)；∴当a≥35满足所求；【解析】(1)将点(3,−1)代入解析式，求出a、b的关系，再将将点(2,2−2a)代入y=ax2+bx−4判断即可；(2)二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以△=(1−3a)2+16a=0，求出a的值；(3)抛物线对称轴x=3a−1a，当a>0，3a−1a≥23时，a≥37；当a<0，3a−1a≤23时，a≥37(舍去)．本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，以及图象上点的特征是解题的关键．11.【答案】解：(1)把A(−1.0).B(5,0)代入抛物线y =ax 2+bx −5得，{a −b −5=025a +5b −5=0， 解得，a =1，b =−4，∴抛物线的关系式为y =x 2−4x −5，(2)当x =0时，y =−5， ∴点C(0,−5)设直线BC 的关系式为y =kx +b ， 把点B 、C 坐标代入得，{5k +b =0b =−5，解得，k =1，b =−5， ∴直线BC 的关系式为y =x −5，∵抛物线的关系式为y =x 2−4x −5=(x −2)2−9， ∴对称轴为直线x =2，由对称可得，直线BC 与对称轴x =2交点就是所求的点M ， 当x =2时，y =2−5=−3， ∴M(2,−3)时，MA +MC 最小；(3)向下平移直线BC ，使平移后的直线与抛物线有唯一公共点P 时，此时点P 到BC 的距离最大，因此△PBC 的面积最大，设将直线BC 向下平移后的直线的关系式为y =x −5−m ， 则方程x 2−4x −5=x −5−m ，有两个相等的实数根， 即x 2−3x +m =0有两个相等的实数根， ∴m =94，当m =94时，方程x 2−3x +m =0的解为x =32，把x =32代入抛物线的关系式得，y =94−4×32−5=−354， ∴P(32,−354)，答：在直线BC 下方批物线上存在点P ，使得△PBC 的面积最大，此时点P 的坐标为(32,−354).【解析】(1)把A(−1.0).B(5,0)代入抛物线y =ax 2+bx −5求出a 、b 的值即可确定抛物线的关系式； (2)由对称可得，直线BC 与对称轴的交点就是所求的点M ，求出直线BC 的关系式和对称轴方程，即可求出交点坐标即可；(3)向下平移直线BC 与抛物线有唯一公共点时，这个公共点就是要求的点M ，于是利用平移后的直线关系式与抛物线关系式联立，使其只有一个解时即可．考查二次函数的图象和性质，利用对称，平移，得出相应的结论，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法之一．12.【答案】解：(1)将点(m,4)的坐标代入y =−x 2+2x +3得：−m 2+2m +3=4，则m 2−2m =−1， 即m 2−2m +1=0， (m −1)2=0∴m 1=m 2=1∴m 的值为1；(2)连接BC ，当∠PCB =∠PBC 时，则PB =PC ，即点P 在BC 的中垂线上，对于y =−x 2+2x +3，令x =0，则y =3，令y =−x 2+2x +3=0，解得x =3或−1， 故点A 、B 、C 的坐标分别为(−1,0)、(3,0)、(0,3)， 函数的对称轴为x =1，点D(1,4)，则OB =OC =3，故直线BC 与x 轴负半轴的夹角为45°，设线段BC 的中点为H ，则点H(32,32)， ∵PH ⊥BC ，则直线PH 与x 轴的夹角为45°，故设直线PH 的表达式为y =x +b ， 将点H 的坐标代入上式得：32=32+b ，解得b =0， 故直线PH 的表达式为y =x ， 当x =1时，y =x =1，故点P(1,1)；(3)如图2，当点P 在D 时，等边三角形为BDQ ，当点P 在点E 时，等边三角形为EBQ′，连接QQ′，则BD=BQ=DQ，BE=BQ′=EQ′，∠DBQ=∠EBQ′=60°∵∠DBE=∠DBQ+∠QBA=60°+∠QBA，∠QBQ′=∠QBA+∠ABQ′=60°+∠QBA，∴∠QBE=∠QBQ′，∵BD=BQ，BE=BQ′∴△DEB≌△QQ′B(SAS)，∠DEB=∠BQ′Q=90°，由B、D的坐标知，BD=√20=BQ，而BE=3−1=2=BQ′，则QQ′=√BQ2−BQ′2=√20−22=4，即点Q经过路径的长度是4．【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等边三角形的性质、三角形全等等，综合性强，难度较大．(1)将点(m,4)的坐标代入y=−x2+2x+3得：−m2+2m+3=4，即可求出m的值；(2)连接BC，当∠PCB=∠PBC时，则PB=PC，即点P在BC的中垂线上，进而求解；(3)证明△DEB≌△QQ′B(SAS)，则∠DEB=∠BQ′Q=90°，则QQ′=√BQ2−BQ′2=√20−22=4，即可求解．13.【答案】解：(1)∵抛物线y=−12x2+12x+c交x轴于A、B两点，∴−12x2+12x+c=0，设A(x1,0)，B(x2,0)，∴x1+x2=1，x1·x2=−2c，∵AB=5，∴x2−x1=5，∴(x2−x1)2=25，即x12+x22−2x1·x2=25，∴(x2+x1)2−4x1·x2=25，∴1−4(−2c)=25∴c=3，∴抛物线的解析式为y=−12x2+12x+3；(2)如图，作PD⊥BC于D，PT//y轴，交BC于T，设P(t,−12t2+12t+3)，∵y=−12x2+12x+3交x轴于A、B两点，交y轴C点，∴C(0,3)，∴−12x2+12x+3=0，解得x=−2或x=3，∵A在B的左边，∴A(−2,0)，B(3,0)，设直线BC解析式为y=kx+3，∴3k+3=0，∴k=−1，即直线BC解析式为y=−x+3，∴T(t,−t+3)，∵OB=OC，∴∠OBC=45°，∴∠DTP=45°，∵PD⊥BC，∴PD=DT，由勾股定理得PT=√2PD，∵PD =√22， ∴PT =−12t 2+12t +3−(−t +3)=√2×√22， 解得t =1或t =2， ∴P(1,3)或(2,2)； (3)PM ·PN 的值不变， 理由如下：如图，设BQ 交y 轴于E ，作CF ⊥CO ，交BP 于F ，设直线BP 解析式为y =mx −3m ，直线BQ 解析式为y =nx −3n ， ∴CE =3+3n ， ∵BO =CO ， ∴∠OCB =45°， ∵CF ⊥CO ， ∴∠FCB =45°， ∴∠ECB =∠FCB ，∵直线BP 和直线BQ 关于直线BC 的对称， ∴∠CBF =∠CBE ， 在△CBF 和△CBE 中， {∠ECB =∠FCBBC =BC∠CBE =∠CBF , ∴△CBF≌△CBE ， ∴CF =CE =3+3n ， ∴F(3+3n,3)，∵F 在直线BP ：y =mx −3m 上， ∴3=m(3+3n)−3m ， ∴mn =1，∵直线BP 交抛物线y =−12x 2+12x +3于P ，∴{y =−12x 2+12x +3y =mx −3m , 解得x =−2m −2(或x =3舍)， 即P 点横坐标为−2m −2，同理直线BQ 交抛物线y =−12x 2+12x +3于Q ， {y =−12x 2+12x +3y =nx −3n, 解得x =−2n −2(或x =3舍)， 即Q 点横坐标为−2n −2，∴PM ·QN =[−2m −2−(−2)]·[−2n −2−(−2)]=4mn =4，∴PM ⋅QN 的值不发生变化．【解析】此题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，函数图象上点的坐标特点等知识．(1)首先根据题意抛物线y =−12x 2+12x +c 交x 轴于A 、B 两点，得出方程−12x 2+12x +c =0，然后由AB =5，利用一元二次方程根与系数的关系求出c 即可；(2)首先求出A 、B 、C 三的坐标，求出直线BC 的解析式，求得∠DTP =45°，，然后判定PT 与PD 的关系，根据P 到直线BC 的距离为√22求出P 的坐标；(3)首先根据B(3,0)，设直线BP 解析式为y =mx −3m ，直线BQ 解析式为y =nx −3n ，根据轴对称的性质判定△CBF≌△CBE ，求得CF =CE ，求出mn 的关系，然后结合图像求出P 、Q 的横坐标值，再结合点P 、Q 到直线l 的距离分别为PM 、QN ，求得PM ⋅QN =4mn 即可证明结论正确．14.【答案】(1)证明：令y =0，a(x −m)2−a(x −m)=0，△=(−a)2−4a ×0=a 2， ∵a ≠0， ∴a 2>0，∴不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；(2)解：①y =0，则a(x −m)2−a(x −m)=a(x −m)(x −m −1)=0， 解得x 1=m ，x 2=m +1， ∴AB =(m +1)−m =1，y =a(x −m)2−a(x −m)=a(x −m −12)2−a4， △ABC 的面积=12×1×|−a4|=1， 解得a =±8；②x =0时，y =a(0−m)2−a(0−m)=am 2+am ， 所以，点D 的坐标为(0,am 2+am)， △ABD 的面积=12×1×|am 2+am|， ∵△ABC 的面积与△ABD 的面积相等， ∴12×1×|am 2+am|=12×1×|−a4|，整理得，m 2+m −14=0或m 2+m +14=0， 解得m =−1±√22或m =−12．【解析】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了根的判别式，三角形的面积，把(x −m)看作一个整体求解更加简便．(1)把(x −m)看作一个整体，令y =0，利用根的判别式进行判断即可；(2)①令y =0，利用因式分解法解方程求出点A 、B 的坐标，然后求出AB ，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解； ②令x =0求出点D 的坐标，然后利用三角形的面积列式计算即可得解．15.【答案】解：(1)A(−2,0)，C(0,2)代入抛物线的解析式y =−x 2+mx +n ，得{−4−2m +n =0n =2, 解得{m =−1n =2, ∴抛物线的解析式为y =−x 2−x +2．(2)由(1)知，该抛物线的解析式为y =−x 2−x +2，则易得B(1,0)， 设M(a,−a 2−a +2)然后依据S △AOM =2S △BOC 列方程可得：12⋅AO ×|−a 2−a +2|=2×12×OB ×OC ， ∴12×2×|−a 2−a +2|=2， ∴a 2+a =0或a 2+a −4=0， 解得a =0或−1或−1±√172， ∴符合条件的点M 的坐标为：(0,2)或(−1,2)或(−1+√172,−2)或(−1−√172,−2)． (3)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将A(−2,0)，C(0,2)代入 得到{−2k +b =0b =2, 解得{k =1b =2, ∴直线AC 的解析式为y =x +2，设N(x,x +2)(−2≤x ≤0)，则D(x,−x 2−x +2)，ND =(−x 2−x +2)−(x +2)=−x 2−2x =−(x +1)2+1， ∵−1<0，∴x =−1时，ND 有最大值1． ∴ND 的最大值为1．【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． (1)把A(−2,0)，C(0,2)代入抛物线的解析式求解即可；(2)由(1)知，该抛物线的解析式为y =−x 2−x +2，则易得B(1,0).然后依据S △AOM =2S △BOC 列方程求解即可；(3)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将A(−2,0)，C(0,2)代入可求得直线AC 的解析式，设N 点坐标为(x,x +2)，(−2≤x ≤0)，则D 点坐标为(x,−x 2−x +2)，然后列出ND 与x 的函数关系式，最后再利用配方法求解即可．。