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解题思想方 法 分类讨论、 转换思想
Ⅱ
全 国
Ⅲ
分类讨论、 二次函数 构造函数、 x ×e 放缩法 求导确定单 讨论 f(x)的单调 求导数、单调 ln x+二次函 调、构造函 性;证明不等式 性、最值 数 数
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1.导数的几何意义 (1)函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜 率,即k=f'(x0). (2)函数切线问题的求解策略:用好切点“三重性”: ①切点在函数图象上,满足函数解析式; ②切点在切线上,满足切线方程; ③切点处的导数等于切线的斜率. 2.函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在(a,b)内可导, (1)若f'(x)>0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增; (2)若f'(x)<0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递减.
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卷 年份 设问特点 涉及知识点 别 全 讨论零点个数、 求导数、单调 国 证明函数不等 性、零点存在 Ⅰ 式 定理、最值 2015 全 讨论单调区、知 求导数、单调 国 最值求参数范 性、最值 Ⅱ 围
函数模型 e2x-aln x
解题思想方 法 分类讨论、 转换思想
分类讨论、 ln x+一次函 转换思想、 数 函数思想
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(5)∃x1∈[a,b],当x2∈[c,d]时,f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域与 g(x)在[c,d]上的值域交集非空. (6)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊆g(x)在 [c,d]上的值域. (7)∀x2∈[c,d],∃x1∈[a,b],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊇g(x)在 [c,d]上的值域.
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6.构造辅助函数的四种方法 (1)移项法:证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)g(x)>0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x); (2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对 数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同 结构”构造辅助函数; (3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主 元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x)); (4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,可将所证明不等式进行 放缩,再重新构造函数.
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7.函数不等式的类型与解法 ∀x∈D,f(x)≤k⇔f(x)max≤k; ∃x∈D,f(x)≤k⇔f(x)min≤k; ∀x∈D,f(x)≤g(x)⇔f(x)max≤g(x)min; ∃x∈D,f(x)≤g(x)⇔f(x)min≤g(x)max. 8.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略 (1)∀x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x) 在[c,d]上的最大值. (2)∃x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x) 在[c,d]上的最小值. (3)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x) 在[c,d]上的最小值. (4)∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x) 在[c,d]上的最大值.
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卷 设问特点 别 全 讨论单调性、知 国 函数零点个数 Ⅰ 求参数范围 全 求切线方程、知 2016 国 函数不等式求 Ⅱ 参数范围 全 讨论单调性、证 国 明函数不等式 年份
涉及知识点 求导数、单调 性、零点存在 定理 求导数、单调 性、二次方程 求根
函数模型
解题思想方 法
(x-2)ex+二次 分类讨论 函数 (x+1)ln x+ 一次函数 构造函数、 分类讨论
2.4 [压轴大题1]函数、导数、方程、不等 式
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卷 年份 设问特点 别 全 知切线求值、讨 国 论单调性、求极 Ⅰ 值 2013 全 求函数极值、求 国 参数范围
解题思想方 涉及知识点 函数模型 法 导数的几何意 x 求导确定单 e (cx+d)+二 义、单调性、 调,由单调 次函数 极值 求极值 求导→单调 2 导ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、单调性、 x →极值,函 x 基本不等式 ������ Ⅱ 数思想 导数的几何意 全 知切线求值、知 义、单调性、 aln x+二次 转换思想、 国 函数不等式求 最值、充要条 函数 分类讨论 Ⅰ 参数范围 2014 件 全 知切线求值、证 导数几何意 构造函数、 国 明曲线与直线 义、单调性、 三次函数 转换思想 Ⅱ 一个交点 零点存在定理
Ⅲ
求导确定单 求导数、单调 ln x+一次函 调、构造函 性、最值 数 数
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卷 设问特点 涉及知识点 别 全 讨论单调性;知 求导数、单调 国 f(x)≥0 求参数 性、最值 Ⅰ 取值范围 全 讨论单调性,求 求导数、单调 2017 国 参数范围 性、最值 年份
函数模型 ex(ex-a)-a2x
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3.函数的导数与单调性的等价关系 函数f(x)在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0.f'(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.f'(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数. 4.函数的极值、最值 (1)若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值; 若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有 最大值和最小值且在极值点或端点处取得. (3)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函 数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大 值,f(b)为函数的最小值. 5.常见恒成立不等式 (1)ln x≤x-1;(2)ex≥x+1.
