【高考】2018-2019学年高三高考数学二轮复习专题训练+04+Word版含答案

2018年二模突破冲刺交流试卷（03）高三数学（理）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷选择题（共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数iz --=12，则在复平面内z i ⋅对应的点坐标为 A .()1,1 B ．()1,1- C ．()1,1-- D ． ()1,1-2. 已知两个集合(){}2ln 2++-==x x y x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=212x e e xB 则=⋂B AA.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,21 B ． ⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1 C ．()e ,1- D ．()e ,23．随机变量~(0,1)N ξ，则()12P ξ≤≤=Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718（参考数据：()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，(22)0.9544P μσξμσ-≤≤+=，(33)0.9974P μσξμσ-≤≤+=）4．从9,8,7,6,5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件=A “第一次取到的是奇数” =B “第二次取到的是奇数”，则 ()=A B PA. 51B ．103C ．52D ．215．按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(20,25]B ．(30,57]C ．(30,32]D ．(28,57]6．已知数列{}n a 满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，2p p q a a +=，则{}n a 的前10 项和10S =开始输入xk =0x =2x +1k =k +1 x >115?.结束否是输出kA. 31B. 62C. 170D. 1023 7． 已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是 （ ）()31.21A f x x x =-- ()31.21B f x x x =+- ()31.21C f x x x =-+ ()31.21D f x x x =---8． 如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C l D 1的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1111,,AD B C C D 上. 当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时， 三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于 A.212a B. 214aC. 224aD. 234a9．若正数,a b 满足：121=+ba 则2112-+-b a 的最小值为（ ）A.2B. 2 C . 22 D . 110．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为(1,2)-，点C 位于第一象限，AOC α∠=．若5BC =，则23sin cos 3cos 2222ααα+-= 25.5A - 5.5B - 5.5C 25.5D 11. 已知P B A ,,是双曲线12222=-by a x 上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直线PB PA ,的斜率乘积32=⋅PB PA k k ，则该双曲线的离心率=eA . 25B ． 315 C ． 210D ． 212.已知函数()()21ln ,2+==x x g e x f x ，对()+∞∈∃∈∀,0,b R a ，使得()()b g a f =，则ab -正视方向图1图2C 1D 1B1A 1CDABMQ N O xyαx y AO CB的最小值为 A . 22ln 1+B ． 22ln 1- C ． 12-e D ．1-e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2018年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}，集合B={x|x|＜1}，则A∪B=（）A．∅B．{x|x=1} C．{x|1≤x≤2} D．{x|﹣1＜x≤2}【考点】：并集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解析】：解：A={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，由B={x|x|＜1}得{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B={x|﹣1＜x≤2}，故选：D【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率是（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：设正方形的边长，求出面积以及内切圆的四分之一圆面积，利用几何概型求概率．【解析】：解：设正方形的边长为2，则面积为4；圆与正方形内切，圆的半径为1，所以圆的面积为π，则阴影部分的面积为，所以所求概率为P==．故选：C．【点评】：本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题．3．（5分）实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最小值是（）A．﹣12 B．﹣8 C．﹣4 D．0【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+3y为，由图可知，当直线过A（﹣2，2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣8．故选：B．【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．（5分）已知非零平面向量，，则“与共线”是“+与﹣共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：平行向量与共线向量．【专题】：平面向量及应用．【分析】：设出两个命题，利用充分必要条件的定义对p⇒q，q⇒p分别进行判断．【解析】：解：设命题q：“与共线”，设命题“+与﹣共线”，显然命题q成立时，命题p成立，所以q是P成立的充分条件；当“+与﹣共线”时，根据共线的定义有+=λ（﹣），则，由于非零平面向量，，所以λ=±1，那么，所以与共线，所以q是p 必要条件；综上可得，q是p的充要条件；故选：C．【点评】：本题考查了共线向量以及充分必要条件的判断，关键是判断条件与结论的关系．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n 的值，当n=7时n大于5退出循环，输出S的值为0．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=1S=，n=3，n不大于5S=﹣，n=5，n不大于5S=0，n=7，n大于5退出循环，输出S的值为0，故选：A．【点评】：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）函数f（x）=的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：作函数f（x）=的图象，利用数形结合求解．【解析】：解：作函数f（x）=的图象如下，由图象可知，函数f（x）=的零点个数是2，故选：C．【点评】：本题考查了学生的作图与用图的能力，属于基础题．7．（5分）已知点A为抛物线C：x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则△ABF （）A．一定是直角B．一定是锐角C．一定是钝角D．上述三种情况都可能【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求导数，确定过A的切线方程，可得B的坐标，求出=（x 0，），=（﹣x0，1），可得•=0，即可得出结论．【解析】：解：由x2=4y可得y=x2，∴y′=x，设A（x0，），则过A的切线方程为y﹣=x 0（x﹣x0），令y=0，可得x=x，∴B（x0，0），∵F（0，1），∴=（x 0，），=（﹣x0，1），∴•=0，∴∠ABF=90°，故选：A．【点评】：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．（5分）已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面4个说法都是正确的：①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（）A．甲在打印材料B．乙在批改作业C．丙在写教案D．丁在打印材料【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：简易逻辑．【分析】：若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾，从而得解．【解析】：解：把已知条件列表如下：若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾．所以甲一定在打印资料，此时丁在改作业，乙在写教案，丙在查资料．故选：A．【点评】：这是一个典型的逻辑推理应用题，解题方法是由确定项开始用排除法，逐个推论确定各自的正确选项，最终解决问题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）设i为虚数单位，则i（1﹣i）= 1+i ．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数代数形式的乘法运算化简求值．【解析】：解：i（1﹣i）=i﹣i2=1+i．故答案为：1+i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．10．（5分）若中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（0，﹣2），一条渐近线的方程是x﹣y=0，则双曲线C的方程为﹣=1 ．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）则c=2，由渐近线方程y=±x，可得a=b，再由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到双曲线方程．【解析】：解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）则c=2，由渐近线方程y=±x，由题意可得a=b，又c2=a2+b2，解得a=b=2，则双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程，属于基础题．11．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为；表面积为3+．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；作图题；空间位置关系与距离．【分析】：由题意作出其直观图，从而求体积及表面积即可．【解析】：解：由题意可知，其直观图如下，其底面为正方形，S=1×1=1，高为2；故V=×1×2=；其表面积S=1+（2+2+）=3+；故答案为：，3+．【点评】：本题考查了学生的空间想象力与作图能力，属于基础题．12．（5分）已知在△ABC中，C=，cosB=，AB=5，则sinA=；△ABC的面积为14 ．【考点】：正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由C=，cosB=，可得sinC=cosC=，sinB=，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．由正弦定理可得：，可得b=，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解析】：解：∵C=，cosB=，∴sinC=cosC=，sinB==．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==．由正弦定理可得：，可得b===4，∴S=×=14．故答案分别为：，14．【点评】：本题考查了正弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）在圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8内，过点P（1，0）的最长的弦为AB，最短的弦为DE，则四边形ADBE的面积为4．【考点】：圆的切线方程．【专题】：直线与圆．【分析】：由圆的知识可知过（1，0）的最长弦为直径，最短弦为过（1，0）且垂直于该直径的弦，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．【解析】：解：圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，由题意得最长的弦|AB|=4，圆心（2，2），圆心与点（1，0）的距离d==，根据勾股定理得最短的弦|DE|=2=2=2，且AB⊥DE，四边形ABCD的面积S=|AB|•|DE|=×4×2=4，故答案为：4．【点评】：本题考查学生灵活运用几何知识决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半是解决问题的关键，属中档题．14．（5分）关于函数f（x）=的性质，有如下四个命题：①函数f（x）的定义域为R；②函数f（x）的值域为（0，+∞）；③方程f（x）=x有且只有一个实根；④函数f（x）的图象是中心对称图形．其中正确命题的序号是①③④．【考点】：命题的真假判断与应用；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的图象．【专题】：简易逻辑．【分析】：直接利用函数的定义域、值域判断①②的正误；利用函数的零点与函数的图象的关系判断③的正误；利用函数的对称性判断④的正误；【解析】：解：对于①，函数f（x）=的定义域为R；所以①正确；对于②，函数f（x）的值域为（0，+∞）；显然不正确，因为函数减函数函数的值域是：（），所以②不正确；对于③方程f（x）=x有且只有一个实根；如图，作出两个是的图象，可知可知方程只有一个根，所以③正确；对于④，函数f（x）的图象是中心对称图形．因为f（x+1）+f （﹣x）=，==，∴f（x）关于（）对称，所以④正确．故答案为：①③④．【点评】：本题考查函数的简单性质的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及基本知识的应用，考查逻辑推理能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[，π]上的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）若f（x0）=2，且x0∈（0，2π），求x0的值．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由x∈[，π]，可求sin（2x+）∈[﹣1，]，从而可求当且仅当2x+=，即x=π时，f（x）=1．max（Ⅱ）由题意，2sin（2x 0+）=2，又x0∈（0，2π），可得2x 0+∈（，），即可解得x0的值．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x =cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x=2sinxcosx+cos2x﹣sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵x∈[，π]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣1，]，∴当且仅当2x+=，即x=π时，f（x）max=1；…8分（Ⅱ）由题意，2sin（2x 0+）=2，所以sin（2x0+）=1，又x 0∈（0，2π），所以2x0+∈（，），所以2x 0+=或2x0+=，所以x 0=或x0=．…13分【点评】：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．16．（13分）已知递增的等差数列{a n}（n∈N*）的前三项之和为18，前三项之积为120．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若点A1（a1，b1），A2（a2，b2），…，A n（a n，b n）（n ∈N*）从左至右依次都在函数y=3的图象上，求这n个点A1，A2，A3，…，A n的纵坐标之和．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）通过前三项之和、前三项之积可得公差及首项，根据公式计算即可；（Ⅱ）根据题意及（I），可得=9，问题转化为求首项为3、公比为9的等比数列{b n}的前n项和，计算即可．【解析】：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，∵前三项之和为18，∴a2=6，a1=6﹣d，a3=6+d，又∵前三项之积为120，∴（6﹣d）×6×（6+d）=120，解得d=4或﹣4（舍），∴a1=6﹣4=2，∴a n=4n﹣2；（Ⅱ）根据题意及（I），可得b n=32n﹣1，∴求这n个点A1，A2，A3，…，A n的纵坐标之和即为数列{b n}的前n项和T n，∵=9，b1=32×1﹣1=3，∴数列{b n}是首项为3、公比为9的等比数列，==（9n﹣1）．∴T【点评】：本题考查等差中项的性质，求通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．17．（13分）某学科测试，要求考生从A，B，C三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择A，B，C题作答的人数如表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择A题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择B，C题作答的试卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择A，B，C题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择A，B，C题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据分层抽样即可得到应从选择B，C题作答的试卷中各抽出得份数；（Ⅱ）记（Ⅰ）中抽取得选择A题作答的试卷分别为a1，a2，a3，其中a1，a2得优，选择B题作答的试卷分别为b1，b2，其中b1，b2得优，选择C题作答的试卷分别为c1，c2其中c1得优，一一列举出所有得结果，再找到满足条件的基本结果，根据概率公式计算即可．【解析】：解（Ⅰ）由题意可得，试卷的抽出比例为=，所以应从选择B题作答试卷中抽取2份，从选择C题作答试卷中抽出2份，（Ⅱ）记（Ⅰ）中抽取得选择A题作答的试卷分别为a1，a2，a3，其中a1，a2得优，选择B题作答的试卷分别为b1，b2，其中b1，b2得优，选择C题作答的试卷分别为c1，c2其中c1得优，从三种试一份卷中分别抽取所有得结果如下，{a1，b1，c1}，{a1，b1，c2}，{a1，b2，c1}，{a1，b2，c2}，{a2，b1，c1}，{a2，b1，c2}，{a2，b2，c1}，{a2，b2，c2}，{a3，b1，c1}，{a3，b1，c2}，{a3，b2，c1}，{a3，b2，c2}，所以结果共有12种可能，其中3份都得优得有{a1，b1，c1}，{a1，b2，c1}，{a2，b1，c1}，{a2，b2，c1}，共4种，故这3份试卷都得优的概率P==．【点评】：本题考查了分层抽样和古典概率的问题，关键是不重不漏的列举所有得基本事件，属于基础题．18．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．点O是线段AM的中点．（Ⅰ）求证：平面DOB⊥平面ABCM；（Ⅱ）求证：AD⊥BM；（Ⅲ）过D点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面BCD；②l∥AM．请说明理由．【考点】：平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理进行判断即可证明平面DOB⊥平面ABCM；（Ⅱ）根据线面垂直的性质定理即可证明AD⊥BM；（Ⅲ）利用反证法结合线面平行的性质进行证明．【解析】：证明：（Ⅰ）由已知DA=DM，O是AM的中点，∴DO⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，DO⊂平面DOB，∴平面DOB⊥平面ABCM；（Ⅱ）在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点，∴AM=BM=AD=AB，∴AM⊥BM，由（1）知，DO⊥平面ABCM；∵BM⊂平面ABCM，∴DO⊥BM，∵DO，AM⊂平面ADM，DO∩AM=0，∴BM⊥平面ADM，而AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM；（Ⅲ）过D点是不存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面BCD；②l∥AM．证明（反证法）假设过D存在一条直线l满足条件，则∵l∥AM，L⊄平面ABCM，AM⊂平面ABCM，∴l∥平面ABCM，∵l⊂平面BCD，平面ABCM∩平面BCD=BC，∴l∥BC，即AM∥BC，由图易知，AM，BC相交，此时矛盾，∴过D点不存在一条直线l满足题设条件．【点评】：本题主要考查空间直线和平面平行，垂直以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．19．（14分）已知椭圆C：+y2=1，O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且∠AOB=90°．（Ⅰ）若直线l平行于x轴，求△AOB的面积；（Ⅱ）若直线l始终与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，求r的值．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（Ⅰ）由题意设出A，B两点的坐标，结合∠AOB=90°，得，进一步得到A的横纵坐标的关系，代入椭圆方程求得坐标，得到B的坐标，然后代入三角形的面积公式得答案；（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，联立方程组，得到关于x的一元二次方程，写出判别式大于0，再由根与系数关系得到A，B两点横纵坐标的和与积，代入x1x2+y1y2=0得到m与k的关系，结合判别式大于0求得m的范围，再由直线l始终与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，得到圆的半径与m的关系，从而求得r的值，当直线l的斜率不存在时，由直线l与圆x2+y2=r2（r＞0）相切直接求得r的值，则r值可求．【解析】：解：（Ⅰ）不妨设直线l在x轴上方，则A，B两点关于y轴对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，y1），（x1＜0，y1＞0），则，由∠AOB=90°，得，∴．又∵点A在椭圆上，∴．由于x 1＜0，解得：．则A（），B（）．∴．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0．方程的判别式△=4k2﹣m2+1＞0，．由∠AOB=90°，得，即x 1x2+y1y2=0．而y1y2=（kx1+m）（kx2+m），则+m2=0∴．整理得：5m2﹣4k2﹣4=0．把4k2=5m2﹣4代入△=4k2﹣m2+1＞0，得．而4k2=5m2﹣4≥0，∴，满足．直线l始终与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，得，由，得．∵r＞0，∴r=．当直线l的斜率不存在时，若直线l与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，此时直线l的方程为：x=，r=．综上所述：r=．【点评】：本题考查了向量在解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线与圆锥曲线，圆与圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，利用一元二次方程的根与系数关系求解，特点是运算量大，要求考生具有较强的运算能力，是压轴题．20．（13分）已知函数f（x）=asinx+cosx，其中a＞0．（Ⅰ）当a≥1时，判断f（x）在区间[0，]上的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜1时，若不等式f（x）＜t2+at+2对于x ∈[0，]恒成立，求实数t的取值范围．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：导数的概念及应用；三角函数的求值．【分析】：（Ⅰ）由题意求导数可得f′（x）≥0，可得f（x）在区间[0，]上单调递增；（Ⅱ）由f′（x）=0可得方程a=tanx在（0，）上必有一根，记为x 0，易得∴f（x）max=f（x0）=（a2+1）cosx0=，问题转化为（t﹣2）a+（t2+2）＞0当0＜a＜1时恒成立，构造函数h（a）=（t﹣2）a+（t2+2），可得，解不等式组可得答案．【解析】：解：（Ⅰ）∵a≥1，x∈[0，]，∴f′（x）=acosx﹣sinx≥cosx﹣sinx≥0，∴f（x）在区间[0，]上单调递增；（Ⅱ）令f′（x）=0可得acosx=sinx，∵x∈[0，]，∴cosx≠0，∴a=tanx，∵0＜a＜1，∴tanx∈（0，1），∵函数y=tanx在（0，）上单调递增，∴方程a=tanx在（0，）上必有一根，记为x 0，则f′（x0）=acosx0﹣sinx0=0，∵f′（x）=acosx﹣sinx在x∈[0，]上单调递减，∴当x∈（0，x0）时，f′（x）＞f′（x0）=0，当x∈（x 0，）时，f′（x）＜f′（x0）=0，∴函数f（x）在（0，x 0）单调递增，在（x0，）单调递减，∴f（x）max=f（x0）=asinx0﹣cosx0，又∵acosx0=sinx0，cos2x0+sin2x0=1，∴（a2+1）cos2x0=1，∴cos2x0=，∴f（x）max=f（x0）=（a2+1）cosx0=∵当0＜a＜1时，若不等式f（x）＜t2+at+2对于x∈[0，]恒成立，∴＜t2+at+2，即（t﹣2）a+（t2+2）＞0当0＜a＜1时恒成立，令h（a）=（t﹣2）a+（t2+2），则，解不等式组可得t≤﹣1或t≥0【点评】：本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法判函数的单调性和恒成立问题，属中档题．。

2018-2019学年下期三年级第二次素质检测数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷共150分。

考试时间为120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在下列每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） 1.已知集合},4|{},,1|1||{Z x x x B R x x x A ∈≤=∈≤-=，则=⋂B A （ ） A.[0, 2]B.(0, 2)C.{0, 2}D.{0, 1, 2}2.已知命题P 1：平面向量b a ,共线的充要条件是a 与b 方向相同；P 2：函数x x y --=22在R上为增函数，则在命题：213212211)(:,:,:P P q P P q P P q ∨⌝∧∨和）（214:P Pq ⌝∧中，真命题是（ ） A.q 1, q 3 B.q 2, q 3 C.q 1,q 4D.q 2,q 43.已知),0(,2cos sin πααα∈=+，则)3tan(πα-=（ ）A.32-B. 32--C. 32+-D. 32+4.已知}{n a 是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d=（ ） A.32-B.31-C. 31D. 325.某校安排四个班到三个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有（ ）A.24B.36C.48D.606.已知直线m 和平面βα,，则下列四个命题中正确的是（ ） A.若αββα⊥⊂⊥m m 则,, B. 若βαβα//,//,//m m 则 C. 若βαβα⊥⊥m m 则,,//D. 若βαβα//,//,//则m m7.曲线x e y 21=在点（4，2e ）处的切线与坐标轴围成三角形的面积为（ ） A.229e B.4 2e C.2 2e D. 2e8.某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了10000粒，对于没有发芽的种，每粒需要再补2粒，补种的种子数记为x ，则x 的数学期望为（ ） A.1000B.2000C.3000D.40009.设偶函数)(x f 满足)0(8)(3≥-=x x x f ，则=>-}0)1(|{x f x （ ） A.}32|>-<x x x 或｛ B. }20|><x x x 或｛ C. }30|><x x x 或｛ D. }31|>-<x x x 或｛10.设F 1，F 2是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率（ ） A.21 B.32C.43D.5411.若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x ，则2y x的最小值为（ ） A.1B.21C.32D.9112.用max(a, b, c)表示a, b, c 三个数中的最大值，设函数)0}(10,2,2max{)(≥-+=x x x x f x ，若)(0x f 是)(x f 的最小值，则x 0在区间内（ ） A.(1,2)B.(2,3)C.(0,1)D.(3,4)第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z1•z2=（）A．12+13i B．13+12i C．﹣13i D．13i2．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜3}3．运行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．B．C．D．4．若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．C．2a＞2b D．lg（a﹣b）＞05．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．已知变量X服从正态分布N（2，4），下列概率与P（X≤0）相等的是（）A．P（X≥2） B．P（X≥4） C．P（0≤X≤4）D．1﹣P（X ≥4）7．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2=1的直径，点P为直线x ﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，当S n 取最大值时，n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．129．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（）A．18 B．27 C．37 D．21210．函数与的图象关于直线x=a 对称，则a 可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）满足f （x ）+f （2﹣x ）=2，当x ∈（0，1]时，f （x ）=x 2，当x ∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g （x ）=f （x ）﹣t （x+1）有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．过双曲线x 2﹣=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x ﹣4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．19二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知实数x ，y 满足，则y ﹣2x 的最小值为______．14．已知向量=（1，），=（0，t 2+1），则当时，|﹣t |的取值范围是______．15．已知a ＞0，展开式的常数项为15，则=______．16．已知数列{a n }中，对任意的n ∈N *若满足a n +a n+1+a n+2+a n+3=s （s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足a n •a n+1•a n+2=t （t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积．已知数列{p n }为首项为1的4阶等和数列，且满足；数列{q n }为公积为1的3阶等积数列，且q 1=q 2=﹣1，设S n 为数列{p n •q n }的前n 项和，则S 2016=______．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a=7，若锐角A 满足，且，求△ABC 的面积．18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X 的数学期望和方差． P（K 2≥k ） 0.15 0.10 0.050.025 0.010 0.0050.001 k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（，其中n=a+b+c+d ）19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点D 1为棱PD 的中点，过D 1作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于A 1，B 1，C 1，∠BAD=60°．（1）证明：B 1为PB 的中点；（2）若AB=2，且二面角A1﹣AB﹣C的大小为60°，AC、BD的交点为O，连接B1O．求三棱锥B1﹣ABO外接球的体积．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）（2016•长春二模）已知函数在点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）若对任意x1，x2，有，求实数k的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•长春二模）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB 交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•长春二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（1）求曲线C2（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•长春二模）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z1•z2=（）A．12+13i B．13+12i C．﹣13i D．13i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】求出复数的对称点的复数，利用复数的乘法运算法则求解即可．【解答】解：复数z1在复平面内关于直线y=x对称的点表示的复数z2=2+3i，所以z1•z2=（3+2i）（2+3i）=13i．故选：D．【点评】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题．2．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由题意可知A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={x|0＜x＜2}．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．运行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的是计算首项为，公比也为的等比数列的前9项和．【解答】解：由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为．故选：A．【点评】本题考查了程序流程图中循环结构的认识与应用问题，是基础题目．4．若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．C．2a＞2b D．lg（a﹣b）＞0【考点】不等关系与不等式．【分析】举特值可排除ABD，对于C可由指数函数的单调性得到．【解答】解：选项A，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b 但不满足a2＞b2，故错误；选项B，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但=，故错误；选项C，由指数函数的单调性可知当a＞b时，2a＞2b，故正确；选项D，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但lg（a﹣b）=lg1=0，故错误．故选：C．【点评】本题考查不等式的运算性质，特值法是解决问题的关键，属基础题．5．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为．故选：C．【点评】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知变量X服从正态分布N（2，4），下列概率与P（X≤0）相等的是（）A．P（X≥2） B．P（X≥4） C．P（0≤X≤4）D．1﹣P（X ≥4）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，即可求出答案．【解答】解：由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，因此P（X≤0）=P（X≥4）．故选B．【点评】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识．7．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2=1的直径，点P为直线x ﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】运用向量加减运算和数量积的性质，可得=（+）•（+）=||2﹣r2，即为d2﹣r2，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．【解答】解：由=（+）•（+）=2+•（+）+•=||2﹣r2，即为d2﹣r2，其中d为圆外点到圆心的距离，r为半径，因此当d取最小值时，的取值最小，可知d的最小值为=，故的最小值为2﹣1=1．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档题．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，当S n 取最大值时，n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的性质．【分析】由题意，不妨设a6=9t，a5=11t，则公差d=﹣2t，其中t＞0，因此a10=t，a11=﹣t，即可得出．【解答】解：由题意，不妨设a6=9t，a5=11t，则公差d=﹣2t，其中t＞0，因此a10=t，a11=﹣t，即当n=10时，S n取得最大值．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的性质、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（）A．18 B．27 C．37 D．212【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题可知，取出酒瓶的方式有3类，根据分类计数原理可得．【解答】解：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法．故选：C．【点评】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题．10．函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的对称性．【分析】根据函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数图象，学生对三角函数图象的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键，属于基础题．11．已知函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=2，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当x∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g（x）=f（x）﹣t（x+1）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由g（x）=f（x）﹣t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分别求出函数f（x）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题可知函数在x∈（﹣1，1]上的解析式为，又由f（x）+f（2﹣x）=2可知f（x）的图象关于（1，1）点对称，可将函数f（x）在x∈（﹣1，3）上的大致图象呈现如图：根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t （x+1）表示直线的临界位置，其中x∈[1，2）时，f（x）=﹣（x﹣2）2+2，联立，并令△=0，可求得．因此直线的斜率t的取值范围是．故选：D．【点评】本题是最近热点的函数图象辨析问题，是一道较为复杂的难题．作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．12．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•8﹣3=13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选B．【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知实数x，y满足，则y﹣2x的最小值为 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最小值即可．【解答】解：根据方程组获得可行域如下图，令z=y﹣2x，可化为y=2x+z，因此，当直线过点（1，3）时，z取得最小值为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题．从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查．14．已知向量=（1，），=（0，t2+1），则当时，|﹣t|的取值范围是[1，] ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】求出=（0，1），再根据向量差的几何意义，求出|﹣t|的解析式，从而求出它的取值范围．【解答】解：由题意，=（0，1），根据向量的差的几何意义，|﹣t|表示向量t的终点到向量的终点的距离d，所以d=；所以，当t=时，该距离取得最小值为1，当t=﹣时，该距离取得最大值为，即|﹣t|的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．【点评】本题利用数形结合思想，考查了平面向量的几何意义，也考查了函数的最值问题以及计算求解能力的应用问题，是基础题目．15．已知a＞0，展开式的常数项为15，则= ．【考点】二项式定理；微积分基本定理．【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值．=•（﹣1）【解答】解：由的展开式的通项公式为Tr•a6﹣r•，令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，积分的运算，是一道中档的常规问题16．已知数列{a n}中，对任意的n∈N*若满足a n+a n+1+a n+2+a n+3=s（s为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s为4阶公和；若满足a n•a n+1•a n+2=t（t为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积．已知数列{p n }为首项为1的4阶等和数列，且满足；数列{q n }为公积为1的3阶等积数列，且q 1=q 2=﹣1，设S n 为数列{p n •q n }的前n 项和，则S 2016= ﹣2520 ． 【考点】数列的求和．【分析】通过定义可知数列数列{p n }、数列{q n }均为周期数列，进而可知数列{p n •q n }中每12项的和循环一次，进而计算可得结论． 【解答】解：由题意可知，p 1=1，p 2=2，p 3=4，p 4=8，p 5=1，p 6=2，p 7=4，p 8=8，p 9=1，p 10=2，p 11=4，p 12=8，p 13=1，…， 又p n 是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去， 同理，q 1=﹣1，q 2=﹣1，q 3=1，q 4=﹣1，q 5=﹣1，q 6=1，q 7=﹣1，q 8=﹣1，q 9=1，q 10=﹣1，q 11=﹣1，q 12=1，q 13=﹣1，…， 又q n 是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去， 由此可知对于数列{p n •q n }，每12项的和循环一次， 易求出p 1•q 1+p 2•q 2+…+p 12•q 12=﹣15， 因此S 2016中有168组循环结构， 故S 2016=﹣15×168=﹣2520， 故答案为：﹣2520．【点评】本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足，且，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；（2）由条件，可得角A，再运用正弦定理可得b+c=13，由余弦定理，可得bc=40，由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：（1）=，因此f（x）的最小正周期为．由，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为（k∈Z）；（2）由，又A为锐角，则．由正弦定理可得，，则，由余弦定理可知，，可求得bc=40，故．【点评】本题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦和余弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求．18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X 的数学期望和方差． P（K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d ）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由题意列出2×2列联表，计算观测值K 2，对照数表即可得出正确的结论；（2）根据题意，得出商品和服务都好评的概率，求出X 的可能取值，计算对应的概率值，写出期望与方差．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为： 对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评8040120对商品不70 10 80满意合计150 50 200计算观测值，对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6分）（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；其中；；；；；；所以X的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 P由于X～B（5，），则；．（12分）【点评】本题主要考查了统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D1为棱PD的中点，过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A1，B1，C1，∠BAD=60°．（1）证明：B1为PB的中点；（2）若AB=2，且二面角A1﹣AB﹣C的大小为60°，AC、BD的交点为O，连接B1O．求三棱锥B1﹣ABO外接球的体积．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量求平面间的夹角．【分析】（1）根据面面平行的性质结合中位线的性质即可证明：B1为PB的中点；（2）建立坐标系，求出平面的法向量，结合三棱锥的外接球的性质进行求解即可．【解答】解：（1）连结B1D1.，即B1D1为△PBD的中位线，即B1为PB中点．（4分）（2）以O为原点，OA方向为x轴，OB方向为y轴，OB1方向为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，（0，0，t），则，B（0，1，0），B从而，，则，又，则．由题可知，OA⊥OB，OA⊥OB1，OB⊥OB1，即三棱锥B1﹣ABO外接球为以OA、OB、OB1为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为．则三棱锥B1﹣ABO外接球的体积为．（12分）【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设c=t，则a=2t，，推导出点P为短轴端点，从而得到t=1，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆的离心率为，不妨设c=t，a=2t，即，其中t＞0，又△F1PF2内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，∵，为定值，∴也取得最大值，即点P为短轴端点，∴，，解得t=1，∴椭圆的方程为．（4分）（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，则，，直线AA1的方程为，直线BA1的方程为，则，，假设PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），则，，，即，即，，即6nt﹣9+n2+（4﹣m）2=0，若PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），即不论t为何值时，恒成立，∴n=0，m=1或m=7．∴以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．（12分）【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．21．（12分）（2016•长春二模）已知函数在点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）若对任意x1，x2，有，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导，由f'（1）=﹣4，即可求得a的值，令f'（x）=0，求得可能的极值点，由f′（x）＞0及f′（x）＜0，分别求得单调递增和单调递减区间，根据极小值的定义，即可求得在x=1时取极小值，即可求得极小值；（2）由题意可知将不等式转化成，得，构造辅助函数，，求得g（x）的解析式，求导，根据函数的单调性求得g'（x）的最小值，即可求得k的取值范围．【解答】解（1）由题意得，（x＞0），点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．又f'（1）=﹣4，即=﹣4，解得a=1．令，解得：x=e，当f′（x）＞0，解得：x＞e，函数f（x）在（e，+∞）上单调递增，当f′（x）＜0，解得：0＜x＜e，函数f（x）在（0，e）上单调递减，∴f（x）在x=e时取极小值，极小值为．（6分）（2）由，可得，令，则g（x）=x+xlnx，其中，x∈[e2，+∞）g'（x）=2+lnx，又x∈[e2，+∞），则g'（x）=2+lnx≥4，即，∴实数k的取值范围是（﹣∞，4]．（12分）【点评】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值，导数的几何意义，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•长春二模）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB 交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（5分）（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…（10分）【点评】本题考查的知识点是切割线定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•长春二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）联立曲线C1与曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．【解答】解：（1）对于曲线C2有，即，的直角坐标方程为，其表示一个圆．（5因此曲线C分）与曲线C2的方程可得：，（2）联立曲线C∴t+t2=2sinα，t1t2=﹣13，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．（10分）【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•长春二模）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，利用不等式f（x）+a≥0恒成立，即f（x）的最小值|a﹣2|≥﹣a求实数a的取值范围；（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，从而求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a≥0时，f（x）+a≥0恒成立，当a＜0时，要保证f（x）≥﹣a恒成立，即f（x）的最小值|a ﹣2|≥﹣a，解得a≥﹣1，∴0＞a≥﹣1综上所述，a≥﹣1．（5分）（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，即a=4，所以a的取值范围是（﹣∞，4]时恒成立．（10分）【点评】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容．本小题重点考查考生的化归与转化思想．。

高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x ≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．124．下列命题正确的是（）A．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题B．函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是（3，0）或（﹣2，0）C．对于命题p：∃x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：∀x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6=0，则x≠3”5．将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．在（0，）上单调递增，为奇函数B．周期为π，图象关于（）对称C．最大值为，图象关于直线x=对称D．在（﹣）上单调递增，为偶函数6．已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），g（x）=f（f（x）），若g （x）的值域为[2，+∞），f（x）的值域为[k，+∞），则实数k 的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．47．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共7小题，满分36分，9-12题每题6分，13-15题每题4分．）9．已知函数y=log a （x ﹣1）+3，（a ＞0且a ≠1）的图象恒过点P ，则P 的坐标是______，若角α的终边经过点P ，则sin 2α﹣sin2α的值等于______．10．设定义域为R 的函数f （x ）=，则f （f （﹣1））=______；函数y=f （f （x ））的零点共有______个．11．设变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是______．12．已知单调递增的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8=12，a 3•a 6=﹣18，则数列{a n }的通项公式为a n =______；若数列{b n }的通项公式为b n =2n ，则数列{a bn }的前n 项和T n =______．13．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点，则直线MC 与平面ACD 1所成角的正弦值为______．14．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为______．15．已知，，是空间两两垂直的单位向量，=x+y+z，且x+2y+4z=1，则|﹣﹣|的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC 的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BM；（Ⅱ）若=λ（0＜λ＜1），当二面角E﹣AM﹣D大小为时，求λ的值．18．已知函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R）（1）若f（x）在R上不单调，求实数a的取值范围；（2）若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求a2+（b﹣17）2的最小值．19．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？20．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=λa n2+a n．（1）若λ=，求证：a n＜1；（2）若λ=n，求证：++…+＜2．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x ≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．2．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，棱锥高为2，底面为梯形，代入体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的底面是直角梯形，棱锥的高是2，∴V==4．故选B．4．下列命题正确的是（）A．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题B．函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是（3，0）或（﹣2，0）C．对于命题p：∃x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：∀x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6=0，则x≠3”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据复合命题的真假关系进行判断．B．函数的零点是横坐标x，不是点．C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断．D．否命题是同时否定条件和结论．【解答】解：A．若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故A错误，B．由f（x）=x2﹣x﹣6=0得x=3或x=﹣2，则函数的零点为3和﹣2，故B错误，C．特称命题的否定是全称命题得￢p：∀x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，故C正确，D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6≠0，则x≠3”，故D错误，故选：C．5．将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．在（0，）上单调递增，为奇函数B．周期为π，图象关于（）对称C．最大值为，图象关于直线x=对称D．在（﹣）上单调递增，为偶函数【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x=﹣cosx （cosx﹣2sinx）+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象，则g（x）为奇函数，且在（0，）上单调递增，故A正确、D 不正确；由于当x=时，函数g（x）取得最大值为，故它的图象不关于（）对称，故排除B；当x=时，g（x）=0，故g（x）的图象不关于直线x=对称，故C不正确；故选：A．6．已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），g（x）=f（f（x）），若g （x）的值域为[2，+∞），f（x）的值域为[k，+∞），则实数k 的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】函数的值域．【分析】设t=f（x），即有g（x）=f（t），t≥k，可得函数y=at2+bt+c，t≥k的图象为y=f（x）的图象的部分，即有g（x）的值域为f （x）的值域的子集，即有k的范围，可得最大值为2．【解答】解：设t=f（x），由题意可得g（x）=f（t）=at2+bt+c，t≥k，函数y=at2+bt+c，t≥k的图象为y=f（x）的图象的部分，即有g（x）的值域为f（x）的值域的子集，即[2，+∞）⊆[k，+∞），可得k≤2，即有k的最大值为2．故选：C．7．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设右焦点为F′，由=2﹣，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．【解答】解：设右焦点为F′，则∵=2﹣，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e==，故选：C．8．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的性质．【分析】排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选A．二、填空题（本题共7小题，满分36分，9-12题每题6分，13-15题每题4分．）9．已知函数y=log a（x﹣1）+3，（a＞0且a≠1）的图象恒过点P，则P的坐标是（2，3），若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】令x﹣1=1求出x和y，可求出函数y=log a（x﹣1）+3图象过的定点P的坐标，由三角函数的定义求出sinα、cos α，由二倍角的正弦公式化简所求的式子，将数据代入计算即可．【解答】解：令x﹣1=1得，x=2，则此时y=log a1+3=3，∴函数y=log a（x﹣1）+3的图象过定点P（2，3），∵角α的终边经过点P，∴sinα==，cosα=，∴sin2α﹣sin2α=sin2α﹣2sinαcosα==，故答案为：（2，3）；．10．设定义域为R的函数f（x）=，则f（f（﹣1））= 0 ；函数y=f（f（x））的零点共有7 个．【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．【分析】利用分段函数的表达式直接代入即可求值，利用换元法令t=f（x），先求出函数f（x）的零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：f（﹣1）=﹣1+2=1，f（1）=|lg1|=0．故f（f（﹣1））=f（1）=0，若x＞0，则f（x）=|lgx|=0得x=1，由x≤0，则由f（x）=﹣x2﹣2x=0得x=0或x=﹣2，令t=f（x），则y=f（f（x））=f（t），由y=f（f（x））=f（t）=0，则t=1或t=0，或t=﹣2，作出函数f（x）的图象，以及t=1或t=0，或t=﹣2，则t=1时，两个函数有3个交点，当t=0时，两个函数有3个交点，当t=﹣2时，两个函数有一个交点，则共有7个交点，即函数y=f（f（x））的零点共有7个，故答案为：0，7；11．设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，结合的几何意义求出其范围即可．【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：而的几何意义表示过平面区域内的点和A（﹣1，1）的直线的斜率，由图象得：K AB==﹣，故的取值范围是．12．已知单调递增的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=12，a3•a6=﹣18，则数列{a n}的通项公式为a n= 3n﹣12 ；若数列{b n}的通项公式为b n=2n，则数列{a bn}的前n项和T n= 6•2n﹣12n﹣6 ．【考点】数列的求和．【分析】（1）设出等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q＞0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n=a bn结合数列{a n}和{b n}的通项公式得到数列{c n}的通项公式，结合等比数列的前n项和求得数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设单调递增的等差数列{a n}的首项为a1，公差为d（d＞0），由S8=12，a3•a6=﹣18，得解得d=3，d=﹣2（舍去），a1=﹣9，∴a n=﹣9+3（n﹣1）=3n﹣12，（2）由b n=2n，∴a bn=3×2n﹣12，∴T n=（3×21﹣12）+（3×22﹣12）+（3×23﹣12）+…+（3×2n﹣12）=3（21+22+…+2n）﹣12n=3×﹣12n=6•2n﹣12n﹣6；故答案为：3n﹣12，6•2n﹣12n﹣6．13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1的中点，则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】以D为原点建立坐标系，设正方体边长为1，求出平的法向量和的坐标，则|cos＜＞|即为所求．面ACD【解答】解：以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：设正方体棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），M（1，1，）．∴=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，﹣）．设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，∴，设x=1得=（1，1，1）．∴cos＜＞===﹣．所成角的正弦值为|cos＜＞∴直线MC与平面ACD|=．故答案为：．14．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为7+4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线方程为x=my+1，联立方程组得出A，B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出3|AF|+4|BF|关于A，B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值．【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），设直线AB 的方程为x=my+1．联立方程组，得x 2﹣（4m 2+2）x+1=0．设A （，y 1），B （，y 2），则=1．∴y 22=．由抛物线的性质得|AF|=，|BF|==．∴3|AF|+4|BF|=+3++4=7++≥7+2=7+4．故答案为：．15．已知，，是空间两两垂直的单位向量，=x +y +z ，且x+2y+4z=1，则|﹣﹣|的最小值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意设=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），求出=（x ，y ，z ），表示出|﹣﹣|，根据 x+2y+4z=1表示一个平面，（x ﹣1）2+（y ﹣1）2+z 2的值表示空间中的点（x ，y ，z ）到点D （1，1，0）的距离，利用点D 到此平面的距离，即可求出|﹣﹣|的最小值．【解答】解：设=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1）， 则=x +y +z =（x ，y ，z ），且x+2y+4z=1，则﹣﹣=（x﹣1，y﹣1，z），∴|﹣﹣|=；又x+2y+4z=1表示一个平面，（x﹣1）2+（y﹣1）2+z2的值表示空间中的点（x，y，z）到点D（1，1，0）的距离，这样的点在以点D（1，1，0）为球心的球面上，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2+z2的最小值是球与此平面相切时切点与D点的距离平方，即点D到此平面的距离的平方；又点D（1，1，0）到平面x+2y+4z=1的距离是d===；∴|﹣﹣|的最小值是．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小．（2）根据正弦定理表示出c，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB，化简得sinB=cosB，即tanB=，又0＜B＜π，∴B=．（1）解法1：由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，又∵A+B=，∴sin（﹣A）=2sinA，化简可得tanA=，而0＜A＜，∴A=，C=．解法2：由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+4a2﹣2a2=3a2，∴b=，∴a：b：c=1：，知A=，C=．（2）由正弦定理得，即c=，由C=﹣A ，得===+1又由≤A ≤， 知1≤tanA ≤，故c ∈[2，]．17．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（Ⅰ）求证：AD ⊥BM ；（Ⅱ）若=λ（0＜λ＜1），当二面角E ﹣AM ﹣D 大小为时，求λ 的值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出BM ⊥AM ，从而BM ⊥平面ADM ，由此能证明AD ⊥BM ．（Ⅱ）法一：过点E 作MB 的平行线交DM 于F ，过点F 作AM 的垂线，垂足为H ，连接HE ，则∠EHF 即为二面角E ﹣AM ﹣D 的平面角，由此能求出当二面角E ﹣AM ﹣D 大小为时λ 的值．法二：以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当二面角E﹣AM﹣D大小为时λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵，∴BM⊥AM，又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM．又AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM．解：（Ⅱ）（方法一）过点E作MB的平行线交DM于F，由BM⊥平面ADM，得EF⊥平面ADM，在平面ADM中过点F作AM的垂线，垂足为H，连接HE，则∠EHF即为二面角E﹣AM﹣D的平面角，大小为．设FM=x，则，在Rt△FHM 中，由∠EFH=90°，∠EHF=60°，则．由EF∥MB，MB=2，则，即，解得x=4﹣2．故当二面角E﹣AM﹣D 大小为时，，即．（方法二）以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，M（0，0，0），，，，且，所以，，设平面EAM 的法向量为，则，，所以，．又平面DAM 的法向量为，所以，，解得，或（舍去）．所以，．18．已知函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R）（1）若f（x）在R上不单调，求实数a的取值范围；（2）若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求a2+（b﹣17）2的最小值．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）由函数f（x）去掉绝对值，得f（x）=，又由f（x）在R上不单调，列出不等式组求解即可得答案；（2）由f（x）=，若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且，可得，再由线性规划可得答案．【解答】解：（1）由函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b ∈R），得f（x）=，若f（x）在R上不单调，得或，实数a的取值范围为：a＜﹣2或a＞2；（2）f（x）=，若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且，则，即，a2+（b﹣17）2的几何意义为定点（0，17）与可行域内动点距离的平方，由，得a2+（b﹣17）2的最小值为=40．19．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据点是离心率为的椭圆C上的一点，建立方程，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，计算出三角形的面积，利用基本不等式，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵，，a2=b2+c2∴a=2，，∴椭圆方程为．…（Ⅱ）设直线BD的方程为由，消去y可得∴，，由△=﹣8b2+64＞0，可得∴，设d为点A到直线BD：的距离，∴∴，当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．…20．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=λa n2+a n．（1）若λ=，求证：a n＜1；（2）若λ=n，求证：++…+＜2．【考点】数列与不等式的综合；不等式的证明．【分析】（1）通过变形可知数列{a n}为正项递增数列，通过放缩、变形可知﹣≤﹣，进而并项相加即得结论；（2）通过放缩、变形可知﹣≥，进而并项相加即得结论．【解答】证明：（1）易知a n＞0，∵，∴，∴﹣≤=﹣，累加，得：﹣≤1﹣（n≥2），又∵a1＜1满足上式，∴∴a n＜1；（2）易知a n＞0，∵a n+1=na n+a n，∴=﹣，∴﹣=≥，累加，得：++…+＜﹣＜=2．2016年9月26日。

全国十所重点中学高考数学二模试卷（理科）（四）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]【考点】：对数函数的定义域；交集及其运算．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．【解析】：解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．【点评】：本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．2．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则可得：复数z=1+i，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假．【解析】：解：复数z===1+i的四个命题：p 1：|z|=≠2，因此是假命题；p2：z2=（1+i）2=2i，是真命题；p3：z的共轭复数为1﹣i，是假命题；p4：z的虚部为1，是真命题．其中真命题为p2，p4．故选：C．【点评】：本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义、命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：阅读型；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】：令y=x﹣sinx，求出导数，判断单调性，即可判断①；由命题的逆否命题，先将体积、结论调换，再分别对它们否定，即可判断②；由命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，即可判断③；由全称性命题的否定为存在性命题，即可判断④．【解析】：解：对于①，令y=x﹣sinx，则y′=1﹣cosx≥0，则有函数y=x﹣sinx在R上递增，则当x＞0时，x﹣sinx＞0﹣0=0，则x＞sinx恒成立．则①对；对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”，则②对；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；对于④，命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．则④对．综上可得，其中正确的叙述共有3个．故选C．【点评】：本题考查函数的单调性的运用，考查复合命题的真假和真值表的运用，考查充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题和易错题．4．（5分）如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）A．π+24 B．π+20 C．2π+24 D．2π+20【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，即可求出该器皿的表面积．【解析】：解：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，s1=6×2×2﹣π×12=24﹣π，s2==2π，故s=s1+s2=π+24故选：A．【点评】：由三视图求表面积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征．5．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解析】：解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[2，3] D．[﹣1，3]【考点】：简单线性规划的应用．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z=﹣mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m ﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z=﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，确定目标函数的斜率是解决本题的关键，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7．（5分）对于函数f（x）=x3cos3（x+），下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数且在（）上递减B．f（x）是奇函数且在（）上递增C．f（x）是偶函数且在（）上递减D．f（x）是偶函数且在（）上递增【考点】：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】：探究型．【分析】：由题设条件知，可先化简函数解析式，再研究函数的性质，根据得出的函数的性质选出正确选项【解析】：解：f（x）=x3cos3（x+）=x3cos（3x+）=﹣x3sin3x由于f（﹣x）=﹣x3sin3x=f（x），可知此函数是偶函数，又x3与sin3x在（）上递增，可得f（x）=﹣x3sin3x在（）上递减，对照四个选项，C正确故选C【点评】：本题考查函数奇偶性与函数单调性的判断，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性的判断方法与函数单调性的判断方法，除了用定义法判断之外，掌握一些基本函数的单调性，利用基本函数的单调性判断一些由这些基本函数组合的函数的性质可以方便解题8．（5分）（2015•甘肃二模）定义：在数列{a n}中，若满足﹣=d（n∈N+，d为常数），称{a n}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n}中，a1=a2=1，a3=3，则（）A．4×20152﹣1 B．4×20142﹣1 C．4×20132﹣1 D．4×20132【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：计算题；推理和证明．【分析】：确定=1+2（n﹣1）=2n﹣1，再代入，即可得出结论．【解析】：解：由题意，d==3﹣1=2，=1，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，利用叠乘法可得==4×20142﹣1，故选：B．【点评】：本题考查新定义，考查数列通项的求解，解题的关键是对新定义的理解．9．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是（）A．（﹣∞，）B．[，5] C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：函数在区间（1，3）上为“凸函数”，所以f″（x）＜0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可；【解析】：解：∵f（x）=x4﹣x3﹣x2，∴f′（x）=x3﹣x2﹣3x，∴f″（x）=x2﹣mx﹣3，∵f（x）为区间（1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0在区间（1，3）上恒成立，∴，解得m≥2故选：D．【点评】：本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．10．（5分）在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（）A．40种B．70种C．80种D．100种【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：计算题；推理和证明．【分析】：Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，即可得出结论．【解析】：解：Grace不参与该项任务，则有=30种；Grace参与该项任务，则有=10种，故共有30+10=40种故选：A．【点评】：本题考查进行简单的合情推理，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．11．（5分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解析】：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+P1F1＞P1F2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e ≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）【点评】：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P 使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．12．（5分）已知实数a，b，c，d满足==1其中e是自然对数的底数，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．18第Ⅱ卷【考点】：两点间距离公式的应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由已知得点（a，b）在曲线y=x﹣2e x上，点（c，d）在曲线y=2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线y=x﹣2e x到曲线y=2﹣x上点的距离最小值的平方．由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解析】：解：∵实数a，b，c，d满足==1，∴b=a ﹣2e a，d=2﹣c，∴点（a，b）在曲线y=x﹣2e x上，点（c，d）在曲线y=2﹣x 上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线y=x﹣2e x到曲线y=2﹣x上点的距离最小值的平方．考查曲线y=x﹣2e x上和直线y=2﹣x平行的切线，∵y′=1﹣2e x，求出y=x﹣2e x上和直线y=2﹣x平行的切线方程，∴令y′=1﹣2e x=﹣1，解得x=0，∴切点为（0，﹣2），该切点到直线y=2﹣x的距离d==2就是所要求的两曲线间的最小距离，故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为d2=8．故选：A．【点评】：本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知向量=（1，），=（3，m）．若向量在方向上的投影为3，则实数m= ．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由投影的定义即得，所以得到，解出m 即可．【解析】：解：根据投影的概念：；∴．故答案为：．【点评】：考查投影的概念，两向量夹角余弦公式的坐标运算，数量积的坐标运算，根据向量坐标求其长度．14．（5分）已知a=2cos（x+）dx，则二项式（x2+）5的展开式中x的系数为﹣80 ．【考点】：定积分；二项式定理的应用．【专题】：计算题．【分析】：根据定积分的运算法则求出a的值，再根据二项式定理的公式，求出一次项的系数；【解析】：解：∵a=2cos（x+）dx=2sin（x+）=2sin（）﹣2sin=﹣2，∴二项式（x2+）5=（x2﹣）5，∴T r+1==，令10﹣3r=1，可得r=3，∴二项式（x2+）5的展开式中x的系数=﹣80；故答案为：﹣80；【点评】：此题主要考查定积分的运算法则和二项式定理的应用，是一道综合题，比较简单；15．（5分）对于集合{a1，a2，…，a n}和常数a0，定义：为集合{a1，a2，…，a n}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为．【考点】：三角函数的化简求值．【专题】：计算题；压轴题；新定义．【分析】：先根据题意表示出正弦方差μ，进而利用二倍角公式把正弦的平方转化成余弦的二倍角，进而利用两角和公式进一步化简整理，求得结果即可．【解析】：解：因为集合相对a0的“正弦方差”，W======故答案为：．【点评】：本题主要考查了三角函数中二倍角，两角和公式的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．16．（5分）已知动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，且PA=r（0＜r＜），记点P的轨迹长度为f （r）给出以下四个命题：①f（1）=π②f（）=π③f（）=π④函数f（r）在（0，1）上是增函数，f（r）在（，）上是减函数其中为真命题的是①④（写出所有真命题的序号）【考点】：棱柱的结构特征．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题意画出图形并得出相应的解析式，画出其图象，经过讨论即可得出答案．【解析】：解：如图所示：①当0＜r≤1时，f（r）=3××r=r，f（）=，．此时，由一次函数的单调性可得：0＜f（r）≤＜5，②当1＜r≤时，在平面ABCD内，设以点A为圆心，r为半径的圆弧与BC、CD分别交于点E、F，则cos∠DAF=，∠EAF=﹣2∠DAF，∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2=，cos∠EAG=，∴f（r）=3rarccos+3rarccos；③当＜r≤时，∵CM=，∴，∴cos∠MAN==，∴f（r）=3rarccos，综上，当0＜r≤1时，f（r）=r，当1＜r≤时，f（r）=3rarccos+3rarccos；当＜r≤时，f（r）=3rarccos，故只有①④正确．故答案为：①④．【点评】：熟练掌握数形结合、分类讨论的思想方法、数形结合的思想方法是解题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【考点】：数列的求和；等比数列的性质；余弦定理．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以cosA=，由此能求出A=．（Ⅱ）由已知条件推导出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d ≠0，由此能求出a n=2n，从而得以==，进而能求出{}的前n项和S n．【解析】：解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，∴=，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）设{a n}的公差为d，∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，∴a 1==2，且=a2•a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，∴a n=2n，∴==，∴S n=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．【点评】：本题考查角的大小的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18．（12分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中，随机发放了l20份问巻．对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2x2列联表：（1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由．附：独立性检验统计量K2=，其中n=a+b+c+d，独立性检验临界表：【考点】：独立性检验的应用．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘．因为ξ表示从这9份问卷中随机抽取的4份中能做到光盘的问卷份数，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，求出相应的概率，可得随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）计算K2=≈3.03，可得结论．【解析】：解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘．因为ξ表示从这9份问卷中随机抽取的4份中能做到光盘的问卷份数，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，所以P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．ξ的分布列如下所以Eξ=0×+1×+2×+3×=；（2）K2=≈3.03因为2.706＜3.03＜3.840．所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即P=0.1．【点评】：本题考查随机变量ξ的分布列和数学期望，考查独立性检验，考查学生分析解决问题的能力，知识综合．19．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE 和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】：空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】：（Ⅰ）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知条件推导出∠EBF=60°，由此能证明DE∥平面ABC．（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，能推导出∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴，…（4分）∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…（9分）Rt△EFG中，，，．∴．即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则，∴，∴．…（9分）所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）【点评】：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=3，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（2）①设出直线方程，榴莲么抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；②运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．【解析】：（1）解：由已知可得K（﹣，0），圆C：（x﹣2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1．设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=，于是|CR|===，即有|CK|====3，即有2+=3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x；（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，y2=，=，即有（）2+y解得y1y2=﹣18或2（舍去），即﹣4t=﹣18，解得t=．则有AB恒过定点Q（，0）；②解：由①可得|AB|=|y 2﹣y1|=•，同理|GD|=|y2﹣y1|=•，则四边形AGBD面积S=|AB|•|GD|=•••=4，令m2+=μ（μ≥2），则S=4是关于μ的增函数，则当μ=2时，S取得最小值，且为88．当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88．【点评】：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线方程和直线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，向量的数量积的坐标表示，具有一定的运算量，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点（1）求常数b的值（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围（3）求证：对于任意的正整数n，不等式（1+）n．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得f′（0）=0，即可得到b=1；（2）求出f（x）的导数，对a讨论，①当a≤﹣时，②当a ≥0时，③当﹣＜a＜0时，求出单调区间，求得最小值，即可得到a的范围；（3）对要证的不等式等价变形，可得ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②运用（2）中的结论，通过a的取值，即可得证．【解析】：（1）解：对f（x）求导得：f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣b，根据条件知f′（0）=0，所以1﹣b=0，解得b=1；（2）解：由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x ≤1，f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣1f″（x）=﹣．①当a≤﹣时，由于0≤x≤1，有f″（x）≥0，于是f′（x）在[0.1]上单调递增，从而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递增，即f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0；②当a≥0时，由于0≤x≤1，有f″（x）＜0，于是f′（x）在[0.1]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0；③当﹣＜a＜0时，令m=min{1，﹣}，当0≤x≤m时，f″（x）＜0，于是f′（x）在[0，m]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f （0）=0．综上可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．（3）证明：要证对于任意的正整数n，不等式（1+）n．即证对于任意的正整数n，nln（1+）＜1＜（n+1）ln（1+）．即证ln（1+）＜＜（+1）ln（1+）．即证ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②对于①相当于（2）中a=0，有f（x）在[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0．取x=，有ln（1+）﹣＜0；对于②相当于（2）中a=﹣1，有∀x∈[0，1]，f（x）≥0而且仅有f（0）=0．取x=，有（+1）ln（1+）﹣＞0成立．则有对于任意的正整数n，不等式（1+）n．【点评】：本题考查导数的运用：求切线斜率和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法和等价转化的思想方法是解题的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：直线与圆．【分析】：（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB•PC=PA•AC．（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．【解析】：（1）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴AB•PC=PA•AC．…（4分）（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴AC=12，AB=6，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．（10分）【点评】：本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ 的长．【考点】：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解析】：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．【点评】：本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，平方后解一元二次不等式求得它的解集．（Ⅱ）根据f（x）的解析式，求出f（x）的最小值为f（），再根据f（）+2m2＜4m，求得m的范围．【解析】：解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，即4x2﹣4x+1＞x2+4x+4，即3x2﹣8x+3＞0，求得它的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，故f（x）的最小值为f（）=﹣，根据∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，可得4m﹣2m2＞﹣，即4m2﹣8m﹣5＜0，求得﹣＜m＜．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对会的函数，函数的能成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2018届高三下学期重点中学第二次联考试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，则A B 中元素的个数为 ▲ ．6 2.设复数z 满足i i z 510)2(-=+，（i 为虚数单位），则复数z 的实部为▲ .33. 已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，且xy = 60，则此样本的方差是 ▲ ．24. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果S 为▲ ．135.从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为4或5的概率为 ▲ .126.已知3(0,),sin()45αππα∈+=-，则tan α＝ ▲ .17-7.已知正三棱锥的体积为93cm 3，高为3cm ．则它的侧面积为 ▲ cm 2．1838. 已知双曲线22221x y a b-= (0a >，0b >)的左顶点为M，右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且满足M A M B ⊥，则该双曲线的离心率是 ▲ ．2 9. 设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 .2 10.已知2231,0()2,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩，则不等式2(2)5f x x -≤的解集为▲ . [1,1]-11. 如图，已知AC 是圆的直径，,B D 在圆上且35AB AD ==，，则AC BD ⋅= ▲ .2 12.已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+= 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+ ，则b = .5313. 若函数2()2(ln )f x m x x x =+-有唯一零点，则m 的取值范围是 ▲ .102m m <=或14.已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1()()2f t f t+=-，则224a b +的最小值为 ▲ ．165二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足I ←0While I <9 S ←2I + 1 I ←I +3End While Print S 第4题图ACBD2sin()6b C ac π+=+．（1）求角B 的大小；（2）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠． （Ⅰ）312sin (sin cos )sin sin 22B C C A C ⋅+⋅=+， 即3sin sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++，3sin sin cos sin sin B C B C C ∴=+，3sin cos 1B B ∴=+，所以2sin()16B π-=，由(0,)B π∈ ,5(,)666B πππ-∈- 解得3B π=． ………………… 7分（范围不说明扣1分）（Ⅱ）解法一：取CM 中点D ,连AD ,则AD CM ⊥,则CD x =，则3BD x =， 由（Ⅰ）知3B π=，33,27AD x AC x ∴=∴=，由正弦定理知，427sin sin 60x xBAC =∠o，得21sin 7BAC ∠=. …………………14分解法二：由（Ⅰ）知3B π=，又M 为BC 中点，2a BM MC ∴==，在ABM ABC ∆∆与中，由余弦定理分别得：22222()2cos ,2242a a a ac AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+- 222222cos ,AC a c ac B a c ac =+-⋅=+-又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +-37,22a cb a ∴=∴=，由正弦定理知，72sin sin 60aa BAC =∠o，得21sin 7BAC ∠=. …………………14分16. 如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．（1）若AB BC ⊥，CP PB ⊥，求证：CP PA ⊥； （2）若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l ∥平面PBC ．16．（1）因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC平面ABCBC =，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC． …………3分因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB 又因为CP ⊥PB ，且PB AB B =，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CP ⊥平面PAB ，又因为PA ⊂平面PAB ，所以CP ⊥PA ． …………7分 （2）在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ． 因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD ⊂平面PBC，所以PD ⊥平面ABC ．…………10分又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ．ACBP又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ，l //平面PBC ． …………14分17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为nE cv T =，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ， 该生物探测器在水中逆流行进200 km ． （1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T， 又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -，所以200T =4v -，即2004T v =-，4v >； ……………………4分 （2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦ 162002(4)84c v v ⎡⎤⋅-⋅+⎢⎥-⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）……………9分(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =， 当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>， 所以当6v =时，min E 21600c =． 答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ；(ⅱ) 6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少． ……………14分 )0(12222>>=+b a by a x 的18.如图,已知椭圆C ：32.上顶点为(0,1)A ,离心率为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若过点A 作圆()2221:r y x M =++()10<<r 的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时,试问直线BD 是xyBAMO否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.解：（Ⅰ） 由已知可得,2221,3,2,12,b c a b a a b c =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪⎪=+⎩, 所求椭圆的方程为2214x y += (5)分（Ⅱ）设切线方程为1y kx =+，则2|1|1k r k-=+，即222(1)210r k k r --+-=， 设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以121k k ⋅=； …………………8分由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)80k x kx ++=， 所以211112211814,1414k k x y k k --==++，同理可得：222121222222212188144,144144k k k k x y k k k k ----====++++， …………………12分所以221122211111122114144141883414BDk k k k k k k k k k k ---+++==----++， 于是直线BD 方程为22111221111418()14314k k k y x k k k -+--=--++， 令0x =，得2221111222111114185205143143(14)3k k k k y k k k k -+---=+⨯==-+++， 故直线BD 过定点5(0,)3-. …………………16分19. 定义：从一个数列{a n }中抽取若干项(不少于三项)按其在{a n }中的次序排列的一列数叫做{a n }的 子数列，成等差(比)的子数列叫做{a n }的等差(比)子列． （1）求数列1，12，13，14，15的等比子列；（2）设数列{a n }是各项均为实数的等比数列，且公比q ≠1．（i ）试给出一个{a n }，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）； （ii ）若{a n }存在无穷项的等差子列，求q 的所有可能值．解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k （1≤k ≤3，k ∈N *）， 当k ＝2时，①设1n ，1n ＋1，1m 成等比数列，则1(n ＋1)2＝1n ×1m ，即m ＝n ＋1n ＋2，当且仅当n ＝1时，m ∈N *，此时m ＝4，所求等比子数列为1，12，14；②设1m ，1n ，1n ＋1成等比数列，则1n 2＝1n ＋1×1m ，即m ＝n ＋1＋1n ＋1－2N *；………3分当k ＝3时，数列1，12，13；12，13，14；13，14，15均不成等比，当k ＝1时，显然数列1，13，15不成等比；综上，所求等比子数列为1，12，14． ……………………5分（2）（i ）形如：a 1，－a 1，a 1，－a 1，a 1，－a 1，…（a 1≠0，q ＝－1）均存在无穷项 等差子数列： a 1，a 1，a 1，… 或－a 1，－a 1，－a 1， ……………………7分 （ii ）设{a n k }(k ∈N *，n k ∈N *)为{a n }的等差子数列，公差为d ，当|q|＞1时，|q|n＞1，取n k ＞1＋log |q||d||a 1|(|q|－1)，从而|q|n k －1＞|d||a 1|(|q|－1)，故|a n k ＋1－a n k |＝|a 1q n k ＋1－1－a 1q n k －1|＝|a 1||q|n k －1·|q n k ＋1－n k －1|≥|a 1||q|n k －1(|q|－1)＞|d|，这与|a n k ＋1－a n k |＝|d|矛盾，故舍去； ……………………12分 当|q|＜1时，|q|n＜1，取n k ＞1＋log |q||d|2|a 1|，从而|q|n k －1＜|d|2|a 1|， 故|a n k ＋1－a n k |＝|a 1||q|n k －1|q n k ＋1－n k －1|≤|a 1||q|n k －1||q|n k ＋1－n k ＋1|＜2|a 1||q|n k －1＜|d|，这与|a n k ＋1－a n k |＝|d|矛盾，故舍去； 又q ≠1，故只可能q ＝－1，结合(i)知，q 的所有可能值为－1． (16)分20.设函数()()ln ,f x x a x x a a R =--+∈．（1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间22(,)e e -内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-． 解：（1）当a ＝0时，f(x)＝xlnx －x ，f ’(x)＝lnx ， 令f ’(x)＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f ’(x) － 0 ＋ f(x)单调递减单调递增故f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……………………3分 （2）方法一、f(x)＝(x －a)lnx －x ＋a ，f ’(x)＝lnx －ax，其中x ＞0，令g(x)＝xlnx －a ，分析g(x)的零点情况．g ’(x)＝lnx ＋1,令g ’(x)＝0，x ＝1e，列表分析x (0，1e )1e (1e，＋∞) g ’(x) － 0 ＋ g(x)单调递减单调递增g(x)min ＝g(1e )＝－1e－a ，……………………5分而f ’(1e )＝ln 1e －ae ＝－1－ae ，f ’(e －2)＝－2－ae 2＝－(2＋ae 2)，f ’(e 2)＝2－a e 2＝1e2(2e 2－a)，①若a ≤－1e ，则f ’(x)＝lnx －ax≥0，故f(x)在(e －2，e 2)内没有极值点；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f ’(1e )＝ln 1e －ae ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋ae 2)＞0，f ’(e 2)＝1e2(2e 2－a)＞0， 因此f ’(x)在(e －2，e 2)有两个零点，f(x)在(e －2，e 2)内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f ’(1e )＝ln 1e －ae ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋ae 2)≤0，f ’(e 2)＝1e2(2e 2－a)＞0，因此f ’(x)在(e －2，e 2)有一个零点，f(x)在(e －2，e 2)内有一个极值点； 综上所述，当a ∈(－∞，－1e]时，f(x)在(e －2，e 2)内没有极值点；当a ∈(－1e ，－2e2)时，f(x)在(e －2，e 2)内有两个极值点；当a ∈[－2e2，0)时，f(x)在(e －2，e 2)内有一个极值点.. ……………………10分方法二、f(x)＝(x －a)lnx －x ＋a ，f ’(x)＝lnx －ax ，令()ln g x x x（不用零点存在定理说明扣3分）（3）猜想：x ∈(1，1＋a)，f(x)＜a －1恒成立． ……………………11分证明如下：由（2）得g(x)在(1e ，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－a ＜0，g(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)－a ．因为当x ＞1时，lnx ＞1－1x (*)，所以g(1＋a)＞(1＋a)(1－1a ＋1)－a ＝0．故g(x)在(1，1＋a)上存在唯一的零点，设为x 0．由x (1，x 0) x 0 (x 0，1＋a)f ’(x) － 0 ＋ f(x)单调递减单调递增知，x ∈(1，1＋a)，f(x)＜max{f(1)，f(1＋a)}． ……………………13分 又f(1＋a)＝ln(1＋a)－1，而x ＞1时，lnx ＜x －1(**)， 所以f(1＋a)＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f(1)． 即x ∈(1，1＋a)，f(x)＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a)，使 f(x)＜a －1．……………………15分补充证明（*）：令F(x)＝lnx ＋1x －1，x ≥1．F ’(x)＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F(x)＞F(1)＝0，即lnx ＞1－1x ．补充证明（**）令G(x)＝lnx －x ＋1，x ≥1．G ’(x)＝1x －1≤0，所以G(x)在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G(x)＜G(1)＝0，即lnx ＜x －1． ……………………16分数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指．．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在圆O 中，AB ，CD 是互相平行的两条弦，直线AE 与圆O 相切于点A ，且与CD 的延长线交于点E ，求证：AD 2＝AB ·ED ．证明：连接BD ，因为直线AE 与圆O 相切，所以∠EAD ＝∠ABD ． ……………………4分又因为AB ∥CD ， 所以∠BAD ＝∠ADE ，所以△EAD ∽△DBA ． ........................8分 从而ED DA ＝AD BA ，所以AD 2＝AB .ED ． (10)分A BCDEO ·（第21题（A ）图）B ．选修4－2：矩阵与变换已知，点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点B ．若点B 的坐标为(3,4)-，求点A 的坐标． 解：011201100112--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………………………………………………4分设(,)A a b ，则由013124a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得324b a b -=-⎧⎨+=⎩．……………………………………8分所以23a b =-⎧⎨=⎩，即(2,3)A -． (10)分C ．选修4－4：坐标系与参数方程若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是θθρ2sin cos 6=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为323x ty t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），当直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB ．解：（1）由θθρ2sin cos 6=，得θρθρcos 6sin 2=，26y x =． ……………………4分所以曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线． ……………………5分（2）将323x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩代入26y x =得2230t t --=，123,1t t ==- ……………………8分222121()()AB x x y y =-+-22212121()[3()]28t t t t t t =-+-=-= (10)分解法二：代入26y x =得2230t t --=， 12122,3t t t t +==- ……………………8分222121()()AB x x y y =-+-22221212112()[3()]2()48t t t t t t t t =-+-=+-= ……………………10分D ．选修4－5：不等式选讲设函数()23()f x x x x m m R =-+---∈． （Ⅰ）当4m =-时，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若存在0x R ∈，使得01()4f x m≥-，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）当4m =-时，33,2,()2341,23,5,3x x f x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩ (2)分∴函数()f x 在(,3]-∞上是增函数，在(3,)+∞上是减函数，所以max ()(3)2f x f ==． ……………………4分（Ⅱ）01()4f x m ≥-，即0001234x x x m m-+--+≥+， 令()234g x x x x =-+--+，则存在0x R ∈，使得01()g x m m≥+成立， ∴max 1()2,m g x m +≤=即12,m m+≤ ……………………7分∴当0m >时，原不等式为2(1)0m -≤，解得1m =， 当0m <时，原不等式为2(1)0m -≥，解得0m <，综上所述，实数m 的取值范围是{}(,0)1-∞U ． ……………………10分22.设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个. （1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率； （2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE . 解：可列举出集合S 的非空子集的个数为：31125=-个.（I ）满足性质p 的非空子集为：{}3，{}5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1共7个，所以所取出的非空子集满足性质p 的概率为：317=p . …………………4分（2）x 的可能值为1,2,3,4,5x12 3 4 5P131 231 431 831 1631()124816129=1+2+3+4+5=313131313131E x 创创? (10)分23. 设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，，集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S ．⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：nmS 111322n m n +++<+-． 23.解⑴228S =，4232S =； ……………………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n n C -种可能，即为222n C ，……5分若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m m n C -种可能，美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。

高三（下）调考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣5≤2x﹣1≤3，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}2．已知复数z1=1﹣2i，z2=2+3i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知数组（x1，y1），（x2，y2），…，（x20，y20）满足线性回，y0）满足线性回归方程是归方程，则（x“x0=，y0=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（﹣1，﹣2），X（3，1），且=2，则顶点D的坐标为（）A．B． C．（3，2）D．（1，3）5．数列{（﹣1）n•n}的前2016项的和S2016为（）A．﹣2016 B．﹣1008 C．2016 D．10086．已知命题p：函数y=log a（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（﹣1，1）；命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为2π，则（）A．“p∧q”为真B．“p∨q”为假C．p真q假D．p假q真7．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图．若输出，则输入角θ=（）A．B．C．D．9．若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣210．设F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、PF2右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使•=0，且△F的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．511．函数f（x）=﹣（cosx）|lg|x||的部分图象是（）A．B． C．D．12．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式2f（x）+2x•f′（x）＜0成立，若a=30.2f（30.2），b=（logπ2）f（logπ2），c=（log2）f（log2），则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，（n∈N*），若，设数列{a n}的前n项和为S n，则S n的最小值为．14．已知m＞0，实数x，y满足，若z=x+2y的最大值为2．则实数m= ．15．顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为．16．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．18．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：场数9 10 11 12 13 14人数10 18 22 25 20 5将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？非歌迷歌迷合计男女合计（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．P （K 2≥k ）0.05 0.01k3.8416.635 附：K 2=． 19．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为线段DD 1，BD 的中点．（1）求异面直线EF 与BC 所成的角的正切值．（2）求三棱锥C ﹣B 1D 1F 的体积．20．设椭圆M ：（a ＞b ＞0）的离心率与双曲线x 2﹣y 2=1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线y=x+m交椭圆M于A，B两点，P（1，）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．21．设函数，f（x）=lnx+，k∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范围．.[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明讲已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．[选修4-4:参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣5≤2x﹣1≤3，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，根据两个集合的交集的定义求出A∩B．【解答】解：集合A={x|﹣4≤2x≤4，x∈R}={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}={x|0≤x≤8，x∈Z}={ 0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={x|0，1，2}，故选D．2．已知复数z1=1﹣2i，z2=2+3i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：===在复平面内对应的点在第三象限．故选：C．3．已知数组（x1，y1），（x2，y2），…，（x20，y20）满足线性回，y0）满足线性回归方程是归方程，则（x“x0=，y0=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点，即可得到结论．【解答】解：根据线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点，则（x，y0）满足线性回归方程是“x0=，y0=”的必要不充分条件，故选：B4．已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（﹣1，﹣2），X（3，1），且=2，则顶点D的坐标为（）A．B． C．（3，2）D．（1，3）【考点】平面向量坐标表示的应用．【分析】本小题主要考查平面向量的基本知识，先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，根据向量的数乘关系，得到向量坐标之间的关系，由横标和纵标分别相等，得到结果．【解答】解：设顶点D的坐标为（x，y）∵，，且，∴故选A5．数列{（﹣1）n•n}的前2016项的和S2016为（）A．﹣2016 B．﹣1008 C．2016 D．1008【考点】数列的求和．【分析】将数列中相邻的两项两两组合，即可得出结果．【解答】解：S2016=﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣2015+2016=（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…+（﹣2015+2016）=1+1+1+…+1=1008．故选：D．6．已知命题p：函数y=log a（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（﹣1，1）；命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为2π，则（）A．“p∧q”为真B．“p∨q”为假C．p真q假D．p假q真【考点】复合命题的真假．【分析】根据对数函数的性质判断命题p，根据三角函数的性质判断命题q，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：x=﹣1，y=log a（﹣a+2a）=1，故命题p为真，命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为π，故命题q为假，故选：C．7．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果．【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C．8．执行如图所示的程序框图．若输出，则输入角θ=（）A．B．C．D．【考点】选择结构．【分析】分sinθ=﹣和tanθ=﹣时两种情况加以讨论，解方程并比较|θ|与的大小，最后综合即可得到本题的答案．【解答】解：根据程序框图中的算法，得输出的结果可能是sin θ或tanθ，①当输出的﹣是sinθ时，即sinθ=﹣，﹣＜θ＜，此时θ不存在；②当输出的﹣是tanθ时，tanθ=﹣，﹣＜θ＜，此时θ=﹣；∵|θ|=＞，此时θ=﹣符合题意，综上所述可得输入的θ=﹣．故选D．9．若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0的圆心，可得a+b=1．再根据+=+=3++，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：由题意可得直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0的圆心（1，2），故有2a+2b=2，即a+b=1．再根据+=+=3++≥3+2=2+2，当且仅当=时，取等号，故+的最小值是3+2，故选：C．10．设F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、PF2右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使•=0，且△F的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．5【考点】双曲线的简单性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由已知可得，PF1＞PF2，PF1⊥PF2，由△F1PF2的三边长构成等差数列，可得2PF1=F1F2+PF2，结合双曲线的定义，=PF2+2a，利用勾股定理可得+=，代入可求PF【解答】解：由P为双曲线的右支上一点可知，PF1＞PF2∵∴PF1⊥PF2∴F1F2＞PF1＞PF2由△F1PF2的三边长构成等差数列，可得2PF1=F1F2+PF2=2c+PF2①又由双曲线的定义可知，PF1﹣PF2=2a即PF1=PF2+2a②①②联立可得，PF2=2c﹣4a，PF1=2c﹣2a∵∴+=即（2c﹣4a）2+（2c﹣2a）2=4c2整理可得，c2﹣6ac+5a2=0∵c＞a∴e=5故选D11．函数f（x）=﹣（cosx）|lg|x||的部分图象是（）A．B． C．D．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【分析】先由奇偶性来确定是A还是C选项中的一个，再通过通过分离函数，当x∈（﹣，0）∪（0，）时，函数f1（x）=﹣cosx＜0，可进一步确定选项．【解答】解析：因为f（x）=﹣（cosx）|lg|x||∴f（﹣x）=﹣（cos（﹣x））|lg|﹣x||=f（x），故是偶函数，由此可确定是A或C选项中的一个，下用特殊值法判断，通过分离函数得f1（x）=﹣cosx，f2（x）=|lg|x||，由于f2（x）=|lg|x||≥0，观察函数f（x）=﹣cosx的符号即可，1由于x∈（﹣，0）∪（0，）时，f1（x）=﹣cosx＜0，表明函数图象在x∈（﹣，0）∪（0，）时位于x轴下方，可以得到正确结果：答案：C．12．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式2f（x）+2x•f′（x）＜0成立，若a=30.2f（30.2），b=（logπ2）f（logπ2），c=（log2）f（log2），则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【考点】函数单调性的性质．【分析】构造函数g（x）=xf（x），由于当x＞0时，不等式f （x）+x•f′（x）＜0成立，利用导数可得当x＞0时，函数g （x）单调递减．函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数g（x）在R上是奇函数．进而得到g（x）在R上是减函数．【解答】解：构造函数g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，∴当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R上是奇函数．∴g（x）在R上是减函数．∵a=30.2•f（30.2），b=（logπ2）•f（logπ2），c=（log2）f（log2），log2=﹣2．﹣2＜logπ2＜30.2，∴c＞b＞a，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，（n∈N*），若，设数列{a n}的前n项和为S n，则S n的最小值为 1 ．【考点】数列与向量的综合．【分析】利用向量共线求出数列的通项公式，然后求解数列的前n项和．【解答】解：向量，（n∈N*），若，可得a n==2（）．S n=a1+a2+a3+…+a n=2[1+…+]=．数列{S n}是递增数列，S n的最小值为：S1=1．故答案为：1．14．已知m＞0，实数x，y满足，若z=x+2y的最大值为2．则实数m= 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知z=x+2y在点（0，m）处取得最大值，此时0+2m=2，解得m=1，故答案为：115．顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为y2=2x．．【考点】抛物线的标准方程．【分析】设出抛物线方程，利用经过点（2，2），求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程．【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心是（1，﹣）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点（1，﹣），设标准方程为y2=2px，因为点（1，﹣）在抛物线上，所以（﹣）2=2p，所以p=1，所以所求抛物线方程为：y2=2x．故答案为：y2=2x．16．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象，由数形结合求解．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故k BC =，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x=；故k AC =；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．【分析】（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC 的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA 的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA 的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．18．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：场数9 10 11 12 13 14人数10 18 22 25 20 5将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？非歌迷歌迷合计男女合计（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．P（K2≥k）0.05 0.01k 3.841 6.635附：K 2=．【考点】独立性检验．【分析】（I ）根据所给的观众收看该节目的场数与所对应的人数表得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K 方，与3.841比较即可得出结论；（II ）由题意，列出所有的基本事件，计算出事件“任选2人，至少有1人是女性”包含的基本事件数，即可计算出概率． 【解答】解：（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：非歌迷歌迷合计男 30 15 45 女 45 10 55 合计 7525 100…将2×2列联表中的数据代入公式计算，得： K 2==≈3.030因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中a i表示男性，i=1，2，3，b i表示女性，i=1，2．Ω由10个等可能的基本事件组成．…用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，事件A由7个基本事件组成．∴P（A）= (12)19．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求异面直线EF与BC所成的角的正切值．（2）求三棱锥C﹣B1D1F的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）连结BD1，则∠D1BC位所求线面角，在Rt△BCD1中计算tan∠D1BC；B1，则V=．（3）证明CF⊥平面BDD【解答】解：（1）连接BD1，∵E，F分别为线段DD1，BD的中点，∴EF∥BD1，故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角．∵BC⊥平面CDD1C1，CD1⊂平面CDD1C1，∴BC⊥CD1．∵正方体棱长为2，∴CD=2，∴tan∠DBC==，所以异面直线EF与BC所成的角的正切值为．（2）∵BB1⊥平面ABCD，CF⊂平面ABCD，∴BB1⊥CF，∵CB=CD，F是BD中点，∴CF⊥BD，又BB1∩BD=B，BB1⊂平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，∴CF⊥平面BDD1B1，又CF=BD=，S==2．∴V===，所以三棱锥C﹣B1D1F的体积为．20．设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线y=x+m交椭圆M于A，B两点，P（1，）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得a，b，即可得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．【解答】解：（1）双曲线的离心率为，由题意可得椭圆的离心率，由2a=4，b2=a2﹣c2，得a=2，，，故椭圆M的方程为；（2）联立方程，得，由，得．且，所以，=．又P到直线AB的距离为，所以=．当且仅当时取等号，所以．21．设函数，f（x）=lnx+，k∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先利用导数的几何意义求出k的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值；（2）由题意可知，函数f（x）﹣x在（0，+∞）上递增，即该函数的导数大于等于零在（0，+∞）恒成立，然后转化为导函数的最值问题来解．【解答】解：（1）由已知得．∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，∴此切线的斜率为0．即f′（e）=0，有，解得k=e．∴，由f′（x）＜0得0＜x＜e，由f′（x）＞0得x＞e．∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，当x=e时f（x）取得极小值．故f（x）的单调递减区间为（0，e），极小值为2．（2）条件等价于对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2（*）恒成立．设h（x）=f（x）﹣x=lnx+．∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减．由在（0，+∞）上恒成立，得恒成立．所以（对k=，h′（x）=0仅在x=时成立），故k的取值范围是[，+∞）．.[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明讲已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．【考点】弦切角；圆內接多边形的性质与判定．【分析】首先对于（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．对于（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．【解答】解：（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE．（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．设圆半径为r，则r+r=2+，a得r=2，外接圆的面积为4π．故答案为4π．[选修4-4:参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C的参数方程为，知曲线C的普通方程是，由点P的极坐标为，知点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），由此能判断点P与直线l的位置关系．（2）由Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°），知到直线l：x﹣y+4=0的距离=，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，∴曲线C的普通方程是，∵点P的极坐标为，∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），把（0，4）代入直线l：x﹣y+4=0，得0﹣4+4=0，成立，故点P在直线l上．（2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°）∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：=，（0°≤α＜360°）∴．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过对自变量x的范围的讨论，去掉绝对值符号，从而可求得不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立⇔+2＜f（x）min恒成立，利用绝对值不等式的性质易求f（x）min=4，从而解不等式＜2即可．【解答】解：（Ⅰ）原不等式等价于或或，解得：＜x≤2或﹣≤x≤或﹣1≤x＜﹣，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立⇔+2＜f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|恒成立⇔+2＜f（x）min 恒成立，∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，∴f（x）的最小值为4，∴+2＜4，即，解得：﹣1＜a＜0或3＜a＜4．∴实数a的取值范围为（﹣1，0）∪（3，4）．2016年10月25日。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

高考大题专攻练4.数列(B组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.数列{a n}的前n项和记为S n,a1=t,点(a n+1,S n)在直线y=x-1上,n∈N*. 世纪金榜导学号46854418(1)当实数t为何值时,数列{a n}是等比数列?并求数列{a n}的通项公式.(2)若f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数),在(1)的结论下,令b n=f(log3a n)+1,c n=a n+,求{c n}的前n项和T n.【解析】(1)由题意得S n=a n+1-1,[来源:学_科_网Z_X_X_K]所以S n-1=a n-1,[来源:Z§xx§]两式相减得a n=a n+1-a n,即a n+1=3a n,所以当n≥2时,数列{a n}是等比数列,[来源:学科网]要使n≥1时,数列{a n}是等比数列,则只需要=3,因为a1=a2-1,所以a2=2a1+2,所以=3,解得t=2,所以实数t=2时,数列{a n}是等比数列,a n=2·3n-1.(2)因为b n=f(log3a n)+1=[log3(2×3n-1)]+1,因为3n-1<2×3n-1<3n,所以n-1<log3(2×3n-1)<n,所以b n=n-1+1=n,所以c n=a n+=2×3n-1+=2×3n-1+,因为{a n}的前n项和为=3n-1,的前n项和为(1-+-+…+-)==-,[来源:Z。

xx。

]所以T n=3n-1+-=3n--.2.已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=9·2n-1,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=na n,数列{b n}的前n项和为S n,若不等式S n>ka n-1对一切n∈N*恒成立,求实数k的取值范围.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为a n+1+a n=9·2n-1,所以a2+a1=9,a3+a2=18,所以q===2.又2a1+a1=9,所以a1=3,[来源:学科网ZXXK]所以a n=3·2n-1,n∈N*.(2)b n=na n=3n·2n-1,所以S n=3×1×20+3×2×21+…+3(n-1)×2n-2+3n×2n-1,所以S n=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1,所以S n=1×21+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n,所以-S n=1+21+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=(1-n)2n-1,所以S n=3(n-1)2n+3,因为S n>ka n-1对一切n∈N*恒成立,所以k<==2(n-1)+,令f(n)=2(n-1)+,则f(n+1)-f(n)=2n+-=2+-=2-=>0,故f(n)随着n的增大而增大,所以f(x)mi n=f(1)=,所以实数k的取值范围是.关闭Word文档返回原板块。