使用导数解决最值问题

导数求函数最值导数是微积分中的重要概念，它能够帮助我们求解函数的最值。

函数的最值包括最大值和最小值，而导数可以告诉我们函数在某一点的斜率，通过斜率的正负性可以判断函数在该点是增函数还是减函数，从而找到函数的极值点。

下面将介绍如何利用导数来求解函数的最值。

我们需要找到函数的导数。

导数表示函数在某一点的变化率，可以通过求导数来找到函数的极值点。

一般来说，函数的极值点要么是导数为0的点，要么是导数不存在的点。

所以，我们首先需要求出函数的导数，并将导数等于0或不存在的点作为候选的极值点。

我们需要利用导数的正负性来判断极值点的类型。

如果在导数为0的点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么这个点就是函数的局部最大值点；如果在导数为0的点的左侧导数为负，右侧导数为正，那么这个点就是函数的局部最小值点。

通过这种方法，我们可以找到函数的极值点。

除了求解函数的极值点，导数还可以帮助我们判断函数的凹凸性。

函数的凹凸性可以告诉我们函数的曲线是向上凸起还是向下凹陷。

具体来说，如果函数的二阶导数大于0，那么函数是向上凸起的；如果函数的二阶导数小于0，那么函数是向下凹陷的。

通过分析函数的凹凸性，我们可以更好地理解函数的形状。

导数还可以帮助我们求解函数的拐点。

拐点是函数曲线上的一个点，在这个点处函数的曲率发生突变。

通过求解函数的二阶导数，我们可以找到函数的拐点。

具体来说，如果函数的二阶导数在某一点发生了从正到负或从负到正的变化，那么这个点就是函数的拐点。

通过分析函数的拐点，我们可以更加全面地了解函数的性质。

总的来说，导数在求解函数的最值、凹凸性和拐点等方面起着重要作用。

通过对函数的导数进行分析，我们可以更好地理解函数的性质，并找到函数的极值点。

因此，在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它帮助我们解决各种数学和物理问题，对于深入理解函数的行为规律起着至关重要的作用。

导数的七种应用导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。

在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。

本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。

一、微积分学导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。

比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。

二、物理学导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。

根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。

三、经济学导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。

在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。

四、机械工程导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。

它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。

五、数学导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。

六、生物学导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。

七、计算机科学导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。

综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。

它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。

使用导数求解最值问题练习题解析：在微积分中，使用导数来求解最值问题是一种常见的方法。

最值问题可以分为求解最大值和最小值两种情况。

下面，我们将通过一些练习题来进一步理解和掌握使用导数求解最值问题的方法。

练习题一：求函数f(x) = 3x^2 - 6x + 2的最小值。

解答：首先，我们可以计算出函数f(x)的导数。

对f(x)进行求导，得到f'(x) = 6x - 6。

接下来，我们需要解方程f'(x) = 0，来确定导数为0的横坐标。

将f'(x) = 6x - 6置为0，解得x = 1。

再进一步，我们需要判断x = 1是函数f(x)的极小值点还是极大值点。

为了确定，我们可以求取二阶导数f''(x)。

计算f''(x)，得到f''(x) = 6。

由于f''(x) > 0，说明x = 1处的二阶导数为正，即函数f(x)在x = 1处的二阶导数大于0。

根据二阶导数定理，这意味着x = 1处为函数f(x)的极小值点。

因此，最小值为f(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = -1。

练习题二：求函数g(x) = x^3 - 4x^2 + 5x的最大值。

解答：同样地，我们首先计算函数g(x)的导数。

对g(x)进行求导，得到g'(x) = 3x^2 - 8x + 5。

然后，我们需要解方程g'(x) = 0，来确定导数为0的横坐标。

将g'(x) = 3x^2 - 8x + 5置为0，由于该方程无实根，说明g(x)的导数没有为0的点。

由于g(x)是一个三次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

根据函数的性质，我们可以知道，当x趋向于负无穷大或正无穷大时，g(x)将趋向于正无穷大。

因此，最大值不存在。

练习题三：求函数h(x) = x^4 - 6x^2的最小值。

解答：首先，计算函数h(x)的导数。

对h(x)进行求导，得到h'(x) = 4x^3 -12x。

导数极值最值问题导数极值最值问题是高中数学中非常重要且常见的问题之一。

它是微积分中的一个重要内容，通过求函数的导数来研究函数在某些点上的极值和最值问题。

下面是一些相关的参考内容。

一、定义和概念1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h，它表示函数在该点的瞬时变化率。

2. 极值的定义：函数f(x)在某个区间的局部极大值或极小值称为极值。

3. 最值的定义：函数f(x)在某个区间的最大值或最小值称为最值。

二、求导法则1. 基本求导法则：如常数函数求导、幂函数求导、指数函数求导等。

2. 和差法则：导数的和、差等于导数的和、差。

3. 积法则：导数的积等于其中一个函数在点上的导数乘以另一个函数在点上的值，再加上其中一个函数在点上的值乘以另一个函数在点上的导数。

4. 商法则：导数的商等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方。

三、求解极值问题的步骤1. 求导：先求函数的导数f'(x)。

2. 导数为0的点：解方程f'(x) = 0，求出所有导数为0的点。

3. 导数不存在的点：找出导数不存在的点，也就是函数不可导的点。

4. 极值点的判断：对于导数为0的点和导数不存在的点，判断它们是否是函数的极值点。

5. 极值点的分类：根据二阶导数f''(x)的符号来判断极值点的性质。

a. 若f''(x) > 0，表示f(x)在该点上有极小值。

b. 若f''(x) < 0，表示f(x)在该点上有极大值。

c. 若f''(x) = 0，表示f(x)在该点上无极值，需进一步判断。

6. 求最值：将极值点的函数值代入原函数，求出极值。

四、举例说明以函数f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 2为例，来说明如何求解其极值问题。

1. 求导：f'(x) = 3x^2 - 8x + 5。

高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，求函数的最值问题是经常出现的一类问题，对于这类问题我们可以通过求导数的方法来解决。

下面是一些关于根据导数求函数最值问题的解题技巧的总结。

1. 确定函数的定义域在解决函数的最值问题之前，我们需要确定函数的定义域。

定义域是指函数在实数范围内的取值范围。

确定定义域的同时，我们也要考虑函数是否连续以及是否存在间断点等因素。

2. 求函数的一阶导数为了求函数的最值，我们需要先求出函数的一阶导数。

对于一元函数而言，我们可以使用导数的定义或者常见的求导法则来求出一阶导数。

一阶导数能够反映函数的变化趋势以及函数的增减性质。

3. 找出导数为零的点接下来，我们需要找出函数的一阶导数为零的点，即导数为零的临界点。

这些点也称为函数的驻点。

通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数取得极值的可能点。

4. 判断临界点的性质在找出函数的驻点之后，我们需要进一步判断这些点的性质。

根据导数的符号变化，我们可以判断驻点是极大值点还是极小值点。

通常我们可以通过求解导数的二阶导数，来判断驻点的性质。

5. 极值与最值的关系在有限闭区间上，函数的极大值和极小值统称为最值。

通过比较极值点的函数值，我们可以确定函数的最大值和最小值。

同时，我们还需要考虑函数在定义域的两端是否存在最值。

6. 综合应用求解问题除了在抽象的函数图像上求解最值问题，我们还可以将最值问题与实际问题相结合。

通过建立函数模型，并利用导数的知识来解决实际问题。

这样可以提升我们对于求解最值问题的能力和灵活性。

通过以上的技巧，我们能够更加高效地解决高中数学中根据导数求函数最值问题。

同时，在实际应用中，我们也需要不断的进行练习和思考，熟练掌握这些技巧，从而更好地应对各种求解最值问题的场景。

导数的应用于最优化问题导数是微积分中的一个重要概念，用来衡量函数在某个点的变化率。

在数学中，导数在求解最优化问题时起着至关重要的作用。

本文将介绍导数的应用于最优化问题，并详细解释其原理和算法。

一、最优化问题简介最优化问题是在给定的约束条件下，寻找使某个目标函数达到最小或最大值的解。

在实际生活中，最优化问题的应用非常广泛，如经济学中的成本最小化问题，物理学中的能量最小化问题等。

最优化问题可以分为线性和非线性两种情况，本文将重点介绍非线性最优化问题。

二、导数在最优化问题中的应用1. 最小值问题在计算目标函数的导数时，可以得到函数曲线的斜率。

根据导数的性质，当导数为零时，函数达到极值点，即局部最小值或最大值。

因此，最优化问题可以通过求解目标函数的导数为零的点来获得极值点的位置。

2. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的最优化算法，它利用目标函数在当前点的导数方向来更新解的位置，从而逐步接近最小值点。

梯度下降法的思想是根据导数的方向选择合适的步长，以便使得目标函数在每一步的迭代过程中逐渐趋于最小值。

3. 牛顿法牛顿法是一种迭代求解最优化问题的方法，其基本思想是利用目标函数的导数和二阶导数来逼近函数的局部极小值点。

牛顿法的优势在于收敛速度较快，但同时也存在一些局限性，如对初始点的选择较为敏感。

4. 拟牛顿法拟牛顿法克服了牛顿法对初始点选择的敏感性，它通过近似目标函数的Hessian矩阵来逼近真实的二阶导数。

拟牛顿法的核心思想是利用历史的迭代信息来更新目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，从而提高算法的效率和稳定性。

三、导数在最优化问题中的应用举例为了更好地理解导数在最优化问题中的应用，我们以求解一元二次函数的最小值为例进行说明。

假设有一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望找到使函数f(x)取得最小值的点。

首先，我们计算函数f(x)的一阶导数f'(x) = 2ax + b。

然后，令导数f'(x)为零，解得x = -b/(2a)。

高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，根据导数求函数的最值是一个常见的考点。

这类问题要求我们通过求函数的导数，找到函数的极大值或极小值点，从而确定函数的最值。

下面我将总结一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类问题。

一、寻找函数的极值点在解决根据导数求函数最值问题时，首先需要找到函数的极值点。

一般来说，函数的极值点就是函数的导数等于零的点，即函数的驻点。

我们可以通过以下步骤来找到函数的极值点：1. 求函数的导数。

根据问题给出的函数，我们可以先对其求导数。

例如，对于函数f(x)，我们可以求得它的导函数f'(x)。

2. 解方程f'(x) = 0。

将求得的导函数f'(x)置零，解方程求得函数的驻点。

这些驻点就是函数的极值点。

需要注意的是，有时候函数的极值点可能还存在于函数的定义域的边界处，所以我们还需要将边界处的点也考虑进去。

二、判断极值点的性质找到函数的极值点后，我们需要进一步判断这些点的性质，即确定它们是极大值点还是极小值点。

这里有两种常见的方法：1. 使用导数的符号表。

我们可以通过绘制导数的符号表来判断极值点的性质。

具体做法是，在函数的定义域上选择几个代表性的点，代入导数f'(x)的值，然后根据导数的正负确定函数在这些点附近的增减性。

如果导数从正变负，那么这个点就是极大值点；如果导数从负变正，那么这个点就是极小值点。

2. 使用二阶导数。

二阶导数可以帮助我们更准确地判断极值点的性质。

具体做法是，求得函数的二阶导数f''(x)，然后将极值点代入二阶导数。

如果二阶导数大于零，那么这个点就是极小值点；如果二阶导数小于零，那么这个点就是极大值点。

三、举一反三根据导数求函数的最值问题不仅仅局限于求解极值点，还可以应用到其他类型的函数中。

下面举一个例子来说明。

例题：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。

求最值的方法在数学和实际生活中，我们经常会遇到求最值的问题，比如求函数的最大值最小值，求某个物体的最佳尺寸，求最优的方案等等。

那么，如何有效地求出这些最值呢？本文将介绍几种常见的求最值的方法，希望能够帮助大家更好地解决这类问题。

一、导数法。

在数学中，我们经常使用导数来求函数的最值。

具体来说，对于函数f(x)，我们可以通过求解f'(x)=0的方程来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断这些驻点是极大值还是极小值，从而得到函数的最值点。

导数法的优点是在数学中应用广泛，可以求解各种类型的函数的最值问题。

但是，对于一些复杂的函数，求导的过程可能会比较繁琐，需要一定的数学功底和技巧。

二、拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法是一种用于求解带约束条件的最值问题的方法。

具体来说，对于函数f(x,y)在约束条件g(x,y)=c下的最值问题，我们可以构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)-c)，然后通过求解L对x、y和λ的偏导数为0的方程组来找到最值点。

拉格朗日乘数法的优点是可以很好地处理带约束条件的最值问题，适用范围广泛。

但是，对于多变量函数，求解偏导数为0的方程组可能比较复杂，需要一定的数学技巧和计算能力。

三、穷举法。

在实际生活中，有时候我们无法通过数学方法精确地求解最值问题，这时可以考虑使用穷举法。

具体来说，我们可以列举出所有可能的解，然后逐一计算它们的函数值，最终找到最大值或最小值。

穷举法的优点是简单直观，适用范围广泛。

但是，对于复杂的问题，穷举法可能会耗费大量的时间和精力，不适合大规模的最值求解问题。

四、优化算法。

除了上述方法外，还有一些专门用于求解最值问题的优化算法，比如梯度下降法、遗传算法、模拟退火算法等。

这些算法通常适用于复杂的非线性、非凸函数的最值求解问题，能够在较短的时间内找到较好的解。

优化算法的优点是适用范围广泛，可以处理各种类型的最值问题。

但是，对于一些特定的问题，算法的选择和参数调整可能会比较困难，需要一定的专业知识和经验。

利用导数求解函数的单调性与最值问题在微积分学中，导数是一个重要的概念，它被应用于许多实际问题的解决中。

本文将重点讨论如何利用导数来求解函数的单调性及最值问题。

1. 导数的定义导数描述了函数f(x)在某一点x处的变化率。

它的定义为：f'(x) = lim Δx→0 [f(x+Δx) - f(x)]/Δx其中Δx表示x的增量，f(x+Δx)-f(x)表示y的增量，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

2. 求解单调性问题当函数f(x)单调递增时，其导数f'(x)>0；当函数f(x)单调递减时，其导数f'(x)<0。

因此，我们可以利用导数的正负性来判断函数的单调性。

例如，对于函数f(x)=x^2，在x>0时它单调递增，而在x<0时它单调递减。

我们可以通过求导得到它的导数：f'(x) = 2x当x>0时，f'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0。

因此，函数f(x)=x^2在x>0时单调递增，在x<0时单调递减。

3. 求解最值问题函数f(x)在x处取得最大值或最小值，等价于在点x处的导数为0，或者在点x处的导数不存在。

因此，求解函数f(x)的最值问题，我们需要先求出它的导数f'(x)，然后令f'(x)=0求出x的值，即可得到函数f(x)的极值点。

最后，再对这些极值点进行比较，就可以确定函数f(x)的最大值和最小值。

例如，对于函数f(x)=x^3-3x+5，我们可以先求出它的导数：f'(x) = 3x^2-3令f'(x)=0，解得x=±1。

这两个点即为函数f(x)的极值点。

我们还需要判断它们是否是函数的最值点。

当x=1时，f''(x)=6>0，说明f(x)在x=1处取得极小值；当x=-1时，f''(x)=-6<0，说明f(x)在x=-1处取得极大值。

专题20 利用导数解决函数的极值点问题一、单选题1．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 是奇函数B ．若0a =，则()f x 是增函数C ．当3a =-时，函数()f x 恰有三个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】C【分析】对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥,所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=,所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-,将a 的值代入分别计算分析，可判断选项B ，C ，D【详解】对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+ 3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥ 所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=- 对B, 当0a =时，()2'cos 30f x x x =+>，所以()f x 是增函数，故B 正确. 对C,当3a =-时，由上可知, ()()014f x f a ''≥=-=，所以()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.对D,当3a =时，()2cos 33f x x x '=+-，由上可知在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增. 则()()min 0132f x f ''==-=-，()1cos10f '-=>，()1cos10f '=>所以存在()()121,0,0,1x x ∈-∈，使得()10f x '=，()20f x '=成立则在()1,x -∞上，()0f x '>，在()12,x x 上，()0f x '<，在()2,x +∞上，()0f x '>.所以函数()3sin 3f x x x x =+-在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 的单调递减，在()2,x +∞单调递增. 所以函数()f x 恰有两个极值点，故D 正确.故选：C【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=，所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-，经过多次求导分析出单调性，属于中档题.2．如图是函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象，则函数()y f x =的极小值点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】 通过读图由()y f x ='取值符号得出函数()y f x =的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．【详解】由图象，设()f x '与x 轴的两个交点横坐标分别为a 、b 其中a b <，知在(,)a -∞，(,)b +∞上()0f x '>，所以此时函数()f x 在(,)a -∞，(,)b +∞上单调递增，在(,)a b 上，()0f x '<，此时()f x 在(,)a b 上单调递减，所以x a =时，函数取得极大值，x b =时，函数取得极小值．则函数()y f x =的极小值点的个数为1．故选: B【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题．3．已知函数()f x 的导函数()()()1f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．()2,+∞C ．()0,1D ．(),3-∞- 【答案】A【分析】分四种情况讨论，分别判断x a =两边导函数值的符号，判断()f x 在x a =处是否取得极大值，即可筛选出a 的取值范围.【详解】由()f x 在x a =处取得极大值可知，当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<，其等价于①存在(),,b x b a ∀∈，使得(1)()0a x x a +->，且①存在(),,c x a c ∀∈，使得(1)()0a x x a +-<；若0a >时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)(,)a -∞-⋃+∞，不满足①即不存在(,)x a c ∈，使得(1)()0a x x a +-<，故0a >时()f x 在x a =不是极大值；若10a -<<时，(1)()0a x x a +->的解集为(1,)a -，(1)()0a x x a +-<的解集为(,1)(,)a -∞-⋃+∞，满足①①，故10a -<<时，()f x 在x a =处取得极大值；若1a =-，(1)()a x x a +-恒小于等于0，不满足①，故1a =-时，()f x 在x a =取不到极大值；若1a <-时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)a -，不满足①，故1a <-时，()f x 在x a =处取不到极大值.综上，a 的取值范围是()1,0-.故选：A.【点睛】求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.4．若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞【答案】B【分析】 求出函数的导数，问题转化为()0f x =最多1个实数根，根据二次函数的性质求出a 的范围即可.【详解】321()53f x x ax x =-+-, 2()21f x x ax '∴=-+，由函数321()53f x x ax x =-+-无极值点知， ()0f x '=至多1个实数根，2(2)40a ∴∆=--≤，解得11a -≤≤，实数a 的取值范围是[1,1]-，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于中档题.5．已知函数2()e 2x f x ax ax =-+有两个极值点，则a 的取值范围是（ ）A ．(,)e +∞B ．,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,e +∞D ．2,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据函数有两个极值点得到关于a 的方程有两个解，采用分离常数的方法分离出12a，并采用构造新函数的方法确定出新函数的取值情况，由此分析出a 的取值情况.【详解】因为2()e 2x f x ax ax =-+有两个极值点，所以()0f x '=有两个不同实数根，所以220x e ax a -+=有两个不同实数根，所以()21xe a x =-有两个不同实数根，显然0a ≠， 所以112x x a e -=有两个不同实数根，记()1x x g x e-=，()2x x g x e -'=， 当(),2x ∈-∞时()0g x '>，当()2,x ∈+∞时()0g x '<，所以()g x 在(),2-∞上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()()2max 12g x g e==， 又因为(],1x ∈-∞时，()0g x ≤；当()0,2x ∈时，()210,g x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当[)2,x ∈+∞时，()210,g x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以当112x x a e-=有两个不同实数根时2110,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，所以22a e >，所以22e a >， 故选：D.【点睛】本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围，其中涉及到分离参数方法的使用，对学生的理解与计算能力要求较高，难度较难.6．“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】 求出函数()()xf x x a e =-的极值点，利用该极值点在()0,∞+内求得实数a 取值范围，利用集合的包含关系可得出结论.【详解】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.7．已知函数()1x a f x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若同时满足条件：①()00,x ∃∈+∞，0x 为()f x 的一个极大值点；①()8,x ∀∈+∞，()0f x >.则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]4,8B ．[)8,+∞C ．()[),08,-∞+∞D ．()(],04,8-∞【答案】A【分析】条件①说明()'f x 在(0,)+∞上存在零点，极大值点，利用方程的根可得a 的范围，然后求出条件①不等式恒成立a 的范围，求交集可得a 的范围．【详解】定义域是{|0}x x ≠，222()()1x x a a e x ax a f x e x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞存在极大值点，则20x ax a -+=有两个不等实根，240a a ∆=->，0a <或4a >，设20x ax a -+=的两个实根为1212,()x x x x <，1x x <或2x x >时，20x ax a -+>，12x x x <<时，20x ax A -+<，当0a <，1212x x a x x a +=⎧⎨=⎩，则120x x <<，但2x x >时，()0f x '>，2x 不可能是极大值点； 当4a >时，由1212x x a x x a +=⎧⎨=⎩知1>0x ，20x >，10x x <<或2x x >时，()0f x '>，12x x x <<时，()0f x '<．即()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减，1x 是极大值点，满足题意．所以4a >．()10x a f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则10a x ->，①8x >，①a x <，①8a ≤． 综上48a <≤．故选：A ．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值．8．若函数()x x f x ee ax -=-+（a 为常数）有两个不同的极值点，则实数a 取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞B ．[)2,+∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】C【分析】首先求导得到()x x f x e e a -'=--+，将题意转化为函数()x x g x e e -=+与y a =的图象有两个不同的交点，再利用导数求出函数()g x 的单调区间和最值，即可得到答案.【详解】()x x f x e e a -'=--+，函数()x x f x e e ax -=-+（a 为常数）有两个不同的极值点，等价于函数()x x g x e e -=+与y a =的图象有两个不同的交点，()x x g x e e -'=-+，因为()g x '为增函数，且()00g '=，则(),0x ∈-∞，()0g x '<，()g x 为减函数，()0,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数，所以()()min 02g x g ==，故2a >.故选：C【点睛】本题主要考查根据函数的极值点求参数，属于中档题.9．已知函数()ln f x x ax =-在2x =处取得极值，则a =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．-2 【答案】C【分析】利用()'20f =列方程，解方程求得a 的值.【详解】()'1f x a x =-，依题意()'20f =，即110,22a a -==. 此时()()'112022x f x x x x -=-=>，所以()f x 在区间()0,2上递增，在区间()2,+∞上递减，所以()f x 在2x =处取得极大值，符合题意. 所以12a =. 故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点、极值，属于基础题.10．设函数()2sin cos 4x f x x x x =+-，则下列是函数()f x 极小值点的是（ ） A ．43π- B ．3π- C ．3π D ．53π 【答案】D【分析】将函数进行求导，由于在53x π=的左侧，导函数值小于0，右侧导函数值大于0，得到53x π=是函数()f x 极小值点.【详解】 ()11sin cos sin cos 22f x x x x x x x x ⎛⎫'=+--=- ⎪⎝⎭， 当35,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 2x <，()0f x '∴<； 当5,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 2x >，()0f x '∴>， ()f x ∴在35,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 53x π∴=是()f x 的极小值点. 故选：D .【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，关键是能够明确极值点的定义，根据导函数的正负确定原函数的单调性，进而得到极值点.11．函数()()22x f x x x e =-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD ；再由0x <时，()f x 恒为正，排除C 即可得解.【详解】函数()()22x f x x x e =-， 则()()22x f x x e '=-，令()0f x '=，解得()f x 的两个极值点为，故排除AD ，且当0x <时，()f x 恒为正，排除C ，即只有B 选项符合要求，故选：B.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.12．已函数3211()32f x x ax bx =-+的两个极值点是sin θ和cos ()R θθ∈，则点(,)a b 的轨迹是（ ）A ．椭圆弧B ．圆弧C ．双曲线弧D ．抛物线弧【答案】D【分析】 根据极值点的定义把,a b 用θ表示后，消去θ得关于,a b 的方程，由方程确定曲线．【详解】由题意()2f x x ax b '=-+，所以sin ,cos θθ是方程20x ax b -+=的两根，所以sin cos sin cos a b θθθθ=+⎧⎨=⎩且240a b ->，所以212sin cos 12a b θθ=+=+，sin cos [4a πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，所以点(,)a b 在曲线211(22y x x =-≤上，还要满足240x y ->，轨迹为抛物线弧． 故选:D【点睛】本题考查值点的定义，考查由方程研究曲线，掌握极值与导数的关系是解题基础．在由方程研究曲线时，注意方程中变量的取值范围．13．若1x =是函数()x f x e ax =-的极值点，则a 的值是（ ） A ．1B ．1-C ．eD ．e -【答案】C【分析】 根据题意得到()10'=-=f e a ，即可得到答案.【详解】由()xf x e a '=-，则()10'=-=f e a ，则a e =.故选：C【点睛】本题主要考查函数的极值点，属于简单题.14．已知函数31()43f x x x =-，则()f x ）的极大值点为（ ） A ．4x =-B ．4x =C ．2x =-D ．2x = 【答案】C【分析】 求出函数31()43f x x x =-的导函数，进而求出导函数大于0以及小于0的解，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点.【详解】 解：由31()43f x x x =-， 得：()24f x x '=-.由()240f x x '=->，得：2x <-，或2x >. 由()240f x x '=-<，得：22x -<<. 所以函数()f x 的增区间为()(),2,2,-∞-+∞.函数()f x 的减区间为()2,2-.所以，2x =-是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点.故选：C.【点睛】本题考查求具体函数的极值点，解题的关键是区分极值点和极值的定义，属于基础题.15．若函数21()2ln 2f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．10a -<<C ．1a <D ．01a <<【答案】D【分析】 计算()'f x ，然后等价于2()2g x x x a =-+在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算440202a x ∆=->⎧⎪⎨=>⎪⎩即可.【详解】()f x 的定义域是（0，+∞），22()2a x x a f x x x x '-+=-+=， 若函数()f x 有两个不同的极值点，则2()2g x x x a =-+在（0，+∞）由2个不同的实数根，故1440202a x ∆=->⎧⎪⎨=>⎪⎩，解得：01a <<， 故选：D.【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题.二、多选题16．设函数2()ln =+f x x x x 的导函数为()'f x ，则（ ）A ．1()0f e '= B ．1=x e是()f x 的极值点 C ．()f x 存在零点D ．()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 【答案】AD【分析】 求出定义域，再求导，计算即可判断A ，由导函数22()ln 2ln 1(ln 1)0f x x x x '++=+≥=，即可判断选项B 、D ，由()0f x >，即可判断选项C ，从而可得结论．【详解】由题可知2()ln =+f x x x x 的定义域为(0,)+∞， 对于A ，2()ln 2ln 1f x x x '=++，则2111()ln 2ln 11210f e e e'=++=-+=，故A 正确； 对于B 、D ，22()ln 2ln 1(ln 1)0f x x x x '++=+≥=，所以函数()f x 单调递增，故无极值点，故B 错误，D 正确；对于C ，22()ln (ln 1)0f x x x x x x =+=+>，故函数()f x 不存在零点，故C 错误．故选：AD ．17．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ）A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+=B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0xC ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点【答案】ABD【分析】逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题.【详解】对于A ：当1a =时，()sin x f x e x =+，(),x π∈-+∞，所以(0)1f =，故切点为()0,1，()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '==，故直线方程为()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确；对于B ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞， ()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,x f x e x x π''=->∈-+∞恒成立，所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，334433cos 0442f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，即00cos 0x e x +=，则在()0,x π-上，()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；对于 C 、D ：()sin x f x e a x =+,(),x π∈-+∞，令()sin 0x f x e a x =+=得：1sin x x a e-=， 则令sin ()xx F x e =，(),x π∈-+∞，)cos sin 4()x xx x x F x e e π--'==，令()0F x '=， 得：4x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈，由函数)4y x π=-图象性质知： 52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减， 52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增， 所以当524x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44x ππ=-时，()F x 取得极小值， 又354435sin sin 44e e ππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<< ，即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因为在3,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，sin ()x x F x e =单调递减，所以343()42F x F e ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭， 所以24x k ππ=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值， 即当944x ππ=、， 时，()F x 取得极大值. 又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即()442F x F e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当(),x π∈-+∞时，344()2e F x e π≤≤所以当3412e a π-<-，即34a e π>时， ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；当3412e a π-=-时，即4a e π=时， 1=-y a 与sin x x y e=的图象只有一个交点， 即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.18．已知函数()sin f x x x =，x ∈R ，则下列说法正确的有（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是周期函数C ．在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 有且只有一个极值点 D ．过(0，0)作()y f x =的切线，有且仅有3条【答案】ACD【分析】利用函数的奇偶性的定义易知函数()sin f x x x =为偶函数，所以A 正确；根据周期性的定义可判断B 错误；根据导数判断其单调性，易知()f x 有且只有一个极值点，C 正确；根据导数的几何意义求曲线过某点的切线方程可知D 正确．【详解】对于A ，因为函数的定义域为R ，显然()()f x f x =-，所以函数()f x 是偶函数，正确；对于B ，若存在非零常数T ，使得f x T f x ，令2x π=，则sin 222T T πππ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即cos 22T T ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令0x =，则sin 0T T =，因为0T ≠，所以sin 0T =，即cos 1T =或cos 1T =-．若cos 1T =，则22T ππ+=，解得0T =，舍去；若cos 1T =-，则22T ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得T π=-，所以若存在非零常数T ，使得f x T f x ，则T π=-．即()()f x f x π-=，令32x π=，则322f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而22f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3322f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不符合题意．故不存在非零常数T ，使得f x T f x ，B 错误；对于C ，()sin f x x x =，x ∈R ，()sin cos f x x x x '=+，()2cos sin f x x x x ''=-，当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()2cos sin 0f x x x x ''=-<，故()'f x 单减， 又102f π⎛⎫'=>⎪⎝⎭，()0f ππ'=-<，故()0f x '=在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个解，()f x 有且只有一个极值点，故C 正确；对于D ，设切点横坐标为t ，则切线方程为sin (sin cos )()y t t t t t x t -=+-， 将 (0，0) 代入，得2cos 0t t =，解得0t =或2t k ππ=+，k Z ∈．若0t =，则切线方程为0y =；若2t k ππ=+，则y x =±，D 正确．故选：ACD ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，周期性的定义的应用，利用导数的几何意义求曲线过某点的切线方程，以及利用导数研究函数的极值点，属于中档题．19．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确.因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.20．设函数()ln xe f x x=，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 定义域是()0,∞+B ．()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有且仅有一个极值点【答案】BCD 【分析】求出函数定义域判断A ，根据函数值的正负判断B ，求出导函数，利用导函数确定原函数的增区间，判断C ，由导函数研究函数的单调性得极值，判断D ． 【详解】由题意，函数()ln x e f x x =满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以函数()ln x e f x x =的定义域为()()0,11,+∞，所以A 不正确；由()ln xe f x x=，当()0,1x ∈时，ln 0x <，①()0f x <，所以()f x 在()0,1上的图象都在轴的下方，所以B 正确；①21ln '()(ln )x e x x f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，所以()'0f x >在定义域上有解，所以函数()f x 存在单调递增区间，所以C 是正确的； 由()1ln g x x x=-，则()211'(0)g x x x x =+>，所以()'0g x >，函数()g x 单调增，则函数'()0f x =只有一个根0x ，使得0'()0f x =，当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，函数单调递减，当()0,x x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D 正确； 故选：BCD . 【点睛】本题考查求函数的定义域，考查用导数研究函数的单调性与极值，掌握极值的定义，单调性与导数的关系是解题关键． 三、解答题21．已知函数21()ln 2f x a x ax =+. (1)若()f x 只有一个极值点，求a 的取值范围.(2)若函数2()()(0)g x f x x =>存在两个极值点12,x x ，记过点1122(,()),(,())P x g x Q x g x 的直线的斜率为k ，证明：1211k x x +>. 【答案】（1）0a <；（2）证明见解析. 【分析】（1n =，则0n >.令22()2n an n a φ=-+，解不等式组0,(0)0,a φ<⎧⎨>⎩即得解；（2）只需证21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，设12(01)xt t x =<<，函数21()2ln m t a t t t =-+，证明121()0()2m t x x >>-即得证.【详解】(1)解：2'()2a a f x x =+=，(0,)x ∈+∞n =，则0n >.令22()2n an n a φ=-+，要使函数()f x 只有一个极值点，则需满足0,(0)0,a φ<⎧⎨>⎩，即0a <；(2)证明：因为2221()()2ln 2g x f x a x ax x ==+-， 所以22222'()1a ax x a g x ax x x-+=+-=，因为()g x 存在两个极值点，所以30,180,a a >⎧⎨->⎩即102a << 不妨假设120x x <<，则121x x a+=要证1211k x x +>，即要证121212()()11g x g x x x x x -+>-，只需证121212121221()()()()x x x x x x g x g x x x x x -+->=-，只需证221112121212222111()[()2]2()222x x x x x x a x x a ln x x a ln x x x x -+-+=--+>-， 即证21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-设12(01)x t t x =<<，函数21()2ln m t a t t t =-+，22221'()t a t m t t-+=- 因为102a <<，故4440a -<，所以22210t a t -+>，即'()0m t <， 故()m t 在(0,1)上单调递减，则()(1)0m t m >=又因为121()02x x -<，所以121()0()2m t x x >>-，即21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，从而1211k x x +>得证. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析得到只需证明21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-.对于比较复杂的问题，我们可以通过分析把问题转化，再证明，提高解题效率. 22．已知函数()3213f x x ax bx ab =-+++． （1）若()f x 是奇函数，且有三个零点，求b 的取值范围； （2）若()f x 在1x =处有极大值223-，求当[]1,2x ∈-时()f x 的值域． 【答案】（1）()0,∞+；（2）5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先由函数奇偶性，得到0a =，得出()313f x x bx =-+，对其求导，分别讨论0b ≤和0b >两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果；（2）先对函数求导，根据极大值求出2,5.a b =-⎧⎨=⎩，根据函数单调性，即可求出值域.【详解】（1）①()f x 是定义域为R 的奇函数，所以0a =，且()00f =． ①()313f x x bx =-+， ①()2f x x b '=-+．当0b ≤时，()20f x x b '=-+≤，此时()f x 在R 上单调递减，()f x 在R 上只有一个零点，不合题意．当0b >时，()20f x x b '=-+>，解得x <<①()f x 在(,-∞，)+∞上单调递减，在(上单调递增，①()f x 在R 上有三个零点，①0f>且(0f <，即3103f=-+>，即0>，而0>恒成立，①0b >． 所以实数b 的取值范围为()0,∞+．（2）()22f x x ax b '=-++，由已知可得()1120f a b '=-++=，且()122133f a b ab =-+++=-， 解得2,3,a b =⎧⎨=-⎩或2,5.a b =-⎧⎨=⎩当2a =，3b =-时，()3212363f x x x x =-+--，()243f x x x '=-+-，令()0f x '≥，即2430x x -+-≥，解得13x ≤≤， 令()0f x '<，即2430x x -+-<，解得1x <或3x >，即函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减； 所以1x =是()f x 的极小值点，与题意不符． 当2a =-，5b =时，()32125103f x x x x =--+-，()245f x x x '=--+． 令()0f x '≥，即2450x x --+≥，解得51x -≤≤； 令()0f x '<，即2450x x --+<，解得5x <-或1x >，即函数()f x 在(),5-∞-上单调递减，在()5,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 所以1x =是()f x 的极大值点，符合题意，故2a =-，5b =． 又①[]1,2x ∈-，①()f x 在[]1,1-上单调递增，在[]1,2上单调递减． 又()5013f '-=-，()2213f =-，()3223f =-． 所以()f x 在[]1,2-上的值域为5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】 思路点睛：导数的方法求函数零点的一般步骤：先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果.23．（1）当π02x ≤≤时，求证：sin x x ≥； （2）若1x e kx ≥+对于任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设a >0，求证；函数()1cos ax f x ex -=⋅在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一的极大值点0x ，且()10a f x e ->.【答案】（1）证明见解析；（2）(],1-∞；（3）证明见解析 【分析】（1）构造函数()πsin 02G x x x x ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭，转化为函数的最值问题求解； （2）设()1xg x e kx =--，则()xg x e k '=-，分1k ≤，1k >讨论，通过研究()g x 的最小值求解；（3）求得()()1cos sin ax f x ea x x -'=-，令()0f x '=得到tan x a =，通正切函数的性质可得函数单调性，进而可得极值点．将证明()10af x e ->转化为证明1221a a e a->+，令1t a =-，则0t <，即证()2101t e t t ><+，即证()()21100tte t +-<<，构造函数利用导数求其最值即可．【详解】（1）证明：设()πsin 02G x x x x ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭，则()1cos 0G x x '=-≥， 从而()G x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数．所以()()00G x G ≥=，故当π02x ≤≤时，sin x x ≥成立； （2）解：设()1xg x e kx =--，则()xg x e k '=-， 考虑到当0x ≥时，1x e ≥，（①）当1k ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[)0,+∞上为增函数，从而()()00g x g ≥=，此时适合题意． （①）当1k >时，()ln xkg x e e'=-，则当0ln x k <<时，()0g x '<，从而()g x 在()0,ln k 上是减函数，所以当0ln x k <<时，()()00g x g <=，这与“当0x ≥时，()0g x ≥恒成立”矛盾．故此时不适合题意． 由（①）（①）得所求实数k 的取值范围为(],1-∞． （3）证明：()()111cos sin cos sin ax ax ax f x aex e x e a x x ---'=⋅-⋅=-，令()0f x '=，得cos sin 0a x x -=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可化为tan x a =， 由正切函数的性质及0a >，得在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内必存在唯一的实数0x ，使得0tan x a =，所以当()00,x x ∈时，()0f x '>，则()f x 在()00,x 上为增函数：当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，所以0x x =是()f x 的极大值点．且()f x 的极大值为()0100cos ax f x e x -=⋅．下面证明：()10af x e->．当π02x ≤≤时，由（1）知sin x x ≥，由（2）易证1x e x -≥． 所以0100sin ax ax a x e-≥≥，从而()02100002cos sin cos 1ax a f x ex a x x a-=⋅≥=+． 下面证明：1221a a e a->+．令1t a =-，则0t <， 即证()2101t e t t><+，即证()()21100t t e t +-<<．令()()()2110tt te t ϕ=+-<，则()()210t t t e ϕ'=+≥，从而()t ϕ在(),0-∞上为增函数， 所以当0t <，()()00t ϕϕ<=，即()()21100tte t +-<<．故()10af x e->成立．【点睛】利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键. 24．已知函数()()()ln 1f x x ax a =+-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性.（2）若()()2112g x x x a f x =--+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，求证:()()12152ln 28x g x g -≥-. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求得()f x 的定义域和导函数()'fx ，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）求得()g x 的表达式，求得()'g x ，利用根与系数关系得到12,x x 的关系式以及1x 的取值范围，将()()12g x g x -表示为只含1x 的形式，利用构造函数法求得()()12g x g x -的最小值，从而证得不等式成立. 【详解】(1)由题意得，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，()11f x a x '=-+. 当0a ≤时，()101f x a x '=->+， ∴函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增.当0a >时，令()0f x '=，得11x a=-+.若11,1x a ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；若11,x a ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，此时函数()f x 单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在11,1a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递减.(2)()()21ln 12g x x x a x =+-+，0x >，()()11g x x a x '∴=+-+()211x a x x-++=.由()0g x '=得()2110x a x -++=，()240321a a ∆=+⇒-≥> 121x x a ∴+=+，121=x x ，211x x ∴=. 32a ≥，512a +≥，12x x < 111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，解得1102x <≤.()()12x g x g ∴-()()()221121221ln12x x x a x x x =+--+-21121112ln 2x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 设()221112ln 022x h x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则()()22331210x h x x x x x -'=--=-<，∴函数()h x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.∴当112x =时，()min 1152ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 32a ∴≥时，()()12152ln 28x g x g -≥-成立.【点睛】求解含有参数的函数的单调性题，求导后要根据导函数的形式进行分类讨论. 25．已知函数()4ln ,0.mf x x x m x=-+> （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，求12221122()()6+f x f x x x x x ++的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）ln 2,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）先求导得()224x x m f x x-+'=-，然后针对()0f x '=的根的个数进行分类讨论，得出()0f x '>和()0f x '<时x 的取值范围，从而解出单调递增 区间和递减区间；（2）由（1）可知，当()f x 有两个极值点时04m <<，然后利用韦达定理得出124x x +=，12x x m ⋅=，再将()1f x ，()2f x 带入12221122()()6+f x f x x x x x ++中，结合韦达定理将12221122()()6+f x f x x x x x ++化为关于m 的式子得：()()12221122ln +64f x f x m x x x x m +=++，然后构造函数()ln 4mh m m=+，求导讨论单调性及最值，得出()h m 在()0,4m ∈上的值域，从而得出12221122()()6+f x f x x x x x ++的取值范围.【详解】解：（1）由题意得()0,x ∈+∞，()222441m x x mf x x x x-+'=--=-，. 令()24,164g x xx m m =-+∆=-.(分类讨论的依据：结合二次函数在0+∞（，）上的图像来进行讨论) ①当4m ≥时，()0,0g x ∆≤≥恒成立，则()()0,f x f x '≤在()0+∞，上单调递减. ①当04m <<时，0∆>，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点()1212,x x x x <，121240,0,x x x x m +=>=>则120,0x x >>，所以(0,2x ∈时，()f x单调递减；(2x ∈时，()f x单调递增；()2x ∈++∞时，()f x 单调递减.综上所述：当4m ≥时，()f x 在()0+∞，上单调递减. 当04m <<时，(0,2x ∈时，()f x单调递减；(22x ∈-+时，()f x 单调递增；()2x ∈+∞时，()f x 单调递减.（2）由（1）知：04m <<时()f x 有两个极值点12,x x 且12,x x 为方程20x mx m -+=的两根，12124,.x x x x m +==()()121122124ln 4ln m m f x f x x x x x x x +=-++-+ ()()121212124ln 4ln 4ln m x x x x x x m m m m x x +=-++=-+=.()()221212124164x x x x x x m -=+-=-.()()122211224ln ln +61644+∴==+++f x f x m mx x x x m m令()()ln 044+mh m m m=<<，则()()241ln (04)4+m m h m m m +-'=<<. 令()41ln ,m m mϕ=+-则()2410m m m ϕ'=--<，所以()m ϕ在()0,4上单调递减.又()4=2ln 40ϕ->， 所以()0m ϕ>在()0,4上恒成立，即41ln 0m m+->，所以0h m .所以()h m 在()0,4上为增函数.所以()()ln 244h m h <=. 0,()x h m →→-∞，所以()()12221122+6f x f x x x x x +∴+的取值范围是ln 24⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-,. 【点睛】本题考查讨论含参函数的单调区间，考查导数与极值点的综合问题，难度较大.解答的一般思路如下： （1）分析清楚当原函数有两个极值点时参数m 的取值范围，并利用韦达定理得出12x x +，12x x 与m 的关系式；（2）将()1f x ，()2f x 代入目标函数表达式中，利用（1）中12x x +，12x x 的值将目标函数进行化简，使目标函数变为只含m 的解析式；（3）构造函数()h m 并讨论函数()h m 的单调性及最值，从而得出答案.26．已知函数432()f x ax x bx =++(),a b ∈R ，()()()g x f x f x '=+是偶函数． （1）求函数()g x 的极值以及对应的极值点．（2）若函数43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++，且()h x 在[]2,5上单调递增，求实数c 的取值范围．【答案】（1）函数()g x的一个极大值点为9，对应的极大值为9；函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为0；（2）4,13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【分析】(1)求出()g x 的表达式，结合函数的奇偶性即可求出140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，从而可确定()g x 的解析式，求出导数即可求出函数的极值点和极值.(2)结合第一问可得()h x 的解析式，从而可求出2()32h x cx x c '=-+，由()h x 的单调性可得213c x x≥+在[]2,5上恒成立，设()13m x x x =+，利用导数求出()m x 在[]2,5上的最小值，从而可求出实数c 的取值范围. 【详解】解：（1）①432()f x ax x bx =++，①32()432f x ax x bx '=++，①432()()()(41)(3)2g x f x f x ax a x b x bx '=+=+++++，因为()g x 为偶函数，①41020a b +=⎧⎨=⎩，解得14a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，①431()4f x x x =-+，则421()34g x x x =-+，①3()6(g x x x x x x '=-+=-+，由()0g x '>，解得x <0x <<()0g x '<，解得>x或0x <；①()g x在(,-∞，(单调递增；在()，)+∞单调递减．①函数()g x的一个极大值点为(9g =，，对应的极大值为9g=；函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为()00g =.（2）由（1）知431()4f x x x =-+，①43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++322cx x cx c =-++，①2()32h x cx x c '=-+，因为函数()h x 在[]2,5上单调递增，①2320cx x c -+≥在[]2,5上恒成立，即2221313x c x x x≥=++在[]2,5上恒成立，设()13m x x x =+，令()22213130x m x x x -'=-==，解得[]2,53x =±∉， 当[]2,5x ∈时，()0m x '>，所以()13m x x x=+在[]2,5上单调递增， 则()()1322m x m ≥=，所以24=13132c ≥.【点睛】 方法点睛：已知奇偶性求函数解析式时，常用方法有：一、结合奇偶性的定义，若已知偶函数，则()()f x f x -=，若已知奇函数，则()()f x f x -=-，从而可求出函数解析式；二、由奇偶性的性质，即偶函数加偶函数结果也是偶函数，奇函数加奇函数结果也是奇函数. 27．已知函数()()3252f x ax x bx a b R =-+∈，，其导函数为()f x '，且()()11116f f '=+. （1）求a 的值；（2）设函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，求b 的取值范围，并证明过两点()()11P x f x ，，()()22Q x f x ，的直线m 恒过定点，且求出该定点坐标；（3）当1b >时，证明函数()()231g x f x x x =+--在R 上只有一个零点.【答案】（1）13a =；（2）254b <；证明见解析；定点5125424⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（3）证明见解析.【分析】(1)由导数运算可得a 的值； (2)由题设知，12x x ，是方程()'0fx =的两个根，得254b <，化简()()111542566f x b x b =-+，同理可得()()221542566f x b x b =-+，因此，直线m 的方程是()1542566y b x b =-+，整理可得定点坐标；(3)先得出()()32111132g x x x b x =++--，分0x ≥和0x <两种情况研究零点即可. 【详解】解：(1)因为()3252f x ax x bx =-+，()235f x ax x b '=-+， 所以()()512135f a bf a b⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩'，代入()()11116f f '=+，得5113526a b a b -+=-++，解得13a =； (2)因为()321532f x x x bx =-+，所以()25f x x x b '=-+，由题设知， 12x x ，是方程()0f x '=的两个根，故有()2540b -->，解得254b <， 因为2115x x b =-，所以()3211111532f x x x bx =-+()2111115532x x b x bx =--+ 2115263x bx =-+()1152563x b bx =--+()11542566b x b =-+，同理可得()()221542566f x b x b =-+， 过两点()()11P x f x ，，()()22Q x f x ，的直线m 的方程是()1542566y b x b =-+， 即()()452560b x x y +-+=，由4502560x x y +=⎧⎨+=⎩，解得5125424x y =-=，，所以直线m 横过定点5125424⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(3)由(1)可知()321532f x x x bx =-+，()()231g x f x x x =+-- ()32111132x x b x =++--， 当0x ≥时，因为1b >，所以()()2'10g x x x b =++->，故()g x 在区间[)0+∞，上单调递增，又()010g =-<，()1122103g b =-+>（）， 且()g x 的图像在区间[0,)+∞是不间断的，所以()g x 在区间[)0+∞，上有唯一零点； 当0x <时，()()323211111113232g x x x b x x x =++--<+-， 设()3211132h x x x =+-，则()2'h x x x =+，。