系列讲座之五——简单递推数列的通项公式

数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。

一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。

一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。

1.1 线性递推公式线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。

一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。

其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。

例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。

利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。

1.2 非线性递推公式非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。

非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。

以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。

在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。

此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。

二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。

通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。

通项公式也常被称为数列的一般项公式。

2.1 等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。

例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。

通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。

数列的递推公式及通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

数列中的每个数字称为项，而这些项之间的关系可以通过递推公式和通项公式来描述。

本文将介绍数列的递推公式和通项公式，并通过具体的例子来解释其应用。

一、递推公式递推公式是指通过前一项或多项来确定后一项的公式。

递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种类型。

1.1 线性递推线性递推是指数列的每一项都可以通过前一项乘以某个常数再加上某个常数得到。

其一般形式如下：an = a(n-1) * r + d其中，an代表数列中的第n项，a(n-1)代表数列中的第n-1项，r为公比，d为公差。

例如，给定数列1，3，5，7，9，...，其中第一项a1为1，公差d 为2。

根据数列的特点可以确定递推公式为：an = a(n-1) + 2通过递推公式，可以依次计算出数列的每一项。

1.2 非线性递推非线性递推是指数列的每一项不能用前一项的线性组合表示，而是通过其他的方式来确定。

例如，斐波那契数列就是一个常见的非线性递推数列。

斐波那契数列的递推公式为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，a1 = 1，a2 = 1。

根据递推公式，可以计算出斐波那契数列的每一项。

二、通项公式通项公式是指通过数列的位置n来直接计算数列中的第n项的公式。

通项公式可以分为线性通项和非线性通项两种类型。

2.1 线性通项线性通项是指数列的每一项可以通过位置n的线性关系来计算。

其一般形式如下：an = a1 + (n-1) * d其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，d为公差。

以等差数列为例，假设已知数列首项a1为2，公差d为3，可以通过线性通项公式an = 2 + (n-1) * 3计算出数列的任意一项。

2.2 非线性通项非线性通项是指数列的每一项不能用位置n的线性关系来计算，而是通过其他的方式来确定。

例如，等比数列就是一个常见的非线性通项数列。

等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，r为公比。

递推数列的通项公式的求法教学讲义热点一 a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C (A 、B 、C 为常数)型 例10 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *).[解析] ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴{1a n }是以1为首项，12为公差的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． [名师点拨] 形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C (A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．热点二 a n ＋1＝pa n ＋f (n )(p 为常数)型例11 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *，则a n ＝4n －1＋n .(2)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3n ，n ∈N *，则a n ＝3n －2n .[分析] 观察递推式特征：a n ＋1＝Pa n ＋f (n )，类似等比数列，故可尝试化为等比数列求解，以①为例可设a n ＋1＋λ(n ＋1)＋μ＝4(a n ＋λn ＋μ)，整理得a n ＋1＝4a n ＋3λn ＋(3μ－λ)所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3λ＝－3，3μ－λ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝0转化成功． [解析] (1)∵a n ＋1＝4a n －3n ＋1，∴a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，即a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝4，又a 1＝2，∴a 1－1＝1，∴{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列，∴a n －n ＝4n －1.∴a n ＝4n －1＋n .(2)∵a n ＋1＝2a n ＋3n ，令a n ＋1＋λ·3n ＋1＝2(a n ＋λ·3n )比较系数得λ＝－1.∴a n ＋1－3n ＋1＝2(a n －3n)，即a n ＋1－3n ＋1a n －3n ＝2，又a 1＝1，∴a 1－3＝－2，∴{a n －3n }是首项为－2，公比为2的等比数列，∴a n －3n ＝－2n ，∴a n ＝3n －2n .另解：∵a n ＋1＝2a n ＋3n，∴a n ＋13n ＝23·a n 3n －1＋1 ∴a n ＋13n －3＝23(a n 3n －1－3)，又a 1＝1，∴{a n 3n －1－3}是首项为－2，公比为23的等比数列，∴a n 3n －1－3＝－2(23)n －1，∴a n ＝3n －2n .名师点拨 ☞①形如a n ＋1＝pa n ＋An ＋B (P 、A 、B 为常数)的类型，可令a n ＋1＋λ(n ＋1)＋μ＝P (a n ＋λn ＋μ)，求出λ、μ的值即可知{a n ＋λn ＋μ}为等比数列，进而可求a n .②形如a n ＋1＝Pa n ＋Aq n (P 、A 为常数)的类型．当p ≠q 时，可令a n ＋1＋λq n ＋1＝p (a n ＋λq n )，求出λ的值即可知{a n ＋λq n }是等比数列，进而可求a n ，当p ＝q 时可化为a n ＋1q n ＝a n q n －1＋A 即a n ＋1q n －a n q n －1＝A (常数)知{a n q n －1}为等差数列，进而可求a n . 〔变式训练4〕在数列{a n }中(1)a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ≥2)，则a n ＝12n －1； (2)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n －3n ，n ∈N *，则a n ＝－5·2n －1＋3n ＋3；(3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3·2n ，n ∈N *，则a n ＝(3n －2)·2n －1.[解析] (1)将a n ＝a n －12a n －1＋1两边取倒数，得1a n －1a n －1＝2，这说明{1a n }是一个等差数列，首项是1a 1＝1，公差为2，所以1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，即a n ＝12n －1. (2)∵a n ＋1＝2a n －3n ，令a n ＋1＋λ(n ＋1)＋μ＝2(a n ＋λn ＋μ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－3，μ－λ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝－3，∴a n ＋1－3(n ＋1)－3＝2(a n －3n －3)又a 1＝1，∴{a n －3n －3}是首项为－5，公比为2的等比数列，∴a n －3n －3＝－5·2n －1 ∴a n ＝－5·2n －1＋3n ＋3.(3)∵a n ＋1＝2a n ＋3·2n，∴a n ＋12n －a n 2n －1＝3，又a 1＝1， ∴{a n 2n －1}是首项为1，公差为3的等差数列， ∴a n 2n －1＝1＋3(n －1)，∴a n ＝(3n －2)·2n －1.。

数列的通项公式及递推公式数列是按照一定的规律排列的一系列数字。

在数学中，我们常常使用通项公式和递推公式来描述数列。

一、通项公式通项公式是指能够给出数列中第n项的公式。

也就是说，通过通项公式，我们可以直接计算出数列中任意一项的值，而不需要知道前面的所有项。

1.1等差数列的通项公式等差数列是指相邻两项之间的差值都是相等的数列。

一般地，等差数列可以写作a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差（即相邻两项之间的差值）。

等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d，其中an是数列中第n项的值，a是数列的首项，d是数列的公差。

举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 + 3(n-1)。

1.2等比数列的通项公式等比数列是指相邻两项之间的比值都是相等的数列。

一般地，等比数列可以写作a，ar，ar^2，ar^3，...，其中a是首项，r是公比（即相邻两项之间的比值）。

等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an是数列中第n 项的值，a是数列的首项，r是数列的公比。

举个例子，如果一个等比数列的首项是2，公比是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 * 3^(n-1)。

二、递推公式递推公式是指通过已知数列中的前几项来计算出下一项的公式。

也就是说，通过递推公式，我们可以通过已知的前几项来求解后面的项。

2.1等差数列的递推公式对于等差数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 + d。

这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值加上公差d。

2.2等比数列的递推公式对于等比数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 * r。

这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值乘以公比r。

举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 + 3对于一个等比数列的首项是2，公比是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 * 3综上所述，通项公式和递推公式是描述数列的重要工具。

二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。

在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。

（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。

一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。

由递推公式求数列通项专题讲座递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。

在近几年高考题目中均有此类题，尤其在各省市地方命题中以较大分值出现；而且数列是初等数学与高等数学的衔接点之一。

因此，研究由递推公式求数列通项公式的类型是很有必要的。

题型1：)(1n f a a n n +=+，这种类型通常用累加法求得数列通项。

……将以上个式子叠加，可得这里，我们只须已知数列的首项1a ，利用求和方法求出上述等式右端的和，即可求出数列{}n a 的通项公式。

练习：求出以下数列{}n a 的通项n a 1.n a a a n n +==+11,1； 2.)1(1,111++==+n n a a a n n ；3.n n n a a a 3,111+==+；题型2：)(1n f a a n n ∙=+，这种类型通常用迭代法（累积法）求得数列通项。

)1(12f a a =，)2(23f a a =，……，)1(1-=-n f a a n n 将以上个式子相乘，可得)1()2()1(1-=n f f f a a n这里，我们只须已知数列的首项1a ，求出上述等式右端的积，即可求出数列{}n a 的通项公式。

练习：求出以下数列{}n a 的通项n a1. n n a n na a 1,111+==+； 2. n n a n n a a 1212,3111+-==+； 3. n n a n na a )1(2,111+==+题型3：q pa a n n +=+1（1≠p ），用构造等比数列的方法求出数列的通项。

由q pa a n n +=+1，令)(1x a p x a n n -=-+，化简求出p q x -=1，从而数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--p q a n 1是常数列或等比数列，从而求出原数列的通项。

练习：23,211+==-n n a a a ，求数列{}n a 的通项n a 。

题型4：qpa a a n nn +=+1，这种类型通常用倒数法变成我们熟悉的类型，后按有关方法进行求解即可。

数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。

2.项：数列中的每一个数。

3.项数：数列中数的个数。

4.首项：数列的第一项。

5.末项：数列的最后一项。

6.公差：等差数列中，相邻两项的差。

7.公比：等比数列中，相邻两项的比。

二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。

2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。

3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。

五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。

2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。

六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。

2.无限数列：项数无限的数列。

3.交错数列：正负交替出现的数列。

4.非交错数列：同号连续出现的数列。

5.常数数列：所有项都相等的数列。

6.非常数数列：各项不相等的数列。

综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。

同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。

习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。

递推数列求通项公式递推数列是一种数学序列，其中每一项都是通过对前一项应用一个递推关系得到的。

求递推数列的通项公式是指找出一种依赖于自变量的表达式，用于计算数列中任意一项的值。

求递推数列的通项公式的方法主要有两种，一种是通过推导和观察数列的特点，找出合适的数学模型；另一种是利用已知的数学工具和技巧，通过数学推理和计算来找到通项公式。

下面以一些常见的递推数列为例，详细介绍如何求其通项公式。

1.等差数列：等差数列是最简单的一种递推数列，每一项与前一项的差值都相等。

设数列的首项为a，公差为d，则第n项可以表示为an = a + (n-1)d。

这是等差数列的通项公式。

2.等比数列：等比数列是一种每一项与前一项的比值都相等的递推数列。

设数列的首项为a，公比为r，则第n项可以表示为an = ar^(n-1)。

这是等比数列的通项公式。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的递推数列，前两项为1，后面每一项都是前两项之和。

即an = an-1 + an-2、通过观察数列的特点可以得知，斐波那契数列的通项公式是an = (1/sqrt(5)) *( ((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n )。

4.等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是一种先等差递推，然后再等比递推的数列。

设数列的首项为a，等差为d，公比为r，则第n项可以表示为an = (a + (n-1)d) * r^(n-1)。

5. 将递推数列转化为代数方程求解：对于一些复杂的递推数列，可以通过将数列的前几项转化为代数方程的解，并找到通项公式。

例如，如果递推数列的第n项为an = n^2 - 3n + 2，我们可以将数列的前几项代入an的表达式，然后求解方程组，找到通项公式。

总结起来，求递推数列的通项公式需要运用数学推导和观察、数学工具和技巧、将数列转化为代数方程等方法。

⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⼀、基础知识定义1 数列，按顺序给出的⼀列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和⽆穷数列两种，数列{a n}的⼀般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。

其中a1叫做数列的⾸项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n表⽰{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。

若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a-q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B⾄少有⼀个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等⽐数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等⽐数列，q叫做公⽐。

定理3 等⽐数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等⽐数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等⽐中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。

定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 ⽆穷递缩等⽐数列，若等⽐数列{a n}的公⽐q满⾜|q|<1，则称之为⽆穷递增等⽐数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。

数列与级数的递推公式与通项公式数列与级数是数学中重要的概念，它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。

数列是按照一定规律排列的一系列数，而级数是数列的和。

在研究数列和级数时，递推公式和通项公式是两个重要的概念。

一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或几项来确定下一项的公式。

对于递推公式，通常给出初始项或前几项，并通过递推关系得到该数列的所有项。

以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，F1 = 1，F2 = 1。

根据递推公式，可以得到斐波那契数列的所有项：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...同样地，等差数列和等比数列也有相应的递推公式。

等差数列的递推公式为：an = a1 + (n-1)d其中，a1为首项，d为公差，n为项数。

等比数列的递推公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，a1为首项，r为公比，n为项数。

通过递推公式，我们可以方便地求得数列中的任意一项。

二、数列的通项公式数列的通项公式是指能够直接通过项数n来表示第n项的公式。

通项公式能够让我们不通过逐项计算，直接求得数列中某一项的值。

以斐波那契数列为例，斐波那契数列的通项公式为：Fn = (1/sqrt(5)) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)通过通项公式，我们可以方便地求得数列中的任意一项。

三、级数的递推公式与通项公式级数是数列的和，它是数学中重要的概念。

对于级数，有两个与之相关的概念：递推公式和通项公式。

级数的递推公式是指通过前一项或几项来确定下一项的公式，而级数的通项公式是指能够直接通过项数n来表示第n项的公式。

例如，等差级数的递推公式为：Sn = Sn-1 + an其中，S1 = a1。

等差级数的通项公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，a1为首项，an为第n项，n为项数。