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二次函数复习二次函数解决最值问题的思路与策略二次函数复习：解决最值问题的思路与策略二次函数在高中数学中是一个重要的内容，涉及到了最值问题的求解。
本文将从复习二次函数的基本形式开始，逐步介绍解决最值问题的思路与策略。
一、二次函数的基本形式二次函数一般具有如下基本形式：f(x) = ax^2 + bx + c (a≠0)其中，a、b、c为实数，且a不等于0。
通过调整a、b、c的值，可以使二次函数的图像发生上下平移、左右平移和翻转等变化。
二、最值问题的定义在二次函数中，最值问题通常指的是求解函数的最大值或最小值。
最大值对应函数的顶点，最小值对应函数的谷点。
三、解决最值问题的思路解决最值问题的思路可以总结为以下几个步骤：1. 了解函数的基本形式：首先确定二次函数的基本形式，即f(x) = ax^2 + bx + c。
根据实际问题的给定条件，确定a、b、c的值。
2. 求解顶点坐标：通过平移变换，将二次函数的图像平移到合适的位置，使其顶点的坐标易于计算。
顶点的横坐标可通过 x = -b/(2a) 得到，而纵坐标可通过代入横坐标得到。
3. 判断最值类型：根据二次函数的开口方向（即a的正负）来判断最值类型。
当a>0时，函数开口向上，为最小值问题；当a<0时，函数开口向下，为最大值问题。
4. 求解最值：根据最值类型和顶点的坐标，可以直接得到函数的最值。
四、解决最值问题的策略解决最值问题的策略根据具体情况有所不同，下面列举了几种常见的策略：1. 利用函数的图像分析：通过观察二次函数的图像，分析函数在定义域上的变化趋势，找到最值所处的位置。
2. 利用对称性求解：当二次函数关于y轴对称时，可以利用对称性直接得到函数的最值。
3. 应用配方法：对于一些复杂的二次函数，可以通过配方法将其化简为标准的二次函数形式，然后再求解最值。
4. 利用一元二次不等式求解：通过将二次函数转化为一元二次不等式，可以得到函数的最值所在的区间，进而求解最值。
二次函数的最值与极值总结二次函数是高中数学中常见的一类函数，具有形如y=ax^2+bx+c的一般式。
在研究二次函数的性质时，最值与极值是非常重要的概念。
本文将对二次函数的最值与极值进行总结和讨论。
一、最值的概念在数学中，最值指的是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，最值的存在与二次项的系数a的正负有关。
1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的最小值存在。
这个最小值即为函数的最小值。
2. 当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的最大值存在。
这个最大值即为函数的最大值。
二、最值的求解方法1. 最值的求解方法一：利用函数的对称性二次函数关于x轴对称，对称轴方程为x = -b/(2a)。
所以，函数的最值点的横坐标一定在对称轴上。
当对称轴上有x值时，带入函数表达式即可求得对应的y值，确定最值点。
2. 最值的求解方法二：利用二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式为x = -b/(2a)，y = f(x)。
通过求得的顶点坐标，就可以确定最值点的坐标。
根据二次函数的性质，当a>0时，对应的顶点为最小值点；当a<0时，对应的顶点为最大值点。
三、极值的概念在数学中，极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，极值的存在与一阶导数的符号有关。
1. 当一阶导数大于0时，函数递增，没有极小值。
2. 当一阶导数小于0时，函数递减，没有极大值。
3. 当一阶导数等于0时，函数可能存在极值或拐点。
此时，需要通过二阶导数或其他方法来进一步判断。
四、极值的求解方法1. 极值的求解方法一：利用导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)。
将一阶导数f'(x)等于0解方程，求得x的值。
然后，将求得的x值代入原函数f(x)中，求得对应的y值，确定极值点。
2. 极值的求解方法二：利用二阶导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
数学篇解题指南几何图形与二次函数的综合题难度一般较大.在解答此类问题时，同学们要认真观察、分析图形的结构特征，充分挖掘几何图形的性质，再利用二次函数的性质求解.下面笔者就以二次函数中线段最值问题与图形面积最值问题的常见解法举例说明.一、二次函数中的线段最值问题常见的二次函数中的线段最值问题有：（1）求某条线段的最值；（2）求几条线段的和的最小值或差的最大值.这类问题侧重于考查二次函数与直线的位置关系、二次函数的性质、平面几何图形的性质.解答此类问题，通常需根据直线与二次函数的位置关系，利用二次函数的对称性转换点或线段的位置，构造出三角形、平行四边形、三点共线的情况等，从而运用三角形、平四边形的性质，以及一些平面几何定理，如“两点间线段最短”“两边之差小于第三边”，求得最值.例1在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A （-2，-4），O （0，0），B（2，0）三点.（1）求抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM +OM 的最小值.分析：题目（1）是一个求二次函数解析式的简单问题，只要把三个点代入解析式，组成方程组求解即可；（2）是在（1）求解出的二次函数解析式的基础上，求对称轴上一点到两个固定点的距离和问题，即“求AM +OM 的最小值”.准确画出二次函数的图象，如图1所示，利用二次函数的对称性以及对称轴的相关知识，可以得出OM =BM ，从而将AM +OM 转化为当A 、B 、M 三点共线时，两线段和最小.解：（1）把A （-2，-4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y =ax 2+bx +c 中，得方程组的解为，a =-12，b =1，c =0，所以抛物线的解析式为y =-12x 2+x ；（2）由y =-12x 2+x =-12（x -1）2+12，可得抛物线的对称轴为x =1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∵点M 是抛物线对称轴上的一点，∴OM =BM ，∴OM +AM =BM +AM ，连接AB 交直线x =1于M 点，此时OM +AM 最小.过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt△ABN 中，AB =AB 2+BN 2=42+42=42，因此OM +AM 的最小值为42.评注：二次函数的图象具有对称性，点M 是对称轴上的一点，利用此性质可以得到OM =BM ，这样便将“OM +AM ”转化为“BM +AM ”，进一步转化为求AM +BM 最小值问题，然后利用“两点之间线段最短”的原理求解即可.二、二次函数中图形面积的最值问题二次函数中图形面积的最值问题往往是二次函数线段最值问题的升华.求解此类问题时往往需要将不规则或复杂的图形通过“分割法”或“补形法”转化为规则的图形，然后利用规则图形的面积公式来求解.一般地，怎样求解二次函数中的几何最值问题南京师范大学盐城实验学校程梦书x y 图119数学篇解题指南二次函数中图形面积的最值问题往往通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题.此外，经过割补后所求区域的面积，可通过不同区域的面积相加或相减来求得.例2已知抛物线经过点A （-1，0）、B （3，0）、C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN //y 轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示MN 的长；（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使△BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由.分析：（1）求二次函数解析式比较容易，直接将三点坐标代入组成方程组即可.（2）中点M 虽是动点，但坐标可以用二次函数的解析式表示出来，随后表示出点N 的坐标，即可表示MN 的长.（3）△BNC 面积直接求解比较困难，利用转化思想化为S △MNC +S △MNB .利用面积公式，将“面积”最值问题转化为“线段”最值问题来求解.（如图2所示）.解：（1）∵抛物线过点A （-1，0）、B （3，0），∴设抛物线的解析式为：y =a (x +1)(x -3)，又∵抛物线过点C （0，3），∴a (0+1)(0-3)=3，解得a =-1，所以，抛物线的解析式为：y =-(x +1)(x -3)=-x 2+2x +3；（2）设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则有：故直线BC 的解析式为：y =-x +3，已知点M 的横坐标为m ，则M (m ,-m +3)、N （m ，-m 2+2m +3），∴MN =|（-m 2+2m +3）-（-m +3）|=|-m 2+3m |，∵点M 在B 、C 之间，∴点N 高于点M ，∴0<m <3，∴MN =|-m 2+3m |=-m 2+3m 即MN =-m 2+3m （0<m <3）；（3）存在，S △BNC =S △MNC +S △MNB ,∵MN //y 轴，∴延长NM 交x 轴于点D ，∴点C 到MN 的距离为OD ，∴S △MNC =12MN ×OD ，S △MNB =12MN ×DB ，S △BNC =S △MNC +S △MNB =12MN (OD +DB )=12MN ×OB ，∴当|MN |最大时，△BNC 的面积最大，MN =-m 2+3m =-(m -32)2+94，当m =32时，MN 有最大值为94，所以当m =32时，S △BNC 的面积最大，故△BNC 的面积最大值为12×94×3=278.评注：求解二次函数的最值问题时，一定要准确绘制出函数的图象，特别是开口方向、与x 轴的交点、与y 轴的交点、对称轴.否则，可能得到错解或无解.利用二次函数求最值需要注意：当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值.二次函数中的几何最值问题往往涉及“线段和最小”或“图形面积最大”等问题.同学们应掌握二次函数的图象和性质，将最值图2。
二次函数最值问题解析二次函数最值问题是数学中的一个重要概念，通过分析二次函数的图像和相关性质，我们可以求得函数的最大值或最小值，从而解决实际问题。
本文将对二次函数最值问题进行详细解析。
一、二次函数的一般形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
通过这个一般形式，我们可以得到二次函数的图像特点。
二、二次函数图像的性质1. 对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴具有对称性，即对于任意x，有f(x) = f(-x)。
2. 开口方向：当a > 0时，二次函数的抛物线开口向上；当a < 0时，二次函数的抛物线开口向下。
3. 最值问题：二次函数的最大值或最小值出现在抛物线的顶点处。
三、二次函数最值的求解方法求解二次函数最值可以通过几种不同的方法。
1. 利用顶点公式：二次函数的顶点公式为x = -b/2a，将此值代入原函数，即可求得最值点的纵坐标。
这种方法适用于一般情况下的二次函数最值问题。
2. 利用完全平方公式：利用完全平方公式，将一般形式的二次函数转化为顶点形式，即y= a(x - h)^2 + k。
其中，(h, k)为顶点坐标，通过对此式的分析可以求得最值点的纵坐标。
这种方法适用于需要更详细分析二次函数图像的情况。
3. 利用导数：对二次函数进行求导，求得导函数并令其等于0，然后求解方程即可得到二次函数的最值点。
这种方法适用于需要更深入研究二次函数性质的情况。
四、实例分析为了更好地理解和应用二次函数最值问题的解法，我们来看一个实际问题的例子。
例：某工厂生产碳酸饮料，每瓶售价为10元。
市场调研显示，当售价为x元时，每天的销量（单位：万瓶）由二次函数y = -2x^2 + 20x + 5表示。
问该工厂能够获得最大利润时，每瓶碳酸饮料的售价和销量分别是多少？解：我们已知二次函数的表达式为y = -2x^2 + 20x + 5，该函数的最值即为该工厂的最大利润对应的售价和销量。
二次函数的最值与最值问题的应用二次函数是数学中常见的一类函数，具有很多重要的性质和应用。
其中最值与最值问题是二次函数的重要内容之一。
本文将详细介绍二次函数的最值性质，以及如何利用最值问题解决实际应用中的相关问题。
一、二次函数的基本性质二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负性。
在讨论二次函数的最值之前，我们先了解一些与最值相关的基本性质。
1. 首先，二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值出现在顶点上；当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值出现在顶点上。
2. 其次，二次函数的顶点即为函数的最值点。
顶点坐标为（h, k），其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为函数的最值（最小值或最大值）。
3. 再次，二次函数的对称轴与顶点的横坐标相同。
对称轴的方程为x = h。
二、二次函数的最值问题二次函数的最值问题是指求解函数的最小值或最大值的问题。
在实际应用中，最值问题经常出现，例如求解投掷问题中的飞行距离最大值或者盈利问题中的最大利润等。
1. 求解二次函数的最值为了求解二次函数的最值，我们可以利用二次函数图像的特点，即找出抛物线的顶点坐标。
通过完成平方项的平方，将二次函数转换为顶点形式，可以轻松地求解最值问题。
例如，对于函数y = x² - 4x + 3，我们可以完成平方项的平方，将其转换为顶点形式：y = (x - 2)² - 1从中可以看出，顶点坐标为（2, -1），函数的最小值为-1。
因此，原二次函数的最小值为-1。
2. 应用最值问题最值问题在实际应用中非常常见，下面以一个具体的应用为例进行解析。
例题：某商品的价格为p（元），销量为x（件），已知该商品的价格和销量满足二次函数关系p = 0.5x² - 2x + 8，求该商品的最佳销量以及最佳价格。
对称方法求最值在数学问题中，求解最值是常见的一类问题。
对称方法是一种利用几何图形的对称性来求解最值的有效手段。
本文将详细阐述如何使用对称方法求解最值。
**对称方法求最值**对称方法是一种基于几何图形的对称性质来求解最值的方法。
在几何问题中，尤其是平面几何问题，通过观察图形的对称性，我们可以找到最值点的位置，进而求解出最值。
### 基本原理对称方法的核心在于“对称轴”或“对称中心”。
对于一个几何问题，如果存在对称轴或对称中心，那么问题的最值往往出现在对称轴或对称中心上。
### 求解步骤1.**确定对称轴或对称中心**：观察题目给出的几何图形，确定是否存在对称轴或对称中心。
2.**分析问题**：根据问题的具体要求，分析什么是最值点，例如最大值点或最小值点。
3.**应用对称性**：利用对称性，确定最值点的位置。
通常，最值点会出现在对称轴或对称中心上。
4.**建立方程**：根据问题的具体条件，建立方程或方程组，求解最值点。
5.**计算最值**：将最值点的坐标代入目标函数，计算出最大值或最小值。
### 实例应用#### 例题：在平面直角坐标系中，求点A(1,2)到直线y=3x+1的距离的最小值。
**解**：1.确定对称轴：直线y=3x+1的斜率为3，故垂直于该直线的直线的斜率为-1/3，即垂直线为对称轴。
2.分析问题：要求点A到直线的距离的最小值，此最值出现在点A关于直线y=3x+1的对称点上。
3.应用对称性：点A关于直线y=3x+1的对称点B，其坐标可以通过求解点A到直线的垂线方程与直线y=3x+1的交点得到。
4.建立方程：根据点斜式，垂线方程为y-2=-(1/3)(x-1)。
5.解方程：将垂线方程代入直线方程y=3x+1，解得交点坐标。
6.计算最值：通过求解得到的对称点B的坐标，计算点A到直线y=3x+1的距离，即为所求的最小值。
通过以上步骤，我们可以求解出该问题的答案。
**注意**：实际应用中，问题可能会更加复杂，需要结合具体问题具体分析。
坐标对称及最值问题是数学中的常见问题，常常出现在函数、几何、三角函数等领域。
这类问题需要运用对称思想，以及寻找最值的方法。
下面列举了5种常见的题型及相应的解法。
题型一：函数的最值对于函数f(x)，其最值可能出现在最小值(f(x)min)和最大值(f(x)max)上。
对于这类问题，我们通常需要观察函数的对称性，例如，如果函数是关于原点对称的，那么最小值和最大值可能在左右两侧取得。
解法上，我们通常需要利用导数或其他方法来找到函数的极值点，从而确定最值。
题型二：两点之间的距离在两点之间的距离问题中，如果两个点关于某个轴对称，那么它们之间的距离可以通过简单的轴对称距离公式来计算。
解法上，我们通常需要利用轴对称距离公式，以及两点之间的距离公式来求解。
题型三：圆的半径的最值在圆的半径的最值问题中，如果圆关于某条直线对称，那么我们需要找到圆的半径与对称轴的位置关系，从而确定圆的半径的最值。
解法上，我们通常需要利用圆的半径公式，以及对称轴的位置关系来求解。
题型四：三角形的重心坐标在三角形的重心坐标问题中，如果三个顶点关于某条直线对称，那么我们需要找到重心坐标与对称轴的关系，从而确定重心的坐标。
解法上，我们通常需要利用重心的几何性质，以及对称轴的位置关系来求解。
题型五：椭圆的离心率在椭圆的离心率问题中，如果焦点关于某轴对称，那么我们需要找到椭圆的离心率与对称轴的关系，从而确定椭圆的离心率。
解法上，我们通常需要利用椭圆的离心率公式，以及对称轴的位置关系来求解。
总的来说，坐标对称及最值问题的解法主要依赖于对称性和位置关系。
对于不同类型的题目，我们需要灵活运用这些方法来解决问题。
同时，对于不同类型的题目，也需要进行相应的变化和拓展，以适应更复杂的情况。
希望以上信息对您有所帮助。
如果您有任何具体问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。
二次函数的最值与优化应用题的解决思路在解决二次函数的最值与优化应用题时，我们需要遵循一定的解决思路。
本文将介绍如何分析和求解这类问题，并提供一些实际应用的例子。
1. 分析问题：首先，我们需要理解问题陈述，并将其转化为数学语言。
通常，这种问题会涉及到二次函数的具体形式以及限制条件。
我们可以通过以下步骤进行分析：- 确定变量和目标：明确问题中涉及的变量，以及我们希望优化的目标。
- 建立模型：利用已知条件建立二次函数模型，并将目标函数化为数学表达式。
- 分析限制条件：将限制条件翻译为数学不等式或等式，并将其添加到模型中。
- 确定求解范围：确定函数的定义域和最值可能出现的范围。
2. 求解问题：有了正确的分析，我们可以使用以下方法来求解二次函数的最值和优化问题：- 求导法：对二次函数进行求导，找到导数等于零的点，并分析这些点的性质以确定最值的位置。
- 完成平方法：通过将二次函数转化为完全平方形式，从而直接得到最值点的位置。
- 利用性质法：利用二次函数的性质，如对称性、平移等，来简化求解过程。
- 图像分析法：通过绘制函数的图像，直观地找到最值点的位置。
3. 应用实例：下面是一些二次函数最值与优化应用题的解决示例：题目1：围墙建造某人想围建一个矩形花园，但他只有50米的围墙材料。
问他能建造的最大花园面积是多少？解决思路：设矩形长为x米，宽为y米。
建立问题的模型：- 目标：最大化花园的面积A，即A = x*y。
- 限制条件：围墙总长度不能超过50米，即2x + 2y <= 50。
通过求解目标函数的最值，我们可以得到最大化花园面积的解。
题目2：喷水装置一个花坛的形状是一个长为12米、宽为8米的矩形，需要在花坛中央安装一台喷水装置。
装置的效果范围是一个以装置为中心，半径为r米的圆形区域。
求喷水装置的半径，使得覆盖的花坛面积最大。
解决思路：设喷水装置的半径为r米。
建立问题的模型：- 目标：最大化喷水装置覆盖的花坛面积A，即A = πr²。
高中数学解二次函数求极值和最值的技巧和分析二次函数在高中数学中占据着重要的地位，它的求极值和最值是我们学习的重点内容之一。
本文将通过具体的例题，详细介绍解二次函数求极值和最值的技巧和分析，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
首先，我们来看一个简单的例题：已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的最小值。
要求函数的最小值，我们需要先找到函数的极值点。
根据二次函数的性质，当二次函数的导数等于0时，函数的极值点就出现了。
所以，我们首先需要求出f(x)的导数。
f'(x) = 2x - 2。
将f'(x) = 0带入，得到2x - 2 = 0，解得x = 1。
这就是函数f(x)的极值点。
接下来，我们需要判断这个极值点是函数的最小值还是最大值。
这可以通过二次函数的凹凸性来确定。
二次函数的凹凸性由二次项的系数决定，当二次项系数大于0时，函数开口向上，为凹函数，极值点为最小值；当二次项系数小于0时，函数开口向下，为凸函数，极值点为最大值。
回到我们的例题，函数f(x) = x^2 - 2x + 1的二次项系数为1，大于0，因此函数是凹函数，极值点x = 1是最小值。
通过这个例题，我们可以总结出求二次函数极值和最值的一般步骤：1. 求出函数的导数；2. 令导数等于0，解方程得到极值点；3. 判断二次函数的凹凸性，确定极值点是最小值还是最大值。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例题：已知函数g(x) = -2x^2 + 4x + 3，求g(x)的最大值。
同样地，我们首先求出函数g(x)的导数。
g'(x) = -4x + 4。
令g'(x) = 0，得到-4x + 4 = 0，解得x = 1。
这是函数g(x)的极值点。
然后，我们需要判断这个极值点是最大值还是最小值。
由于函数g(x)的二次项系数为-2，小于0，所以函数是凸函数，极值点x = 1是最大值。
通过这个例题，我们可以看到，求二次函数极值和最值的步骤是相同的，只是需要注意函数的凹凸性来确定极值点的性质。
初中数学对称求最小值问题一、对称轴问题对于对称轴问题，我们可以通过找到对称轴来求取最小值。
在几何图形中，对称轴是一条直线，它使得图形沿这条直线折叠后两部分能够完全重合。
对于一些具有对称性质的几何图形，如等腰三角形、矩形等，它们的对称轴是固定的。
通过找到这些对称轴，我们可以确定最小值的所在位置。
二、对称点问题对于对称点问题，我们需要找到图形中的对称点来求解。
在一个图形中，如果两个点关于某一条直线对称，那么这两个点的连线与该直线垂直且中点在该直线上。
通过找到这些对称点，我们可以确定最小值的所在位置。
三、对称性应用对称性在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决很多问题。
例如，在几何问题中，我们可以通过对称性将复杂的问题简化；在代数问题中，我们可以通过对称性找到函数的极值点；在概率问题中，我们可以通过对称性计算概率分布。
四、对称与最值关系对称性与最值之间存在着密切的联系。
在一些情况下，通过利用对称性，我们可以更方便地找到最小值。
例如，对于一些二次函数，它们的图像具有对称性，我们可以通过找到对称轴来确定最小值的位置；对于一些几何图形，我们可以通过找到对称轴或对称点来确定最小值的位置。
五、对称性质与几何图形几何图形中的对称性质是常见的。
例如，等腰三角形是关于其高线对称的；矩形是关于其对角线所在的直线对称的；圆是关于其任意直径所在的直线对称的。
了解这些对称性质可以帮助我们更好地理解图形的结构，并找到最小值的位置。
六、对称变换与函数图像函数图像的对称变换也是数学中的一个重要概念。
例如，函数y=ax^2+bx+c的图像是一个抛物线，该抛物线可以沿x轴或y轴进行对称变换。
通过了解这些对称变换的性质，我们可以更好地理解函数的图像，并找到最小值的位置。
七、对称不等式问题在一些数学问题中，我们需要证明两个量之间的不等式关系。
如果这两个量具有对称性，那么我们可以利用这种对称性来证明不等式。
例如，对于一些二次函数的最小值问题，我们可以利用二次函数的对称性来证明不等式。
二次函数的最值(4种题型)【题型细目表】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径题型二：面积最值问题题型三：最大利润问题题型四：线段最值问题【考点剖析】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径一、填空题1(浙江宁波·九年级宁波东海实验学校校考期中)如图，抛物线y =ax 2+bx +3过点A (1，0)，B (3，0)，与y 轴相交于点C ．若点P 为线段OC 上的动点，连结BP ，过点C 作CN 垂直于直线BP ，垂足为N ，当点P 从点O 运动到点C 时，点N 运动路径的长为【答案】324π【分析】先求出抛物线的解析式，连接BC ，可得点N 的路径是以BC 的中点M 为圆心，BC 长的一半为半径的OC ，，求出OC的长度即可．【详解】解：把点A (1，0)，B (3，0)，代入抛物线，则0=a +b +30=9a +3b +3 ，解得：a =1b =-4 ，∴y =x 2-4x +3；连接BC ，可得点N 的路径是以BC 的中点M 为圆心，BC 长的一半为半径的OC ，连接OM ，如图：∵OB =OC =3，∴OM ⊥BC ，∴∠OMC =90°，∵BC =OB 2+OC 2=32+32=32，∴OM =322，∴点N 运动路径的长为：90π180•322=324π；故答案为：324π．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．2(浙江杭州·九年级翠苑中学校联考期中)若抛物线y =-x 2+2x +m +1(m 为常数)交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B ．①抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2有且只有一个交点；②若点M (-2，y 1)、点N 12，y 2、点P (2，y 3)在该函数图象上，则y 1<y 2<y 3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y =-(x +1)2+m ；④点A 关于直线x =1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m =1时，四边形BCDE 周长的最小值为3+2+13．其中正确的是．(填序号)【答案】①③【分析】①联立抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2，然后根据韦达定理可进行判断；②根据二次函数的增减性可直接进行判断；③根据图象平移可直接进行求解；④由题意画出函数图象，进而作点B 关于y 轴的对称点B ，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接B C 与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，最后问题可求解．【详解】解：联立抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2可得：x 2-2x +1=0，其中Δ=4-4=0，∴此方程有两个相等的实数根，∴抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2有且只有一个交点，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x =-b 2a=1，且a =-1<0，开口向下，∴根据抛物线的性质可知离对称轴越近，所对应的函数值越大，∵点M (-2，y 1)、点N 12，y 2、点P (2，y 3)在该函数图象上，∴y 1<y 3<y 2，故②错误；由将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为：y =-x +2 2+2x +2 +m +1-2=-x +1 2+m ，故③正确；当m =1时，抛物线解析式为y =-x 2+2x +2，∴A 0,2 ,B 1,3 ,C 2,2 ，作点B 关于y 轴的对称点B ，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接B C 与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，如图所示：∴B -1,3,C 2,-2，∴BE+ED+CD+BC=B E+ED+C D+BC=B C +BC，根据两点之间线段最短，知B C 最短，而BC长度一定，∴此时四边形BCDE的周长为B C +BC最小，由两点距离公式可得：B C +BC=2+12+-2-32+2-12+2-32=34+2，故④错误；综上所述：正确的有①③；故答案为①③．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及轴对称，熟练掌握二次函数的图象与性质及轴对称是解题的关键．二、解答题3(浙江宁波·九年级统考期末)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点A．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴直线x=-1上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ=45°，请求出点Q坐标.【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为-1,2；(3)点Q-52 ,74.【分析】(1)根据对称轴方程可得-b2a=-1，把B、C坐标代入列方程组求出a、b、c的值即可得答案；(2)根据二次函数的对称性可得A点坐标，设直线AC与对称轴x=-1的交点为M，可得MB=MA，即可得出MB+MC=MC+MA=AC，为MB+MC的最小值，根据A、C坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，把x=-1代入求出y值，即可得点M的坐标.(3)设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM⊥BC于点M，利用勾股定理可求出BC的长，根据∠CBQ=45°可得HM=BM，利用∠OCB的正切函数可得CM=3HM，即可求出CM、HM的长，利用勾股定理可求出CH的长，即可得H点坐标，利用待定系数法可得直线BH的解析式，联立直线BQ与抛物线的解析式求出交点坐标即可得点Q坐标.【详解】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，∴-b2a=-1，∵抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，∴-b2a=-1a+b+c=0 c=3，解得：a=-1 b=-2 c=3，∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3.(2)设直线AC的解析式为y=mx+n，∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，B(0，0)，∴点A坐标为(-3，0)，∵C(0，3)，∴-3m+n=0 n=3，解得：m=1 n=3，∴直线解析式为y=x+3，设直线AC与对称轴x=-1的交点为M，∵点A与点B关于对称轴x=-1对称，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此时MB+MC的值最小，当x=-1时，y=-1+3=2，∴当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为-1,2.(3)如图，设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM⊥BC于点M，∵B(1，0)，C(0，3)，∴OB=1，OC=3，BC=OB2+OC2=10，∴tan∠OCB=OBCO =13，∵∠CBQ=45°，∴△BHM是等腰直角三角形，∴HM=BM，∵tan∠OCB=HMCM =13，∴CM =3HM ，∴BC =MB +CM =4HM =10，解得：HM =104，∴CM =3104，∴CH =CM 2+HM 2=52，∴OH =OC -CH =3-52=12，∴H 0,12，设直线BH 的解析式为：y =kx +b ，∴k +b =0b =12，解得：k =-12b =12 ，∴BH Q 的表达式为：y =-12x +12，联立直线BH 与抛物线解析式得y =-12x +12y =-x 2-2x +3，解得：x =1(舍去)或x =-52，当x =-52时，y =--52 2-2×-52 +3=74，∴点Q 坐标为-52，74.【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.4(浙江杭州·九年级期末)如图，抛物线y =x 2+bx -3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A (-1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点M 是对称轴上的一个动点，当△ACM 的周长最小时，求点M 的坐标．【答案】(1)y =x 2-2x -3，(1，-4)；(2)M (1，-2)【分析】(1)把A的坐标代入函数的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标；(2)直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，BC的长就是最小值．【详解】解：(1)∵点A(-1，0)在抛物线y=x2+bx-3上，∴b=-2，∴抛物线解析式y=x2-2x-3，∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴顶点D的坐标(1，-4)；(2)对于y=x2-2x-3，当x=0时，y=-3，∴C(0，-3)，当y=0时，0=x2-2x-3，解得：x=3或-1，∴B(3，0)，由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM=BC为最小值，而AC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，设直线BC的表达式为y=mx+n，则0=3m+n n=-3，解得：m=1 n=-3，故直线BC的表达式为y=x-3，当x=1时，y=-2，故点M(1，-2)．【点睛】本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，是本题解题的关键．5(浙江绍兴·九年级校联考期中)如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是(2，9)，且经过D(3，8)．(1)求抛物线的函数关系式；(2)求△ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM+DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(x-2)2+9；(2)S△ABC=15；(3)M(2，6)【分析】(1)根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D的坐标代入即可得；(2)求出A，B，C点坐标，利用三角形的面积公式即可求解；(3)先求出点D关于对称轴对称的点D'的坐标，从而可得BM+DM=BM+D'M，再根据两点之间线段最短可得当点B，D'，M在一条直线上时，BM+D'M最短，然后利用待定系数法求出直线BD'的函数解析式，最后将点M的横坐标代入即可得．【详解】(1)∵抛物线的顶点坐标为(2，9)，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+9，∵抛物线经过点D(3，8)，∴(3-2)2•a+9=8，解得a=-1，∴抛物线的函数解析式为y=-(x-2)2+9；(2)令y=-(x-2)2+9=0，解得x1=5，x2=-1，∴A(-1，0)，B(5，0)，令x=0，则y=-(0-2)2+9=5∴C(0，5)∴S△ABC=12AB⋅h=12×6×5=15；(3)存在，求解过程如下：∵二次函数y=-(x-2)2+9的对称轴为直线x=2，∴A(-1，0)，B(5，0)，∵点D(3，8)关于对称轴x=2对称的点的坐标为D'(1，8)，由对称性得：DM=D'M，则BM+DM=BM+D'M，如图，由两点之间线段最短可知，当点B，D'，M在一条直线上时，BM+DM最短，设直线BD'的函数解析式为y=kx+b，把(5，0)，(1，8)代入y=kx+b，得：0=5k+b 8=k+b，解得k=-2b=10，∴y=-2x+10，取x =2，则-2×2+10=6，∴M (2，6)．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．6(2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中)如图，已知抛物线y =-x 2+mx +5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(5，0)．(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】(1)m =4，顶点坐标为(2，9)(2)P (2，3)【分析】(1)将点(5，0)，代入y =-x 2+mx +5，得其解析式，从而求出m 的值及抛物线的顶点坐标；(2)利用“将军饮马”思路，点A 关于抛物线对称轴l 对称的点是点B ，进而解决问题．【详解】(1)将点(5，0)代入y =-x 2+mx +5得，0=-25+5m +5，m =4，∴抛物线解析式为y =-x 2+4x +5y =-x 2+4x +5=-(x -2)2+9，∴抛物线的顶点坐标为(2，9)；(2)如下图，点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，根据其性质有，PA +PC =PC +PB ，当点C 、点P 、点B 共线时，PC +PB =BC 为最小值，即为PA +PC 的最小值，由抛物线解析式为y =-x 2+4x +5=-x -2 2+9，可得点C 坐标为(0，5)，点B 坐标为(5，0)，对称轴l 为x =2，设直线BC 的解释为y =kx +b ，将点C (0，5)，点B (5，0)，代入y =kx +b 得，0=5k +b 5=b ，解得k =-1b =5 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +5，联立方程，y =-x +5x =2 ，解得x =2y =3 ，∴当PA +PC 的值最小时，点P 的坐标为(2，3)．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质和最短路径问题，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．7(浙江宁波·校联考一模)如图，抛物线M 1：y =x 2-4与x 轴的负半轴相交于点A ，将抛物线M 1平移得到抛物线M 2：y =ax 2+bx +c ，M 1与M 2相交于点B ，直线AB 交M 2于点C (8，m )，且AB =BC ．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)写出一种将抛物线M 1平移到抛物线M 2的方法；(3)在y 轴上找点P ，使得BP +CP 的值最小，求点P的坐标．【答案】(1)A (-2，0)，B (3，5)，C (8，10)；(2)由M 1平移得到抛物线M 2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；(3)P 0，7011 .【分析】(1)y =0，即求A ；AB =BC ，得B 3，m 2，求出直线AB 的解析式与二次函数求交点，利用根与系数的关系求m 的值，从而确定B 与C 的坐标；(2)抛物线平移前后a 的值不变，由点B (3，5)，C (8，10)在抛物线y =x 2+bx +c 上，确定抛物线解析式，从而得到平移过程；(3)作点B 关于y 轴的对称点B '，连接CB '与y 轴的交点即为P ，求出直线B 'C 的直线解析式的解析式与y 轴交点即为P ；【详解】(1)M 1：y =x 2-4与x 轴的负半轴相交于点A ，∴A (-2，0)，∵AB =BC ，C (8，m )，∴B 3，m 2，设AB 直线解析式为y =kx +b ，∴0=-2k +b m 2=3k +b ，∴k =m 10b =m 5 ，∴y =m 10x +m 5，∵y =x 2-4与y =m 10x +m 5相交于点A 和B ，∴x 2-m 10x +m 5-4=0，∴x 1+x 2=m 10=1，∴m =10，∴B (3，5)，C (8，10)；(2)∵抛物线M 1平移得到抛物线M 2，∴a =1，∵B (3，5)，C (8，10)在抛物线y =x 2+bx +c 上，∴10=64+8b +c 5=9+3b +c，∴b =-10c =26 ，∴y =x 2-10+26=(x -5)2+1，由M 1平移得到抛物线M 2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；(3)作点B 关于y 轴的对称点B '，连接CB '与y 轴的交点即为P ，∴B '(-3，5)，设直线B 'C 的直线解析式为y =mx +n ，∴5=-3k +b 10=8k +b，∴k =511b =7011 ，∴y =511x +7011，∴P 0，7011.【点睛】本题考查二次函数图象的平移，最短路径问题；掌握二次函数平移前后a 的值不变是解决平移后二次函数解析的关键，通过作对称点，将线段和的最小进行转化是解决最短路径的关键．8(2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习)已知抛物线y =x 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点的坐标为A (-1，0)，与y 轴的交点坐标为C (0，-3)．(1)求抛物线的解析式及与x 轴的另一个交点B 的坐标；(2)根据图象回答：当x 取何值时，y <0？(3)在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PA +PB 的值最小时的点P 的坐标．【答案】(1)y =x 2-2x -3，B (3,0)(2)-1<x <3(3)P (1,0)【分析】(1)把A (-1，0)，C (0，-3)代入y =x 2+bx +c ，利用待定系数法求解b ，c ，再求解点B 的坐标即可得到答案；(2)由y <0，可得抛物线的图像在x 轴的下方，结合图象可得x 的取值范围，从而可得答案；(3)由A(-1，0)，B(3，0)关于抛物线的对称轴x=1对称，可得AB与对称轴的交点满足PA+PB 最小，从而可得答案．【详解】(1)把A(-1，0)，C(0，-3)代入y=x2+bx+c，∴1-b+c=0 c=-3，解得：b=-2 c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，由x2-2x-3=0，∴(x-3)(x+1)=0，∴x1=3,x2=-1,∴B(3，0)；(2)∵抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)，y<0，∴抛物线的图象在x轴的下方，结合图象可得：-1<x<3；(3)∵A(-1，0)，B(3，0)，∴对称轴是直线x=1，如图，当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即P(1，0)．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．题型二：面积最值问题一、解答题9(2022·浙江·九年级自主招生)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦--秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=10,c= 6，求这个三角形面积的最大值，并判断此时三角形的形状．【答案】12，等腰三角形【分析】根据已知条件a+b=10，再表示成b=10-a，代入公式，再利用二次函数的性质求出最值，最后根据三边长判断三角形的形状．【详解】解：∵三角形的边长满足c=6，a+b=10，∴p=12(a+b+c)=8，∴b=10-a，∴S=p(p-a)(p-b)(p-c)=8×(8-a)×(8-b)×(8-6)=8×2×(8-a)×(a-2)=-16a-52+144当a=5时，S有最大值为12，此时三角形三边分别为5，5，6，故为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用新公式将三角形面积表示出来，并利用二次函数的性质求最值．10(2022秋·浙江宁波·九年级校考期中)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设AD 的长度为x 米，矩形菜园ABCD 面积为S 平方米．(1)写出S 与x 的关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)若a =20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；(3)求矩形菜园ABCD 面积的最大值．【答案】(1)S =12x (100-x )(2)10m(3)当0<a <50时，矩形菜园ABCD 面积的最大值为-12a 2+50a 平方米，当a ≥50时，最大值为1250平方米．【分析】(1)根据题意得出BC =100-x 2m ，然后求面积即可；(2)利用(1)中结论，直接代入求解即可；(3)将(1)中结果化为顶点式，然后分两种情况分析即可．【详解】(1)解：设AD =xm ．则BC =100-x 2m ，∴S =12x (100-x )；(2)由(1)得S =12x (100-x )，则450=12x (100-x )解得x 1=10，x 2=90(舍去)，∴AD 的长为10m ；(3)①当a ≥50时，由(1)得S =12x (100-x )=-12(x -50)2+1250，∵a ≥50，∴x =50时，S 的最大值为1250．②当0<a <50时，则0<x ≤a ，S 随a 的增大而增大，当x =a 时，S 的最大值为-12a 2+50a ；综上所述，当0<a <50时，矩形菜园ABCD 面积的最大值为-12a 2+50a 平方米，当a ≥50时，最大值为1250平方米．【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式进行分类讨论是解题关键．11(2023秋·浙江台州·九年级统考期末)某校科技兴趣小组制作了一个机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行b n (表示第n 次行走的路程)，再逆时针旋转α0°<α≤90°，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为l，所走路径形成的封闭图形的面积为S．例如：如图1，当每次直行路程均为1(即b n=1)，α=60°时，机器人的运动路径为A→B→C→D→E→F→A，机器人共走的路程l=6，由图1图2易得所走路径形成的封闭图形的面积为S=332．(1)若b n=1，请完成下表．α30°45°72°l(2)如图3，若α=60°，机器人执行六次指令后回到起点处停止．①若b1=2，b2=4，b3=1.5，b4=3，则b5=，b5+b6=．②若b1=2，b2=4，l=20，请直接写出b3与b4之间的数量关系，并求出当S最大时b4的值．【答案】(1)12，8，5(2)①3，5.5；②2b3+b4=10；b4=3【分析】(1)根据每次逆时针旋转α，旋转360°α次，可回到起点，即可进行解答；(2)①构造如图所示三角形，则△ABC,△AIH,△DBE,△GFC为等边三角形，根据等边三角形三边相等，即可依次推出各边长度；②构造如图所示三角形，根据题意可得GI=b3+b4+4，b6=b3+b4-2，b5 =6-b4，进而得出2b3+b4=10，根据等边三角形的面积公式，即可求出S的表达式，即可求解．【详解】(1)解：当α=30°时，l=1×36030=12，当α=45°时，l=1×36045=8，当α=72°时，l=1×36072=5，故答案为：12，8，5．(2)①构造如图所示的三角形，∵α=60°，∴△ABC,△AIH,△DBE,△GFC为等边三角形，∴CG=b2=4,AH=b4=3，∴AC=AH+b3+CG=4+1.5+3=8.5，则AB=AC=BC=8.5，∵b1=2，b2=4，∴EF=2，CF=4，∴b6=BE=BC-EF-CF=8.5-2-4=2.5，∴b5=DI=AB-AI-BD=8.5-3-2.5=3，∴b5+b6=2.5+3=5.5，故答案为：3，5.5．3，5．5②如图，构造等边△GHI∴GI=b3+b4+4，b6=b3+b4-2，b5=6-b4，∵l=20，∴2+4+b3+b4+6-b4+b3+b4-2=20，∴2b3+b4=10，如图：等边三角形边长为a，高为h，h=a sin60°=32a，∴等边三角形面积=12ah=12a⋅32a=34a2∴S=34b3+b4+42-34b3+b4-22-34b4-3442∴S=34-b42+6b42+56=-34b-32+6534，∴当S最大时，b4=3．【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°，根据题意构造等边三角形，根据等边三角形的性质求解．12(2022秋·浙江杭州·九年级校考期中)如图，有一个铝合金窗框，所使用的铝合金材料长度为24m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．(1)求S关于x的函数表达式；(2)若AB的长不能低于2m，且AB<BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．【答案】(1)S=-32x2+12x(2)窗户总面积S的最大值24m2，最小值是18m2【分析】(1)根据题意和图形可以求得S与x的函数表达式；(2)根据题意可以得到关于x的不等式，从而求出x的范围，然后根据(1)中的函数解析式和二次函数的性质即可解答．【详解】(1)解：根据题意，得S=x⋅24-3x2=-32x2+12x．即S与x的函数表达式是S=-32x2+12x．(2)解：根据题意，得2≤x<24-3x2．解得：2≤x<4.8．S=-32x2+12x=-32x-42+24，∵-32<0，∴S有最大值，∵2≤x<4.8，抛物线的对称轴为直线x=4．∴当x=4时，S有最大值，此时S=24，当x=2时，S有最小值，此时S=-322-42+24=18，答：窗户总面积S的最大值24m2，最小值是18m2．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．13(2023·浙江宁波·统考一模)有一块形状如图1的四边形余料ABCD，AB=6，AD=2，∠A=90°，∠D=135°，tan∠B=2，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在AB上．(1)如图2，若所截矩形材料的另一条边AE 在AD 上，设AE =x ，矩形AEFG 的面积为y ，①求y 关于x 的函数表达式．②求矩形面积y 的最大值．(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．【答案】(1)①y =-x 22+6x ；②当x =2时，y 取到最大值10(2)能截出面积更大的矩形材料，这些矩形材料的最大面积为323【分析】(1)①由锐角三角函数可求GB 的长，由矩形的面积公式可求解；②由二次函数的性质可求解；(2)用NH 分别表示BH ，AF 的长，由面积公式和二次函数的性质可求解．【详解】(1)解：①如图2，∵四边形AEFG 是矩形，∴AE =FG ，∠A =∠FGB =90°，∵tan ∠B =FG GB =2，∴GB =12x ，∴AG =AB -GB =6-12x ，∴S =AE ⋅AG =x 6-12x =-12x 2+6x ；②∵点E 在线段AE 上，∴0<x ≤2，∵y =-12x 2+6x =-12(x -6)2+18，∴当x =2时，y 的最大值为10；(2)能，如图1，当点E 在线段CD 上时，过点D 作DM ⊥EF 于M ，∵四边形EFHN 是矩形，∴EF =NH ，EN =FH ，∵tan ∠B =NH HB =2，∴HB =12NH ，∵∠A =90°=∠AFE ，DM ⊥EF ，∴四边形ADMF 是矩形，∴DM =AF ，AD =MF =2，∵∠ADC =135°，∴∠EDM =45°，∴DM =EM =NH -2，∴AF =NH -2，∴FH =AB -AF -BH =8-32NH ，∴S =FH ⋅NH =NH 8-32NH =-32NH -83 2+323，∴当NH =83时，S 有最大值为323，∵323>10，∴能截出比(1)中更大面积的矩形材料，这些矩形材料面积的最大值为323．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，锐角三角函数，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．14(2023·浙江嘉兴·统考一模)“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P (a ，b )，Q (c ，d )是平面直角坐标系内的两点，我们将a -c +b -d 称作P ，Q 间的“L 型距离”，记作L (P ，Q )，即L P ,Q =a -c +b -d ．已知二次函数y 1的图像经过平面直角坐标系内的A ，B ，C 三点，其中A ，B 两点的坐标为A (-1，0)，B (0，3)，点C 在直线x =2上运动，且满足L B ,C ≤BC ．(1)求L (A ，B )；(2)求抛物线y 1的表达式；(3)已知y 2=2tx +1是该坐标系内的一个一次函数．①若D ，E 是y 2=2tx +1图像上的两个动点，且DE =5，求△CDE 面积的最大值；②当t ≤x ≤t +3时，若函数y =y 1+y 2的最大值与最小值之和为8，求实数t 的值．【答案】(1)4；(2)y 1=-x 2+2x +3；(3)①△CDE 面积最大值为52；②t =-1±2．【分析】(1)根据题干中对于“L 型距离”的定义，即可求解；(2)根据二次函数y 1经过点A 、B 、C 三点，所以只要求出C 点坐标即可：根据点C 在直线x =2上运动，所以可设点C 2,m ，根据L B ,C ≤BC 列方程求解出m 的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线y 1的表达式；(3)①根据△CDE 的一边DE 长度固定等于5，所以只要求出顶点C 到DE 的最大距离即可：由DE 所在的直线y 2=2tx +1过固定点N 0,1 ,故直线y 2的图像是绕点N 0,1 旋转的直线，当CN ⊥直线y 2时，点C 到DE 的距离最大，此时就是△CDE 的最大面积，根据三角形面积公式求解即可；②根据y =y 1+y 2，可得函数y 的解析式：y =-x 2+2t +1 x +4，可知函数y 的图像是一个开口向下，对称轴是x =t +1的抛物线，由此可知函数y 在对称轴上取得最大值，根据t ≤x ≤t +3可知当x =t +3时y 有最小值，最后根据函数y 的最大值与最小值之和是8，从而列出方程即可求出t 的值．【详解】(1)解：由题意得：∵A -1，0 ，B 0，3 ，∴L A ,B =-1-0 +0-3 =1+3=4；(2)∵点C 在直线x =2上运动，∴设点C 2,m ，且B 0,3由平面上两点间距离，利用勾股定理得：∴BC 2=2-0 2+3-m 2=4+3-m 2∵L B ,C =0-2 +3-m =2+3-m∴L 2B ,C =2+3-m 2=22+43-m +3-m 2∵0≤L B ,C ≤BC∴L 2B ,C ≤BC 2即22+43-m +3-m 2≤4+3-m 2∴43-m ≤0，又∵3-m ≥0∴3-m =0∴m =3∴C 2,3∵二次函数y 1的图像经过A -1,0 ，B 0,3 ，C 2,3 ，∴设y 1=a 1x 2+b 1x +c 1∴代入解析式得：a 1-b 1+c 1=0c 1=34a 1+2b 1+c 1=3解方程组得：a 1=-1b 1=2c 1=3∴抛物线y 1的表达式为y 1=-x 2+2x +3；(3)①∵y 2=2tx +1令x =0时，y 2=1∴直线y 2恒过定点N 0,1∴直线y 2的图像是绕点N 0,1 旋转的直线，∴当CN ⊥直线y 2时，点C 到DE 的距离最大，△CDE 面积也最大，过点C 作CM ⊥DE 交直线y 2于点M由点到直线的距离，垂线段最短知：CM≤CN∴S△CDE=12DE×CM≤12DE×CN=52CN∵C2,3，N0,1∴CN=2-02+3-12=4+4=22∴5 2CN=52×22=52∴△CDE面积的最大值为52②∵y=y1+y2=-x2+2x+3+2tx+1=-x2+2t+1x+4二次函数y的对称轴为x=-2t+12×-1=t+1∵a=-1<0∴二次函数y的图像开口向下，当x=t+1时，函数值y取得最大值y=-t+12+2t+1t+1+ 4又∵t+3-t+1>t+1-t∴当x=t+3时，函数值y取得最小值y=-t+32+2t+1t+3+4∵函数y=y1+y2的最大值与最小值之和为8∴-t+12+2t+12+4-t+32+2t+1t+3+4=8整理得：t2+2t-1=0解得：t=-1±2∴实数t的值为-1±2．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了对于题干中“L型距离”的理解能力、以及根据“L型距离”以及用待定系数法求抛物线的表达式、根据垂线段最短求三角形最大面积、根据二次函数图像的性质求函数最值等，对知识的综合性很强．根据题意灵活运用所学知识以及扎实的计算基础是解此题的关键．题型三：最大利润问题一、解答题15(2023秋·浙江温州·九年级期末)某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现，销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具的售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元，(x为整数)月销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？(3)如果商店想要每月获得的利润不低于2520元，那么每月用于购进这种玩具的成本需要多少元？(4)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】(1)y=-10x2+130x+2300，x的取值范围为0≤x≤10(x为整数)(2)32元(3)每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元(4)每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元【分析】(1)每件玩具的销售单价上涨x元时，单件利润为30-20+x件，根元，销量为230-10x据总利润等于单件利润乘以销量列式即可；(2)令y=2520，解一元二次方程，根据实际情况对求出的解进行取舍即可；(3)结合(2)中结论可知，当销售单价上涨2、3、4、5、6、7、8、9、10元时，每月获得的利润不低于2520元；(4)将y=-10x2+130x+2300化为顶点式，结合x的取值范围即可求出y的最大值．【详解】(1)解：依题意得：y=30-20+x=-10x2+130x+2300，230-10x∵每件首饰售价不能高于40元，∴x+30≤40，∴0≤x≤10(x为整数)．因此y与x的函数关系式为y=-10x2+130x+2300，x的取值范围为0≤x≤10，且x为整数；(2)解：当y=2520时，-10x2+130x+2300=2520，整理得x2-13x+22=0，解得x1=2，x2=11，∵0≤x≤10，∴x=2，当x=2时，30+2=32．即每件首饰的售价定为32元时月销售利润恰好为2520元；(3)解：如图，由题可知：当每件玩具的销售单价上涨了2、3、4、5、6、7、8、9、10元，每月获得的利润不低于2520元，对应的销售量为210、200、190、180、170、160、150、140、130，每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元．(4)解：∵y=-10x2+130x+2300，∴y=-10x-6.52+2722.5．∵a=-10<0，0≤x≤10，且x取正整数，∴当x =6或7时，y 取最大值，y 最大值=-10×7-6.5 2+2722.5=2720，∴每件玩具的售价定为：30+6=36(元)或30+7=37(元)．即每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据“总利润=单件利润×销量”列出y 与x 的函数关系式．16(2023秋·浙江温州·九年级期末)某服装厂生产A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x 为10的正整数倍．(1)当100≤x ≤300时，y 与x 的函数关系式为．(2)某零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200件，需要支付多少元？(3)零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 100≤x ≤400 件，服装厂的利润为w 元，问：x 为何值时，w 最大？最大值是多少？【答案】(1)y =-110x +110(2)18000元(3)x 为190或200时，w 最大，最大值是3800元【分析】(1)设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，根据图象利用待定系数法求解析式即可；(2)根据(1)求出此时的批发单价，再乘以批发数量即可；(3)分类讨论①当100≤x ≤300时和②当300<x ≤400时，结合利润=销售量×(售价-成本)列出w 与x 的函数关系即可得出答案．【详解】(1)当100≤x ≤300时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，根据题意得出：100k +b =100300k +b =80 ，解得：k =-110b =110 ，∴y 与x 的函数关系式为：y =-110x +110，故答案为：y =-110x +110；(2)当x =200时，y =-20+110=90，∴90×200=18000(元)，答：某零售商一次性批发A 品牌服装200件，需要支付18000元；(3)分两种情况：①当100≤x ≤300时，w =-110x +110-71 x =-110x 2+39x =-110x -195 2+3802.5，∵批发件数x为10的正整数倍，∴当x=190或200时，w有最大值是：-110200-1952+3802.5=3800；②当300<x≤400时，w=80-71x=9x，当x=400时，w有最大值是：9×400=3600，∴一次性批发A品牌服装x(100≤x≤400)件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求解析式以及理解题意利润=销售量×(售价-成本)列出w与x的函数关系式是解答本题的关键．17(2023秋·浙江温州·九年级期末)某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．(1)当x=10时，求销售该水果的总利润；(2)设每天销售该水果的总利润为w元．①求w与x之间的函数解析式：②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．【答案】(1)8000元(2)①w=-4x2+120x+7200 ②不能达到，最大值是8100元【分析】(1)利用每箱利润=60-每箱降低的价格及平均每天的销售量=120+20×每箱降低的价格5，即可求出结论；(2)①设每箱应降价x元，则每箱利润为60-x元，平均每天可售出4x+120箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润=每箱的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的函数解析式，②利用二次函数的性质即可得出结论．【详解】(1)解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为60-10=50(元)，平均每天可售出120+20×105=160(箱)总利润为：50×160=8000(元)．(2)①设每箱应降价x元，则每箱利润为60-x元，平均每天可售出120+20×x5=4x+120箱，依题意得：w与x之间的函数解析式为w=60-x120+x5×20=-4x2+120x+7200；②w不能达到8200元；w=-4x2+120x+7200=-4x-152+8100.∵-4<0，∴当x=15时，w取到最大值，w最大值=8100<8200，∴w不能达到8200元，w的最大值是8100元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用的应用，找准等量关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键．18(2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中)在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研，某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1。
二次函数的平移与对称性二次函数是一个非常重要的数学概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在本篇文章中，我们将探讨二次函数的平移与对称性。
1. 平移的概念平移是指改变函数图像的位置而不改变其形状。
对于二次函数来说，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1.1 水平平移水平平移是指在横轴方向上移动函数图像的位置。
当二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c时，水平平移的公式为f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c，其中h为平移的距离。
1.2 垂直平移垂直平移是指在纵轴方向上移动函数图像的位置。
当二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c时，垂直平移的公式为f(x) = ax^2 + bx + c + k，其中k为平移的距离。
2. 平移的影响平移会改变二次函数图像的位置，进而对函数的性质和方程产生影响。
2.1 平移对顶点的影响顶点是二次函数图像的最低点（极小值）或最高点（极大值）。
当进行平移时，顶点的坐标会发生改变。
对于水平平移，顶点的横坐标会加上平移的距离；而对于垂直平移，顶点的纵坐标会加上平移的距离。
2.2 平移对对称轴的影响对称轴是二次函数图像的对称线，对称轴的方程是x = -b/(2a)。
当进行平移时，对称轴的位置会发生改变。
对于水平平移，对称轴的方程中的b会减去平移的距离；而对于垂直平移，对称轴的方程不会受到平移的影响。
2.3 平移对图像形状的影响平移不会改变二次函数图像的形状，只会改变其位置。
二次函数的形状由参数a的正负确定，正数的a使得图像开口向上，负数的a使得图像开口向下。
平移只会改变图像在坐标系中的位置，不会改变其形状。
3. 对称性的概念对称性是指图像在某种变换下仍旧保持原样。
对于二次函数来说，有两种类型的对称性：轴对称和中心对称。
3.1 轴对称轴对称是指图像相对于某一条直线对称。
对于二次函数来说，其图像关于对称轴对称。
对称轴的方程是x = -b/(2a)，这条直线将图像分为左右两部分，两部分关于该直线对称。
二次函数的最值与拐点二次函数是数学中的重要概念之一，在各个领域中都有广泛的应用。
了解二次函数的最值与拐点对于解决实际问题和理解函数图像都是非常有帮助的。
本文将介绍二次函数的最值与拐点的概念、求解方法以及其应用。
一、二次函数的最值二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，最值可以通过以下两种方法求解：1. 利用顶点坐标求解最值：二次函数的顶点坐标可以通过求导得到。
对二次函数f(x)求导后，令导数等于零，得到顶点的横坐标x0。
将x0代入原函数f(x)中，得到顶点的纵坐标y0。
因此，此二次函数的最值为顶点的纵坐标y0。
2. 利用对称性求解最值：由于二次函数是一个抛物线，它的图像具有轴对称性。
即，二次函数的最值一定出现在抛物线的对称轴上。
对称轴的横坐标可以通过 x = -b/(2a) 来求解，将此横坐标代入原函数f(x)，即可得到最值。
二、二次函数的拐点拐点是指函数图像在某一点上由凸向上变为凹向上，或者由凹向上变为凸向上的点。
对于二次函数来说，拐点的存在与二次项系数a有关。
若a > 0，二次函数图像开口朝上，则拐点为最小值点；若a < 0，二次函数图像开口朝下，则拐点为最大值点。
拐点的求解可以通过以下方法进行：1. 利用导数求解拐点：对二次函数f(x)求导后，再次求导。
当二次导数等于零时，其对应的横坐标即为拐点的位置。
将此横坐标代入原函数f(x)中，即可得到拐点的纵坐标。
2. 利用二次项系数a的正负求解拐点：通过判断二次项系数a的正负，即可确定拐点的位置。
当a > 0时，拐点为最小值点；当a < 0时，拐点为最大值点。
将对应的横坐标代入原函数f(x)中，即可得到拐点的纵坐标。
三、二次函数最值与拐点的应用1. 最优化问题：二次函数的最值可以用来解决一些最优化问题，例如在有限制条件的情况下，求解某一物体的最大或最小值。
利用二次函数的对称性求最小值1．如图,抛物线217322y x x =++与直线1122y x =--交于,A B 两点,点C 为y 轴上点,当ABC 周长最短时;周长的值为（ ）A 7353B 7335C 4335D 4353【答案】B【解析】【分析】 联立方程先求出抛物线和直线的交点坐标，然后已知在ABC 中的边AB 的长已经确定，只需要求出AC BC +的最小值即可，可以做B 点关于y 轴的对称点B ',连接AB '交y 轴于点C ，此时AB '就为AC BC +的最小值，所以ABC 周长最短为+AB AB '的长，求出即可.【详解】解：根据题意联立方程得：2173221122y x x y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得出71x x =-=-、，把横坐标分别代入表达式得出交点坐标， 即：(7,3)A -,(1,0)B -,已知在ABC 中的边AB 的长已经确定，做B 点关于y 轴的对称点B ',连接AB '交y 轴于点C,如图所示， 此时AB '就为AC BC +的最小值,2296473AB AD DB ''=+=+=2293635AB AD DB =+=+=ABC ∴周长最小为：7335+;故选B.【点睛】本题考查的是两个函数图像的交点问题，以及求线段的最小值问题，需要根据题意去解读信息，借助于勾股定理去求最终结果.2．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F （0,2）的距离与到x 轴的距离相等，点M 的坐标为（3,6），P 是抛物线2114y x =+上一动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．5B ．9C ．11D ．13【答案】C【解析】【分析】 过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线2114y x =+于点P ，由PF=PE 结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF 周长最小，再由点F 、M 的坐标即可得出MF 、ME 的长度，进而得出△PMF 周长的最小值.【详解】如图过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线2114y x =+于点P ，此时△PMF 周长最小 ∵F （0,2）M （3,6），∴ME=6，FM 22(30)(62)5=-+-= ∴△PMF 周长的最小值=ME+FM=6+5=11 故选C【点睛】 本题考查了二次函数的性质和最短路径问题，熟练掌握各个知识点是解题关键.，3．如图，抛物线y=x 2+bx-2与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C 点，且A （-1，0），点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，m 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 试题分析：∵点A （-1，0）在抛物线y=x 2+bx-2上，∴×（-1）2+b×（-1）-2=0，∴b=-，∴抛物线的解析式为y=x 2-x-2，∴顶点D 的坐标为（，-），作出点C 关于x 轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2连接C′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小．设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．∵ED ∥y 轴，∴∠OC′M=∠EDM ，∠C′OM=∠DEM∴△C′OM ∽△DEM ． ∴， 即，∴m=．故选B ．考点：1.轴对称-最短路线问题；2.二次函数的性质；3.相似三角形的判定与性质．4．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．（1）请求此抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点Q ，使得QBC ∆的周长最小，请求出点Q 的坐标； （3）在直线AC 的上方的抛物线上，是否存在一点P （不与点M 重合），使得ACP ∆的面积等于ACM ∆的面积，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点Q 的坐标为()1,2；（3）存在，点P 的坐标为：()2,3【解析】【分析】（1）根据抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -，可得抛物线的表达式为(1)(3)y a x x =+-，展开即可求解；（2）根据题意得抛物线的对称轴为：1312x -+==，由抛物线的对称性可知，点B 关于对称轴1x =的对称点是点A ，所以BQ=AQ ，要使QCB △的周长最小，只需AQ+CQ 最小即可，连接AC ，交对称轴点Q ，此时AQ+CQ 最小，即QCB △的周长最小，利用待定系数法求出直线AC 的解析式，然后令x=1即可求出C 点坐标；（3）过点M 作直线//m AC ，直线m 与抛物线交点即为点P ，根据点M 的坐标可求出m 直线的表达式，联立抛物线的解析式与直线m 的解析式即可求出点P 的坐标．【详解】解：（1）抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -， ∴抛物线的表达式为：(1)(3)y a x x =+-()223a x x =--=223ax ax a --， 故33a -=，解得：1a =-，故抛物线的表达式为：2y x 2x 3=-++ ；（2）由题意可知抛物线的对称轴为： 1312x -+==， 由抛物线的对称性可知，点B 关于对称轴1x =的对称点是点A ，∴BQ=AQ ，∵QCB △的周长=QC+BQ+BC ，∴QCB △的周长=QC+AQ+BC ，要使QCB △的周长最小，只需AQ+CQ 最小，连接AC ，交对称轴点Q ，此时QCB △的周长最小，当0x =时，3y =，()0,3C ∴，设直线AC 的解析式为y kx b =+，把()3,0A ，()0,3C 代入，则303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x =-+，当1x =时，2y =，∴点Q 的坐标为()1,2；（3）存在．过点M 作直线//m AC ，直线m 与抛物线交点即为点P ，点()1,4M ，则m 直线的表达式为：5y x =-+，∴2235y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩整理得2320x x -+-=解得：1x =（舍去）2x =；故点P 的坐标为：()2,3；【点睛】本题是二次函数的综合运用，考查了求二次函数的解析式和性质，求一次函数解析式，平行线的性质等知识．掌握平行线间的距离相等是解（3）题的关键．5．如图，抛物线经过A （﹣1，0），B （5，0），C （0，52-）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为：215y x 2x 22=--． （2）P （2，52-）． （3）存在点N 的坐标为（4，52-），（214-，52）或（214+，52） 【解析】【分析】 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0），再把A （﹣1，0），B （5，0），C （0，）三点代入求出a 、b 、c 的值即可；（2）因为点A 关于对称轴对称的点B 的坐标为（5，0），连接BC 交对称轴直线于点P ，求出P 点坐标即可；（3）分点N 在x 轴下方或上方两种情况进行讨论．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0），∵A （﹣1，0），B （5，0），C （0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣）∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣）∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图2，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA）∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为N1（4，﹣），N2（2+，）或N3（2﹣，）．考点：二次函数综合题．6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣12时，△APC的面积取最大值，最大值为278，此时点P的坐标为（﹣12，154）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为102【解析】【分析】（1）根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），进而可得出PF 的值，由点C 的坐标可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出S △APC ＝﹣32x 2﹣32x +3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C ，N 的坐标可得出点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，则此时△ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论．【详解】（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0），将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：023m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：11m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∵点C 的坐标为（﹣2，3），∴点Q 的坐标为（﹣2，0），∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S △APC ＝12AQ •PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +12）2+278．∵﹣32＜0， ∴当x ＝﹣12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为（﹣12，154）． （3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3， ∴点N 的坐标为（0，3）． ∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1． ∵点C 的坐标为（﹣2，3），∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称．令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，如图2所示． ∵点C ，N 关于抛物线的对称轴对称， ∴MN ＝CM ，∴AM +MN ＝AM +MC ＝AC ， ∴此时△ANM 周长取最小值． 当x ＝﹣1时，y ＝﹣x +1＝2， ∴此时点M 的坐标为（﹣1，2）．∵点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（﹣2，3），点N 的坐标为（0，3）， ∴AC ＝2233+ ＝32，AN ＝2231+ ＝10， ∴C △ANM ＝AM +MN +AN ＝AC +AN ＝32+10．∴在对称轴上存在一点M （﹣1，2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为32+10．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S △APC ＝﹣32x 2﹣32x +3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置． 7．如图，抛物线y=12x 2+mx+4m 与x 轴交于点A(1x ，0）和点B(2x ，0)，与y 轴交于点C ，22121220x x x x +=且、满足，若对称轴在y 轴的右侧． （1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴上取一点M ，使|MC-MB|的值最大；（3）点Q 是抛物线上任意一点，过点Q 作PQ ⊥x 轴交直线BC 于点P ，连接CQ ，当△CPQ 是等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）y=212x -x-4；（2）M(1，-6)；（3）P 1 (42222--，，P 2(2，-2)，P 3(42222+，． 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系即可求出m ，结合对称轴在y 轴右侧可得结果；（2）根据点A 和点B 关于对称轴对称，过点AC 作直线交对称轴于点M ，求出A ，B ，C 的坐标，求出AC 的表达式，得到点M 的坐标即可；（3）分PC=PQ ，QC=QP ，CP=CQ 分别讨论，求出相应x 值即可. 【详解】解：（1）∵y=12x 2+mx+4m 与x 轴交于1(x ，0)和点B(2x ，0)， ∴12 x x 、是方程12x 2+mx+4m=0的两个根，122x x m ∴+=-，128x x m ∴=，221220x x +=∴(-2m)2-16m=20， 解得m 1=5，m 2=-1， ∵对称轴在y 轴的右侧， ∴m=-1，∴y=212x -x-4； （2）y=212x -x-4中，当x=0时，y=-4，当y=0时1x =-2，2x =4， ∴A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-4)， 过点AC 作直线交对称轴于点M ， 设直线AC 的解析式为y=kx+b ， 将(-2，0)，(0，-4)代入， 则024k bb=-+⎧⎨-=⎩，解得24k b =-⎧⎨=-⎩，得y=-2x-4，当x=1时，y=-6， ∴M(1，-6)；（3）直线BC 的解析式为y=k 1x+b 1， 将(4，0)，(0，-4)代入，则111044k b b =+⎧⎨-=⎩，解得1114k b =⎧⎨=-⎩，得y=x-4，∴∠OCB=∠OBC=45°，设P 的横坐标为x ，作PH ⊥y 轴于H ， 则PC=2x，∴PQ=|(x-4)-212x （-x-4）|（图一） （图二）如图一图二，当CQ=CP 时，(x-4)+212x （-x-4）=-8， x=0，不合题意，所以不存在；（图三） （图四） （图五）如图三，当PC=PQ 2x =(x-4)-212x （-x-4）， 解得x=42- ∴P(42222--，如图四，当CQ=PQ 时，x=(x-4)-212x （-x-4）， 解得x=2， ∴P(2，-2)；如图五，当PC=PQ 时 ，212x （-x-4）2x ， 解得：x=422+， ∴P(42222+，；综上：P 1(42222--，，P 2(2，-2)，P 3(42222+，【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图像和性质，最值问题，等腰三角形的性质，解题的关键是学会分类讨论，利用等腰三角形的性质解题.8．已知y 是x 的二次函数，该函数的图象经过点A(0，5)、B(1，2)、C(3，2)． （1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标； （2）结合图象，回答下列问题： ①当1≤x≤4时，y 的取值范围是 ；②当m≤x≤m+3时，求y 的最大值（用含m 的代数式表示）；③是否存在实数m 、n （m≠n ），使得当m≤x≤n 时，m≤y≤n ？若存在，请求出m 、n ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝x 2﹣4x+5，见解析；（2）①1≤y≤5，②当x ＝m+3时，y 有最大值为y＝m 2﹣+2m+2；当x ＝m 时，y 有最大值为y ＝m 2﹣4m+5，③存在，mn＝【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出解析式，用描点法画出函数图象；（2）①根据函数图象找出横坐标由1到4的点的纵坐标的最大值与最小值，便可写出y 的取值范围； ②先求出对称轴x ＝﹣2b a ，分两种情况：﹣2b a ﹣m ≥m +3﹣（﹣2b a ）或﹣2ba﹣m ＜m +3﹣（﹣2ba），根据二次函数的性质求y 的最大值便可； ③利用已知可得图象过（a ，a ）点，进而得出a 的值，即可得出m ，n 的值． 【详解】（1）设二次函数的解析式为：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），则52932c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩， 解得，145a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为：y ＝x 2﹣4x +5， 列表如下：描点、连线，（2）①由函数图象可知，当2,1x y ==最小时，当4,5x y ==最大时 ∴当1≤x ≤4时，1≤y ≤5， 故答案为：1≤y ≤5；②∵二次函数的解析式为：y ＝x 2﹣4x +5， ∴对称轴为x ＝2， 当2﹣m ≤m +3﹣2，即m ≥12时，则在m ≤x ≤m +3内，当x ＝m +3时，y 有最大值为y ＝x 2﹣4x +5＝（m +3）2﹣4（m +3）+5＝m 2﹣+2m +2； 当2﹣m ＞m +3﹣2，即m ＜12时，则在m ≤x ≤m +3内，当x ＝m 时，y 有最大值为y ＝x 2﹣4x +5＝m 2﹣4m +5；③由已知可得图象过（a ，a ）点， ∴a ＝a 2﹣4a +5， 解得，a 55± ∵当m ≤x ≤n 时，m ≤y ≤n ， ∴可以取m 55-n ＝552+．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数图象，由函数图象解决问题，后两问难度较大，关键是分情况讨论和根据特征点解题． 9．如图，抛物线经过()1,0A -，()3,0B ，30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA PC +的值最小，求点P 的坐标； （3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）21322y x x =-++；（2）()1,1P ；（3）存在，点N 的坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，317,2⎛⎫+- ⎪⎝⎭，317,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，然后根据待定系数法进行求解；（2）根据点A 关于对称轴对称的点B 的坐标为(3,0)，连接BC 交对称轴直线于点P ，求出P 点坐标即可；（3）分点N 在x 轴下方或上方两种情况进行讨论． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，∵()1,0A -，()3,0B ，30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭三点在抛物线上， ∴093032a b c a b c c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪=⎩， 解得，12132a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：21322y x x =-++； （2）∵抛物线的解析式为21322y x x =-++，∴其对称轴为直线：12bx a=-=， 如图1所示，连接BC ，设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠， ∵()3,0B ，30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴3032k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得，1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+， 当1x =时，13122y =-+=， ∴()1,1P ；（3）存在，如图2所示， ①当点N 在x 轴上方时，∵抛物线的对称轴为直线1x =，30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴132,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当点N 在x 轴下方时，过点2N 作2N D x ⊥轴于点D ， ∴22AN D M CO ≅△△，∴232N D OC ==，即2N 点的纵坐标为32-， ∴2133222x x -++=-，解得，1x =+1x =-∴2312N ⎛⎫+-⎪⎝⎭，3312N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上所述，点N 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，317,2⎛⎫+-⎪⎝⎭，317,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了利用待定系数法求解函数的解析式，二次函数的对称轴，平行四边形的性质，全等三角形的性质，第（3）小题要注意进行分类讨论．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(10)A -，，(30)B ，两点，与y 轴交于点C ．（1）直接写出抛物线的解析式为：；（2）点D 为第一象限内抛物线上的一动点，作DE x ⊥轴于点E ，交BC 于点F ，过点F 作BC 的垂线与抛物线的对称轴和y 轴分别交于点G ，H ，设点D 的横坐标为m ． ①求DF HF +的最大值；②连接EG ，若45GEH ∠=，求m 的值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）①1124+；②1m =，95【解析】 【分析】（1）将点(10)A -，，(30)B ，代入抛物线2y x bx c =-++，求出b 、c 的值，继而求出抛物线解析式；（2）①先求出点C 的坐标，由待定系数法求出直线BC 的解析式，作FK y ⊥轴于点K ，可得： FH ==，由线段的和差可得：DF HF DE EF +=-+，代入数据得到二次函数，由二次函数的性质可知当m =，DF HF +有最大值； ②作GM y ⊥轴于点M ，记直线FH 与x 轴交于点N ，易知45EFH ENF ∠=∠=，由等角对等边可知：EN ＝EF ，OH ＝ON ，由抛物线的性质可得MG ＝1，继而可得HG，根据相似三角形的判定及其性质可得~EHG FHE ∆∆，HE HF HG HE=，代入数据可得22HE HG HF m =⋅=，在Rt OEH ∆中，由勾股定理可得22225129HE OE OH m m =+=-+，可得一元二次方程，继而解方程求解．【详解】（1）将点(10)A -，，(30)B ，代入抛物线2y x bx c =-++得： 01093b c b c=--+⎧⎨=-++⎩ 解得：23b c故抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）①当0x =时，2y x 2x 3=-++∴点(0,3)C ，又点(3,0)B ，BC ∴的解析式为：3y x =-+，3OC OB ==，45OBC OCB ∴∠=∠=，作FK y ⊥轴于点K ，又FH BC ⊥，45KFH KHF ∴∠=∠=，FH ∴==，2(23)(3)DF HF DE EF m m m ∴+=-+=-++--++，化简得：2(3DF HF m m +=-+，由题意有03m <<，且3232032(1)2++<-=<⨯-，10-<， ∴当322m +=时，DF HF +取最大值， DF HF +的最大值为232321162()(32)+++-++⨯= ②作GM y ⊥轴于点M ，记直线FH 与x 轴交于点N ，FK y ⊥轴，DE x ⊥轴，45KFH ∠=，45EFH ENF ∴∠=∠=，EF EN ∴=，45KHF ONH ∠=∠=，OH ON ∴=，2y x 2x 3=-++的对称轴为1x =，1MG =∴，22HG MG ==，45GEH ∠=GEH EFH ∴∠=∠，又∠EHF ＝∠GHE ，~EHG FHE ∴∆∆，HE HF HG HE∴=， 2222HE HG HF m m ∴=⋅=⋅=在Rt OEH ∆中，(3)23OH ON OE EN OE EF m m m ==-=-=--+=-，OE m =222222(23)5129HE OE OH m m m m ∴=+=+-=-+251292m m m ∴-+=，解得：1m =或95【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合题，还涉及到相似三角形的判定及其性质，等角对等边的性质和等边对等角的性质，考查学生的数形结合能力，解题的关键是熟练掌握一次函数与二次函数的性质．11．如图，直线112y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若P 是抛物线上一点，且P 点坐标为3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，点Q 为抛物线对称轴上一点，求QP QA +的最小值；（3）点N 为直线AB 上的动点，点M 为抛物线上的动点，当以点O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．【答案】（1）2312y x x =-++；（2）QP ＋QA 5（3）满足条件的点M 的坐标为112,(12)2⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭或112,(12)2⎛⎫--- ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】（1）先通过直线112y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 计算出A 、B 点的坐标，再代入2y x bx c =-++计算即可；（2）根据对称性知A 点关于抛物线对称轴的对称点是1,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，连接PC ，则QP ＋QA 的最小值就是PC ，从而计算即可；（3）根据平行四边形的性质分为以OB 为边和对角线两种情况分类讨论计算．【详解】（1）∵直线112y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ∴A （2，0），B （0，1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点∴4201b cc-++=⎧⎨=⎩∴321 bc⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为2312y x x=-++（2）如解图①，由（1）知，抛物线解析式为2312y x x=-++∴抛物线的对称轴为直线34x=，抛物线与x轴的另一交点为1,02C⎛⎫-⎪⎝⎭∵点A与点C关于对称轴对称∴QP＋QA的最小值就是5PC=（3）①OB为平行四边形的边时，MN＝OB，MN∥OB∵点N在直线AB上∴设1,12N m m⎛⎫-+⎪⎝⎭∴23,12M m m m⎛⎫-++⎪⎝⎭∴2231112122MN m m m m m⎛⎫=-++--+=-+=⎪⎝⎭Ⅰ．－m 2＋2m ＝1解得，m ＝1 ∴31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭Ⅱ．－m 2＋2m ＝－1 解得，12m∴11(12M ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭或11(12⎛⎫--- ⎪⎝⎭②当OB 为对角线时，OB 与MN 互相平分，交点为H ，∴OH ＝BH ，MH ＝NH ，∵B （0，1），O （0，0），∴10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设1,12N n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，23,12M d d d ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， ∴202131112222n d n d d +⎧=⎪⎪⎨-+-++⎪=⎪⎩，∴1(1d n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或1(1d n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴11(12M ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭或11(12M ⎛⎫--- ⎪⎝⎭； 即：满足条件的点M的坐标为11(12⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭或11(12⎛⎫--- ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数与线段之和最短、平行四边形相结合，难度较大．数形结合的思维是解题关键．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点D （﹣2，﹣3）和点E （3，2），点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点F （0，1），连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN ＝2Q 从点P 出发，沿P →M →N →A 的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．【答案】（1）y ＝x ﹣1，y ＝12-x 2+32x +2；（2）P （2，3）或（32，258）；（3）N （12，12-）． 【解析】【分析】（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式，即可求解；（2）S 四边形OBPF ＝S △OBF +S △PFB ＝12×4×1+12×PH ×BO ，即可求解； （3）过点M 作A ′M ∥AN ，过作点A ′直线DE 的对称点A ″，连接PA ″交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，即可求解．【详解】（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得：34229322a b a b -=-+⎧⎨++=⎩，解得： 1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故抛物线的表达式为：y ＝12-x 2+32x +2， 同理可得直线DE 的表达式为：y ＝x ﹣1…①；（2）如图1，连接BF ，过点P 作PH ∥y 轴交BF 于点H ，将点FB 代入一次函数表达式，同理可得直线BF 的表达式为：y ＝14x -+1， 设点P （x ，213222x x -++），则点H （x ，14x -+1）， S 四边形OBPF ＝S △OBF +S △PFB ＝12×4×1+12×PH ×BO ＝2+2（213121224x x x -+++-）＝7，解得：x ＝2或32， 故点P （2，3）或（32，258）； （3）当点P 在抛物线对称轴的右侧时，点P （2，3），过点M 作A ′M ∥AN ，过作点A ′直线DE 的对称点A ″，连接PA ″交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，∵MN ＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A ′（1，2），A ′A ″⊥DE ，则直线A ′A ″过点A ′，则其表达式为：y ＝﹣x +3…②，联立①②得x ＝2，则A ′A ″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A ″（3，0），同理可得：直线AP ″的表达式为：y ＝﹣3x +9…③，联立①③并解得：x ＝52，即点M （52，32），点M沿BD向下平移22个单位得：N（12，12-）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、面积的计算等，其中（3），通过平移和点的对称性，确定点Q运动的最短路径，是本题解题的关键．13．如图，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x轴于点E，交线段AC于点D．①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）①点P坐标为（﹣2，6），点M、N的坐标分别为（3172--，2）、（3172-+，2）；②△CPD的面积为92或4．【解析】【分析】（1）将点A的坐标分别代入直线和抛物线表达式，即可求解；（2）①四边形DEOF为矩形，故：EF＝OD，当OD垂直于AC时，OD最小，点D 为AC的中点，其坐标为（﹣2，2），即可求解；②分△ADE∽△CDP、△ADE∽△PCD两种情况，求解即可．【详解】（1）将点A的坐标代入直线y＝x+c得：0＝﹣4+c，解得：c＝4，将点A 坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣16﹣4b+4，解得：b ＝﹣3，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x2﹣3x+4，故点A 、C 的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），将A 、C 点坐标代入一次函数表达式y ＝kx+b 得：044k b b =-+⎧⎨=⎩，解得14k b =⎧⎨=⎩， 则直线AC 的表达式为：y ＝x+4；（2）①∵四边形DEOF 为矩形，故：EF ＝OD ，当OD 垂直于AC 时，OD 最小（即EF 最小），∵OA ＝OC ，∴点D 为AC 的中点，其坐标为（﹣2，2），故点P 坐标为（﹣2，6），把点D 纵坐标代入二次函数表达式得：﹣x2﹣3x+4＝2，解得：x ＝32-±，故点M 、N 2）、，2）； ②当△ADE ∽△CDP 时，则∠CPD ＝90°，PC ＝PD ，则PC ∥x 轴，则点P 的纵坐标为4，则点P 坐标为（﹣3，4），点D 在直线AC ：y ＝x+4上，则点D 坐标为（﹣3，1），则PD ＝4﹣1＝3＝PC ，则S △CPD ＝12×PC•PD ＝92； 当△ADE ∽△PDC 时，同理可得：S △CPD ＝12×PD•CH ＝4，故：△CPD的面积为92或4．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到三角形相似、矩形基本性质等知识点，其中（2），利用矩形性质OD＝EF，确定EF最小值，是本题的难点．14．已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=23，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积．（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x23x；（2）333⎝⎭33；（3）存在，3，53)或(3﹣7 3 )【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得OC=OA，∠BOC=∠BAO=30°，过点C作CD⊥OA于D，求出OD、CD，然后写出点C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）求出直线OC的解析式，根据点M到OC的最大距离时，面积最大；平行于OC 的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式求出m的值，利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）分两种情况求出直线AP与y轴的交点坐标，然后求出直线AP的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标．【详解】解：（1）∵Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处，∴OC=OA=23，∠BOC=∠BAO=30°，∴∠AOC=30°+30°=60°， 过点C 作CD ⊥OA 于D ，则OD=12×33 3×3， 所以，顶点C 33），设过点O ，C ，A 抛物线的解析式为为y=ax 2+bx ，则223)33(23)30a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：13a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴抛物线的解析式为y=﹣x 23；（2）∵C 3，3），∴直线OC 的解析式为：3y x =，设点M 到OC 的最大距离时，平行于OC 的直线解析式为3y x m =+，联立233y x m y x x⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩， 消掉未知数y 并整理得，230x x m -+=，△=（32-4m=0，解得：m=34．∴230 4x+=，∴x=；∴点M到OC的最大距离=34×sin30°=313428⨯=；∵OC==∴13288MOCS∆=⨯⨯=；此时，M⎝⎭，最大面积为8；（3）∵∠OAP=∠BOC=∠BOA =30°，∴2=，∴直线AP与y轴的交点坐标为（0，2）或（0，﹣2），当直线AP经过点（0）、（0，2）时，解析式为2y=+，联立223y xy x⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得11xy⎧=⎪⎨=⎪⎩22353xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以点P53），当直线AP经过点（0）、（0，﹣2）时，解析式为2y x=-，联立223y xy x⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩解得110x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2273x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 所以点P的坐标为（-73-）． 综上所述，存在一点P5373），使∠OAP=∠BOA ． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了折叠的性质，待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点的方法，（2）判断出点M 到OC 的距离最大是，平行于OC 的直线与抛物线只有一个交点是解题的关键，（3）确定出直线AP 的解析式是解题的关键． 15．抛物线2y x bx c =-++ （b c ，为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x 与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点．（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点E ，点A 的坐标；（Ⅱ）①若顶点E 在直线y x =上时，用含有b 的代数式表示c ；②在①的前提下，当点A 的位置最高时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若11,0x b =->，当()1,0P 满足PA PE +值最小时，求b 的值．【答案】（Ⅰ）2y x 2x 3=-++；（Ⅱ）①21142c b b =-+；②214y x x =-++；（Ⅲ）3b =+【解析】【分析】（Ⅰ）当121,3x x =-=时，y=0，由二次函数的交点式即可求出解析式；（Ⅱ）①由题意得24(,)24b c b E +，代入直线y=x 中即可解答； ②表达出211(0,)42A b b -+，根据二次函数的性质可知，当b=1时，点A 在最高点，即可得到二次函数解析式；（Ⅲ）将（-1,0）代入得到c=b+1，表达出2(2)(,)24b b E +， A （0，b+1）,求出点E 关于x 轴的对称点2(2)(,)24b b E +'-，根据当()1,0P 满足PA PE +值最小时，则此时点P ，A ，E '三点共线，求出直线AP 的解析式，将点2(2)(,)24b b E +'-代入直线AP 的解析式即可求出b 的值．【详解】解：（Ⅰ）当121,3x x =-=时，y=0，∴(1)(3)y x x =-+-，∴2y x 2x 3=-++（Ⅱ）①∵点E 是抛物线2y x bx c =-++的顶点， ∴24(,)24b c b E +， ∵顶点E 在直线y x =上， ∴24=24b c b +， ∴21142c b b =-+， ②由①可知211(0,)42A b b -+， 21142c b b =-+，104-<， ∴当12112()4b =-=⨯-时，21142c b b =-+最大，即点A 是最高点， 此时14c =， ∴214y x x =-++； （Ⅲ）∵抛物线经过（-1,0）,∴-1-b+c=0，∴c=b+1，∵24(,)24b c b E +，A （0，c ） ∴2(2)(,)24b b E +， A （0，b+1）, ∴点E 关于x 轴对称的点2(2)(,)24b b E +'-， ∵当()1,0P 满足PA PE +值最小时，则此时点P ，A ，E '三点共线，设过点A ，P 的直线为y=kx+t ，将点A （0，b+1），P （1，0）代入得10t b k t =+⎧⎨+=⎩，解得：11t b k b =+⎧⎨=--⎩， ∴y=(-b-1)x+b+1， 将2(2)(,)24b b E +'-代入得：2(2)(1)124b b b b +--++=-， 整理得：2680b b --=，解得：3b =3b =∵b ＞0，∴3b =+【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求最短距离是解题的关键．16．已知：抛物线)222y kx k x k k =++++经过坐标原点． （1）求抛物线的解析式和顶点B 的坐标；（2）设点A 是抛物线与x 轴的另一个交点且A 、C 两点关于y 轴对称，试在y 轴上确定一点P ，使PA+PB 最短，并求出点P 的坐标；（3）过点A 作AD ∥BP 交y 轴于点D ，求到直线AP 、AD 、CP 距离相等的点的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式是y ＝﹣x 2，顶点B ，3）；（2）点P 的坐标是（0，2）；（3）到直线AP 、AD 、CP 距离相等的点的坐标是（0，0）和（2）．【解析】【分析】（1）根据抛物线经过原点求出k 的值，即可求出解析式，在求顶点坐标即可； （2）先找出P 的位置，再求直线BC 的解析式，再求点P 的坐标即可；（3）先求得y 轴是∠APC 的角平分线，x 轴是∠DAP 的角平分线，交点符合要求，∠DAP的外角∠EAP 的平分线和∠CPA 的外角∠FPA 的平分线的交点M 也符合要求.【详解】解：（1）∵抛物线2223(2)y kx k x k k =++++经过坐标原点，∴k 2+k ＝0，解得：k ＝0（舍去），k ＝﹣1，∴抛物线的解析式是y ＝﹣x 2+23x ， ∴y ＝﹣x 2+23x ，＝﹣（x ﹣3）2+3，∴顶点B 的坐标是（3，3），答：抛物线的解析式是y ＝﹣x 2+23x ，顶点B 的坐标是（3，3）；（2）当y ＝0时﹣x 2+23x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝23，∴A 的坐标是（23，0），A 关于y 轴的对称点C 的坐标是C （﹣23，0），设直线BC 的解析式是y ＝kx+b ，把B 33），C （﹣30）代入得：33k b 03k b⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得：32kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析式是y＝33x+2，当x＝0时，y＝2，∴点P的坐标是（0，2），答：点P的坐标是（0，2）．（3）∵A、C关于y轴对称，P在Y轴上，∴AP＝CP，∵∠CAP＝∠ACP，x轴⊥y轴，∴y轴是∠APC的角平分线，即y轴上任意一点到AP、CP的距离都相等，∵AD∥PC，∴∠DAC＝∠ACP，∴∠DAC＝∠CAP，∴x轴是∠DAP的角平分线，即x轴上任意一点到AP、AD的距离都相等，∴x轴与y轴的交点O到AP、AD、CP距离相等，∴点的坐标是（0，0），如图，∠DAP的外角∠EAP的平分线和∠CPA的外角∠FPA的平分线的交点M也符合要求，根据作图条件能得到矩形MAOP，即点M的坐标是（3，2），到直线AP、AD、CP距离相等的点的坐标是（0，0）和（32），答：到直线AP、AD、CP距离相等的点的坐标是（0，0）和（23，2）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握待定系数法求函数解析式，最值问题，角平分线的性质. 找出PA+PB有最小值的条件是解题的关键．17．已知，如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R.(1)求这个二次函数关系式.(2)当△EFR周长最大时.①求此时点E点坐标及△EFR周长.②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，求HQ的最大值.【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)①E(32，154)，周长为94+942；②HQ的最大值大为：365 16+9 16.【解析】【分析】(1)用交点式函数表达式，即可求解；(2)①证明△ERF为等腰直角三角形，当△EFR周长最大时，EF最长，EF＝﹣m2+3m，即可求解；②HQ＝12OP，利用OP≤OM+PM＝365988+，即可求解.【详解】(1)用交点式函数表达式得：y＝﹣(x+1)(x﹣3)＝﹣x2+2x+3；(2)①由（1）知C（0,3），∴OC=OB=3，∴∠OBC=45︒，。
二次函数做题技巧和方法以下是二次函数解题的一些技巧和方法：1. 确定二次函数的形式：二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b和c都是常数。
确定二次函数的形式有助于理解问题和选择合适的解题方法。
2. 了解二次函数的图像特征：二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
根据 a 的正负可以判断抛物线的方向。
3. 确定二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的横坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 来求得。
4. 分析二次函数的轴对称性：二次函数沿着顶点所在的直线具有轴对称性。
可以利用轴对称性简化计算。
5. 求解二次函数的零点：二次函数的零点是函数与 x 轴交点的横坐标。
可以通过因式分解、配方法、求根公式、配方法等来求解二次函数的零点。
6. 利用判别式分析二次函数的解的情况：二次函数的判别式为b^2 - 4ac，可以根据判别式的正负情况判断二次函数的解的情况（有两个不相等的实根、有两个相等的实根、无实根）。
7. 利用二次函数的性质进行证明：二次函数具有一些特殊的性质，例如对称性、最值问题等，可以利用这些性质进行证明或推导。
8. 利用二次函数的图像进行问题解答：二次函数的图像具有一些特殊的形状和性质，可以根据图像解答有关最值、范围、增减性等问题。
9. 注意二次函数的定义域和值域：定义域是使二次函数有意义的取值范围，值域是函数的所有可能取值。
在解题过程中要注意限制二次函数的定义域和值域。
10. 综合运用各种解题方法：在解题过程中可以综合运用因式分解、求根公式、配方法等多种方法，选择最适合的方法求解。
