二次函数的对称性的应用

二次函数图象对称性的应用说课稿各位老师，大家好！今天我说课的题目是二次函数图象对称性在解决相关问题中的应用，下面我将从以下几个方面进行阐述：首先，我对本节教材进行简要分析。

1. 说教材本节内容是北师大版九年级数学下册第二章第四节。

在此之前，学生已学习了二次函数的概念和二次函数的图象及其简单性质。

本节内容是对二次函数图象及其性质的相关知识的复习总结和综合运用，是后续研究二次函数图象的变换的基础。

2. 说目标【知识与技能】：(1)．复习巩固二次函数图象及其性质的相关知识：(2)．运用二次函数图象对称性解决相关问题。

【过程与方法】：(1)．通过对二次函数图象及其性质的相关知识的复习，掌握求解二次函数图象及其性质的题目的基本方法和思路，领悟数形结合的数学思想方法；(2)．综合运用所学知识、方法去解决数学问题，培养学生提出、分析、解决、归纳问题的数学能力，改善学生的数学思维品质；(3)．运用数学的思想方法去观察、研究和解决实际问题，体验数学建模的思想。

培养学生运用二次函数对称性及其它相关知识解决数学综合题和实际问题的能力。

【情感与态度目标】：在数学教学中渗透美的教育，让学生感受二次函数图象的对称之美，激发学生的学习兴趣。

运用二次函数解决实际问题，使学生进一步认识到数学源于生活，用于生活的辩证观点。

3.说教学重难点本节课中的教学重点是梳理所学过的二次函数及其性质的相关内容，建构符合学生认知结构的知识体系，教学难点是运用数形结合的思想，选用恰当的数学关系式解决二次函数的问题，以及把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。

4. 说教学方法学生思考，教师分析，解题小结三个环节。

学法指导：让学生从问题中尝试、归纳、总结，自主探究问题。

5.说教学过程（一）复习引入引导学生复习回忆二次函数的图象及性质，重点回顾二次函数的对称性。

（二）通过回忆对二次函数图象及其性质的相关知识进行重构（三）综合运用二次函数图象及其性质的相关知识和方法解题通过对二次函数图象及其性质的相关知识的复习，让学生运用相关概念、性质进行解题，采用学生思考，教师分析，解题小结三个环节构成的练习题讲解模式，培养学生的解题能力。

巧用二次函数对称性解题
解题用二次函数的对称性，是一种非常有效的方法，也是数学中最常见的一类数学解题方法，它具有广泛的应用。

本文就来讨论二次函数的对称性在数学解题中的运用。

二次函数的对称性指的是，对某函数的函数值又特定的轴线上的特征而言，存在一条对称轴，使得当我们沿着该对称轴旋转时，所有的点不变。

一般来说，二次函数的对称性都是以一条直线或者129°角线作为对称轴。

因此，用二次
函数的对称性解题时，只需要找出函数在哪一条轴上存在对称效应即可。

例1：y＝2x2-4x+1。

此二次函数的对称轴是一条y轴中的x=1线，因为该函数在y轴上的x=1时存在对称效果，其图像的左侧和右侧的图像是相同的。

例2：y＝x2-3x+2。

此二次函数的对称轴是一条129°角线，因为该函数在y轴上的x=1时存在对称效果，其
图像的左侧和右侧的图像是相同的。

二次函数的对称性在很多数学考试题中都有着非常重要的地位，而且它在考试题解答中也
是最基本也是最有效的方法之一。

如果考生能够熟练掌握这种方法，就可以有效地提升自
己的解题能力。

在使用二次函数的对称性来解决数学解题时，考生需要注意的是，对函数的特征有充分的
理解，以及在存在两个或以上的函数的情况下，解题的思路清晰明确，并且要尽可能用函
数的方法来解决。

总之，二次函数的对称性实际上是一种很有用的解题方法，在解决很多数学解题问题时，
可以发挥它独特的数学优势。

正确运用二次函数的对称性，可以使考生有效地提升解题能力，为自己取得良好的成绩贡献自己的一份力量。

(一)、教学内容1.二次函数得解析式六种形式①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0)②顶点式（a≠０已知顶点)③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点）④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点）⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上)⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点)2.二次函数图像与性质对称轴:顶点坐标:与y轴交点坐标(0,c)增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大ﻩ当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小☆二次函数得对称性二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴:与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0)与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0）当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大；当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大;【典型例题】题型 1 求二次函数得对称轴1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。

2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D)3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。

4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求它与x轴得另一个交点得坐标( , )5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( )A、 B、C、或D、或6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ）A、0B、－1C、 1D、２题型2 比较二次函数得函数值大小1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为( )(A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y1 与ｙ２得大小关系就是( )Ａ．y1 <ｙ2Ｂ、 y１=y２Ｃ、 y1＞y２Ｄ、不确定点拨:本题可用两种解法yxO–1 13O–1 331解法1:利用二次函数得对称性以及抛物线上函数值y随x得变化规律确定:a>0时，抛物线上越远离对称轴得点对应得函数值越大;a<0时,抛物线上越靠近对称轴得点对应得函数值越大解法2:求值法:将已知两点代入函数解析式,求出a,b得值再把横坐标值代入求出ｙ1 与y２得值,进而比较它们得大小变式１：已知二次函数上两点,试比较得大小变式２:已知二次函数上两点，试比较得大小变式3:已知二次函数得图像与得图像关于y轴对称,就是前者图像上得两点，试比较得大小题型3 与二次函数得图象关于x、y轴对称:二次函数就是轴对称图形，有这样一个结论:当横坐标为x1，x２其对应得纵坐标相等那么对称轴：与抛物线y＝ax2 +bx+c（a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y＝ａx２-bｘ＋ｃ(a≠０)与抛物线y=aｘ2+bx+ｃ（a≠0)关于x轴对称得函数解析式:y=-aｘ2 –bx-c(a≠０)１、把抛物线y＝-2x2+4x＋３沿x轴翻折后，则所得得抛物线关系式为____ __＿＿2、与y＝ -3x+关于Ｙ轴对称得抛物线_＿_＿_____＿_____＿3、求将二次函数得图象绕着顶点旋转１80°后得到得函数图象得解析式。

二次函数对称性分析二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c这样的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

二次函数的图像是一条抛物线。

对于二次函数的对称性分析，有以下几个方面的内容可以展开：一、关于y轴对称:二次函数的图像关于y轴对称，当且仅当a = 0。

这是因为当a = 0时，二次函数变为一次函数，其图像为一条直线，直线与y轴显然是关于y轴对称的。

二、关于x轴对称:二次函数的图像关于x轴对称，当且仅当抛物线的顶点坐标的y值等于c，即f(x) = c。

这是因为顶点是抛物线的最高点或最低点，其对称轴为x轴。

若已知二次函数的标准式（顶点形式）为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标，可以直接得到抛物线关于x轴对称的条件为y = k。

三、关于原点对称:二次函数的图像关于原点对称，当且仅当抛物线的顶点坐标为原点，即(h,k) = (0,0)。

这是因为原点是坐标轴的交点，关于原点对称就是说抛物线与坐标轴的交点在同一直线上。

若已知二次函数的标准式（顶点形式）为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标，可以直接得到抛物线关于原点对称的条件为k = 0。

四、判定对称性的应用：通过对二次函数的对称性进行分析，可以得到二次函数的一些重要性质。

1. 对称轴的性质：二次函数的对称轴与抛物线的开口方向垂直。

对称轴的方程可以通过两个方法确定：（1）当已知二次函数为标准式f(x) = ax^2 + bx + c时，对称轴的方程为x = -b/(2a)；（2）当已知二次函数为顶点形式f(x) = a(x-h)^2 + k时，对称轴的方程为x = h。

2. 零点的性质：二次函数的图像与x轴的交点称为零点或根。

若二次函数关于x轴对称，则其零点个数为0、2或无穷多个。

当抛物线与x轴相切时，有一个实根；当抛物线与x轴交于两个不同的点时，有两个实根；当抛物线在x轴上方时，无实根。

二次函数两个零点二次函数是数学中的一种函数类型，其数学表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

二次函数的图像呈现出一条平滑的曲线，其形状和位置与函数的三个参数有关。

标题中提到的两个零点，指的是二次函数的解，即使得f(x)等于0的x值。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式来求解其零点。

求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

根据这个公式，可以求得二次函数的两个零点。

假设二次函数的两个零点分别为x1和x2，且x1小于x2。

根据解的性质，可以得出以下结论：1. 零点的存在性：对于二次函数而言，存在两个零点的条件是b^2 - 4ac大于等于0。

当b^2 - 4ac等于0时，二次函数有两个相等的零点；当b^2 - 4ac大于0时，二次函数有两个不相等的零点；当b^2 - 4ac小于0时，二次函数没有实数解。

2. 零点的关系：根据二次函数的对称性，可以得出零点的平均值等于二次函数的顶点横坐标的负值，即(x1 + x2) / 2 = -b / (2a)。

这个结论可以用来判断零点的位置关系，以及求解二次函数的顶点坐标。

3. 零点的符号：由于二次函数是一个连续函数，所以在两个零点之间的区间内，函数的值符号是相同的。

例如，如果x1小于x小于x2，则f(x1)和f(x2)的符号相同。

这个性质可以用来分析二次函数的增减性，以及确定函数的正负区间。

除了上述性质外，二次函数还有其他一些重要的特点和应用。

下面将介绍二次函数的顶点、轴对称性、图像及其应用。

1. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最低点或最高点，其横坐标为-x / (2a)，纵坐标为f(-b / (2a))。

顶点的横坐标可以通过零点的关系式求得。

顶点的纵坐标可以通过代入顶点横坐标到函数表达式中求得。

2. 轴对称性：二次函数关于顶点的横坐标轴对称。

二次函数中的对称问题一、引言二次函数是高中数学中的重要内容，它具有许多特殊的性质和应用。

其中，对称性是二次函数的一个重要特征，也是解题时常用到的一个概念。

本文将详细介绍二次函数中的对称问题，包括轴对称、顶点对称和直线对称等内容。

二、轴对称1. 定义轴对称是指图形关于某条直线对称，即将图形沿着这条直线翻转180度后与原图形完全重合。

在二次函数中，轴对称通常指函数图像关于x 轴或y轴对称。

2. 关于x轴的轴对称若二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，则其图像关于x轴的轴对称可以通过以下步骤求出：（1）令y = f(x)，即将x作为自变量代入函数；（2）将y变为-y，即将y坐标取反；（3）得到新的函数f(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c = ax^2 - bx + c；（4）新函数f(-x)就是原函数f(x)关于x轴的轴对称。

3. 关于y轴的轴对称若二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，则其图像关于y轴的轴对称可以通过以下步骤求出：（1）令x = -x，即将x坐标取反；（2）得到新的函数f(-x) = a(-x)^2 - b(-x) + c = ax^2 + bx + c；（3）新函数f(-x)就是原函数f(x)关于y轴的轴对称。

三、顶点对称1. 定义顶点对称是指图形关于某个点对称，即将图形沿着这个点翻转180度后与原图形完全重合。

在二次函数中，顶点对称通常指函数图像关于顶点对称。

2. 求解方法若二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，则其顶点坐标为：（1）横坐标为-xb/2a，即顶点在直线x=-b/2a上；（2）纵坐标为f(-b/2a)，即将横坐标代入原函数得到的值。

3. 顶点对称公式根据轴对称的知识，可以得到二次函数关于顶点对称的公式：（1）若二次函数关于y轴对称，则其顶点为(0, f(0))；（2）若二次函数关于x轴对称，则其顶点为(0, f(0))；（3）若二次函数既不关于x轴对称也不关于y轴对称，则其顶点为(-b/2a, f(-b/2a))。

巧用二次函数对称性解决问题作者：***来源：《初中生世界·九年级》2020年第12期抛物线的轴对称性，是二次函数的一个重要特征，往往也是解题的关键。

我们如果能够熟练并巧妙地运用，可使解题变得轻松。

一、利用对称性求点坐标例1 已知二次函数y=kx2-4kx+3k图像上有一点（3，2），则该点关于图像对称轴的对称点的坐标为（）。

A.（2，3）B.（l，2）C.（2，2）D.（l，3）【分析】我們要求对称点，就要先求出抛物线的对称轴，然后利用对称性求出另一点的坐标。

解：对称轴为x=-b/2a=--4k/2k=2。

设所求点的横坐标为m，根据中点坐标公式可得m+3/2=2，解得m=l。

由对称性可知纵坐标不变，所以所求点的坐标为（1，2）。

故选B。

【点评】灵活利用配方法或公式求出对称轴是解题的关键。

本题还可以利用十字相乘法，将表达式转化为交点式y=k（x-1）（x-3），求出对称点的坐标。

二、利用对称性比较数值大小例2 若点A（2，y，）、B（-3，Y2）、C（3，y3）三点在二次函数y=x2-4x-m的图像上，则Y1、Y2、y3的大小关系是（）。

A.Y1>Y2 >y3B.Y2>Y1>Y3C.Y2>y3 >Y1D.y3>Y1>Y2【分析】找出图像对称轴，利用增减性求解。

解：配方得y= （x-2）2-4-m，所以对称轴为x=2。

因为a>0，A点横坐标为2，所以A为图像顶点，即Y1最小。

根据对称性，可得点C关于对称轴的对称点C'的坐标为（1，y3），在对称轴左侧，y随x增大而减小，所以Y2>Y3，即Y2>Y3>Y1。

故选C。

【点评】借助抛物线的轴对称性，把位于对称轴两侧的点变换到同一侧，这样便于利用二次函数的增减性来进行比较。

当然，本题也可直接代入求解。

三、数形结合解不等式例3 已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图像如图1所示，若y>0，则x的取值范围是（）。

二次函数的对称性与单调性二次函数是一种重要的数学函数，在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。

掌握二次函数的基本性质，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

本文将重点讨论二次函数的对称性与单调性。

一、二次函数的对称性二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

根据对称性的不同，可以分为以下几种情况。

1. 关于y轴对称当a为偶数时，二次函数关于y轴对称。

即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = f(x)。

例子：考虑二次函数f(x) = x² - 2x + 1，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 2(-x) + 1 = x² + 2x + 1 = f(x)，因此该二次函数关于y轴对称。

2. 关于x轴对称当c = 0时，二次函数关于x轴对称。

即若f(x)为二次函数，则有f(x) = f(-x)。

例子：考虑二次函数f(x) = x² - 4，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 4 = x² - 4 = f(x)，因此该二次函数关于x轴对称。

3. 关于原点对称当b = 0时，并且a、c异号，二次函数关于原点对称。

即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = -f(x)。

例子：考虑二次函数f(x) = -x²，将x改为-x，则有f(-x) = -(-x)² = -x²= -f(x)，因此该二次函数关于原点对称。

二、二次函数的单调性二次函数的单调性表示函数在定义域上的增减性。

根据二次函数的a值的正负，可以判断其单调性。

1. 当a > 0时，二次函数在定义域上单调递增。

对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，如果a > 0，则对于任意x₁、x₂，若x₁ < x₂，有f(x₁) < f(x₂)，即函数在定义域上单调递增。

二次函数对称规律口诀二次函数是一种常见的数学函数，具有许多重要的特征和性质。

其中之一便是对称规律。

二次函数的对称规律是指图像关于其中一直线的对称性质。

对称规律可以通过口诀的方式记忆，方便学生在解题过程中应用。

下面是一份包含二次函数对称规律的口诀，详细阐述了其数学原理及应用方法。

口诀一：关于y轴的对称规律左等右翻对称规律是指当二次函数的图像关于y轴对称时，其函数式可以通过对变量x取相反数后的函数得到。

设二次函数的函数式为y = ax^2 + bx + c，那么它的对称函数为y = ax^2 - bx + c。

解释：在二次函数的图像中，如果将整个图像沿着y轴折叠，使得左半部分与右半部分完全重合，那么原函数和对称函数的图像将完全一样。

对称函数的函数式中的b系数与原函数相比取相反数，因为对称后左边的x值变为右边的相反数。

应用举例：已知二次函数y=2x^2+3x+1，求其关于y轴的对称函数。

根据对称规律口诀，函数的对称函数为y=2x^2-3x+1口诀二：关于x轴的对称规律上等下翻对称规律是指当二次函数的图像关于x轴对称时，其函数式可以通过对变量y取相反数后的函数得到。

设二次函数的函数式为y = ax^2 + bx + c，那么它的对称函数为y = -ax^2 - bx + c。

解释：在二次函数的图像中，如果将整个图像沿着x轴折叠，使得上半部分与下半部分完全重合，那么原函数和对称函数的图像将完全一样。

对称函数的函数式中的a和b系数与原函数相比取相反数，因为对称后上边的y值变为下边的相反数。

应用举例：已知二次函数y=3x^2+2x-4，求其关于x轴的对称函数。

根据对称规律口诀，函数的对称函数为y=-3x^2-2x-4口诀三：关于原点的对称规律中心对称等于交换符号对称规律是指当二次函数的图像关于原点对称时，其函数式可以通过对变量x和y取相反数后的函数得到。

设二次函数的函数式为y = ax^2 + bx + c，那么它的对称函数为y = -ax^2 - bx - c。

抛物线对称性的应用一、基础回顾试画出二次函数y=x2−2x−3的图像二、用对称性解决问题题型 1 巧用对称性--求点坐标已知二次函数y=x2−2x+c的图像与x轴的一个交点为（3,0），求该函数图像与x轴的另一个交点坐标变式一:已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-2，5）、B（4，5）、C（-4，21），求该抛物线上纵坐标为21的另一点的坐标变式二:已知A(x1,2016),B(x2,2016)是二次函数y=x2−2x−3的图象上两点,则当x=x1+x2时,二次函数的值是( )A.−3−b24a B.−3+2b2aC. 2016D.-3题型2善用对称性--求解析式抛物线图像经过（3,0）与（-1,0），最低点纵坐标是-4，求函数解析式变式一:抛物线图像经过（-1,3）（5,3）（2,6），求函数解析式变式二:已知抛物线2142y x bx =-++上有不同的两点E 2(3,1)k k +-+和 F 2(1,1)k k ---+，求抛物线解析式题型3活用对称性--比较大小已知二次函数y =x 2−2x −3,当x 1=−2,x 2=3时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（）A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定变式1：已知二次函数 y =−x 2+bx +c ，其对称轴是x=1，当x 1=−2，x 2=3时,试比较y 1和 y 2的大小。

变式2：已知二次函数 y =ax 2+bx +c （a ≠0），其对称轴是x=1，当x 1=−2，x 2=3时,试比较y 1和 y 2的大小。

三、拓展思维1、二次函数y=x2−2x+c（c为常数）的图象如图所示，当x=a时，y＜0；那么当x=a-2时，关于函数值y的结论正确的是（）A.y<0B.0<y<cC.y>cD.y=c2、已知抛物线y=x2−2x+c的顶点A在直线y=−4x上。

二次函数像的对称性与判别式二次函数的性质之一是对称性。

对称性是指二次函数的图像关于某个轴或点对称。

判别式是用来判断二次函数的图像与坐标轴的相交情况的一个参数。

本文将分别详细介绍二次函数的对称性和判别式，以及它们在解析几何中的应用。

**一、对称性**二次函数的对称性主要有三种：关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。

1. 关于x轴对称：二次函数若关于x轴对称，则其图像在x轴上对称。

对于一般的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其中a、b、c为常数，它的对称轴为x = -b/2a。

当二次函数的对称轴为x轴时，我们可以通过观察a的值来推断图像的开口方向：当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。

2. 关于y轴对称：二次函数若关于y轴对称，则其图像在y轴上对称。

对于一般的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其中a、b、c为常数，当b=0时，二次函数关于y轴对称。

3. 关于原点对称：二次函数若关于原点对称，则其图像在原点对称。

对于一般的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其中a、b、c为常数，当c=0时，二次函数关于原点对称。

通过对二次函数对称性的分析，我们可以更好地理解和绘制二次函数的图像，从而解决与其相关的问题。

**二、判别式**判别式是用来判断二次函数与坐标轴的相交情况的一个参数。

对于一般的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其中a、b、c为常数，判别式的公式为$\Delta = b^2 - 4ac$。

根据判别式的值可以得到以下结论：1. 当$\Delta > 0$时，即判别式大于0，二次函数与x轴有两个不同的交点，图像与x轴相交于两个不同的点。

2. 当$\Delta = 0$时，即判别式等于0，二次函数与x轴有且仅有一个交点，图像与x轴相切于一个点。

3. 当$\Delta < 0$时，即判别式小于0，二次函数与x轴没有交点，图像在x轴上方或下方不与其相交。

巧用二次函数的轴对称性抛物线的轴对称性,是二次函数的一个重要特征。

若能巧妙运用，可使求解变得简洁。

请看下面的例子:一、求定点坐标例1、(诸暨市)抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图1所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 ( )A ．（12，0）； B ．（1， 0）； C ．（2， 0）； D ．（3， 0）解析：依题意，得y=a (x+1)2+ a 2-a +2则抛物线对称轴为：直线x=-1从而，点（-3，0）直线x=-1的距离为2，所以，点（-3，0）关于直线x=-1的对称点的坐标为：（1，0），选B 。

评注：由抛物线的轴对称性可知，抛物线与横轴的两个交点间的距离相等。

这就是本题解决问题的突破口。

二、代数式求值例2、（芜湖市）如图2，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+c（a ＜0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是 。

解析：连结BC 交OA 于点D ，则DC=DB=OD=DA.由已知条件可知，点A 的坐标为:（0，c ），所以点C 的坐标为：（2c ，2c ），从而有：2c =42ac + c. 所以ac=-2.评注：本题把抛物线的轴对称性与正方形的轴对称性对称性相结合，得出抛物线上的点坐标，并由此得出等量关系，求未知代数式的值，显得非常巧妙。

三、比数值大小例3、（临沂市）若A （－134，y 1）、B （－1，y 2）、C （53，y 3）为二次函数245y x x =--+的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B 、y 3＜y 2＜y1 C 、y 3＜y 1＜y 2 D 、y 2＜y 1＜y 3 解析：二次函数245y x x =--+可变形为： 9)2(2++-=x y ，由此可知，抛物线的顶点坐标为：（-2，9），对称轴为：直线x=-2；从而可知，点A 关于直线x=-2的对称点的坐标为（43，y 1），这样，它与B （－1，y 2）、C （53，y 3）都在对称轴的右侧，而抛物线的开口向下，于是，由抛物线的性质可知：y 2＜y 1＜y 3，选D 。

二次函数轴对称性质二次函数是高中数学中的一个重要内容，它在解决实际问题以及数学建模中具有广泛的应用。

在研究二次函数时，轴对称性质是其中一个重要的性质，它在图像的对称性、方程的解等方面具有重要的作用。

本文将详细介绍二次函数轴对称性质及其应用。

1. 轴对称性质的定义二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a≠ 0。

二次函数的轴对称性质即为其图像相对于某一直线的对称性。

这条直线称为二次函数的轴线。

2. 轴对称性质的表达式设二次函数的轴线方程为 x = p，那么对于任意 x，函数值相等：f(p + h) = f(p - h)其中 h 为任意实数，即函数在轴线两侧对称。

3. 轴对称性质与图像的关系对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，其轴线方程为 x = -b/2a。

当 a > 0 时，二次函数图像开口向上，轴线是图像的最低点；当 a < 0 时，二次函数图像开口向下，轴线是图像的最高点。

轴对称性质使得二次函数图像关于轴线对称。

也就是说，对于图像上任意一点 (x, y)，关于轴线上的对称点 (-x, y) 也在图像上。

这意味着二次函数图像在轴线上两侧的形状是完全一样的。

4. 轴对称性质的应用轴对称性质可以用于求二次函数的性质、方程的解以及解决实际问题。

首先，通过轴对称性质，可以简单地确定二次函数的开口方向以及最值点的坐标。

其次，利用轴对称性质可以求解二次函数的方程。

对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，则对称轴为 x = -b/2a，方程与 x 轴的交点为相等的两个解；如果 a < 0，则对称轴依然为 x = -b/2a，方程无解。

最后，轴对称性质在实际问题中的应用十分广泛。

例如，某商品的销售量与商品售价之间可能存在二次函数的关系。

通过研究二次函数的轴对称性质，我们可以确定最佳售价，以最大程度地提高销售量。

二次函数中对称轴的求解方法和性质二次函数是高中数学中的重要内容，它的图像呈现出一种独特的对称性，这种对称性在二次函数的求解和性质研究中起到了重要的作用。

本文将介绍二次函数中对称轴的求解方法和性质，以及其在实际问题中的应用。

一、对称轴的求解方法二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c（其中a≠0），在该形式下，对称轴的求解方法如下：1. 第一步，将一次项系数b消去，得到y=a(x+h)^2+k的形式，其中h为平移横坐标的量，k为平移纵坐标的量。

2. 第二步，对于函数y=a(x+h)^2+k，对称轴的横坐标为-x-h，即对称轴方程为x=-h。

二、对称轴的性质二次函数的对称轴具有以下性质：1. 对称轴是图像的一条直线，二次函数图像关于对称轴对称。

2. 对称轴将函数图像分为两个对称的部分，左侧和右侧呈现出镜像关系。

3. 对称轴上的点到图像的任意点的距离相等，即对称轴上的点是图像关于对称轴的中点。

三、对称轴的应用对称轴的求解和性质在实际问题中有广泛的应用，下面以一些典型问题作为例子进行介绍：例1：给定二次函数y=ax^2+bx+c，如果已知顶点坐标为（p,q），求对称轴的方程。

解：首先，根据顶点坐标的性质可得到顶点坐标满足关系式q=a(p-h)^2+k。

根据对称轴的性质，对称轴的横坐标为-x-h，即对称轴方程为x=-h。

从而可以得到以下等式：-h=p，解得h=-p。

因此，对称轴的方程为x=-p。

例2：某二次函数的图像关于x轴对称，已知该二次函数的顶点坐标为（1，-2），求二次函数的解析式。

解：根据题目要求可得到a的值为-1，因为图像关于x轴对称。

又已知顶点坐标为（1，-2），代入二次函数的标准形式y=ax^2+bx+c，得到-2=a(1)^2+b(1)+c。

又因为顶点坐标满足关系式-2=a(1)^2+b(1)+c，解得b=0，c=-2。

因此，二次函数的解析式为y=-x^2-2。

结论：本文介绍了二次函数中对称轴的求解方法和性质，并举例说明了对称轴在实际问题中的应用。

二次函数的轴对称性二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在图像上呈现出特殊的轴对称性。

本文将介绍二次函数的轴对称性的定义、性质以及相关的数学推导。

一、二次函数的轴对称性的定义二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数形式，其中a、b、c 为常数且a≠0。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

当抛物线在某条直线上对称，称为二次函数的轴对称线。

二、轴对称性的性质1. 轴对称线的方程设二次函数的轴对称线为x = p，则p是二次函数的顶点横坐标。

对于f(x) = ax^2 + bx + c型的二次函数，可以通过平方完成该函数与对称轴的性质推导，推导的步骤如下：Step 1: 将二次项配方将f(x) = ax^2 + bx + c中的项ax^2进行配方，得f(x) = a(x^2 +(b/a)x) + c。

Step 2: 提取完全平方项提取完全平方项，得f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c。

Step 3: 整理化简整理化简后，得f(x) = a[(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2] + c。

Step 4: 展开表达式展开表达式，得f(x) = a(x^2 + bx/a + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c。

Step 5: 合并项合并项，得f(x) = a(x^2 + bx/a + (b/2a)^2) - (b^2/4a) + c。

Step 6: 求和化简求和化简，得f(x) = a[(x + b/2a)^2 - (b^2-4ac)/4a]。

方程f(x) = a[(x + b/2a)^2 - (b^2-4ac)/4a]中，项(x + b/2a)^2表示一个完全平方项。

而当b^2-4ac = 0时，项(b^2-4ac)/4a为0，即f(x) = a(x +b/2a)^2，所以二次函数的轴对称线方程为x = - b/2a。

利⽤⼆次函数的对称性求对称点
利⽤⼆次函数图象对称性求对称点
复习引⼊：
1、已知数轴上两点A、B，点A表⽰的数为1，点B表⽰的
数为-2.5，求A、B两点之间的距离。

2、在第1题的条件下，点C与点B关于点A对称，求点C
表⽰的数。

问题原型
在平⾯直⾓坐标系中，抛物线经过点
A(-1,1),则点A关于抛物线对称轴的对称点B的坐为。

变式
在平⾯直⾓坐标系中，抛物线经过点C(-1,3)，则点C关于抛物线对称轴的对称点D的坐标为。

为直线X=2,点A、B均在抛物线上，且AB与X
轴平⾏，其中点A的坐标为（0,3），则点B的坐
标为。

拓展提升
在平⾯直⾓坐标系中，抛物线经过点E(m,b)，
则点E关于抛物线对称轴的对称点F的坐标为。

应⽤练习：
1、若⼆次函数
所⽰，则关于X 的⼀元⼆次⽅程的⼀个解x 1=3,另⼀个解x 2= 。

2、如图是⼆次函数分，其对称轴为直线x=1，若其与X A(3,0)，由图象可知不等式集是 .
3、如图，在平⾯直⾓坐标系中，点P 是抛
物线（a<0）上任意⼀点,点P 关于抛物线对称轴的对称点为点Q （P 、Q 两点不重合)，设点P 的横坐标为m ，求线段PQ 的长。

（⽤含m 的代数式表⽰）
4、如图，在平⾯直⾓坐标系中，抛物线
与交于点A ，过点A 作y 轴的垂线，分别交两条抛物线于点B （-3,2），点C （点B 在点A 左侧，点C 在点A 右侧），则点C 的坐标为。