天津市南开区2020年高考数学模拟试卷(4月份) 含解析

2020年天津市高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={x|x2+x-2=0}，B={0，-2}，则B∩（∁U A）=（）A. {0，1}B. {-2，0}C. {-1，-2}D. {0}2.设x∈R，则“|x-2|＜1”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=-2x-y的最大值为（）A. 16B. 0C. -2D. 不存在4.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）A. 21B. 58C. 141D. 3185.抛物线y2=ax（a＞0）的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则a的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 26.函数y=sin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（-，0）中心对称（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移7.已知定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b=log23，c=e ln4，则下面结论正确的是（）A. f（a）＜f（b）＜f（c）B. f（c）＜f（a）＜f（b）C. f（c）＜f（b）＜f（a）D. f（a）＜f（c）＜f（b）8.边长为2的菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F．若∠BAD=60°，则=（）A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.设复数，则=______．10.已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为______．11.已知直线l：y=kx（k＞0）为圆的切线，则k为______．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，xf'（x）-f（x）＞0，则不等式的解集是______．13.已知a＞1，b＞1，若log a2+log b16=3，则log2（ab）的最小值为______．14.已知函数f（x）=，若方程有八个不等的实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．cos（π-B）=，c=1，a sin B=c sin A．（Ⅰ）求边a的值；（Ⅱ）求cos（2B+）的值．16.点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃．（Ⅰ）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；（Ⅱ）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X、Y表示，记ξ=XY，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（1）若M为PC的中点，求证：DM∥平面PAB；（2）求证：平面PAB⊥平面PBC；（3）求AC与平面PBC所成角的大小．18.已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T2n；（Ⅲ）若对于∀n∈N*，恒成立，求λ范围．19.已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，过右焦点F2且垂直于长轴的直线交椭圆于G，H两点，|GH|=3，△F1GH的周长为8．过A点作直线l交椭圆于第一象限的M点，直线MF2交椭圆于另一点N，直线NB与直线l交于点P；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若△AMN的面积为，求直线MN的方程；（Ⅲ）证明：点P在定直线上．20.已知函数f（x）=2ln x-x2．（Ⅰ）求f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与y=m在内恰有一个交点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），AB中点为C（x0，0），求证：g'（x0）≠0．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：解一元二次方程x2+x-2=0得：x=-2或x=1，即A=，∁U A=，又B={0，-2}，则B∩（∁U A）=，故选：D．由一元二次方程的解法得：A=，由集合的交、并、补运算得：∁U A=，又B={0，-2}，则B∩（∁U A）=，得解．本题考查了一元二次方程的解法及集合的交、并、补运算，属简单题．2.答案：A解析：由|x-2|＜1知，1＜x＜3．故A={x|1＜x＜3}．由＞0，知x＞1或x＜-2．故B={x|x＞1或x＜-2}．因为A⊆B，所以答案为充分不必要条件．故选：A．分别解出不等式解集，借助数轴找出包含关系．本题考查了集合的子集关系与充分必要条件的关系，属于基础题．3.答案：B解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由z=-2x-y得y=-2x-z，平移直线y=-2x-z，由图象知当直线y=2x-z经过点A时，直线y=-2x-z的截距最小，此时z最大；由，解得A（-1，2），所以z的最大值为-2×（-1）-2=0．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=-2x-y的最大值．本题主要考查了简单的线性规划应用问题，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解答此类问题的基本方法．4.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1不满足条件k＞5，执行循环体，S=1，k=2不满足条件k＞5，执行循环体，S=6，k=3不满足条件k＞5，执行循环体，S=21，k=4不满足条件k＞5，执行循环体，S=58，k=5不满足条件k＞5，执行循环体，S=141，k=6满足条件k＞5，退出循环，输出S的值为141．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.答案：A解析：【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．【解答】解：抛物线y2=ax的准线为x=-，双曲线C：-=1的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（-，a），（-，-a），即有三角形的面积为••a=2，解得a=8，故选：A．6.答案：B解析：解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到：y=sin（2x+2ρ+）关于点（-，0）中心对称∴将x=-代入得到：sin（-+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=-+，当k=0时，ρ=-故选：B．先假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=-代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质--对称性，属于基础题．7.答案：C解析：解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），则函数f（x）关于直线x=3对称，c=e ln4=4，f（c）=f（4）=f（2），又由对任意x1，x2∈（0，3）都有，则函数f（x）在（0，3）上为减函数，若=，b=log23，则有0＜a＜1＜b＜2，则f（c）＜f（b）＜f（a），故选：C．根据题意，由f（3-x）=f（3+x）分析可得函数f（x）关于直线x=3对称，据此可得f（c）=f（4）=f（2）；由函数单调性的定义可得函数f（x）在（0，3）上为减函数，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性以及对称性的应用，注意结合函数的单调性进行分析，属于基础题．8.答案：B解析：解：设=λ+（1-λ），又=+=+，且存在实数t使得=t，∴λ+（1-λ）=+t，∴，∴，∴=+，∴=-=+，∴•=（-）•=（+-）•=（+-）•（+）=（+--）•（+）=（-）•（+）=2-2-•=×4-×4-×=故选：B．取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．9.答案：2解析：解：∵=，∴，则z+=2．故答案为：2．利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.答案：解析：解：∵正方体的内切球体积为36π，设内切球的半径为r，则，得r=3，即内切球的半径为3，∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等为6，∴正方体的体对角线长为．故答案为：．由正方体的内切球的体积求得球的半径，得到正方体的边长，从而求得正方体的体对角线长．本题考查正方体的内切球，考查空间想象能力，考查计算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：根据题意，圆的圆心为（，0），半径r=1，若直线l：y=kx（k＞0）即kx-y=0与圆相切，则有=1，解可得：k=±，又由k＞0，则k=，故答案为：．根据题意，求出圆C的圆心与半径，结合直线与圆相切的性质可得=1，解可得k的值，结合k的范围分析即可得答案．本题考查直线与圆相切的性质以及圆的切线方程的计算，属于基础题．12.答案：（-∞，-1）∪（1，+∞）解析：解：依题意，f（1）=0由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数又由g（-x）===g（x），得函数g（x）在R上为偶函数∴函数g（x）在（-∞，0）上为减函数且g（1）=0，g（-1）=0由图可知＞0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞）故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．先由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数，再由函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）在R上为偶函数，从而画出函数的示意图，数形结合解不等式即可．本题综合考察了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题．13.答案：3解析：解：∵log a2+log b16=3；∴；又a＞1，b＞1；∴log2a＞0，log2b＞0；∴log2（ab）=log2a+log2b==；∴log2（ab）的最小值为3．故答案为：3．根据log a2+log b16=3即可得出，从而得出log2（ab）=（log2a+log2b）=，根据基本不等式即可求出log2（ab）的最小值．考查对数的运算，对数的换底公式，以及基本不等式的应用．14.答案：解析：解：设t=f（x），则方程方程可化为：t2+at+=0，设此方程有两根t=t1，t=t2，有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，由已知有：当x＞0时，f（x）=x lnx，则f′（x）=ln x+1，当0时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，则其图象如图所示：当y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，则x1，x2∈（-，0），得，解得：，故答案为：（，）由方程的根与函数零点的相互转化得：有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，由利用导数研究函数的单调性及最值可作函数t=f（x）的图象，结合二次方程的区间根问题列不等式组得，求解即可，本题考查了方程的根与函数零点的相互转化、利用导数研究函数的单调性及最值，二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．15.答案：解：（Ⅰ）由cos（π-B）=，得cos B=-，………………………………（1分）∵c=1，由a sin B=c sin A，得ab=ca，∴b=，……………………（3分）由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得3a2+4a-15=0，解得a=，或a=-3，（舍）∴a=．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵由cos B=-，得sin B=，………………………………………………（7分）∴sin2B=2sin B cosB=-，cos2B=2cos2B-1=-，………………………………………………（10分）∴cos（2B+）=cos2B cos-sin2B sin=．…………………………（13分）解析：（Ⅰ）由已知利用诱导公式可求cos B的值，利用正弦定理化简已知等式可求b 的值，根据余弦定理即可解得a的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B 的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可计算得解cos（2B+）的值．本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：（本题13分）（Ⅰ）解：设“四人中恰有i人获赠16元代金券”为事件A i，其中i=0，1，2，3，4．则由P（A i）=………………………（2分）得．（5分）（Ⅱ）解：随机变量ξ的所有可能取值为0，3，4．………………………（6 分），（8分），…（10分），………（11分）ξ034Pξ的数学期望．………（13分）解析：（Ⅰ）设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件A i，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率．（Ⅱ）由已知ξ可取0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17.答案：证明：（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，则MN∥BC且，又AD∥BC且，所以MN∥AD且MN=AD，所以四边形DMNA为平行四边形，所以DM∥AN，因为DM⊄平面PAB，AN⊂平面PAB，所以DM∥平面PAB．（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD,得BC⊥PA，因为BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC．解：（Ⅲ）由PA=AB且N为PB中点推出AN⊥PB，由（Ⅱ）知BC⊥平面PAB，AN平面PAB,则AN⊥BC，又PB∩BC=B，所以AN⊥平面PBC，所以∠ACN即为所求．，，所以AC与平面PBC所成角的大小为30°．解析：本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，推导出四边形DMNA为平行四边形，DM∥AN，由此能证明DM∥面PAB；（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥PA，得到BC⊥面PAB，由此能证明面PAB⊥面PBC；（Ⅲ）由AN⊥PB，AN⊥BC，得AN⊥面PBC，∠ACN即为所求．由此能求出AC与面PBC 所成角的大小．18.答案：解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差为2，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，解得a1=1，a n=2n-1．（Ⅱ）由于a n=2n-1．所以：．（Ⅲ）由于：，故：λ2-2λ-2≥1；∴λ≥3或λ≤-1．解析：（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的通项公式，进一步利用列想想效法求出数列的和．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，再利用放缩法和函数的恒成立问题的应用求出参数的范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法在数列的求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.答案：解：（Ⅰ），解得：；所以椭圆方程为：．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），①当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k （x-1），联立得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，△=144（k2+1）＞0，；∴；A（-2，0）到MN直线kx-y-k=0的距离为，∴；当k=-1时，MN直线方程过F2（1，0）直线MN与椭圆的交点不在第一象限（舍）；所以MN方程为x-y-1=0．②当直线MN斜率k不存在时，（舍）．综上：直线MN方程为：x-y-1=0证明（Ⅲ）设AM：y=k1（x+2）（k1＞0），与椭圆联立：，∵同理设BNy=k2（x-2）（k2＞0），可得，所以MN的方程为：，以及MN方程过F2（1，0），将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）•（k2-3k1）=0，∵k1k2＞0，∴k2=3k1．又因为AM与NB交于P点，即，，将k2=3k1代入得x P=4，所以点P在定直线x=4上MN方程为x-y-1=0解析：（Ⅰ）由题意可得，解得：，即可求出椭圆的方程，（Ⅱ）当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k（x-1），根据韦达定理和弦长公式和点到直线的距离，即可表示三角形的面积，即可求出k的值，可得直线方程，（Ⅲ）设AM：y=k1（x+2）（k1＞0），与椭圆联立，求出点M的左边，同理求出点N 的坐标，将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）•（k2-3k1）=0，即可求证点P在定直线上．本题考查椭圆的标准方程的简单几何性质，直线与圆锥曲线的综合应用，考查了弦长公式，考查计算能力，属于难题．20.答案：解：（Ⅰ），则f'（2）=-3，且切点坐标为（2，2ln2-4），所以所求切线方程为：3x+y-2-2ln2=0；（Ⅱ）（-1舍去），所以f（x）在为增函数，在（1，e）为减函数，∴，f（1）=-1，f（e）=2-e2；所以；（Ⅲ）证明：g（x）=2ln x-x2-nx，，假设g'（x0）=0，则有，①-②得：，∴，由④得，∴；即；即⑤；令，，则在0＜t＜1上增函数．u（t）＜u（1）=0．∴⑤式不成立，故与假设矛盾．∴g'（x0）≠0．解析：（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；（Ⅱ）求得f（x）的极值点和极值，单调性、区间端点处的函数值，结合条件艰苦端点所求范围；（Ⅲ）求得g（x）=2ln x-x2-nx，，假设g'（x0）=0，由方程的根的定义和中点坐标公式，作差，化简整理，构造函数，即可得到矛盾，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数方程转化思想和反证法的运用，考查化简运算能力，属于综合题．。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第四次月考数学理科试题 创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重 创作单位： 博恒中英学校一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U 和集合A ，B 如图所示，则()U C A B = （ ）A ．{5，6}B ．{3，5，6}C ．{3}D ．{0，4，5，6，7，8}2．复数2(1)1i z i+=-的共轭复数是（ ） A ．-1-i B ．-1+i C ．1122i + D ．1122i - 3.等差数列{}n a 满足:296a a a +=,则9S =（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．2 4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0,()2x x f x >=时，则(3)f -的值是（ ）A ．18B ．18-C ．8D ．-85.下面是电影《达芬奇密码》中的一个片段:女主角欲输入一个由十个数字组成的密码,但当她果断地依次输入了前八个数字11235813, 欲输入最后两个数字时她犹豫了,也许是她真的忘记了最后的两个数字、也许…….请你依据上述相关信息推测最后的两个数字最有可能的是 ( )A.21B.20C.13D.316．已知实数a 、b ，则“2ab ≥”是“224a b +≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件7．已知函数32()22f x x x =-+，则下列区间必存在零点的是（ ） A ．3(2,)2-- B ．3(,1)2-- C ．1(1,)2-- D ．1(,0)2- 8．设函数()sin ()f x x x x R =∈在0x x =处取得极值，则200(1)(1cos 2)x x ++的值为（ ）A ．12B ．2C ．14D ．49.设m n =+=，则有 ( )A ．m n > B. m n =C ．m n < D. ,m n 的大小不定10．已知函数①()3ln ;f x x =②cos ()3x f x e =；③()3;x f x e =④()3cos .f x x =其中对于()f x 定义域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一一个自变量2x ，使3=成立的函数是（ ）A ．①②④B ．②③C ．③D ．④二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年4月普通高考（天津卷）全真模拟卷（3）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,0,1}A =-，{|22}x B x =>，则A B =I （ ）A ．∅B ．{}1-C ．{1,0}-D ．{0,1}【答案】A 【解析】B {}22xx =＝{x |x ＞1}，∴A ∩B ＝∅．故选A ． 2．设x ∈R ,则“11||<22x -”是“0<<2x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由11||<22x -，得111<222x -<-，解得01x <<．∴ “11||<22x -”是“0<<2x ”的充分不必要条件．故选A ．3．下列各式中，不成立的是（ ）A ． 1.52<B ．0.40.60.6180.618>C ．lg 2.7lg3.1<D ．0.30.3log 0.6log 0.4>【答案】D【解析】对于A ，由()2xf x = 1.5<，所以 1.52<成立；对于B ，由()0.618xf x =为减函数，0.40.6<，所以0.40.60.6180.618>成立； 对于C ，由()lg f x x =为增函数，2.7 3.1<，所以lg2.7lg3.1<成立；对于D ，由()0.3log f x x =为减函数，0.60.4>，所以0.30.3log 0.6log 0.4<成立；D 不正确. 故选D.4．函数()e2xf x x=的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】函数的定义域为（-∞，0）∴（0，+∞），且f （-x ）=-f （x ），函数为奇函数，排除A ；又当x→+∞时，y→+∞，排除B ；而x ＞0时，()x2e f x x =,()()212x e x f x x '-=可得x=1为函数的极小值点，结合图象可知，函数()2xef x x=的部分图象大致为C ．故选C ．5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则此双曲线的焦距等于（ ）AB．C ．3D ．6【答案】B【解析】由题意得：焦点(),0F c 到渐近线0bx ay +=的距离：bcd b c====又ca，222c a b =+，可解得：c =∴该双曲线的焦距：2c =B6．若圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的范围是（ ）A ．[]2,4B ．[]0,4C ．[)4,+∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，22224a b a ab b ≤-≤∴-+≤；22224a b a ab b ≤+≤∴++≤；两式相加得到2204a b ≤+≤，故选B7．一般来说，一个人的脚越长，他的身高就越高.现对10名成年人的脚长x 与身高y 进行测量，得如下数据（单位：cm ）：作出散点图后，发现散点在一条直线附近.经计算得到一些数据：24.5x =，171.5y =，()()101577.5iii x x y y =--=∑，()102182.5ii x x =-=∑，某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长24cm ，则在估计案发嫌疑人的身高时产生的残差为（ ） A ．0.6 B ．1.2 C ．1D ．0.8-【答案】C【解析】因为24.5x =，171.5y =，()()101577.5iii x x y y =--=∑，()102182.5i i x x =-=∑，, 所以1011021()()577.5782.5()ˆiii i i x x y y bx x ==--===-∑∑，171.5ˆˆ724.50a y bx=-=-⨯=，故ˆ7yx =，当24x =时，ˆ168y =，则在估计案发嫌疑人的身高时产生的残差为1691681-=，故选C. 8．已知当3x π=时，()()sin 2f x x ϕ=+取得最大值，则下列说法不正确的是（ ）A ．712x π=是()y f x =图像的一条对称轴B ．()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 C ．当23x π=-时，()f x 取得最小值 D ．函数6y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭为奇函数 【答案】A 【解析】当3x π=时，()()sin 2f x x ϕ=+取得最大值，所以22sin =1,2,2,3326k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+∴+=+∈∴=-∈⎪⎝⎭，.所以()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 令2,,,.6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈所以选项A 错误； 令222,,,26263k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈∴-≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ-+∈，所以选项B 正确； 当23x π=-时，()f x 取得最小值1-，所以该选项C 正确； 函数=sin(2)sin 262y f x x x ππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭为奇函数，所以选项D 正确.故选A9．已知定义在R 的函数()y f x =对任意的x 满足()1()f x f x +=-，当311,()x f x x ≤-<=，函数|log ,0()1,0a x x g x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()()()h x f x g x =-在[6,)-+∞上有6个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．1(0,)()7,7+∞UB ．11(,]97)[7,9UC ．11[,)(7,9]97U D ．1[,1)(1,9]9U【答案】C【解析】因为函数()y f x =对任意的x 满足()1()f x f x +=-， 所以得到()f x 为周期函数，周期为2，因为当311,()x f x x ≤-<=，画出()f x 的图像，在同一坐标系下画出log ,0()1,0a x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩的图像， 因为函数()()()h x f x g x =-在[6,)-+∞上有6个零点，所以()f x 与()g x 在[6,)-+∞上要有且仅有6个交点，由图像可得，在y 轴左侧有2个交点，只要在y 轴右侧有且仅有4个交点，则log 71log 91a a ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即有170711919a a a a ⎧><<⎪⎪⎨⎪<≤≤<⎪⎩或或，所以79a <≤或1197a ≤<.故选：C .第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数z 12ii+=（i 是虚数单位），则复数z 的模为____ 【答案】5【解析】12iz i +∴=，∴||z =12i i +125i i +==． 11．51()(2)a x x xx+-展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为__________． 【答案】200【解析】令1x =，则14a +=，即3a =，因为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()()51552155212kkkk k k k k T C x x C x ----+=-=-n n n ，所以5312x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中常数项为()()32321235531212x C x C x xn n n n n n --+-，即常数项为()()3232235512312200C C n n -+⨯-=.12．三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，2AC BC ==，23AB =，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，则该三棱锥的体积为______. 【答案】3【解析】如图，作AB 的中点D ，连接PD ，CD ，则PD AB ⊥.因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD ⊂平面PAB ，所以PD ⊥平面ABC .在ABC ∆中，因为2AC BC ==，AB =易知1CD =，112ABC S ∆=⨯=.在等边PAB ∆中，由AB =32PD ==.所以该三棱锥的体积为11333ABC V S PD ∆=⨯⨯== 13．若某一射手射击所得环数X 的分布列如下：则此射手“射击一次命中环数7X ＜”的概率是_________. 【答案】0.12【解析】因(7)0.020.040.060.12P X <=++=，故应填答案0.12。

2020年天津四中高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合，1，2，，则A. B. C. 1， D. 1，2.若，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数的图象大致为A. B.C. D.4.已知双曲线一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的实轴长为A. B. C. D. 15.底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.6.已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为A. B.C. D.7.已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是A. B. C. D.8.设函数，，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.9.如图梯形ABCD，且，，E在线段BC上，，则的最小值为A. B. C. 15 D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.i是虚数单位，复数z满足，则______．11.袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为，则等于______．12.已知函数在处的切线与直线平行，则的展开式中常数项为______；13.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是______ ．平均数；标准差；平均数且标准差；平均数且极差小于或等于2；众数等于1且极差小于或等于4．14.已知a，b均为正数，且，的最小值为______．15.已知，若对任意，不等式恒成立，则非零实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．求；求的值．17.在四棱锥中，侧面底面ABCD，ABCD为直角梯形，，，，，E，F为AD，PC的中点．Ⅰ求证：平面BEF；Ⅱ若PC与AB所成角为，求PE的长；Ⅲ在Ⅱ的条件下，求二面角的余弦值．18.设椭圆的左、右焦点，，左顶点为A，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为．Ⅰ求椭圆M的方程；Ⅱ过点A做斜率为k的直线与椭圆M交于另一点B，连接并延长交椭圆M 于点C，若，求k的值．19.设各项均为正数的等比数列中，，设．求数列的通项公式；若，，求证：．是否存在正整数k，使得对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由．20.已知函数．求函数在上的最大值；若函数有两个零点，，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，，，故选：B．先求补集，再求交集．本题考查集合交并补运算，属于基础题．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果．【解答】解：，，，，，即，若，，则，但，即推不出，是的充分不必要条件故选A．3.答案：D解析：解：函数的定义域为，，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当时，，排除A，当时，，排除C，故选：D．根据条件平时函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，以及函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．4.答案：C解析：解：抛物线的焦点，双曲线一个焦点与抛物线的焦点重合，，又，，则该双曲线的实轴长为．故选：C．根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率求得实半轴长，则答案可求．本题考查双曲线与抛物线的简单性质，是基础的计算题．5.答案：B解析：【分析】本题考查四棱锥、球、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．取点E是正方形ABCD的中心，平面ABCD，由题意到正方形ABCD四个顶点的距离相等的点必在直线SE上，设外接球球心为O，半径为R，则，推导出O、E重合，由此能求出该四棱锥的外接球的体积．【分析】解：如图，点E是正方形ABCD的中心，平面ABCD，由题意到正方形ABCD四个顶点的距离相等的点必在直线SE上，设外接球球心为O，半径为R，则，由，，得，在中，，，，故，解得，即O、E重合，该四棱锥的外接球的体积：．故选：B．6.答案：B解析：解：圆心在上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心到两直线的距离是；圆心到直线的距离是故A错误．故选：B．圆心在直线上，排除C、D，再验证圆C与直线及都相切，就是圆心到直线等距离，即可．一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．7.答案：B解析：解：函数，可得，，在区间内没有零点，可得：或，解得故选：B．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力．8.答案：B解析：解：由函数，可得图象关于对称，且当时，是增函数；可知自变量离对称轴越近，函数值越小；；，，，即．故选：B．根据题意，由函数的性质分析可得图象关于对称，当时，是增函数可知自变量离对称轴越近，函数值越小，转而比较自变量与对称轴的远近关系．本题考查了函数的对称性与单调性的应用，将自变量转化到同一单调区间上是本题关键．属于中档题．9.答案：B解析：解：在梯形ABCD，，则向量与的夹角和向量与的夹角相等，不妨设为．由可知，，整理得，解之得，，即，过点D向AB作垂线垂足为O，建立如图所示直角坐标系，则，，，，则，．所以，又知，当时，取得最小值．故选：B．先利用求出的值，然后建立直角坐标系，确定一些必要点的坐标，用平面向量数量积的坐标表示建立函数关系，求出的最小值．本题考查了平面向量的数量积坐标表示，属于中档题目．10.答案：解析：解：复数z满足，可得．故答案为：．直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．11.答案：解析：解：解：袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为，的可能取值为3，4，5，，，，，故答案为：．由题意的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出．本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．12.答案：24解析：解：由题意，，则，即．故，．故当，即时，常数项为．故答案为：24．本题先根据一阶导数求出函数在处的切线斜率，再由题意可得，求出n的值，然后根据二项式定理的通项公式可求出展开式中常数项．本题主要考查一阶导数求出函数在一点处的切线斜率和二项式定理的基本知识，考查了方程思想以及数学运算能力．本题属中档题．13.答案：解析：解：错．举反倒：0，0，0，0，2，6，6；其平均数，不符合条件；错．举反倒：6，6，6，6，6，6，6；其标准差，不符合条件；错．举反倒：0，3，3，3，3，3，6；其平均数且标准差，不符合条件；对．若极差小于2，显然符合条件；若极差小于或等于2，有可能，1，2；，2，3；，3，4；，4，5；，5，6．在平均数的条件下，只有成立，符合条件；对．在众数等于1且极差小于或等于4时，其最大数不超过5，符合条件．故答案为：．通过举反例说明命题不符合条件，或通过平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项．本题考查了数据的几个特征量，它们只表示数据的一个方面，一个或两个量不能说明这组数据的具体情况．14.答案：解析：解：因为，所以，当且仅当，即、时取等号，故答案为：由，分离后结合基本不等式即可求解．本特纳主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．15.答案：解析：解：，，对任意，不等式恒成立，即对任意，不等式恒成立，在R上是增函数，，即，又，当时，取最小值，，解得，又，即，故，故答案为：由分段函数得，将不等式恒成立问题转化为对任意，不等式恒成立，由的单调性得到，运用参数分离，以及函数的单调性，求出a的范围．本题考查分段函数及应用，考查函数的单调性和运用，不等式的解法，及恒成立问题的解决方法：参数分离法，属于中档题．16.答案：解：因为，所以，所以，，所以；因为，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，所以．解析：由已知结合二倍角公式可求sin2B，cos2B，然后结合两角和的正弦公式即可求解；由已知结合正弦定理及余弦定理可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．17.答案：Ⅰ证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，，，E为AD中点，，且．四边形ABCE为平行四边形，则O为AC中点．又F为PC中点，平面BEF，平面平面BEF．Ⅱ解：，E为AD中点，．侧面底面ABCD，侧面底面，平面PAD，平面ABCD．易知BCDE为正方形，．建立如图空间直角坐标系，设，则0，，0，，1，，0，，1，．与AB所成角为，，解得：，．Ⅲ解：为PC的中点，所以，，，设是平面BEF的法向量，则取，则，得．是平面ABE的法向量．．由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．解析：Ⅰ因为F为PC的中点，可联想连结AC，交BE于一点O，即可证明O点为AC的中点，利用三角形中位线知识证得线线平行，从而得到线面平行；Ⅱ以E点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用两条异面直线所成角为，结合给出的线段的长度，即可求出PE的长度；Ⅲ求出两个平面FBE与BEA的法向量，利用两个平面法向量所成的角求二面角的余弦值．本题考查了线面平行的判定，考查了利用空间向量求二面角的余弦值，解答的关键是空间坐标系的正确建立，同时需要注意的是平面法向量所成的角和二面角的关系，此题是中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意得：，，，解得：，，所以椭圆M的方程：；Ⅱ由Ⅰ得，，直线AB的方程：，联立与椭圆的方程整理得：，有一个根，另一根，将代入直线AB中得，所以B的坐标，所以，所以直线：，直线的方程：，联立直线与直线：解得：，C在椭圆上：，整理得：，解得：，所以．解析：Ⅰ由题意离心率及左焦点到左顶点的距离为1，和a，b，c之间的关系求出a，b，即求出椭圆方程；Ⅱ设直线AB，代入椭圆求出B的坐标，进而写出直线的方程，由题意设方程，两直线联立求出C的坐标，代入椭圆求出k的值．考查直线与椭圆的综合，属于中档题．19.答案：解：设各项均为正数的等比数列的公比为q，则，，解得，，即有，；证明：，，则，即有，两式相减可得，即有，假设存在正整数k，使得对任意正整数n均成立．令，，即有，即为，数列递增，最小，且为，则有，解得，故存在正整数k，且k的最大值为4．解析：设出等比数列的公比q，运用等比数列的通项公式，解得首项和公比，再由对数的运算性质可得通项公式；运用累加法求得，再由错位相减法求和，即可得证；假设存在正整数k，令，判断单调性，进而得到最小值，解不等式可得k的范围．本题考查等比数列的通项公式和求和公式，同时考查数列的求和方法：错位相减法，以及不等式恒成立问题转化为求数列的最值，注意运用单调性，属于中档题和易错题．20.答案：解：因为，则．令，解得．当时，；当时，，故函数的增区间为；减区间为．当，即时，在区间上单调连增，则；当，即时，在区间上单调递墙，在区间上单调递减，则；当，即时，在区间上单调递减，则．证明：若函数有两个零点，则，可得．则，此时，由此可得，故，即．又因为，，所以．所以．解析：求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得在上的最大值；由有两个零点，由可知，则，因此可得利用，即可证明．本题考查函数单调性与导数的关系，导数与函数最值得关系，考查函数的零点的应用，考查转化思想，属于中档题．。

2019-2020学年天津市南开中学高三（下）第四次月考数学试卷一、选择题（共9小题；共45分）1．（5分）（2020春•南开区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B＝{x∈Z|x2≤4x}，则∁R A∩B＝（）A．{x|0≤x≤3}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{1，2}2．（5分）（2017•沈阳二模）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2019•天津一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且函数f （x）在（﹣∞，0）上是减函数，若，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b4．（5分）（2020春•南开区校级月考）函数的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．5．（5分）（2016•安庆二模）数列{a n}满足：a n+1＝λa n﹣1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{a n﹣1}是等比数列，则λ的值等于（）A．1B．﹣1C．D．26．（5分）（2019•天津一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点F重合，抛物线的准线与双曲线交于A，B两点，且△OAB的面积为6（O 为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．（5分）（2019•和平区三模）设e1．e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足•＝0，则+的值为（）A．B．1C．2D．48．（5分）（2019•天津二模）已知函数的图象过点，且在上单调，把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．C．﹣1D．19．（5分）（2014•眉山一模）已知函数f（x）＝|x3+a|，a∈R在[﹣1，1]上的最大值为M（a），若函数g（x）＝M（x）﹣|x2+t|有4个零点，则实数t的取值范围为．（）A．（1，）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）二、填空题（共6小题；共30分）10．（5分）（2020春•南开区校级月考）若z是复数，z＝，则z•＝．11．（5分）（2020春•南开区校级月考）二项式（）n的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值．则展开式中项的系数是．12．（5分）（2020春•南开区校级月考）一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为．13．（5分）（2020春•南开区校级月考）在平行四边形ABCD中，||＝2，||＝4，∠ABC ＝60°，E，F分别是BC，CD的中点，DE与AF交于H，则•的值是．14．（5分）（2017秋•铜山区校级期中）已知实数x，y满足x2+y2＝3，则+的最小值为．15．（5分）（2019•天津二模）已知函数，函数g（x）＝f（x）﹣kx+1有四个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题（共5小题；共75分）16．（15分）（2018秋•滨海新区期末）某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．（Ⅰ）求恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率；（Ⅱ）求“环保宣传”被这4名学生选择的人数ξ的分布列及其数学期望．17．（15分）（2020春•南开区校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，P A＝AB，AB＝2，AD＝，CD＝1．（1）证明：BD⊥PC；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面P AC所成角的正弦值为，求的值．18．（15分）（2019•南开区一模）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求|OA|cos ∠OAB+的最大值．19．（15分）（2017春•武侯区校级期末）已知数列{a n}满足．（1）设，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）记，求数列{c n}的前n项和T n．20．（15分）（2020春•南开区校级月考）已知函数f（x）＝lnx﹣mx，m∈R．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）证明：m＝0时，e x＞f（x+2）（Ⅲ）若函数g（x）＝（x﹣e）f（x）有且只有三个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3且的最大值是e2，证明：x1x3．2019-2020学年天津市南开中学高三（下）第四次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共9小题；共45分）1．（5分）（2020春•南开区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B＝{x∈Z|x2≤4x}，则∁R A∩B＝（）A．{x|0≤x≤3}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{1，2}【解答】解：根据题意，x2﹣2x﹣3＞0⇒x＜﹣1或x＞3，则A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，则∁R A＝{x|﹣1≤x≤3}，x2≤4x⇒0≤x≤4，B＝{x∈Z|x2≤4x}＝{x∈Z|0≤x≤4}＝{0，1，2，3，4}，则∁R A∩B＝{0，1，2，3}；故选：C．2．（5分）（2017•沈阳二模）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）（2019•天津一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且函数f （x）在（﹣∞，0）上是减函数，若，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，a＝f（2cos）＝f（2cos）＝f（1），b＝f（）＝f（log24.1）c＝f（20.8），又由函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，且1＜20.8＜2＜log24.1，则a＜c＜b；故选：A．4．（5分）（2020春•南开区校级月考）函数的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．【解答】解：对于函数＝3cos（﹣2x）＝3cos（2x﹣），令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，令k＝1，可得选项A正确，故选：A．5．（5分）（2016•安庆二模）数列{a n}满足：a n+1＝λa n﹣1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{a n﹣1}是等比数列，则λ的值等于（）A．1B．﹣1C．D．2【解答】解：由a n+1＝λa n﹣1，得．由于数列{a n﹣1}是等比数列，∴，得λ＝2，故选：D．6．（5分）（2019•天津一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点F重合，抛物线的准线与双曲线交于A，B两点，且△OAB的面积为6（O 为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点F为（2，0），可得双曲线的焦点分别为）﹣2，0），（2，0），抛物线的准线为x＝﹣2，由△OAB的面积为6，可得•2|AB|＝6，即|AB|＝6，可设A（2，3），可得A到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为|﹣3|＝2，即2a＝2，可得a＝1，由b＝＝＝，可得双曲线的方程为x2﹣＝1．故选：D．7．（5分）（2019•和平区三模）设e1．e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足•＝0，则+的值为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c并设PF1＝m，PF2＝n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n＝2a1m﹣n＝2a2解得m＝a1+a2，n＝a1﹣a2又⊥，由勾股定理得PF12+PF22＝F1F22（a1+a2）2+（a1﹣a2）2＝（2c）2化简可得a12+a22＝2c2+＝2故选：C．8．（5分）（2019•天津二模）已知函数的图象过点，且在上单调，把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．C．﹣1D．1【解答】解：∵函数的图象过点，∴2sinφ＝，∴φ＝．f（x）在上单调，∴•≥﹣，∴0＜ω≤3．把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，∴k•＝π，k∈Z，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+）．当且x1≠x2时，2x+∈（，3π），若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝2•＝5π，f（x1+x2）＝2sin（10π+）＝2sin＝，故选：B．9．（5分）（2014•眉山一模）已知函数f（x）＝|x3+a|，a∈R在[﹣1，1]上的最大值为M（a），若函数g（x）＝M（x）﹣|x2+t|有4个零点，则实数t的取值范围为．（）A．（1，）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）【解答】解：当a＝0时，f（x）＝|x3+a|＝|x3|为偶函数，此时最大值为M（a）＝M（﹣1）＝M（1），当a＞0时，函数在[﹣1，1]上的最大值为M（a）＝f（1）＝|1+a|＝a+1，当a＜0时，函数在[﹣1，1]上的最大值为M（a）＝f（﹣1）＝|﹣1+a|＝1﹣a，即M（a）＝．∴M（x）＝．由g（x）＝M（x）﹣|x2+t|＝0得M（x）＝|x2+t|，设函数M（x），m（x）＝|x2+t|，作出两个函数的图象如图：①若t≤0，要使g（x）＝M（x）﹣|x2+t|有4个零点，则两个图象的交点个数有4个，此时满足m（0）＞M（0），即|t|＞1，解得t＜﹣1．②若t＞0，则m（x）＝|x2+t|＝x2+t，当抛物线过点（0，1）时，t＝1．当抛物线与直线相切时，当x＞0时，由，此时x2﹣x+（t﹣1）＝0，由判别式△＝1﹣4（t﹣1）＝5﹣4t＝0，解得t＝．要使g（x）＝M（x）﹣|x2+t|有4个零点，则两个图象的交点个数有4个，此时满足1．综上t＜﹣1或1．故选：C．二、填空题（共6小题；共30分）10．（5分）（2020春•南开区校级月考）若z是复数，z＝，则z•＝．【解答】解：∵z＝，∴z•＝|z|2＝＝．故答案为：．11．（5分）（2020春•南开区校级月考）二项式（）n的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值．则展开式中项的系数是．【解答】解：因为二项式（）n的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值．所以展开式共有11项，则n+1＝11，即n＝10，则二项式（）10的展开式的通项为T r+1＝（）10﹣r（﹣）r＝（﹣1）r22r﹣10x，令＝得：r＝3，即展开式中项的系数是（﹣1）32﹣4＝﹣，故答案为：﹣．12．（5分）（2020春•南开区校级月考）一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为．【解答】解：设中位数为a，则0.02×4+0.08×4+（a﹣10）×0.09＝0.5，解之得a＝，故答案为为：．13．（5分）（2020春•南开区校级月考）在平行四边形ABCD中，||＝2，||＝4，∠ABC ＝60°，E，F分别是BC，CD的中点，DE与AF交于H，则•的值是．【解答】解：过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且GF＝EC＝BC∴GF＝AD，则△AHD∽△GHF从而FH＝AH，∴＝，＝+＝＝﹣，则＝＝﹣，＝＝﹣﹣，则•＝（﹣）•（﹣﹣）＝﹣﹣•＝×16﹣×2×4×﹣×4＝﹣﹣＝，故答案为：．14．（5分）（2017秋•铜山区校级期中）已知实数x，y满足x2+y2＝3，则+的最小值为．【解答】解：设（2x+y）2＝m，（x﹣2y）2＝n，可知n+m＝（2x+y）2+（x﹣2y）2＝5（x2+y2）＝15，则+＝＝（5+）＝．当且仅当，即n＝2m，也即n＝10，m＝5时取等号．故答案为：15．（5分）（2019•天津二模）已知函数，函数g（x）＝f（x）﹣kx+1有四个零点，则实数k的取值范围是．【解答】解：由g（x）＝f（x）﹣kx+1＝0得kx＝f（x）+1，当x＝0时，0＝f（0）+1＝0+1不成立，即x≠0，则k＝，若g（x）有四个零点，则等价为k＝有四个不同的根，设h（x）＝，则当x＞0时，h（x）＝＝lnx+﹣2，h′（x）＝﹣＝，则当x＞1时，h′（x）＞0，函数为增函数，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，函数为减函数，即此时当x＝1时，h（x）取得极小值，极小值为h（1）＝﹣1，当x→+∞，f（x）→+∞，当x≤0时，h（x）＝＝x++，h′（x）＝1﹣＝，由h′（x）＞0得x＞1（舍）或x＜﹣1，此时函数为增函数，由h′（x）＜0得﹣1＜x＜0，此时h（x）为减函数，即当x＝﹣1时，h（x）取得极大值，极大值为h（﹣1）＝﹣1﹣1+＝﹣，作出函数h（x）的图象如图：要使k＝有四个根，则满足﹣1＜k＜，即实数k的取值范围是（﹣1，），故答案为：（﹣1，）三、解答题（共5小题；共75分）16．（15分）（2018秋•滨海新区期末）某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．（Ⅰ）求恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率；（Ⅱ）求“环保宣传”被这4名学生选择的人数ξ的分布列及其数学期望．【解答】解：（Ⅰ）某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．基本事件总数n＝44＝256，恰有2个项目没有被这4名学生选择包含的基本事件个数m＝＝84，∴恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率p＝＝＝．（Ⅱ）“环保宣传”被这4名学生选择的人数ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ01234PE（ξ）＝+4×＝1．17．（15分）（2020春•南开区校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，P A＝AB，AB＝2，AD＝，CD＝1．（1）证明：BD⊥PC；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面P AC所成角的正弦值为，求的值．【解答】解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，P A＝AB，AB＝2，AD＝，CD＝1．∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），D（0，，0），P（0，0，2），C（1，，0），＝（﹣2，，0），＝（1，，0），∴＝0，∴BD⊥PC．（2）解：A（0，0，0），＝（0，0，2），＝（1，，0），设平面APC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，0），平面PCD的法向量＝（1，0，0），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．（3）解：设Q为线段PD上的点，Q（a，b，c），＝λ，0≤λ≤1，则（a，b，c﹣2）＝（0，，﹣2λ），解得，c＝2﹣2λ，∴Q（0，，2﹣2λ），＝（0，），∵平面P AC的法向量＝（，﹣1，0），且直线AQ和平面P AC所成角的正弦值为，∴＝＝，解得或λ＝2（舍），∴＝．18．（15分）（2019•南开区一模）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求|OA|cos ∠OAB+的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，e＝，a2﹣b2＝c2，bc＝，解得a＝，b＝1，c＝，即有椭圆的方程为+y2＝1；（Ⅱ）由题意可知，k存在，设直线为y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），|OA|cos∠OAB+＝|AT|+．将直线y＝kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，由直线l与圆O：x2+y2＝相切，可得，即有4m2＝3（1+k2），|AB|＝•＝•＝•＝•＝•≤•，当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．∴|OA|cos∠OAB+的最大值为2．19．（15分）（2017春•武侯区校级期末）已知数列{a n}满足．（1）设，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）记，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}满足，可得：，设，数列{b n}是等差数列，公差为1，首项为1，所以b n＝n；（2）易得，其前n项和：S n＝1•21+2•22+3•23+…+n•2n…①，2S n＝1•22+2•23+…+n•2n+1…②，②﹣①可得：S n＝﹣1﹣22﹣23﹣…﹣2n+n•2n+1∴；（3）＝，＝或写成．20．（15分）（2020春•南开区校级月考）已知函数f（x）＝lnx﹣mx，m∈R．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）证明：m＝0时，e x＞f（x+2）（Ⅲ）若函数g（x）＝（x﹣e）f（x）有且只有三个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3且的最大值是e2，证明：x1x3．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．由已知可得，当m≤0 时，f′（x）≥0，故f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值；当m＞0 时，由f′（x）＞0，解得；由f′（x）＜0，解得，所以函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，f（x）的极大值为，无极小值；（Ⅱ）证明：令F（x）＝e x﹣f（x+2）＝e x﹣ln（x+2）（x＞﹣2），故只需证明F（x）＞0，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且F′（﹣1）＜0，F′（0）＞0．，故F′（x）＝0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0），，则ln（x0+2）＝﹣x0，当x∈（﹣2，x0）时，F′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＞0，从而当x＝x0时，F（x）取得最小值，故，综上，m＝0时，e x＞f（x+2）；（Ⅲ）证明：∵函数g（x）＝（x﹣e）（lnx﹣mx）有且只有三个不同的零点，显然x＝e是其零点，∴函数f（x）＝lnx﹣mx存在两个零点，即lnx﹣mx＝0有两个不等的实数根，可转化为方程在区间（0，+∞）上有两个不等的实数根，即函数y＝m的图象与函数的图象有两个交点，∵，∴由h′（x0）＞0，解得0＜x＜e，故h（x）在（0，e）上单调递增；由h′（x0）＜0，解得x＞e，故h（x）在（e，+∞）上单调递减；故函数y＝m的图象与的图象的交点分别在（0，e），（e，+∞）上，即lnx﹣mx＝0 的两个根分别在区间（0，e），（e，+∞）上，∴g（x）的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0＜x1＜e，x3＞e，令，则t∈（1，e2]，由，解得，故，令，则，令，则，∴q（t）在区间（1，e2]上单调递增，即q（t）＞q（1）＝0，∴p′（t）＞0，即p（t）在区间（1，e2]上单调递增，即，∴，即x1x3．。

天津市南开区2019-2020学年高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先将2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为2cos 26π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x ，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【详解】因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6π个单位. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.2．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =E 为PC的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A．39-B．39C． D．5【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos ,BE PD BE PD BE PD⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 即可得解. 【详解】Q PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，∴如图建立空间直角坐标系，由题意：()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,0,5P ，()0,2,0D ，Q E 为PC 的中点，∴51,1,2E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ∴51,1,BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,2,5PD =-u u u r ，∴1132cos ,133BE PD BE PD BE PD-⋅===-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为cos ,BE PD u u u r u u u r即为1339.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.3．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.5．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．13【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率．【详解】在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155P == 本题正确选项：B 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．6．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a r 、b r 、c r，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=r r r r r r r r，则（ ）A ．max372a c+-=r r B ．max372a c-+=r r C ．min37a c+-=r r D ．min37a c-+=r r 【答案】A 【解析】 【分析】设θ为a r 、b r 的夹角，根据题意求得3πθ=，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，()1,3b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -r r 和a c +r r转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=r r r r ，则1cos =2θ，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=，建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，()1,3b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，由()22c a b c ⋅+-=r r r r，可得()(),42322x y x y ⋅-=，即224222x x y -+-=，化简得点C 的轨迹方程为()22314x y ⎛-+= ⎝⎭，则a c -=r r ，则a c -r r 转化为圆()22314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0的距离，maxa c ==∴-r r，min a c ==-r r ，a c +=r ra c +r r 转化为圆()223124x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭上的点与点()2,0-的距离，max22a c==∴+r r，m 22im a c ==+r r . 故选：A. 【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.7．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=„，()220.9544P X μσμσ-<+=„.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544【答案】C 【解析】 【分析】根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=„，()70900.9544P X <=„， 所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=„，()75900.68260.13590.8185P X <=+=„. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 8．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）A ．512πB ．56π C ．6π D ．12π【答案】A 【解析】 【分析】先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值. 【详解】()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()2sin 223g x m A x m π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. 令22232x m k πππ--=+，k Z ∈，解得7122k x m ππ=++，k Z ∈. 因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴， 令07122ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ=--，k Z ∈， 因为0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512m π=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题．9．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）【解析】【分析】以O为圆心，以OF为半径的圆的方程为222x y c+=，联立22222221x y cx ya b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点222,a cb bAc⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，则22243bca c b=+，整理计算可得离心率.【详解】解：以O为圆心，以OF为半径的圆的方程为222x y c+=，联立22222221x y cx ya b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得222a c bxcbyc⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222,a cb bAc c⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，则22243bca c b=+，整理得()()22229550c a c a--=，则22519ca=<（舍去），225ca=，5cea∴==.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.10．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．11．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容． 【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3 …观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．12．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）AB ．2C ．4D．【答案】C 【解析】 【分析】设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】圆22650x y y +-+=可化为22(3)4x y +-=.设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,l l 的斜率分别为1212,22x xk k ==， 所以12,l l 的方程为()21111:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，()22222:24x x l y x x =-+，即222x y x y =-，由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32xt y -=-上， 所以直线AB 的方程为32xt y -=-，恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。