2016年新课标Ⅲ高考数学理科试题含答案(Word版)

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，=|FN||y1﹣y2|，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- 13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 已知集合{||2,}A x x R =≤∈},{|4,}B x x x Z =≤∈,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}(2)已知复数23(13)iz i +=-z 是z 的共轭复数，则z z •=A.14 B.12C.1D.2 (3)曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为（A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（2，-2），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（5）已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400 （7）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于（A ）54 （B ）45（C ）65（D ）56（8）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->= (A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或(D) {|22}x x x <->或（9）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) -2（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π(B) 273a π(C)2113a π (D) 25a π（11）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是 (A) (1,10)(B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)（12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B)22145x y -=(C) 22163x y -= (D)22154x y -= 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

2016年普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 〔1〕[2016年##,理1,5分]若复数z 满足232i z z +=-,其中i 为虚数为单位,则z =〔〕〔A 〕12i +〔B 〕12i -〔C 〕12i -+〔D 〕12i -- [答案]B[解析]设(),,z a bi a b R =+∈,则2()i 23i 32i z z z z z a b a a b +=++=++=+=-,所以1,2a b ==-,故选B ． [点评]本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力．〔2〕[2016年##,理2,5分]已知集合{}{}22,,10x A y y x R B x x ==∈=-<,则AB =〔〕〔A 〕()1,1-〔B 〕()0,1〔C 〕()1,-+∞〔D 〕()0,+∞ [答案]C[解析]由题意()0,A =+∞,()1,1B =-,所以()1,AB =-+∞,故选C ．[点评]本题考查并集与其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题． 〔3〕[2016年##,理3,5分]某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位：小时〕,制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的X 围是[]17.5,30,样本数据分组为[)17.5,20,[)20,22.5,[)22.5,25,[)25,27.5,[]27.5,30．根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是〔〕 〔A 〕56〔B 〕60〔C 〕120〔D 〕140 [答案]D[解析]由图可知组距为2.5,每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=, 所以,每周自习时间不少于22.5小时的人数是()20010.30140⨯-=人,故选D ． [点评]本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目．〔4〕[2016年##,理4,5分]若变量x ,y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则22x y +的最大值是〔〕〔A 〕4〔B 〕9〔C 〕10〔D 〕12 [答案]C[解析]由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方,故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--,所以()3,1-是最优解,22x y +的最大值是10,故选C ．[点评]本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题． 〔5〕[2016年##,理5,5分]有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如右图所示,则该几何体的体积为〔〕〔A 〕1233+π〔B 〕1233+π〔C 〕1236+π〔D 〕216+π[答案]C[解析]由三视图可知,半球的体积为26π,四棱锥的体积为13,所以该几何体的体积为1236+π,故选C ．[点评]本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键．〔6〕[2016年##,理6,5分]已知直线,a b 分别在两个不同的平面α,β内,则"直线a 和直线b 相交〞是"平面α和平面β相交〞的〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]由直线a 和直线b 相交,可知平面αβ、有公共点,所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交,直线a 和直线b 不一定相交,故选A ．[点评]本题考查的知识点是充要条件,空间直线与平面的位置关系,难度不大,属于基础题． 〔7〕[2016年##,理7,5分]函数()()()3sin cos 3cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是〔〕〔A 〕2π〔B 〕π〔C 〕32π〔D 〕2π[答案]B[解析]由()2sin cos 3cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以,最小正周期是π,故选B ．[点评]本题考查的知识点是和差角与二倍角公式,三角函数的周期,难度中档．〔8〕[2016年##,理8,5分]已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n =<>=,若()n tm n ⊥+则实数t 的值为〔〕〔A 〕4〔B 〕4-〔C 〕94〔D 〕94-[答案]B[解析]因为21cos ,4nm m n m n n =⋅<>=,由()n tm n ⊥+,有()20n tm n tmn n +=+=,即2104t n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4t =-,故选B ．[点评]本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,向量垂直的充要条件,难度不大,属于基础题．〔9〕[2016年##,理9,5分]已知函数()f x 的定义域为R ,当0x <时,3()1f x x =-；当11x -≤≤时,()()f x f x -=-；当12x >时,1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()6f =〔〕〔A 〕2-〔B 〕1-〔C 〕0〔D 〕2 [答案]D[解析]由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知当12x >时,()f x 的周期为1,所以()()61f f =．又当11x -≤≤时,()()f x f x -=-,所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦,故选D ．[点评]本题考查函数值的计算,考查函数的周期性,考查学生的计算能力,属于中档题． 〔10〕[2016年##,理10,5分]若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是〔〕〔A 〕sin y x =〔B 〕ln y x =〔C 〕x y e =〔D 〕3y x = [答案]A[解析]因为函数ln y x =,x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T 性质,故选A ．[点评]本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,转化思想,难度中档．第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题,每小题5分〔11〕[2016年##,理11,5分]执行右边的程序框图,若输入的的值分别为0和9,则输出i 的值为． [答案]3[解析]i 1=时,执行循环体后1,8a b ==,a b >不成立；i 2=时,执行循环体后3,6a b ==,a b >不成立；i 3=时,执行循环体后6,3a b ==,a b >成立；所以i 3=,故填 3.[点评]本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答． 〔12〕[2016年##,理12,5分]若521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是80-,则实数a =．[答案]2-[解析]由()23222355551C C 80ax a x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,得2a =-,所以应填2-．[点评]考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数,属常规题型．〔13〕[2016年##,理13,5分]已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,,AB CD 的中点为E 的两个焦点,且23AB BC =,则E 的离心率为．[答案]2[解析]由题意BC 2c =,所以2AB 3BC =,于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上,代入方程,得2222914c c a b -=,在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．[点评]本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用方程的思想,正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键,考查运算能力,属于中档题．〔14〕[2016年##,理14,5分]在[]1,1-上随机的取一个数k ,则事件"直线y kx =与圆()2259x y -+=相交〞发生的概率为． [答案]34[解析]首先k 的取值空间的长度为2,由直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交,得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,其长度为32,所以所求概率为33224=． [点评]本题主要考查了几何概型的概率,以与直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题．〔15〕[2016年##,理15,5分]在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩,其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则m 的取值X 围是．[答案]()3,+∞[解析]因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =,所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增,只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时,关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤,0m >时,存在实数b ,使方程()f x b =在x m ≤时有两个根,只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可,解之,注意0m >,得3m >,故填()3+∞，． [点评]本题考查根的存在性与根的个数判断,数形结合思想的运用是关键,分析得到24m m m -<是难点,属于中档题．三、解答题：本大题共6题,共75分．〔16〕[2016年##,理16,12分]在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为a,b,c ,已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+． 〔1〕证明：2a b c +=； 〔2〕求cos C 的最小值．解：〔1〕由()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+,2sin sin sin C B C =+, 由正弦定理,得2a b c +=．〔2〕由()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==222333111122222c c ab a b =-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭．所以cos C 的最小值为12． [点评]考查切化弦公式,两角和的正弦公式,三角形的内角和为π,以与三角函数的诱导公式,正余弦定理,不等式222a b ab +≥的应用,不等式的性质．〔17〕[2016年##,理17,12分]在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上底面圆O '的直径,FB 是圆台的一条母线．〔1〕已知,G H 分别为,EC FB 的中点,求证：//GH 平面ABC ；〔2〕已知123,2EF FB AC AB BC ====,求二面角F BC A --的余弦值．解：〔1〕连结FC ,取FC 的中点M ,连结,GM HM ,因为//GM EF ,EF 在上底面内,GM 不在上底面内,所以//GM 上底面,所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ,BC ⊂平 面ABC ,MH ⊄平面ABC ,所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ,由GH ⊂平面GHM ,所以//GH 平面ABC ．〔2〕连结OB ,AB BC =OA OB ∴⊥,以为O 原点,分别以,,OA OB OO '为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系．123,2EF FB AC AB BC ====,22()3OO BF BO FO '=--=,于是有()23,0,0A ,()23,0,0C -,()0,23,0B ,()0,3,3F ,可得平面FBC 中的向量()0,3,3BF =-, ()23,23,0CB =,于是得平面FBC 的一个法向量为()13,3,1n =-,又平面ABC 的一个法向量为()20,0,1n =,设二面角F BC A --为θ, 则121217cos 77n n n n θ⋅===⋅．二面角F BC A --的余弦值为77． [点评]本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用．〔18〕[2016年##,理18,12分]已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,{}n b 是等差数列,且1n n n a b b +=+．〔1〕求数列{}n b 的通项公式；〔2〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：〔1〕因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,所以111a =,当2n ≥时,221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+,又65n a n =+对1n =也成立,所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列,设公差为d ,则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时,1211b d =-；当2n =时,2217b d =-,解得3d =,所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+． 〔2〕由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++,于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅,两边同乘以２,得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅,两式相减,得2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．[点评]本题考查数列的通项与求和,着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用,考查分析与运算能力,属于中档题．〔19〕[2016年##,理19,12分]甲、乙两人组成"星队〞参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则"星队〞得3分；如果只有一人猜对,则"星队〞得1分；如果两人都没猜对,则"星队〞得0分．已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响．假设"星队〞参加两轮活动,求： 〔1〕"星队〞至少猜对3个成语的概率；〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ． 解：〔1〕"至少猜对3个成语〞包括"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞．设"至少猜对3个成语〞为事件A ；"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞分别为事件C B ,,则1122332131225()4433443312P B C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=；33221()44334P C =⋅⋅⋅=．所以512()()()1243P A P B P C =+=+=．〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6,于是11111(0)4343144P X ==⋅⋅⋅=；112212*********(1)4343434314472P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==；1211223311132125(2)443344334433144P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；123211121(3)434314412P X C ==⋅⋅⋅==； 12321231605(4)()43434314412P X C ==⋅⋅⋅+⋅==；3232361(6)43431444P X ==⋅⋅⋅==； XX 的数学期望01234614472144121241446EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． [点评]本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,属中档题．〔20〕[2016年##,理20,13分]已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈．〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕当1a =时,证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立．解：〔1〕求导数3122()(1)x f x a x x'=－－－23(1)(2x ax x =－－),当0a ≤时,x ∈(0,1),()0f x '>,()f x 单调递增,x +∞∈(1,),()0f x '<,()f x 单调递减当0a >时,()()()233112()a x x x x ax f x x x⎛--+ --⎝⎭⎝⎭'== ①当02a<<时,1,x ∈(0,1)或x ⎫+∞⎪⎪⎭∈,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎛ ⎝∈,()0f x '<,、()f x 单调递减；②当a =２时1,x ∈+∞(0,),()0f x '≥,()f x 单调递增, ③当a >２时,01<,x ⎛∈ ⎝或()x ∈+∞1,,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎫∈⎪⎪⎭1,()0f x '<, ()f x 单调递减．〔2〕当1a =时,221()ln x f x x x x=+－－,2323(1)(212()1x x f x x x x x '==+－－)2－－, 于是2232112()()ln 1)x f x f x x x x x x x '=++－2－－－(－－23312ln 1x x x x x =--++-,[1,2]x ∈令()g ln x x x =-,2332h()x x x x=-++-11,[1,2]x ∈,于是()()g(()f x f x x h x '-=+）, 1g ()10x x x x-'=-=≥1,()g x 的最小值为()11g =；又22344326326()x x h x x x x x --+'=--+=, 设()2326x x x θ=--+,[1,2]x ∈,因为()11θ=,()210θ=-,所以必有0[1,2]x ∈,使得()00x θ=,且01x x <<时,()0x θ>,()h x 单调递增；02x x <<时,()0x θ<,()h x 单调递减；又()11h =,()122h =, 所以()h x 的最小值为()122h =．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h '=+>+=+=））－． 即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． [点评]本题考查利用导数加以函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,是压轴题．〔21〕[2016年##,理21,14分]平面直角坐标系xOy 中,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是,抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． 〔i 〕求证：点M 在定直线上；〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ,PDM ∆的面积为2S ,求12SS 的最大值与取得最大值时点P 的坐标．解：〔1,有224a b =,又抛物线22x y =的焦点坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭,所以12b =,于是1a =,所以椭圆C 的方程为2241x y +=．〔2〕〔i 〕设P 点坐标为()2,02m P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭,由22x y =得y x '=,所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ,因此切线l 的方程为22m y mx =-,设()()1122,,,A x y B x y ,()00,D x y ,将22m y mx =-代入2241x y +=,得()223214410m x m x m +-+-=．于是3122414m x x m +=+,312022214x x m x m +==+, 又()220022214m m y mx m -=-=+,于是直线OD 的方程为14y x m =-． 联立方程14y x m =-与x m =,得M 的坐标为1,4M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以点M 在定直线14y =-上．〔ii 〕在切线l 的方程为22m y mx =-中,令0x =,得22m y =-,即点G 的坐标为20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以211(1)24m m S m GF +=⨯=；再由()32222,41241m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭,得 ()()22232222112122441841m m m m m S m m +++=⨯⨯=++于是有()()()221222241121m m S S m ++=+．令221t m =+, 得()12221211122t t S S t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==+-,当112t =时,即2t =时,12S S 取得最大值94．此时212m =,m =所以P点的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭．所以12S S 的最大值为94,取得最大值时点P的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭． [点评]本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标,考查直线和抛物线斜的条件,以与直线方程的运用,考查三角形的面积的计算,以与化简整理的运算能力,属于难题．。

2016山东数学文理试题及解析（一）2016年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i解：复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．故选：B．2．设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故选：C．3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．140解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，故选：D4．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π，故选：C6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选：A7．函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A．B．πC．D．2π解：数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos（x+）=2sin（2x+），∴T=π，故选：B8．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故选：D．10．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，故输出的i值为：3，故答案为：312．若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a= ．解：（ax2+）5的展开式的通项公式T r+1=（ax2）5﹣r=a5﹣r，令10﹣=5，解得r=2．∵（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80∴a3=﹣80，得a=﹣2．13．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD 的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．14．在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．15．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题,：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．17．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH∥，又∵EF BO，∴GQ BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞===﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．18．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n﹣1=b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n===6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．19．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下图所示：X 0 1 2 3 4 6P∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==20．已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+，得f′（x）=a（1﹣）+==（x＞0）．若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）解：∵a=1，令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+．∵e x＞1+x，∴x＞ln（1+x），∴e x﹣1＞x，则x﹣1＞lnx，∴F（x）＞=．令φ（x）=，则φ′（x）=（x∈[1，2]）．∴φ（x）在[1，2]上为减函数，则，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．21．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），即有b=，a2﹣c2=，解得a=1，c=，可得椭圆的方程为x2+4y2=1；（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．即有点M在定直线y=﹣上；（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；S 2=|PM|•|x 0﹣|=（y 0+）•=x 0•，则=，令1+2x 02=t （t ≥1），则====2+﹣=﹣（﹣）2+，则当t=2，即x 0=时，取得最大值，此时点P 的坐标为（，）．（二）2016年山东省高考数学试卷（文科）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

2 3 2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 S = S = {x P (x - 2)(x - 3) ≥ 0}, T = {x I x > 0} (A) [2，3] (B)（- ∞ ，则 S I ，2] U T =[3,+ ∞ ） (C) [3,+ ∞ ） (D)（0，2] U 4i [3,+ ∞ ）（2）若 z=1+2i ，则=zz -1(A)1(B) -1(C) i(D)-iu u v 1 u u u v 1 （3） 已知向量 BA = ( , ) 2 2, BC = ( , ), 2 2 则∠ ABC=(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4） 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为 50C 。

下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在 00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个（5） 若tan= 4，则cos 2+ 2 sin 2=(A)64254(B)48 2531(C) 1(D)16 25（6）已知 a = 23 ， b = 44 ， c = 253 ，则（A ） b < a < c （B ） a < b < c （C ） b < c < a （D ） c < a < b（7） 执行下图的程序框图，如果输入的 a =4，b =6，那么输出的 n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63x ‒ 2y ≪ 0 x + 2y ‒ 2 ≪ 0则 z=x+y 的最大值为.（8） 在△ABC 中， B =π，BC 边上的高等于 1BC ,则cos A =（A ）3 10 10 43（B ） 10 10 （C ）- 10 10（D ）-3 10 10 (9) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18 + 36（B ） 54 +18 （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB⊥ BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则 V 的最大值是9（ A ） 4π （ B ）（ C ） 6π2（D ）323x 2 + y 2=> >（11） 已知 O 为坐标原点，F是椭圆 C ： a 2b 21(a b0) 的左焦点，A ，B 分别为 C 的左，右顶点.P 为 C上一点，且 PF ⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 1 1 2 3 （A ）（B ） （C ）（D ）3234（12） 定义“规范 01 数列”{a n }如下：{a n }共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k ≤ 2m ， a 1 , a 2 , , a k中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m =4，则不同的“规范 01 数列”共有 （A ）18 个 （B ）16 个 （C ）14 个 （D ）12 个二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分{x ‒ y + 1 ≥ 0（14）函数y = sin x ‒ 3cos x 的图像可由函数度得到。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅰ，理1，5分】设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|230B x x =->，则AB =（ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】{|13}A x x =<<，3{|}2B x x =>，3{|3}2A B x x ∴=<<，故选D ．【点评】考察集合运算和简单不等式解法，属于必考题型，难易程度：易． （2）【2016年全国Ⅰ，理2】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题意知：1x y ==，i =1i 2x y ∴++=，故选B ．【点评】察复数相等条件和复数的模，属于必考题型，难易程度：易． （3）【2016年全国Ⅰ，理3，5分】已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C【解析】解法一：199599272a a S a +===，53a ∴= 1051105a a d -∴==-()100101001089098a a d ∴=+-=+=，选C ． 解法二：91989272S a d ⨯=+=，即143a d +=，又10198a a d =+=，解得11,1a d =-=，()1001100119998a a d ∴=+-=-+=，故选C ． 【点评】考察等差数列的基本性质、前n 项和公式和通项公式，属于必考题型，难易程度：易． （4）【2016年全国Ⅰ，理4，5分】某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】小明可以到达车站时长为40分钟，可以等到车的时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率是201402P ==，故选B ．【点评】考察几何概型的概率计算，第一次考察，难易程度：易．（5）【2016年全国Ⅰ，理5，5分】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 【答案】A【解析】由题意知：2234m n m n ++-=，解得21m =，1030n n +>⎧∴⎨->⎩，解得13n -<<，故选A ．【点评】考察双曲线的简单几何性质，属于了解层次，必考题，难易程度：易． （6）【2016年全国Ⅰ，理6，5分】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的18（如右图所示），故34728383r ππ=解得2r =，2271431784S r r πππ∴=⋅+⋅=，故选A ．【点评】考察三视图还原，球的体积表面积计算，经常考察，难易程度：中等． （7）【2016年全国Ⅰ，理7，5分】函数22xy x e =-在[2,2]-的图像大致为（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）【答案】D【解析】解法1（排除法）：2()2xf x x e =-为偶函数，且2(2)887.40.6f e =-≈-=，故选D ．解法2：2()2xf x x e =-为偶函数，当0x >时，'()4x f x x e =-，作4y x =与x y e =（如图），故存在实数0(0,1)x ∈，使得'0()0f x =且0(0,)x x ∈时，'0()0f x <，0(,2)x x ∈时， '0()0f x >，()f x ∴在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上递增，故选D ．【点评】本题结合导数利用函数奇偶性，综合考察函数解析式与函数图像之间的关系，常规题型，属于必考题，难易程度：中等．这类题型的最佳解法应为结合函数的性质，选取特殊点进行排除．（8）【2016年全国Ⅰ，理8，5分】若101a b c >><<，，则（ ） （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <【答案】C【解析】解法1（特殊值法）：令14,22a b c ===，，易知C 正确．解法2：当0α>时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞上递增，故A 选项错误；当1a >时，a 越大对数函数()log a f x x =的图像越靠近x 轴，当01c <<时，log log a b c c >，故D 选项错误；c c ab ba <可化为()c a ab b<，由指数函数知，当1a >时，()x f x a =在(0,)+∞上递增，故B 选项错误；log log b a a c b c <可化为11log log abb ac c <，1111abbb b a <<<，故选C ．【点评】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质，属于常考题型，难易程度：中等． 结合函数性质证明不等式是比较麻烦的，最好采用特殊值法验证排除．（9）【2016年全国Ⅰ，理9，5分】执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（ ）（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【答案】C【解析】011x y n ===，，时，框图运行如下： 1、012x y n ===，，；2、1232x y n ===，，；3、3632x y n ===，，，故选C ．【点评】考察算法中的循环结构，必考题型，难易程度：易． （10）【2016年全国Ⅰ，理10，5分】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C的标准线于D 、E 两点．已知42AB =，25DE =，则C 的焦点到准线的距离为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】B【解析】解法1排除法：当4p =时，不妨令抛物线方程为28y x =，当y =1x =，即A 点坐标为(，所以圆的半径为3r =，此时D 点坐标为(-，符合题意，故B 选项正确．解法2：不妨令抛物线方程为22y px =，D 点坐标为2P ⎛- ⎝，则圆的半径为r =，22834p r -=-，即A 点坐标为⎭，所以22=，解得4p =，故选B ． 【点评】考察抛物线和圆的简单性质，必考题型，难易程度：中等． （11）【2016年全国Ⅰ，理11，5分】平面a 过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//a 平面11CB D ，a 平面ABCD m =，a 平面11ABA B n =，则m 、n 所成角的正弦值为（ ）（A （B ）2 （C （D ）13【答案】A【解析】令平面a 与平面11CB D 重合，则11m B D =，1n CD =，故直线m 、n 所成角为60o ，，故选A ． 【点评】考察正方体中线面位置关系和两条直线夹角的计算，必考题型，难易程度：中等．（12）【2016年全国Ⅰ，理12，5分】已知函数()()sin 02f x x +πωϕωϕ⎛⎫=>≤ ⎪⎝⎭，，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（ ）（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B【解析】解法1（特殊值验证法）令9ω=，则周期29T π=，区间[]44ππ-，刚为94T ，且在53636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，恰好符合题意，故选B ．解法2：由题意知152()24369T πππ≥-=，所以29Tπω=≤，故选B ．【点评】综合考察三角函数图像的单调性、对称性、零点、周期等性质，属于必考题型，难易程度：偏难．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2016年全国Ⅰ，理13，5分】设向量(),1m =a ，()1,2=b ，且222+=+a b a b ，则m = ． 【答案】2-【解析】解法一（几何法）由向量加法的几何意义知a b ⊥，故20a b m ⋅=+=，所以2m =-；解法二（代数法）22(1)9114m m ++=+++，解得2m =-．【点评】考察向量运算，必考题型，难易程度：易．（14）【2016年全国Ⅰ，理14，5分】(52x +的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】10【解析】()555215522r rrrr rr T Cx C x---+==，令532r-=，解得4r =，454525210C -∴=⨯=． 【点评】考察二项式定理展开式中指定项问题，必考题型，难易程度：中等．（15）【2016年全国Ⅰ，理15，5分】设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 ． 【答案】64【解析】由1310a a +=，245a a +=解得118,2a q ==，14118()()22n n n a --∴==，27321(4)21211()()22n nn n a a a ----+⋅⋅⋅+-∴⋅⋅⋅==，所以当3n =或4时，12n a a a ⋅⋅⋅有最大值64．【点评】考察等比数列的通项公式、等差数列求和及二次函数最值问题，必考题型，难易程度：中等． （16）【2016年全国Ⅰ，理16，5分】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

2016年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）數學（理科）第Ⅰ卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出の四個選項中，只有一項符合題目要求． （1）【2016年浙江，理1，5分】已知集合{}|13P x R x =∈≤≤，{}2|4Q x R x =∈≥，則()R P Q （ ）（A ）[]2,3 （B ）(]2,3- （C ）[)1,2 （D ）(][),21,-∞-+∞【答案】B 【解析】{}{}2|22|4Q x R x x R x x =∈≥=∈≥≤-或，即有{}|22R Q x R x -=<∈<，則()(]2,3RP Q =-，故選B ．【點評】本題考查集合の運算，主要是並集和補集の運算，考查不等式の解法，屬於基礎題． （2）【2016年浙江，理2，5分】已知互相垂直の平面α，β交於直線l ．若直線m ，n 滿足//m α，n β⊥，則（ ）（A ）//m l （B ）//m n （C ）n l ⊥ （D ）m n ⊥ 【答案】C【解析】∵互相垂直の平面α，β交於直線l ，直線m ，n 滿足//m α，∴//m β或m β⊂或m β⊥，l β⊂，∵n β⊥，∴n l ⊥，故選C ．【點評】本題考查兩直線關系の判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力の培養． （3）【2016年浙江，理3，5分】在平面上，過點P 作直線l の垂線所得の垂足稱為點P 在直線l 上の投影．由區域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中の點在直線20x y +-=上の投影構成の線段記為AB ，則AB =（ ）（A ）22 （B ）4 （C ）32 （D ）6【答案】C【解析】作出不等式組對應の平面區域如圖：（陰影部分），區域內の點在直線20x y +-=上の投影構成線段R Q ''，即SAB ，而R Q RQ ''=，由3400x y x y -+=⎧⎨+=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩，即()1,1Q -，由20x x y =⎧⎨+=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩，即()2,2R -，則()()2212129932AB QR ==--++=+=，故選C ．【點評】本題主要考查線性規劃の應用，作出不等式組對應の平面區域，利用投影の定義以及數形結合是解決本題の關鍵．（4）【2016年浙江，理4，5分】命題“x ∀∈R ，n N *∃∈，使得2n x >”の否定形式是（ ）（A ）x ∀∈R ，n N *∃∈，使得2n x < （B ）x ∀∈R ，n N *∀∈，使得2n x < （C ）x ∃∈R ，n N *∃∈，使得2n x < （D ）x ∃∈R ，n N *∀∈，使得2n x < 【答案】D 【解析】因為全稱命題の否定是特稱命題，所以，命題“x ∀∈R ，n N *∃∈，使得2n x >”の否定形式是：x ∃∈R ，n N *∀∈，使得2n x <，故選D ．【點評】全稱命題の否定是特稱命題，特稱命題の否定是全稱命題．對含有存在（全稱）量詞の命題進行否定需要兩步操作：①將存在（全稱）量詞改成全稱（存在）量詞；②將結論加以否定．（5）【2016年浙江，理5，5分】設函數()2sin sin f x x b x c =++，則()f x の最小正周期（ ）（A ）與b 有關，且與c 有關 （B ）與b 有關，但與c 無關（C ）與b 無關，且與c 無關 （D ）與b 無關，但與c 有關 【答案】B【解析】∵設函數()2sin sin f x x b x c =++，∴c 是圖象の縱坐標增加了c ，橫坐標不變，故周期與c 無關，當0b =時，()211sin sin cos222f x x b x c x c =++=-++の最小正周期為22T ππ==，當0b ≠時，()11cos2sin 22f x x b x c =-+++，∵cos2y x =の最小正周期為π，sin y b x =の最小正周期為2π，∴()f x の最小正周期為2π，故()f x の最小正周期與b 有關，故選B ．【點評】本題考查了三額角函數の最小正周期，關鍵掌握三角函數の圖象和性質，屬於中檔題． （6）【2016年浙江，理6，5分】如圖，點列{}n A 、{}n B 分別在某銳角の兩邊上，且112n n n n A A A A +++=，1n n A A +≠，n N *∈，112n n n n B B B B +++=，1n n B B +≠，n N *∈，（P Q ≠表示點P 與Q 不重合）若n n n d A B =，n S 為1n n n A B B +∆の面積，則（ ） （A ）{}n S 是等差數列 （B ）{}2n S 是等差數列（C ）{}n d 是等差數列 （D ）{}2n d 是等差數列 【答案】A【解析】設銳角の頂點為O ，1OA a =，1OB b =，112n n n n A A A A b +++==，112n n n n B B B B d +++==，由於a ，b 不確定，則{}n d 不一定是等差數列，{}2nd 不一定是等差數列，設1n n n A B B+∆の底邊1n n B B +上の高為n h ，由三角形の相似可得()111n n n n a n b h OA h OA a nb +++-==+，()22111n n n n a n bh OA h OA a nb++++++==+，兩式相加可得，21222n n n h h a nb h a nb ++++==+，即有212n n n h h h +++=，由12n n S d h =⋅，可得212n n n S S S +++=， 即為211n n n n S S S S +++=--，則數列{}n S 為等差數列，故選A ．【點評】本題考查等差數列の判斷，注意運用三角形の相似和等差數列の性質，考查化簡整理の推理能力，屬於中檔題．（7）【2016年浙江，理7，5分】已知橢圓()2212:11x C y m m +=>與雙曲線()2212:10x C y n n-=>の焦點重合，1e ，2e 分別為1C ，2C の離心率，則（ ） （A ）m n >且121e e > （B ）m n >且121e e < （C ）m n <且121e e > （D ）m n <且121e e < 【答案】A【解析】∵橢圓()2212:11x C y m m +=>與雙曲線()2212:10x C y n n-=>の焦點重合，∴滿足22211c m n =-=+，即2220m n -=>，∴22m n >，則m n >，排除C ，D ，則2221c m m -<=，2221c n n =+>，則c m <．c n >，1c e m =，2c e n =，則212c c c e e m n mn ⋅=⋅=，則()()()222222212222211m n c c c c e e m n m n m n -+⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222222222222112111111m n m n m n m n m n m n m n+-----==+=+=+>，∴121e e >，故選A ． 【點評】本題主要考查圓錐曲線離心率の大小關系の判斷，根據條件結合雙曲線和橢圓離心率以及不等式の性質進行轉化是解決本題の關鍵．考查學生の轉化能力．（8）【2016年浙江，理8，5分】已知實數a ，b ，c （ ）（A ）若221a b c a b c +++++≤，則222100a b c ++<（B ）若22|1|a b c a b c ++++-≤，則222100a b c ++<（C ）若221||a b c a b c ++++-≤，則222100a b c ++<（D ）若22|1|a b c a b c ++++-≤，則222100a b c ++< 【答案】D 【解析】A ．設10a b ==，110c =-，則2201a b c a b c +++++=≤，222100a b c ++>；B ．設10a =，100b =-，0c =，則221||0a b c a b c ++++-=≤，222100a b c ++>；C ．設100a =，100b =-，0c =，則22|0|1a b c a b c ++++-=≤，222100a b c ++>，故選D ．【點評】本題主要考查命題の真假判斷，由於正面證明比較複雜，故利用特殊值法進行排除是解決本題の關鍵．第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．（9）【2016年浙江，理9，6分】若拋物線24y x =上の點M 到焦點の距離為10，則M 到y 軸の距離是 ． 【答案】9【解析】拋物線の准線為1x =-，∵點M 到焦點の距離為10，∴點M 到准線1x =-の距離為10，∴點M 到y 軸の距離為9．【點評】本題考查了拋物線の性質，屬於基礎題． （10）【2016年浙江，理10，6分】已知()()22cos sin 2sin 0x x A x b A ωϕ+=++>，則A = ，b = ． 【答案】2；1【解析】∵2222cos sin 21cos 2sin 212cos 2sin 212sin 21224x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2A ∴=，1b =．【點評】本題考查了二倍角の餘弦公式、兩角和の正弦函數の應用，熟練掌握公式是解題の關鍵． （11）【2016年浙江，理11，6分】某幾何體の三視圖如圖所示（單位：cm ），則該幾何體の表面積是 cm 2，體積是 cm 3． 【答案】72；32【解析】由三視圖可得，原幾何體為由四個棱長為2cm の小正方體所構成の，則其表面積為()2224672⨯-=cm 2，其體積為34232⨯=．【點評】本題考查了由三視圖求幾何體の體積和表面積，解題の關鍵是判斷幾何體の形狀及相關數據所對應の幾何量，考查空間想象能力．（12）【2016年浙江，理12，4分】已知1a b >>，若5log o 2l g a b b a +=，ba ab =，則a = ，b = ．【答案】4；2【解析】設log b t a =，由1a b >>知1t >，代入5log o 2l g a b b a +=得152t t +=，即22520t t -+=，解得2t =或12t =（舍去），所以log 2b a =，即2a b =，因為b a a b =，所以2b a b b =，則22a b b ==，解得2b =，4a =．【點評】本題考查對數の運算性質，是基礎の計算題．（13）【2016年浙江，理13，4分】設數列{}n a の前n 項和為n S ，若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，則1a = __，5S = __．【答案】1；121【解析】由1n =時，11a S =，可得2112121a S a =+=+，又24S =，即124a a +=，即有1314a +=，解得11a =；由11n n n a S S ++=-，可得131n n S S +=+，由24S =，可得334113S =⨯+=，4313140S =⨯+=，53401121S =⨯+=．【點評】本題考查數列の通項和前n 項和の關系：n=1時，a 1=S 1，n ＞1時，a n =S n ﹣S n ﹣1，考查運算能力，屬於中檔題．（14）【2016年浙江，理14，4分】如圖，在ABC ∆中，2AB BC ==，120ABC ∠=︒．若平面ABC 外の點P 和線段AC 上の點D ，滿足PD DA =，PB BA =，則四面體PBCD の體積の最大值是 ．【答案】12【解析】如圖，M 是AC の中點．①當3AD t AM =<=時，如圖，此時高為P 到BD の距離，也就是A 到BD の距離，即圖中AE ，3DM t =-，由ADE BDM ∆∆∽，可得 ()2131htt=-+，()231th t=-+，()()()()()22233111231,0,33263131ttV t t tt--=⋅⋅-⋅⋅=⋅∈-+-+②當3AD t AM =>=時，如圖，此時高為P 到BD の距離，也就是A 到BD の距離，即圖中AH ，3DM t =-，由等面積，可得1122AD BM BD AH ⋅⋅=⋅⋅，∴()21113122t t ⋅⋅=-+，∴()231th t=-+，∴()()()()()22233111231,3,233263131ttV t t tt--=⋅⋅-⋅⋅=⋅∈-+-+，綜上所述，()()()22331,0,23631tV t t--=⋅∈-+，令()[)2311,2m t=-+∈，則2146m V m-=⋅，∴1m =時，12max V =． 【點評】本題考查體積最大值の計算，考查學生轉化問題の能力，考查分類討論の數學思想，對思維能力和解題技巧有一定要求，難度大．（15）【2016年浙江，理15，5分】已知向量a ，b ，1a =，2b =，若對任意單位向量e ，均有6a e b e ⋅+⋅≤，則a b ⋅の最大值是 ．【答案】12【解析】∵()6a b e a e b e a e b e +⋅=⋅+⋅≤⋅+⋅≤，∴()6a b e a b +⋅=+≤，平方得：2226a b a b ++⋅≤，即221226a b ++⋅≤，則12a b ⋅≤，故a b ⋅の最大值是12． 【點評】本題主要考查平面向量數量積の應用，根據絕對值不等式の性質以及向量三角形不等式の關系是解決本題の關鍵．綜合性較強，有一定の難度．三、解答題：本大題共5題，共74分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程． （16）【2016年浙江，理16，14分】在ABC ∆中，內角A ，B ，C 所對の邊分別為a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=．（1）證明：2A B =；（2）若ABC ∆の面積24a S =，求角A の大小．解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 於是()sin sin B A B =-．又(),0,A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-，因此A π=（舍去）或2A B =，所以，2A B =．（2）由24a S =得21sin 24a ab C =，故有1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因sin 0B ≠，得sin cos C B =．又(),0,B C π∈，所以2C B π=±．當2B C π+=時，2A π=；當2C B π-=時，4A π=．綜上，2A π=或4A π=．【點評】本題考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面積の計算，考查二倍角公式の運用，屬於中檔題．（17）【2016年浙江，理17，15分】如圖，在三棱臺ABC DEF -中，已知平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =． （1）求證：EF ⊥平面ACFD ；（2）求二面角B AD F --の餘弦值． 解：（1）延長AD ，BE ，CF 相交於一點K ，如圖所示．因為平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，； 所以，AC ⊥平面BCK ，因此，BF AC ⊥．又因為//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以BCK ∆ 為等邊三角形，且F 為CK の中點，則BF CK ⊥．所以BF ⊥平面ACFD ．（2）解法1：過點F 作FQ AK ⊥，連結BQ ．因為BF ⊥平面ACK ，所以BF AK ⊥，則AK ⊥平面BQF ，所以BQ AK ⊥．所以，BQF ∠是二面角B AD F --の平面角．在Rt ACK ∆中， 3AC =，2CK =，得31313FQ =．在Rt BQF ∆中，31313FQ =，3BF =，得3cos 4BQF ∠=． 所以，二面角B AD F --の平面角の餘弦值為34．解法2：如圖，延長AD ，BE ，CF 相交於一點K ，則BCK ∆為等邊三角形．取BC の 中點O ，則KO BC ⊥，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以，KO ⊥平面ABC ．以點O 為原 點，分別以射線OB ，OK の方向為x ，z の正方向，建立空間直角坐標系Oxyz ．由題意 得()1,0,0B ，()1,0,0C -，()0,0,3K ，()1,3,0A --，13,0,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，13,0,22F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 因此，()0,3,0AC =，()1,3,3AK =，()2,3,0AB =．設平面ACK の法向量為()111,,m x y z =， 平面ABK の法向量為()222,,n x y z =．由0AC m AK m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111130330y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()3,0,1m =-；由0AB n AK n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222230330x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()3,2,3n =-．於是，3cos ,4m n m n m n ⋅==⋅． 所以，二面角B AD F --の平面角の餘弦值為34． 【點評】本題考查了空間位置關系、法向量の應用、空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬於中檔題．（18）【2016年浙江，理18，15分】已知3a ≥，函數(){}2min 21,242F x x x ax a =--+-，其中(),min ,,p p qp q q p q ≤⎧=⎨>⎩．（1）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立のx の取值範圍； （2）（i ）求()F x の最小值()m a ；（ii ）求()F x 在[]0,6上の最大值()M a ．解：（1）由於3a ≥，故當1x ≤時，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，當1x >時，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立のx の取值範圍為[]2,2a ．（2）（i ）設函數()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，則()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x の定義知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32242,22a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩．（ii ）當02x ≤≤時，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，當26x ≤≤時，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=．所以，()348,342,4a a M a a -≤<⎧=⎨≥⎩．【點評】本題考查新定義の理解和運用，考查分類討論の思想方法，以及二次函數の最值の求法，不等式の性質，考查化簡整理の運算能力，屬於中檔題．（19）【2016年浙江，理19，15分】如圖，設橢圓()222:11x C y a a+=>．（1）求直線1y kx =+被橢圓截得到の弦長（用a ，k 表示）；（2）若任意以點()0,1A 為圓心の圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓の離心率の取值範圍．解：（1）設直線1y kx =+被橢圓截得の線段為AP ，由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k x a kx ++=，故10x =， 222221a k x a k=-+．因此22212222111a k AP k x x k a k =+-=⋅++． （2）假設圓與橢圓の公共點有4個，由對稱性可設y 軸左側の橢圓上有兩個不同の點P ，Q ，滿足AP AQ =．記直線AP ，AQ の斜率分別為1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（1）知，AP =AQ =，=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由於12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此()222212111112a a k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭①因為①式關於1k ，2k の方程有解の充要條件是：()22121a a +->，所以a >．因此，任意以點()0,1A 為圓心の圓與橢圓至多有3個公共點の充要條件為12a <≤，由c e a ==得，所求離心率の取值範圍為0e <≤【點評】本題考查直線與橢圓の位置關系の綜合應用，橢圓與圓の位置關系の綜合應用，考查分析問題解決問題の能力，考查轉化思想以及計算能力．（20）【2016年浙江，理20，15分】設數列滿足11,2n n aa n N *+-≤∈．（1）求證：()()1*122n n a a n N ≥∈﹣﹣； （2）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，*n N ∈，證明：2n a ≤，*n N ∈．解：（1）由112n n a a +-≤得1112n n a a +-≤，故111222n n n n na a ++-≤，n *∈N ， 所以31112211223122222222nn n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121111222n -≤++⋅⋅⋅+1<， 因此()1122n n a a -≥-． （2）任取n *∈N ，由（1）知，對於任意m n >，1121112122222222n m n n n n m m nmn n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+112n -<，故11222m n n n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭11132222mnn m-⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3224mn⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．從而對於任意m n >，均有3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭．由m の任意性得2n a ≤ ①否則，存在0n *∈N ，有02n a >，取正整數000342log 2n n a m ->且00m n >，則003402log 23322244n n a m m n n a -⎛⎫⎛⎫⋅<⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，與①式矛盾．綜上，對於任意n *∈N ，均有2n a ≤．【點評】本題考查了不等式の應用與證明，等比數列の求和公式，放縮法證明不等式，難度較大．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔理科〕参考公式：• 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+；• 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；• 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；• 锥体体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷〔共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 〔1〕【2016年天津，理1，5分】已知集合}{1,2,3,4A =，}{32,B y y x x A ==-∈，则AB =〔 〕〔A 〕}{1 〔B 〕}{4 〔C 〕{}1,3 〔D 〕{}1,4 【答案】D 【解析】把1,2,3,4x =分别代入32y x =-得：1,4,7,10y =，即{}1,4,7,10B =，∵{}1,2,3,4A =，∴{}1,4AB =，故选D ．【点评】此题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基此题，难点系数较小．一要注意培养良好的答题习惯，防止出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏．〔2〕【2016年天津，理2，5分】设变量x ，y 满足约束条件2023603290x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数25z x y =+的最小值为〔 〕〔A 〕4- 〔B 〕6 〔C 〕10 〔D 〕17 【答案】B【解析】作出不等式组2023603290x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线0:250l x y +=，图中的虚线，平移直线0l ，可得经过点()3,0时，25z x y =+取得最小值6，故选B ．【点评】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围． 〔3〕【2016年天津，理3，5分】在ABC ∆中，假设13AB =，3BC =，120C ∠=，则AC =〔 〕〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕4 【答案】A【解析】在ABC ∆中，假设13AB =，3BC =，120C ∠=，2222cos AB BC AC AC BC C =+-⋅，得：21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-〔舍去〕，故选A ．【点评】〔1〕正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．〔2〕利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而到达知三求三的目的．（4）〔4〕【2016年天津，理4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为〔 〕 〔A 〕2 〔B 〕4 〔C 〕6 〔D 〕8 【答案】B【解析】第一次判断后：不满足条件，248S =⨯=，2n =，4i >；第二次判断不满足条件3n >；第三次判断满足条件：6S >，此时计算862S =-=，3n =，第四次判断3n >不满足条件，第五次判断6S >不满足条件，4S =．4n =，第六次判断满足条件3n >，故输出4S =，故选B ．【点评】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．〔5〕【2016年天津，理5，5分】设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q 则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的〔 〕〔A 〕充要条件 〔B 〕充分而不必要条件 〔C 〕必要而不充分条件 〔D 〕既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，假设“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”不一定成立，例如：当首项为2，12q =-时，各项为2，1-，12，14-，…，此时()2110+-=>，1110244⎛⎫+-=> ⎪⎝⎭； 而“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”，前提是“0q <”，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<” 的必要而不充分条件，故选C ．【点评】充分、必要条件的三种判断方法．〔1〕定义法：直接判断“假设p 则q ”、“假设q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．〔2〕等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否认式的命题，一般运用等价法．〔3〕集合法：假设A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；假设A ＝B ，则A 是B 的充要条件．〔6〕【2016年天津，理6，5分】已知双曲线()222104x y b b-=>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为〔 〕 〔A 〕223144x y -= 〔B 〕224143x y -= 〔C 〕222144x y -= 〔D 〕221412x y -= 【答案】D【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为224x y +=，双曲线两条渐近线方程为2by x =±，设,2b A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则∵四边形ABCD 的面积为2b ，∴22x bx b ⋅=，∴1x =±，将1,2b A ⎛⎫⎪⎝⎭代入224x y +=，可得2144b +=，∴212b =，∴双曲线的方程为221412x y -=，故选D ．【点评】求双曲线的标准方程关注点：〔1〕确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．〔2〕利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以防止讨论．①假设双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为()2210Ax By AB =<＋．②假设已知渐近线方程为0mx ny +=，则双曲线方程可设为()22220m x n y λλ-=≠．〔7〕【2016年天津，理7，5分】已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为〔 〕〔A 〕58- 〔B 〕18 〔C 〕14 〔D 〕118【答案】B【解析】由DD 、E 分别是边AB 、BC 的中点，2DE EF =，()()AF BC AD DF AC AB ⋅=+⋅-()()2213133112224442AB DE AC AB AB AC AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，311111144228=-⋅⋅⋅-=，故选B ．【点评】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简． 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．〔8〕【2016年天津，理8，5分】已知函数2(43)3,0()log (1)1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩〔0a >，且1a ≠〕在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是〔 〕〔A 〕20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 〔B 〕23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦〔C 〕123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ 〔D 〕123,334⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【答案】C【解析】()log 11a y x =++在[)0,+∞递减，则01a <<，函数()f x 在R 上单调递减，则()()234020104303log 011a a a a a -⎧≥⎪⎪<<⎨⎪+-⋅+≥++⎪⎩；解得，1334a ≤≤；由图象可知，在[)0,+∞上，()2f x x =-有且仅有一个解，故在(),0-∞上，()2f x x =-同样有且仅有一个解，当32a >即23a >时，联立()24332x a a x +-+=-，则()()2424320a a ∆=---=，解得34a =或1〔舍去〕，当132a ≤≤时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，故选C ．【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：〔1〕直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围〔2〕别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；〔3〕数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第II 卷〔共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．〔9〕【2016年天津，理9，5分】已知a ，R b ∈，i 是虚数单位，假设()()1i 1i b a +-=，则ab的值为 ． 【答案】2【解析】∵()()()1i 1i 11i b b b a +-=++-=，,R a b ∈，∴110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：21a b =⎧⎨=⎩，∴2a b =．【点评】此题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基此题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)()()i,(,,.)++=-++∈a b c d ac bd ad bc a b c d R ，22i ()()ii +++-=++a b ac bd bc ad c d c d(,,.)∈a b c d R ，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数i(,)+∈a b a b R 的实部为a 、虚部为b 、模为22+a b 、共轭为i -a b ．〔10〕【2016年天津，理10，5分】821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中7x 的系数为 ．〔用数字作答〕【答案】56-【解析】()()8216318811r rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1637r -=，解得3r =．∴821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中7x 的系数为()338156C -=-．【点评】〔1〕求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件〔特定项〕和通项公式，建立方程来确定指数〔求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n r ≥〕；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．〔2〕有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．〔11〕【2016年天津，理11，5分】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如下图〔单位：m 〕，则该四棱锥的体积为 3m ．【答案】2【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积2212m S =⨯=，棱锥的高3m h =，312m 3V Sh ==．【点评】〔1〕解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．〔2〕三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图 的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．〔12〕【2016年天津，理12，5分】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，22BE AE ==，BD ED =，则线段CE 的长为 ．【答案】233【解析】过D 作DH AB ⊥于H ，∵22BE AE ==，BD ED =，∴1BH HE ==，2AH =，1BH =， ∴2•2DH AH BH ==，则2DH =，在Rt DHE ∆中，则 22213DE DH HE =+=+=，由相交弦定理得：CE DE AE EB ⋅=⋅，∴122333AE EB CE DE ⋅⨯===． 【点评】1、解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：〔1〕直接应用相交弦、切割线定理及其推论；〔2〕当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相 似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2、应用相交 弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关 的相似三角形等．〔13〕【2016年天津，理13，5分】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．假设实数a 满足()()122a f f ->-，则a 的取值范围是 ．【答案】13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，∴()f x 在区间()0,+∞上单调递减，则()()122a f f ->-，等价为()()122a f f ->，即1222a --<<，则112a -<，即1322a <<．【点评】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：〔1〕借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．〔2〕借助 函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代 数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．〔14〕【2016年天津，理14，5分】设抛物线222x pt y pt ⎧=⎨=⎩〔t 为参数，0p >〕的焦点F ，准线为l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7,02C p ⎛⎫⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ．假设2CF AF =，且ACE ∆的面积为32，则p 的值为 ． 【答案】6【解析】抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩〔t 为参数，0p >〕的普通方程为：22y px =焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，如图：过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7,02C p ⎛⎫⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ．2CF AF =，3CF p =，32AB AF p ==，(),2A p p ，ACE ∆的面积为32，12AE AB EF CF ==，可得13AFC ACE S S ∆∆=．即：11323232p p ⨯⨯⨯=，解得6p =．【点评】〔1〕凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．〔2〕假设()00,P x y 为抛物线()220y px p =>上一点，由定义易得02pPF x =+；假设过焦点的弦AB 的端点坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则弦长为12AB x x p =++，12x x +可由根与系数的关系整体求出；假设遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．〔15〕【2016年天津，理15，13分】已知函数()4tan sin cos 23f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〔1〕求()f x 的定义域与最小正周期；〔2〕讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：〔1〕()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭214sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭)()sin 21-cos2sin 2=2sin 23x x x x x π==-．所以， ()f x 的最小正周期22T ππ==． 〔2〕令23z x π=-，函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． 所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减． 【点评】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换．角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证． 对于三角函数来说，常常是先化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的表达；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．〔16〕【2016年天津，理16，13分】某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． 〔1〕设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；〔2〕设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：〔1〕由已知，有()1123442101,3C C C P A C +==所以，事件A 发生的概率为13． 〔2〕随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342104015C C C P X C ++===，()111133342107115C C C C P X C +===， ()113424215C C P X C ===．所以，随机变量X 分布列为： 随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=．【点评】求均值、方差的方法〔1〕已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；〔2〕已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；〔3〕如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．〔17〕【2016年天津，理17，13分】如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==． 〔1〕求证：//EG 平面ADF ；〔2〕求二面角O EF C --的正弦值；〔3〕设H 为线段AF 上的点，且23AH HF =，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．解：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),A B C ----(11,0),D ，(1,1,2),E --(0,0,2),F (1,0,0)G -．〔1〕()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-．设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则1100n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ ．不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面． 〔2〕易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量．依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-．设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则2200n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩．不妨设1x =，可得()21,1,1n =-．因此有2226cos ,3OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅，于是23sin ,3OA n <>=，所以，二面角O EF C --的正弦值为33． 〔3〕由23AH HF =，得25AH AF =．因为()1,1,2AF =-，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此2227cos ,21BH n BH n BH n ⋅<>==-⋅．直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721．【点评】1、利用数量积解决问题的两条途径 ：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．2、利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．〔1〕0a ≠，0b ≠，·0a b a b ⊥⇔＝；〔2〕2a a =；〔3〕cos ,a ba b a b ⋅=．〔18〕【2016年天津，理18，13分】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ．对任意的N n *∈，n b 是na和1n a +的等比中项．〔1〕设221n n n c b b +=-，N n *∈，求证：数列}{n c 是等差数列；〔2〕设1a d =，221(1)nk n k k T b ==-∑，N n *∈，求证21112nk kT d =<∑． 解：〔1〕由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列．〔2〕()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+()()()22224222212n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅=+所以()222211111111111112121212nnnk k k kT d k k d k k dn d===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑． 【点评】分组转化法求和的常见类型〔1〕假设n n n a b c ±＝，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和．〔2〕通项公式为n a =⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．〔19〕【2016年天津，理19，14分】设椭圆22213x y a +=(a >的右焦点为F ，右顶点为A ．已知113e OF OA FA+=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设过点A 的直线l 与椭圆交于点B 〔B 不在x 轴上〕，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ．假设BF HF ⊥，且MOA ∠≤MAO ∠，求直线l 的斜率的取值范围．解：〔1〕设(),0F c ，由113cOF OA FA+=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=．〔2〕设直线l 的斜率为k ()0k ≠，则直线l 的方程为()2y k x =-．设(),B B B x y ，由方程组()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 消去y ，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=．解得2x =，或228643k x k -=+，由题意得228643B k x k -=+，从而21243B ky k -=+．由〔1〕知，()1,0F ，设()0,H H y ，有()1,H FH y =-，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭．由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以222129404343H ky k k k -+=++，解得29412H k y k-=．因此直线MH 的方程为219412k y x k k -=-+．设(),M M M x y ，由方程组219412(2)k y x k k y k x ⎧-=-+⎪⎨⎪=-⎩消去y ，解得2220912(1)M k x k +=+．在MAO ∆中，||||MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔≤，即()22222M MMMx y x y -+≤+，化简得1M x ≥，即22209112(1)k k +≥+，解得k ≤或k ≥l的斜率的取值范围为6,,4⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 【点评】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：〔1〕利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；〔2〕利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间 建立等量关系；〔3〕利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；〔4〕利用基本 不等式求出参数的取值范围；〔5〕利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．〔20〕【2016年天津，理20，14分】设函数()3()1f x x ax b =---，x ∈R ，其中a ，b ∈R ．〔1〕求()f x 的单调区间；〔2〕假设()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=；〔3〕设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于．．．14． 解：〔1〕由()()31f x x ax b =---，可得()()2'31f x x a =--．下面分两种情况讨论：①当0a ≤时，有()()2'310f x x a =--≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞． ②当0a >时，令()'0fx =，解得1x =+1x = 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以⎝⎭⎝⎭⎫+∞⎪⎪⎝⎭． 〔2〕因为()f x 存在极值点，所以由〔1〕知0a >，且01x ≠，由题意，得()()200'310f x x a =--=，即()2013a x -=，进而()()300002133a a f x x axb x b =---=---． ()()()()()3000000082322222123333a a a f x x a xb x ax a b x b f x -=----=-+--=---=，且0032x x -≠，由题意及〔1〕知，存在唯一实数满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此1032x x =-，所以1023x x +=．〔3〕设()g x 在区间[]0,2上的最大值为M ，{}max ,x y 表示,x y 两数的最大值．下面分三种情况同理：①当3a ≥时，1021≤<≤，由〔1〕知，()f x 在区间[]0,2上单调递减，所以()f x 在区间 []0,2上的取值范围为()()2,0f f ⎡⎤⎣⎦，因此()(){}{}max 2,0max 12,1M f f a b b ==----{}max 1(),1()a a b a a b =-++--+1(),01(),0a a b a b a a b a b -+++≥⎧=⎨--++<⎩，所以12M a a b =-++≥．②当334a ≤<时，101121≤<<+<≤+1〕和〔2〕知，()011f f f ⎛⎛≥-=+ ⎝⎭⎝⎭，()211f f f ⎛⎛≤+= ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为1,1ff ⎡⎤⎛⎛+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，max 1,1M f f ⎧⎫⎛⎫⎛⎪⎪=+- ⎪ ⎨⎬ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭max a b a b ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭()()max a b a b ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭231944a b =+≥⨯=．③当304a <<时，0112<<<，由〔1〕和〔2〕知，()011f f f ⎛⎛<=+ ⎝⎭⎝⎭，()211f f f ⎛⎛>=- ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为()()0,2f f ⎡⎤⎣⎦，因此 ()(){}{}max 0,2max 1,12M f f b a b ==----()(){}max 1,1a a b a a b =-++--+11||4a ab =-++>． 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于14． 【评析】1、求可导函数单调区间的一般步骤：〔1〕确定函数()f x 的定义域〔定义域优先〕；〔2〕求导函数()f x '；〔3〕在函数()f x 的定义域内求不等式()0f x '>或()0f x '<的解集．〔4〕由()()()00f x f x >'<'的解集确定函数()f x 的单调增〔减〕区间．假设遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2、由函数()f x 在(),a b 上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ 〔或()0f x '≤〕恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．。