数学试题一、选择题：（本答题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.300-o 化为弧度是（ ） A. 43π-B. 53π-C. 23π-D. 56π-【答案】B 【解析】300530023603ππ-=-⨯=-o 2.已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A. C C =B ∪ B. B A C =⋂ C. A C ⊆ D. A B C ==【答案】A 【解析】 【分析】由集合A ，B ，C ，求出B 与C 的并集，A 与C 的交集，判断A 与C 的包含关系，以及A ，B ，C 三者之间的关系即可．【详解】{A =Q 第一象限角}，{B =锐角}，{C =小于90︒的角}， {B C ∴⋃=小于90︒的角}C =，即B C ⊂，B A ⊂，则B 不等于A C I ，如330A C -∈⋂o ，但是它不是锐角；A 不是C 的子集，如390A ∈o 但是390C ∉o .三集合也不相等. 故选：A ．【点睛】本题考查了集合的运算和关系，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90︒的角表示的意义是解本题的关键．3.如图，在矩形ABCD 中，AO OB AD ++u u u v u u u v u u u v=( )A.AB u u u vB. AC u u u vC. AD u u u vD. BD uuu v【答案】B 【解析】由题意，AO OB AD AB AD AC ++=+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v故选B. 4.若点55sin,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin α的值为（ ）A.B.12C. 12-D. 【答案】D 【解析】试题分析：因551(sin ,cos )(,6622ππ=-，所以sin α-==，故选D ． 考点：任意角的三角函数值． 5.设322sin,cos ,tan 555a b c πππ===，则( ) A. a b c << B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可． 【详解】sin35π＝cos （2π﹣35π）＝cos （﹣10π）＝cos 10π，而函数y ＝cosx 在（0，π）上为减函数，则1＞cos10π＞cos 25π＞0，即0＜b ＜a ＜1，tan25π＞tan 4π＝1，即b ＜a ＜c ， 故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数值的大小比较，利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题.6.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的是（ ）A. sin(2)3y x π=-B. sin(2)6y x π=-C. sin(2)6y x π=+D. sin()26x y π=+【答案】B 【解析】因为函数()sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是2412T ππ==，故先排除选项D ；又对于选项A ：sin 21336f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于选项B ：sin 21333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 、C 均被排除，应选B .7.已知圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长达到点N ，以x 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角即为α，则sin α=（ ）A.3B.12C.2【答案】D 【解析】 【分析】画图分析，根据弧长公式求出旋转的角的弧度数，则可求出α的值，从而得到结果. 【详解】由题意得M (0,2)，并画出图象如图所示.由点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长到达点N ，则旋转的角的弧度数为326ππ=，即以ON 为终边的角3πα=，所以sin 2α=. 故选D【点睛】本题考查三角函数的定义和弧长公式，注意仔细审题，认真计算，属基础题.8.若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.45B.35C. 35-D. 45-【答案】D 【解析】∵4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴4sin ?cos 36265sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选D9.有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若||a b v v|=|，则a b =vv；③若AB DC =u u u v u u u v ，则四边形ABCD 是平行四边形；④若m n =v v ；n k =v v ，则m k =v v ；⑤若//a b v v ；//b c v v ，则//a c v v；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是； ；.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若a b =vv ，方向不确定，则a v 、b v不一定相同，∴②错误；对于③，若AB DC =u u u v u u u v ，AB u u u r 、DC u u u r 不一定相等，∴四边形ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m n =v v，n k =vv，则m k =vv，④正确；对于⑤，若//a b v v，//b c vv，当0b =r r时，//a c v v不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个，故选C. 10.函数sin(2)6y x π=-的单调递增区间是（ ）A. [2,2],63k k k Z ππππ-+∈B. 5[2,2],36k k k Z ππππ++∈ C. [,],63k k k Z ππππ-+∈ D. 5[,],36k k k Z ππππ++∈ 【答案】D 【解析】【详解】由题得sin(2)6y x π=--，所以函数sin(2)6y x π=-的单调递增区间就是函数sin(2)6y x π=-的减区间.令3222,,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈ 25222,,33k x k k Z ππππ∴+≤≤+∈5,,36k x k k Z ππππ∴+≤≤+∈所以函数的增区间为5[,],36k k k Z ππππ++∈. 故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A. 1sin2y x = B. 1sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【详解】将函数y=sin(x －3π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(12x －3π)，再向左平移3π个单位得到的解析式为y=sin(12（x+3π）－3π)= y=sin(12x －6π)，故选C 12.电流强度I （安）随时间t （秒）变化函数()sin 0,0,02I A t A ωϕωϕπ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的图像如图所示，则当1100t =秒时，电流强度是（ ）A. 10安B. 5安C. 安D. -5安【答案】D 【解析】 【分析】根据所给函数图像,即可求得函数()sin I A t ωϕ=+的解析式,再代入1100t =即可求解. 【详解】根据函数图像可知,10A =413003002T -=,所以解得150T =的由周期公式2T πω=代入可得22100150Tππωπ=== 所以函数()10sin 100I t πϕ=+将1,10300⎛⎫⎪⎝⎭代入可得11010sin 100300πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭则2,32k k Z ππϕπ+=+∈由02πϕ<<可知当0k =时解得6π=ϕ 所以函数10sin 1006I t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭当1100t =时,代入可得110sin 1001006I ππ⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭ 10sin 6ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11052⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭故选:D【点睛】本题考查了根据部分函数图像求三角函数的解析式,注意代入最高点或最低点求ϕ的值即可,属于基础题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.化简：AB DA BD BC CA ++--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=__________.【答案】AB u u u r【解析】 【分析】利用向量运算的结合律和线性运算化简即得解.【详解】原式=()0AB BD DA BC CA BA AB ++-+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r.故答案为：AB u u u r【点睛】本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.函数y =的定义域是____________．【答案】2k ,2k 62ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【解析】 【分析】解不等式组2sin 10cos 0x x -≥⎧⎨≥⎩即得解.【详解】由题得2sin 10cos 0x x -≥⎧⎨≥⎩，所以52266,22+22k x k k Z k x k ππππππππ⎧+≤≤+⎪⎪∈⎨⎪-+≤≤⎪⎩. 所以2k ,2k 62x ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.所以函数的定义域是2k ,2k 62ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 故答案为：2k ,2k 62ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【点睛】本题主要考查三角不等式的解法，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.已知函数()2sin()0y x ωθθπ=+<<为偶函数，其图象与直线2y =的两个交点横坐标为1x 、2x ，若21x x -的最小值为π，则函数的解析式为____________．【答案】2cos2y x = 【解析】 【分析】由函数是偶函数及θ的范围求出θ的值，再由21||x x -的最小值为π得到w 的值．从而得到函数的解析式． 【详解】2sin()y x ωθ=+Q 为偶函数2k πθπ∴=+，k Z ∈ 又02πθπθ<<∴=Q由诱导公式得函数2cos y x ω=又Q 其图象与直线2y =的两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，若21||x x -的最小值为π∴函数的周期为π 即22cos2y x ω=∴=.故答案为：2cos2y x =【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16.以下四个命题：①若α是第一象限角，则sin cos 1αα+>； ②存在α使12sin ,cos 33αα==同时成立； ③若cos2cos2,αα=-则α终边在第一、二象限；④若tan(5)2πα+=-且cos 0,α>则sin()απ-=. 其中正确命题的序号是__． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据三角函数线判断①对，根据平方关系判断②不对，根据三角函数值的符号判断③不对，根据三角函数值的符号、诱导公式、同角三角函数的基本关系进行化简和求值，判断④对，综合可得答案． 【详解】①、αQ 是第一象限角，∴根据正弦和余弦线知，sin cos 1αα+>，故①正确； ②、由22sin cos 1αα+=知，不存在角α满足条件，故②不对； ③、|cos2|cos2αα=-Q ，cos20α∴<，即322222k k πππαπ+<<+， ∴3()44k k k Z πππαπ+<<+∈，故③不对； ④、tan(5)2πα+=-Q ，tan 20α∴=-<，再由cos 0α>知，α是第四象限角，由同角的三角函数的基本关系求出sin α=，∴sin()sin απα-=-=，故④正确，故答案为：①④．【点睛】本题是有关三角函数的综合题，考查了三角函数线的应用、三角函数值的符号的应用、同角三角函数的基本关系应用，考查了知识的综合应用．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明及演算步骤.）17. 已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0),求α的三角函数值. 【答案】角α的三角函数值为sinα=,cosα=,tanα=2或sinα=-,cosα=-,tanα=2.【解析】 因为角α终边过点(a,2a)(a≠0),所以,r=|a|,x=a,y=2a,当a>0时,sinα====;cosα===;tanα=2.当a<0时,sinα====-;cosα===-;tanα=2.综上,角α的三角函数值为sinα=,cosα=,tanα=2或sinα=-,cosα=-,tanα=2.18.设222sin()cos()cos()(),1sin sin()cos ()f παπαπαααπαπα+--+=++---（1）若176πα=，求()f α的值； （2）若α是锐角，且33sin(),25πα-=求()f α的值． 【答案】（1）（2）3()4f α= 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式化简得1()tan f αα=，再代入176πα=求值得解；（2）先化简33sin(),25πα-=得35cos α=，即得()f α的值． 【详解】（1）因为222sin()cos()cos()()1sin sin()cos ()f παπαπαααπαπα+--+=++---的=22(2sin )(cos )(cos )1sin sin cos αααααα----++- =22sin cos cos 2sin sin ααααα++ =(2sin 1)cos (2sin 1)sin αααα++ 1tan α=，若176πα=，∴f （176π）=117tan 6π=1tan 6π-= （2）若α是锐角，且33sin 25απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴3cos 5α=，∴4sin 5α=，sin 4tan cos 3ααα==，∴3()4f α=． 【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知()()()sin cos ,03παπααπ--+=<<，求下列各式的值： （1）sin cos αα-；（2）33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）43（2）2227- 【解析】【分析】（1）先用诱导公式将()()()sin cos 03παπααπ--+=<<转化为sin cos 3αα+=，两边平方得72sin cos 9αα⋅=-，再根据,2παπ<<确定sin 0,cos 0αα>< ，最后再用平关系求解sin cos αα-.（2）先用诱导公式将33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为33cos sin αα-，再用立方差公式展开()()22cos sin cos cos sin sin αααααα-++ ，代入求解.【详解】（1）因为()()()sin cos ,03παπααπ--+=<<，所以sin cos 3αα+=.， 两边平方得72sin cos 9αα⋅=-， 又因为,2παπ<<所以sin 0,cos 0αα>< ，所以4sin cos 3αα-==. （2）33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33cos sin αα=-， 而33cos sin αα-=()()22cos sin cos cos sin sin αααααα-++ ， 所以33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()332222=cos sin cos sin cos cos sin sin 27αααααααα-=-++=- 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，还考查了转化化归的思想和和运算求解的能力，属于中档题.20.已知1tan 2α=，求下列各式的值： （1）2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+； （2）22sin 3sin cos 4cos αααα-+.【答案】（1）110；（2）115 【解析】【分析】 （1）先化简原式为23tan 34tan αα-+，代入1tan 2α=的值即得解；（2）先化简原式为22tan 3tan 41tan ααα-++代入1tan 2α=的值即得解. 【详解】（1） 原式 3223tan 12134tan 10342αα--===++⨯． .（2） 原式 2222sin 3sin cos 4cos sin cos αααααα-+=+22tan 3tan 41tan ααα-+=+13442114-+=+115=． 【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.如图所示，在BOC ∆中，C 是以A 为中点的点B 的对称点，2OD DB =u u u r u u u r ，DC 和OA 交于点E ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r .（1）用a r 和b r 表示向量OC u u u r 、DC u u u r ；（2）若OE OA λ=u u u r u u u r，求实数λ的值. 【答案】（1）2OC a b =-u u u r r r ，523DC a b =-u u u r r r ；（2）45λ=. 【解析】【分析】（1）根据平面向量加减运算的三角形法则可得出OC u u u r 、DC u u u r 关于a r 、b r的表达式； （2）利用向量减法的三角形法则可得出()2EC a b λ=--u u u v v v ，设EC kDC =u u u r u u u r ，可建立有关λ、k 的方程组，即可解出实数λ的值.【详解】（1）由题意知，A 是线段BC 中点，且2233OD OB b ==u u u r u u u r r . 2OC OA AC OA BA OA OA OB a b =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，()252233DC OC OD a b b a b =-=--=-u u u v u u u v u u u v v v v v v ； （2）()()22EC OC OE a b a a b λλ=-=--=--u u u v u u u v u u u v v v v Q v v ， 由题可得//EC DC u u u r u u u r ，且523DC a b =-u u u r r r ，设EC kDC =u u u r u u u r ，即()5223a b k a b λ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭v v v v ，则有22513k k λ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得4535k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 因此，45λ=. 【点睛】本题考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及共线向量、平面向量基本定理，考查方程思想的应用，属于中等题.22.已知函数1()sin(2+).62f x x π=+ （1）试用“五点法”画出函数()f x 在区间11[,]1212ππ-的简图； （2）指出该函数的图象可由sin ()y x x R =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若[,]63x ππ∈-时，函数()()g x f x m =+的最小值为2，试求出函数()g x 的最大值并指出x 取何值时，函数()g x 取得最大值．【答案】（1）图见解析；（2）见解析；（3）当6x π=时，最大值为72 【解析】【分析】（1）利用五点法，即将26x π+看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象；（2）用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行；（3）1()()sin(2)62g x f x m x m π=+=+++，[6x π∈-，]3π，求此函数的最值可先将26x π+看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数()()g x f x m =+的最小值为2，解方程可得m 的值，进而求出函数最大值．【详解】（1）先列表，再描点连线，可得简图．（2）sin y x =向左平移6π得到sin()6y x π=+， 再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的12变为sin(2)6y x π=+， 最后再向上平移12个单位得到1sin(2)62y x π=++． （3）1()()sin(2)62g x f x m x m π=+=+++， [6x π∈-Q ，]3π， 2[66x ππ∴+∈-，5]6π， 1sin(2)[62x π∴+∈-，1]， ()[g x m ∴∈，3]2m +， 2m ∴=，max 37()22g x m ∴=+=，当262x ππ+=即6x π=时()g x 最大，最大值为72． 【点睛】本题主要综合考察了三角变换公式的运用、三角函数的图象画法、三角函数图象变换以及复合三角函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．。
