信号系统4.11

（2）若Re[pk ]=0, 则强迫响应就是稳态响应。
若Re[pk ] 0, 则强迫响应与自由响应共同组成瞬态响应。 而稳态响应为零。
2、系统稳定的意义
• 系统稳定性是系统能正常工作的基本条件； • 稳定性是系统自身的特性，与输入信号无关；
二、判断LTI系统稳定的依据
1、充要条件： h(t ) dt M (绝对可积)



证明：
书P.238
2、因果LTI系统的稳定性判据


0
h(t) M
时域判据
对因果LTI系统稳定性分三类：
s0 (第n + 1行)
N( s) 3s 2 + s + 5 = 3 例1: 已知H(s)= 判断该系统的稳定性 2 D( s) 2s + s + s + 6
解：B (ss )) s s + 2ss + 4 D( =s 2 s2 + 6s 11s 10
5
3
4 2
3
2
且无缺项 多项式中的全部系数均大于零，满足系统稳定的必要条件 罗斯阵列：
2 1
11
6
1 6 0 0
第一列有符号变化（符号改变两次）, 故系统不稳定， 且系统函数在s右半平面上有两个极点
例2 : D(s) = s4 + s3 + 2s2 + 2s + 3
1 1 (0)
2 2
3
3 0
0时，用代替 0 第一元素为
3 2 3
0 0
— 正无穷小量
0, 2
N( s ) 3 s + s + 5 例4： 已知H(s)= = 3 D( s) 2s + s 2 + s + 6
2
判断该系统的稳定性
要利用罗斯准则内容
（适合高阶系统） 四、罗斯准则（补充）
1、罗斯准则内容
若系统函数H (s)的分母多项式 D(s)=bn s n +bn－1s n－1 1）多项式的全部系数bi 符号相同； 2）无缺项； 3）罗斯阵列中第一列数字的符号相同。 说明： 则系统稳定的充要条件为（即极点全部位于s左半平面）
如图所示反馈系统电路，放大器A的输入阻抗等于， U 0 ( s ) A U 2 ( s ) U1 ( s ) U 0 ( s) 求H ( s ) , 并由其极点分布判断A条件使系统稳定 U1 ( s )


u1 ( t )

C


A R


u2 ( t )


uo ( t )
K ( s zl )
l 1
u
(s p )
k 1 k
v
其中z j , pi 分别为H ( s)的第j个零点和第i个极点, zl , pk 分别为E ( s)的第l个零点和第k个极点
假定H (s)、E(s)两式前的系数均等于1
则如响应函数R(s)中不含多重极点, 且H (s)与E (s)无相同极点
举例：
例1： （书P.239 例4-24）
1 s 已知两因果系统的系统函数H1 (s)= , H 2 (s)= 2 。 2 s s + w0 (1)判断系统的稳定性 （2） 求激励信号e1 (t ) = u (t )和e2 (t ) = sin(w0t )u (t )分别通过 系统H1 (s)和H 2 (s)的响应r1 (t )和r2 (t )
4.11 线性系统的稳定性
一、稳定系统的定义、意义
1、定义
若系统对任意的有界输入其零状态响应也是有界的，
则称此系统为稳定系统。
即： 对 e(t ) Me，其 r(t ) M r , 其中Me，M r为有界正值
用BIBO表示：
Bounded Input Bounded Output
说明： 此定义是一般系统的定义，可以是线性系统， 非线性系统， 时变系统，非时变系统。
b0，
若罗斯阵列中第一列数字的符号不尽相同，
则符号改变的次数就是具有正实部根极点的个数。
缺 s 的全部奇数项或全部偶数项——临界稳定
H (s)的分母多项式
2、罗斯阵列 H (s)的分母多项式
B(s)=bn s n +bn－1s n－1
bn 2 bn 4
D(s)=bn s n +bn－1s n－1
解：
R1 (s)=H1 (s)? E1 (s) 1 1 s s
s 2 s 2 + w0
\ r1 (t ) = tu(t )
w0 2 s 2 + w0
无界
无界
R 2 (s)=H 2 (s)? E2 (s)
1 \ r2 (t ) = t sin(w0t )u (t ) 2
（书P.240 例4-25） 例2：
(1)判断系统的稳定性
解： 方法一：
三种方法：
从S域H(s)极点分布判断:
1 H1 (s) = 极点在s=0处 \ 系统临界稳定 s s \ 系统临界稳定 H 2 (s) = 2 极点在虚轴s= 眞j 2 s + w0
方法二：
1 H1 (s) = ? s
从时域h(t)判断:h1 t )u (t ) 不满足绝对可积的临界状态 \ 系统临界稳定
时域
稳定系统：
t
s域
H(s)全部极点落于均落在s左半平面
lim h(t)=0
不稳定系统： lim h(t)
t
H(s)全部极点落于均落在s右半 平面或二阶及以上极点落于虚轴。
临界稳定系统： tlim h(t)=C（常数） （条件稳定）
或成等幅振荡
H(s)全部极点落于均落在原点或 s平面虚轴上，且仅有一阶。
cn 3 d n 3 cn 5 d n 5
n+1行 sn2(第3行) cn1
sn 2 (第4行) d n 1
1 bn 1 d n 1 cn 1 cn 1 d n 3 1 bn 1 cn 1 cn 1
bn 3 , cn 3 bn 5 , cn 5
L
-1
n
pi t
i 1
Kk e
k 1
v
pk t
r (t ) Ki e K k e
pi t i 1 k 1
n
v
pk t
根据pi , pk 极点的实部取值情况， 对应的响应有以下几种不同的状况：
稳定系统
（1）若Re[pi ] 0, 则自由响应就是瞬态响应。
若Re[pi ]=0, 则自由响应变成稳态响应。

解：
U0 (s) AU2 (s) U1 (s)
1 sC AU 0 ( s) AU1 ( s) 1 R sC
U 2 (s) U 0 ( s) R 1 sC
1 sC


U1 ( s )

1 cs


A R


U 2 ( s)


Uo ( s)

1 s A U 0 ( s) RC 解：H ( s) 1 A U1 ( s ) s RC
则零状态响应R(s) = H(s)E(s)
= Π (s - z j )
j= 1 n i= 1 m
´
Π (s - pi )
n
k= 1
Π (s - p k )
l= 1 v
Π (s - z l )
u
Ki =邋 + i = 1 s - pi
Kk k = 1 s - pk
v
r (t ) Ki e
cos(w0t )tu(t ),
同上,系统临界稳定
s H2 (s) = 2 ? h2 (t ) 2 s + w0
方法三： 从BIBO定义判断： 系统不属于稳定
（2） 求激励信号e1 (t ) = u (t )和e2 (t ) = sin(w0t )u (t )分别通过
系统H1 (s)和H 2 (s)的响应r1 (t )和r2 (t )。 1 s H1 (s)= , H 2 (s)= 2 。 2 s s + w0
1 A 为使系统稳定，H ( s )的极点 0 RC 即落于s平面之左半面 A 1
（书P.240 例4-26） 例3： 例4-26 如图所示反馈系统，子系统的系统函数
当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？ 解：加法器输出端的信号 输出信号
则反馈系统的系统函数为
为使极点均在s左半平面，必须:
3

0
故系统不稳定
由上看出：
系统稳定的必要条件：H(s)的分母多项式D(s) 的所有系数bn都必须是正实数。
五、稳定系统零极点与系统响应的对应
设LTI系统的系统函数、激励为： K (s z j )
m j 1 n
H (s)
(s p )
i 1 i
，E ( s )
R( s) Π
b0
阵列第3行后的数由下式计算： 罗斯阵列按如下规则排列：
s (第1行) bn sn 1(第2行) bn 1
n
b0
1 bn bn 2 cn 1 , bn 1 bn 1 bn 3 cn 3 1 bn bn 4 , bn 1 bn 1 bn 5
bn 3 bn 5