拓展2_二次函数的应用(第一课时)PPT教学课件

用价值。解决这类实际问题时，首要 的一步就是___求_出__抛_物__线_解_析__式__， 而这一步必须把抛物线建立在特定的 ____直_角_坐__标_系____中才能顺利进行。 否则，将寸步难行！
生也 活是 中抛 有物 许线 多形 桥的
C
D
A
B
实例2、如图：有一座抛物线形的石拱桥，在正常水位时水面AB
——二次函数应用（一）
DJY
某抛物线如图所示： （1）根据图中所给信息，你能
说出它的哪些有关性质？
y D
9
C5
请同学们畅所欲言！
（2）你能求出这条抛物线 的解析式吗？怎样求？
A
2
-1 O
比比谁的方法好而多！
X=2
B X
5
交
点
式
解：
y D
9
抛物线与x轴交于A（-1，0）、 B（5，0）
两点
C5
可设抛物线解析式为y=a(x-5)(x+1)
1m
乙
谢谢大家 再见！
嘉兴市清河中学 初三数学组 制作：陈豪 2005年3月
敬请各位老师指导！
虎丘记
（袁宏道）
一、关于袁宏道和“公安派”：
袁宏道，明代文学家，湖广公安人，万历16年 中举人，万历20年中进士，万历23年任吴县县令， 颇有政绩，不到两年就辞官归隐。后又出仕官场， 官至吏部主事、稽勋郎中。著《袁中郎全集》。 袁宏道在明代文坛上占有重要地位。他与兄长 袁宗道、弟弟袁中道合称“公安三袁”，被称为 “公安派”。“公安派”在文学上反对形式主义和 拟古主义，在思想上反对封建礼教和儒家道统。他 们的作品也能打破传统诗文的陈规陋习，抒发个性， 清新流畅。但由于不适当地强调表现自我表现，忽 视社会现实，因而作品缺乏深厚的社会内容，思想 比较贫乏。

要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。

知道顶点坐标或函数的最值时 知道顶点坐标或函数的最值时 顶点坐标
比较顶点式和一般式的优劣
一般式：通用， 一般式：通用，但计算量大 顶点式：简单， 顶点式：简单，但有条件限制
使用顶点式需要多少个条件？ 使用顶点式需要多少个条件？
顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 再加上一个其它点的坐标 对称轴再加上两个其它点的坐标 再加上两个其它点的坐标； 对称轴再加上两个其它点的坐标； 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。 三个条件才能求 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
二次函数的应用
专题三： 专题三： 二次函数的最值应用题
二次函数最值的理论
b 你能说明为什么当x = − 时，函数的最值是 2a 2 4ac − b y= 呢？此时是最大值还是最小值呢？ 4a
求函数y=(m+1)x 2(m+1)x- 的最值。 求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其 为常数且m≠ m≠－ 中m为常数且m≠－1。
A O D
B
C
最值应用题——面积最大 面积最大 最值应用题
•
用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做 用一块宽为 m 一个水槽，水槽的横断面为底角120 120º的等 一个水槽，水槽的横断面为底角120 的等 腰梯形。要使水槽的横断面积最大， 腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的 侧面AB应该是多长？ AB应该是多长 侧面AB应该是多长？ D A
C
145km
A
D
最值应用题——销售问题 销售问题 最值应用题
某商场销售一批名牌衬衫， 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利 元，为了扩大销售，增加 件 每件盈利40元 为了扩大销售， 盈利，尽快减少库存， 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施。经调查发现， 降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降 价1元，商场平均每天可多售出 件。 元 商场平均每天可多售出2件 （1）若商场平均每天要盈利 ）若商场平均每天要盈利1200元，每件 元 衬衫应降价多少元？ 衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 ）每件衬衫降价多少元时， 盈利最多？ 盈利最多？

A
1.25米 O
当堂练习
y B
解：建立如图坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水处与x轴交于C点.
A 1.25
由题意可知A（ 0，1.25）、
O
Cx
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1；
∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.
当堂练习
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求 出这个费用. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积 最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
当堂练习
5.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装 一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶 端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物 线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素， 那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到 池外？
∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x=
-
3 2
,顶点坐标为（ -
3 2
，25
4
）,
∴当x=
-3 2
时，y取最大值，最大值为
25 4
;
讲授新课
例2 已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，
则a的值为( C )
A．3
B．－1
C．4
D．4或－1
解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，

②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m

富阳永兴中6学
练一练：
考考你
1、说出下列二次函数的二次项系数、
一次项系数和常数项。
(1)y1x22x (2)sr2 2
(3)yx215 (4)y4(x21)
(5)y1(x2)21 4
2020/12/12
九年级 数学
富阳m2m1 是二次函数，
则m的值是
3、k取何值时，y ( k 2 3 k 2 ) x 2 ( k 2 ) x k 1 分
剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设
AE=BF=CG=DH=x（cm），四边形EFGH的面积为
y（cm2），求y关于x的函数解析式和自变量x的取值
范围。
D
GC
解：由题意，0＜ｘ＜2 ，
H
y 2 2 4 1 x (2 x ) 2 x 2 4 x 4
F
2 即所求函数解析式为
A E
B
y2x24x4（0＜ｘ＜2 ）
1、已知二次函数y＝ax2+bx，当x=-1时， 函数值y为10；当x=1时，函数值y为4； 求这个二次函数的解析式。
2、已知二次函数y＝x2+px+q，当x=-1时， y=0；当x=2时，y=9,求这个二次函数的 解析式。
待定系数法 关键是列出方程组
2020/12/12
九年级 数学
富阳永兴中10学
(1)yax2 (2)ya2xc
(3)ya2 xbx
（其中a、b、c是常数，a ≠０ ）
2020/12/12
九年级 数学
富阳永兴中5学
辨一辨
下列函数关系式中，哪些是二次函数？
(1)y3x22x1 (2)yxx2
(3)sr2
(5)y4x22

∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版 九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
返回目录
◆ 名师导学 ◆
知识点 最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
返回目录
①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);

6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
返回目录
◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2

●
-2
-1
y
6 5 4 3 2 1
●
0
1
2020/11/24
2x
想到……
近似解 图象解
其它解法?
18
Байду номын сангаас
f x x 2 = g x =
抛出地的水平距离为 30m 时，达到最大高10m。 ⑴ 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；
⑵ 求球被抛出多远；
⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离
是多少m？
y
提出问题远比解
决问题更有价值
2020/11/24
15 10 5
10 20 30 40 50
x 17
例
已知一元二次方程X²+X－1= 0 .
A
2、探究活动:
已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从
中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面
积为多少？
B
C
A
2020/11/24
D
E
BK
FC
9
例：用长6m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问 宽和高各是多少m时，窗户的透光面积最大？最大面积 是多少？
解：设窗框的宽为 x m, 则高为
6
例1：用8 m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．
应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？ 最大透光面积是 多少？
解：设矩形窗框的面积 为y,由题意得，
y
83x
•x
3
2
x2
4x
(0
x
8) 3
2
3(x4)2 8
2 33
当窗框的宽x 4 m，窗框的长为7 m时，

如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间 隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积 为S平方米. (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积. A B
D
C
2.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动.如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止 移动. （1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2? （2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2， 写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；t为何值 时S最小？求出S的最小值。 D C
N
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上. M (1)设矩形的一边BC=xm,那么AB C H 边的长度如何表示？ B (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值 D G 时,y的值最大?最大值是多少? ┐
30m
A N 解: 1 由勾股定理得MN 50m, PH 24m. 40m 12 设AB bm,易得b x 24. 25 12 12 2 2 12 x 25 300. 2y xb x x 24 x 24 x 25 25 25 2 b 4ac b 或用公式 : 当x 25时, y最大值 300. 2a 4a
P
“二次函数应用” 的思路
回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解 决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本 思路吗？与同伴交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.运用数学知识求解;

1
23
16
1
3
(3)由 y'-y=1.5,得-16x2+16 − 16x2+16 = 2,
解得 x=±2 2.
x1-x2=4 2≈4×1.414=5.656.
设一次跳绳最多站 x 人,则 0.2x+0.7(x-1)≤5.656,
解得 x≤7.06.
答:一次跳绳最多可以容纳 7 人.
可爱的同学，找资料眼
睛累了吧！长时间屏幕，眼
睛会干涩、酸痛、疲劳的。
不过现在教同学们一个
小办法，左边我为大家准备
了一张视力保健“远眺图”
，看看图就能缓解眼疲劳，
起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学
空间知觉原理，在一张二维
空间平面上，强烈显示出三
维空间的向远延伸的立体图
形，远视和视力良好的人在
长时间近距离用眼情况下引
起的视力疲劳，可以通过此
域ABCD的面积的最大值是 300 m2.
12.如图,矩形ABCD的两边长AB=18 cm,AD=4 cm,点P, 分别从点A,B同时出发,点P在边
AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动,点 在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速
度匀速运动.设运动时间为x秒,△PB 的面积为y cm2.
(1)求y关于x的函数表达式,并写出x的取值范围;
种方法获得一定的缓解。
因绿色为最佳感受色，
可使睫状体放松，图案从里
到外大小不等，不断变化图
案可不断改变眼睛晶状体的
焦距，使调节他们的睫状体
放松而保护视力。
远眺图使用说明
1、远眺距离为1米-2.5米(远眺图电脑版比纸质
版小，距离相应缩短)，每日眺望5次以上，每次

谈谈本节课的收获
作业
习题2.8 1,2
例2.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12 cm ，点P从 点A出发沿AB边向点B以1cm /秒的速度移动，同时， 点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/秒的速度移动。 如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就
情感态度与价值观：
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的 过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验， 并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值． 2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成 个人解决问题的风格． 3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了 解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的 信心，具有初步的创新精神和实践能力．
学生知识状况分析
通过本章前三节的学习，我们已对 二次函数的概念、二次函数的图像及其 性质、如何确定二次函数的解析式等问 题有了明确的认识.二次函数应用的第 一课时是“何时面积最大”，使我们初 步感受到数学模型思想及数学的应用价 值.进一步利用二次函数解决实际问题.
第二章 二次函数
2.4 二次函数的应用(第一课时）
教学反思 本节课通过“理解问题—分析问题中的变量和常量以及它们之间的 关系—用数学的方式表示它们之间的关系—做数学求解—检验结果 的合理性并给出问题的解答”的教学流程，使学生不仅获得了书本 上的知识，而且拓展知识应用，渗透数学思想方法，体现应用与创 新意识.新课程给数学带来的变化是更注重学习的过程（包括思维 的过程和感受的过程），更强调对数学的体验，以及数学学习的多 样化等等，其实也就是更注重学生的数学综合能力的培养. 在课堂教学过程中，注重以学生的自主探究为主，从提出问题到解 决问题，说明知识来源于生活，而又服务于生活，体现了理论联系 实际的教学原则.从集体讨论——个别发言——总结归纳，符合学 生的年龄特征.通过本节学习，学生不但从实际问题中理解数学知 识，体会数学的乐趣，而且从能力上、思想上都达到一个新的境界. 通过本节课的教学看到学生在计算上还存在很大问题，在这方面要 注意培养学生的准确计算能力，同时还看到学生的潜力很大，作为 教师要充分发挥学生的主观能动性，为学生的发展提供足够的时间 和空间.

A(1.5，3.05)，篮球在最大高度时的位置为点B(0，
3.5)．以点C表示运动员投篮球的出手处．
设以y轴（直线x=0）为对称轴的抛物线为y=a(x-0)2+k，
即y=ax2+k，而点A，B在这条抛物线上，所以有
解得
2.25a k 3.05， k 3.5.
a 0.2， k 3.5.
(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.
解：设AM的长为x(m),则BM的长为（2-x)m,以AM和MB为边的两块正方形面积之
和为y.依题意得y与x之间的函数解析式为
D
2m
C
y=x2+(2-x)2
=2x2-4x+4
=2(x2-2x)+4
=2(x2-2x+1-1)+4 =2(x-1)2+2
A Xm M
B
∵a=2＞0∴当x=1时，y有最小值，最小值为2.
因为两条直线相交于点（2,3),
｛X=2
所以原方程组的解是
交流思考
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?
➢ 首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围， ➢然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最 小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的
。 自变量的值必须在自变量的取值范围内
例2：如图，ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板，在边AB上选取 一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料。当 AM的长为何值时，截取的板料面积最小？
何时窗户通过的光线最多
用长为6m的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的 矩形窗框．窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积 最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）

1. 在拱桥的例子中，当水面宽3.6m
时，拱顶离水面高多少？
1.62m.
2. 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随 矩形一边长l的变化而变化. 当l是多少时，场地的面积 S最大？ S=(30-l)l l=15时，S最大=225
3、在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中
AB和AD分别在两直角边上.（1）如果设矩形的一边
0.01m)?此窗时户提,窗面示户积：的：由面4Sy=积+27xx是y++π多xπ少2=x12?=52x(得15：-7y4x=-π1x5-)7+4x-π2πxx2
=-
7 2
x2+x=-
7 2
(x-
5 14
)2+
225 56
当x=
5 14
≈1.07时，y最大=
225 56
≈4.02
用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题一般步骤 生活中的一些实际问题
方法1、以A为原点，AB所在的
y -2
-1
y Oy
1
直线为x轴，建立直角坐标系。
-1
函数解析式形式为：y=a(x-2)2
A
-2
y
2
x
B
方法2、以B为原点，AB所在的
O
直线为x轴，建立直角坐标系。
O
O xxx
函数解析式形式为：y=a(x+2)2
方法3、以AB中点为原点，AB所在的直线为x轴，建立直角
坐标系。 函数解析式形式为：y=ax2+2
2
解
3
窗框的透光面积
S=
x·
8-3x 2
=
-
3 2