计算方法作业-1(2013研究生)
- 格式：doc
- 大小：438.00 KB
- 文档页数：12
《计算方法》课程 No.1专业名称： 所在学院： 导师姓名： 姓 名： 学 号：完成时间： 作业成绩： 任课教师签字：第一次作业：请同学们完成下列作业（提交时间：2013.10.25）1. 已知01.003.11±=x ，01.045.02±=x ，试求用公式22121x e x y +=计算y 时产生的绝对误差和相对误差。
解 01.0)(1=x e ，01.0)(2=x e ，112x x y=∂∂，2212x e x y =∂∂，故绝对误差为0284416.001.05.001.006.2)()()()(45.02211=⨯⨯+⨯=∂∂+∂∂=≈e x e x yx e x y y d y e相对误差为015415.05.003.10284416.0)()(45.02=⨯+=≈=ey dy y y e y e r2. 建立积分20,,1,0510=+=⎰n dx x x I nn 的递推关系式，并研究它的误差传递。
解 由n x d x x d x x x I I n n n n n 15551011011==++=+⎰⎰--- 和5ln 6ln 51100-=+=⎰dx x I可建立下列递推公式⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-)20,,2,1(515ln 6ln 10 n I n I I n n (*)计算出0I 后，由递推关系式可逐次求出2021,,,I I I 的值。
但在计算0I 时有舍入误差，因此在使用递推关系式中，实际算出的都是近似值)20,,2,1(*=n I n 。
即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-)20,,2,1(511**00*0 n I n I e I I n n误差是如何传递的？设*0I 有误差0e ，假设计算过程中不产生新的舍入误差，则由(*)式可得),2,1(5551*11* =-=+-=-=---n e I I I I e n n n n n n 从而有0)5(e e n n -=即原始数据*0I 的误差0e 对第n 步的影响使该误差扩大了n5倍。
当n 较大时，误差将淹没真值，因此递推公式(*)是数值不稳定的。
现在从另一方向使用这一公式)1,,19,20(1511 =⎪⎭⎫⎝⎛-=-n I n I n n (**)只要给出20I 的一个近似值*20I ，即可递推得到*0*18*19,,,I I I ，类似于上面的推导可得 n nn n e e e e ⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-51,5101每递推一步误差缩小到原值的51，所以递推公式(**)是数值稳定的。
由于]1,0[∈x 时，556nn n x x x x <+< 所以有估计式)1(51)1(61+<<+n I n n于是2151216120⨯<<⨯I 取0087301587.021051126120≈+≈I可得另一算法：⎪⎩⎪⎨⎧=-=≈-)1,,19,20()1(510087301587.0120 n I n I I n n 这是数值稳定性好的算法。
3. 用秦九韶法计算123456)(23455+++++=x x x x x x P 在5=x 处的值，并验证之。
答案：22461解 Mathematica 程序：Clear[a,S,k,x] a[k_]:=k+1; S[5]=a[5];S[k_]:=x*S[k+1]+a[k]; x=5; S[0]运行结果：22461秦九韶算法也可改用下面的简单竖式算法：6 5 4 3 2 130 175 895 4490 224606 35 179 898 4492用Mathematica 语句验证： a[k_]:=k+1P[x_]:=Sum[a[k]*x^k,{k,0,5}] P[5]结果：224614. 已知函数x y 2=的函数表（1）试以02=x ，13=x 为节点，建立线性插值多项式)(1x L ，用以计算3.02的近似值，并估计截断误差。
（2）以11-=x ，02=x ，13=x 为节点，建立抛物线插值多项式)(2x L ，用以计算3.02的近似值，并估计截断误差。
解（1）线性插值多项式为120101101)(1+=⋅--+⋅--=x x x x L 则3.1)3.0(213.0=≈L其截断误差由(2-13)得))((2)(3221x x x x M x R --≤其中)("max 322x f M x x x ≤≤=，因为x x f 2)2(ln )("2=，可得9069.0)2(ln 2)("max 210==≤≤x f x于是09522.0)13.0(3.029069.0)3.0(1=-≤R （2）抛物插值多项式为175.025.02)11)(01()1)(0(1)10)(10()1)(1(5.0)11)(01()1)(0()(22++=⋅+-+-+⋅-+-++⋅------=x x x x x x x x x L则248.1)3.0(223.0=≈L其截断误差为))()((6)(32132x x x x x x M x R ---≤其中6660.0)2(ln 2)('''max 3113===≤≤-x f M x ，故有03030.0)13.0)(03.0)(13.0(66660.0)3.0(2=--+≤R5. 已知函数表 求出Lagrange 插值多项式，并计算2.1=x 处的y 的近似值。
解 Mathematica 程序如下：r0[x_,x0_,a_,b_,c_]:=(x-a)(x-b)(x-c)/((x0-a)(x0-b)(x0-c))L3[x_]:=r0[x,1,2,4,5]*16+r0[x,2,1,4,5]*12+r0[x,4,1,2,5]*8+r0[x,5,1,2,4]*9 L3[x]//N Simplify[%] L3[1.2]//N 插值多项式为-1.33333 (-5. + x) (-4. + x) (-2. + x) + 2. (-5. + x) (-4. + x) (-1. + x) -1.33333 (-5. + x) (-2. + x) (-1. + x) + 0.75 (-4. + x) (-2. + x) (-1. + x) 插值多项式的简式为320833333.00833333.083333.46667.20x x x ++-插值为 15.13076. 证明∑5=20=)()(i i i x l x x －，其中)(x l i )5,,1,0=( i 为插值基函数。
证明∑∑5=225=2)()+2(=)()(i i i i i i i x l x xx x x l x x －－0+2=)(+)(2)(225=5=5=22∑∑∑＝－－＝x xx x x l x x l x x x l x i i i i i i i i7. 设],[)(4b a C x f ∈，已知插值节点 b x x a n <<<<0 且3,2,1=,1i h x x i i ＝－－，证明：（1）)(''max 8)(≤)()(max ≤≤21≤≤x f a b x L x f b x a b x a －－ （2）)('''max 273≤)()(max 2020≤≤32≤≤x f h x L x f x x x x x x － （3）)(max 241≤)()(max )4(≤≤43≤≤2030x f h x L x f x x x x x x －证明 （1）由插值余项得))((!2)(''=)()(=)(11b x a x ξf x L x f x R －－－ b ξa << 又 4)(=))((=))((max 22+=≤≤a b b x a x b x a x ba x bx a －－－－－故 )(''m a x 8)(≤)(''m a x ))((max 21≤)()(max ≤≤2≤≤≤≤1≤≤x f a b x f b x a x x L x f b x a b x a b x a b x a －－－－当x x f =)(时，等式成立。
（2）由插值余项得))()((!3)('''=)()(=)(21022x x x x x x ξf x L x f x R －－－－ 20<<x ξx 令 ,=0x x y －则有 1=x x h y －－，2=2x x h y －－，h y 2≤≤0， 于是)('''max )2)((max 61≤)()(max202020≤≤≤≤2≤≤x f h y h y y x L x f x x x x x x x x x －－－而 )2)((=)(h y h y y y g －－在h y 2≤≤0上的最大值为3932h 从而有)('''m a x )2)((max 61≤)()(max202020≤≤≤≤2≤≤x f h y h y y x L x f x x x x x x x x x －－－＝3932h )('''max 20≤≤x f x x x（3）由插值余项得 ))()()((!4)(=)()(=)(3210)4(33x x x x x x x x ξfx L x f x R －－－－－ 30<<x ξx 令 ,=0x x y －则有 1=x x h y －－，2=2x x h y －－，3=3x x h y －－，，h y 3≤≤0， 于是)(max )3)(2)((max !41≤)()(max)4(≤≤≤≤3≤≤303030x f h y h y h y y x L x f x x x x x x x x x －－－－=)(max )2+3)(3(max !41)4(≤≤222≤≤3030x f h hy y hy y x x x x x x －－=)(max)2+(max!41)4(≤≤20≤≤h 49302x f h u u x x x u － 其中hy y u 32-==)(max !41)4(≤≤430x f h x x x8. 已知19个点的坐标如下表，根据表中数据求一插值多项式，并由此计算75.11=x 点的函数值的近似值。
数据表：10 15 20 25 30 35 40 2.30259 2.70805 2.99573 3.21888 3.4012 3.55535 3.6888 455055606570753.80666 3.912024.00733 4.09434 4.17439 4.2485 4.3174980 85 90 95 100 4.382034.442654.499814.553884.60517解已知数据表：10 15 20 25 30 35 40 2.30259 2.70805 2.99573 3.21888 3.4012 3.55535 3.6888 45 50 55 60 65 70 75 3.80666 3.91202 4.00733 4.09434 4.17439 4.2485 4.3174980 85 90 95 100 4.382034.442654.499814.553884.60517Mathematica 程序：A=Table[{x,Log[x]},{x,10,100,5}]//Ng1=ListPlot[Table[A],Prolog->AbsolutePointSize[6], DisplayFunction->Identity]; Interpolation[A,InterpolationOrder->1]g2=Plot[%[x],{x,10,100},PlotStyle->Thickness[0.05],DisplayFunction->Identity] Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction] %%%[11.75]运行结果：2.所求插值445.2)75.11(≈f 。
