吉林省东北师大附中松原实验中学2021届高三下学期2月联合模拟考试理科数学试题 含答案

2021-2022年高三第二次模拟考试理科数学含解析高三数学（理科） xx.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集，集合，，那么 （A ） （B ） （C ） （D ）【答案】C因为，，所以，，选C.2．在复平面内，复数的对应点是，的对应点是，则 （A ）（B ） （C ） （D ）【答案】B,,所以2212(1)(1)12z z i i i ⋅=-+=-=，选B.3．在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是 （A ） （B ）（C ）（D ）【答案】A在圆心中，，所以圆心的坐标为，即圆心的坐标为，圆心到极点的距离为1，即圆的半径为1.所以圆的标准方程为，即，即，解得，选A.4．如图所示的程序框图表示求算式“” 之值， 则判断框内可以填入 （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】C第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，满足条件，;第五次循环，满足条件，235917,33S k =⨯⨯⨯⨯=，此时不满足条件输出。

所以条件应满足，即当，满足，所以选C. 5．设，，，则 （A ） （B ） （C ） （D ）【答案】D因为,，，所以，即，所以，选D.6．对于直线，和平面，，使成立的一个充分条件是 （A ），∥ （B ）∥， （C ），，（D ），， 【答案】C对于A ，”m ⊥n ，n ∥α”，如正方体中AB ⊥BC ，BC ∥平面A ′B ′C ′D ′，但AB 与平面A ′B ′C ′D ′不垂直，故推不出m ⊥α，故A 不正确；对于B ，“m ∥β，β⊥α”，如正方体中A ′C ′∥面ABCD ，面ABCD ⊥面BCC ′B ′，但A ′C ′与平面BCC ′B ′不垂直．推不出m ⊥α，故不正确；对于C ，根据m ⊥β，n ⊥β，得m ∥n ，又n ⊥α，根据线面垂直的判定，可得m ⊥α，可知该命题正确； 对于D ，“m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α”，如正方体中AD ′⊥AB ，AB ⊥面BCC ′B ′，面ABCD ⊥面BCC ′B ′，但AD ′与面BCC ′B ′不垂直，故推不出m ⊥α，故不正确．故选C ．7．已知正六边形的边长是，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是 （A ） （B ）（C ）（D ）【答案】B根据对称可知，正六边形ABCDEF 的顶点A 、B 、C 、F 在抛物线上，设,则，即，又2212()(12)2AF x x =-+-=，即221211()(4)3x x x x -=-=，所以，，即1132323p x ===⨯。

注齋事项: 1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.答卷 前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上.2・回答第I 卷时,选出每小题答案后，用铅筆把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号•写在本试卷上无致 3. 回答第n 卷肘，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.第I 卷（选择题共60分）一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.】.定义集合运算zA^B = R| z =矽样E A.y e B},设4 = （1,2| t B = {1,2,3},则集合4"的 所有元素之和为A.16B. 18C. 14D.82 ■复数z =z-^-（其中•为虚数单位）,则z ・£ =Z - IC.53.割补法在我国古代数学著作中称为“出人相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现 如图，揭示了刘徽推导三角形面叔公式的方法，在三角形4肌?内 任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率A •+B44. 已知a =2^t b = lo &2,c = 1。

盼寺，则a,b,c 的大小关系为A..a>b>cB. a>c>6C. c >a > 6D. c>b>a5. 已知下列四个命题，其中真命题的个数为① 空间三条互相平行的直线a#,c,都与直线d 相交，则«,6,c 三条直线共面； ② ^宜线m 丄平面a,宜线彫/平面a,则m 丄叭 鉀面aC 平面"宜线m,直线a 〃平面©宜线必平面0,则 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.A. 1B.2C ・3D.4哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2021年高三第二次联合模拟考试理科数学2021.4D.66 •双曲线C：4-^ = 1（。

东北师大附中 长春十一高中 2021届高三联合模拟考试吉林一中 四平一中数学（理）科试题松原实验中学注意事项：1．本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。

选择题填涂在答题卡上,非选择题答案填写在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。

2．请在答题卡的指定位置上粘贴条形码，并填涂或填写班级、姓名、学号。

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．请仔细审题、认真做答。

第Ⅰ卷（选择题 共60分 ）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.若集合2{|log (2)}A x y x ==-，2{|60}B x x x =--≤，则()R A B =A.(2,2]-B.[2,2]-C.(2,3)D.(2,3] 2.已知i 是虚数单位，则21ii+-的虚部为 A.32- B.12- C. 12 D. 323.5(2)x +的展开式中3x 项的系数为A. 20B.40C. 60D. 80 4.若数列{}n a 满足12211,1,n n n a a a a a ++===+，则称数列{}n a 为斐波那契数列．斐波那契螺旋线 是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最 完美的经典黄金比例．作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼 成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波 那契螺旋线，如图所示的5个正方形的边长分别为125,,,a a a ，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为 A ．1031156π- B ．14π-C ．7116π-D ．391160π-5.已知向量(,2),(1,1)a x b ==，若a b a b +=+，则实数x ＝A. 1B.2C.3D. 4CD6.执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为A.13 B.23 C.1321 D.6109877. 将函数()sin(2)(0)f x x θθπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()sin(2)6g x x π=+的图象，则()f x 的一个单调递减区间可以为 A.5[,]1212ππ-B.5[,]66ππ-C.5[,]36ππ-D. 2[,]63ππ8. 关于直线,m n 与平面,αβ，有下列四个命题：①//,,//m n m n αβαβ⊥⊥且则； ②//,////,//m n m n αβαβ且则；③,//,m n m n αβαβ⊥⊥⊥且则； ④,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥且则. 其中正确命题的个数是A. 1B.2C.3D. 4 9. 已知0.90.70.9log 0.9,log 0.7,0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A. a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D. c a b <<10.已知双曲线2222:1(0,0)C a b a by x -=>>的上、下焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，且2PF y ⊥轴，若12PF F ∆的内切圆半径为45a，则双曲线的离心率为 A. 95 B. 85 C. 75 D. 6511.已知函数11()sin(1)x x f x x e e --+=-+-，则关于x 的不等式()0f x >的解集为 A. (,1)-∞ B.(1,+)∞ C.(1,)e D.(,+)e ∞ 12.在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，2BD DC =，6BC =，则ABC ∆的面积的 最大值为 A. 6B. C.12D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数()54,0ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则35f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．14．若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ．15．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立，则甲 队以3∶2获胜的概率是 ．16．已知抛物线2:16C y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 上动点，点()4,6B -，当PB PF取最大值时，点P的坐标为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） 17．（本题满分12分）在等差数列{}n a 中，23a =，525S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. （本题满分12分）为推动长春市校园冰雪运动，充分展示《长春市中小学“百万学子上冰雪”行动计划》的工作成果，某学校决定学生全员参与冰雪健身操运动．为了调查学生对冰雪健身操的喜欢程度，现从全校学生中随机抽取了20名男生和20名女生的测评成绩（满分为100分）组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，并且认为得分不低于80分的学生为喜欢．（Ⅰ）请根据茎叶图填写下面的列联表，并判断能否有85%的把握认为该校学生是否喜欢冰雪健身操与性别有关？喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计（Ⅱ）从样本中随机抽取男生、女生各1人，求其中恰有1人喜欢冰雪健身操的概率；（Ⅲ）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从全校男生、女生中各随机抽取1人，求其中喜欢冰雪健身操的人数X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.010 0.001 0k2.0722.7063.8416.63510.82819. （本题满分12分）等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是棱AB ，AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==（如图①），将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，连接1A B ，1A C ，点F 是棱1A B 上的动点，点P 是棱BC 上的动点（如图②）.（Ⅰ）若113A F FB =，求证：//CF 平面1A DE ； （Ⅱ）若1A D DB ⊥，且直线1A P 与平面1A BD 所成角的正弦值为155，求平面1A DP 与平面1A CE 所成锐二面角的余弦值.A B CDEBCDEA 1FP图①图②20. （本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是12F F 、，短轴长是12.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点P 是椭圆上任意一点，直线1PF 交椭圆于点Q ，直线2PF 交椭圆于点R ，且满足1122PF F Q PF F R λμ==，.求证：+λμ是定值.21. （本题满分12分）已知函数()().x f x x e a =-（Ⅰ）若函数()f x 过原点切线的斜率是3，求实数a 的值； （Ⅱ）若1ln ()x x f x ++≤恒成立，求实数a 的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1C的参数方程为232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若1C 与2C 相交于A 、B 两点，求AOB ∆的面积.23．(本题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()11f x x ax a =++-+（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求的取值范围.1a =()3f x ≥1x ≥()2f x x ≥+a数学（理科）试卷参考答案一、选择题二、填空题13. 0 14．2 15．27416．()1,4-三、解答题17．（本题满分12分）解：（I ）由已知213a a d =+=，5151025S a d =+=解得11a =，2d =， 有21n a n =-，*n N ∈. （Ⅱ）因为()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121n n n n n S n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18. （本题满分12分） 解：（I ）列联表如下：()2405101510 2.667 2.07215252020k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以，有85%的把握认为该校学生是否喜欢冰雪健身操与性别有关．（Ⅱ）记事件A 为“从样本中随机抽取男生、女生各1人，其中恰有1人喜欢冰雪健身操”，则111151015101120201()2C C C C P A C C +==（III ）由题意0,1,2X =31311311111(0),(1),(2)42842422428P X P X P X ==⨯===⨯+⨯===⨯=X ∴的分布列为3113()0128284E X ∴=⨯+⨯+⨯=．19. （本题满分12分）（I ）证明：在图①中，由已知可得2AE =，1AD =，060A =，22012212cos603DE ∴=+-⨯⨯⨯=，222AD DE AE +=，DE AB ∴⊥取AB 中点M ，连接MC ，则MC AB ⊥，且13DM MB =，//DE MC ∴在图②中，//MC DE ，且MC ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，//MC ∴平面1A DE 连接MF ，113A F DM FB MB ==，1//MF A D ∴.同理//MF 平面1A DE 又MFMC M =，∴平面//FMC 平面1A DE .又FC ⊂平面FMC ，即//CF 平面1A DE（Ⅱ）在图②中，1A D DB ⊥，1A D DE ⊥，建系如图. 则1133(0,0,0),(0,0,1),(2,0,0),(,,0),(0,3,0)22D A B CE ，1133313(2,0,0),(,,0),(0,3,1),(,,1)2222DB BC A E AC ∴==-=-=-， X1 2 P38 12 18图①图②A BCD EMBCDE A 1 P Mxz Fy令3(2,0)(01)2DP DB BP DB BC λλλ=+=+=-≤≤，113(2,,1)22A P DP DA λλ∴=-=--又平面1A BD 的一个法向量0(0,1,0)n =，101010|||cos ,|||||(2A P n A P n A P n ⋅∴<>===⋅2924200λλ∴+-=，解得23λ=或103λ=-（舍）1(1,3,0),(1,3,1)DP A P ∴==- 设平面1A DP 的一个法向量1111(,,)n x y z =，则111111030n DA z n DP x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令11y =，则3x =-，1(3,1,0)n =-又平面1A CE 的一个法向量2222(,,)n x y z =则212221222301022n A E y z n AC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令23z =，则23x =-，2y =2(n =- 12|cos ,|7n n ∴<>== 即平面1A DP 与平面1A CE .20. （本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得22221,2b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 因此椭圆C 的标准方程22143x y +=.（Ⅱ）设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，由已知得2200143x y +=…………① 由（Ⅰ）可得12(10)(10)F F -，、， 当00y ≠时，设直线1PF 的方程为0011x x y y +=-…………②将②代入22143x y +=得22002003(1)6(1)490x x y y y y ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以10202093(1)4y y x y -=++将①代入并化简得201009156y y y x -=+当00y ≠时，有0109156y y x -=+， 同理可得，0209156y y x -=-又1122PF F Q PF F R λμ==，， 所以0102,y y y y λμ-=-=，故0012=,y yy y λμ-=- 所以000012001561561110+()()993x x y y y y y y λμ+-=-+=-+=-- 经验证当0=0y 时，仍有10+=3λμ综上可得+λμ是定值21. （本题满分12分）解：（Ⅰ）设切点为000(,())xx x e a -，且/()(1).x f x x e a =+- 则切线方程为00000()[(1)]()xxy x e a x e a x x --=+--由已知切线过原点，则有00000()[(1)]()xxx e a x e a x --=+--, 解得x 0=0，所以0/00()(1)=3.xf x x e a =+- 因此， 2.a =-（Ⅱ）若1ln ()x x f x ++≤恒成立，即1ln ()x x x x e a ++≤-恒成立 即1ln x x xa e x++≤-恒成立 令1ln ()(0)xx x g x e x x++=->，则2/2ln ()x x e x g x x += 令2()ln x h x x e x =+，则/21()(2)0x h x e x x x=++> 所以2()ln x h x x e x =+在(0)+∞，是增函数又112211(1)=0()110e e h e h e e e e->=-=-<，因此， 0200001(,1),()ln 0xx h x x e x e∃∈=+=使得 ………①所以//00(0),()0()0()(0)x h x g x g x x <<当，时，即，则在，上是减函数//00(+),()0()0()(,)x h x g x g x x ∞>>+∞当，时，即，则在上式增函数 则000min 001ln ()()xx x g x g x e x ++==-………②由①得001ln 0000001111ln ln ln x x x e x e x x x x =-==⋅ 又设()x x xe ϕ=，易知()x x xe ϕ=在(0)+∞，是增函数，所以001ln x x = ………③ 将③代入②得min ()0g x =，因此0a ≤22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（I ）消去参数可得的普通方程为， 由，得，又因为，所以的直角坐标方程为．（Ⅱ）标准方程为，表示圆心为，半径的圆．到直线的距离222d =，故． 原点到直线的距离，所以． 综上，OAB △的面积为37223．(本题满分10分)选修4-5：不等式选讲解：（I ）当时，不等式可化简为． 当时，，解得，所以； 当10x -≤<时，，无解； 当时，，解得，所以． 综上，不等式的解集为．（Ⅱ）当时，不等式可化简为．30x y +-=4cos ρθ=24cos ρρθ=222,cos x y x ρρθ=+=2C 2240x y x +-=2C 22(2)4x y -+=2(2,0)C 2r =2C 30x y +-=222214AB r d =-=O 30x y +-=32d =11337142222OAB S AB d ==⨯⨯=△1a =()3f x ≥13x x ++≥1x <-13x x ---≥2x ≤-2x ≤-13,13x x +-≥≥0x ≥13x x ++≥1x ≥1x ≥()3f x ≥(,2][1,)-∞-+∞1x ≥()2f x x ≥+11ax a -+≥1xyo1理科数学试题 第11页共5页令()(1)1g x a x =-+，则()g x 的图像为过定点(1,1)斜率为a 的直线， 数形结合可知，当0a ≥时，在[)1,+∞上恒成立. 所以，所求的取值范围为．11ax a -+≥a [0,)+∞。

2022届吉林省长春市东北师大附中高三第二次摸底考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2A x y ==，13,112B x x a a ⎧⎫==<≤⎨⎬-⎩⎭，则下列选项正确的是（ ） A ．A B = B ．A B ⊆ C ．BAD ．AB答案：C由题化简两集合，即得.解：∵{}{}21A x y x x ===≥，{}13,1212B x x a x x a ⎧⎫==<≤=≥⎨⎬-⎩⎭， ∴B A .故选：C.2．命题0:0p x ∃>，2020210x ax -+<成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．(40,60)a ∈ B ．[60,80]a ∈ C ．[80,90)a ∈ D ．[90,100)a ∈答案：D根据命题p 求得参数a 的范围，根据命题的集合语言，只要求得参数a 的范围的真子集即可得解.解：命题0:0p x ∃>，20020210x ax -+<成立，即00x ∃>，002021a x x >+成立，则a >又[90,100)a ∈可以推出a >a >[90,100)a ∈， 所以[90,100)a ∈是命题p 成立的一个充分不必要条件， 故选：D.3．已知函数()213log 3y x ax a =-+在[)1,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a ≤B ．2a <C ．122a -<≤D ．122a -≤≤答案：C分析可知内层函数23u x ax a =-+在[)1,+∞上为增函数，且有min 120u a =+>，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 解：令23u x ax a =-+，因为外层函数13log y u=为减函数，所以内层函数23u x ax a =-+在[)1,+∞上为增函数，则12a≤，得2a ≤， 且有min 120u a =+>，解得12a >-.综上所述，122a -<≤.故选：C.4．早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”，故勾股定理也称为商高定理.现有ABC 的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC 的长为3，点A 在弦BC 上的射影为点D ，则()BC BA AD -⋅=（ ） A ．365B ．14425C ．14425-D ．365-答案：B作出图形，计算出cos BAD ∠的值，然后利用平面向量数量积的定义可求得()BC BA AD -⋅的值. 解：如下图所示：由题意可知3AC =，4AB =，5BC =，则3cos 5AC C BC ==， AD BC ⊥，90BAD B C B ∴∠+∠=∠+∠=，所以，BAD C ∠=∠.()()223144cos cos 4525BC BA AD AB AD AB AD BAD AB BAD ⎛⎫-⋅=⋅=⋅⋅∠=⋅∠=⨯= ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面数量积定义的的应用，考查计算能力，属于基础题.5．某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．()()cos x xf x e e x -=-B ．()()cos x xf x e e x -=- C ．()()cos x xf x e e x -=+D ．()()sin x xf x e e x -=+答案：A【解析】根据函数图象，由函数基本性质，逐项判断，即可得出结果.解：A 选项，()()cos x xf x e e x -=-，则()()()()()cos cos x x x xf x e e x e e x f x ---=--=--=-，所以()()cos x xf x e e x -=-是定义在R 上的奇函数，其图象关于原点对称，满足题中图象；又当05x <<时，0x x e e -->，由()0f x >可得cos 0x >，解得02x π<<或352x π<<；由()0f x <可得cos 0x <，解得322x ππ<<，满足题中图象，故该函数的解析式可能是()()cos x x f x e e x -=-；A 正确；B 选项，当05x <<时，0x x e e -->，cos 0x ≥，所以()()cos 0x xf x e e x --≥=，不满足题意；排除B ；C 选项，由()()cos x x f x e e x -=+得()2co 20s0f ==，即()()cos x xf x e e x -=+不过原点，不满足题意；排除C ；D 选项，因为3522ππ<<，所以sin50<，则()()555sin50f e e -=+<，不满足题意，排除D ；故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．已知函数()cos sin f x x x =+，下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 的最小正周期为π2，最小值为1B ．函数()f x 的最小正周期为π，最小值为0C ．函数()f x 的最小正周期为π2，最大值为2D ．函数()f x 的最小正周期为π答案：A由题意可得()=()2f x f x π+，故()f x 的最小正周期为2π，根据[0,]2x π∈时，())4f x x π=+∈，进而得到最大值和最小值. 解：由()cos sin f x x x =+，得()cos()sin()222f x x x πππ+=+++=cos sin ()x x f x +=，()=()2f x f x π+，所以()f x 的最小正周期为2π，故排除B 、D ； 当[0,]2x π∈时，()cos sin cos sin )4f x x x x x x π=+=+=+，由[0,]2x π∈得3[,]444x πππ+∈，所以sin()[42x π+∈，所以())4f x x π=+∈，所以一个周期内，()f x 的最小值为1C. 故选：A7．已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()f x x =，则（ ） A ．()sgn 0f x >⎡⎤⎣⎦ B ．202112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()()sgn 211k f k +=⎡⎤⎣⎦∈ZD ．()()sgn sgn f k k k =∈⎡⎤⎣⎦Z 答案：C利用特殊值法可判断AD 选项；利用函数的周期性以及题中定义可判断BC 选项. 解：对于A 选项，()sgn 0sgn 00f ==⎡⎤⎣⎦，A 错；对于B 选项，202111110102222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 错；对于C 选项，对任意的Z k ∈，()()2111f k f +==，则()sgn 21sgn11f k +==⎡⎤⎣⎦，C 对； 对于D 选项，()()sgn 2sgn 0sgn 00f f ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，而sgn 21=，D 错. 故选：C.8．已知等差数列{}n a 的首项和公差均不为0，且满足2527a a a =，则37112810a a a a a a ++++的值为( )A ．1314B ．1213C ．1112D ．13答案：B设等差数列公差为d ，由2527a a a =⋅得到1a 和d 的关系，代入37112810a a a a a a ++++即可求值.解：设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由2527a a a =⋅得()()()211146a d a d a d +=++，即21100a d d +=，得110a d =-，371112810131812123171313a a a a d d a a a a d d +++-∴===+++-.故选：B.9．为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D ．已知C ，D 两个基站建在松花江的南岸，距离为103km ；基站A ，B 在江的北岸，测得75ACB ∠=︒，120ACD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，则A ，B 两个基站的距离为（ ）A ．106kmB ．30(31)kmC ．30(21)kmD ．5km答案：D根据题意可得3AC CD ==60CBD ︒∠=，利用正弦定理求出BC ，进而结合余弦定理即可求出AB .解：在ACD △中，307545120ADC ACD ︒︒︒︒∠=∠=+=，，所以30︒∠=CAD ，有ADC ∠CAD =∠，所以AC CD == 在BDC 中，180(7545)60CBD ︒︒︒︒∠=-+=，由正弦定理，得BC == 在ABC 中，由余弦定理，得 2222cos AB AC BC AC BC BCA =+-⋅∠22275500︒=+-⨯=，所以AB =A 、B 之间的距离为. 故选：D 10．已知23,,ln 2ln 3a b c e ===，则下列大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c b a << D ．c a b <<答案：C利用导数讨论()()ln xf x x e x=≥的单调性后可得,,a b c 的大小. 解：由题，244ln 22ln 2ln 4a ===． 令()()ln xf x x e x=≥，则()2ln 1ln x f x x -'=，因为x e >，所以()0f x '>， 所以()ln xf x x=为[),e +∞上的单调增函数， 又()()()4,3,a f b f c f e ===，因为34e <<，故c b a <<. 故选：C ．11．设2()2||f x x x =-，()2xe g x x =+（其中e 为自然对数的底数),若函数()(())h xfg x k =-有4个零点，则k 的取值范围 A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．221(,1)e e -D ．221(0,)e e-答案：D解：分析：问题转化为直线y k =与函数()F x =(())f g x 有四个交点，利用导数研究函数()F x 的性质，作出图象（草图），观察分析.详解：当2x >-时，22()(()()22x x e e F x f g x x x ==-++，2(1)'()(22)2(2)x x e e x F x x x +=-⨯++32(2)(1)(2)x xx e x e x +-+=+，由()2x G x x e =+-知'()F x 在(2,1)--有一个零点2x ，在(1,2)上有一个零点3x ，－1也是它的零点，且23,x x 满足20x x e +-=；当2x <-时， 22()(()()22x x e e F x f g x x x ==--++，2(1)'()(22)2(2)x x e e x F x x x +=--⨯++32(2)(1)(2)x xx e x e x -+++=+，由()2x H x x e =++知'()F x 在(,2)-∞-上有一个零点1x ，且111()20xH x x e =++=，123,,x x x 都是极大值点，－1是极小值点，注意到2lim ()xF x →-=-∞，221(1)F e e -=-，1()1F x =，∴当2210k e e <<-时，直线y k =与函数()F x =(())f g x 有四个交点，故选D.点睛：本题考查导数与复合函数，用导数研究函数的性质这个方法大家都会，此时中有一个关键点就是求复合函数的导数，对函数()(())F x f g x =，其导数为'()'(())'()F x F g x g x =，这是复合函数的求导法则.12．若函数()()2e ln x bf x x b x x x x +=+++-有零点，则b 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．[)1,0-C ．(),0∞-D ．()0,∞+答案：C将零点问题转化为两个函数交点问题，构造函数，考察函数的极值及变化速率的关系可得. 解：易知，当0b =时，函数()0f x >恒成立，不满足题意因为e ()1(1ln )x b f x x b x x x +⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 所以函数()()2eln x bf x x b x x x x +=+++-有零点，有零点，则方程e 1(1ln )0x b x b x x x +⎡⎤+++-=⎢⎥⎣⎦有解，即方程e 1(ln 1)x bb x x x++=--有解 即函数e ()1x bg x x+=+与()(ln 1)h x b x x =--的图象在(0,)+∞上有交点2(1)e ()x bx g x x +-'=，易知1x >时()0g x '>，01x <<时()0g x '<，故1min ()(1)e 1b g x g +==+， (1)()b x h x x-'=，当0b >时，易知1x >时()0h x <，01x <<时()0h x >，故max ()(1)2h x h b ==-，因为1e 12b b ++>-恒成立，所以此时无交点；当0b <时，易知1x >时()0h x >，01x <<时()0h x <，故min ()(1)2h x h b ==-， 易知，当x →+∞时，必有()()g x h x >，所以当1e 12b b ++≤-时，两函数图象一定有交点.令1()e 21b u b b +=++，因为1()e 20b u b +'=+>，故函数()u b 单调递增，且0(1)e 210u -=-+=，所以，当1b ≤-时，1e 210b b +++≤，即1e 12b b ++≤-成立.当10b -<<，01x <<时，22(1)e (1)(1)(e )()()x b x b x b x x bx h x g x x x x++---+''-=-= 当0x →时，()()h x g x ''-→-∞，此时1e 12b b ++>-，故两函数图象在(0,1)上有交点. 综上，b 的取值范围为(,0)-∞ 故选：C【点睛】该题主要考察利用导数研究函数零点问题，此类问题多转化为函数交点问题，借助单调性、极值、变化率、零点存在性定理等进行求解. 二、填空题13．函数()()323323f x x ax a x =++++既有极大值，又有极小值，则a 的取值范围是_________．答案：()(),12,-∞-+∞本题首先可通过求导得出()()23632f x x ax a '=+++，然后根据题意得出0∆>，最后通过计算即可得出结果.解：()()323323f x x ax a x =++++，()()23632f x x ax a '=+++，因为函数()f x 既有极大值，又有极小值， 所以2643320aa ，即220a a -->，210a a ，解得2a >或1a <-，故a 的取值范围为()(),12,-∞-+∞，故答案为：()(),12,-∞-+∞.14．若tan lg(10)a α=，1tan lg a β=，且4παβ+=，则实数a 的值为_____．答案：110或1运用正切两角和公式及对数的运算性质可求解. 解：因为4παβ+=，所以tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-，即1lg(10)lg11111lg(10)lg 1lg(10)lga a a a a a+==-⋅-⋅， 化简得1lg(10)lg 0a a⋅=， 所以lg(10)0a =或1lg 0a=， 解得110a =或1a =. 故答案为：110或1 15．如图，矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以CD 为直径的半圆上有一点P ，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为___________.答案：73以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出43x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值.解：以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，因为在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，所以圆M 的半径为2r =，所以()0,0A ，()4,0B ，()4,3C ，()0,3D ，()2,3M ，圆M 的方程为()()22234x y -+-=，设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),4,00,3x y λμ=+，解得43x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又点P 是圆M 上的点，所以22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），所以()22sin 32cos +53s +4343in +62x y θθθϕλμ+==++=+，其中4tan 3ϕ=， 所以，当()sin 1θϕ+=时，λμ+取得最大值73，故答案为：73.16．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题．黎曼猜想研究的是无穷级数1111()123s ss s n n n ξ∞-===+++⋅⋅⋅∑，我们经常从无穷级数的部分和1111123s s s s n+++⋅⋅⋅+入手．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则122021111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅=⎢⎥⎣⎦______．（其中[]x 表示不超过x 的最大整数） 答案：88根据已知条件，可得数列2{}n S 是首项、公差均为1的等差数列，即n S n ，再结合放缩法，即可求解．解：由题意可得，0n S >，当2n 时，1111()2n n n n n S S S S S --=-+-，化简得2211n n S S --=， 又当1n =时，11111S a ==， ∴数列2{}n S 是首项、公差均为1的等差数列，∴21(1)1n S n n =+-⨯=，即n S ，当2n时，212n nS S =<=<= ①,设122021111S S S S =++⋅⋅⋅+，由①可得，12S >+⨯++⋅⋅⋅+=12+⨯，22024202420244321896=---⨯=243.51892.25=，∴2218961892.5243.5>>=，43.5，∴121243.588+⨯>+⨯=且121)S <+⨯⋅⋅⋅+121)1=+⨯=， ∵245=2025，∴11245189<=⨯-=.∴12202111188S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦． 故答案为：88．【点睛】本题的难点是利用<<=进行放缩，以求出122021111S S S ++⋅⋅⋅+的精确范围. 三、解答题17．在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，2sin (2)sin (2)sin c C a b A b a B =+++ （1）求角C 的大小； （2）若4c B π==，求ABC 的面积.答案：（1）2π3；（2）3. （1）根据正弦定理将2sin (2)sin (2)sin c C a b A b a B =+++，角化为边，再由余弦定理求解即可； （2）由题意先求出A ，再由正弦定理求出边a ，结合三角形面积公式即可求解. 解：（1）∵2sin (2)sin (2)sin c C a b A b a B =+++， 由正弦定理得，222222c a ab b ab =+++， 化简得，222a b c ab +-=-.∴2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-.∵0πC <<， ∴2π3C =； （2）∵π4B =， ∴π2ππππ4334A =--=-. ∴ππππππ62sin sin sin cos cos sin 3434344A -⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.由正弦定理得，sin sin a c A C=， ∵23c =，2π3C =，∴6223sin 462sin 32c Aa C-⨯===-. ∴ABC 的面积112sin (62)2333222ABC S ac B ==⨯-⨯⨯=-△. 18．如图①所示，平面五边形ABCDE 中，四边形ABCD 为直角梯形，∠B =90°且AD ∥BC ，若AD =2BC =2，AB =3，△ADE 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE 沿AD 折起，连接EB ，EC 得如图②的几何体．图① 图② （1）若点M 是ED 的中点，求证：CM ∥平面ABE ；（2）若EC =2，在棱EB 上是否存在点F ，使得二面角E -AD -F 的大小为60°？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）存在；F 点为EB 的中点．（1）作出辅助线，证得//CM BG ，结合线面平行的判定定理即可证出结论；（2）证出EH ⊥面ABCD ，建立空间直角坐标系，假设存在点F ，然后利用空间向量的夹角公式建立方程，解方程即可判断.解：（1）证明：取AE 的中点为G ，连接MG ，BG ，∵M 是ED 的中点，2AD BC =， ∴MG 是ADE 的中位线， ∴////MG AD BC 且MG BC =，所以MGBC 为平行四边形，∴//CM BG ，因为CM ⊄面ABE ，BG ⊂面ABE ，所以//CM 平面ABE ．（2）解：取AD 的中点为H ，连接HC ，HE ，其中3HC AB ==，1EH =， 由2EC =可得HC HE ⊥，显然EH ⊥面ABCD ，故以H 为坐标原点，分别以HC ，HA ，HE 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴； 如图建立空间直角坐标系，则(0,0,1)E ，(0,1,0)A ，(0,1,0)D -，(3,1,0)B ， 设存在点(,,)F x y z ，(,,1)3,1,1)3EF EB x y z x λλλ=⇒-=-⇒=，y λ=，1z λ=-，易知面EAD 的法向量可取(3,0,0)HC =，另外(,1,),1,1)AF x y z λλ=-=--，(0,2,0)AD =-， 设面ADF 的一个法向量为(, , )u m n r =，则0,,1,1)00(0,2,0)0AF u u AD u u λλ⎧⎧⋅=--⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-⋅=⎪⎪⎩⎩，()()11020m n r n λλ+-+-=-=⎪⎩可取一个法向量为()u λ=-，则11|cos ,|22DC uλ〈〉==⇒=，11,22F ⎫⎪⎪⎝⎭为EB 的中点． 故存在F 点为EB 的中点．19．设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*n S n N ∈，{}n b 是等差数列．已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)设112n n n n n b c a b b +++=⋅⋅，求{}n c 的前n 项和n T ．答案：(1)12n n a ，n b n =(2)12(1)1n n -+（1）通过基本量直接计算可得； （2）用裂项相消法可解. (1)记{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，由题知：211121a q a q a ⎧=+⎨=⎩，解得2q或1q =-（舍去），故12n n a又114115248321016b d b d a b d b d a +++==⎧⎨+++==⎩，即113431316b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得11b d ==，故n b n =(2)由（1）知：11122112(1)22(1)n n n n n n n n b n c a b b n n n n -++++===-⋅⋅++所以221311)11111(1)()()(22223232422(1)2n n n T n n -=-+-+-+⋅⋅⋅+⨯-⨯+⨯⨯⨯112(1)n n =-+20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的两个焦点分别是12,F F ，其长轴长是短轴长的2倍，P 为椭圆上任意一点，且12F PF △（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值．答案：（1）2214x y +=；（2）1625.（1）由题意可知12F PF △的面积最大值最大时点P在上（下）顶点处，进而可得122c b ⋅=合222a b =⋅和222a b c =+即可求出结果；（2）设直线AB 的方程为(2)x ky m m =+≠，与椭圆的方程联立，结合韦达定理即可求出m 的值，然后表示出ABC 的面积，利用函数的性质即可求出最值..解：解：（1）由椭圆性质知，1222,22a b c b =⋅⋅=又222a b c =+，解得2,1,a b c === 所以椭圆M 的方程为2214x y +=．（2）显然，直线AB 的斜率不为0，不妨设直线AB 的方程为(2)x ky m m =+≠， 联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240k y kmy m +++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -⋅=+①， 又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，∴0CA CB ⋅=， 由()112,CA x y =-，()222,CB x y =-，得()()1212220x x y y --+=，将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式得()()2212121(2)(2)0k y y k m y y m ++-++-=，将①代入上式求得65m =或2m =（舍）， 直线l 为65x ky =+， 则直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭．∴121122ABCSDC y y =⋅-= 设211044t t k ⎛⎫=< ⎪+⎝⎭，则ABCS=10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，当14t =时，ABC S 取得最大值1625． 【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21．已知函数2()e (1)xf x a x b =+-+在(0,(0))f 处的切线方程是220x y +-=． (1)求a ，b 的值；(2)若对于0k ∀>，曲线:e x C y k m =+与曲线()y f x =都有唯一的公共点，求实数m 的取值范围． 答案：(1)0a b (2)(],34ln 2-∞-（1）根据切点在切线和曲线上，切点处的导数等于切线斜率可得； （2）构造函数求极值，将极值表示为函数，求其极值可解. (1)将切点坐标(0,(0))f 代入220x y +-=的(0)1f =，即0(0)e 1f b =+=，得0b =，又因为21()e (1)2xf x a '=+-，直线220x y +-=的斜率为12-所以011(0)e (1)22f a '=+-=-，得0a =(2)由（1）知2()e xf x x =-，因为曲线:e x C y k m =+与曲线()y f x =有唯一的公共点， 所以方程2e e x x k m x +=-有唯一解，即2e e xx k x m -+=- 令2e xt =，则2ln x t =，则22ln kt t t m -+=- 即2()2ln g t kt t t =-+，0t >2222()21kt t g t kt t t-+'=-+=当1160k -≤，116k ≥时，()0g t '≥，函数()g t 单调递增，易知()g t 与y m =-有且只有一个交点，满足题意；当1160k ->，1016k <<时，2220kt t -+=有两个根，且两根之和为182k >，两根之积为116k >，所以两根一个大于4，一个小于4，此时，函数()g t 先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使22ln kt t t m -+=-有唯一实数根，则m -大于极大值或小于极小值.记0t 为极大值点，则04t <，则20000()2ln g t kt t t m =-+<-恒成立，又200220kt t -+=，即20022kt t =-则极大值200000000011()2ln (2)2ln 2ln 122g t kt t t t t t t t =-+=--+=--因为0021()2g t t '=-，令02102t -=得04t =，又04t <时，0()g t <2ln 43-综上，要使对0k ∀>，曲线:e x C y k m =+与曲线()y f x =都有唯一的公共点，则2ln 43m -≥-，即34ln 2m ≤-；当0t 为极小值点，则04t >，则20000()2ln g t kt t t m =-+>-，又200220kt t -+=，所以0012ln 12t t m -->-恒成立，又0000121(2ln 1)0422t t t t '--=-=⇒=，所以04t >时，02102t -<，所以0012ln 12t t --单减，无最小值，所以不存在m ，使得0012ln 12t t m -->-恒成立，所以，m 的取值范围为(],34ln 2-∞-【点睛】该题破题关键在于将极值表示为函数，然后借助极值点处的导数等于0，对极值函数化简，然后求其极值可解.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为11x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=，记曲线1C 与2C 公共弦所在直线为l ．（1）求直线l 的极坐标方程；（2）设过O 点的直线0l 与直线l 交于点M ，与曲线1C 交于点N （异于原点O ），求OM ON ⋅的值． 答案：（1）2cos 2sin 10ρθρθ+-=；（2）1OM ON ⋅=.（1）写出曲线1C 与2C 的普通方程，求出两曲线的公共弦所在直线的方程，化为极坐标方程即可； （2）将曲线1C 的方程化为极坐标方程，设直线0l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，设点()1,M ρα、()2,N ρα，求出1ρ、2ρ的表达式，由此可计算得出12OM ON ρρ⋅=的值.解：（1）曲线1C的参数方程为11x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），化为普通方程为()()22112x y -+-=，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=，其普通方程为221x y +=，所以，直线l 的方程为2210x y +-=，其极坐标方程为2cos 2sin 10ρθρθ+-=； （2）曲线1C 的普通方程可化为2222x y x y +=+，化为极坐标方程为2cos 2sin =+， 设直线0l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，设点()1,M ρα、()2,N ρα， 则()12cos sin 1ραα+=，可得()112cos sin ραα=+，将点N 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程可得()22cos sin ραα=+， 因此，()()122cos sin 12cos sin OM ON ααρραα+⋅===+.【点睛】方法点睛：在已知普通方程求距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用直角坐标解决，或用直角坐标解决较麻烦，可将直角坐标方程转化为极坐标方程解决． 23．设函数()31f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（1）33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）(][),31,-∞-+∞．（1）根据题意得113x x ++-≤，再分类讨论求解即可；（2）由绝对值三角不等式得11x a x a ++-≥+，进而根据题意得12x a x ++-≥恒成立，故12a +≥，再解绝对值不等式即可得答案.解：解：（1）当1a =时，若()0f x ≥，则113x x ++-≤， 当1x ≤-时，原不等式等价于23x -≤，解得312x -≤≤-； 当11x -<<时，原不等式等价于23≤恒成立，故11x -<<； 当1≥x 时，，原不等式等价于23x ≤，解得312x ≤≤，22277122x x x -≤-≤-，综上，不等式的解集为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）由绝对值三角不等式得11x a x a ++-≥+． 因为()1f x ≤恒成立，即12x a x ++-≥恒成立， 所以12a +≥， 解得3a ≤-或1a ≥．故实数a 的取值范围为(][),31,-∞-+∞．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

吉林省2021年高考数学二模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·三台期中) 设x∈R，则“x3=x“是“x=1“的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）设复数z满足=i，则|z|=（）A . 1B .C .D . 23. （2分）(2018·孝义模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高一下·鸡西期中) 已知向量的重心为G，则与的夹角的余弦值是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二上·延吉期中) 数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7 ，则有（）A .B .C .D . 与的大小不确定6. （2分）(2018·中原模拟) 已知网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分）已知，给出下列命题：①若A>B，则；②若ab≠0，则；③若，则；④若，则a，b中至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A . 2C . 4D . 18. （2分） (2016高一下·桐乡期中) 若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+ ）=（）A .B .C .D .9. （2分）用长度为24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）A . 3B . 4C . 6D . 1210. （2分） (2018高一下·黑龙江期末) 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有，，，，，，，A . 0个B . 1个C . 2个11. （2分）(2018·恩施模拟) 设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f（x）= ，若关于x的方程f（x）=k有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A . （﹣3，1）B . （0，1）C . （﹣2，2）D . （0，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·滨海模拟) 个男生和个女生排成一列，若男生甲与另外两个男同学都不相邻，则不同的排法共有________种（用数字作答）．14. （1分） (2017高二上·信阳期末) 已知实数x，y满足，若z=ax+y有最大值7，则实数a 的值为________．15. （1分）已知圆C过点（2，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：x+y﹣7=0被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________16. （1分）已知f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）＝2x2＋5x＋1.若当x∈[1，3]时，f（x）的最大值为m，最小值为n，则m－n的值为________．三、解答题 (共7题；共80分)17. （10分） (2020高二下·海安月考) 在△ABC中，角 A ， B ， C的对边分别是 a ， b ， c ，.（1）求cosC；（2）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为，求sin∠ADB.18. （15分） (2016高二上·合川期中) 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19. （10分） (2019高三上·南京月考) 如图，已知面积为4的正三角形三边的中点分别为、、，从，，，，，六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为（三点共线时，规定）（1）求概率（）；（2）求的概率分布列，并求其数学期望 .20. （10分）(2017·太原模拟) 如图，曲线C由左半椭圆M： + =1（a＞b＞0，x≤0）和圆N：（x ﹣2）2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q（均异于点A，B）分别是M，N上的动点．（1）若|PQ|的最大值为4+ ，求半椭圆M的方程；（2）若直线PQ过点A，且 =﹣2 ，⊥ ，求半椭圆M的离心率．21. （15分）(2020·东海模拟) 已知函数（a，）.（1）若，且在内有且只有一个零点，求a的值；（2）若，且有三个不同零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；（3）若，，试讨论是否存在，使得 .22. （10分）(2019高二下·蛟河月考) 直角坐标系中，曲线的参数方程为；以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线．（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）已知直线与曲线和曲线分别交于和两点（均异于点），求线段的长．23. （10分） (2019高三上·郴州月考) 设，．（1）求不等式的解集；（2）若对任意的，使得，求实数的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共80分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。

吉林省2021版高考数学二模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·集宁期末) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高三上·富阳月考) 已知，若 ( 为虚数单位)是实数，则实数等于（）A . 1B . 2C .D .3. （2分）设等差数列的前项和为，若，，则等于（）A . 180B . 90C . 72D . 1004. （2分）(2017·武邑模拟) 已知函数，在随机取一个实数a，则f（a）＞0的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·海淀模拟) 如图，点P在平面上从点A出发，依次按照点B、C、D、E、F、A的顺序运动，其轨迹为两段半径为1的圆弧和四条长度为1，且与坐标轴平行的线段．设从运动开始射线OA旋转到射线OP时的旋转角为α．若点P的纵坐标y关于α的函数为f（α），则函数f（α）的图象（）A . 关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称B . 关于直线成轴对称，没有对称中心C . 没有对称轴，关于点（π，0）成中心对称D . 既没有对称轴，也没有对称中心．6. （2分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·黑龙江月考) 已知如程序框图，则输出的i是A . 9B . 11C . 13D . 158. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，最长棱的长度是（）A .B .C . 6D .9. （2分） (2018高二上·嘉兴月考) 不等式表示的平面区域（阴影部分）为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·江北期中) 抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A .B .C .D . 011. （2分）(2016·大连模拟) 已知函数f（x）= ，若方程f2（x）+bf（x）+ =0有六个相异实根，则实数b的取值范围（）A . （﹣2，0）B . （﹣2，﹣1）C . （﹣，0）D . （﹣，﹣1）12. （2分）(2017·晋中模拟) 已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y= }；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=log2x}其中是“垂直对点集”的序号是（）A . ②③④B . ①②④C . ①③④D . ①②③二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·滕州月考) 若两个非零向量满足，则向量与的夹角为________．14. （1分） (2016高二上·绥化期中) F1、F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于________．15. （1分）(2017·运城模拟) 我们把满足：的数列{xn}叫做牛顿数列．已知函数f（x）=x2﹣1，数列{xn}为牛顿数列，设，已知a1=2，则a3=________．16. （1分） (2017高一下·扬州期末) 若数列{ }的前n项和为Sn ，若Sn•Sn+1= ，则正整数n 的值为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （5分） (2017高二上·清城期末) 如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC= DC．（Ⅰ）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD= ，求DC的长．18. （5分）(2017·泰安模拟) 在学校组织的“环保知识”竞赛活动中，甲、乙两班6名参赛选手的成绩的茎叶图受到不同程度的污损，如图：（Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率；（Ⅱ）若甲班污损的学生成绩是90分，乙班污损的学生成绩为97分，现从甲乙两班所有选手成绩中各随机抽取2个，记抽取到成绩高于90分的选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学成绩．19. （10分） (2016高二上·九江期中) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC= ，BC=3，M，N分别为B1C1、AA1的中点．（1）求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C；（2）求证：MN∥平面ABC1 ，并求M到平面ABC1的距离．20. （10分）设椭圆E的方程为+=1(a b0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2,直线OM的斜率为。

吉林省2021年高三数学2月模拟试卷（二)（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2016高一下·韶关期末) 设集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|1＜x≤4}，则A∩B=（）A . {1，2，3，4}B . {2，4}C . {2，3，4}D . {x|1＜x≤4}2. （2分） (2019高三上·湖北月考) 已知是实数，是纯虚数，则等于（）A .B . -1C .D . 13. （2分） (2019高二下·永清月考) 命题“ ”的否定为（）A .B .C .D .4. （2分）某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有A . 100辆B . 200辆C . 300辆D . 400辆5. （2分） (2018高二下·定远期末) ,则（）A . －2B . －3C . 9D . －96. （2分） (2019高二下·张家口月考) 若10件产品中包含8件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2019·枣庄模拟) 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为6+4 ，AA1⊥平面ABC，BC= ，∠BAC=120°，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·莆田期中) 抛物线y2=2x与直线y=x﹣4围成的平面图形面积（）A . 18B . 16C . 20D . 14二、多选题 (共4题；共11分)9. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 下列选项正确的为（）A . 已知直线：，：，则的充分不必要条件是B . 命题“若数列为等比数列，则数列为等比数列”是假命题C . 棱长为正方体中，平面与平面距离为D . 已知为抛物线上任意一点且，若恒成立，则10. （3分） (2019高一上·瓦房店月考) 已知实数，满足等式，则下列五个关系式中不可能成立的是（）A .B .C .D .11. （3分）(2020·深圳模拟) 已知函数，，则（）.A .B . 在区间上只有一个零点C . 的最小正周期为D . 直线是函数图象的一条对称轴12. （3分） (2020高一下·佛山月考) 意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，， .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·常宁模拟) 已知向量 =（1，2）， =（x，﹣1），若∥（），则，的夹角为________．14. （1分） (2018高三上·长沙月考) 若的展开式中常数项为－12，则________．15. （1分）已知点P是双曲线C：（a>1）上的动点，点M为圆O：x2+x2=1上的动点，且，若|PM|的最小值为，则双曲线C的离心率为________.16. （1分）(2019·郓城模拟) 如图，边长为1的正方形ABCD，其中边DA在x轴上，点D与坐标原点重合，若正方形沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C（x，y）滚动时形成的曲线为y ＝f（x），则f（2019）＝________．四、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2019高三上·金台月考) 在中，角、、的对应边分别为、、，且满足，的面积为， .（1）求角；（2）求边长、 .18. （5分） (2016高二上·海州期中) 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn ，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1 ， b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式（2）当d＞1时，记cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．19. （10分） (2019高三上·茶陵月考) 如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求二面角的大小．20. （10分） (2020高二下·泸县月考) 已知动点到定点的距离比到定直线的距离小，其轨迹为 .（1）求的方程（2）过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.21. （15分）(2018·内江模拟) 某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数15181961图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（Ⅰ）将频率视为概率. 若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅲ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较.附：.22. （15分） (2019高三上·佛山月考) 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，对任意的恒成立，求整数的最大值；（3）求证：当时，参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、多选题 (共4题；共11分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、四、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、。

吉林省松原市2021届新高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ） A ．2-或1 B ．1-或2 C ．1-或12D ．12-或1 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线22y x a =-的斜率，利用曲线ln y x a =-的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得a 的值.【详解】直线22y x a =-的斜率为1， 对于ln y x a =-，令11y x '==，解得1x =，故切点为()1,a -，代入直线方程得212a a -=-，解得12a =-或1. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题. 2．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4 B ．6C ．3D ．8【答案】A 【解析】 【分析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫+=⎪⎝⎭；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，则()()m f f n f m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1201x x <<， 故120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令1m x =，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 即()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭， 故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.3．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 和2C 的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为（ ） A．0x ±= B．0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合1C 和2C,a b 的关系，进而得双曲线的离心率方程. 【详解】椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，则椭圆离心率1e a=，双曲线的离心率2e a=，由1C 和2C即122e e a a ==，解得2b a =±，所以渐近线方程为2y x =±，化简可得0x ±=， 故选：A. 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题. 4．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合M 中元素，可得非空子集个数． 【详解】由题意{(1,1),(1,2),(2,1)}M =，共3个元素，其子集个数为328=，非空子集有7个． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有n 个元素的集合其子集个数为2n ，非空子集有21n -个． 5．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A B ．32C D ．12【答案】C 【解析】 【分析】化简得到1322z i=-+，1322zi=--，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12i z i+=+，故()()()()121121313111222i ii iz ii i i+++-+====-+++-，故1322z i=--，10z2=.故选：C.【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.6．一物体作变速直线运动，其v t-曲线如图所示，则该物体在1s~6s2间的运动路程为（）m．A．1 B．43C．494D．2【答案】C【解析】【分析】由图像用分段函数表示()v t，该物体在1s~6s2间的运动路程可用定积分612()ds v t t=⎰表示，计算即得解【详解】由题中图像可得，2,01()2,1311,363t tv t tt t⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d22d1d3s v t t tdt t t t⎛⎫==+++⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64t t t t⎛⎫=+++=⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s2间的运动路程是49m4．故选：C【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 7．如图，圆O是边长为23的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，BM xBA yBD=+u u u u v u u u v u u u v(,)x y∈R，则2x y+的最大值为（）A．2B．3C．2 D．22【答案】C【解析】【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x y+的表达式，进而得到最大值.【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；根据三角形面积公式得到011sin6022l r S AB AC⨯⨯==⨯⨯⨯周长，可得到内切圆的半径为1; 可得到点的坐标为：()()()()()3,0,3,0,0,3,0,0,cos ,1sinB CA D M θθ-+ ()cos 3,1sin ,BM θθ=++u u u u v ()()3,3,3,0BD BA ==u u u r u u u v故得到 ()()cos 3,1sin 33,3x BM y x θθ=++=+u u u u v故得到cos 333,sin 31x y x θθ=+-=-1sin 3sin 2333x y θθ+⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=-+⎪⎩，()sin 4242sin 2.33333x y θθϕ+=++=++≤ 故最大值为：2. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.8．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53) B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞ C ．(1,53)D ．(,3)-∞【答案】C 【解析】 【分析】先从函数单调性判断2a b +的取值范围，再通过题中所给的,a b 是正数这一条件和常用不等式方法来确定11b a ++的取值范围. 【详解】由()y f x '=的图象知函数()f x 在区间()0,∞+单调递增，而20a b +>，故由()(2)14f a b f +<=可知24a b +<.故1421725111b a a a a +-+<=-+<+++， 又有11712133322b b b b a ++>=-+>+--，综上得11b a ++的取值范围是(1,53). 故选：C 【点睛】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题. 9．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23C ．8D ．17【答案】C 【解析】 【分析】首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可； 【详解】解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8. 故选：C 【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.10．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证. 【详解】解：22x a ≤Q ，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立. 当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.11．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当x π=时，sin 0xx=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论． 12．231+=-ii （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】解:23(23)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省松原市2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 【答案】C 【解析】 【分析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．2．已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：y kx b =+，与抛物线方程联立，由△0>得1kb <，利用韦达定理结合已知条件得22k b k -=，2m k=，代入上式即可求出k 的取值范围．【详解】设直线l 的方程为：y kx b =+， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去y 得：222(24)0k x kb x b +-+=，∴△222(24)40kb k b =-->，1kb ∴<，且12242kb x x k -+=，2122b x x k=，12124()2y y k x x b k+=++=， Q 线段AB 的中点为(1M ,)(0)m m >，∴122422kb x x k -+==，1242y y m k+==， 22k b k -∴=，2m k=，0m >Q ，0k ∴>，把22k b k-= 代入1kb <，得221k -<， 21k ∴>，1k ∴>，故选：C 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题．3．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围. 【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 4．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--【答案】C 【解析】 【分析】对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得. 【详解】k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αααα=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-.【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.5．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是3⎢⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】①与点D P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图：①错误， 因为1D P ===，与点D 的点P 形成以1D 为圆心，的14圆弧MN ，长度为1242⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为3最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，所以正切值取值范围是⎣；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分，所以六个面上的正投影长度之22⎛≤= ⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．6．8x x ⎛- ⎝的二项展开式中，2x 的系数是（ ） A ．70 B ．-70 C ．28 D ．-28【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，二项展开式的通项为3882188((1)r r rr r rr T C xC x x--+==-，令38242r r -=⇒=，所以2x 的系数是448(1)70C -=，故选A ．考点：二项式定理的应用．7．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.8．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A 【解析】 【分析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x ⎫-⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr rrr T C x C x---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.9．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ） ABCD【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=︒，列出方程，求解离心率． 【详解】不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=222b c ==，即22222c a ac -=，因为1ce a=>，所以解得2e =． 故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.10．已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】作出约束条件的可行域，在可行域内求34z x y =+的最小值即为34x y +的最小值，作34y x =-，平移直线即可求解. 【详解】作出实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）令34z x y =+，则344z y x =-+， 作出34y x =-，平移直线，当直线经过点()1,0A 时，截距最小，故min 3103z =⨯+=， 即34x y +的最小值为3. 故选：B 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题. 11．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】B 【解析】根据题意满足条件的安排为：A （甲，乙）B （丙）C （丁）；A （甲，乙）B （丁）C （丙）；A （甲，丙）B （丁）C （乙）； A （甲，丁）B （丙）C （乙）； A （甲）B （丙，丁）C （乙）；A （甲）B （丁）C （乙，丙）；A （甲）B （丙）C （丁，乙）；共7种，选B. 12．已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①③④D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为R ，最值点即为极值点，由02f π⎛⎫'≠ ⎪⎝⎭知③错误；令()()1g x f x x =-，在0x >和0x <两种情况下知()g x 均无零点，知④正确.【详解】由题意得：()f x 定义域为R ，()()()()22sin sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+Q ，()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称，①正确； sin y x =Q 为周期函数，21y x =+不是周期函数，()f x ∴不是周期函数，②错误；()()()2221cos 2sin 1x x x xf x x +-'=+Q ，02f π⎛⎫'∴≠ ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫∴⎪⎝⎭不是最值，③错误；令()()221sin 1sin 111x x x x g x f x x x x x --=-=-=++，当0x >时，sin x x <，10x>，()0g x ∴<，此时()f x 与1y x =无交点；当0x <时，sin x x >，10x<，()0g x ∴>，此时()f x 与1y x =无交点；综上所述：()f x 与1y x=无交点，④正确. 故选：A . 【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省松原市实验高级中学等三校2021年高三下学期联合模拟考试文数试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}8U x N x =∈≤，集合{}1,3,7A =，{}2,3,8B =，则()()U U C A C B ⋂=( ) A ．{}1,2,7,8B ．{}4,5,6C ．{}0,4,5,6D ．{}0,3,4,5,62．已知复数11z i =+，21z i =-，则12z z i=( ) A ．2B ．-2C ．2iD ．2i -3．若实数数列：1，a ，81成等比数列，则圆锥曲线221yx a+=的离心率是（ ）A 3B C ．3D ．13或10 4．函数1()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny --=上，其中m 0>，0n >，则12m n+的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．3+5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位℃) ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24； ③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26.方差为10.2，则肯定进入夏季的地区有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知条件:p k =:q 直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为A πB ．C ．πD ．π 9．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤10．若函数()2(2)m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,2-C ．()0,2D ．1,211．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( ) A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -<-D ．b a MO MT -=+12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x ex =+，给出下列命题：①当0x >时，()()1xf x e x =-； ②函数()f x 有2 个零点；③()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞； ④12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<.其中真命题的序号是（ ）. A ．①③ B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题13．向量1a =，2b =，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为__________． 14．已知0<θ<π，tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＝17，那么sinθ＋cosθ＝______． 15．若,x y 满足条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，目标函数32z x y =-+的最小值为__________．16．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X 上的一个拓补.已知集合{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：①{}{}{}{},,,,,a c a b c τ=∅②{}{}{}{}{},,,,,,,b c b c a b c τ=∅③{}{}{}{},,,,,a a b a c τ=∅④{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,a c b c a b c a b c τ=∅其中是集合X 上的拓补的集合τ的序号是______.（写出所有的拓补的集合τ的序号）三、解答题17．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知2252cos 2cos 222C A a c b +=. （1）求证：()23a c b +=； （2）若1cos 4B =，S =b . 18．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得该四棱锥的体积是三棱锥P ABF -体积的4倍.19．甲、乙两位学生参加某项竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩的茎叶图记录如下：(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；(2)现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由.20．椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率2e =，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是(1)求椭圆1C 与2C 的方程；(2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点.(i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；(ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.21．设函数()ln 1af x x x =+-，()0a > (1)当130a =时，求函数()f x 的单调区间； (2)当12a ≥，()1,x ∈+∞时，求证：ln 11ax x +>-. 22．如图，P 是圆O 外一点，PA 是圆O 的切线，A 为切点，割线PBC 与圆O 交于B ，C ，2PC PA =，D 为PC 中点，AD 的延长线交圆O 于点E ，证明：(1)BE EC =； (2)22AD DE PB ⋅=.23．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），直线l 的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为2π⎫⎪⎭. （1）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 的两个交点为,A B ，求PA PB +的值. 24．已知函数()5f x x a x =-++.(1)若1a =，解不等式：()25f x x ≥+； (2)若()8f x ≥恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】{}0,1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}0,2,4,5,6,8U C A =，{}0,1,4,5,6,7U C B =，所以()(){}0,4,5,6U U C A C B ⋂=，故选择C.2．D 【解析】()()2121112z z i i i =+-=-=，则1222z z i i i==-，故选择D. 3．A 【分析】由等比数列的性质可得a 的值，分类讨论可求曲线的离心率． 【详解】由1，a ，81成等比数列有：281a =，所以9a =±，当9a =时，方程为2219y x +=，表示焦点在y 轴的椭圆，其中13a =，1c ==，故离心率113c e a ==； 当9a =-时，方程为2219y x -=，表示焦点在x 轴的双曲线，其中21a =，2c =，故离心率22c e a ==, 故选择A . 【点睛】本题考查知识点有等比数列的性质和圆锥曲线的离心率，属于综合题型，根据题意得出未知量代入圆锥曲线方程即可求离心率，难度不大，注重基础的应用，属于简单题. 4．D 【分析】由指数函数的性质得出点A 的坐标，将点A 的方程代入直线方程得出1m n +=，然后将代数式12m n +与m n +相乘，展开后利用基本不等式可得出12m n+的最小值.【详解】令10x -=，得1x =，则()0121f a =-=-，∴函数()y f x =的图象恒过点()1,1A -，点A 在直线10mx ny --=上，可得1m n +=，由基本不等式得()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为3+，故选D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查指数型函数过定点问题，解题的关键在于根据已知条件得出定值条件，并对代数式进行合理配凑与变形，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题. 5．B 【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．6．C 【解析】试题分析：甲地肯定进入，丛数为22，∴22至少出现两次，若有一天低于22，则中位数不可能为；丙地也进入，根据方差的定义：()()()()()222221234126262626322610.25x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，即()()()()222212342626262615x x x x -+-+-+-=，显然1234,,,x x x x 都要大于22，才能成立，乙地不一定进入，比如12,23,27,29,29，故选C ． 考点：中位数、平均数、众数的概念及运用． 7．A 【解析】当直线2y kx =+与圆221x y +=1=，则k =，所以p 是q 的充分不必要条件，故选择A.8．B 【解析】 球半径，所以球的体积为，选B.9．B 【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值，并输出满足循环的条件． 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+26=126， 故①中应填n≤6． 故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误． 10．D 【解析】试题分析：显然()2(2)m x f x x m -=+为奇函数，图像关于原点对称，因为()2(2)m xf x x m-=+在单调递增，在单调递增，所以当时，，即，解得.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.导数的应用. 11．A 【解析】试题分析：连结OT ，则1OT FT ⊥，在直角三角形1OTF 中，1FT b ==，连结2,PF M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，21,2OM PF ∴=2111122MO MT PF PF FT ⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭()122a b b a =⨯-+=-，故选A ． 考点：1、双曲线和圆的标准方程；2、双曲线的定义和简单几何性质．【思路点睛】本题主要通过双曲线和圆的标准方程考查双曲线的定义和几何性质，属于难题．本题的难点在于怎样巧妙将双曲线的定义运用于解题过程，在解题过程中一定要注意两点：一是圆的半径正是双曲线的实半轴a ，从而利用切线性质得出1FT b =；二是利用中位线得出后再巧妙地利用双曲线的定义得到MO MT b a -=-．12．D 【分析】由奇函数得性质可求得0x >时，()()1xf x ex -=-，然后分0x >，0x <，0x =讨论函数的零点，大于0的解集，以及最值，可判断出①②错，③④对. 【详解】解：由题意可知0x >时，0x -<，()()()11xx f x e x e x ---=-+=--，因为奇函数，所以()()()1xf x f x ex -=--=-，所以命题①不成立；0x <时，()()1x f x e x =+，此时()f x 有1个零点1x =-，当0x >，()()1xf x e x -=-，此时()f x 有1个零点1x =，又()f x 为R 上的奇函数，必有()00f =，即总共有3个零点，所以命题②错误； 当0x >时，()()10xf x ex -=->，可求得解集为()1,+∞，当0x <时，()()10x f x e x =+>，可求得解集为()1,0-，所以命题③成立；当0x <时，()()2xf x e x '=+，令()0f x '=，通过函数的单调性可求得此时()f x 的值域为21,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，则当0x >时()f x 的值域为210,e ⎛⎤⎥⎝⎦，所以有()()12221f x f x e -≤<，所以命题④成立. 故选D 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，函数的零点，函数奇偶性的运用，导数研究函数的最值，考查函数与导数基本知识的综合应用. 13．2π 【解析】()()·20a b a b +-=，即222?0a a b b +-=，所以0a b =，则a b ⊥，所以夹角为2π. 14．15- 【解析】试题分析：sin cos 4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，0θπ<<，∴5444πππθ<+<，又1tan()47πθ+=，∴544πππθ<+<，根据同角三角函数基本关系得sin 410πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴1sin cos 5θθ+=-． 考点：同角三角函数基本关系和辅助角公式． 15．1- 【解析】不等式组表示的平面区域如下图的阴影部分，根据上图易知，目标函数在点B （1，1）处取得最小值，min 1z =-. 16．② 【分析】根据集合X 上的拓补的集合τ的定义，逐个验证即可. 【详解】对于①：{}{}{}{},,,,,a c a b c τ=∅，而{}{}{},a c a c τ=∉，故①不是集合X 上的拓补的集合τ；对于②：{}{}{}{}{},,,,,,,b c b c a b c τ=∅，满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ，故②是集合X 上的拓补的集合τ；对于③：{}{}{}{},,,,,a a b a c τ=∅，而{}{}{},,,,a b a c a b c τ=∉，故③不是集合X 上的拓补的集合τ；对于④：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,a c b c a b c a b c τ=∅，满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；但{}{}{},,b c a b b τ=∉不满足（3）τ中任意多个元素的交集属于τ，故④不是集合X 上的拓补的集合τ. 故答案为：②. 【点睛】本题考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意，本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于中档题． 17．（1）证明见解析；（2）4b =. 【分析】（1）利用二倍角降幂公式可得()()22cos cos 5a c a C c A b +++=，利用正弦定理证得cos cos a C c A b +=，即可证得结论成立；（2）计算出sin B 的值，利用三角形的面积可求得ac 的值，然后利用余弦定理结合等式()23a c b +=可求得b 的值.【详解】 （1）2252cos 2cos 222C A a c b +=，()()51cos 1cos 2a C c Ab ∴+++=， 即()()22cos cos 5ac a C c A b +++=， 设ABC 的外接圆半径为R ，则2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin a R A =，2sin c R C =，()cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin cos cos sin a C c A R A C R C A R A C A C ∴+=+=+()()2sin 2sin 2sin R A C R B R B b π=+=-==， ()225a c b b ∴++=，因此，()23a c b +=；（2）因为1cos 4B =，()0,B π∈，所以sin 4B ==.由三角形的面积公式得1sin 2S ac B ===8ac =， 由余弦定理得()()2222223192cos 21cos 28120244b b b a c ac B a c ac B ⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=-⨯⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4b =. 【点睛】本题考查利用余弦定理、正弦定理和三角形面积公式解三角形，同时也考查了二倍角降幂公式的应用，考查计算能力，属于中等题.18．.(1) 见解析(2)2h =. 【解析】试题分析：（1）本问考查面面垂直的证明，根据面面垂直判定定理可知，需要先证明线面垂直，再证明面面垂直，根据已知直三棱柱，易知AB ⊥平面ADE ，则AD ⊥AB ，又 AD ⊥AF ，则易证明AD ⊥平面ABEF ，因此易得平面PAD ⊥平面ABFE ；（2）由于四棱锥P-ABCD 为正四棱锥，根据正四棱锥的对称性可得点P 到平面ABEF 的距离为1，所以三棱锥P-ABF 的体积为11122213323P ABF V Sh -==⋅⋅⋅⋅=，设四棱锥P ABCD -的高h ，则143P ABCD V h -=⋅⋅，若四棱锥P-ABCD 的体积是三棱锥P ABF -体积的4倍，则有42433h =⋅，则2h =.试题解析：(1)证明：直三棱柱ADE BCF -中，AB ⊥平面ADE ， 所以：AB AD ⊥，又AD AF ⊥，所以：AD ⊥平面ABFE ，AD ⊂平面PAD ， 所以：平面PAD ⊥平面ABFE .(2)P 到平面ABCD 的距离1d =. 所以：11122213323P ABF ABF V S d -==⨯⨯⨯⨯=， 而：118224333P ABCD ABCD P ABF V S h h V --==⨯⨯==，所以2h =. 19．（Ⅰ）1225；（Ⅱ）派甲参赛比较合适． 【解析】试题分析：（Ⅰ）用列举的方法把基本事件一一列举出来得到基本事件总数，再找出甲的成绩比乙高的的事件总数，求出这两个的比值就是甲的成绩比乙高的概率；（Ⅱ）分别求出甲、乙的方差，方差越小的越稳定．试题解析：（Ⅰ）记甲被抽到的成绩为,乙被抽到的成绩为，用数对表示基本事件：(82,95)(82,75)(82,80)(82,90)(82,85)(82,95)(82,75)(82,80)(82,90)(82,85) (79,95)(79,75)(79,80)(79,90)(79,85)(95,95)(95,75)(95,80)(95,90)(95,85) (87,95)(87,75)(87,80)(87,90)(87,85)基本事件总数25n =记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A 包含的基本事件：(82,75)(82,80)(82,75)(82,80)(79,75)(95,75) (95,80)(95,90)(95,85)(87,75)(87,80)(87,85)事件A 包含的基本事件数是12m = 所以12()25m P A n == （Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：，，，，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适 考点：茎叶图、概率和方差．20．(1)221:12x C y +=，222:124x y C +=.(2)(i) 见解析(ii)18-. 【解析】试题分析：（1）椭圆离心率2c e a ==，又222a b c =+，所以222a b =，设22122:12x y C b b +=，则根据题中条件可设22222:124x y C b b +=，于是根据椭圆的对称性可知，四个焦点构成的四边形为菱形，面积122S b =⨯⨯=解得21b =，可以得到椭圆221:12x C y +=，222:124x y C +=；（2）(i)本问考查圆锥曲线中的定点、定值问题，分析题意，设()00,P x y ，而()A，)B，所以PAk =，PB k =，于是20202PA PB y k k x ⋅=-，又因为2200124x y +=，代入上式易求2PA PB k k ⋅=-；(ii)根据(i)问，可先证明EA EB k k ⋅为定值，再证明FA FB k k ⋅为定值，于是可以得到FA FB FA FB k k k k ⋅⋅⋅为定值，由于EA PA k k =，FB PB k k =，所以可以得EA FB k k ⋅为定值.试题解析：(1)依题意e =22122:12x y C b b +=，22222:124x y C b b +=，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积122S b =⨯⨯=21b =. 所以椭圆221:12x C y +=，222:124x y C +=.(2)(i)设()00,P x y ，则2200124x y +=，()A，)B.PA k =，PB k =.所以：2200220042222PA PBy x k k x x -⋅===---. 直线PA ，PB 斜率之积为常数2-.(ii)设()11,E x y ，则221112x y +=.EA k =EB k =，所以：221122101112222EAEBx y kk x x -⋅===---，同理：12FA FB k k ⋅=-， 所以：14FA FB FA FB k k k k ⋅⋅=，由EA PA k k =，FB PB k k =，结合(i)有 18EA FB k k ⋅=-.方法点睛：圆锥曲线中定点、定值问题属于高频考点.对于定值问题常用以下两种求法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.定值问题涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到. 21．(1)增区间为：50,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.减区间为5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭，61,5⎛⎫⎪⎝⎭.(2) 见解析． 【解析】试题分析：（1）本问考查利用导数求函数的单调性，首先确定函数的定义域为()()0,11,⋃+∞，对()f x 求导数()f x '，解()0f x '>得增区间，解()0f x '<得减区间；（2）本问考查利有导数证明不等式，当12a ≥时，只需证：()1ln ln 1121a x x x x +≥+>--，即转化为证明()()21ln 121x x x -+>-当1x >时成立，构造函数()()()()21ln 2111g x x x x x =---+>，转化为证明()0g x >在1x >时恒成立即可，转化为求函数()g x 的最小值问题.试题解析：(1)函数()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞，当130a =时，()()25665'1x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-， 令：()'0f x >，得：65x >或56x <，所以函数单调增区间为：50,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. ()'0f x <，得：5665x <<，所以函数单调减区间为5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭，61,5⎛⎫⎪⎝⎭.(2)若证ln 11a x x +>-，1,12a x ⎛⎫≥> ⎪⎝⎭成立，只需证：()1ln ln 1121a x x x x +≥+>--， 即：()()21ln 121x x x -+>-当1x >时成立. 设()()()()21ln 2111g x x x x x =---+>.∴()1'2ln g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，显然()'g x 在()1,+∞内是增函数，且()'120g =-<，()1'22ln202g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()'0g x =在()1,2内有唯一零点0x ，使得：001ln 0x x -=， 且当()01,x x ∈，()'0g x <； 当()0,x x ∈+∞，()'0g x >.∴()g x 在()01,x 递减，在()0,x +∞递增.()()()()()00000min001121ln 11211152g x g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫==--+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()01,2x ∈，∴001522x x <+<. ∴()min 0g x >，∴ln 11ax x +>-成立. 方法点睛：利用导数证明不等式的方法：证明()()f x g x <，(),x a b ∈时，可以构造函数()()()F x f x g x =-，如果()0F x '<，则()F x 在(),a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知，当(),x a b ∈时，有()0F x <，即证明()()f x g x <.利用导数解决不等式恒成立问题的策略：首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）要证明BE EC =，只需证明弦BE EC ，所对的圆周角相等，连接,AB AC ，故只需证明=DAC BAD ∠∠．由PA PD =得PAD PDA ∠=∠，为了和所求证的角建立联系=PDA DAC DCA ∠∠+∠，=PAD ∠BAD PAD ∠+∠，从而可证明=DAC BAD ∠∠，进而证明BE EC =；（2）由结论很容易想到相交弦定理AD DE BD DC ⋅=⋅，故只需证明22PB BD DC =⋅，由切割线定理得2PA PB PC =⋅，且PA PD DC ==易证．（1）连接,AB AC ．由题设知，PA PD =,故PAD PDA ∠=∠．因为=PDA DAC DCA ∠∠+∠,=PAD ∠BAD PAD ∠+∠,=DCA PAB ∠∠,所以=DAC BAD ∠∠，从而BE =EC ．因此BE EC =．（2）由切割线定理得2PA PB PC =⋅．因为PA PD DC ==,所以2,DC PB BD PB ==，由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以22AD DE PB ⋅=．考点：1、圆的切割线定理；2、相交弦定理．23．(1) 线C 的普通方程为 221515x y +=;(2)6.【解析】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数方程化普通方程，根据公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，易得P 点的直角坐标，消去参数ϕ可得曲线C 的普通方程为221515x y +=；（2）本问考查直线参数方程标准形式下t 的几何意义，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得到关于t 的一元二次方程，根据几何意义有12PA PB t t +=+，于是可以求出PA PB +的值.试题解析：(1)由极值互化公式知：点P 的横坐标02x π==，点P 的纵坐标2x π==所以(P ，消去参数ϕ的曲线C 的普通方程为：221515x y+=.(2)点P 在直线l 上，将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得：2280t t +-=，设其两个根为1t ，2t ，所以：122t t +=-，128t t =-，由参数t 的几何意义知：126PA PB t t +=-==.24．(1){}2x x ≤-.(2)3a ≥或13a ≤-. 【解析】试题分析：（1）当1a =时，不等式()25f x x ≥+为15x x -≥-，两边平方得22211025x x x x -+≥++，解得2x -≤，所以不等式的解集为{}2x x ≤-；（2）若()8f x ≥恒成立，则只需满足()min 8f x ≥，根据绝对值三角不等式：()()555x a x x a x a -++≥--+=+，所以问题转化为58a +≥，于是可以求出a的取值范围.试题解析：(1)当1a =时，()()()251524150f x x x x x x x ≥+⇒-≥+⇔+---≥， 解得：2x ≤-，所以原不等式解集为{}2x x ≤-.(2)()()555f x x a x x a x a =-++≥--+=+，若()8f x ≥恒成立， 只需：58a +≥. 解得：3a ≥或13a ≤-.。