线性代数与解析几何试题(附解析)-中国科技大学

线性代数试题加答案详解题目：设 \( A \) 为 \( m \times n \) 矩阵， \( B \) 为 \( n \times s \) 矩阵，证明：如果 \( AB = O \)（其中 \( O \) 为零矩阵），则矩阵 \( B \) 的列向量组线性相关。

【答案详解】一、问题分析题目要求证明：如果两个矩阵 \( A \) 和 \( B \) 的乘积为零矩阵 \( AB = O \)，则矩阵 \( B \) 的列向量组线性相关。

线性相关是指一组向量中，至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。

二、证明过程1. 首先，设矩阵 \( B \) 的列向量分别为\( \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_s \)，即 \( B =[\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots,\boldsymbol{\beta}_s] \)。

2. 根据题目条件，矩阵 \( AB = O \)，其中 \( O \)为零矩阵。

这意味着对于任意 \( s \) 维列向量\( \boldsymbol{x} \)，都有 \( A\boldsymbol{x} =\boldsymbol{0} \)。

3. 令 \( \boldsymbol{x} = [\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_s \end{array}] \)，则\( AB\boldsymbol{x} = A[\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_s]\boldsymbol{x} = O \)。

4. 由于 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是 \( n \times s \) 矩阵，所以 \( AB \) 是 \( m \times s \) 矩阵。

4（15分）用正交变换化二次型 为标准形，并指出曲面 的类型。
（二）创业弱势分析
朋友推荐□ 宣传广告□ 逛街时发现的□ 上网□
据了解，百分之八十的饰品店都推出“DIY饰品”来吸引顾客，一方面顺应了年轻一代喜欢与众不同、标新立异的心理；另一方面，自制饰品价格相对较低，可以随时更新换代，也满足了年轻人“喜新厌旧”的需要，因而很受欢迎。
中国科学技术大学
2009—2010学年第1学期考试试卷
考试科目:线性代数得分:
学生所在系:姓名:学号
一、填空题（每题5分，共40分）
（1） .
（2）向量 生成的 的子空间的维数等于。
（3）设 阶方阵A满足 ，其中I是单位阵，则 .
（4）设 ，则 的全体特征值为。
（5）设 是正定矩阵，则 的取值范围是。
（三）上海的文化对饰品市场的影响
世界上的每一个国家和民族都有自己的饰品文化，将这些饰品汇集到一起再进行新的组合，便可以无穷繁衍下去，满足每一个人不同的个性需求。
合计50100%
5.（15分）设 。
（1）证明 是实数域上的线性空间，并求 的维数。
（2）设线性变换 。求 的一组基使 在这组基下的矩阵为对角阵。
1（10分）问 为何值时，线性方程组
.
有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。
2（10分）设 是数域 上的 阶方阵 的不同特征值，
是 的属于 的线性无关的特征向量， 。
证明：向量组 线性无关。
3（10分）设 为欧氏空间 中的向量。证明： 线性无关的充分必要条件是矩阵
为正定阵，其中 是 中的内积。
为了解目前大学生对DIY手工艺品制作的消费情况，我们于己于人2004年3月22日下午利用下课时间在校园内进行了一次快速抽样调查。据调查本次调查人数共50人，并收回有效问卷50份。调查分析如下：

复习题2011 － 2012 学年第1学期课程名称线性代数与空间解析几何课程编码 0701120117 使用班级全校单招金陵科技学院复习知识点： 第一章： 一、填空题 1、设1234A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则*A = ，1A -= 。

2、已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A ，且满足A X AX +=2，则矩阵X= 。

3、设矩阵2211012311,,11121112111A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则A B C = ，A C，A B A C-。

4、设2232110,11213A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭矩阵，且满足A X B =，则矩阵X=。

5、15722225,22,10131A T B A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭则 ，A B = 。

第二章： 填空题： 1、设A为三阶方阵,且3=A ，则TAA=，=-12A，3A -=。

2、四阶行列式1222222122122122D== 。

3、设157025,2001det ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A A 则()＿＿ ＿＿，()1-=det A ＿ ＿。

4、022220222202222D== 。

5、如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D，1112131313233212223222333a a a D a a a a a a =---，那么=1D 。

6、设4阶方阵A 有()3R A =，则()T R A = 。

7、矩阵01110222111A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭的秩()R A = 。

第三章： 填空题： 1、设两个3维向量()()2,1,4,1,2,0a b == ,则(2)(3)⋅=a b ，⨯=a b ，cos ,αβ<>= ，a的模= 。

2、过点（2，0，-3），且平行于直线122231x y z -+-==-的直线方程是： 。

《钱性代就鸟解祈入何》第习龜—、矩阵部分(一) 填空题.1.设 a = ( 1 2 3 ),0 = (1,寺,*), A = a T/3, B = /3a T,则 4" = _____________________提示：A 3= a T/3a Tpa Tp = a\pa Tpa T}[i = 3a T p2. _____________________________________________________________ 设方阵A 满足"+4-4心0,其中为单位矩阵，，贝IJ (A-/)T= _____________________________ 提示：A 2+A-4I=0-A 2+A-2I-2I=0-(A-I)(A+2I)=2I-(A-I)(A+2I)/2=l3. _____________________________________________ 设方阵人满足A 2-2A-37 = 0,贝IJA -1 = ______________________________________________ 提示：A 2-2A-3I=0 〜 A(A-2A)=3I提示： 对矩阵A 施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A 的秩。

(a a 1、5.设A= a 1 a ,则当。

满足条件 ________________ 时，A 可逆.、1 a ci 丿提示：矩阵A 的行列式detA^0时，矩阵可逆。

匚)选择题 1.设n 阶矩阵A,B,C 满足则位絢阵 ，贝泌有⑷ ACB = I (B) BCA = J (C) CBA = I CD) BAC = I 提示：A 的逆矩阵为BCQ 2 3、2. 已知屋三I 址非零矩阵込则,3 12,提示：P 的列为齐次线性方程组Qx=0的解,P 非零,Qx=0有非零解，故Q 的行列式detQ=01 0 £=011 0(A) AP }P 2 = B (B) AP 2P } = B (C) P }P 2A = B (Q) P 2P }A = B-1 1-I -21 -1,则 r(A)-31 1 0 -3 11、 -14.设 A =-1 1 ,QP = 0. t =(A) -1 (B)(C) -2 (£>) 2 a 22 a 23_0 1 o - a \2如1 0 0 °32 +。

第 1 页， 共 1 页…………………………………………装…………………………订…………………………线…………………………………………………2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A 卷）课 程 线性代数与空间解析几何B 考试时间 2012 年 7 月 2 日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。

………………一、填空题（每小题3分，满分27分）1、设行列式==11110342226111304zy x zy x，则行列式_________. 2、已知矩阵A 满足A 2-2A -8E = 0，则(A +E ) -1=_____________.3、已知向量组1α=(1,2,3)T , 2α=(3,-1,2)T , 3α=(2,3,k )T 线性相关，则常数k =_________.4、设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110120000120025，则A -1=________________. 5、若A 、B 为5阶方阵，且Ax = 0只有零解，且R (B )=3，则R (AB )=___________. 6、三元线性方程x 1+ x 2+ x 3=1的通解是_______________. 7、若矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4001与矩阵B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛x ab 3相似，则x=_____.8、设3元非齐次线性方程组Ax =b 有解1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321,2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3 2 1且R (A )=2，则Ax =b 的通解为__________________.9、若f (x 1, x 2, x 3)=32212322214244x x x x x x x ++++λ为正定二次型,则λ的取值应满足______. 二、选择题（每小题3分，满分15分）1、若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ）(A ) A =*1A A；(B )0=A ；(C )2112)()(--=AA ; (D )113)3(--=AA .2、若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是 ( ) (A ) A 与B 等价；(B )A 与B 合同；(C ) | A |=| B |；(A ) A 与B 有相同特征值.3、设有向量组A ：1α,2α,3α,4α，其中1α,2α,3α线性无关，则（ ）(A ) 1α,3α线性无关； (B ) 1α,2α,3α,4α线性无关； (C ) 1α,2α,3α,4α线性相关 (D ) 2α,3α,4α线性相关.4、设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中为对称矩阵的是( ) (A ) AB -BA ；(B )AB+BA ；(C )AB ；(D )BA .5、设A 为m×n 矩阵，则n 元齐次线性方程组Ax= 0存在非零解的充要条件是（ ）(A ) A 的行向量组线性无关； (B ) A 的行向量组线性相关； (C ) A 的列向量组线性无关； (D ) A 的列向量组线性相关.三、计算题（每小题9分，满分18分）（1）D =cc b b a a------11110011001.（2）设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛161020101,而X 满足AX +E =A 2+X ，求X . 四、应用题（每小题10分，满分20分）（1）求向量组()T411,11，，=α，()T531,22，，=α，()T 6,5,1,33=α，()T231-,14-=，，α的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示出来.（2）设A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1-11020011-λλλ, b =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-a ，已知非齐次线性方程组Ax=b 存在两个不同的解，求（I ）a ，λ的值；（II ）Ax =b 的通解.五、证明题（满分8分）设A ，B ，A +B 均为n 阶正交矩阵，证明:111)(---+=+B A B A . 六、综合题（满分12分）设A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3030002aa 的三个特征值分别为1，2，5，求正交矩阵P ，使P -1AP =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛500020001.。

线性代数考试和答案解析一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 向量组的线性相关性是指（）。

A. 至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合B. 所有向量都是零向量C. 向量组中不存在非零向量D. 向量组中所有向量都线性无关答案：A解析：向量组的线性相关性是指至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合。

这是线性相关的定义，其他选项都不符合线性相关的定义。

2. 矩阵的秩是指（）。

A. 矩阵中非零行的个数B. 矩阵中非零列的个数C. 矩阵中线性无关的行向量的最大个数D. 矩阵中线性无关的列向量的最大个数答案：C解析：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行向量的最大个数，也可以是矩阵中线性无关的列向量的最大个数。

这是矩阵秩的定义，其他选项都不符合矩阵秩的定义。

3. 线性方程组有解的充分必要条件是（）。

A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的个数答案：D解析：线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的个数。

这是线性方程组有解的条件，其他选项都不符合有解的条件。

4. 二次型可以表示为（）。

A. 一个二次多项式B. 一个二次多项式，其中变量的系数是对称矩阵C. 一个二次多项式，其中变量的系数是反对称矩阵D. 一个二次多项式，其中变量的系数是任意矩阵答案：B解析：二次型可以表示为一个二次多项式，其中变量的系数是对称矩阵。

这是二次型的定义，其他选项都不符合二次型的定义。

5. 正交矩阵是指（）。

A. 一个方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵B. 一个方阵，其转置矩阵等于其伴随矩阵C. 一个方阵，其逆矩阵等于其伴随矩阵D. 一个方阵，其转置矩阵等于其伴随矩阵的转置答案：A解析：正交矩阵是指一个方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵。

这是正交矩阵的定义，其他选项都不符合正交矩阵的定义。

6. 矩阵的特征值是指（）。