2021年中考九年级数学一轮压轴题复习：《四边形》 专题练习

2021年中考数学压轴题专题练习：四边形综合复习1、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．2、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．3、如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．4、已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH 、HE 、BG 、FG ．（1）求证：FG=EH ．（2）若EG 平分∠AEH ，FH 平分∠CFG ，FG//AB ，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF 的度数．5、如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接DE ，将DE 绕着点E 逆时针旋转90°，得到EG ，过点G 作GF ⊥CB ，垂足为F ，GH ⊥AB ，垂足为H ，连接DG ，交AB 于I ．（1）求证：四边形BFGH 是正方形；（2）求证：ED 平分∠CEI ；（3）连接IE ，若正方形ABCD 的边长为，则△BEI 的周长为 ．6、如图，正方形CD AB 的边长为1，点E 为边AB 上一动点，连结C E 并将其绕点C 顺时针旋转90得到CF ，连结DF ，以C E 、CF 为邻边作矩形CFG E ，G E 与D A 、C A 分别交于点H 、M ，GF 交CD 延长线于点N ．（1）证明：点A 、D 、F 在同一条直线上；（2）随着点E 的移动，线段D H 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；（3）连结F E 、MN ，当//F MN E 时，求AE 的长．7、定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝_____；（2）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，求这个准矩形的面积．8、【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD 面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．9、若边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′，记旋转角为a．（I）如图1，当a＝60°时，求点C经过的弧CC 的长度和线段AC扫过的扇形面积；（Ⅱ）如图2，当a＝45°时，BC与D′C′的交点为E，求线段D′E的长度；（Ⅲ）如图3，在旋转过程中，若F为线段CB′的中点，求线段DF长度的取值范围．10、△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．11、点P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ．点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是 ；（2）当点P 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P 在线段OA 的延长线上运动，当∠OEF ＝30°时，试探究线段CF 、AE 、OE 之间的关系．12、如图（1），在矩形ABCD 中，8,6AB AD ==，点,E F 分别是边,DC DA 的中点，四边形DFGE 为矩形，连接BG ．（1）问题发现在图（1）中，CE BG=_________； （2）拓展探究将图（1）中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，CEBG的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；（3）问题解决当矩形DFGE旋转至,,B G E三点共线时，请直接写出线段CE的长．13、如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．14、已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，FQ，当点Q停止运动时，△EFQ也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BD？（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形AFPQM ：S矩形ABCD=9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15、问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．。

2021年中考数学专题复习：《四边形》专项练习题精选一．选择题1．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（）A．5B．6C．4D．5 2．（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝BC．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD．即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC．则正确的证明顺序应是：（）A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④3．（2019•梧州）正九边形的一个内角的度数是（）A．108°B．120°C．135°D．140°4．（2019•柳州）如图，在▱ABCD中，全等三角形的对数共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对5．（2019•河池）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，BE ＝CF ，则图中与∠AEB 相等的角的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．（2019•贵港）如图，E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点H 与B 关于CE 对称，EH 的延长线与AD 交于点F ，与CD 的延长线交于点N ，点P 在AD 的延长线上，作正方形DPMN ，连接CP ，记正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为S 1，S 2，则下列结论错误的是（ ）A ．S 1+S 2＝CP 2B ．AF ＝2FDC ．CD ＝4PD D ．cos ∠HCD ＝7．（2019•河池）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（ ）A ．∠B ＝∠F B ．∠B ＝∠BCFC ．AC ＝CFD ．AD ＝CF8．（2018•河池）如图，要判定▱ABCD 是菱形，需要添加的条件是（ ）A．AB＝AC B．BC＝BD C．AC＝BD D．AB＝BC 9．（2018•梧州）如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（）A．（﹣6，2）B．（0，2）C．（2，0）D．（2，2）二．填空题10．（2020•河池）如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE∥AB，则OE的长是．11．（2020•玉林）如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD菱形（填“是”或“不是”）．12．（2019•百色）四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝．13．（2019•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是．14．（2019•梧州）如图，▱ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝度．15．（2019•广西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S＝24，则AH＝．菱形ABCD16．（2018•河池）如图，四边形OABC为正方形，点D（3，1）在AB上，把△CBD绕点C 顺时针旋转90°，则点D旋转后的对应点D′的坐标是．三．解答题17．（2020•桂林）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．18．（2020•广西）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．19．（2019•百色）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．20．（2019•玉林）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）已知：AB＝2，EB＝4，tan∠GEH＝2，求四边形EHFG的周长．21．（2019•柳州）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：22．（2019•贺州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．23．（2018•百色）平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2AD，BD的中垂线分别交AB，CD 于点E，F，垂足为O．（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝6，求tan∠ABD的值．24．（2018•梧州）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．25．（2018•贺州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC＝，求BC的长．26．（2018•柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC＝2，求BD的长．27．（2018•玉林）如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．参考答案1．解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，∵EA＝3，ED＝4，在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，∴∠AED＝90°，∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．故选：C．2．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴AD＝BD，AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF AD．即CF BD，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF BC，∴DE∥BC，且DE＝BC．∴正确的证明顺序是②→③→①→④，故选：A．3．解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°， 则每个内角的度数＝．故选：D ．4．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ；OD ＝OB ，OA ＝OC ；∵OD ＝OB ，OA ＝OC ，∠AOD ＝∠BOC ；∴△AOD ≌△COB （SAS ）；①同理可得出△AOB ≌△COD （SAS ）；②∵BC ＝AD ，CD ＝AB ，BD ＝BD ；∴△ABD ≌△CDB （SSS ）；③同理可得：△ACD ≌△CAB （SSS ）．④因此本题共有4对全等三角形．故选：C ．5．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°， 在△ABE 和△BCF 中，，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴∠BFC ＝∠AEB ，∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∠BFC ＝∠ABF ，故图中与∠AEB 相等的角的个数是3．故选：C ．6．解：∵正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为S 1，S 2， ∴S 1＝CD 2，S 2＝PD 2，在Rt △PCD 中，PC 2＝CD 2+PD 2，∴S 1+S 2＝CP 2，故A 结论正确；连接CF ，∵点H与B关于CE对称，∴CH＝CB，∠BCE＝∠ECH，在△BCE和△HCE中，∴△BCE≌△HCE（SAS），∴BE＝EH，∠EHC＝∠B＝90°，∠BEC＝∠HEC，∴CH＝CD，在Rt△FCH和Rt△FCD中∴Rt△FCH≌Rt△FCD（HL），∴∠FCH＝∠FCD，FH＝FD，∴∠ECH+∠FCH＝∠BCD＝45°，即∠ECF＝45°，作FG⊥EC于G，∴△CFG是等腰直角三角形，∴FG＝CG，∵∠BEC＝∠HEC，∠B＝∠FGE＝90°，∴△FEG∽△CEB，∴＝＝，∴FG＝2EG，设EG＝x，则FG＝2x，∴CG＝2x，CF＝2x，∴EC＝3x，∵EB2+BC2＝EC2，∴BC2＝9x2，∴BC2＝x2，∴BC＝x，在Rt△FDC中，FD＝＝＝x，∴3FD＝AD，∴AF＝2FD，故B结论正确；∵AB∥CN，∴＝，∵PD＝ND，AE＝CD，∴CD＝4PD，故C结论正确；∵EG＝x，FG＝2x，∴EF＝x，∵FH＝FD＝x，∵BC＝x，∴AE＝x，作HQ⊥AD于Q，HS⊥CD于S，∴HQ∥AB，∴＝，即＝，∴HQ＝x，∴CS＝CD﹣HQ＝x﹣x＝x∴cos∠HCD＝＝＝，故结论D错误，故选：D．7．解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE AC．A、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B、根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选：B．8．解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，可知选项D正确，故选：D．9．解：∵在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），∴D（﹣3，2），∴将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（0，2），故选：B．二．填空题（共7小题）10．解：∵菱形ABCD的周长为16，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，OA＝OC，∵OE∥AB，∴BE＝CE，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB＝2，故答案为：2．11．解：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，∴AE＝AF，＝BC•AE＝DC•AF，∴S平行四边形ABCD∴BC＝DC，∴▱ABCD是菱形．故答案为：是．12．解：∵，∴平行四边形A'B'C'D'的底边A′D′边上的高等于A′B′的一半，∴∠A'＝30°．故答案为：30°13．解：如图以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，∵2019÷6＝336…3，当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（6，4）∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2+1＝673次故答案为67314．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∵∠ADC＝119°，DF⊥BC，∴∠ADF＝90°，则∠EDH＝29°，∵BE⊥DC，∴∠DEH＝90°，∴∠DHE＝∠BHF＝90°﹣29°＝61°．故答案为：61．15．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，∴BD＝8，∵S＝AC×BD＝24，菱形ABCD∴AC＝6，∴OC＝AC＝3，∴BC＝＝5，＝BC×AH＝24，∵S菱形ABCD∴AH＝；故答案为：．16．解：△CBD绕点C顺时针旋转90°得到的图形如上图所示．∵D的坐标为（3，1），∴OA＝3，AD＝1∵在正方形OABC中，OA＝AB，∴BD＝AB﹣AD＝2，∴OD'＝BD＝2，∴D'的坐标为（﹣2，0），故答案为（﹣2，0）．三．解答题（共11小题）17．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝tan30°BE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．18．（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，又∵AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形．19．（1）证明：四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，AD∥BC∴∠A＝∠CBF∵BE⊥AD、CF⊥AB∴∠AEB＝∠BFC＝90°∴△AEB≌△BFC（AAS）∴AE＝BF（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD∴直线BE为AD的垂直平分线∴BD＝AB＝220．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠BEA，∵∠BAC＝∠BEA+∠ABE，∠DCA＝∠CFD+∠CDF，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（AAS），∵BH＝DG，∴BE+BH＝DF+DG，即EH＝GF，∵EH∥GF，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接BD，交EF于O，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴∠AOB＝90°，∵AB＝2，∴OA＝OB＝2，Rt△BOE中，EB＝4，∴∠OEB＝30°，∴EO＝2，∵OD＝OB，∠EOB＝∠DOF，∵DF∥EB，∴∠DFC＝∠BEA，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴OF＝OE＝2，∴EF＝4，∴FM＝2，EM＝6，过F作FM⊥EH于M，交EH的延长线于M，∵EG∥FH，∴∠FHM＝∠GEH，∵tan∠GEH＝tan∠FHM＝＝2，∴，∴HM＝1，∴EH＝EM﹣HM＝6﹣1＝5，FH＝＝＝，∴四边形EHFG的周长＝2EH+2FH＝2×5+2＝10+2．21．证明：连接AC，如图所示：在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；（2）解：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵BC＝AD，∴CE＝AF，∵CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．23．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠1＝∠2，∵EF是BD的中垂线，∴OD＝OB，∠3＝∠4＝90°，∴△DOF≌△BOE，∴OE＝OF；（2）作DG⊥AB，垂足为G，∵∠A＝60°，AD＝6，∴∠ADG＝30°，∴AG＝AD＝3，∴DG＝，∵AB＝2AD，∴AB＝2×6＝12，BG＝AB﹣AG＝12﹣3＝9，∴tan∠ABD＝24．证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF．25．（1）证明：∵点O是AC中点，∴OA＝OC，∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO，在△AOD和△COE中，，∴△AOD≌△COE（ASA），∴AD＝CE，∵CE∥AB，∴四边形AECD是平行四边形，又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD＝AD，∴四边形AECD是菱形；（2）由（1）知，四边形AECD是菱形，∴AC⊥ED，在Rt△AOD中，tan∠DAO＝，设OD＝3x，OA＝4x，则ED＝2OD＝6x，AC＝2OA＝8x，由题意可得：，解得：x＝1，∴OD＝3，∵O，D分别是AC，AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴BC＝2OD＝6．26．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴菱形ABCD的周长为：8；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，AB＝2∴AC⊥BD，AO＝1，∴BO＝，∴BD＝227．解：（1）证明：过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB∴EG＝ME，EG＝EM′∴EG＝ME＝M′E＝MM′同理可证：FH＝NF＝N′F＝NN′∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，∴MM′＝NN′∴ME＝NF＝EG＝FH又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD∴四边形EFNM是矩形．（2）∵DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∵，∠2＝∠DAB∴∠3+∠2＝90°在Rt△DEA，∵AE＝4，DE＝3，∴AD＝＝5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，又∵∠2＝∠DAB，∠5＝∠DCB，∴∠2＝∠5由（1）知GE＝NF在Rt△GEA和Rt△CNF中∴△GEA≌△CNF∴AG＝CN在Rt△DME和Rt△DGE中∵DE＝DE，ME＝EG∴△DME≌△DGE∴DG＝DM∴DM+CN＝DG+AG＝AD＝5∴MN＝CD﹣DM﹣CN＝9﹣5＝4．∵四边形EFNM是矩形．∴EF＝MN＝4。

2021年中考九年级数学压轴题专题复习：四边形综合练习1、如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．2、如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF ⊥AC交AD于点F，连接BE．（1）求证：DF=AE；（2）当AB=2时，求BE2的值．3、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．4、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。

已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。

（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。

5、如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．（1）求证：△ADE≌△ABF．（2）求△AEF的面积．6、如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处。

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积。

7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：△ABC≌△EAF；（2）试判断四边形EFDA的形状，并证明你的结论．8、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．9、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．10、在矩形ABCD中，=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB 边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．（1）如图1，当DH=DA时，①填空：∠HGA= 度；②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时的最小值；（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FG ⊥AB，G为垂足，求a的值．11、已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF。

2021年中考九年级数学第一轮专题复习：四边形综合压轴题分类练习1、如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．①求证：BD'∥CD；②若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．2、如图，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，沿CE将△CDE对折，点D刚好落在AB边的点F上．（1）求证：△AEF∽△BFC．（2）若AB＝20cm，BC＝16cm，求tan∠DCE．45，3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E是BC的中点，AD=5，BC=12，，∠C=0点P 是BC 边上一动点，设PB 长为x.(1)当x 的值为 时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形. (2)当x 的值为 时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形.(3)点P 在BC 边上运动的过程中，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.4、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F.（1）EF+AC =AB ； （2）点C 1从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点A 1从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点C 1与点A 1运动速度相同，当动点C 1停止运动时，另一动点A 1也随之停止运动.如图，AF 1平分∠B A 1 C 1，交BD 于F 1，过F 1作F 1E 1⊥A 1 C 1，垂足为E 1，试猜想F 1E 1，A 1 C 1与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想. （3）在（2）的条件下，当A 1 E 1=3，C 1 E 1=2时，求BD 的长.21215、在四边形ABCD中，E、F分别是BD、BC上的点，∠BAE＝∠BDA．（1）如图1，求证：AB2＝BE•BD；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，A、E、F三点在同一条直线上，，∠ABC＝60°，求的值；（3）如图3，若A、E、F不在同一条直线，∠DEF＝∠C，AB＝2，BD＝4，，，则CD＝（直接写出结果）．6、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,其中AB=12 cm,CD=6cm ,梯形的高为4，点P从开始沿AB边向点B以每秒3cm的速度移动，点Q从开始沿CD边向点D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。

1．如图①,在矩形ABCD中,已知BC＝8cm,点G为BC边上一点,满足BG＝AB＝6cm,动点E以1cm/s的速度沿线段BG从点B移动到点G,连接AE,作EF⊥AE,交线段CD于点F．设点E移动的时间为t(s),CF的长度为y(cm),y与t的函数关系如图②所示．(1)图①中,CG＝ 2 cm,图②中,m＝ 2 ；(2)点F能否为线段CD的中点？若可能,求出此时t的值,若不可能,请说明理由；(3)在图①中,连接AF,AG,设AG与EF交于点H,若AG平分△AEF的面积,求此时t的值．解:(1)∵BC＝8cm,BG＝AB＝6cm,∴CG＝2cm,∵EF⊥AE,∴∠AEB+∠FEC＝90°,且∠AEB+∠BAE＝90°,∴∠BAE＝∠FEC,且∠B＝∠C＝90°,∴△ABE∽△ECF,∴,∵t＝6,∴BE＝6cm,CE＝2cm,∴∴CF＝2cm,∴m＝2,故答案为:2,2；(2)若点F是CD中点,∴CF＝DF＝3cm,∵△ABE∽△ECF,∴,∴∴EC2﹣8EC+18＝0∵△＝64﹣72＝﹣8＜0,∴点F不可能是CD中点；(3)如图①,过点H作HM⊥BC于点M,∵∠C＝90°,HM⊥BC,∴HM∥CD,∴△EHM∽△EFC,∴∵AG平分△AEF的面积,∴EH＝FH,∴EM＝MC,∵BE＝t,EC＝8﹣t,∴EM＝CM＝4﹣t,∴MG＝CM﹣CG＝2﹣,∵,∴∴CF＝∵EM＝MC,EH＝FH,∴MH＝CF＝∵AB＝BG＝6,∴∠AGB＝45°,且HM⊥BC,∴∠HGM＝∠GHM＝45°,∴HM＝GM,∴＝2﹣,∴t＝2或t＝12,且t≤6,∴t＝2．2．问题提出:(1)如图1,△ABC的边BC在直线n上,过顶点A作直线m∥n,在直线m上任取一点D,连接BD、CD,则△ABC的面积＝△DBC的面积．问题探究:(2)如图2,在菱形ABCD和菱形BGFE中,BG＝6,∠A＝60°,求△DGE的面积；问题解决:(3)如图3,在矩形ABCD中,AB＝12,BC＝10,在矩形ABCD内(也可以在边上)存在一点P,使得△ABP的面积等于矩形ABCD的面积的,求△ABP周长的最小值．解:问题提出:(1)∵两条平行线间的距离一定,∴△ABC与△DBC同底等高,即△ABC的面积＝△DBC的面积,故答案为:＝；问题探究:(2)如图2,连接BD,∵四边形ABCD,四边形BGFE是菱形,∴AD∥BC,BC∥EF,AD＝AB,BG＝BE,∴∠A＝∠CBE＝60°,∴△ADB是等边三角形,△BGE是等边三角形,∴∠ABD＝∠GBE＝60°,∴BD∥GE,∴S△DGE＝S△BGE＝BG2＝9；(3)如图3,过点P作PE∥AB,交AD于点E,∵△ABP的面积等于矩形ABCD的面积的,∴×12×AE＝×12×10∴AE＝8,作点A关于PE的对称点A',连接A'B交PE于点P,此时△ABP周长最小, ∴A'E＝AE＝8,∴AA'＝16,∴A'B＝＝＝20,∴△ABP周长的最小值＝AP+AB+PB＝A'P+PB+AB＝20+12＝32．3．(1)方法感悟:如图①,在正方形ABCD中,点E、F分别为DC、BC边上的点,且满足∠EAF＝45°,连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,易证△GAF≌△EAF,从而得到结论:DE+BF＝EF．根据这个结论,若CD＝6,DE＝2,求EF的长．(2)方法迁移:如图②,若在四边形ABCD中,AB＝AD,∠B+∠D＝180°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF＝∠BAD,试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,证明你的结论．(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,AB＝AD,∠B+∠ADC＝180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF＝∠BAD,试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系,请直接写出你的猜想(不必说明理由)．解:(1)方法感悟:∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,∴GB＝DE＝2,∵△GAF≌△EAF∴GF＝EF,∵CD＝6,DE＝2∴CE＝4,∵EF2＝CF2+CE2,∴EF2＝(8﹣EF)2+16,∴EF＝5；(2)方法迁移:DE+BF＝EF,理由如下:如图②,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,由旋转可得,AH＝AE,BH＝DE,∠1＝∠2,∠D＝∠ABH,∵∠EAF＝∠DAB,∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD,∴∠HAF＝∠EAF,∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝180°,∴点H、B、F三点共线,在△AEF和△AHF中,∴△AEF≌△AHF(SAS),∴EF＝HF,∵HF＝BH+BF,∴EF＝DE+BF．(3)问题拓展:EF＝BF﹣FD,理由如下:在BC上截取BH＝DF,∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADC+∠ADF＝180°,∴∠B＝∠ADF,且AB＝AD,BH＝DF,∴△ABH≌△ADF(SAS)∴∠BAH＝∠DAF,AH＝AD,∵∠EAF＝∠BAD,∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD,∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF,且AE＝AE,AH＝AD,∴△HAE≌△FAE(SAS)∴HE＝EF,∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF．4．如图1,在▱ABCD中,AB＝3cm,BC＝5cm,AC⊥AB,△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM,速度为1cm/s；同时,点Q从点C出发,沿CB方向匀速移动,速度为1cm/s,当△PNM停止平移时,点Q也停止移动,如图2,设移动时间为t(s)(0＜＜4),连结PQ,MQ,解答下列问题:(1)当t为何值时,PQ∥MN？(2)当t为何值时,∠CPQ＝45°？(3)当t为何值时,PQ⊥MQ？解:(1)∵AB＝3cm,BC＝5cm,AC⊥AB,∴AC＝＝4cm,∵MN∥AB,PQ∥MN,∴PQ∥AB,∴,∴,∴t＝s(2)如图2,过点Q作QE⊥AC,则QE∥AB,∴,∴,∴CE＝,QE＝t,∵∠CPQ＝45°,∴PE＝QE＝t,∴t+t+t＝4,∴t＝s(3)如图2,过点P作PF⊥BC于F点,过点M作MH⊥BC,交BC延长线于点H, ∴四边形PMHF是矩形,∴PM＝FH＝5,∵∠A＝∠PFC＝90°,∠ACB＝∠PCF,∴△ABC∽△FPC,∴,∴＝∴PF＝,CF＝,∴QH＝5﹣FQ＝5﹣(CF﹣CQ)＝,∵PQ⊥MQ,∴∠PQF+∠MQH＝90°,且∠PQF+∠FPQ＝90°,∴∠FPQ＝∠MQH,且∠PFQ＝∠H＝90°,∴△PFQ∽△QHM,∴,∴∴t＝s．5．问题背景:如图1,在正方形ABCD的内部,作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH,根据三角形全等的条件,易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,从而得四边形EFGH是正方形．类比探究:如图2,在正△ABC的内部,作∠1＝∠2＝∠3,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点(D,E,F三点不重合)．(1)△ABD,△BCE,△CAF是否全等？如果是,请选择其中一对进行证明；(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；(3)如图3,进一步探究发现,△ABD的三边存在一定的等量关系,设BD＝a,AD＝b,AB＝c,请探索a,b,c满足的等量关系．(1)△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下:∵△ABC是正三角形,∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°,AB＝BC＝AC,又∵∠1＝∠2＝∠3,∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAF,在△ABD、△BCE和△CAF中,,∴△ABD≌△BCE≌△CAF(ASA)；(2)△DEF是正三角形；理由如下:∵△ABD≌△BCE≌△CAF,∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA,∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD,∴△DEF是正三角形；(3)c2＝a2+ab+b2．作AG⊥BD于G,如图所示:∵△DEF是正三角形,∴∠ADG＝60°,在Rt△ADG中,DG＝b,AG＝b,在Rt△ABG中,c2＝(a+b)2+(b)2,∴c2＝a2+ab+b2．6．如图,在四边形ABCD中,AC是对角线,∠ABC＝∠CDA＝90°,BC＝CD,延长BC交AD的延长线于点E．(1)求证:AB＝AD；(2)若AE＝BE+DE,求∠BAC的值；(3)过点E作ME∥AB,交AC的延长线于点M,过点M作MP⊥DC,交DC的延长线于点P,连接PB．设PB＝a,点O是直线AE上的动点,当MO+PO的值最小时,点O与点E是否可能重合？若可能,请说明理由并求此时MO+PO的值(用含a的式子表示)；若不可能,请说明理由．(1)证明:∵∠ABC＝∠CDA＝90°,∵BC＝CD,AC＝AC,∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)．∴AB＝AD．(2)解:∵AE＝BE+DE,又∵AE＝AD+DE,∴AD＝BE．∵AB＝AD,∴AB＝BE．∴∠BAD＝∠BEA．∵∠ABC＝90°,∴∠BAD═45°．∵由(1)得△ABC≌△ADC,∴∠BAC＝∠DAC．∴∠BAC═22.5°．(3)解:当MO+PO的值最小时,点O与点E可以重合,理由如下: ∵ME∥AB,∴∠ABC＝∠MEC＝90°,∠MAB＝∠EMA．∵MP⊥DC,∴∠MPC＝90°．∴∠MPC＝∠ADC＝90°．∴PM∥AD．∴∠EAM＝∠PMA．由(1)得,Rt△ABC≌Rt△ADC,∴∠EAC＝∠MAB,∴∠EMA＝∠AMP．即MC平分∠PME．又∵MP⊥CP,ME⊥CE,∴PC＝EC．如图,连接PB,连接PE,延长ME交PD的延长线于点Q．设∠EAM＝α,则∠MAP＝α．在Rt△ABE中,∠BEA＝90°﹣2α．在Rt△CDE中,∠ECD＝90°﹣∠BEA＝2α．∵PC＝EC,∴∠PEB＝∠EPC＝∠ECD＝α．∴∠PED＝∠BEA+∠PEB＝90°﹣α．∵ME∥AB,∴∠QED＝∠BAD＝2α．当∠PED＝∠QED时,∵∠PDE＝∠QDE,DE＝DE,∴△PDE≌△QDE(ASA)．∴PD＝DQ．即点P与点Q关于直线AE成轴对称,也即点M、点E、点P关于直线AE的对称点Q,这三点共线,也即MO+PO的值最小时,点O与点E重合．因为当∠PED＝∠QED时,90°﹣α＝2α,也即α＝30°．所以,当∠ABD＝60°时,MO+PO取最小值时的点O与点E重合．此时MO+PO的最小值即为ME+PE．∵PC＝EC,∠PCB＝∠ECD,CB＝CD,∴△PCB≌△ECD(SAS)．∴∠CBP＝∠CDE＝90°．∴∠CBP+∠ABC＝180°．∴A,B,P三点共线．当∠ABD＝60°时,在△PEA中,∠PAE＝∠PEA＝60°．∴∠EPA＝60°．∴△PEA为等边三角形．∵EB⊥AP,∴AP＝2AB＝2a．∴EP＝AE＝2a．∵∠EMA＝∠EAM＝30°,∴EM＝AE＝2a．∴MO+PO的最小值为4a．7．已知:如图,在正方形ABCD中,点E在AD边上运动,从点A出发向点D运动,到达D点停止运动．作射线CE,并将射线CE绕着点C逆时针旋转45°,旋转后的射线与AB边交于点F,连接EF．(1)依题意补全图形；(2)猜想线段DE,EF,BF的数量关系并证明；(3)过点C作CG⊥EF,垂足为点G,若正方形ABCD的边长是4,请直接写出点G运动的路线长．解:(1)补全图形如图1所示:(2)线段DE,EF,BF的数量关系为:EF＝DE+BF．理由如下: 延长AD到点H,使DH＝BF,连接CH,如图2所示:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD＝∠ADC＝∠B＝90°,BC＝DC,∴∠CDH＝90°＝∠B,在△CDH和△CBF中,,∴△CDH≌△CBF(SAS)．∴CH＝CF,∠DCH＝∠BCF．∵∠ECF＝45°,∴∠ECH＝∠ECD+∠DCH＝∠ECD+∠BCF＝45°．∴∠ECH＝∠ECF＝45°．在△ECH和△ECF中,,∴△EC H≌△ECF(SAS)．∴EH＝EF．∵EH＝DE+DH,∴EF＝DE+BF；(3)由(2)得:△ECH≌△ECF(SAS),∴∠CEH＝∠CEF,∵CD⊥AD,CG⊥EF,∴CD＝CG＝4,∴点G的运动轨迹是以C为圆心4为半径的弧DB,∴点G运动的路线长＝＝2π．8．如图,在正方形ABCD中,P是边BC上的一动点(不与点B,C重合),点B关于直线AP的对称点为E,连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F,连接BF．(1)若∠BAP＝α,直接写出∠ADF的大小(用含α的式子表示)；(2)求证:BF⊥DF；(3)连接CF,用等式表示线段AF,BF,CF之间的数量关系,并证明．(1)解:由轴对称的性质得:∠EAP＝∠BAP＝α,AE＝AB,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD＝90°,AB＝AD,∴∠DAE＝90°﹣2α,AD＝AE,∴∠ADF＝∠AED＝(180°﹣∠DAE)＝(90°+2α)＝45°+α；(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD＝90°,AB＝AD,∵点E与点B关于直线AP对称,∴∠AEF＝∠ABF,AE＝AB．∴AE＝AD．∴∠ADE＝∠AED．∵∠AED+∠AEF＝180°,∴在四边形ABFD中,∠ADE+∠ABF＝180°,∴∠BFD+∠BAD＝180°,∴∠BFD＝90°∴BF⊥DF；(3)解:线段AF,BF,CF之间的数量关系为AF＝BF+CF,理由如下: 过点B作BM⊥BF交AF于点M,如图所示:∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝CB,∠ABC＝90°,∴∠ABM＝∠CBF,∵点E与点B关于直线AP对称,∠BFD＝90°,∴∠MFB＝∠MFE＝45°,∴△BMF是等腰直角三角形,∴BM＝BF,FM＝BF,在△AMB和△CFB中,,∴△AMB≌△CFB(SAS),∴AM＝CF,∵AF＝FM+AM,∴AF＝BF+CF．9．如图1,已知等腰Rt△ABC中,E为边AC上一点,过E点作EF⊥AB于F点,以为边作正方形,且AC＝3,EF＝．(1)如图1,连接CF,求线段CF的长；(2)将等腰Rt△ABC绕点旋转至如图2的位置,连接BE,M点为BE的中点,连接MC,MF,求MC与MF关系．解:(1)如图1,∵△ABC是等腰直角三角形,AC＝3,∴AB＝3,过点C作CM⊥AB于M,连接CF,∴CM＝AM＝AB＝,∵四边形AGEF是正方形,∴AF＝EF＝,∴MF＝AM﹣AF＝﹣,在Rt△CMF中,CF＝＝＝；(2)CM＝FM,CM⊥FM,理由:如图2,过点B作BH∥EF交FM的延长线于H,连接CF,CH,∴∠BHM＝∠EFM,∵四边形AGEF是正方形,∴EF＝AF∵点M是BE的中点,∴BM＝EM,在△BMH和△EMF中,,∴△BMH≌△EMF(AAS),∴MH＝MF,BH＝EF＝AF∵四边形AGEF是正方形,∴∠FAG＝90°,EF∥AG,∵BH∥EF,∴BH∥AG,∴∠BAG+∠ABH＝180°,∴∠CBH+∠ABC+∠BAC+∠CAG＝180°．∵△ABC是等腰直角三角形,∴BC＝AC,∠ABC＝∠BAC＝45°,∴∠CBH+∠CAG＝90°,∵∠CAG+∠CAF＝90°,∴∠CBH＝∠CAF,在△BCH和△ACF中,,∴△BCH≌△ACF(SAS),∴CH＝CF,∠BCH＝∠ACF,∴∠HCF＝∠BCH+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝90°,∴△FCH是等腰直角三角形,∵MH＝MF,∴CM＝FM,CM⊥FM；10．如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α(0°＜α＜90°)得到正方形AB′C′D′．(1)如图1,B′C′与AC交于点M,C′D′与AD所在直线交于点N,若MN∥B′D′,求α；(2)如图2,C′B′与CD交于点Q,延长C′B′与BC交于点P,当α＝30°时．①求∠DAQ的度数；②若AB＝6,求PQ的长度．解:(1)如图1中,∵MN∥B′D′,∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝45°,∠C′NM＝∠C′D′B′＝45°,∴∠C′MN＝∠C′NM,∴C′M＝C′N,∵C′B′＝C′D′,'∴MB′＝ND′,∵AB′＝AD′,∠AB′M＝∠AD′N＝90°,∴△AB′M≌△AD′N(SAS),∴∠B′AM＝∠D′AN,∵∠B′AD′＝90°,∠MAN＝45°,∴∠B′AM＝∠D′AN＝22.5°,∵∠BAC＝45°,∴∠BAB′＝22.5°,∴α＝22.5°．(2)①如图2中,∵∠AB′Q＝∠ADQ＝90°,AQ＝AQ,AB′＝AD,∴Rt△AQB′≌Rt△AQD(HL),∴∠QAB′＝∠QAD,∵∠BAB′＝30°,∠BAD＝90°,∴∠B′AD＝30°,∴∠QAD＝∠B′AD＝30°．②如图2中,连接AP,在AB上取一点E,使得AE＝EP,连接EP．设PB＝a．∵∠ABP＝∠AB′P＝90°,AP＝AP,AB＝AB′,∴Rt△APB≌Rt△APB′(HL),∴∠BAP＝∠PAB′＝15°,∵EA＝EP,∴∠BEP＝∠EAP+∠EPA＝30°,∴PE＝AE＝2a,BE＝a,∵AB＝6,∴2a+a＝6,∴a＝6(2﹣)．∴PB＝6(2﹣),∴PC＝BC﹣PB＝6﹣6(2﹣)＝6﹣6,∵∠CPQ+∠BPB′＝180°,∠BAB′+∠BPB′＝180°,∴∠CPQ＝∠BAB′＝30°,∴PQ＝＝＝12﹣4．11．已知,如图1,在边长为2的正方形ABCD中,E是边AB的中点,点F在边AD上,过点A 作AG⊥EF,分别交线段CD、EF于点G、H(点G不与线段CD的端点重合)．(1)如图2,当G是边CD中点时,求AF的长；(2)设AF＝x,四边形FHGD的面积是y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围；(3)联结ED,当∠FED＝45°时,求AF的长．解:(1)∵E是AB的中点,AB＝2,∴AE＝AB＝1,同理可得DG＝1,∵AG⊥EF,∴∠AHF＝∠HAF+∠AFH＝90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADG＝90°＝∠DAG+∠AGD,∴∠AFH＝∠AGD,∴△EAF∽△ADG,∴,即,∴AF＝；(2)如图1,由(1)知:△EAF∽△ADG,∴,即,∴DG＝2x,∵∠HAF＝∠DAG,∠AHF＝∠ADG＝90°,∴∠AHF∽△ADG,∴＝,∴＝,∴AH＝＝,FH＝＝, ∴y＝S△ADG﹣S△AFH,＝,＝2x﹣,如图2,当G与C重合时,∵EF⊥AG,∴∠AHE＝90°,∵∠EAH＝45°,∴∠AEH＝45°,∴AF＝AE＝1,∴0＜x＜1；∴y关于x的函数关系式为:y＝2x﹣(0＜x＜1)；(3)如图3,过D作DM⊥AG,交BC于M,连接EM,延长EA至N,使AN＝CM,连接DN,设CM＝a,则AN＝a,∵AD＝CD,∠NAD＝∠DCM＝90°,∴△NAD≌△MCD(SAS),∴∠ADN＝∠CDM,DN＝DM,∵EF⊥AG,DM⊥AG,∴EF∥DM,∴∠EDM＝∠FED＝45°,∴∠ADE+∠CDM＝∠EDM＝45°,∴∠NDA+∠ADE＝∠NDE＝∠EDM,∵ED＝ED,∴△NDE≌△MDE(SAS),∴EN＝EM＝a+1,∵BM＝2﹣a,在Rt△EBM中,由勾股定理得:BE2+BM2＝EM2,∴12+(2﹣a)2＝(a+1)2,a＝,∵∠AEF+∠EAG＝∠EAG+∠DAG,∴∠AEF＝∠DAG＝∠CDM,∴tan∠AEF＝tan∠CDM,∴,∴,∴AF＝．12．如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB＝AD,CB＝CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究:如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD．试证明:AB2+CD2＝AD2+BC2；(3)解决问题:如图3,△ACB中,∠ACB＝90°,AC⊥AG且AC＝AG,AB⊥AE且AE＝AB,连结CE、BG、GE．已知AC＝4,AB＝5,求GE的长．解:(1)四边形ABCD是垂美四边形,理由如下:连接AC,BD,∵AB＝AD,∴点A在线段BD的垂直平分线上,∵CB＝CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上,∴AC是线段BD的垂直平分线,∴四边形ABCD是垂美四边形；(2)∵AC⊥BD,∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°,由勾股定理得,AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2,∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案为:AB2+CD2＝AD2+BC2；(3)∵∠CAG＝∠BAE＝90°,∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC,即∠GAB＝∠CAE, 在△GAB和△CAE中,,∴△GAB≌△CAE(SAS),∴∠ABG＝∠AEC,又∠AEC+∠AME＝90°,∴∠ABG+∠AME＝90°,即CE⊥BG,∴四边形CGEB是垂美四边形,由(2)得,CG2+BE2＝CB2+GE2,∵AC＝4,AB＝5,∴BC＝3,CG＝4,BE＝5,∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73,∴GE＝．13．如图1,四边形ACEB,连接BC,∠ACB＝∠BEC＝90°,D在AB上,连接CD,∠ACD＝∠ABC,BE＝CD．(1)求证:四边形CDBE为矩形；(2)如图2,连接DE,DE交BC于点O,若tan∠A＝2,在不添加任何辅助线和字母的情况下,请直接写出图中所有长度与AD的长度相等的线段．(1)证明:∵∠ACB＝90°,∴∠A+∠ABC＝90°,∵∠ACD＝∠ABC,∴∠A+∠ACD＝90°,∴∠ADC＝90°,∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°＝∠BEC,在Rt△BCD和Rt△CBE中,,∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL),∴BD＝CE,∵CD＝BE,∴四边形CDBE是平行四边形,又∵∠BEC＝90°,∴四边形CDBE为矩形；(2)解:图中所有长度与AD的长度相等的线段为AC＝OC＝OB＝OD＝OE＝AD ．理由如下:由(1)得:四边形CDBE为矩形,∠ADC＝90°,∴BC＝DE,OD＝OE,OB＝OC,∴OC＝OB＝OD＝OE＝BC,∵∠ADC＝∠ACB＝90°,∴tan∠A＝2＝＝,∴CD＝2AD,BC＝2AC,∴AC＝＝＝AD,∴DE＝BC＝2AC,∴OC＝OB＝OD＝OE＝BC＝AC＝AD,∴AC＝OC＝OB＝OD＝OE＝AD．14．如图在直角坐标系中,四边形ABCO为正方形,A点的坐标为(a,0),D点的坐标为(0,b),且a,b满足(a﹣3)2+|b﹣|＝0．(1)求A点和D点的坐标；(2)若∠DAE＝∠OAB,请猜想DE,OD和EB的数量关系,说明理由．(3)若∠OAD＝30°,以AD为三角形的一边,坐标轴上是否存在点P,使得△PAD为等腰三角形,若存在,直接写出有多少个点P,并写出P点的坐标,选择一种情况证明．解:(1)∵(a﹣3)2+|b﹣|＝0,∴a＝3,b＝,∴D(0,),A(3,0)；(2)DE＝OD+EB；理由如下:如图1,在CO的延长线上找一点F,使OF＝BE,连接AF, 在△AOF和△ABE中,,∴△AOF≌△ABE(SAS),∴AF＝AE,∠OAF＝∠BAE,又∵∠OAB＝90°,∠DAE＝,∴∠BAE+∠DAO＝45°,∴∠DAF＝∠OAF+∠DAO＝45°,∴∠DAF＝∠EAD,在△AFD和△AED中,,∴△AFD≌△AED(SAS),∴DF＝DE＝OD+EB；(3)有3种情况共6个点:①当DA＝DP时,如图2,Rt△ADO中,OD＝,OA＝3,∴AD＝＝＝2, ∴P1(﹣3,0),P2(0,3),P3(0,﹣)；②当AP4＝DP4时,如图3,∴∠ADP4＝∠DAP4＝30°,∴∠OP4D＝60°,Rt△ODP4中,∠ODP4＝30°,OD＝,∴OP4＝1,∴P4(1,0)；③当AD＝AP时,如图4,∴AD＝AP5＝AP6＝2,∴P5(3+2,0),P6(3﹣2,0),综上,点P的坐标为:∴P(﹣3,0)或(0,3)或(0,﹣)或(1,0)或(3+2,0)或(3﹣2,0)．证明:P5(3+2,0),∵∠OAD＝30°且△ADO是直角三角形,又∵AO＝3,DO＝,∴DA＝2,而P5A＝|3+2﹣3|＝2,∴P5A＝DA,∴△P5AD是等腰三角形．15．已知,在四边形ABCD中,点M、N、P、Q分别为边AB、AD、CD、BC的中点,连接MN、NP、PQ、MQ．(1)如图1,求证:四边形MNPQ为平行四边形；(2)如图2,连接AC,AC分别交MN、PQ于点E、F,连接BD,BD分别交MQ、NP于点G、H,AC与BD交于点O,且AC⊥BD,若tan∠ADB＝,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中所有长度等于OD的线段．(1)证明:如图1,连接BD．∵Q,P分别是BC,CD的中点,所以PQ∥BD,PQ＝BD．∵M,N分别是AB,AD的中点．∴MN∥BD,MN＝BD．∴PQ∥MN,且PQ＝MN．∴四边形MNPQ是平行四边形．(2)解:∵四边形MNPQ是平行四边形,AC⊥BD,∴四边形MNPQ是矩形,∴四边形NHOE和四边形EOGM都是矩形,∴NH＝OE＝MG＝AE＝,∵tan∠ADB＝,∴,∴NH＝OE＝MG＝AE＝．即长度等于OD的线段有NH,OE,MG,AE．。

专题02 四边形 2021届中考数学压轴大题专项训练（解析版）1．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，且∠EAF ＝45°，将∠ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到∠ABQ ，连接EQ ．（1）求证：EA 是∠QED 的平分线； （2）已知BE ＝1，DF ＝3，求EF 的长． 【详解】证明：（1）∠将∠ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到∠ABQ ， ∠QB ＝DF ，AQ ＝AF ，∠BAQ ＝∠DAF ， ∠∠EAF ＝45°， ∠∠DAF +∠BAE ＝45°， ∠∠QAE ＝45°， ∠∠QAE ＝∠F AE ， 在∠AQE 和∠AFE 中，AQ AF QAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠AQE ∠∠AFE （SAS ）， ∠∠AEQ ＝∠AEF ，∠EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得∠AQE∠∠AFE，∠QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ，∠四边形ABCD是正方形，∠∠ADB＝∠ABD＝45°，∠∠ABQ＝45°，∠∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt∠QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∠QB＝DF，∠EF2＝BE2+DF2＝1+9＝10，∠EF．2．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF∠DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，求∠EFC的度数．【详解】解：（1）证明：如图，作EP∠CD于P，EQ∠BC于Q，四边形ABCD 为正方形， ∠∠DCA ＝∠BCA ＝45°， ∠EQ ＝EP ， 矩形DEFG ，∴ ∠PED+∠PEF ＝90°，∠∠QEF+∠PEF ＝90°， ∠∠QEF ＝∠PED ， 在Rt∠EQF 和Rt∠EPD 中，QEF PED EQ EPEQF EPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠Rt EQF △∠Rt EPD △（ASA ）， ∠EF ＝ED ，∠矩形DEFG 是正方形；（2）∠当DE 与AD 的夹角为35°时， 如图2，∠∠ADE＝35°，∠ADC＝90°，∠∠EDC＝55°，∴∠=︒-︒-︒-︒=︒EFC360909055125,∠当DE与DC的夹角为35°时，DC EF交于H，如图3，即,∠=∠=︒∠=∠DEH DCF DHE FHC90,,∠EDC＝∠EFC＝35°，综上所述：∠EFC＝35°或125°．∥，以DC，DE为边作平行四边形DCFE，EC的延长线交AF 3．如图所示，四边形ACED中，CE AD=.于B，求证：AB FB【详解】证明：如图，延长FC交AD于点G，∠四边形CDEF为平行四边形，∠CF∠DE，CF=DE，又∠CE∠AD，∠四边形CEDG为平行四边形，∠CG=DE，∠CF=CG，且BC∠AG，∠BC是∠F AG的中位线，∠B为AF的中点，即AB=FB．4．如图1，已知正方形ABCD和正方形CEGF，点,,F C B在同一直线上，连接BE，DF，DF与EG相交于点M．（1）求证：BE FD=．（2）如图2，N是BC边上的一点，连接AN交BE于点H，且BN GM BC GE=．∠求证：BN EC =； ∠若2CE DE =，直接写出BNAB的值． 【详解】解：（1）∠四边形ABCD 和四边形CEGF 是正方形， ∠BC=CD=AB ，CE=CF ，∠BCE=∠DCF=90° ∠∠BCE∠∠DCF （SAS ）， ∠BE=FD ；（2）∠∠四边形ABCD 和四边形CEGF 是正方形， ∠CD//GE ，GF=EC ∠DEM FGM ，∠==GM GF ECEM DE DE ∠=GM ECEG DC∠BN GMBC GE=∠=BN ECBC DC∠BC=CD ∠BN EC = ∠∠2CE DE = ∠23=CE DC ∠BN EC =∠23= BNDC∠AB=CD∠23= BNAB5．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt∠BEF绕点B旋转，BE＝BF，连结AE，CF．（1）求证：∠ABE∠∠CBF．（2）如图2，连结DE，当DE＝BE时，求S∠BCF的值．（3）如图3，当Rt∠BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+2PG的值最小时，求MP的值．【详解】解：（1）∠四边形ABCD是正方形，∠AB＝BC，∠ABC＝90°，∠∠EBF＝90°＝∠ABC，∠∠ABE＝∠CBF，又∠BE＝BF，AB＝BC，∠∠ABE∠∠CBF（SAS）；∠∠ABE∠∠CBF，∠S∠ABE＝S∠CBF，∠AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∠∠ADE∠∠ABE（SSS），∠∠DAE＝∠BAE＝45°，∠EH∠AB，∠∠EAB＝∠AEH＝45°，∠AH＝EH，∠BE2＝BH2+EH2，∠10＝BE2+（4﹣BE）2，∠BE＝1或3，当BE＝1时∠S∠ABE＝S∠CBF＝12AB×EH＝12×4×1＝1，当BE＝3时∠S∠ABE＝S∠CBF＝12AB×EH＝12×4×3＝6，由（1）同理可得∠ABE∠∠CBF，∠∠EAB＝∠BCF，∠∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∠∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∠∠AGC＝90°，∠∠AGC＝∠ADC＝90°，∠点A，点G，点C，点D四点共圆，∠∠ACD＝∠AGD＝45°，∠PK∠AG，∠∠PGK＝∠GPK＝45°，∠PK＝GK PG，PG＝MP+PK，∠MP+2PG值最小，∠当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+2如图4，过点B 作BQ ∠CF 于Q ，∠BE ＝BF ，∠EBF ＝90°，BQ ∠EF ，∠EF ＝BQ ＝EQ ＝FQ∠CQ∠CE ＝CQ ﹣EQ ∠MK ∠AE ，CE ∠AE ， ∠MK ∠CE ， ∠DM MPDC CE=， 又∠M 是CD 的中点， ∠DC ＝2DM ，∠MP ＝12CE ． 6．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 均为中点，连接AF 、DE 交于点P ，连接PC ，证明：PE PF +=．【详解】证明：如图，延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ， 在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点， CE DF ∴=，在ADF 和DCE 中，,90,,AD CD ADF DCE DF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ADF DCE SAS ∴△≌△，AFD DEC ∴∠=∠， CFP CEN ∴∠=∠，在CEN 和CFP 中，,,,CE CF CEN CFP EN PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEN CFP SAS ∴△≌△，CN CP ∴=，ECN PCF ∠=∠，90PCF BCP ∠+∠=︒，90ECN BCP NCP ∴∠+∠=∠=︒， NCP ∴△是等腰直角三角形，PN PE NE ∴=+=．即PE PF +=．7．如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，过点B 作BG AE ⊥于G ，延长BG 至点F 使45CFB ︒∠=． （1）求证：BAG CBF ∠=∠； （2）求证：AG FG =；（3）若2,GF BG CF ==AB 的长．【详解】（1）证明：因为ABCD 是正方形 所以90ABG CBF ︒∠+∠=在三角形BGA 中，因为,BG AE BAG CBF ⊥∴∠=∠ （2）过点C 作CH BF ⊥，,AG BF CH BF ⊥⊥90AGB BHC ︒∴∠=∠=因为ABCD 是正方形， 所以AB =BC ，由（1）BAG CBF ∴∠=∠ 所以AGB BHC ∆≅∆,AG BH BG CH ∴==在三角形CHF 中，45,CBF FH CH ︒∠==GF GH FH GH CH GH BG BH AG ∴=+=+=+==，所以AG FG =． （3）在三角形CHF 中，45,2CFB CF ︒∠==1CH HF ∴== BG CH =2CF BG = 2FG ∴=AG FG =∴=AB8．已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上．（1）如图1，DE∠FG，求证：BF＝AE+AG；（2）如图2，DE∠DF，P为EF中点，求证：BE PC；（3）如图3，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若CD＝4，BF＝DG＝1，则线段EH的长为．【详解】解：（1）如图1，过点G作GM∠BC于M，则∠GMB＝∠GMF＝90°，∠四边形ABCD是正方形，∠AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，∠四边形ABMG是矩形，∠AG＝BM，韩哥智慧之窗-精品文档∠DE∠GF，∠∠ADE+∠DGF＝∠ADE+∠AED＝90°，∠∠AED＝∠DGF，又∠DGF＝∠MFG，∠∠AED＝∠MFG，∠∠DAE∠∠GMF（AAS），∠AE＝MF，则BF＝BM+MF＝AG+AE；（2）如图2，过点E作EQ∠PC，交BC于点Q，∠P是EF的中点，∠PC是∠EQF的中位线，则EQ＝2PC，QC＝CF，∠∠ADC＝∠EDF＝90°，∠∠ADE＝∠CDF，又∠∠A＝∠DCF＝90°，AD＝CD，∠∠ADE∠∠CDF（ASA），∠AE＝CF＝QC，∠AB＝BC，∠BE＝BQ，则∠BEQ＝45°，∠EQ BE，则2PC，∠BE PC；（3）如图3所示，作BM∠GF交AD于M，作BN∠EH交CD于N，则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形，∠BM＝GF，BF＝MG＝1，BN＝EH，∠DG＝1，CD＝AD＝4，∠AM＝2，延长DC到P，使CP＝AM＝2，∠BA＝BC，∠A＝∠BCP＝90°，∠∠BAM∠∠BCP（SAS），∠∠ABM＝∠CBP，BM＝BP，∠∠GOH＝45°，BN∠EH，BM∠GF，∠∠MBN＝45°，∠∠ABM+∠CBN ＝45°，∠∠CBP+∠CBN ＝45°，即∠PBN ＝45°， ∠∠MBN∠∠PBN （SAS ）， ∠MN ＝PN ，设CN ＝x ，则MN ＝PN ＝CN+PC ＝x+2，DN ＝4﹣x ，在Rt∠DMN 中，由DM 2+DN 2＝MN 2可得22+（4﹣x ）2＝（x+2）2， 解得x ＝43，则EH ＝BN 3，．9．已知：四边形ABCD 为正方形，AMN ∆是等腰Rt ∆，90AMN ∠=︒．（1）如图：当Rt AMN ∆绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 相交于点E 、F ，连接EF ，试证明：EF DF BE =+．（2）如图，当Rt AMN ∆绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 的延长线相交于点E 、F ，连接EF ．∠试写出此时三线段EF 、DF 、BE 的数量关系并加以证明．∠若6CE =，2DF =，求：正方形ABCD 的边长以及AEF ∆中AE 边上的高． 【详解】（1）证明：如图1，延长CB 到G ，使BG=DF ，连接AG ，∠四边形ABCD 是正方形，∠∠D=∠ABC=∠DAB=∠ABG=90°，AD=AB ， 在∠ADF 和∠ABG 中，AD AB D ABG DF BG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∠∠ADF∠∠ABG （SAS ）， ∠AG=AF ，∠DAF=∠BAG ，∠∠EAF=45°，∠∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠DAF=45°， ∠∠EAF=∠EAG ， ∠AE=AE ， ∠∠EAF∠∠EAG ，∠EF=EG=EB+BG=EB+DF ．（2）∠三线段EF 、DF 、BE 的数量关系是：EF BE DF =-，理由如下: 如图2，在BC 上取一点G ，使BG DF =连接AG ，同(1)可证ABG ADF ∆∆≌， ∠AG=AF ，∠DAF=∠BAG ， ∠AMN ∆是等腰直角三角形， ∠45MNA N ∠=∠=︒， ∠45FAD DAE ∠+∠=︒， ∠45DAE BAG ∠+∠=︒， ∠90DAB ∠=︒，∠904545GAE FAE ∠=︒-︒=︒=∠，在FAE ∆和GAE ∆中，AF AG FAE GAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()FAE GAE SAS ∆∆≌， ∠EF EG BE BG ==-， ∠BG DF =， ∠EF BE DF =-．∠如图2，过F 作FH∠AE 于H ，设正方形ABCD 的边长是x ，则BC=CD=x ， ∠CE=6，DF=BG=2，∠EF=GE=CG+CE=BC -BG+CE=x -2+6=x+4， 在Rt∠FCE 中，由勾股定理得：EF 2=FC 2+CE 2， ∠（x+4）2=（x+2）2+62， 解得：x=6，∠AG=AF== ∠∠FAM=45°，∠FH=2AF=2⨯， 即∠AEF 中AE边上的高为10．如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，作∠ACD 的平分线交AD 于F ，过F 作直线AC 的垂线交AC 于P ，交CD 的延长线于Q ，又过P 作AD 的平行线与直线CF 交于点E ，连接DE ，AE ，PD ，PB ．韩哥智慧之窗-精品文档（1）求AC，DQ的长；（2）四边形DFPE是菱形吗？为什么？（3）探究线段DQ，DP，EF之间的数量关系，并证明探究结论；（4）探究线段PB与AE之间的数量关系与位置关系，并证明探究结论．【详解】解：（1）=，∠CF平分∠BCD，FD∠CD，FP∠AC，∠FD=FP，又∠FDQ=∠FPA，∠DFQ=∠PFA，∠∠FDQ∠∠FPA（ASA），∠QD=AP，∠点P在正方形ABCD对角线AC上，∠CD=CP=a，∠QD=AP=AC-PC=)1a；（2）∠FD=FP，CD=CP，∠CF垂直平分DP，即DP∠CF，∠ED=EP，则∠EDP=∠EPD，∠FD=FP，∠∠FDP=∠FPD，而EP∠DF，∠∠EPD=∠FDP，韩哥智慧之窗-精品文档∠∠FPD=∠EPD，∠∠EDP=∠FPD，∠DE∠PF，而EP∠DF，∠四边形DFPE是平行四边形，∠EF∠DP，∠四边形DFPE是菱形；（3）DP2+ EF2=4QD2，理由是：∠四边形DFPE是菱形，设DP与EF交于点G，∠2DG=DP，2GF=EF，∠∠ACD=45°，FP∠AC，∠∠PCQ为等腰直角三角形，∠∠Q=45°，可得∠QDF为等腰直角三角形，∠QD=DF，在∠DGF中，DG2+FG2=DF2，∠有（12DP）2+（12EF）2=QD2，整理得：DP2+ EF2=4QD2；（4）∠∠DFQ=45°，DE∠FP，∠∠EDF=45°，又∠DE=DF=DQ=AP=)1a，AD=AB，∠∠ADE∠BAP（SAS），∠AE=BP，∠EAD=∠ABP，延长BP，与AE交于点H，∠∠HPA=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠DAE，∠PAB+∠DAE+∠HAP=90°，∠∠HPA+∠HAP=90°，∠∠PHA=90°，即BP∠AE，综上：BP与AE的关系是：垂直且相等.11．如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合（四）1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P在斜边AB上，点D、E、F分别是线段PA、PB、PC的中点，易知△DEF是直角三角形．“现把△DEF以点P为中心，顺时针旋转α，其中0°＜α＜360°．连接AD、BE、CF．（1）操作发现如图2，若点P是AB的中点，连接PF，可以发现＝，＝；（2）类比探究如图3，Rt△ABC中，CP⊥AB于点P，请判断与的大小，结合图2说明理由；（3）拓展提高在（2）的条件下，如果∠CAB＝30°，且AB＝4，在△DEF旋转的过程中，当以点C、D、F、P四点为顶点的四边形与以点B、E、F、P四点为顶点的四边形都是平行四边形时，直接写出线段AD、CF、BE的长．2．如图，四边形ABCO是菱形，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．若点A的坐标为（﹣5，12），直线AC与y轴相交于点D，连接BD．（1）求菱形ABCO的边长；（2）证明△DCB为直角三角形；（3）直线BD上是否存在一点P使得△BCP的面积与△BCA的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上．点C的坐标为（4，2）．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．（1）①点B的坐标．②求菱形ABCD的面积；（2）当t＝3时，问线段AC上是否存在点E，使得PE+DE最小，如果存在，求出PE+DE 最小值；如果不存在，请说明理由；（3）若点P到AC的距离是1，则点P运动的时间t等于．4．如图，正方形OABC中，O为坐标原点，点A、点C分别落在y轴、x轴上，点B坐标为（﹣4，4），点D为x轴上任意一点，将线段DA绕点D逆时针旋转90°，得对应线段为DE，作直线EC交y轴于点F．（1）如图（1），当点D为OC的中点时，求点E的坐标；（2）如图（2），当点D在边OC上任意移动时，猜想：点F的位置是否发生变化？若不变，求出点F的坐标，若改变，请说明理由；（3）如图（3），当点D在x轴的正半轴上移动时，请在图（3）画出图形（不保留作图痕迹），并直接回答点F的位置与（2）中猜想的结论是否一致．答：（填“一致”或“不一致”）．5．如图2，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小长方形，EF与GH交于点P，设BF长为a，BG长为b，△GBF的周长为m．（1）①用含a，b，m的式子表示GF的长为．②用含a，b的式子表示长方形EPHD的面积为．（2）已知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，例如在图1△ABC中，∠ABC＝90°，则AB2+BC2＝AC2．请用上述知识解决下列问题：①写出a，b，m满足的等式．②若m＝1，求长方形EPHD的面积．③当m满足什么条件时，长方形EPHD的面积是一个常数？6．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的一个动点，把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F 处，过点F作GH∥CE，分别交AB、CD于点G、H．（1）求证：△EFG是等腰三角形；（2）如图①，若F是GH中点，求∠FGE的度数；（3）如图②，若点G与点A重合，AB＝30，BC＝20，求FH的长．7．（1）【探索发现】如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN 绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为．（2）【类比延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M，N分别在边BC，CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．（3）【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD于点A，∠DAN＝15°，请直接写出△CMN 的周长．8．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C 作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE，（1）求证：△DHC≌△CEB；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD 的面积为S 1，四边形DEGH 的面积为S 2，当的值为时，的值为 ．9．四边形ABCD 中，E 为边BC 上一点，F 为边CD 上一点，且∠AEF ＝90°． （1）如图1，若ABCD 为正方形，E 为BC 中点，求证：＝．（2）若ABCD 为平行四边形，∠AFE ＝∠ADC ， ①如图2，若∠AFE ＝60°，求的值．②如图3，若AB ＝BC ，EC ＝2CF ，直接写出cos ∠AFE 值为 ．10．如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝13，BD ＝24，在菱形ABCD 的外部以AB 为边作等边三角形ABE ．点F 是对角线BD 上一动点（点F 不与点B 重合），将线段AF 绕点A 顺时针方向旋转60°得到 线段AM ，连接FM ．（1）线段AO 的长为 ；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AM＝AC；（3）连接EM．若△AFM的周长为3，请直接写出△AEM的面积．参考答案1．解：（1）如图2中，连接PF，BE．∵∠ACB＝90°，AP＝PB，∴PC＝PA＝PB，∵∠DFE＝90°，PD＝PE，∴PF＝PD＝PE，∵∠APC＝∠DPF，∴∠APD＝∠CPF，∴△APD≌△CPF（SAS），∴AD＝CF，∴＝1，同法可证，△BPE≌△CPF，∴CF＝BE，∴＝1．故答案为1，1．（2）结论：＝．理由：如图3中，连接PF．∵PC⊥AB，PF⊥DE，∴∠APC＝∠DPF＝90°，∵△APC∽△DPF，∴＝，∴＝，∵∠APC＝∠DPF＝90°，∴∠APD＝∠CPF，∴＝，同法可证，△CPF∽△BPE，∴＝，∵∠ACB＝90°，CP⊥AB，∴△APC∽△CPB，∴＝，∴＝．（2）如图4﹣1中，当PC∥DF时，∵∠CAB＝30°，∠APC＝90°，∴PC＝AC，∵DF＝AC，∴DF＝PC，∴四边形PCFD是平行四边形，∵∠EFD＝90°，∴EF⊥DF，∴EF⊥PC，∵PC⊥AB，∴PB∥EF，同法可证，BP＝EF＝BC，∴四边形PBEF是平行四边形，∴BE∥PF，∴∠BEP＝∠EPF＝90°，∵AB＝4，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，∵CP⊥AB，∠ABC＝60°，∴∠CPB＝90°，∠PCB＝30°，∴PB＝PB＝1，∵∠EPB＝∠DEF＝60°，∴BE＝PB•sin60°＝，由（2）可知，＝＝＝，∴CF＝，AD＝．如图4﹣2中，当点D落在AC上时，四边形CDPF是矩形，四边形PEBF是矩形，此时BE＝PF＝，由（2）可知，＝＝＝，∴CF＝，AD＝．综上所述，BE＝，CF＝，AD＝．2．解：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，AM＝12，OM＝5，∴，（2）∵四边形ABCO为菱形，∴OC＝OA＝13，∴C（13，0），又∵AB∥OC，∴B（8，12），又∵A（﹣5，12），∴，∴点，∴，，因此，BD2+BC2＝DC2，所以△BCD为直角三角形；（3）延长BD交AO于点P，∵AO∥BC，∴S△BCP ＝S△BCA，∵A（﹣5，12），∴，由（2）知，联立得：，解得，所以点，作P关于点B的对称点P′，可根据中点得：∴，综上，点P为或．3．解：（1）①∵C（4，2），∠AOD＝90°，∴DC＝AD＝4，DO＝2，∴OA＝＝2，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝4．∴OB＝AB﹣OA＝2．∴B（2，0）．故答案为：（2，0）．②∵在菱形ABCD中，DC＝AB＝4，OD＝2，∴菱形ABCD的面积＝AB•OD＝4×2＝8．（2）如图1所示：在菱形ABCD中，点P关于AC的对称点为P'，AP'＝3，连接DP'交AC于点E，连接PE，∴PE+DE＝P'E+ED＝P'D．∵OA＝2，OD＝2，∴OP'＝1，在Rt△DOP'中，∵DO2+P'O2＝P'D2，∴．∴PE+DE的最小值为．（3）如图2所示：①当点P在AD上时，过点P作PE⊥AC，垂足为E．由菱形的性质可知：∠PAE＝∠DAB＝30°，∵PE＝1，∠PAE＝30°，∠PEA＝90°，∴AP＝2．∴t＝2．②当点P在DC上时，如图3所示：由菱形的性质可知：∠PCE＝∠DCB＝30°，∵PE＝1，∠PCE＝30°，∠PEC＝90°，∴CP＝2．∴AD+DP＝4+2＝6．∴t＝6．③如图4所示：当点P在BC上时．由菱形的性质可知：∠PCE＝∠DCB＝30°，∵PE＝1，∠PCE＝30°，∠PEC＝90°，∴CP＝2．∴AD+DC+CP＝4+4+2＝10．∴t＝10．④如图5所示；点P在AB上时．由菱形的性质可知：∠PAE＝∠DAB＝30°，∵PE＝1，∠PAE＝30°，∠PEA＝90°，∴AP＝2．∴AD+DC+BC+BP＝4+4+4+2＝14．∴t＝14．综上所述，当t＝2或t＝6或t＝10或t＝14时，点P到AC的距离是1．故答案为：2，6，10，14．4．解：（1）如图1中，过点E作EH⊥OC于H．∵四边形OABC是正方形，B（﹣4，4），∴OA＝OC＝4，∵D是OC中点，∴CD＝OD＝2，∵∠EHD＝∠AOD＝∠ADE＝90°，∴∠EDH+∠ADO＝90°，∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠EDH＝∠DAO，∵DE＝DA，∴△DHE≌△AOD（AAS），∴EH＝OD＝2，DH＝OA＝4，∴OH＝DH+OD＝6，∴E（﹣6，2）．（2）点F的位置不变化．理由如下：∵△DHE≌△AOD，∴DH＝OA，EH＝OD，∵OA＝OC，∴DH＝CO，∴CH＝OD＝EH，∵∠EHC＝90°，∴∠ECH＝∠OCF＝45°，∵∠COF＝90°，∴∠OCF＝∠OFC＝45°，∴OF＝OC＝4，∴F（0，﹣4）．（3）一致．理由如下：过点E作EH⊥OC于H，同法可证△DHE≌△AOD，∴DH＝OA，EH＝OD，∵OA＝OC，∴DH＝CO，∴CH＝OD＝EH，∵∠EHC＝90°，∴∠ECH＝∠OCF＝45°，∵∠COF＝90°，∴∠OCF＝∠OFC＝45°，∴OF＝OC＝4，∴F（0，﹣4）．故答案为一致．5．解：（1）①∵BF长为a，BG长为b，△GBF的周长为m，∴GF＝m﹣a﹣b，故答案为：m﹣a﹣b；②∵正方形ABCD边长为1，∴AB＝BC＝1，∵BF长为a，BG长为b，∴AG＝1﹣b，FC＝1﹣a，∴EP＝AG＝1﹣b，PH＝FC﹣1﹣a，∴长方形EPHD的面积为：（1﹣a）（1﹣b）＝1﹣a﹣b+ab，故答案为：1﹣a﹣b+ab；（2）①∵△ABC中，∠ABC＝90°，则AB2+BC2＝AC2．∴在△GBF中，GF＝m﹣a﹣b，∴（m﹣a﹣b）2＝a2+b2，化简得，m2﹣2ma﹣2mb+2ab＝0，故答案为：m2﹣2ma﹣2mb+2ab＝0；②∵BF长为a，BG长为b，∴AG＝1﹣b，FC＝1﹣a，在Rt△GBF中，GF2＝BF2+BG2＝a2+b2，∵△GBF的周长为m＝1，∴BF+BG+GF＝a+b+＝1，即＝1﹣a﹣b，两边平方得，a2+b2＝12﹣2（a+b）+（a+b）2，整理得，1﹣2a﹣2b+2ab＝0，∴a+b﹣ab＝，∴长方形EPHD的面积为：PH•EP＝FC•AG＝（1﹣a）（1﹣b）＝1﹣a﹣b+ab＝1﹣＝；③由①得：m2﹣2ma﹣2mb+2ab＝0，∴ab＝ma+mb﹣m2，∴长方形EPHD的面积为：PH•EP＝FC•AG＝（1﹣a）（1﹣b）＝1﹣a﹣b+ab＝1﹣a﹣b+ma+mb﹣m2＝1+（m﹣1）a+（m﹣1）b﹣m2，所以要使长方形EPHD的面积是一个常数，只要m＝1．6．解：（1）∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，∴∠BEC＝∠FEC，∵GH∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∠GFE＝∠FEC，∴∠EGF＝∠EFG，∴EG＝EF，∴△EFG是等腰三角形；（2）如图①，取CE的中点M，连接FM，∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，∴∠EFC＝∠B＝90°，∴EM＝FM，∵AB∥CD，GH∥CE，∴四边形GECH是平行四边形，∴GH＝CE，∵F是GH中点，∴FG＝EM，∴四边形GEMF是平行四边形，∴GE＝FM，由（1）知，GE＝EF，∴EG＝GF＝EF，∴△EFG是等边三角形，∴∠FGE＝60°；（3）由（2）知，BE＝EF，AE＝EF，∴AE＝BE＝AB＝15，∴CH＝AE＝15，∴DH＝30﹣15＝15，∴AH＝＝＝25，如图②，过E作EN⊥AF于N，∴∠ANE＝∠B＝90°，∵CE∥AH，∴∠EAN＝∠BEC，∴△AEN∽△ECB，∴＝，∴＝，∴AN＝9，∴AF＝18，∴FH＝25﹣18＝7．7．解：（1）如图1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN，∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝8，∴BM+CM+CN+DN＝8，∴BC+CD＝8，∴BC＝CD＝4，故答案为4；（2）如图2中，结论：MN＝NM+DN．延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM，在△MAN和△MAE中，，∴△MAN≌△MAE（SAS），∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN；（3）如图3，延长BA，CD交于G，∵∠BAM＝60°，∠MAD＝90°，∴∠BAD＝150°，∴∠GAD＝30°，∵AD＝2，∴DG＝1，AG＝，∵∠DAN＝15°，∴∠GAN＝45°，∴AG＝GN＝，∴BG＝2+，∴BC＝2BG＝4+2，CG＝BG＝2+3，∴CD＝CG﹣DG＝2+2，由（2）得，MN＝BM+DN，∴△CMN的周长＝CM+CN+MN＝CN+DN+CM+BM＝BC+CD＝4+2+2+2＝6+4．8．证明（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，∴∠DHC+∠DCH＝90°，∵CH⊥BE，∴∠EFC＝90°，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∴∠CHD＝∠BEC，∴△DHC≌△CEB（AAS）．（2）解：∵△DHC≌△CEB，∴CH＝BE，DH＝CE，∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，∴DH＝BC，∵DH∥BC，∴．∴GC＝2GH，设GH＝x，则，则CG＝2x，∴3x＝8，∴x＝．即GH＝．（3）解：∵，∴，∵DH＝CE，DC＝BC，∴，∵DH∥BC，∴，∴，，设S△DGH ＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，∴S△BCD＝49a+21a＝70a，∴S1＝2S△BCD＝140a，∵S△DEG ：S△CEG＝4：3，∴S△DEG＝12a，∴S2＝12a+9a＝21a．∴．故答案为：．9．（1）证明：如图1中，设正方形的边长为2a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，∴∠AEB＝∠EFC，∴△ABE∽△ECF，∴，∵BE＝EC＝a，AB＝CD＝2a，∴CF＝a，DF＝CD﹣CF＝a，∴．（2）①在AD上截取DM＝DF，连接MF．∵∠ADC＝60°，∴△DMF是等边三角形，∴DF＝MF，∠DMF＝∠DFM＝60°，∴∠AMF＝120°，∵四边形ABCD为平行四边形，AD∥BC，∴∠ECF＝120°，∴∠AMF＝∠ECF，∵∠AFE＝60°，∴∠AFM+∠EFC＝60°，∵∠EFC+∠FEC＝60°，∴∠AFM＝∠FEC，∴△AMF∽△FCE，∴，∵∠AFE＝60°，∠AEF＝90°，∴，∴．②如图3，作FT＝FD交AD于点T，作FH⊥AD于H，则∠FTD＝∠FDT，∴180°﹣∠FTD＝180°﹣∠D，∴∠ATF＝∠C，又∵∠TAF+∠D＝∠AFE+∠CFE，且∠D＝∠AFE，∴∠TAF＝∠CFE，∴△FCE∽△ATF，∴，设CF＝2，则CE＝4，可设AT＝x，则TF＝2x，AD＝CD＝2x+2，∴DH＝DT＝，且，由cos∠AFE＝cos∠D，得，解得x＝6，∴cos∠AFE＝．故答案为：．10．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝12，在Rt△AOB中，AB＝13，根据勾股定理得，AO＝＝＝5，故答案为5；（2）由旋转知，AM＝AF，∠MAF＝60°，∴△AMF是等边三角形，∴∠AFM＝60°，∵点M，F，C三点在同一条直线上，∴∠AFC＝180°﹣∠AFM＝120°，∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∴OA＝OC＝AC，在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠AFO＝∠AFC＝60°，在Rt△AOF中，sin∠AFO＝，AF＝＝＝OA＝AC，∴AM＝AC；（3）①当点F在线段OB上时，如图，由（2）知，△AMF是等边三角形，∵△AFM的周长为3，∴AF＝，在Rt△AOF中，根据勾股定理得，OF＝＝2，∴BF＝OB﹣OF＝12﹣2＝10，连接EM，∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝13，∠BAE＝60°，由（1）知，AM＝AF，∠FAM＝60°，∴∠BAE＝∠EAM，∴∠EAM＝∠BAF，∴△AEM≌△ABF（SAS），∴EM＝BF＝10，∠AEM＝∠ABF，过点M作MN⊥AE于N，∴∠MNE＝∠AOB＝90°，∴△MNE∽△AOB，∴，∴，∴MN＝，∴S＝AE•MN＝×13×＝25，△AEM②当点F在OD上时，同①的方法得，MN＝，S＝AE•MN＝×13×＝35，△AEM即：△AEM的面积为25或35．。

2021年中考九年级数学专题复习过关训练：四边形综合型压轴题1、如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．2、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．3、在⊥ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知⊥A=60°；（1）若BC =8，AB =6，当AP 的长为多少时，⊥CPE 的面积最大，并求出面积的最大值． （2）试探究当⊥CPE ⊥⊥CPB 时，⊥ABCD 的两边AB 与BC 应满足什么关系？4、已知：如图9，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE ⊥AP ，DF ⊥AP ，垂足分别是E 、F ．(1)求证：EF=AE–BE ；(2)连接BF ，如果BF AF ADDF，求证：EF=EP ．5、如图，在⊥ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF=BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形．6、如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，BF 平分ABC ∠，交AD于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD . （1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若4AB =，6AD =，60ABC ∠=︒，求tan ADP ∠的值.7、如图1，2,已知四边形ABCD 为正方形,在射线AC 上有一动点P ，作PE ⊥AD (或延长线)于E ，作PF ⊥DC (或延长线)于F ，作射线BP 交EF 于G .（1）在图1中,设正方形ABCD 的边长为2, 四边形ABFE 的面积为y , AP =x ，求y 关于x 的函数表达式．（2）结论GB ⊥EF 对图13，图14都是成立的，请任选一图形给出证明； （3）请根据图14证明：△FGC ∽△PFB ．8、在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE DE ，，其中DE 交直线AP 于点F ．（1）依题意补全图1；（2）若20PAB ∠=︒，求ADF ∠的度数；（3）如图2，若4590PAB ︒<∠<︒，用等式表示线段AB FE FD ，，之间的数量关系，并证明．9、如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，点P 为AB 边上一动点，OP 交AC 于点Q ． （1）求证：⊥APQ ⊥⊥CDQ ；（2）P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位长度的速度向B 点移动，移动时间为t 秒． ①当t 为何值时，DP ⊥AC ？图 1PD CBA A BCDP图 2②设S⊥APQ+S⊥DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．10、如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，⊥AEP=90°，且EP 交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．11、分别以□ABCD （CDA ∠≠90°） 的三边AB ，CD ，DA 为斜边作等腰直角三角形，△ABE ，△CDG ，△ADF .（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF ，EF ．请判断GF与EF 的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF ，EF ，(1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.12、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点O 为对角线BD 的中点，点P 从点A 出发，沿折线AD ﹣DO ﹣OC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与⊥ABD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动的时间为t （秒）． （1）求点N 落在BD 上时t 的值；（2）直接写出点O 在正方形PQMN 内部时t 的取值范围；（3）当点P 在折线AD ﹣DO 上运动时，求S 与t 之间的函数关系式； （4）直接写出直线DN 平分⊥BCD 面积时t 的值．ABCDGF E图1ABCDGFE图213、菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O ，4AC BD ==,动点P 在线段BD 上从点B 向点D 运动，PP ′⊥AB 于点P ′，四边形PFBG 关于BD 对称。

2021中考数学一轮专题训练：正方形及四边形综合问题一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列说法错误的是()A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形2. 下列说法，正确的个数有 ()①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线相等;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个3. 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了()A.1次B.2次C.3次D.4次4. 如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE=1，将△ADE 绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF=()A.B.C.5D.25. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是()A. 3B. 4C. 5D. 66. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E，F分别在边BC和CD上，AE=AF，∠EAF=60°，则CF的长是()A.B.C.-1 D.7. （2020·威海）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE，BF．下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形B．若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形C．若AE＝5，则四边形DEBF为菱形D．若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形8. （2020·温州）如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为A．14 B．15 C．D．9. （2020·湖北孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A 顺时针旋转90°，到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G，若BG=3，CG=2，则CE的长为( )A. B. C.4 D.10. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A.3＋318 B.3＋118 C.3＋36D.3＋16二、填空题（本大题共7道小题）11. 将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置(如图)，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD=.(结果保留根号)12. 如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是.13. 以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是.14. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，若△EFC的周长为12，则EC的长为.15. 如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC 的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．16. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q，R分别与图②中的点E，G 重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.17. 如图，正方形ABCD的面积为3 cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F 为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N.若MN＝AE，则AM的长等于________cm.三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED 交DE于点F，交CD于点G.(1)求证:△ADG≌△DCE;(2)连接BF，求证:AB=FB.19. 如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM.(1)如图①，点E在CD上，点G在BC的延长线上，判断DM，EM的数量关系与位置关系，请直接写出结论.(2)如图②，点E在DC的延长线上，点G在BC上，(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论.20. 如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝8 cm，CD＝10 cm，AD ＝6 cm，点E从点A出发，沿A→D→C方向运动，运动速度为2 cm/s，点F同时从点A出发，沿A→B方向运动，运动速度为1 cm/s.设运动时间为t(s)，△CEF 的面积为S(cm2)．(1)当0≤t≤3时，t＝________，EF＝10.(2)当0≤t≤3时(如图①)，求S与t的函数关系式，并化为S＝a(t－h)2＋k的形式，指出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？(3)当3≤t≤8时(如图②)，求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？21. （2020·河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为.连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE.(1)如图1，当=60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出BBCE′的值为；(2)当0°＜＜360°且≠90°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BEB E′的值.2021中考数学一轮专题训练：正方形及四边形综合问题-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】B4. 【答案】D[解析]由旋转的性质可知，△ADE≌△ABF，∴BF=DE=1，∴FC=6，∵CE=4，∴EF===2.故选:D.5. 【答案】B【解析】设CH＝x，∵BE∶EC＝2∶1，BC＝9，∴EC＝3，由折叠可知，EH＝DH＝9－x，在Rt△ECH中，由勾股定理得：(9－x)2＝32＋x2，解得：x＝4.6. 【答案】C[解析]连接EF.∵AE=AF，∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠D=∠C=90°，AB=AD，∴Rt△ABE ≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF，∴EC=CF.设CF=x，则EC=x，AE=EF==x，BE=1-x.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，∴1+(1-x)2=(x)2，解得x=-1(舍负).故选C.7. 【答案】：∵O为BD的中点，∴OB＝OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDO＝∠EBO，∠DFO＝∠OEB，∴△FDO≌△EBO（AAS），∴OE＝OF，∴四边形DEBF为平行四边形，故A选顶结论正确，若AE＝3.6，AD＝6，∴，又∵，∴，∵∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，∴AED＝∠ADB＝90°．故B选项结论正确，∵AB＝10，AE＝5，∴BE ＝5， 又∵∠ADB ＝90°， ∴DEAB ＝5，∴DE ＝BE ，∴四边形DEBF 为菱形． 故C 选项结论正确，∵AE ＝3.6时，四边形DEBF 为矩形，AE ＝5时，四边形DEBF 为菱形， ∴AE ＝4.8时，四边形DEBF 不可能是正方形． 故D 不正确． 故选：D ．8. 【答案】A【解析】本题主要考查了相似三角形和正方形的性质，由题意知△CDP ∽△CBQ ，所以CD DPCB BQ =，即2CD CD PECB CB PE-=-，解得：BC ＝2CD ，所以CQ ＝2CP ，则CP ＝5，CQ ＝10，由于PQ ∥AB ，所以∠CBA ＝∠BCQ ＝∠DCP ，则tan ∠BCQ ＝tan ∠DCP ＝tan ∠CBA ＝12，不妨设DP ＝x ，则DC ＝2x ，在R t △DCP 中，22(2)25x x +=，解得x.∴DC ＝，BC ＝，所以AB ＝10，△ABC的斜边上的高＝4AC BC AB ⋅==,所以CR ＝14，所以因此本题选A ．9. 【答案】B【解析】由旋转的性质得△ABF ≌△ADE ，∴BF=DE ，AF=AE ，又∵AH ⊥EF ，∴FH=EH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C=90°，∠EFC=∠EFC ，∴△FHG ∽△FCE ，∴FG FHFE FC=， ∵BG=3，CG=2，∴BC=5，设EC=x ，则BF=DE=5-x ，FG=BG+BF=3+5-x =8-x ，CF=BC+BF=5+5-x =10-x ，EF=22EC CF +=，FH=22(10)x x +-,210x =-，解得：x =154.故选B.10. 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫72，0D 解析：过小正方形的一个顶点D 3作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点A 3作A 3F ⊥FQ 于点F .∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴∠B 3C 3E 4＝60°，∠D 1C 1E 1＝30°，∠E 2B 2C 2＝30°， ∴D 1E 1＝12D 1C 1＝12，∴D 1E 1＝B 2E 2＝12，∴cos30°＝B 2E 2B 2C 2＝12B 2C 2，解得：B 2C 2＝33.∴B 3E 4＝36，cos30°＝B 3E 4B 3C 3.解得：B 3C 3＝13.则D 3C 3＝13. 根据题意得出：∠D 3C 3Q ＝30°，∠C 3D 3Q ＝60°，∠A 3D 3F ＝30°， ∴D 3Q ＝12×13＝16，FD 3＝D 3A 3·cos30°＝13×32＝36. 则点A 3到x 轴的距离FQ ＝D 3Q ＋FD 3＝16＋36＝3＋16.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】-1 [解析]∵四边形ABCD 为正方形， ∴CD=1，∠CDA=90°，∵边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到正方形FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上， ∴CF=，∠CFE=45°，∴△DFH 为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF -CD=-1.故答案为-1.12. 【答案】8[解析]∵四边形ACDF 是正方形，∴AC=AF ，∠CAF=90°，∴∠CAE +∠BAF=90°， 又∠CAE +∠ECA=90°，∴∠ECA=∠BAF ，则在△ACE 和△F AB 中，∵∴△ACE≌△F AB(AAS)，∴AB=CE=4，∴阴影部分的面积=AB·CE=×4×4=8.13. 【答案】30°或150°[解析]如图①，∵△ADE是等边三角形，∴DE=DA，∠DEA=∠1=60°.∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠2=90°.∴∠CDE=150°，DE=DC，∴∠3=(180°-150°)=15°.同理可求得∠4=15°.∴∠BEC=30°.如图②，∵△ADE是等边三角形，∴DE=DA，∠1=∠2=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠CDA=90°.∴DE=DC，∠3=30°，∴∠4=(180°-30°)=75°.同理可求得∠5=75°.∴∠BEC=360°―∠2―∠4―∠5=150°.故答案为30°或150°.14. 【答案】5[解析]∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴∠F AE=45°，又∵EF⊥AC，∴∠AFE=90°，∴∠AEF=45°，∴EF=AF=3，∵△EFC 的周长为12， ∴FC=12-3-EC=9-EC ，在Rt △EFC 中，EC 2=EF 2+FC 2， ∴EC 2=9+(9-EC )2， 解得EC=5.15. 【答案】55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO中，⎩⎨⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM 1＝15，∴FM ＝55.16. 【答案】4[解析]如图，连接EG ，作GM ⊥EN 交EN 的延长线于M.在Rt △EMG 中，∵GM=4，EM=2+2+4+4=12，∴EG===4，∴EH==4.17. 【答案】233或33 【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎨⎧AB ＝NGAE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm .解图三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】证明:(1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC ，又∵AG ⊥DE ，∴∠DAG +∠ADF=90°=∠CDE +∠ADF ，∴∠DAG=∠CDE ， ∴△ADG ≌△DCE (ASA).(2)如图，延长DE 交AB 的延长线于H ， ∵E 是BC 的中点，∴BE=CE.又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB ，∴△DCE ≌△HBE (ASA)，∴BH=DC=AB ，即B 是AH 的中点. 又∵∠AFH=90°，∴Rt△AFH 中，BF=AH=AB.19. 【答案】解:(1)结论:DM⊥EM，DM=EM.[解析]延长EM交AD于H.∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，∴AD∥EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF，∠AMH=∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，∵∠EDH=90°，∴DM⊥EM，DM=ME.(2)结论不变.DM⊥EM，DM=EM.证明:延长EM交DA的延长线于H.∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，∴AD∥EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF，∠AMH=∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，∵∠EDH=90°， ∴DM ⊥EM ，DM=ME.20. 【答案】(1)2； 【解法提示】根据题意知，AF ＝t ，AE ＝2t ，∵∠A ＝90°，∴AF 2＋AE 2＝EF 2，即t 2＋(2t )2＝(10)2，解得：t ＝2(负值舍去)．(2)当0≤t ≤3时，如解图①，过点C 作CP ⊥AB ，交AB 延长线于点P ，解图①∵∠A ＝∠D ＝90°，∴四边形APCD 是矩形， 则CP ＝AD ＝6 cm ，∵AB ＝8 cm ，AD ＝6 cm ，∴BF ＝(8－t )cm ，DE ＝(6－2t )cm ， 则S ＝S 梯形ABCD －S △AEF －S △CBF －S △CDE ＝12×(8＋10)×6－12×t ×2t －12×(8－t )×6－12×(6－2t )×10 ＝－t 2＋13t＝－(t －132)2＋1694，即S ＝－(t －132)2＋1694，∵当t ＜132时，S 随t 的增大而增大，∴当t ＝3时，S 取得最大值，最大值为30；(3)当3≤t ≤8时，如解图②，过点F 作FQ ⊥CD 于点Q ，解图②由∠A ＝∠D ＝90°，知四边形ADQF 是矩形， ∴FQ ＝AD ＝6 cm ，∵AD ＋DE ＝2t ，AD ＝6 cm ，CD ＝10 cm ， ∴CE ＝(16－2t )cm ，则此时S ＝12×(16－2t )×6＝48－6t ，∵－6＜0，∴S 随t 的增大而减小，∴当t ＝3时，S 取得最大值，最大值为30cm 2．21. 【答案】解： (1). (2)①两个结论仍成立.证明:连接BD.∵AB=AB′，∠BAB′=，∴∠AB′B=90°-2a， ∵∠B′AD=a -90°，AD=AB′，∴∠AB′D=135-2a ，∴∠EB′D=∠AB′D -∠AB′B=45°.∵DE ⊥BB′，∴∠EDB′=∠EB′D=45°，∴△DEB′是等腰直角三角形，∴DB DE′.∵四边形ABCD 为正方形，∴BD CD BDC=45°.∴DB DE ′=BDCD， ∵∠EDB′=∠BDC ，∴∠EDB′+∠EDB=∠BDC+∠EDB ，即∠BDB′=∠CDE.∴△B′DB ∽△EDC ，∴2BB BDCE CD′； ②3或1.思路提示：分两种情况.情形一，如图，当点B′在BE 上时，由BB CE′，设BB′=2m ，.∵CE ∥B′D ，CE=B′D ，∴，在等腰直角三角形DEB′中，斜边，∴B′E=DE=m ，于是得到BE B E ′2=3m mm.情形二，如图，当点B′在BE 延长线上时，由BB CE′，设BB′=2m ，.∵CE ∥B′D ，CE=B′D ，∴，在等腰直角三角形DEB′中，斜边，∴B′E=DE=m 。

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中考数学24题专线训练1。

如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接EF ，若BE =DF ,点P 是EF 的中点．（1） 求证：AE = AF ；（2) 若75AEB ∠=︒， 求CPD ∠的度数．2．如图，正方形ABCD 中，P 在对角线BD 上，E 在CB 的延长线上，且PE=PC ，过点P 作PF⊥A E 于F ，直线PF 分别交AB 、CD 于G 、H ， （1）求证： DH =AG+BE ； （2)若BE=1，AB=3，求PE 的长．3。

如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,∠ABC=90°，DG ⊥BC 于G ，BH ⊥DC 于H,CH=DH,点E 在AB 上，点F 在BC 上，并且EF ∥DC ．（1）若AD=3,CG=2,求CD ；（2）若CF=AD+BF ，求证：2EF=CD ．4．如图1，菱形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连接CE 、CF ． （1）求证：CE=CF ； （2）如图2，若H 为AB 上一点,连接CH ，使∠CHB=2∠ECB ，求证：CH=AH+AB ．HPGF E DCB A密 封 线 内 不 能 答 题5. 如图，在直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点,向外作正方形DBEF ，正方形CDMN ，连接NF ； (1）若20A ∠=°,求CNF ∠的度数； （2)求证：.NF AC BC =+6. 已知：如图, 在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ，DE 交AB 于F.⑴若点G 为DF 的中点，连接AG ，∠AED=2∠DAG,AE=2，求DF 的长；⑵若AE ⊥AB ，BE ⊥DE ，点F 为AB 的中点，求证:FG-EF=BE7．如图，P 为正方形ABCD 边BC 上一点,F 在AP 上，且AF=AD ,FE ⊥AP 交CD 于点E ，G 为CB 延长线上一点,BG=DE ，(1)求证：DAPBAP PAG ∠+∠=∠21（2）若DE =2,AB =4，求AP 的长8．如图,在矩形ABCD 中，点M 、N 在线段AD 上，60MBC NCB ∠=∠=︒，点E 、F 分别为线段CN 、BC 上的点，连接EF 并延长，交MB 的延长线于点G ，EF=FG.(1）点K 为线BM 的中点,.若线段AK=2,MN=3，求矩形ABCD 的面积;（2）求证:MB=NE+BG.K NM GFE DCB ANMPDCBA9．如图,菱形ABCD 中，点E 、M 在AD 上，且CD CM =，点F 为AB 上的点，且12ECF B ∠=∠。