折教版数学八上能力培优2.5～2.6逆命题和逆定理、直角三角形

２．５逆命题和逆定理1. 下列语句正确的是（）（A）、每个定理都有逆定理（B）、每个命题都有逆命题（C）、真命题的逆命题一定是真命题（D）、假命题的逆命题一定是假命题2．下列命题的逆命题正确的是（）（A）、全等三角形的面积相等（B）、全等三角形的对应角相等（C）、直角都相等（D）、全等三角形的三边对应相等3．等腰三角形两底角相等的逆命题是（）（A）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等（B）如果一个三角形的两个底角相等，那么它是等腰三角形（C）两底角相等的三角形是等腰三角形（D）有两个角相等的三角形是等腰三角形4. 下列定理有逆定理的是（）（A）对顶角相等（B）成轴对称的两个图形是全等图形（C）等边三角形是等腰三角形（D）两直线平行，同位角相等5. 已知下列命题：①若a=b，则a2=b2；②若x＞0，则|x|=x；③两直线平行，内错角相等；④直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）（A）．1个（B）．2个（C）．3个（D）．4个6．命题“两直线平行，内错角相等”的条件是_________，结论是________，这个命题的逆命题的条件是___________，结论是__________．7．命题“如果a>0，b>0，那么ab>0”的条件是___________，结论是_________，•这个命题的逆命题是___________．8. 命题：“质数都是奇数“的逆命题是：9．命题：“绝对值相等的两个数一定是相反数”的逆命题是：10. 线段垂直平分线性质定理的逆定理是____________ _______．11.写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。

(1)相等的角是内错角；(2)有一个角是60°的三角形是等边三角形．12．已知命题“若a＞b，则a2＞b2”．(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；(2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例13．写出符合下列条件的一个原命题：（1）原命题和逆命题都是真命题．（2）原命题是真命题，但逆命题是假命题．14．已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．(1)写出此命题的逆命题；(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”，“求证”，“证明”；如果是假命题，请举反例说明．15．如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.(1)求证：PA＝PB＝PC.(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？２．５逆命题和逆定理1、B2、D3、D4、D5、B6、两直线平行、内错角相等、内错角相等、两直线平行，7、a>0 b>0、ab>0、如果ab>0那么a>0，b>08、奇数都是质数9、互为相反数的两个数绝对值一定相等10、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上11、(1) 内错角是相等的角；假命题 (2) 等边三角形有一个角是60°；真命题12、（1）假命题，反例略（2）若a2＞b2，则a＞b 假命题，反例略13、（1）（2）略14、（1）有两边上的高相等的三角形是等腰三角形（2）真命题；证明略15、（1）略（2）点P在边AC的垂直平分线上，结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计一. 教材分析《逆命题和逆定理》是浙教版数学八年级上册第2.5节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了命题与定理的基本知识的基础上进行教学的。

通过本节课的学习，使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。

教材通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，他们已经学习了命题与定理的基本知识，对于新的知识有一定的接受能力。

但是，对于一些抽象的概念和理论，学生可能还存在着一定的理解难度。

因此，在教学过程中，需要通过生活中的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握逆命题和逆定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过探究逆命题和逆定理的过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义。

2.难点：对于逆定理的理解和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理。

2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，培养团队合作意识。

3.问题驱动法：通过问题的设置和解决，激发学生的学习兴趣和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实例和相关的理论知识。

2.教学素材：准备一些相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。

3.教学设备：准备白板和粉笔，用于板书和展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，引导学生思考逆命题和逆定理的概念。

例如，假设有一个命题：“如果一个人是学生，那么他喜欢数学。

”那么这个命题的逆命题就是：“如果一个人喜欢数学，那么他是学生。

《逆命题和逆定理》教学设计【设计者】主备黄璐烨。

【内容出处】浙江教育出版社八年级数学下册第2章第5课。

【素养指向】“逻辑推理”之“归纳类比”。

【教学目标】1.经历逆命题的概念的发生过程。

2.了解逆命题、逆定理的概念。

3.会识别两个命题是不是互逆命题。

会在简单情况下写出一个命题的逆命题。

4.了解原命题的的成立，其逆命题不一定成立。

5.理解线段的垂直平分线性质定理和逆定理的证明。

【时间预设】课内1课时加课后10分钟。

【教学过程】一、先行学习1.什么叫命题？2.什么是真命题，什么是假命题？3.命题的结构二、交互学习〖小组合学〗小组内同学思考：写出下列命题的条件和结论：①两直线平行，同位角相等；②同位角B C 相等，两直线平行；③如果a＝b，那么a2＝b2；④如果a2＝b2，那么a＝b。

〖展示评析〗小组推荐代表展示交流，其他小组质疑与纠错，交流评析后获得结论：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。

〖师生共学〗一个命题经证明是真命题，就可称为定理；如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。

〖即时练习〗1.说出下列命题的逆命题，并判定是真命题还是假命题：(1)两直线平行，内错角相等；(2)同位角相等；(3)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。

2.判断下列说法是否正确？请说明理由（1）假命题没有逆命题；（2）真命题没有逆命题；（3）每个命题都有逆命题；（4）真命题的逆命题是真命题。

3.下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请说出逆定理。

⑴线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等⑵两直线平行，同旁内角互补；⑶对顶角相等。

4.举例说明下列命题的逆命题是假命题：（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；（2）如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5。

浙教版数学八年级上册专题培优讲义专题4直角三角形【知识梳理】1．逆命题和逆定理(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的______，而第一个命题的结论是第二个命题的______，那么这两个命题叫做____________．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的____________．(2)如果一个定理的逆命题能被证明是______，那么就叫它是原定理的______，这两个定理叫做____________．注意：原命题的真假与逆命题的真假没有任何联系．2．直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形．3．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个______互余．(2)直角三角形斜边上的______等于斜边的______．(3)直角三角形中，______角所对的直角边等于斜边的______．(4)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么____________.4．直角三角形的判定(1)__________________是直角三角形．(2)如果三角形中________________________，那么这个三角形是直角三角形．5．直角三角形全等的判定(1)SSS，SAS，AAS，ASA.(2)__________________对应相等的两个直角三角形全等(HL)．6．线段垂直平分线、角平分线的逆定理(1)________________________的点在线段的垂直平分线上．(2)角的内部，到角两边距离______的点，在这个角的平分线上．【例题探究】【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE ⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于()A．5B．7C．3D．7【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF＝12AB，EF＝12BC，由△DEF的周长是7，可求得AB的长，然后在Rt△ABF中，用勾股定理可求得AF的长．【例2】说出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由．【思路点拨】首先写出原命题的逆命题，然后根据题意画出图形，再结合图形写出已知及求证的内容，最后利用已学知识证明结论为真，即逆命题是真命题．【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上(不与点A，C重合)，DE ⊥AB于点E，连结BD，F为BD的中点，连结EF，CF，CE.(1)求证：FE＝FC.(2)试猜想∠A与∠CEF的关系，并证明．【思路点拨】(1)在Rt△DEB和Rt△DCB中，因为F为BD的中点，所以FE＝12BD，FC＝12BD，即FE＝FC；(2)根据直角三角形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质计算即可．【例4】如图，BD＝DC，ED⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为点M，N.求证：BM＝CN.【思路点拨】连结EC，EB.由题意知，DE是BC的垂直平分线，AE是∠BAC的平分线，所以BE＝EC，EM＝EN，即可得出Rt△BME≌Rt△CNE(HL)，即可得出结论．【例5】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC 的中点，连结EF，交CD于点M，连结AM.(1)求证：EF＝1AC.2(2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．【思路点拨】(1)由CD＝CB，点E为BD的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质，可得△AEC是直角三角形，由点F为AC的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得结论；(2)当∠BAC＝45°时，可得△AEC为等腰直角三角形，由线段垂直平分线的性质，可得AM＝CM，再由CD＝CB，得AM＋DM＝BC.【例6】若把一组邻边的平方和与一条对角线的平方相等的四边形叫做勾股四边形，如长方形是勾股四边形．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，且∠BCD＝30°.(1)求证：四边形ABCD是勾股四边形．(2)若BC＝6，CD＝8，求DE的长．【思路点拨】(1)由题意知，△ABC≌△DBE，可得DE＝AC，BC＝BE，证明△CBE为等边三角形，可得EC＝BC，再证∠DCE＝90°，可得DC2＋CE2＝DE2，即DC2＋BC2＝AC2，所以四边形ABCD是勾股四边形；(2)由DC2＋BC2＝AC2，求出AC的长，即可得出DE的长．【例7】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝3，PB ＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．【思路点拨】直接求∠BPC的度数不太容易求出，于是把∠BPC进行适当的转化．因为△ABC是一个特殊的三角形“等腰直角三角形”，如果把△BPC绕着点C顺时针旋转90°到△AP′C，那么BC和AC会重合，△PCP′也是等腰直角三角形，这时再求∠BPC的度数会比较容易．【例8】著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab＋(a－b)2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2.图1(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．图2(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB.测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米．图3(3)在第(2)问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．【思路点拨】(1)四边形ABCD的面积可用梯形面积公式来表示，也可以用三个直角三角形面积的和来表示，根据两次表示的面积相等列出关系式，化简即可得证；(2)(3)问都可以设未知数，根据勾股定理列方程求解．【答案解析】【知识梳理】1．逆命题和逆定理(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的逆命题．(2)如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．注意：原命题的真假与逆命题的真假没有任何联系．2．直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形．3．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余．(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(3)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．(4)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.4．直角三角形的判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形．(2)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．5．直角三角形全等的判定(1)SSS，SAS，AAS，ASA.(2)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)．6．线段垂直平分线、角平分线的逆定理(1)到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．(2)角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【例题探究】【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE ⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于()A．5B．7C．3D．7【解题过程】∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝12 AB.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC＝3.∵BE⊥AC，∴EF＝12BC＝3，∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝AB＋3＝7，∴AB＝4，∴AF＝AB2－BF2＝7.故选B.【方法归纳】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．【例2】说出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由．【解题过程】解：逆命题：一边上的中点到另两边的距离相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．理由如下：已知：如图，在△ABC中，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别为点D，E，MD ＝ME.求证：AB＝AC.证明：∵M是BC的中点，∴BM＝CM.∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠MDB＝∠MEC＝90°.又∵MD＝ME，∴Rt△MDB≌Rt△MEC(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.【方法归纳】本题主要考查逆命题的概念、证明的步骤、直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握这些概念和判定是解题的关键．【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在边AC 上(不与点A ，C 重合)，DE ⊥AB 于点E ，连结BD ，F 为BD 的中点，连结EF ，CF ，CE .(1)求证：FE ＝FC .(2)试猜想∠A 与∠CEF 的关系，并证明．【解题过程】(1)证明：∵DE ⊥AB ，∠ACB ＝90°，F 为BD 的中点，∴FE ＝12BD ，FC ＝12BD ，∴FE ＝FC .(2)解：∠A ＝∠CEF ．证明如下：∵FE ＝12BD ＝FB ，FC ＝12BD ＝FB ，∴∠FEB ＝∠FBE ，∠FCB ＝∠FBC ，∴∠EFD ＝2∠EBF ，∠CFD ＝2∠FBC .∵FE ＝FC ，∴∠CEF ＝∠ECF ，∴∠CEF ＝12×(180°－2∠EBF －2∠FBC )＝90°－(∠EBF ＋∠FBC )．∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°－(∠EBF ＋∠FBC )，∴∠A ＝∠CEF .【方法归纳】本题考查了直角三角形的性质：①直角三角形中的两个锐角互余；②直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．熟练掌握上述性质是解题的关键．【例4】如图，BD＝DC，ED⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为点M，N.求证：BM＝CN.【解题过程】解：如图，连结CE，BE.∵BD＝DC，ED⊥BC，∴DE是BC的垂直平分线，∴BE＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．∵AE是∠BAC的平分线，EM⊥AB，EN⊥AC，∴EM＝EN(角平分线上的点到角两边的距离相等)．在Rt△MEB和Rt△NEC中，BE＝EC，EM＝EN，∴Rt△MEB≌Rt△NEC(HL)，∴BM＝CN．【方法归纳】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的性质以及直角三角形全等的判定方法，通过画辅助线构造Rt△MEB和Rt△NEC全等是解决问题的关键．【例5】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC 的中点，连结EF，交CD于点M，连结AM.(1)求证：EF＝12AC.(2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．【解题过程】(1)证明：∵CD＝CB，E为BD的中点，∴CE⊥BD，∴∠AEC＝90°.又∵F为AC的中点，∴EF＝12 AC.(2)解：∵∠BAC＝45°，∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝45°，∴AE＝CE.又∵F为AC的中点，∴EF⊥AC.∴EF为AC的垂直平分线，∴AM＝CM，∴AM＋DM＝CM＋DM＝CD.又∵CD＝CB，∴AM＋DM＝BC.【方法归纳】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质．【例6】若把一组邻边的平方和与一条对角线的平方相等的四边形叫做勾股四边形，如长方形是勾股四边形．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，且∠BCD＝30°.(1)求证：四边形ABCD是勾股四边形．(2)若BC＝6，CD＝8，求DE的长．【解题过程】(1)证明：如图，连结CE.根据题意，得△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE.∵∠CBE ＝60°，∴△BCE 是等边三角形，∴∠BCE ＝60°，BC ＝CE .∵∠DCB ＝30°，∴∠DCE ＝90°，∴DC 2＋CE 2＝DE 2，∴DC 2＋BC 2＝AC 2.∴四边形ABCD 是勾股四边形．(2)解：由(1)，得DC 2＋BC 2＝AC 2，∴AC ＝82＋62＝10.∵DE ＝AC ，∴DE ＝10.【方法归纳】本题考查勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质．把线段DC ，BC ，AC 集中到一个直角三角形中是解决问题的关键．【例7】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点P 在△ABC 内，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝2，求∠BPC 的度数．【解题过程】解：如图，把△BPC 绕点C 顺时针旋转90°到△AP ′C ，连结PP ′，则△AP ′C ≌△BPC .∴AP ′＝BP ＝1，P ′C ＝PC ＝2，∠AP ′C ＝∠BPC ，∠ACP ′＝∠BCP .∵∠BCP ＋∠ACP ＝∠ACB ＝90°，∴∠PCP ′＝∠ACP ＋∠ACP ′＝∠ACP ＋∠BCP ＝∠ACB ＝90°，∴△PCP ′是等腰直角三角形，∴PP ′＝22，∠PP ′C ＝45°.在△APP ′中，AP ′2＋PP ′2＝12＋(22)2＝9＝32＝PA 2，∴△APP ′是直角三角形，且∠AP ′P ＝90°，∴∠BPC ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝90°＋45°＝135°.【方法归纳】当某个点在三角形内部的问题难以处理时，不妨先通过旋转变换把点移到三角形外部，再进行求解．【例8】著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c )，大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab ＋(a －b )2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2＋b 2＝c 2.图1(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．图2(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB ＝AC ，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H (A ，H ，B 在同一条直线上)，并新修一条路CH ，且CH ⊥AB .测得CH ＝1.2千米，HB ＝0.9千米，求新路CH 比原路CA 少多少千米．图3(3)在第(2)问中若AB ≠AC 时，CH ⊥AB ，AC ＝4，BC ＝5，AB ＝6，设AH ＝x ，求x 的值．【解题过程】解：(1)梯形ABCD 的面积为12(a ＋b )(a ＋b )＝12a 2＋ab ＋12b 2，也可以表示为12ab ＋12ab ＋12c 2，∴12a 2＋ab ＋12b 2＝12ab ＋12ab ＋12c 2，∴a 2＋b 2＝c 2.(2)设CA ＝m .∵AB ＝AC ，∴AH ＝m －0.9.∵CH ⊥AB ，CH ＝1.2千米，∴CA 2＝CH 2＋AH 2，即m 2＝1.22＋(m －0.9)2，解得m ＝1.25，即CA ＝1.25，∴CA－CH＝1.25－1.2＝0.05(千米)．答：新路CH比原路CA少0.05千米．(3)设AH＝x，则BH＝6－x.在Rt△ACH中，CH2＝CA2－AH2.在Rt△BCH中，CH2＝CB2－BH2.∴CA2－AH2＝CB2－BH2，即42－x2＝52－(6－x)2，解得x＝9 4 .【方法归纳】几何图形中线段长度的计算，通常可以设出未知数，然后利用勾股定理列方程求解．。