1.3 直角三角形全等的判定

1.3 直角三角形全等的判定
01课前预习
要点感知斜边、直角边定理：斜边和________条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简称“斜边、直角边”或“HL”．
预习练习如图，AB＝CD，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，
若BE＝CF，则△ABE≌△________，其依据是________．
02当堂训练
知识点1直角三角形全等的判定
1．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（）
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
2．在下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）
A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一个锐角和它所对的直角边对应相等 D．一条斜边和一条直角边对应相等
3．如图，已知AC＝AD，∠ACB＝∠ADB＝90°，则全等三角形共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
4．已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE＝DF，AB＝DC，则△ABE≌△________.
5．如图，已知BD⊥AE于点B，C是BD上一点，且BC＝BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A＝∠D
或________或________或____________．
6．已知：如图，BE、CD为△ABC的高，且BE＝CD，BE、CD交于点P，若BD＝2，则CE＝________.
7．已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE＝BF，∠D＝60°，则∠A＝________.
8．已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AB⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为B、E，且AC＝DF，连接AC、DF.求证：∠A＝∠D.
9．已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE＝BF.求证：AB∥CD.
03课后作业
10．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC交AB于点E，则有（）
A．DE＝DB B．DE＝AEC．AE＝BE D．AE＝BD
11．用三角尺可按下面方法画角平分线：如图，在已知∠AOB两边上分别取OM＝ON，
再分别过点M、N作OA、OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
作图过程用到了△OPM≌△OPN，那么△OPM≌△OPN的依据是________．
12．如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.
求证：△ADE≌△BEC.
13．在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：BE＝BF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．
挑战自我
14．已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.
(1)如图1，若点O在边BC上，求证：∠ABO＝∠ACO；
(2)如图2，若点O在△ABC的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.
图1 图2
1.4 角平分线的性质(1)
01课前预习
要点感知1角平分线的性质定理：角的平分线上的点到________的距离相等．
预习练习1－1已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE＝3 cm，则点D到AC的距离是（）
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
要点感知2角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在____________上．
预习练习2－1如图，P是∠MON内一点，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，若PE＝PF，则OP平分∠MON，其依据是________________________．
02当堂训练
知识点1角平分线的性质
1．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离等于（）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是________．
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB＝4，且点D到BC的距离为3，则BD＝________.
5．如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点O，且AO平分∠BA C.求证：OB＝OC.
知识点2角平分线的判定
6．如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，∠BAD＝25°，则∠CAD＝（）
A．20°B．25° C．30°D．50°
7．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）
A．线段CD的中点 B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与CD的中垂线的交点 D．CD与∠AOB的平分线的交点
8．如图：在△ABC中，∠C＝90°，DF⊥AB，垂足为F，DE＝BD，CE＝FB.求证：点D在∠CAB的角平分线上．
03课后作业
9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，BD 是∠ABC 的平分线， 设△ABD，△BCD 的面积分别为S 1、S 2，则S 1∶S 2等于（ ）
A ．2∶1 B.2∶1 C ．3∶2 D ．2∶ 3
10．如图，∠AOB ＝30°，OP 平分∠AOB，PC ∥OB ，PD ⊥OB ，如果PC ＝6，那么PD 等于（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
11．如图，已知点P 在射线BD 上，PA ⊥AB，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ，且PA ＝PC ，下列结论错误的是（ ） A ．AD ＝CP B ．点D 在∠ABC 的平分线上 C ．△ABD ≌△CBD D ．∠ADB ＝∠CDB
12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线．若AB ＝6，则点D 到AB 的距离是________．
13．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F. 求证：∠B＝∠C.
14．如图，已知BE⊥AC，CF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，BE ，CF 相交于点D ，若BD ＝CD.求证：AD 平分∠BAC.
挑战自我
15．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于E ，EF ⊥AB ，交AB 于F ，EG ⊥AC ，交AC 的延长线于G ，试问：BF 与CG 的大小如何？证明你的结论．
第2课时角平分线的性质和判定的应用
01课前预习
要点感知三角形________________________到三边距离相等．
预习练习已知点P到△ABC各边的距离相等，则点P在（）
A．各边的垂直平分线上B．各边的中线上 C．各内角的平分线上D．各边的高上
02当堂训练
知识点角平分线的性质和判定的应用
1．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作
垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有（）
A．3对B．2对 C．1对D．没有
2．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，
要使凉亭到AB，AC，BC的距离相等，凉亭的位置应选在于（）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点
3．如图，若AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，
且PE＝3 cm，则AB与CD之间的距离为（）
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．无法确定
4．如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，
由D出发，作点D到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG，
垂足分别为E，F，G，则DE，DF，DG的关系是____________．
5．已知：如图，AC⊥OD，AE⊥OF，BD⊥OD，BF⊥OF，AC＝AE，求证：BD＝BF.
6．如图，在△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB，AC于E，F两点．求证：AD⊥EF.
7．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，求证：PM＝PN.
8．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
则三个结论①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP，中（）
A．全部正确B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确
9．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
10．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝50°，则∠BOC＝________. 11．如图，某校八年级学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路AB，AC的
交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请你找出点P.
12．已知：如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF.
挑战自我
13．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(1)若连接AM，则AM是否平分∠DAB？请你证明你的结论；
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．。