根轨迹法 最优化方法

Y (s) k A G (s ) U (s) s(s 1) s( s c)
(2-50)
5.1 基本反馈系统的根轨迹
A K G (s ) s( s c) s( s 1)
取K=A，c=1
单位反馈系统的闭环传递函数为：
K K s( s 1) T (s ) 2 K s sK 1 s( s 1)
System: sysL Gain: 0 Pole: -4 - 4i Damping: 0.707 Overshoot (%): 4.32 Frequency (rad/s): 5.66
-5
Real Axis (seconds-1)
0
5
规则4：出射角与入射角
根轨迹离开开环复极点处的切线方向与实轴 正方向的夹角称为出射角， 进入开环复零点处的 切线方向与实轴正方向的夹角称为入射角。
K为根轨迹参数。
3、根轨迹方程
1 KL( s) 0
L(s）的形式是有理分式，分子和分母都是首一多项式。
b( s ) s m b1s m 1 bm ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) L( s ) n n 1 a ( s ) s a1s an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) ( s zi ) ( s pi )
i 1 n i 1
(s z )
i
m
( s zi )
m
在k=0时， 根轨迹方程的解为s=pi（i=1， 2， ..., n） ，闭环极点与开环极点相等，即根轨迹起始于开环极点 。 当k→∞时， 根轨迹方程的解为s=zi（i=1， 2， …， m）或s→∞ 。
s=zi： 闭环极点与开环零点重合。

六 . 根 轨 迹 与 实 轴 的 交 点 (分 离 点 与 会 合 点 )
规则六：根轨迹与实轴交点(分离点或会合点)坐标α是方程
d i1 ( S Pi ) 0 m d s i1 ( S Z i ) S
n
的根。
例 .已 知 某 负 反 馈 系 统 开 环 传 函 为 G ( S ) H ( S ) 试画出其根轨迹. 解:
z1
p



4
g [例]设系统的开环传递函数为： G ( s ) k 2 s ( s 1 )( s 5 )( s 10 ) 试求实轴上的根轨迹。
K (s 2)
[解]：零极点分布如下：
10

5

2
1

0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。注意 在原点有两个极点，双重极点用“ ”表示。
(p
a
i 1
i
)
(z
j 1
m
j
)
nm
k→∞，s→∞时，点O ′才既是s向量又是 OB向量上的点，所以向量s端点描绘的线 AO′, 便是(n-m)个闭环极点趋于〔s〕平面 无穷远处的渐近线， n m 规则四: 如果控制系统的开环零点数目m小于开环 极点数目n，当k→∞时，伸向无穷远处根轨迹的渐近线 ( p i ) ( z j ) i 1 j 1 , j0) 共有(n-m)条。这些渐近线在实轴上交于一点，其坐标 ( nm 是: 2 l 1 而渐近线与实轴正方向的夹角分别是 :
v
s 1)(
p v 1
( z
K k
j 1
m
j

系统性能改善不显著， 系统增益超过临界值 时，系统仍会不稳定。
闭环复数极点距离虚轴较远， 实数极点距离虚轴较近，系 统有较低的响应速度。
开 环 零 点 在 不 同 取 值 情 况 下 的 根 轨 迹
17
从以上四种情况来看，一般第三种情况比较理想，这 时系统具有一对共轭复数主导极点，其暂态响应性能指标 也比较令人满意。
点的零、极点对来改善系统的稳态性能。这对零、极点彼此
相距很近，又非常靠近原点，且极点位于零点右边，通常称
这样的零、极点对为偶极点对或偶极子。
在系统中附加下述网络
1
s 1 T
s 1
1 0
T
若上述网络的极点和零点彼此靠得很近，即为偶极子。
32
例4-15 系统的开环传递函数为
WK
(s)
s(s
1.06 1)( s
由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按 第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。
4
1. 二阶系统 设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为
WK
(s)
KK s(1 Ts)
Kg s(s
1
)

T
5
(1)闭环系统有两个负实极点 暂态过程主要决定于离虚轴近的极点。 一般当时 R2 5R1，可忽略极点 R2的影响。
2
用根轨迹图分析控制系统的稳定性，比仅仅知道一组闭环极点 要深刻得多。
比如，当Kg在（0，∞）间取值时，如果n支根轨迹全部位于虚 轴的左边，就意味着不管Kg取任何值闭环系统都是稳定的。
反之，根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着不管
Kg取何值，闭环系统都不可能稳定，这种情况下，如果开环
零、极点是系统固有的、不可改变的，那么要使系统稳定就 必须人为增加开环零、极点，这就是通常讲的要改变系统的 结构，而不仅仅是改变系统的参数。

s ( s pi )
H ( s) K 2
(
j 1 h i 1
l
j
s 1) K 2r
(s z
j 1 h i 1
l
j
)
（4-3）
(T s 1)
i
(s p )
i
K 式中 K1为前向通路增益， 1r 为前向通路根轨迹增益； 2 为 K K 反馈通路增益， 2 r 为反馈通路根轨迹增益。
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⑶在系数参数全部确定的情况下，凡能 满足相角条件和幅值条件的s值，就是对应 给定参数的特征根，或系统的闭环极点。 ⑷由于相角条件和幅值条件只与系统 的开环传递函数有关，因此，已知系统的 开环传递函数便可绘制出根轨迹图。
24
二、绘制根轨迹的基本规则
通常，我们把以开环根轨迹增益K r 为可变参数 绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。 绘制普通根轨迹的基本规则主要有7条： 1.根轨迹的起点与终点；
14
三、根轨迹增益 K r 与开环系统增益 K 的关系
由第三章，系统的开环增益（或开环放大倍数）为:
K lim s G (s) H(s)
s 0
（4-6）
式中 是开环传递函数中含积分环节的个数，由它来确 定该系统是零型系统（ 0 ）,Ⅰ型系统（ 1 ）或Ⅱ 型系统（ 2）等。
s1 1 1 K r , s 2 1 1 K r
设K r的变化范围是（0, ∞﹚ 当 K r 0 时, s1 0, s 2 2 ;
当 0 K r 1 时，s1与 s 2 为不相等的两个负实根；
当 K r 1 时，1 s 2 1 为等实根； s
8
1948年伊万斯（W· EVANS） R· 解决了这个问题，提出了根轨迹法。 该方法不需要求解闭环系统的特征 方程，只需依据开环传递函数便可 会绘制系统的根轨迹图。