七年级数学下册第一章整式的乘除1同底数幂的乘法教案(新版)北师大版

七年级数学下册第一章整式的乘除1.1同底数幂的乘法教学设计新版北师大版一. 教材分析本节课的内容是北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除1.1同底数幂的乘法。

这部分内容是学生在学习了有理数的乘除法和幂的定义的基础上进一步学习的，是后续学习多项式乘法、分式的乘法等知识的基础。

同底数幂的乘法规则是数学中一个重要的规律，对于学生理解和掌握数学知识有着重要的意义。

二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经学习了有理数的乘除法和幂的定义，对于这些基础知识有一定的掌握。

但是，学生对于同底数幂乘法的理解和运用还存在一定的困难，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.理解同底数幂的乘法规则，并能够正确进行计算。

2.能够运用同底数幂的乘法规则解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：同底数幂的乘法规则的推导和运用。

2.教学难点：同底数幂的乘法规则的理解和运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索，通过案例分析和小组讨论，让学生在实践中学习和掌握知识。

六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例和练习题3.小组合作学习的材料七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考同底数幂的乘法问题，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT课件，呈现同底数幂的乘法规则，并用案例进行解释和说明。

让学生理解和掌握同底数幂的乘法规则。

3.操练（10分钟）让学生进行同底数幂的乘法运算，巩固所学的知识。

4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用同底数幂的乘法规则解决实际问题，进一步巩固所学的知识。

5.拓展（10分钟）通过案例教学，让学生进一步理解和掌握同底数幂的乘法规则，并能够运用到实际问题中。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，让学生明确学习的重点和难点。

7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，让学生进行巩固和提高。

《同底数幂的乘法》教学设计一、教学背景分析（教学内容分析、学情分析、教学环境分析）（一）、教学内容分析1.内容整式的乘法中，最基本的运算性质：同底数幂的乘法法则，会运用它熟练的进行计算。

2.内容解析《同底数幂的乘法》是北师大版数学七年级下册第一章第一节内容，本节课是在学习了有理数的乘方和整式的加减之后，为了学习整式的乘法而学习的关于幂的一个基本性质（法则），又是幂的三个运算性质中最基本的一个运算性质，学好了同底数幂的乘法，其他两个运算性质和整式乘法的学习便容易了．因此，同底数幂的乘法法则既是有理数幂的乘法的推广又是整式乘法的重要基础，在本章的学习中具有举足轻重的地位和作用。

整式乘除是整式运算的重要组成部分，是数与代数的重要基础知识，同时也是以后学习因式分解、分式、函数等知识的基础。

（二）学情分析学生知识技能基础：学生通过对七年级上册数学课本的学习，已经掌握了用字母表示数的技能，会判断同类项、合并同类项，同时在学习有理数乘方运算后，知道了求n个相同数〃的积得运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，这些基础知识为本节课的学习奠定了基础。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生完全可以借助于已知的幂的意义，通过个人思考、小组合作等方式，进行知识迁移，总结出新的知识。

基于以上分析，可以确定本节课的教学难点为：运用法则计算底数互为相反数的幂的运算。

二、教学设计理念与整体思路基于对教学内容和学生学情的分析，我采取以下的教学理念首先复习学生学习过的乘方和科学计数法，然后引出情景问题计算机的计算次数，从而引出我们要学习本节课的教学内容同底数幂的乘法。

思路：1.在“创设情境，引入新课”这一环节，通过复习学生学过的乘方的运算以及科学计数法，引导学生类比有理数运算的学习内容和路径，引出本章学习内容《整式的乘除》一是为本节课及本单元学习提供了知识准备和研究素材，二是为新知学习提供研究线索和研究方法。

2.在“幂的运算”这一单元中，从方法性结构来看，都通过“从特殊到一般”的认知方法认识新知；从过程性结构来看，它们都需要经历“发现和猜想f验证和去伪f归纳与概括f应用与拓展”的知识形成过程。

北师大版七年级下第一章《整式的乘除》教案1.1《同底数幂的乘法》教案教学目标1、理解法则中“底数不变、指数相加”的意义；能熟练地应用同底数幂乘法法则进行计算.2、从同底数幂乘法法则的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力和逻辑推理能力.重点：同底数幂的乘法法则及法则的正确应用.难点：同底数幂的乘法法则的推导.教学流程一、复习与回顾回忆乘方、幂等概念.二、创设情境，引出课题，探索新知师：看来同学们对以前所学的知识还有印象.哎，有一件事情虽然过去两年多了，但是我相信大家一定印象深刻——那就是2008年北京奥运会.你们还记得奥运场馆的标志性建筑是什么吗？——对，鸟巢和水立方！非常壮观，被列入北京十大建筑，同时也是世界上著名的节能环保建筑.你们认为他们最漂亮的是什么时候呢？到了晚上他们就更漂亮了，是因为什么？（灯光）可能大家有所不知，这里所需要的灯光大部分都不是来自发电厂，而是来自太阳能.（出示: 中国奥委会为了把2008年北京奥运会办成一个环保的奥运会，很多建筑都做了节能的设计，据统计：奥运场馆一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？）师：你们能列式吗？（学生讨论得出108×105）师：108、105我们称之为什么？（幂）师：我们再来观察底数有什么特点？生1：都是10生2：是一样的师：像这样底数相同的两个幂相乘的运算，我们把它叫做同底数幂的乘法.（揭示课题）1、探索108×105等于多少？（鼓励学生大胆猜想？）13②1040③10040④1013学生可能会出现以下几种情况：①100师：那到底谁得猜想是正确呢？小组合作讨论（师提示：根据幂的意义）生回答师板演：108 × 105=（10× 10×…×10）×（10 × 10×…×10） （8个10） （5个10） =10×10×…×10 13个10 =1013 即：108 × 105=108+5 2、出示问题： a 6 · a 9=（a · a …a ）×（a · a …a ） 6个a 9个a =a · a …a 15个a ＝a 15即：a 6 · a 9=a 6+93 、观察以上两个式子，你有什么发现？师：这是两个特殊的式子，他们的指数分别是8，5；6，9.同底的两数任何次幂相乘，都是底数不变，指数相加吗？能找到一个具有一般性，代表性的式子吗？ a m · a n 怎么计算？板书：a m · a n = a m +n (m 、n 都是正整数)师补充解释m 、n 都是正整数的原因，并请学生用自己的语言概括该结论，之后全体学生用精炼的文字概括表述.板书：同底数幂相乘底数不变，指数相加. 出示:1、计算下列各式，结果用幂的形式表示：（1）（-9）2 ×（-9）5 （2）x m ·x 3m +1 （3）（x +y ）3 ×（x +y ） 教学（1）指名回答，师板演完整步骤，（2）（3）学生独立完成，要求书写完整的解答步骤. 师概括底数a 可以是任意有理数，也可以是单项式或多项式. 出示:2、计算下列各式，结果用幂的形式表示：（1）a ·a 3 ·a 6 （2）（-m ）3 ×（-m ）5 ×（-m ）教学（1）学生齐答，师板演完整步骤，（2）学生独立完成后师提问：你对法则有什么新的认识吗？ 出示:3、计算下列各式，结果用幂的形式表示：（1） -m 2 ×（-m ）6（2）a ·（-a ）2 ·（-a ）3教学 ：小组合作，讨论完成.问：此类题有何特征？解题时应注意哪些问题？第1题（1）的教学活动目的让学生掌握解题的书写步骤，（2）（3）让学生独立完成进一步巩固解题的书写步骤，第3题小组合作解题.本例的教学活动既有教师的引导，学生独立思考又有学生的合作交流，从而优化学生的思维体现了思维的合理化、严格化、程序化，特别是小组合作，能使学生在同伴交流过程中也培养了团体合作意识. 师问： a 8+a 8等于多少？ 生可能会快速回答：等于a 16师追问 a 8 ·a 8等于多少？ 生：等于a16 生在回答a 16时立即发现了问题 师再追问：那么说a 8+a 8= a 8 ·a 8? 生思考片刻：a 8+a 8=2 ·a 8该教学活动让学生产生思想冲突，并由教师的追问使他们自己产生疑问，再让学生经过“比较”解决冲突，也避免了以后出现同类项与同底数幂相乘产生混淆. 三、巩固新知课件出示下面计算对吗？如果不对，应怎样改正？师：思考一至二分钟举手回答，可挑选自己喜欢的题目回答.给学生充足的思维空间，养成思考习惯，让学生自主挑选回答主要是让后进生也能在课堂上体验成功，有成就感；且该教学活动亦能培养学生仔细观察问题的习惯. 四、活用法则提问：已知 a m = 3 ， a n =5 ， 求 a m +n 的值. 五、归纳小结1、同桌之间用今天学到的知识，每人出一个最好的题让同伴解答.看谁出题最好、又看谁解答最棒！2、叙述本节课的收获.236a a a ⋅=（2）66a a a ⋅=（3）831177⋅=-（4）（-7）（）3332a a a ⋅=（1）《1．2幂的乘方与积的乘方》教案一、教学目标：1.了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．2．经历探索积的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．二、教学重难点：重点：积的乘方运算性质：（ab ）n = a n b n （n 是正整数）． 难点：幂的运算性质的综合运用及混合运算．三、教学过程设计：本节课设计了七个教学环节：复习回顾、探索交流、知识扩充、巩固新知、公式逆用、课堂小结、布置作业． 第一环节：复习回顾活动内容：复习前几节课学习的有关幂的三个知识点．1．幂的意义： 2．同底数幂的乘法运算法则（m 、n 为正整数）3．幂的乘方运算法则（a m ）n =a mn （m 、n 都是正整数） 第二环节：探索交流活动内容：地球可以近似地看做是球体，如果用V ，r 分别代表球的体积和半径，那么．地球的半径约为6×103 km ，它的体积大约是多少立方千米？ 本环节是这节课最为重要的环节之一，充分借助教材提供的求地球体积的情境，引导学生思考“（6×103）3等于多少”，同时分析这种运算的特征，展开对“积的乘方”运算的探索，教师还可以在课上可以对直接学生进行升级式提问： （1）根据幂的意义，（ab ）3表示什么？（2）为了计算（化简）算式ab ·ab ·ab ，可以应用乘法的交换律和结合律．又可以把它写成什么形式？（3）由（ab ）3=a 3b 3 出发，你能想到更为一般的公式吗？活动目的：经历了前两节课的探究，在本课中可以启发学生自主从具体特殊的数字问题到抽象的字母，新的挑战更会激起学生学习的兴趣，达到更好的学习效果． 第三环节：知识扩充nan a a a a =⨯⨯⨯个n m n ma a a+=⋅334r V π=活动内容：积的乘方的运算法则：（ab ）n ＝a n b n 积的乘方，等于每一因数乘方的积．公式拓展：三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质？ 怎样用公式表示？ 进一步探讨出答案（abc ）n =a n ·b n ·c n 第四环节：巩固新知 活动内容： 1．计算：（1）（3x ） ； （2）（-2b ）； （3）（-2xy ）； （4）（3a ）． 2．完成引例的求地球体积问题．3．下面的计算是否正确？如有错误请改正． （1）； （2）． 4．课本随堂练习 第五环节：公式逆用 活动内容：计算：（1）2×5； （2）2×5；（3）（-5）× （-2）； （4）2× 4×（-0．125）； （5）0.25×4；（6）8×0.125．第六环节：课堂小结活动内容：师生互相交流本堂课上应该掌握的积的乘方的特征，教师对课堂上发现的学生掌握不好的地方给以强调． 第七环节：布置作业1．完成课本习题1.2的1、2．2．拓展作业：你能用几何图形直观的解释（3b ）2=9b 2吗？《1.3同底数幂的除法》教案教学目标：1、理解同底数幂的除法运算法则，能解决实际问题；2、理解零指数和负整指数的意义.教学重点：同底数幂的除法运算法则及其应用.2542n844)(ab ab =2226)3(q p pq -=-338816154441001001213教学难点：对零指数和负整指数意义的理解.教学过程：一、创设问题情景，引入新课在上节课，我们计算过地球和太阳的体积，如果地球的体积大约是，太阳的体积大约为，请问，太阳的体积是地球体积的多少倍？ 教师活动1、引导学生讨论，说出自己的思考过程.2、这种运算叫同底数幂的除法.学生活动 可能的思考过程：二、探索同底数幂的除法运算法则 试一试：计算（1） （2） （a ≠0） （3） （m ﹥n ）（4）（p ﹥y ） 教师活动引导学生从以上特例中归纳出一般性的规律，并用自己的语言将规律描述出来. 启发学生从幂的意义等角度说明这一性质的依据.（m ，n 是正整数，且m ﹥n ，a ≠o ）3111005.9千米⨯3171005.9千米⨯11171010÷611611111711171010101010101005.91005.9)1(=⨯==⨯⨯610610111010111711171010101010101010101010101005.91005.9)2(=⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯==⨯⨯个个个471010÷35a a ÷nm 33÷y p)2()2(-÷-nm an m an am n m a a a a a a a aa a a a --=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷个个个)(学生活动1、交流、讨论，说明每一个问题的结果和每一步运算的理由.2、观察运算前后指数和底数的变化，归纳出同底数幂除法的运算性质：（a ≠0，m ，n 都为正整数，且m ﹥n ，） 练一练：例1、计算（写出完整答案）师生互动： 注：1、公式中的底数a 可以表示数、单项式、多项式等.2、前后底数必须化成完全一致. 想一想：1000=10（） 8=2（ ） 100=10（） 4=2（ ） 10=10（） 2=2（ ） 1=10（） 1=2（）猜一猜： 0.1=10（）=2（ ）0.01=10（）=2（ ）0.001=10（）=2（ ） 教师活动：1、引导学生观察上列式子中等式左右形式的变化，提出合理猜想.2、启发学生对新发现的问题（零指数幂、负整指数幂）进行归纳、描述.（a ≠0）（a ≠0，P 为正整数） 学生活动1、观察“想一想”中，幂都大于1，当指数减1时，幂为原来的（或）. nm n m a a a -=÷47)1(a a ÷36)())(2(x x -÷-36))(3(x x ÷-)())(4(4xy xy ÷122)5(-+÷m m b b 35)())(6(m n n m -÷-4101000=4216=21418110=a pp a a 1=-101212、提出猜想，解决新问题.3、解释猜想的合理性.例2、用小数或分数表示下列各数：解： 三、过手训练1、判断正误，并改正.（ ） （ ） ，，得 （ ）2、计算：（n 为正整数）3、（1）（2）若=1，则x = ；若则 ， .（3）计算：（4）已知. 四、课时小结1.同底数幂的除法运算法则，底数不变，指数相减.2.都为整数，“m ＞n ”的条件可以取消；3.当m =n 时，（a ≠0），4.当m ＜n 时， 310)1(-2087)2(-⨯4106.1)3(-⨯001.010********)1(33===-6418118187)2(2220=⨯=⨯=⨯--00016.00001.06.11016.1106.1)3(44=⨯=⨯=⨯-23636)1(a a a a ==÷÷1)1)(2(0-=-12)3(0=130=32=58))(1(m m ÷-)())(2(7x y y x -÷-2332)3(++÷m m a a []1232)()()4(+--÷+n ny x y x ==÷+m ，x x xm 则若5212123+x ,313=x=x1=-1x 320)21()31()2004()3(-+----计算：的值求已知y x y x b a -==25,5,5)4(n m aa a nm nm.,-=÷10===÷-a a a a nm n m ),1(1)(为正整数p a a aa aa a pp mn m n nm n m ====÷-----五.课后作业《1.4整式的乘法》教案一、学习目标：理解并掌握单项式的乘法法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算．二、学习重点：单项式乘法法则及其应用．三、学习难点：理解运算法则及其探索过程．四、预习准备（1）预习书P14-15（2）思考：单项式与单项式相乘可细化为几个步骤？（3）预习作业：1）（－a5）5=2）（－a2b）3 =3）（－2a）2（－3a2）3=4）（－y n）2y n-1=五、学习过程：整式包括单项式和多项式，从这节课起我们研究整式的乘法，先学习单项式乘以单项式.例1.利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质，计算下列单项式乘以单项式：（1）2x2y·3xy2（2）4a2x5·（-3a3bx）单项式乘以单项式的乘法法则：单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.注意：法则实际分为三点：（1）①系数相乘——有理数的乘法；此时应先确定结果的符号，再把系数的绝对值相乘．②相同字母相乘——同底数幂的乘法；（容易将系数相乘与相同字母指数相加混淆）③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式．（2）不论几个单项式相乘，都可以用这个法则．（3）单项式相乘的结果仍是单项式．例2.计算：（1）（-5a2b3）（-3a）=（2）（2x）3（-5x2y）=（3） =________（4）（-3ab ）（-a 2c ）2·6ab （c 2）3= 注意：先做乘方，再做单项式相乘． 练习： 1. 判断：单项式乘以单项式，结果一定是单项式 （ ） 两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积 （ ） 两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积 （ ） 两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现（ ） 2. 计算：（6）0.4x 2y ·（xy ）2-（-2x ）3·xy 3拓展：3．已知a m =2，a n =3，求（a 3m +n ）2的值. 4．求证：52·32n +1·2n -3n ·6n +2能被13整除. 5．回顾小结：单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.《1.5平方差公式》教案教学目标：1.会推导平方差公式并能正确运用公式进行计算.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用. （四）教学重点，难点教学重点：探索平方差公式的过程. 教学难点：理解平方差公式的特征.二.教材处理22232332⎪⎭⎫⎝⎛-⋅xy y x )31()2)(1(2xy xy ⋅)3()2)(2(32a b a -⋅-)105()104)(3(45⨯⨯⨯52322)()3)(4(b a b a -⋅-)31()43()32)(5(2532c ab c bc a ⋅-⋅-21.)(351221的值，求）若（n m b a b a b an n m +=⋅⋅-++1.突出重点：学生通过自主探究，剪纸拼图的方法发现和认识平方差公式.2.突破难点：学生通过尝试对公式特征的语言叙述，认识和理解公式本质的内容.三.学法指导1.由问题情境产生思考，激发对新知的求知欲.2.通过动手剪纸拼图，认识和解释情境中的问题，同时，发现数学知识，感受知识的发生和发展过程.3.通过交流辨析，进一步理解平方差公式四.教学具准备大正方形纸板，剪刀.五.教学过程（一）创设问题情景，引入新课1、在一个边长为a米的正方形草坪的一角修建一个正方形的水池，改建后草坪的面积是？aabb2、你能利用面积知识，用不同的形式表示阴影部分的面积吗？试试看！同桌可交流讨论，然后把你的想法说给大家听.（教师巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法.）3、可能拼出的情况：（1）可以拼成长方形把剩下的图形（即上图阴影部分）先剪成两个长方形（沿上图虚线剪开），我们可以注意到，上面的大长方形宽是（a－b），长是a；下面的小长方形长是（a－b），宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是（a－b），我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图所示的图形（阴影部分），它的长和宽分别为（a+b），（a－b），面积为（a+b）（a－b）.（2）还可以拼成长方形长方形，大长方形的长和宽分别为（a +b ），（a －b ），则其面积为（a +b ）（a －b ）.（3）可以拼成梯形把剩下的图形（即阴影部分）沿折痕（对角线）剪开，得到两个直角梯形，我们可以注意到，两个直角梯形的高均为（a －b ），所以我们可以将这两个边重合，然后按右图拼接成梯形. 这个梯形的上底为2b ，下底为2a ，则其面积为（2a +2b ）（a －b ），化简为（a +b ）（a －b ）.（4）可以拼成平行四边形21ababa abba bab abba b a ab babab个直角梯形的高均为（a－b），所以我们可以将这两个边重合，然后按右图拼接成平行四边形.由剪拼过程我们可以知道，这个平行四边形的边长为（a+b），高为（a－b）.所以这个平行四边形的面积为（a+b）（a－b）.师：“对于同一个图形，不论用什么方法来求它的面积，这个面积改不改变？计算你所拼出的几何图形的面积，你能发现什么？”（学生通过拼图来探索这一图形面积的求法，在此过程中，教师对学生所拼图形给予充分的评价并鼓励学生从中发现知识，交流自己的观点）设计意图：通过动手剪纸拼图，让学生经历平方差公式的探索，在认识和解释情境的过程中，发现数学知识，感受知识的发生和发展过程.4、你能用你学过的多项式乘多项式的知识来验证你的发现吗？设计意图：学生利用多项式乘多项式的法则计算（a+b）（a-b），验证自己的猜想.（二）得出概念1、（a+b）（a-b）=a2-b2这个公式称为平方差公式（1）你能用语言叙述这个公式吗？设计意图：锻炼学生的总结能力及语言表达能力.“两个数的和乘以两个数的差等于它们的平方差.”（2）你能用多项式乘法法则说明理由吗？设计意图：体会数学的逻辑性及利用平方差公式计算的简洁性.2、自主交流，合作探索：利用平方差公式计算的关键是什么？怎样确定？利用平方差公式计算的关键：确定a和b.其中两个完全相同的项为a，另两个只有符号不同的项为b，其结果等于符号相同的数的平方减去符号不同数的平方.3、现学现卖：按要求填写下面表格组讨论得出结果，然后教师给出答案.注意：根据学生层次的不同，若学生不能观察出公式特征，教师可增加启发性的问题，如：“两个多项式有什么相同，有什么不同？”“两项的符号都不同吗？”“等于什么？”学生由此观察发现公式的特征.（三）例题教学1、（1）（2x +y ）（2x -y ） （2）（x +2）（x -2） （3）（-5a +3b ）（-5a -3b ） （4）（m +n ）（n -m ）（可让学生先自己尝试计算，然后让部分学生上黑板，其他学生在练习本上完成，同桌交流答案，教师巡视，对错误进行辨析，最后由教师规范书写步骤.） 2、活学活用： 运用平方差公式计算：1）59.8 ×60.2 2）101 ×99（其中第1题师生共同分析式子特点，由教师给出规范步骤，第二题让同学板演或口答.） （四）实战演练1、我问你答：请你为你的同桌出一道能用平方差公式计算的问题.（在练习本上完成，先由同桌同学互查互纠，教师巡视过程中，如果有有争议的问题，提出来由老师解决.对共性的错误，教师展示给同学辨析，纠正错误.） 2、小试牛刀：下列各式的计算是否正确？如不正确，应怎样改正？ 1）（x +4）（x -4）=x 2-4； （ ） 2）（a +2b ）（a -2b ）=a 2-4b ； （ ） 3）（-2y +3）（2y +3）=4y 2–9. （ ） 3、应用拓展：运用平方差公式计算：（1）（x +2y ）（x -2y ） （2）（2a -b ）（b +2a ） （3）（4a +3b ）（4a -3b ） （4）（-3m +2n ）（3m +2n ） 4、请你支招有一位狡猾的地主， 把一块边长为a 米正方形的土地.租给李老汉种植.今年，他对李老汉说：“我把你这块地一边增加4米，另一边减少4米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”李老汉一听，觉得好象没有吃亏，就答应.同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？（五）课堂小结：1、通过本节课的学习，你认为：21214a4（1）什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？（2）平方差公式中字母a、b可以是那些形式？（3）怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？2、师生总结：（1）平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2（2）我们在运用平方差公式时，要注意以下几点：①公式中的字母a、b可以是任意代数式；②利用平方差公式计算的关键是：准确确定a和b；③完全相同的看作a，只有符号不同的看作b.（六）布置作业《1.6完全平方公式》教案一、教学目标1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何背景.二、教学重难点（一）教学重难点1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.2.完全平方公式的应用.（二）教学难点1.完全平方公式的推导及其几何解释.2.完全平方公式结构特点及其应用.三、教学方法引导学生从面积入手发现并猜测完全平方公式，通过合作探索讨论用所学的知识对公式进行验证.四、教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？（同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径）［生］我能帮这位爷爷.［师］你能把你的结果展示给大家吗？［生］可以.如图1所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.图1［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？（学生思考面积的表示方法）法一：改造后的试验田变成了边长为（a+b）的大正方形，因此，试验田的总面积应为（a+b）2.法二：也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即（a+b）2=a2+2ab+b2［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.Ⅱ.讲授新课1.推导完全平方公式［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度利用多项式的乘法运算推导出这样的公式呢？想一想：（1）（a+b）2等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？（同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示）用多项式乘法法则可得（a+b）2=（a+b）（a+b）=a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2所以（a+b）2=a2+2ab+b2［师］你能用语言描述这个公式吗？（引导学生用语言描述公式，学生齐读）两个数的和的平方等于这两个数的平方和加上它们积的2倍. （2）（a －b ）2等于什么？你是怎样想的. （学生讨论，探索结论，学生自己回答解决方法）（学生很容易模仿上面的方法用多项式乘法来解决，老师可以适当的引导学生利用刚才验证的公式来解决整个问题，寻求一个问题的多种解法）法一：（a －b ）2=（a －b ）（a －b ）=a 2－ab －ba +b 2=a 2－2ab +b 2.法二：因（a +b ）2=a 2+2ab +b 2中的a 、b 可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b ”代替公式中的“b ”，利用上面的公式就可以得到（a －b ）2=［a +（－b ）］2. ［师生共析］（a －b ）2=［a +（－b ）］2=a 2+2·a ·（－b ）+（－b ）2=a 2－2ab +b 2. 于是，我们得到又一个公式：（a －b ）2=a 2－2ab +b 2 ［师］你能用语言描述这个公式吗？（学生模仿上面公式的描述试着自己描述，请学生回答） 两个数的差的平方等于这两个数的平方和减去它们积的2倍. 2.应用、升华［例1］利用完全平方公式计算：（1）（2x －3）2； （2） （4x +5y ）2； （3） （mn －a ）2.分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，明确谁是a ，谁是b ，准确代入公式；第三步化简. Ⅲ、随堂练习 计算：（1）（x －2y ）2；（2）（2xy +x ）2；（3）（n +1）2－n 2. （学生演板，互相批改）解：（1）（x －2y ）2=（x ）2－2·x ·2y +（2y ）2=x 2－2xy +4y 2 （2）（2xy +x ）2=（2xy ）2+2·2xy ·x +（x ）2=4x 2y 2+x 2y +x 2 （3）方法一：（n +1）2－n 2=n 2+2n +1－n 2=2n +1.方法二：（n +1）2－n 2=［（n +1）+n ］［（n +1）－n ］=2n +1. Ⅳ、课后作业《1.7整式的除法》教案教学目标：215121212141515151542511．知识与技能：理解整式除法运算的算理，会进行简单的整式除法运算.2．过程与方法：经历探索整式除法运算法则的过程，发展有条理的思考及表达能力. 3. 情感与态度：体会数学在生活中的广泛应用教学重点：单项式除以单项式的整式除法运算.教学难点：单项式除以单项式运算法则的探究过程.教学过程设计：第一环节：复习回顾 活动内容：复习准备 1.同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减.2．单项式与单项式相除的法则：单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式. 第二环节：情境引入活动内容：你知道需要多少杯子吗？图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）的杯子中，那么一共需要多少个这样的杯子？（单位：cm ）第三环节：探究新知 活动内容：1.直接出示问题，由学生独立探究. 计算下列各题，说说你的理由.2.总结探究方法),,,0(n m n m a a a a n m n m >≠=÷-且都是正整数=÷-=÷+=÷+xy xy xy a ab b a d bd ad )2()3()3()2(132）（）（（1）瓶28（2）杯子方法1：利用乘除法的互逆 方法2：类比有理数的除法3.总结多项式除以单项式的法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 第四环节：例题讲解 活动内容：例、计算：做一做：小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为 v ，所用时间为 t 1；第二阶段的平均速度为v ，所用时间为 t 2.下山时，小明的平均速度保持为4v ．已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，问小明下山用了多长时间？ 第五环节：课堂练习 活动内容：1．想一想，下列计算正确吗？2. 计算2)2(2)2()3(3)3(3)3()2()(1233222-=÷-∴-=⋅-+=÷+∴+=⋅++=÷+∴+=⋅+y xy xy xy xy xy xy y b ab a ab b a ab b a a b ab b a d bd ad bd ad d b a ）（）（02.302.0371)14.021(7)14.021(=+=⨯+=÷+例如21)2()2()3(31)3()3()2(1123322-=⋅-=÷-+=⋅+=÷++=⋅+=÷+y xy xy xy xy xy xy bab a ab b a a ab b a ba dbd ad d bd ad ）（）（）类比得到（)21()213()4(3)69()3(3)61527()2(2)86()1(222223xy xy xy y x xy xy y x a a a a b b ab -÷+-÷-÷+-÷+2122322223223232)21()642()3(32)5()15105()2(5.06)63()1(y xy x y y xy y x b ab a ab ab b a b a xxy xy y x -+-=-÷+-++=-÷--=÷-第六环节：处理情境问题活动内容：你知道需要多少杯子吗？图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）的杯子中，那么一共需要多少个这样的杯子？（单位：cm ）答：一共需要 个这样的杯子.第七环节：知识小结活动内容：师生互相交流总结本节课上应该掌握的多项式除以单项式的相关知识，教师对课堂上学生掌握不够牢固的知识进行强调与补充，学生畅谈个人的学习感受. 第八环节：布置作业xy xy y x d c d c d c m mc mb ma yy xy 7)34()4()2()6()3()()2()3()1(222332÷+-÷-÷++÷+hH a h a a H a a h a H a a h a H a 212)2()4()2()(248221212212222222222+=÷+÷=⎥⎦⎤⎢⎣⎡÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅÷⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅ππππππππππ（1）瓶28（2）杯子 h H 212+。

七年级数学下册第一章整式的乘除1.4整式的乘法1教案新版北师大版一. 教材分析《北师大版七年级数学下册》第一章整式的乘除1.4整式的乘法1教案，主要讲解整式的乘法运算。

整式的乘法是初中学员需要掌握的重要内容，它涉及到代数表达式的简化与变换，对于学生理解和运用代数知识具有重要意义。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整数四则运算和基本的代数知识，对整式的加减法有了初步的了解。

但学生在整式的乘法运算上可能还存在一定的困难，特别是对于多项式乘以多项式的规则和不定式的确定。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握整式乘法的基本规则和方法。

三. 教学目标1.让学生理解整式乘法的概念和意义。

2.掌握整式乘法的基本运算规则。

3.能够熟练进行整式的乘法运算。

4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：整式乘法的基本运算规则和运算方法。

2.教学难点：多项式乘以多项式的过程和不定式的确定。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过问题引导，让学生思考和探索整式乘法的规则；通过案例分析，让学生理解和掌握整式乘法的运算方法；通过小组合作，让学生互相讨论和解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪和黑板。

3.准备教学PPT或教案文档。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过一个实际问题引入整式乘法的学习，例如：“已知长方形的面积为长乘以宽，如果一个长方形的长是10cm，宽是5cm，求这个长方形的面积。

”让学生思考和探索如何将长和宽相乘得到面积。

2. 呈现（15分钟）呈现整式乘法的定义和基本规则，通过PPT或教案文档，介绍整式乘法的概念和意义，以及整式乘法的基本运算规则。

同时，给出一些具体的例子，让学生理解和掌握整式乘法的运算方法。

3. 操练（15分钟）让学生进行整式乘法的练习，可以是书面的练习题，也可以是口头的练习题。

七年级数学下册第一章整式的乘除1.4整式的乘法1教学设计新版北师大版一. 教材分析本节课的教学内容是北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除1.4整式的乘法1。

这部分内容是学生在学习了整式的加减、乘法运算法则等知识的基础上进行的，是进一步深化学生对整式运算的理解，培养学生运用整式运算解决实际问题的能力。

本节课的主要内容包括单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式。

二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经掌握了整数的四则运算和代数式的知识，对整式的加减运算有一定的了解。

但是，对于整式的乘法运算，尤其是多项式乘多项式的运算，可能会感到较为抽象和困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作和举例，逐步理解和掌握整式的乘法运算规律。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握整式的乘法运算，包括单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式。

2.过程与方法：通过小组合作、探究学习，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：掌握整式的乘法运算规律。

2.难点：理解多项式乘多项式的运算方法，并能灵活运用。

五. 教学方法采用“引导探究式”教学法，通过设置问题情境，引导学生主动探究，合作交流，从而解决问题，达到学习目标。

同时，运用“案例分析法”和“实践操作法”，让学生在实际操作中感受和理解整式乘法运算的规律。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含教学内容的PPT，以便在课堂上进行展示和讲解。

2.教学素材：准备一些实际的例子和练习题，用于引导学生进行探究和练习。

3.学生活动材料：为学生提供一些纸张和笔，以便他们在课堂上进行实际操作和记录。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何进行整式的乘法运算。

例如，给出一个长方形的面积公式，让学生思考如何通过整式乘法运算求解长方形的面积。

2.呈现（10分钟）利用PPT展示整式的乘法运算规律，包括单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式。

七年级数学下册第一章整式的乘除1.1同底数幂的乘法说课稿新版北师大版一. 教材分析《北师大版七年级数学下册》第一章整式的乘除1.1同底数幂的乘法是本章的第一节内容。

本节课主要介绍同底数幂的乘法法则，通过实例引导学生理解并掌握同底数幂相乘，底数不变指数相加的规律。

教材通过生活中的实际问题引入课题，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的乘除法、幂的定义等基础知识，对数学运算有一定的认识。

但是，对于同底数幂相乘的规律，学生可能初次接触，理解上存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要运用生动形象的实例，引导学生直观地感知同底数幂的乘法法则，并通过大量的练习让学生熟练掌握。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握同底数幂的乘法法则，能正确进行同底数幂的乘法运算。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生在解决实际问题中体验到数学的乐趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：同底数幂的乘法法则。

2.教学难点：同底数幂的乘法运算，以及如何引导学生发现并总结乘法法则。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、练习题等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实际问题，引导学生思考同底数幂的乘法问题，激发学生的学习兴趣。

2.探究新知：引导学生观察、分析实例，让学生自主发现同底数幂相乘的规律，教师引导学生总结并讲解同底数幂的乘法法则。

3.巩固新知：让学生进行小组讨论，互相解释同底数幂的乘法法则，教师通过PPT展示典型例题，讲解解题思路。

4.练习巩固：布置课堂练习题，让学生独立完成，教师及时批改并讲解错误。

5.拓展延伸：引导学生思考同底数幂的除法问题，为下一节课做铺垫。

七年级数学下册第一章整式的乘除1.3同底数幂的除法1教学设计新版北师大版一. 教材分析本节课的主题是同底数幂的除法，这是七年级数学下册第一章整式的乘除中的一个重要内容。

教材通过具体的例子引导学生理解同底数幂的除法规则，并运用这个规则解决实际问题。

教材内容由浅入深，循序渐进，让学生在学习过程中逐步掌握同底数幂的除法。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了同底数幂的乘法，对幂的概念有一定的了解。

但学生在应用同底数幂的除法规则解决实际问题时，还存在着一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的实际情况，引导学生通过实例深入理解同底数幂的除法规则，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握同底数幂的除法规则，能够正确地进行同底数幂的除法运算。

2.过程与方法：通过实例分析，引导学生发现同底数幂的除法规则，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：同底数幂的除法规则。

2.难点：如何引导学生发现并理解同底数幂的除法规则。

五. 教学方法采用启发式教学法、小组合作学习法和实例分析法。

通过启发式教学法引导学生主动探究同底数幂的除法规则，小组合作学习法培养学生的团队合作意识，实例分析法帮助学生理解并掌握同底数幂的除法规则。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生发现同底数幂的除法规则。

2.准备PPT，用于展示教材内容和实例分析。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾同底数幂的乘法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示教材中的例子，引导学生观察、分析同底数幂的除法规则。

3.操练（10分钟）教师提出一些同底数幂的除法问题，让学生独立解答。

解答过程中，教师引导学生运用刚刚学到的除法规则。

4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生互相交流解题心得，巩固所学知识。

北师大版七年级数学下册教学设计（含解析）：第一章整式的乘除1同底数幂的乘法一. 教材分析北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除1同底数幂的乘法，主要让学生掌握同底数幂的乘法运算法则，为学生以后学习幂的运算和其他数学知识打下基础。

本节课的内容在数学体系中占据重要地位，对于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在六年级时已经学习了幂的定义和基本运算，对于幂的概念和运算法则有一定的了解。

但七年级的学生在学习过程中，仍需要通过具体实例和实际操作来加深对同底数幂的乘法运算法则的理解。

因此，在教学过程中，要注重从学生已有的知识基础出发，通过引导和探究，让学生自主发现和总结同底数幂的乘法运算法则。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握同底数幂的乘法运算法则，能够熟练地进行同底数幂的乘法运算。

2.过程与方法：通过引导学生观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的广泛应用。

四. 教学重难点1.重点：同底数幂的乘法运算法则。

2.难点：同底数幂的乘法运算在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际操作，让学生在具体情境中感受和理解同底数幂的乘法运算法则。

2.引导发现法：教师引导学生观察、分析、归纳，使学生自主发现和总结同底数幂的乘法运算法则。

3.小组合作学习：学生分组讨论，培养团队协作精神，提高学生的沟通能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示教学内容。

2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用同底数幂的乘法运算法则解决问题。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例或实际问题，引入同底数幂的乘法运算，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过课件展示同底数幂的乘法运算法则，引导学生观察、分析、归纳，使学生自主发现和总结同底数幂的乘法运算法则。

七年级数学下册第一章整式的乘除1.1同底数幂的乘法教案新版北师大版一. 教材分析本节课的主要内容是同底数幂的乘法。

这是初中学员初步接触幂的运算规则，是幂的运算法则的基础，对于学生来说，这部分内容比较抽象，需要通过具体的例子让学生理解和掌握。

教材通过例题和练习，帮助学生理解和掌握同底数幂的乘法法则，为以后学习幂的其它运算规则打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘法、除法和幂的概念，对于乘法和除法的运算法则有一定的了解，但对于幂的运算还是第一次接触，可能会觉得比较抽象，难以理解。

因此，在教学过程中，需要通过具体的例子，让学生理解和掌握同底数幂的乘法法则。

三. 教学目标1.让学生理解和掌握同底数幂的乘法法则。

2.培养学生运用同底数幂的乘法法则解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

四. 教学重难点1.同底数幂的乘法法则的理解和运用。

2.幂的运算的抽象思维能力的培养。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过具体的例子，引导学生探索和发现同底数幂的乘法法则，然后通过练习，巩固所学知识，最后通过解决实际问题，让学生运用所学知识。

六. 教学准备1.PPT课件2.教学工具七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入同底数幂的乘法。

例如，计算下列各式的值：[2^3 2^2][3^4 3^2]让学生尝试计算，引导学生发现同底数幂的乘法法则。

2.呈现（15分钟）通过PPT课件，呈现同底数幂的乘法法则：[a^m a^n = a^{m+n}]解释法则的推导过程，让学生理解并掌握同底数幂的乘法法则。

3.操练（15分钟）让学生进行一些同底数幂的乘法的练习，例如：[2^3 2^2][3^4 3^2][4^5 4^3]让学生独立完成，教师巡回指导。

4.巩固（10分钟）让学生解决一些实际问题，运用同底数幂的乘法法则。

例如：一个长方体的长、宽、高分别是8cm、3cm、2cm，求它的体积。

七年级数学下册第一章整式的乘除1.3同底数幂的除法1教案新版北师大版一. 教材分析本节课的内容是同底数幂的除法，这是整式乘除的一个重要部分。

在同底数幂的除法中，学生需要掌握同底数幂相除的规则，即底数不变，指数相减。

这部分内容在初中学段是非常基础的，对于学生后续学习函数、方程等高级内容有着重要的铺垫作用。

二. 学情分析面对七年级的学生，他们对整式的乘除已经有了一定的了解，但是同底数幂的除法是一个新的概念，需要通过实例来让学生理解和接受。

在教学过程中，我会尽量用生动的例子来引导学生，让他们在实践中掌握这个概念。

三. 教学目标通过本节课的学习，学生需要达到以下目标：1.理解同底数幂的除法概念；2.掌握同底数幂相除的规则；3.能够独立完成同底数幂的除法运算。

四. 教学重难点同底数幂的除法是本节课的重点，而掌握同底数幂相除的规则是本节课的难点。

五. 教学方法在教学过程中，我会采用讲授法、例证法、练习法等多种教学方法，通过讲解、举例、练习等多种方式，让学生充分理解和掌握同底数幂的除法。

六. 教学准备为了准备好这节课，我会准备一些PPT，包括同底数幂的除法的规则、例子等，还会准备一些练习题，用于课堂练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）我会通过一个简单的例子来导入本节课，比如2^3 ÷ 2^2，让学生尝试计算，从而引出同底数幂的除法。

2.呈现（10分钟）我会用PPT来呈现同底数幂的除法规则，底数不变，指数相减。

同时，我会用一些例子来解释这个规则，让学生理解和接受。

3.操练（15分钟）我会让学生做一些练习题，来巩固他们对同底数幂的除法的理解。

这些题目会包括不同难度的题目，以满足不同学生的需求。

4.巩固（10分钟）我会用一些练习题来巩固学生对同底数幂的除法的掌握程度。

我会挑选一些典型的题目，让学生通过讨论的方式来解决问题。

5.拓展（10分钟）在这个环节，我会用一些综合性的题目来拓展学生的思维，让他们能够将同底数幂的除法应用到更广泛的问题中。

最新北师大版七年级数学下第一章整式的乘除教案1．理解并掌握同底数幂的乘法法则；(重点)2．运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．(难点)一、情境导入问题：2015年9月24日；美国国家航空航天局(下简称：NASA)对外宣称将有重大发现宣布；可能发现除地球外适合人类居住的星球；一时间引起了人们的广泛关注．早在2014年；NASA就发现一颗行星；这颗行星是第一颗在太阳系外恒星旁发现的适居带内、半径与地球相若的系外行星；这颗行星环绕红矮星开普勒18 6；距离地球492光年.1光年是光经过一年所行的距离；光的速度大约是3×105km/s.问：这颗行星距离地球多远(1年＝3.1536×107s)?3×105×3.1536×107×492＝3×3.1536×4.92×105×107×102＝4.6547136×10×105×107×102.问题：“10×105×107×102”等于多少呢？二、合作探究探究点：同底数幂的乘法【类型一】底数为单项式的同底数幂的乘法计算：(1)23×24×2；(2)－a3·(－a)2·(－a)3；(3)m n＋1·m n·m2·m.解析：(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方；再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．解：(1)原式＝23＋4＋1＝28；(2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8；(3)原式＝m n＋1＋n＋2＋1＝a2n＋4.方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂；进行运算时；不能忽略了幂指数1.【类型二】底数为多项式的同底数幂的乘法计算：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；(2)(x－y)2·(y－x)5.解析：将底数看成一个整体进行计算．解：(1)原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n；(2)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7.方法总结：底数互为相反数的幂相乘时；先把底数统一；再进行计算．(a－b)n＝⎩⎪⎨⎪⎧（b －a ）n （n 为偶数）；－（b －a ）n （n 为奇数）. 【类型三】 运用同底数幂的乘法求代数式的值若82a ＋3·8b －2＝810；求2a ＋b 的值．解析：根据同底数幂的乘法法则；底数不变指数相加；可得a 、b 的关系；根据a 、b 的关系求解． 解：∵82a ＋3·8b －2＝82a ＋3＋b －2＝810；∴2a ＋3＋b －2＝10；解得2a ＋b ＝9. 方法总结：将等式两边化为同底数幂的形式；底数相同；那么指数也相同． 变式训练：本课时练习第6题【类型四】 同底数幂的乘法法则的逆用已知a m ＝3；a n ＝21；求a m ＋n 的值． 解析：把a m ＋n 变成a m ·a n ；代入求值即可． 解：∵a m ＝3；a n ＝21；∴a m ＋n ＝a m ·a n ＝3×21＝63. 方法总结：逆用同底数幂的乘法法则把a m ＋n 变成a m ·a n . 变式训练：本课时练习第9题 三、板书设计1．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘；底数不变；指数相加． 即a m ·a n ＝a m ＋n (m ；n 都是正整数)． 2．同底数幂的乘法法则的运用在同底数幂乘法公式的探究过程中；学生表现出观察角度的差异：有的学生只是侧重观察某个单独的式子；把它孤立地看；而不知道将几个式子联系起来；有的学生则既观察入微；又统揽全局；表现出了较强的观察力．教师要善于抓住这个契机；适当对学生进行指导；培养他们“既见树木；又见森林”的优良观察品质．对于公式使用的条件既要把握好“度”；又要把握好“方向”1．2 幂的乘方与积的乘方第1课时 幂的乘方1．理解幂的乘方的运算性质；进一步体会和巩固幂的意义；(重点)2．掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活应用．(难点)一、情境导入 1．填空：(1)同底数幂相乘；________不变；指数________； (2)a 2×a 3＝________；10m ×10n ＝________； (3)(－3)7×(－3)6＝________； (4)a ·a 2·a 3＝________； (5)(23)2＝23·23＝________； (x 4)5＝x 4·x 4·x 4·x 4·x 4＝________． 2．计算(22)3；(24)3；(102)3.问题：(1)上述几道题目有什么共同特点？ (2)观察计算结果；你能发现什么规律？ (3)你能推导一下(a m )n 的结果吗？请试一试． 二、合作探究探究点一：幂的乘方计算：(1)(a 3)4; (2)(x m －1)2； (3)[(24)3]3; (4)[(m －n )3]4.解析：直接运用(a m )n ＝a mn 计算即可．解：(1)(a 3)4＝a 3×4＝a 12； (2)(x m －1)2＝x 2(m －1)＝x 2m －2；(3)[(24)3]3＝24×3×3＝236； (4)[(m －n )3]4＝(m －n )12.方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时；一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆；在幂的乘方中；底数可以是单项式；也可以是多项式．变式训练：本课时练习第4题 探究点二：幂的乘方的逆用【类型一】 逆用幂的乘方比较数的大小请看下面的解题过程：比较2100与375的大小．解：∵2100＝(24)25；375＝(33)25；又∵24＝16；33＝27；16＜27；∴2100＜375. 请你根据上面的解题过程；比较3100与560的大小；并总结本题的解题方法．解析：首先理解题意；然后可得3100＝(35)20；560＝(53)20；再比较35与53的大小；即可求得答案． 解：∵3100＝(35)20；560＝(53)20；又∵35＝243；53＝125；243＞125；即35＞53；∴3100＞560.方法总结：此题考查了幂的乘方的性质的应用．注意理解题意；根据题意得到3100＝(35)20；560＝(53)20是解此题的关键．变式训练：本课时练习第7题【类型二】 逆用幂的乘方求代数式的值已知2x ＋5y －3＝0；求4x ·32y 的值．解析：由2x ＋5y －3＝0得2x ＋5y ＝3；再把4x ·32y 统一为底数为2的乘方的形式；最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．解：∵2x ＋5y －3＝0；∴2x ＋5y ＝3；∴4x ·32y ＝22x ·25y ＝22x ＋5y ＝23＝8.方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法；整体代入求解也比较关键． 【类型三】 逆用幂的乘方结合方程思想求值已知221＝8y ＋1；9y ＝3x －9；则代数式13x ＋12y 的值为________．解析：由221＝8y ＋1；9y ＝3x －9得221＝23(y ＋1)；32y ＝3x －9；则21＝3(y ＋1)；2y ＝x －9；解得x ＝21；y ＝6；故代数式13x ＋12y ＝7＋3＝10.故答案为10.方法总结：根据幂的乘方的逆运算进行转化得到x 和y 的方程组；求出x 、y ；再计算代数式． 变式训练：本课时练习第6题 三、板书设计1．幂的乘方法则：幂的乘方；底数不变；指数相乘． 即(a m )n ＝a mn (m ；n 都是正整数)． 2．幂的乘方的运用幂的乘方公式的探究方式和前节类似；因此在教学中可以利用该优势展开教学；在探究过程中可以进一步发挥学生的主动性；尽可能地让学生在已有知识的基础上；通过自主探究；获得幂的乘方运算的感性认识；进而理解运算法则1．2 幂的乘方与积的乘方第2课时积的乘方1．掌握积的乘方的运算法则；(重点)2．掌握积的乘方的推导过程；并能灵活运用．(难点)一、情境导入1．教师提问：同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘；底数不变；指数相加．幂的乘方公式：幂的乘方；底数不变；指数相乘．2．肯定学生的发言；引入新课：今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方．二、合作探究探究点一：积的乘方【类型一】直接运用积的乘方法则进行计算计算：(1)(－5ab)3; (2)－(3x2y)2；(3)(－43ab2c3)3; (4)(－x m y3m)2.解析：直接运用积的乘方法则计算即可．解：(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3；(2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2；(3)(－43ab2c3)3＝(－43)3a3b6c9＝－6427a3b6c9；(4)(－x m y3m)2＝(－1)2x2m y6m＝x2m y6m.方法总结：运用积的乘方法则进行计算时；注意每个因式都要乘方；尤其是字母的系数不要漏乘方．变式训练：本课时练习第7题【类型二】含积的乘方的混合运算(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.解析：(1)先进行积的乘方；然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方；然后合并．解：(1)原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9＝－8a9＋16a9－125a9＝－117a9；(2)原式＝a6b12－a6b12＝0.方法总结：先算积的乘方；再算乘法；然后算加减；最后合并同类项．变式训练：本课时练习第7题(3)【类型三】积的乘方的实际应用太阳可以近似地看作是球体；如果用V 、R 分别代表球的体积和半径；那么V ＝43πR 3；太阳的半径约为6×105千米；它的体积大约是多少立方千米(π取3)?解析：将R ＝6×105千米代入V ＝43πR 3；即可求得答案．解：∵R ＝6×105千米；∴V ＝43πR 3≈43×3×(6×105)3≈8.64×1017(立方千米)．答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．方法总结：读懂题目信息；理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键． 探究点二：积的乘方的逆用【类型一】 逆用积的乘方进行简便运算计算：(23)2014×(32)2015.解析：将(32)2015转化为(32)2014×32；再逆用积的乘方公式进行计算．解：原式＝(23)2014×(32)2014×32＝(23×32)2014×32＝32.方法总结：对公式a n ·b n ＝(ab )n 要灵活运用；对于不符合公式的形式；要通过恒等变形转化为公式的形式；运用此公式可进行简便运算．变式训练：本课时练习第7题(2)【类型二】 逆用积的乘方比较数的大小解：∵213×310＝23×(2×3)10；210×312＝32×(2×3)10；又∵23＜32；∴213×310＜210×312. 方法总结：利用积的乘方；转化成同底数的同指数幂是解答此类问题的关键． 三、板书设计1．积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的积． 即(ab )n ＝a n b n (n 是正整数)． 2．积的乘方的运用在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学．教师在讲解积的乘方公式的应用时；再补充讲解积的乘方公式的逆运算：a n ·b n ＝(ab )n ；同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力；也可以补充讲解：当n 为奇数时；(－a )n ＝－a n (n 为正整数)；当n 为偶数时；(－a )n ＝a n (n 为正整数)1．3 同底数幂的除法第1课时 同底数幂的除法1．理解并掌握同底数幂的除法运算并能运用其解决实际问题；(重点)2．理解并掌握零次幂和负指数幂的运算性质．(难点)一、情境导入一种液体每升含有1012个有害细菌；为了试验某种杀菌剂的效果；科学家们进行了实验；发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌．要将1升液体中的有害细菌全部杀死；需要这种杀菌剂多少滴？二、合作探究探究点一：同底数幂的除法【类型一】 直接运用同底数幂的除法进行运算计算： (1)(－xy )13÷(－xy )8； (2)(x －2y )3÷(2y －x )2； (3)(a 2＋1)7÷(a 2＋1)4÷(a 2＋1)2.解析：利用同底数幂的除法法则即可进行计算；其中(1)应把(－xy )看作一个整体；(2)把(x －2y )看作一个整体；2y －x ＝－(x －2y )；(3)把(a 2＋1)看作一个整体．解：(1)(－xy )13÷(－xy )8＝(－xy )13－8＝(－xy )5＝－x 5y 5； (2)(x －2y )3÷(2y －x )2＝(x －2y )3÷(x －2y )2＝x －2y ； (3)(a 2＋1)7÷(a 2＋1)4÷(a 2＋1)2＝(a 2＋1)7－4－2＝(a 2＋1)1＝a 2＋1.方法总结：计算同底数幂的除法时；先判断底数是否相同或可变形为相同；再根据法则计算． 变式训练：本课时练习第3题【类型二】 逆用同底数幂的除法进行计算已知a m ＝4；a n ＝2；a ＝3；求a m －n －1的值．解析：先逆用同底数幂的除法；对a m －n －1进行变形；再代入数值进行计算．解：∵a m ＝4；a n ＝2；a ＝3；∴a m －n －1＝a m ÷a n ÷a ＝4÷2÷3＝23.方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出a m －n －1＝a m ÷a n ÷a . 变式训练：本课时练习第7题【类型三】 同底数幂除法的实际应用声音的强弱用分贝表示；通常人们讲话时的声音是50分贝；它表示声音的强度是105；汽车的声音是100分贝；表示声音的强度是1010；喷气式飞机的声音是150分贝；求：(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？解析：(1)用汽车声音的强度除以人声音的强度；再利用“同底数幂相除；底数不变；指数相减”计算；(2)将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音的强度；再除以汽车声音的强度即可得到答案．解：(1)因为1010÷105＝1010－5＝105；所以汽车声音的强度是人声音的强度的105倍；(2)因为人的声音是50分贝；其声音的强度是105；汽车的声音是100分贝；其声音的强度为1010；所以喷气式飞机的声音是150分贝；其声音的强度为1015；所以1015÷1010＝1015－10＝105；所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的105倍．方法总结：本题主要考查同底数幂除法的实际应用；熟练掌握其运算性质是解题的关键． 变式训练：本课时练习第4题探究点二：零指数幂和负整数指数幂 【类型一】 零指数幂若(x －6)0＝1成立；则x 的取值范围是( ) A ．x ≥6 B ．x ≤6 C ．x ≠6 D ．x ＝6解析：∵(x －6)0＝1成立；∴x －6≠0；解得x ≠6.故选C.方法总结：本题考查的是0指数幂成立的条件；非0的数的0次幂等于1；注意0指数幂的底数不能为0.变式训练：本课时练习第5题 【类型二】 比较数的大小若a ＝(－23)－2；b ＝(－1)－1；c ＝(－32)0；则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＝cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a方法总结：本题的关键是熟悉运算法则；利用计算结果比较大小．当底数是分数；指数为负整数时；只要把底数的分子、分母颠倒；负指数就可变为正指数．【类型三】 零指数幂与负整数指数幂中底数的取值范围若(x －0－2) A ．x ＞3 B ．x ≠3且x ≠2C ．x ≠3或x ≠2D ．x ＜2方法总结：任意非0的数的0次幂为1；底数不能为0；负整数指数幂的底数不能为0. 【类型四】 含整数指数幂、零指数幂与绝对值的混合运算计算：－22＋(－12)－2＋(2015－π)0－|2－π2|.解析：分别根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数；再根据实数的运算法则进行计算．解：－22＋(－12)－2＋(2015－π)0－|2－π2|＝－4＋4＋1－2＋π2＝π2－1.方法总结：熟练掌握有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质是解答此题的关键． 三、板书设计1．同底数幂的除法法则：同底数幂相除；底数不变；指数相减． 2．零次幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.即a 0＝1(a ≠0)． 3．负整数次幂：任何一个不等于零的数的－p (p 是正整数)次幂；等于这个数p 次幂的倒数．即a －p ＝1ap(a ≠0；p 是正整数)．从计算具体问题中的同底数幂的除法；逐步归纳出同底数幂除法的一般性质．教学时要多举几个例子；让学生从中总结出规律；体验自主探究的乐趣和数学学习的魅力；为以后的学习奠定基础1．3 同底数幂的除法第2课时 用科学记数法表示较小的数1．理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法；(重点)2．能将用科学记数法表示的数还原为原数．一、情境导入同底数幂的除法公式为a m ÷a n ＝a m －n ；有一个附加条件：m ＞n ；即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数；即m ＝n 或m ＜n 时；情况怎样呢？二、合作探究探究点：用科学记数法表示较小的数【类型一】 用科学记数法表示绝对值小于1的数2014年6月18日中商网报道；一种重量为0.000106千克；机身由碳纤维制成；且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人；0.000106用科学记数法可表示为( )A ．1.06×10－4B ．1.06×10－5C ．10.6×10－5D ．106×10－6解析：0.000106＝1.06×10－4.故选A.方法总结：绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示；一般形式为a ×10－n ；其中1≤a <10；n 为正整数．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂；指数由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定．变式训练：本课时练习第2题【类型二】 将用科学记数法表示的数还原为原数用小数表示下列各数： (1)2×10－7; (2)3.14×10－5； (3)7.08×10－3; (4)2.17×10－1.解析：小数点向左移动相应的位数即可．解：(1)2×10－7＝0.0000002；(2)3.14×10－5＝0.0000314； (3)7.08×10－3＝0.00708； (4)2.17×10－1＝0.217.方法总结：将科学记数法表示的数a ×10－n 还原成通常表示的数；就是把a 的小数点向左移动n 位所得到的数．变式训练：本课时练习第6题 三、板书设计用科学记数法表示绝对值小于1的数：一般地；一个小于1的正数可以表示为a ×10n ；其中1≤a <10；n 是负整数．从本节课的教学过程来看；结合了多种教学方法；既有教师主导课堂的例题讲解；又有学生主导课堂的自主探究．课堂上学习气氛活跃；学生的学习积极性被充分调动；在拓展学生学习空间的同时；又有效地保证了课堂学习质量1．4 整式的乘法第1课时 单项式与单项式相乘1．复习幂的运算性质；探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则；(重点)2．能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题．(难点)一、情境导入根据乘法的运算律计算： (1)2x ·3y ；(2)5a 2b ·(－2ab 2)． 解：(1)2x ·3y ＝(2×3)·(x ·y )＝6xy ； (2)5a 2b ·(－2ab 2)＝5×(－2)·(a 2·a )·(b ·b 2)＝－10a 3b 3.观察上述运算；你能归纳出单项式乘法的运算法则吗？ 二、合作探究探究点：单项式与单项式相乘【类型一】 直接利用单项式乘以单项式法则进行计算(1)(－23a 2b )·56ac 2；(2)(－12x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2；(3)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2.解析：运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可．解：(1)(－23a 2b )·56ac 2＝－23×56a 3bc 2＝－59a 3bc 2；(2)(－12x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2＝－18x 6y 3×3xy 2×4x 2y 4＝－32x 9y 9；(3)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2＝－6×13m 3n 3(x －y )5＝－2m 3n 3(x －y )5.方法总结：(1)在计算时；应先进行符号运算；积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．变式训练：本课时练习第7题【类型二】 单项式乘以单项式与同类项的综合已知－2x 3m ＋1y 2n 与7x 5m －3y 5n －4的积与x 4y 是同类项；求m 2＋n 的值．解析：根据－2x 3m ＋1y 2n 与7x 5m －3y 5n －4的积与x 4y 是同类项可得出关于m ；n 的方程组；进而求出m ；n 的值；即可得出答案．解：∵－2x 3m ＋1y 2n 与7x 5m －3y 5n －4的积与x 4y 是同类项；∴⎩⎨⎧3m ＋1＋5m －3＝4；2n ＋5n －4＝1；解得⎩⎨⎧m ＝34；n ＝57；∴m 2＋n ＝143112.方法总结：掌握单项式乘以单项式的运算法则；再结合同类项；列出二元一次方程组是解题关键． 变式训练：本课时练习第5题【类型三】 单项式乘以单项式的实际应用有一块长为x m ；宽为y m 的长方形空地；现在要在这块地中规划一块长35x m ；宽34y m 的长方形空地用于绿化；求绿化的面积和剩下的面积．解析：先求出长方形的面积；再求出绿化的面积；两者相减即可求出剩下的面积．解：长方形的面积是xy m 2；绿化的面积是35x ×34y ＝920xy (m 2)；则剩下的面积是xy －920xy ＝1120xy (m 2)．方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键． 变式训练：本课时练习第7题 三、板书设计1．单项式乘以单项式的运算法则：单项式相乘；把系数、同底数幂分别相乘；作为积的因式；对于只在一个单项式里面含有的字母；则连同它的指数作为积的一个因式．2．单项式乘以单项式的应用本课时的重点是让学生理解单项式的乘法法则并能熟练应用．要求学生在乘法的运算律以及幂的运算律的基础上进行探究．教师在课堂上应该处于引导位置；鼓励学生“试一试”；学生通过动手操作；能够更为直接的理解和应用该知识点1．4 整式的乘法第2课时 单项式与多项式相乘1．能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则；2．掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用．(重点；难点)一、情境导入 计算：(－12)×(12－13－14)．我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算；那么怎样计算2x ·(3x 2－2x ＋1)呢？ 二、合作探究探究点：单项式乘以多项式【类型一】 直接利用单项式乘以多项式法则进行计算计算： (1)(23ab 2－2ab )·12ab ； (2)－2x ·(12x 2y ＋3y －1)．解析：利用单项式乘以多项式法则计算即可．解：(1)(23ab 2－2ab )·12ab ＝23ab 2·12ab －2ab ·12ab ＝13a 2b 3－a 2b 2；(2)－2x ·(12x 2y ＋3y －1)＝－2x ·12x 2y ＋(－2x )·3y ＋(－2x )·(－1)＝－x 3y ＋(－6xy )＋2x ＝－x 3y －6xy ＋2x .方法总结：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘；就是用单项式去乘多项式的每一项；再把所得的积相加．变式训练：本课时练习第9题【类型二】 单项式与多项式乘法的实际应用一条防洪堤坝；其横断面是梯形；上底宽a 米；下底宽(a ＋2b )米；坝高12a 米．(1)求防洪堤坝的横断面面积；(2)如果防洪堤坝长100米；那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？解析：(1)根据梯形的面积公式；然后利用单项式乘以多项式的运算法则计算；(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．解：(1)防洪堤坝的横断面面积S ＝12[a ＋(a ＋2b )]×12a ＝14a (2a ＋2b )＝12a 2＋12ab (平方米)．故防洪堤坝的横断面面积为(12a 2＋12ab )平方米；(2)堤坝的体积V ＝Sl ＝(12a 2＋12ab )×100＝50a 2＋50ab (立方米)．故这段防洪堤坝的体积是(50a 2＋50ab )立方米．方法总结：本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计算方法；同时掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．变式训练：本课时练习第9题【类型三】 利用单项式乘以多项式化简求值22a ＋5)＋7a 2；其中a ＝2.解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号；然后合并同类项；最后代入已知的数值计算即可．解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2＝－28a2＋15a；当a＝2时；原式＝－82.方法总结：本题考查了整式的化简求值．在计算时要注意先化简然后再代值计算．整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项．变式训练：本课时练习第10题三、板书设计1．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘；用单项式和多项式的每一项分别相乘；再把所得的积相加．2．单项式与多项式乘法的应用本节课在已学过的单项式乘以单项式的基础上；学习单项式乘以多项式．教学中注意发挥学生的主体作用；让学生积极参与课堂活动；并通过不断纠错而提高解题水平1．4 整式的乘法第3课时多项式与多项式相乘1．理解多项式乘以多项式的运算法则；能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；(重点)2．掌握多项式与多项式的乘法法则的应用．(难点)一、情境导入某地区在退耕还林期间；将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．学生积极思考；教师引导学生分析；学生发现：这块林区现在长为(m＋n)米；宽为(a＋b)米；因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米．另外；如图；这块地由四小块组成；它们的面积分别为ma平方米；mb平方米、na平方米；nb平方米；故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．二、合作探究探究点一：多项式与多项式相乘【类型一】直接利用多项式乘多项式法则进行计算计算：(1)(3x＋2)(x＋2)；(2)(4y－1)(5－y)．解析：利用多项式乘以多项式法则计算；即可得到结果．解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.方法总结：多项式乘以多项式；按一定的顺序进行；必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘；仍得多项式；在合并同类项之前；积的项数应等于原多项式的项数之积．变式训练：本课时练习第7题(1)(2)(3)【类型二】多项式乘以多项式的混合运算计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算；再把所得结果合并即可．解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．变式训练：本课时练习第7题(4)探究点二：多项式与多项式相乘的化简求值及应用【类型一】多项式乘以多项式的化简求值先化简；再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)；其中a＝－1；b＝1.解析：先将式子利用整式乘法展开；合并同类项化简；再代入计算．解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8 b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1；b＝1时；原式＝－8＋2－15＝－21.方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型；一定要注意先化简；再求值；不能先代值；再计算．变式训练：本课时练习第8题【类型二】多项式乘以多项式与方程的综合解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.解析：方程两边利用多项式乘以多项式法则计算；移项、合并同类项；将x系数化为1；即可求出解．解：去括号后得x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4；移项、合并同类项得－15x＝7；解得x＝－715.方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法；将原方程转化为已学过的方程解答．【类型三】多项式乘以多项式的实际应用千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a＋b)米；宽为(2a＋b)米的长方形地块；物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)；中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)；则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3；b＝2时的绿化面积．解析：根据长方形的面积公式；可得内坝、景点的面积；根据面积的差；可得答案．解：由题意；得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab(平方米)．当a＝3；b＝2时；5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(平方米)；故绿化的面积是63平方米．方法总结：掌握长方形的面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键． 变式训练：本课时练习第9题【类型四】 根据多项式乘以多项式求待定系数的值已知ax 2＋bx ＋1(a ≠0)与3x －2的积不含x 2项；也不含x 项；求系数a 、b 的值． 解：(ax 2＋bx ＋1)(3x －2)＝3ax 3－2ax 2＋3bx 2－2bx ＋3x －2.∵积不含x 2项；也不含x 项；∴－2a ＋3b ＝0；－2b ＋3＝0；解得b ＝32；a ＝94；∴系数a 、b 的值分别是94；32.方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式；合并同类项后；再根据不含某一项；可得这一项系数等于零；再列出方程解答．变式训练：本课时练习第3题三、板书设计1．多项式与多项式的乘法法则：多项式和多项式相乘；先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘；再把所得的积相加． 2．多项式与多项式乘法的应用本节知识的综合性较强；要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识；同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则；教学中一定要精讲精练；让学生从练习中再次体会法则的内容；为以后的学习奠定基础1．5 平方差公式1．掌握平方差公式的推导和运用；以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点) 2．掌握平方差公式的应用．(重点)一、情境导入1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则． 学生积极举手回答．多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘；先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项；再把所得的积相加．2．教师肯定学生的表现；并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式． 二、合作探究探究点：平方差公式【类型一】 直接运用平方差公式进行计算利用平方差公式计算： (1)(3x －5)(3x ＋5)； (2)(－2a －b )(b －2a )；(3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)．解析：直接利用平方差公式进行计算即可． 解：(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25； (2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2；(3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16.方法总结：应用平方差公式计算时；应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘；并且这两个二项式中有一项完全相同；另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体的数；也可以是单项式或多项式．变式训练：本课时练习第7题【类型二】 利用平方差公式进行简便运算利用平方差公式计算： (1)2013×1923； (2)13.2×12.8.解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13)；然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)；然后利用平方差公式进行计算．解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝202－(13)2＝400－19＝39989；(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键． 变式训练：本课时练习第12题 【类型三】 化简求值先化简；再求值：(2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )；其中x ＝1；y ＝2.解析：利用平方差公式展开并合并同类项；然后把x 、y 的值代入进行计算即可得解． 解：(2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2)＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2＝5x 2－5y 2.当x ＝1；y ＝2时；原式＝5×12－5×22＝－15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值；切忌代入数值直接计算． 变式训练：本课时练习第8题【类型四】 平方差公式的几何背景如图①；在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )；把剩下部分拼成一个梯形(如图②)；利用这两幅图形的面积；可以验证的乘法公式是______________．解析：∵图①中阴影部分的面积是a 2－b 2；图②中梯形的面积是12(2a ＋2b )(a －b )＝(a ＋b )(a －b )；∴a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )；即可验证的乘法公式为(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释． 变式训练：本课时练习第8题【类型五】 平方差公式的实际应用。

§1.1 同底数幂的乘法 (教学设计)设计者：安徽省灵璧中学贺明跃一、教学目标：知识目标：熟记同底数幂乘法的法则；能正确地运用同底数幂乘法的运算性质，并能应用它解决一些实际问题.能力目标：经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，并从同底数幂乘法法则的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力.情感目标：通过同底数幂乘法法则的推导和应用，使学生初步理解“特殊——一般——特殊”的认知规律和辨证唯物主义思想，体味科学思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新精神.二、学法引导：1．教学方法：尝试指导法、探究法、小组合作学习．2．学生学法：运用归纳法、类比法由特殊性推导出公式所具有的一般性，在探究规律过程中增进对知识的理解．三、重点与难点：重点：同底数幂的乘方法则.难点：探索同底数幂的乘法法则.及“性质”的正确使用．四、课时安排：一课时．五、教学准备：课件ppt六、教学过程：1.1 同底数幂的乘法（一）、创设问题情景，引入新课［师］同学们还记得“a n”的意义吗？找学生回答。

［师］我们回忆了幂的意义后，下面看课本提出的问题.(出示课件ppt) 问题1：光在真空中的速度大约是3×105千米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需4.22年.一年以3×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？［生］回答。

［师］ 105×102，105×107如何计算呢？［生］采用乘方的意义解答。

［师］很棒！我们观察105×107可以发现105、107这两个因数是同底的幂的形式，所以105×107我们把这种运算叫做同底数幂的乘法，那么如何计算他们呢，我们今天一起来探索同底数幂的乘法的法则。

（二）、学生通过做一做、议一议，推导出同底数幂的乘法的运算性质 做一做（ppt 演示）（学生小组合作完成，上黑板展示,讲解）1.计算下列各式：(1)102×103； (2)105×108； (3)10m ×10n (m,n 都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言加以描述.2. n m 22⨯等于什么？n m )71()71(⨯呢？(m,n 都是正整数) （采用新媒体技术投影仪，投放学生的作品）学生讲解过程。

教课方案整体设计教课要点与难点教课要点：同底数幂的乘法运算法例及其应用.教课难点：同底数幂的乘法运算法例的灵巧运用.学情解析认知基础：学生经过对七年级上册数学课本的学习，已经掌握了用字母表示数的技术，会判断同类项、归并同类项，同时在学习了有理数乘方运算后，知道了求n 个同样数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，即＝a n，在a n中，a叫底数，n叫指数，这些基础知识为本节课的学习确立了基础．活动经验基础：在有关知识的学习过程中，学生完整能够借助于已知的幂的意义，经过个人思虑、小组合作等形式，进行知识迁徙，总结出新的知识．教课目的1．能够在本质情境中，抽象归纳出所要研究的数学识题，加强学生的数感与符号感．2．在已有的对幂的知识的认识基础之上，经过与伙伴合作，经历研究同底数幂的乘法运算的性质过程，进一步领会幂的意义，发展合作沟通能力、推理能力和有条理地表达能力．3．认识同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些本质问题，感觉数学与现实生活的密切联系，加强学生的数学应意图识，训练他们养成解析问题、解决问题的优秀习惯．教课方法指引启迪法．教师在指引学生回想幂的意义的基础上，经过特例的推理，再到一般结论的推出，启迪学生应用旧知识解决新问题，得出新结论，并能灵巧运用.教课过程一、温故知新设计说明经过此活动，让学生回想幂与乘方之间的关系，即a n＝，即多个同样因数乘积的形式，从而为下一步研究获得同底数幂的乘法法例供给了依照，培育学生知识迁徙的能力．活动： 1.依据乘方的意义说一说以下各式表示什么意思？而后进行计算．1(1) 24； (2)3 5； (3) 73.2．回首乘方和幂的意义．求 n 个同样因数的积的运算，叫做乘方，用符号“a n”表示，读作 a 的 n 次方．乘方的结果叫做幂， a n也可读作 a 的 n 次幂．在 a n中，a 叫做底数， n 叫做指数，底数是同样的因数，指数是同样因数的个数．教课说明教师要指引学生回想七年级上册课本中有关乘方的知识，能把幂的形式与同底数幂的乘法之间的联系经过回想后完全弄理解．在最先回想时，也许学生会出现思想上的盲点，教师依据详细状况，能够联合详细的实例进行指引复习．二、情境引入，研究新知设计说明从学生感兴趣的“航天英豪”提及，一下子抓住学生的好奇心，使学生产生浓重的兴趣，也是对学生的一次爱国主义教育，借此奇妙地引出本节课的新授内容，激倡始学生激烈的求知欲念．运算公式的推理过程，依照学生的认知规律顺序渐进，设计成三大步骤，再现知识的发生过程，由学生自主研究，亲历知识建构过程，以学生为主体，发挥教师的指导作用．完成公式推导后，用自己的语言进行描绘规律，培育学生有条理的表达能力．2019 年 10 月 15 日北京时间9 时，我国“航天英豪”杨利伟乘由长征二号 F 火箭运载的神舟五号飞船初次进入太空，神舟五号从发射到回落历时约 1.3 ×103分钟，在此过程中均匀速度约为 4.7 ×105米 /分．请问，杨利伟的“太空之旅”究竟有多长的行程？依据题意可列式：1.3 ×103×4.7 ×105＝6.11 ×103×105.那么， 103×105等于多少呢？研究活动 1.说出下边推理过程中每一步的依照．(1)102×103＝ (10 ×10) ×(10 ×10 ×10)(________________________)＝ 10 ×10 ×10 ×10 ×10(________________________)＝ 105.(____________________)(2)10m×10n (m， n 都是正整数 )．(____________________)(____________________)＝10m＋n.(____________________)察看思虑：计算前后，底数和指数有何变化？研究活动 2.模仿活动 1 的推理过程，达成以下计算过程，并写出每一步的依照．(1)103×105；(2)2m×2n(m，n 都是正整数 )；m 1n(3)7×7 (m， n 都是正整数 )．1察看思虑：计算前后，底数和指数有何变化？研究活动 3：在前两个活动的基础上，达成以下结果的推导．a m·a n(m，n 都是正整数 )＝__________________________＝__________________________＝________________.察看思虑：你能用自己的语言描绘你发现的规律吗？指引学生充足沟通议论，踊跃讲话后，得出结论，并特别指出公式中字母的含义．a m·a n＝ a m＋n(m， n 都是正整数 ) ，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．教课说明以学生感兴趣的杨利伟的“太空之旅”为引例，让学生从中抽象出简单的数学模型，本质在列式计算时碰到了同底数幂相乘的形式，给出问题，启迪学生进行独立思虑，也可采纳小组合作沟通的形式，联合学生现有的有关幂的意义的知识，进行推导试试，力求独立得出结论．研究新知的过程应留给学生独立思虑，在教课时要尽量留给学生更多的时间与空间，让他们充足发挥个人的主体作用．在本节课中，让学生从数字下手，第一研究102能够写成怎样的乘积形式， 103呢？如若把指数换为字母，又能够如何理解？在此基础上，把底数换为分数的形式，从而又换作字母的形式，由学生个人思虑，小组合作获得结论，结论共享，使全班在认识上又有了较大的提升，从而获得一般的规律性结论表达式a m·a n＝ a m＋n .从研究活动 1 到研究活动3，表现了从特别到一般、从感性认识上涨到理性思想的认识过程．字母表达式中“m，n 都是正整数”这一限制条件不用过分严格重申，跟着此后所学数的范围的扩大，这一条件不起作用．让学生能辨别并记忆表达式特色是要点．三、变式训练，娴熟技术设计说明以基础习题为落脚点，让学生学会鉴别、应用所学字母表达式，进一步熟习同底数幂的乘法性质，并运用同底数幂的乘法性质解决一些本质问题，进一步让学生感觉大数量，发展数感．练习 1.达成以下计算：(1)( －3) 7×(－ 3)6； (2)11； (3)m m＋1. 103×10－ x3·x5； (4)b2·b2练习 2.下边各式的计算能否正确，请你作出判断并说明原因．(1)x3·x5＝ x15()(2)x·x3＝ x3()(3)x3＋x5＝ x8()(4) x2·x2＝2x4()(5)( －x)2·(－ x)3＝(－ x)5＝－ x5()(6) a3·a2－ a2·a3＝ 0()(7)a3·b5＝ (ab)8()(8) y7＋ y7＝ y14()练习 3.解决以下问题：光在真空中的速度约为3×105千米 /秒，太阳光照耀到地球上大概需要5×102秒．地球距离太阳大概有多远？教课说明练习 1 建议不停要修业生疏辨，能否切合“同底数幂乘法”特色：① 是乘法运算吗？② 因式部分底数是多少？③每个因式的指数是多少？④ 题中“－”该如何理解？此中练习 1 的 (1)、(2) 要注意负数和分数作底数在形式上是加括号的，(3)题中的“－”不存在于底数之中，因此此时底数为x，能够看作是同底数幂相乘，“－”在这里起到的是表示相反数的意义．练习2经过一组判断，划分“同底数幂的乘法”与“归并同类项”的不一样之处，同时加强运用同底数幂乘法法例的注意事项. 练习 3 从本质情境中学会运用同底数幂的乘法性质解决问题．四、迁徙应用，深入提升设计说明“想想”的目的是使学生熟习同底数幂的乘法性质、幂的意义和乘法运算律等内容．问题 2 的意图在于让学生在运算过程中注意符号，同时要注意化成同底数幂的形式．要正确地掌握和运用法例，除了应掌握它的正向应用外，问题3则要求擅长依据题目的构造特色，学会法例的逆向应用．问题4是混淆运算，在计算时，要注意运算次序和正确运用相应的计算法例，并要正确划分同底数幂的乘法与整式的加减法的计算法例．1．想想： a m·a n·a p等于什么？2．计算： (1)( －a) 2·(－ a)3；(2)a3·(－ a)4；(3)a5·a3·a;(4)－ b2·(－ b)2·(－ b) 3；(5)(a－b)2·(a－ b);(6)( b－a)2·(a－ b)．3．已知 2x＝ 3，求 2x＋3的值．4．计算： (1)x3·x5＋ x·x3·x4 ; (2)2 5＋ 25.5．光在真空中的速度大概是3×105千米 /秒．太阳系之外距离地球近来的恒星是比邻星，它发出的光抵达地球大概需要 4.22 年．若一年以3×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？答案： 1.a m＋n＋p.2． (1) － a5； (2)a7； (3)a9； (4)b7；(5)( a－ b)3； (6)(a－ b)3或－ (b－ a)3.3． 2x＋3＝ 2x×23＝3×8＝ 24.4． (1)2x8； (2)26或 64.5． 3×105×3×107×4.22＝3.798 ×1013(千米 )．教课说明在教课中要鼓舞学生自主研究“想想”的结果，倡导算法的多样化，只需方法正确，教师都要鼓舞，并组织全班进行沟通，要修业生说明每一步计算的原因．关于底数互为相反数的这种形式，学生刚一接触可能思想跳跃性较大，有无从下手的感觉，而指引他们从幂的意义的角度去解析自然不难获得：“负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负”的结论，从而让学生领会到碰到这种问题应先确立结果符号，再进行指数相加．关于 2 题中后两个小问题，要表现整体的思想，同时也是底数互为相反数的幂的乘积形式一类问题的知识的升华，在此只对能力高的学生作要求 .4 题中 (1) 要理清运算次序，注意划分法例，抓住本质．而(2) 题第一得弄清这是整式加法运算，表示 2 个 25相加，写成2×25的形式，从而转变成同底数幂的乘法运算，注意领会其应用的灵巧性. 注意第 5 题的结果要用规范的科学记数法表示．五、累积与总结在师生相互沟通本节课应当在掌握同底数幂乘法特色的基础上，总结以下：1．在研究同底数幂乘法的性质时，进一步领会了幂的意义，认识了同底数幂乘法的运算性质．三个或三个以上同底数幂相乘时，也拥有这一性质．2．同底数幂乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，要注意以下几点：一是一定是同底数幂的乘法才能运用这个性质．若底数的符号不一样，要先把它们的底数化成同底的形式再计算，运算过程中要注意符号．二是运用这个性质计算时必定是底数不变，指数相加．注意不要忽视指数为 1 的因数．三是防备把幂的乘法运算性质与整式的加法相混淆，乘法法例只需求每个因数是同底数即可运算，加法法例要求每个加数同底数且同指数方可归并计算．3．同底数幂乘法的本质是转变为指数相加，也就是乘法和加法能够相互转变，表现了数学的转变思想，有时依据题目特色，可将法例进行逆向运用来解决有关问题．六、部署作业课本本节习题 1.1知识技术、问题解决．教课说明习题不多，但简单裸露学生计在的问题，如在指数相加时忽视指数1、结果用科学记数法表示不合要求等，要修业生经过自己反省做题的过程加以更正．评论与反省1．本节课的设计，从学生感兴趣的杨利伟的“太空之旅”引入新课，学生经过从本质情境中抽象出数学符号的过程，在研究中，学生将自然地领会同底数幂运算的必需性，有助于培育训练学生的数感与符号感，同时也发展了他们的推理能力和有条理的表达能力．在教课过程中，经过设计分层次的研究活动指引学生达成从特别到一般、从感性认识到理性思虑的学习过程，得出结论．在深入提升环节中，教师可进一步启迪要修业生往更深一层次去研究、解析知识，归纳出“底数互为相反数”时的运算方法，在混淆运算中辨明运算本质，在逆用法例解决问题中领会法例的灵巧性 .2．本节知识点不多，但应用范围较广，形式多样．因为符号问题使底数不完整同样、同底数幂乘法与整式加减混淆运算、法例逆应用等诸多问题情境，需要学生灵巧应用法例的程度较高，在教课时，宜依据学情做出相应的要乞降调整．。