1. 用波动方程推出薛定谔方程。
解：设有一个粒子，其质量为m ，能量为E ，动量为P，根据德布罗意关系可知与粒子运动联系的波的角频率ω及波矢k有如下关系：//E k p ω== ħħ（1）则与该粒子相联系的平面波的波函数为：00(,)exp[()/]exp[()/]r t i k r t i p r t ψ=ψ∙-ω=ψ∙-Eħħ （2）（2）式对t 求偏导数得：(,)(,)ir t E r t t ∂ψ=-ψ∂ ħ(,)(,)i r t E r t t∂ψ=ψ∂ ħ（3） （2）式对x 求两次偏导数得：22221(,)(,)x r t P r t x ∂ψ=-ψ∂ ħ即：222(,)(,)x r t P r t -∇ψ=ψħ 同理有：222(,)(,)y r t P r t -∇ψ=ψħ222(,)(,)z r t P r t -∇ψ=ψħ所以，222(,)(,)r t P r t -∇ψ=ψħ 可进一步写成：222(,)(,)22Pr t r t m m-∇ψ=ψ ħ（4） 又由于2/2E P m =（3），（4）式相减得：222()(,)()(,)022Pi r t E r t t m m∂+∇ψ=-ψ=∂ ħħ化简得：22(,)(,)2i r t r t t m∂ψ=-∇ψ∂ħħ （5） 进一步考虑粒子在势场()V r中的运动，2/2E P m V =+（5）式可写为：22(,)()(,)2i r t V r t t m∂ψ=-∇+ψ∂ ħħ上式即为薛定谔方程。
2. 推出电荷守恒公式=λ中的n不可以为零？3.为什么ka n答：若n =0，波函恒为0数无意义 4. 设粒子处于二维无限深势阱{000<y<b(,)x a V x y <<∞ =，其它中，求粒子能量本征值和本征函数。
如果a=b ，能量简并度如何？解：（1）粒子处于二维无限深势阱{000<y<b (,)x a V x y <<∞ =，其它中，则其定态薛定谔方程为：22222()(,)(,)2x y E x y m x y∂∂-+ψ=ψ∂∂ħ，00<y<b x a <<，（1） 22222()(,)(,)(,)(,)2x y V x y x y E x y m x y∂∂-+ψ+ψ=ψ∂∂ħ，(,)x y ∈其它 （2） 对于（2）式，因为(,)V x y →∞，则(,)0x y ψ≡令222mE=k ħ， 则（1）式可可表示为：22222()(,)0k x y x y∂∂++ψ=∂∂解为：12(,)sin()sin()x y x y A k x k y ψ=+δ+δ，,A δ为待定常数 （3）由在阱壁上的连续性可得：(0,0)(,0)(0,)(,)0a b a b ψ=ψ=ψ=ψ= （4 ） 将（3）式代入（4）式得：120δ=δ=1x k a n π=，11,2,3,n =⋯2y k b n π=，21,2,3,n =⋯代入222mE=k ħ中得粒子能量的允许值为： 12222212,()2m n n n n a bπE =E =+ħ，12,1,2,3,n n=⋯对应予能级12,n n E 的波函数记为：1212,(,)sin()sin()n n n n x y A x y a bππψ= 利用归一化条件122,00(,)1a bn n x y dxdy ∣ψ∣=⎰⎰得：A =所以，相应的波函数为：1212,(,)sin()sin()n n n n x y x y a bππψ=（2）当a b =时，能量是二度简并。
