高考数学(一轮复习)学案：《简单的三角恒等变换》

简单的三角恒等变换基础巩固组1.函数f (x )=(√3sin x+cos x )(√3cos x-sin x )的最小正周期是( ) A.π2B.πC.3π2D.2π2.(2020陕西榆林一模,理7)已知α∈(0,π),2sin 2α=cos 2α-1,则sin α=( ) A.15B.√55C.-√55D.2√553.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=( ) A.43B.-43C.43或0D.-43或04.(2020山东德州二模,5)已知α终边与单位圆的交点P (x ,-35),且sin αcos α>0,则√1-sin2α+√2+2cos2α的值等于( ) A.95 B.75 C.65D.35.已知cos 2π3-2θ=-79,则sin π6+θ的值等于( ) A.13B.±13C.-19D.196.已知α∈0,π2,sin α-cos α=√55,则tan α+π4=( )A.-32B.-23C.-3D.-137.(多选)下列各式中,值为12的是( ) A.cos 2π12-sin 2π12B.tan22.5°1-tan 222.5°C.2sin 195°cos 195°D.√1+cos π628.(多选)(2020山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f (x )=sin x sin (x +π3)−14的定义域为[m ,n ](m<n ),值域为[-12,14],则n-m 的值可能是( ) A.5π12B.7π12C.3π4D.11π129.(2020山东历城二中模拟四,14)已知tan α2=√52,则sin π2+α= . 10.(2020山东济南一模,13)已知cos 2α-π3=23,则12-sin 2α-π6的值为 .11.(2020山东潍坊二模,14)已知α∈0,π2,sin α-π4=√55,则tan α= .12.(2020陕西西安中学八模,文14)若α∈0,π2,且2cos 2α=sin α+π4,则sin 2α的值为 .综合提升组13.已知f (x )=sin 2x+sin x cos x ,则f (x )的最小正周期和一个单调递增区间分别为( ) A.π [0,π] B.2π -π4,3π4 C.π-π8,3π8D.2π-π4,π414.已知m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=( )A.-1B.34 C.32D.215.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)的值为 . 16.(2020山东泰安一模,13)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sin β-π4=1213,则cos α+π4= .创新应用组17.(多选)(2020山东滨州二模,11)已知函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12的图像的一条对称轴为x=π6,则下列结论中正确的是( ) A.f (x )是最小正周期为π的奇函数 B.(-7π12,0)是f (x )图像的一个对称中心 C.f (x )在区间[-π3,π3]上单调递增D.先将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图像再向左平移π12个单位长度,即可得到函数f (x )的图像18.(2020河北邢台模拟,理12)已知定义域为R 的函数f (x )满足f 12=12,f'(x )+4x>0,其中f'(x )为f (x )的导函数,则不等式f (sin x )-cos 2x ≥0的解集为 ( )A.-π3+2k π,π3+2k π,k ∈Z B.-π6+2k π,π6+2k π,k ∈Z C.π3+2k π,2π3+2k π,k ∈Z D.π6+2k π,5π6+2k π,k ∈Z参考答案课时规范练21 简单的三角恒等变换1.B f (x )=2sin x+π6×2cos x+π6=2sin 2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B .2.D ∵α∈(0,π),∴sin α>0,∵2sin 2α=cos 2α-1,即4sin αcos α=(1-2sin 2α)-1,整理得cos α=-12sin α,代入sin 2α+cos 2α=1,解得sin α=2√55.故选D .3.C 因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos 2α.所以2cos α(2sin α-cos α)=0,解得cos α=0或tan α=12.若cos α=0,则α=k π+π2,k ∈Z ,2α=2k π+π,k ∈Z ,所以tan 2α=0.若tan α=12,则tan 2α=2tanα1-tan 2α=43.综上所述,故选C .4.A 已知α终边与单位圆的交点P x ,-35,且sin αcos α>0,∴x<0,故x=-45,∴sin α=-35,cos α=x=-45.则√1-sin2α+√2+2cos2α=|cos α-sin α|+√4cos 2α=15+85=95.故选A . 5.B ∵cos2π3-2θ=-79,∴cos π-π3+2θ=-cosπ3+2θ=-cos 2π6+θ =-1-2sin 2π6+θ=-79,解得sin 2π6+θ=19,∴sinπ6+θ=±13.故选B .6.C ∵sin α-cos α=√55,则(sin α-cos α)2=15,即1-sin 2α=15,得sin 2α=45,∴(sin α+cos α)2=1+sin 2α=1+45=95,则sin α+cos α=3√55,又sin α-cos α=√55,∴sin α=2√55,cos α=√55,∴tan α=2,∴tan α+π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3.7.BC cos 2π12-sin 2π12=cos 2×π12=cos π6=√32,故A 错误;tan22.5°1-tan 222.5°=12·2tan22.5°1-tan 222.5°=12tan 45°=12,故B 正确;2sin 195°cos 195°=2sin(180°+15°)cos(180°+15°)=2sin 15°cos 15°=sin 30°=12,故C 正确; √1+cos π62=√2+√34=√2+√32≠12,故D 错误.故选BC .8.AB f (x )=sin x sin x+π3-14=sin x 12sin x+√32cos x -14 =14(1-cos 2x )+√34sin 2x-14 =12√32sin 2x-12cos 2x =12sin 2x-π6.作出函数f (x )的图像如图所示,在一个周期内考虑问题.易得{m =π2,5π6≤n ≤7π6或{π2≤m ≤5π6,n =7π6满足题意,所以n-m 的值可能为区间[π3,2π3]上的任意实数.故选AB . 9.-19 sin π2+α=cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2=1-541+54=4-54+5=-19.10.13∵cos2α-π3=23,∴12-sin2α-π6=12−1-cos2(α-π6)2=12cos2α-π3=12×23=13.11.3∵α∈0,π2,∴α-π4∈-π4,π4,由sinα-π4=√55,得cosα-π4=2√55.∴sin α=sinα-π4+π4=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=√55×√22+2√55×√22=3√1010,cos α=√1-sin2α=√1010,∴tan α=3.12.78由2cos 2α=sinα+π4,得2cos 2α=√22sin α+√22cos α,两边平方得4cos22α=12(1+sin 2α),即8(1-sin22α)=1+sin 2α,整理得(7-8sin 2α)(1+sin 2α)=0,又α∈0,π2,所以sin 2α=78或sin 2α=-1(舍去).13.C f(x)=sin2x+sin x cos x=1-cos2x2+12sin 2x=1 2+√22√22sin 2x-√22cos 2x=1 2+√22sin2x-π4,则T=2π2=π.又∵2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2(k ∈Z ),∴k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间.故选C . 14.D ∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+β-γ),∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β), 故m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ)=2,故选D . 15.2327 ∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).∵cos α=13,∴cos 2α=2cos 2α-1=-79,∴sin 2α=√1-cos 22α=4√29. ∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√23,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =-79×-13+4√29×2√23=2327.16.-5665∵α,β∈3π4,π,∴α+β∈3π2,2π,∴cos(α+β)=√1-sin 2(α+β)=45. 又β-π4∈π2,3π4,sin β-π4=1213,∴cos β-π4=-√1-sin 2(β-π4) =-513.∴cos α+π4=cos (α+β)-β-π4=cos(α+β)cos β-π4+sin(α+β)sin β-π4=45×-513+-35×1213=-5665. 17.BD 函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12=a sin x cos x+cos 2x-12=12a sin 2x+12cos 2x ,因为f (x )图像的一条对称轴为x=π6,所以f (0)=f (π3),即12=12a ×√32+12×(-12),解得a=√3,所以f (x )=√32sin 2x+12cos2x=sin (2x +π6).所以f (x )的最小正周期为π,但不是奇函数,故A 错误;f (-7π12)=sin (-7π6+π6)=f (-π)=0,所以(-7π6,0)是f (x )图像的一个对称中心,故B 正确;x ∈[-π3,π3]时,2x+π6∈[-π2,5π6],所以f (x )在区间[-π3,π3]上不是单调函数,故C 错误;将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12(横坐标不变),得y=sin 2x 的图像,再把所得函数图像向左平移π12个单位长度,得y=sin 2(x +π12)=sin 2x+π6的图像,即函数f (x )的图像,故D 正确.故选BD .18.D 令g (x )=f (x )+2x 2-1,g'(x )=f'(x )+4x>0,故g (x )在R 上单调递增,且g 12=f 12+2×122-1=0,所以f (sin x )-cos 2x=f (sin x )+2sin 2x-1≥0,即g (sin x )≥g 12,则sin x ≥12,解得π6+2k π≤x ≤5π6+2k π,k ∈Z .故选D .。

第2课时简单的三角恒等变换【课程标准】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)公式T2α:tan2α=2tan1-tan2.2.常用的部分三角公式(1)1-cosα=2sin22,1+cosα=2cos22.(升幂公式) (2)1±sinα=(sin2±cos2)2.(升幂公式) (3)sin2α=1-cos22,cos2α=1+cos22,tan2α=1-cos21+cos2.(降幂公式)3.半角公式sin2=±cos2=±tan2=±=sin 1+cos=1-cos sin.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A .半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的B .存在实数α,使tan 2α=2tan αC .cos 22=1-cos2D .tan 2=sin 1+cos =1-cos sin【解析】选ABD .由半角公式、二倍角公式可知,选项A 正确;因为当α=0时,tan 2α=2tan α=0,所以选项B 正确;因为由二倍角公式可知:cos θ=2cos 22-1,所以cos 22=1+cos2,因此选项C 错误;因为tan2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=sin 1+cos ,tan 2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=1-cossin ,所以选项D 正确.2.(必修第一册P223练习5改条件)cos 2π12-cos 25π12=()A .12B .33C .22D .32【解析】选D .因为cos5π12=sin(π2-5π12)=sin π12,所以cos 2π12-cos 25π12=cos 2π12-sin 2π12=cos(2×π12)=cos π6=32.3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=1+54,则sin2=()A .3-58B .-1+58C .3-54D .-1+54【解析】选D .cos α=1+54,则cos α=1-2sin 22,故2sin 22=1-cos α=3-54,即sin 22=3-58=(5)2+12-2516=(5-1)216,因为α为锐角,所以sin2>0,所以sin 2=-1+54.4.(忽视隐含条件)已知2sin α=1+cos α,则tan2=()A .2B .12C .2或不存在D .12或不存在【解析】选D .当α=2k π+π(k ∈Z )时,满足2sin α=1+cos α,此时tan 2不存在;当α≠2k π+π(k ∈Z )时,tan2=sin1+cos =12.【核心考点·分类突破】考点一三角函数式的化简[例1](1)函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12可以化简为()A .f (x )=sin(2x -π3)B .f (x )=sin(2x -π6)C .f (x )=sin(2x +π3)D .f (x )=sin(2x +π6)【解析】选B .f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12=1-cos22+32sin 2x -12=32sin 2x -12cos 2x =sin(2x -π6).(2)已知0<θ<π,(1+sinrcos )(sin 2-cos 2)________.【解析】由θ∈(0,π)得0<2<π2,所以cos2>0,所以2+2cos =2.又(1+sin θ+cos θ)(sin 2-cos 2)=(2sin 2cos2+2cos 22)(sin 2-cos2)=2cos2(sin 22-cos 22)=-2cos2cos θ.故原式=-2cos2cos 2cos2=-cos θ.答案:-cos θ【解题技法】三角函数式化简的解题策略(1)从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手进行适当变形,结合所给的“形”的特征求解;(2)注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂.【对点训练】1.化简:2cos 4-2cos 2r122tan(π4-psin 2(π4+p =__________.【解析】原式=12(4cos 4-4cos 2r1)2×sin(π4-pcos(π4-p ·cos 2(π4-p =(2cos 2-1)24sin(π4-pcos(π4-p =cos 222sin(π2-2p =cos 222cos2=12cos 2x.答案:12cos 2x2.化简:sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=________.【解析】原式=1-cos22·1-cos22+1+cos22·1+cos22-12cos 2αcos 2β=1-cos2-cos2rcos2vos24+1+cos2rcos2rcos2vos24-12cos 2α·cos 2β=12+12cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=12.答案:12【加练备选】化简:2sin (π-)+sin2cos 22=________.【解析】2sin (π-)+sin2cos 22=2sinr2sinvos 12(1+cos )=2sin (1+cos )12(1+cos )=4sin α.答案:4sin α考点二三角函数式的求值角度1给值求值[例2](2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cos αsin β=16,则cos(2α+2β)=()A .79B .19C .-19D .-79【解析】选B.因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=12,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23,所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=19.【解题技法】给值求值解题的两点注意(1)注意“变角”,使其角相同或具有某种关系.(2)注意公式的选择及其公式的逆应用.角度2给角求值[例3](2023·淄博模拟______.【解析】=14sin48°2sin48°=18.答案:18【解题技法】给角求值的解题策略(1)该问题一般所给出的角都是非特殊角,解题时一定要注意非特殊角与特殊角的关系;(2)要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.角度3给值求角[例4]若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α,π,β∈π则α+β的值是() A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4【解析】选A.因为α4π,所以2α2π,因为sin2α=55,所以2α,π.所以αcos2α=-255,又因为sin(β-α)=1010,β∈π,所以β-α(β-α)=-31010,所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α=---1010×55=22,又α+β2π,所以α+β=7π4.【解题技法】给值求角的方法依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值.【对点训练】1.(2023·保定模拟)已知sin(θ-π4)=223,则sin2θ的值为()A.79B.-79C.29D.-29【解析】选B.由sin(θ-π4)=223,得sin(θ-π4)=sinθcosπ4-cosθsinπ4=22(sinθ-cosθ)=223,即sinθ-cosθ=43,等式两边同时平方,得1-sin2θ=169,所以sin2θ=-79.2.(2023·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),则tan2=()A.-12或2B.2C.-13或3D.3【解析】选B.因为角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),所以sinα=45,cosα=-35,所以tan2=sin1+cos=451-35=2.3.已知sin(α-2)=55,sin(β-2)=1010,且α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),则r2=__________.【解析】因为α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),所以0<r2<π,cos(α-2)=255,cos(β-2)=31010.因为cos r2=cos[(α-2)+(β-2)]=cos(α-2)cos(β-2)-sin(α-2)sin(β-2)=255×31010-55×1010=22,所以r2=π4.答案:π44.化简求值:3-4sin20°+8sin320°2sin20°sin480°.【解析】原式=3-4sin20°(1-2sin 220°)2sin20°sin480°=3-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (20°+40°)-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (40°-20°)2sin20°sin480°=1sin480°=1sin120°=233.【加练备选】若tan 2α=-34,则sin2rcos 21+2sin 2=()A .-14或14B .34或14C .34D .14【解析】选D .由tan 2α=2tan1-tan 2=-34,可得tan α=3或tan α=-13.故sin2rcos 21+2sin 2=2sinvosrcos 23sin 2rcos 2=2tanr13tan 2r1,当tan α=3时,2×3+13×32+1=728=14;当tan α=-13时,2×(-13)+13×(-13)2+1=1343=14.考点三三角恒等变换的应用教考衔接教材情境·研习·典题类[例5](必修第一册P227·例10)如图,在扇形OPQ 中,半径OP =1,圆心角∠POQ =π3,C 是扇形弧上的动点,矩形ABCD 内接于扇形.记∠POC =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.【解题导思】看问题三角恒等变换中的最值问题提信息半径OP =1,圆心角∠POQ =3,矩形ABCD 内接于扇形,∠POC =α定思路借助角α并利用三角函数,把矩形ABCD 的长和宽表示出来,确定矩形ABCD面积的表达式,最后利用三角恒等变换和三角函数的性质确定最大面积【解析】在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα.在Rt△OAD中,D D=tanπ3=3.OA=33DA=33BC=33sinα,AB=OB-OA=cosα-33sinα.设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cosα-33sinα)sinα=sinαcosα-33sin2α=12sin2α-36(1-cos2α)=12sin2α+36cos2α-36(32sin2α+12cos2α)-36=α+π6)-36.由0<α<π3,得π6<2α+π6<5π6,所以当2α+π6=π2,即α=π6时,S最大-36=36.因此,当α=π6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为36.【高考链接】(2024·保定模拟)已知扇形POQ的半径为2,∠POQ=π3,如图所示,在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B,C在弧P 上),则矩形ABCD面积的最大值为__________.【解析】作∠POQ的平分线OE,交AD于F,BC于E,连接OC,根据题意可知△AOD为等边三角形,则E为BC的中点,F为AD的中点,设∠COE=α,α∈(0,π6),CE=OC sinα=2sinα,则AD=BC=2CE=4sinα,则OF=32AD=23sinα,OE=OC cosα=2cosα,则AB=2cosα-23sinα,所以矩形ABCD的面积S=BC·AB=4sinα(2cosα-23sinα)=4sin2α+43cos2α-43=8sin(2α+π3)-43,当2α+π3=π2,即α=π12时,S取得最大值8-43,所以矩形ABCD面积的最大值为8-43.答案:8-43[溯源点评]两题的区别在于扇形内接矩形ABCD的方式不同,考虑该问题是否能转化为更简单的、熟悉的问题来解决.根据图形的对称性,作∠POQ的平分线,分别交AD,BC于点F,E,从而使整个问题又回到教材中的问题.。

第六节 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒 应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论 用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二 辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒 在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]． 答案：B考点一 三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二 辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间． 解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三 三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合．3．三角恒等变换与向量的综合．探究一 三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3， 求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二 三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1， 由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1， 又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形． 探究三 三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728. 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数， 又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65， 即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45， 所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组 考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B －A )＝tanB －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期． 解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ， 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73. (1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值． 解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组 高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。

【学习目标】1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【课本导读】1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin2α＝ ；(2)cos2α＝ ＝ －1＝1－ ；(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)． 2．半角公式：(1)sin α2＝ ； (2)cos α2＝ ； (3)tan α2＝ ＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝ ；α2＝ ；3α＝ 都适用．4．由cos2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α可得降幂公式：cos 2α＝ ；sin 2α＝ ；升幂公式cos2α＝ ＝ . 【教材回归】1．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( )A.1＋m 2B.1－m 2 C ．± 1＋m 2 D. 1＋m 22．设sin2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________． 3．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是________． 4．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin2θ的值为________． 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45【授人以渔】题型一：求值例1 求值：(1)sin18°cos36°；(2)2cos10°－sin20°cos20° (3)sin10°·sin50°·sin70°. (2) 1＋cos20°2sin20°－2sin10°·tan80°例2 （1）已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2αsin (π4＋α)＝________. (2)已知cos(π4－α)＝35，－3π2<α<－π2.则cos(2α－π4)= (3)若cos(π4＋x )＝35，1712π＜x ＜74π，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．题型二化简例3（1）已知函数f (x )＝1－x 1＋x .若α∈(π2，π)，则f (cos α)＋f (－cos α)可化简为________． (2)化简sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos2α·cos2β.(3)已知f (x )＝1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＋1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x且x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，且x ≠k π＋π，k ∈Z . ①化简f (x )；②是否存在x ，使得tan x 2·f (x )与1＋tan 2x 2sin x相等？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．题型三：证明例5 已知sin(2α＋β)＝2sin β，求证：tan(α＋β)＝3tan α.思考题：(1)求证：tan2x＋1tan2x＝2(3＋cos4x) 1－cos4x(2)若tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.。

第六节 简单的三角恒等变换教学目标知识与技能：掌握解三角函数的给值求值问题的基本步骤。

过程与方法：能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).情感与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．授2课时【课 题】 第六节 简单的三角恒等变换【授课时间】 2020年 月 日 班级：高三（ ）班【教学目标】 能运用公式进行简单的恒等变换【教学重点】三角函数式化简的方法，即，弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．【教学难点】进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；【课 型】 辅导课【教学用具】 班班通【教学方法】 讲练结合法，讨论法，分析法【教学过程】初次备课二次备课一、德育教育：二、预习检测：化简sin 235°－12cos 10°cos 80°等于( ) A ．－2 B ．－12 C ．－1 D ．1三、新课引入：用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2si n αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.四、新课讲授：1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，则sin α的值为( ) A 817， B.153＋834 ， C.15－8334 ，D.15＋8334解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，所以α－π3∈⎝⎛⎭⎫π6，π2是锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＞0，cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－⎝⎛⎭⎫15172＝817，所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π3＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π3cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π3sin π3＝1517×12＋817×32＝15＋8334.故选D. 答案：D 2．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A ．－79 B ．－29 C. 29 D.79答案：A3．若sin 80°＝m ，则用含m 的式子表示cos 5°＝ . 答案： m ＋121．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( ) A ．1 B.3 C.2 D ．2解析：原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2，故选C. 答案：C 2．已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( ) A ．－14 B.14 C ．－18 D.18解析：cos 2x ＝2cos 2x －1＝18. 答案：D 3．(2020·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)，sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝。

专题22 简单的三角恒等变换一、【知识精讲】1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法（1）弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．（2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降"是基本的规律，根号中含有三角函数式时,一般需要升次．3。

三角恒等变换综合应用的解题思路 (1)将f (x ）化为a sin x ＋b cos x 的形式； (2）构造f （x )＝错误!错误!；(3）和角公式逆用，得f (x )＝错误!sin(x ＋φ）（其中φ为辅助角）； （4）利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ）研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 二、【典例精练】例1.（2019全国卷Ⅱ）已知a ∈（0，π2）,2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）A ．15B ．5C ．3D ．25【答案】B【解析】 由2sin 2cos 21αα=+，得24sin cos 2cos ααα=。

因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2sin αα=.由22cos 2sin sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得sin α=。

故选B. 例2.（2019江苏卷)已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 。

【答案】10【解析】 由tan 23tan()4αα=-π+，得tan 23tan tan 41tan tan4ααα=-π+π-， 所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-． 当tan 2α=时，22tan 4sin21tan 5ααα==+,221tan 3cos21tan 5ααα-==-+，43sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=⨯-⨯=.当1tan 3α=-时，22tan 3sin21tan 5ααα==-+,221tan 4cos21tan 5ααα-==+，所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=-⨯+⨯=。

【学习目标】1．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．2．会解一元二次不等式，以及简单的分式、高次不等式．预 习 案回顾三个一元二次的关系【预习自测】1．不等式x (1－2x )>0的解集是( ) A ．(－∞，12) B ．(0，12) C ．(－∞，0)∪(12，＋∞) D ．(12，＋∞) 2．已知不等式x 2－x ≤0的解集为M ，且集合N ＝{x |－1<x <1}，则M ∩N 为 ( )A ． D ．(－1,0]3．不等式x 2－9x －2>0的解集是_______ _．4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A ．{x |－1<x <12}B ．{x |x <－1或x >12} C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}5．已知(ax －1)(x －1)≥0的解集为R ，则实数a 的值为________．探 究 案题型一：一元二次不等式的解法例1. 解关于x 的不等式．(1)－2x 2＋4x －3>0； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R )； (3)a (x －1)x －2>1(a >0)．拓展1. (1)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为 （ ）A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)(2)已知a ＝(1，x )，b ＝(x 2＋x ，－x )， m 为实数，求使m (a ·b )2－(m ＋1)a ·b ＋1<0成立的x 的取值范围．题型二：不等式恒成立问题例2. 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围；(2)当x ∈时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围；(3)当a ∈时，f (x )≥0恒成立，求x 的范围．拓展2. 已知关于x 的不等式2x －1>m (x 2－1)．(1)是否存在实数m ，使不等式对任意x ∈R 恒成立？并说明理由；(2)若对于m ∈不等式恒成立，求实数x 的取值范围题型三：三个二次的关系例3.已知x 2＋px ＋q <0的解集为{x |－12<x <13}，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．拓展3.已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.当堂检测：1．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)2．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝ ( )A.52B.72C.154D.1523．不等式x ＋1x≤3的解集为________ ．4.已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为 ________ ．5．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对x ∈(0，12]恒成立，求a 的最小值．我的学习总结：（1）我对知识的总结 .（2）我对数学思想及方法的总结。

第六节简单的三角恒等变换[知识能否忆起]半角公式(不要求记忆) 1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2. sin2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2. sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tanα2＝± 1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2. tanα2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. [小题能否全取]1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33D ．－33解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋132＝－63.2．已知函数f(x)＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12等于( )A.12B ．－12C.32D ．－32解析：选B f(x)＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( ) A ．3 B ．6 C ．12D.32解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α ＝2＋2tan α＝3. 4.sin 20°cos 20°cos 50°＝________.解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：125．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 013. 答案：2 013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典题导入[例1] 化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .[自主解答] 原式＝－2sin 2xcos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝12－sin22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝12cos 2x. 由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2.解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cosα2 ＝cos 2α2－sin 2α2sin α2·cos α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2＝2cos αsin α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－α2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos αcosα2＝2sin α.法二：原式＝1－tan2α2tanα2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos α·cosα2＝2sin α.典题导入[例2] (1)(2018·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________. [自主解答] (1)原式＝＋－sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－s in 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋45×35＝0.又2α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2. ∴2α＋β＝π.[答案] (1)C (2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2018·广州一测)已知函数f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值． 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2， 所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010.典题导入[例3] (2018·四川高考)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.[自主解答] (1)∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴T ＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f(β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合． 解：由(1)知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z)，∴x ＝k π＋π4(k ∈Z)． 故函数f(x)的零点的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z .由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f(x)＝2cos xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值． 解：(1)因为f(x)＝2cos xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin xcos x ＝3cos 2x ＋sin xcos x －3sin 2x ＋sin xcos x＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.(2)由f(α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π3，所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan[π－(B ＋C)]＝－tan(B ＋C)＝－tan B ＋tan C1－tan Btan C＝－－2＋131－－13＝1.故A ＝π4. 2.＋2α1＋cos 2α·cos 2α＋α等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α 解析：选D 原式＝－sin 2α2α＋cos 2α－sinα＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α. 3．(2018·深圳调研)已知直线l: xtan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1， 即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.4．(2018·山东高考)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.5．(2018·河北质检)计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc.若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.7．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3. 答案：38．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝＋2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 210．已知函数f(x)＝sin x ＋cos x ，f′(x)是f(x)的导函数． (1)求f′(x)及函数y ＝f′(x)的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f 2(x)的值域．解：(1)由题意可知，f′(x)＝cos x －sin x ＝－2·s in ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，所以y ＝f′(x)的最小正周期为T ＝2π. (2)F(x)＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin xcos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. ∴函数F(x)的值域为[0,1＋ 2 ]． 11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值． 解：(1)∵tanα2＝12， ∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＝－45舍去.(2)由(1)知cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2β－α＝ 1－⎝⎛⎭⎪⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β＝3π4.12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)求f(x)的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y 1－xy＝2x ， ∴y ＝x 1＋2x 2，即f(x)＝x 1＋2x 2.1．(2018·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15P P |等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P |＝2π.2.3－sin 70°2－cos 10°等于( ) A.12 B.22 C ．2D.32 解析：选C3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210° ＝3－210°－2－cos 210°＝－cos22－cos 210°＝2.3．(2018·江西重点高中模拟)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f(x)的最大值为1.(1)求m 的值，并求f(x)的单调递增区间； (2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f(B)＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．解：(1)f(x)＝2sin 2x·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－m. 又f(x)max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1.由－π2＋2k π≤2x＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z) 得到k π－5π12≤x≤k π＋π12(k ∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)． (2)由f(B)＝3－1，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3－1＝3－1， 所以B ＝π6. 又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ，3sin A ＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12， 所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．1．求证：tan α＋1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝1cos α. 证明：左边＝sin αcos α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2 ＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝1cos α＝右边． 故原式得证．2．已知f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f(α)的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f(x)的取值范围． 解：(1)f(x)＝(sin 2x ＋sin xcos x)＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x)＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x)＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以f(α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35. (2)由(1)得f(x)＝12(sin 2x ＋cos 2x)＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x＋π4≤54π. 故－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，则0≤f(x)≤2＋12， 所以f(x)的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。

第2课时 简单的三角恒等变换必备知识预案自诊考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)y=3sin x+4cos x 的最大值是7.( ) (2)在斜三角形ABC 中,tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.( ) (3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的. ( ) (4)存在实数α,使tan 2α=2tan α. ( )2.化简:sinα-2cos 2α2sin(α2-π4)=( )A.2√2cos α2B.cosB √2α2C.2√2sin α2D.sinD √2α2 3.已知sinπ6-α=√23,那么cos 2α+√3sin 2α= ( )A.109B.-B 109C.-C 59 D .594.若tan α=-3,则1cos 2α+2sinαcosα的值为( ) A.103B.53C.23D.-D25.设α1,α2∈R ,且12+sinα1+20182+sin2α2=2 019,则tan(α1+α2)= .?关键能力学案突破考点三角函数式的化简【例1】(1)sin (π+2α)1+cos2α·cos 2αcos(π2+α)等于( )A.-sin αB.-cosB αC.sinC αD.cosD α (2)化简:sin (2α+β)sinα-2cos(α+β).解题心得1.三角函数式化简、求值的一般思路:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化等.2.三角化简的标准:三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.3.化简、求值的主要技巧:(1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;(2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值.对点训练1(1)化简:sin2α-2cos 2αsin(α-π4)= .?(2)化简:2cos 2α-12tan(π4-α)cos 2(π4-α).考点三角函数式的求值(多考向探究)考向1 给角求值 【例2】cos10°(1+√3tan10°)cos50°的值是 .?解题心得三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.对点训练2求值:cos20°cos35°√1-sin20°=( ) A.1 B.2 C.√2D.√3考向2 给值求值 【例3】已知sin α+π4=√210,α∈π2,π.求:(1)cos α的值; (2)sin 2α-π4的值.解题心得三角函数给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或已知条件;(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.对点训练3(1)(2020河北保定二模,文6,理6)已知sin π3+α=cos π3-α,则cos 2α=( )A.0B.1C.√22D.√32(2)设α为锐角,若cos α+π6=45,则sin 2α+π12的值为 .? 考向3 给值求角【例4】(1)(2020湖南师大附中一模,理7)已知α为锐角,且cos α(1+√3tan 10°)=1,则α的值为( ) A.20° B.40° C.50° D.70° (2)若sin 2α=√55,sin(β-α)=√1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4解题心得解决“给值求角”问题的一般思路从给的条件中先求出角的某种三角函数的值;然后根据已知条件确定角的范围;最后根据角的范围写出所求的角.在求角的某种三角函数值时,选函数的原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,选正弦、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为-π2,π2,选正弦较好.对点训练4(1)已知锐角α,β满足sin α=√55,cos β=3√1010,则α+β等于( )A.3π4B.π4或3π4C.π4D.2k π+π4(k ∈Z )(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 .?考点三角恒等变换的综合应用【例5】(2020江西名校大联考,理17)已知函数f (x )=2a sin π2-x cos (x -2π3),且f (π3)=1. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期; (2)若f (α)=-13,α∈(0,π2),求sin 2α.解题心得解决三角函数图像与性质综合问题的方法先将y=f (x )化为y=a sin x+b cos x 的形式,然后用辅助角公式化为y=A sin(ωx+φ)的形式,再借助y=A sin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.对点训练5(2019浙江,18)设函数f (x )=sin x ,x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π),函数f (x+θ)是偶函数,求θ的值;(2)求函数y=f x+π122+f x+π42的值域.1.三角恒等变换主要有以下四变:(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其方法通常有切化弦、正弦与余弦互化等. (3)变幂:通过“升幂与降幂”,把三角函数式的各项变成同次,目的是有利于应用公式.(4)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其方法通常有:常值代换、逆用或变用公式、通分与约分、分解与组合、配方与平方等. 2.三角函数恒等变换“四大策略”:(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin 2θ+cos 2θ=tan45°等. (2)角的配凑:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),α=12[(α+β)+(α-β)]. (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化:一般是切化弦.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换先把函数化为最简形式y=A sin(ωx+φ),再研究其性质,解题时注意观察角、三角函数名、式子结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.第2课时 简单的三角恒等变换必备知识·预案自诊考点自诊1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√2.A 原式=2sin α2cos α2-2cos 2α2√22(sin α2-cos α2)=2√2cos α2.3.A ∵cos2α+√3sin2α=2sin 2α+π6=2sinπ2−π3+2α=2sinπ2-2π6-α=2cos [2(π6-α)]=2-4sin 2π6-α=109. 4.D tan α=-3,即1cos 2α+2sinαcosα=sin 2α+cos 2αcos 2α+2sinαcosα=tan 2α+11+2tanα=9+11-6=-2.故选D .5.1 ∵α1,α2∈R ,且12+sinα1+20182+sin2α2=2019,∴sin α1+2=1,2+sin2α2=1,求得sin α1=-1,sin2α2=-1,∴α1=2k π-π2,且2α2=2n π-π2,k ,n ∈Z ,∴α2=n π-π4,n ∈Z ,∴α1+α2=(2k+n )π-3π4,n ,k ∈Z , ∴tan(α1+α2)=tan (-3π4)=1.关键能力·学案突破例1(1)Dsin (π+2α)1+cos2α·cos 2αcos(π2+α)=-sin2αcos 2α2cos 2α(-sinα)=-2sinαcosα·cos 2α2cos 2α(-sinα)=cos α.(2)解原式=sin (2α+β)-2sinαcos (α+β)sinα=sin [α+(α+β)]-2sinαcos (α+β)sinα=sinαcos (α+β)+cosαsin (α+β)-2sinαcos (α+β)sinα=cosαsin (α+β)-sinαcos (α+β)sinα=sin [(α+β)-α]sinα=sinβsinα.对点训练1(1)2√2cos α 原式=2sinαcosα-2cos 2α√22(sinα-cosα)=2√2cos α.(2)解原式=cos2α2sin(π4-α)cos(π4-α)=cos2αsin(π2-2α)=cos2αcos2α=1.例22 原式=cos10°+√3sin10°cos50°=2sin (10°+30°)cos50°=2sin40°sin40°=2.对点训练2C 原式=cos20°cos35°|sin10°-cos10°|=cos 210°-sin 210°cos35°(cos10°-sin10°)=cos10°+sin10°cos35°=√2(√22cos10°+√22sin10°)cos35°=√2cos (45°-10°)cos35°=√2cos35°cos35°=√2.例3解(1)由sin α+π4=√210,得sin αcos π4+cos αsin π4=√210, 化简得sin α+cos α=15, ① 又sin 2α+cos 2α=1, ②且α∈π2,π,解得cos α=-35. (2)∵α∈π2,π,cos α=-35,∴sin α=45,∴cos2α=1-2sin 2α=-725,sin2α=2sin αcos α=-2425,∴sin 2α-π4=sin2αcos π4-cos2αsin π4=-17√250.对点训练3(1)A (2)17√250(1)由sinπ3+α=cos π3-α,得√32cos α+12sin α=12cos α+√32sin α,所以sin α=cos α,cos2α=cos 2α-sin 2α=0.(2)∵α为锐角,且cos α+π6=45>0,∴α+π6∈π6,π2,∴sin α+π6=35. ∴sin 2α+π12=sin 2α+π6-π4=sin2α+π6cos π4-cos2α+π6sin π4=√2sin α+π6cos α+π6-√222cos 2α+π6-1=√2×35×45−√222×452-1=12√225−7√250=17√250. 例4(1)B (2)A (1)由cos α(1+√3tan10°)=1可得cos α·√3sin10°+cos10°cos10°=1,即cos α·2sin40°cos10°=1, ∴cos α=cos10°2sin40°=sin80°2sin40°=2sin40°cos40°2sin40°=cos40°.∵α为锐角,∴α=40°.故选B .(2)∵α∈π4,π,∴2α∈π2,2π.∵sin2α=√55,∴2α∈π2,π,∴α∈π4,π2,且cos2α=-2√55. 又sin(β-α)=√1010,β∈π,3π2, ∴β-α∈π2,5π4,cos(β-α)=-3√1010, ∴cos(α+β)=cos[(β-α)+2α] =cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α =-3√1010×-2√55-√1010×√55=√22, 又α+β∈5π4,2π,∴α+β=7π4. 对点训练4(1)C (2)-3π4(1)由sin α=√55,cos β=3√1010,且α,β为锐角,可知cos α=2√55,sin β=√1010, 故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2√55×3√1010−√55×√1010=√22, 又0<α+β<π,故α+β=π4. (2)因为tan α=tan[(α-β)+β] =tan (α-β)+tanβ1-tan (α-β)·tanβ=12-171+12×17=13>0,所以0<α<π2. 又因为tan2α=2tanα1-tan 2α=2×131-(13)?2=34>0,所以0<2α<π2.所以tan(2α-β)=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ=34+171-34×17=1.因为tan β=-17<0, 所以π2<β<π,-π<2α-β<0, 所以2α-β=-3π4.例5解(1)由已知f (π3)=1,得2a×12×12=1,解得a=2.所以f (x )=4cos x√32sin x-12cos x=2√3sin x cos x-2cos 2x=√3sin2x-cos2x-1=2sin (2x -π6)-1.所以f (x )=2sin (2x -π6)-1的最小正周期为π.(2)f (α)=-13,2sin (2α-π6)-1=-13,sin (2α-π6)=13,因为α∈(0,π2),所以2α-π6∈(-π6,5π6).又因为sin (2α-π6)=13<12,所以2α-π6∈(0,π6). 所以cos (2α-π6)= √1-sin 2(2α-π6)=2√23, 则sin2α=sin (2α-π6)+π6=sin (2α-π6)cos π6+cos (2α-π6)sin π6 =13×√32+2√23×12=√3+2√26. 对点训练5解(1)因为f (x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin x cos θ+cos x sin θ=-sin x cos θ+cos x sin θ,故2sin x cos θ=0,所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2.(2)y=fx+π122+fx+π42=sin 2x+π12+sin 2x+π4=1-cos(2x+π6)2+1-cos(2x+π2)2=1-12√32cos2x-32sin2x =1-√32cos2x+π3.因此,函数的值域是1-√32,1+√32.。