特殊四边形培优习题精选(适合家教)

特殊的四边形培优1.如图，已知在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且AE=BE，则∠EDF=______度．1.如图，四边形ABCD是正方形，△BDE是等边三角形，EF⊥DF,则∠BEF=________3.如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE 的长为_______FB CA DE4. 如图，在菱形ABCD 中，AB=4a ，E 在BC 上，BE=2a ，∠BAD=120°，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为（ ）5.如图,矩形AEFG 与矩形APQK 的周长都等于120cm,求△ABC 的周长6.如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，DC 边的中点，AN 与MC 交于P 点，若∠MCB=∠NBC+33°，那么∠MPA 的大小是（ ）1. 边长为25cm 的正方形纸片,AD 上有一点P ,且AP=66cm,将这纸片折叠使B 落在P 上,则折痕的长是________2. 已知直角三角形ABCD 中,∠C=90°,AC=3,BC=5,以AB 为边向外作正方形ABEF 求此正方形KGP E BC中心O到C点的距离OC的长________3.如图,已知在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点,CE=AC,F是AE的中点.（1）求证BF⊥DF（2）若AB=8,AD=6,求DF的长10.如图，已知三角形ABC中，AB=AC,点M为BC 的中点，MG⊥BA于G,MD⊥AC于D,GF⊥AC于点E，GF与DF相交于点F,（1）求证：四边形HGMD是菱形（2）若∠GMD=120°，求证：从M点向所对的HG 和HD边引出的两条垂线MK和MQ分别平分这两条线段.E FQKDG11．如图,将一矩形的每一内角三等分,连接靠近同一边上的两三等分线所交成4交点组成四边形EFGH,试判断四边形EFGH形状12.在正方形ABCD中,AK和AN是∠A内的两射线,BK⊥AK,BL⊥AN,DM⊥AK,DN⊥AN,试求KL=MN1.在锐角△ABC中,BE是高,CF是中线,若∠ACF=30°则BE:CF=________2.如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，G是AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ：BE=______．3.如图，△ABC中，∠BAC=120°,以AB,AC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACE,M为AD中点,N为AE中点,P为BC中点,求∠MPN的度数.4.凸五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,∠CAD=30°,∠BAE=70°,F是CD中点,且FB=FE,则∠BAC=_________.5.已知：如图所示，在△ABC中，D、G分别为AB、AC上的点，且BD=CG，M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：AP=AQ。

《特殊平行四边形习题精选》1、矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°，则∠BOE=________°2、菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，△AOB 的周长为33 ，∠ABC=60º，则菱形ABCD 的面积为__________3、如图，矩形ABCD 长为a ，宽为b ，若s 1=s 2=21(s 3+s 4)，则s 4等于（ ）（A ）ab 83 （B ）ab 43 （C ）ab 32 （D ）ab214、菱形ABCD 中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF=_________°5、点M 、N 分别在正方形ABCD 的边CD 、BC 上，，已知△MCN 的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN 的度数。

6、如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF=DF.7、如图，在平行四边形ABCD 中，BC = 2AB ，E 为BC 的中点，求∠AED 的度数；D C BA MNA B CDOE A B C D E FS1S2S4S3A B C DEF FEDCB A8、如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边，延长AB 到E ，使AE = AC ，以AE 为一边作菱形AEFC ，若菱形的面积为29，求正方形边长；9、如图AD 是⊿ABC 边BC 边上的高线，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、AC 的中点，求证：四边形EDGF 是等腰梯形；10、如图1，正方形ABCD 边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点H 。

（1）求证：①△BCG ≌△DCE ；②BH ⊥DE 。

（2）当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？请说明理由。

《特殊平行四边形习题精选》5、点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC上，,已知△ MCN的周长等于正方形周长的一半，求/ MAN的度数。

7、如图，在平行四边形ABCD中，BC = 2AB , E为BC的中点，求/ AED的度数；1 矩形ABCD的对角线相交于O, AE平分/ BAD/ CAE=15 °，则/ B0E=2、菱形ABCD的对角线AC、BD相交于0, 积为_____________< 3，/ ABC=60 o,则菱形ABCD 的面3、如图，矩形3ab(A) 8ABCD(B)长为a,宽为b,若S1=S2= 2(S3+S4),贝y S4等于(3 2 1ab ab ab4(C) 3(D) 24、菱形ABCD 中，/ B= / EAF=60。

，/ BAE=20 °，则/ CEF=ABCD6、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，求证：EF=DF.交BC于E，△AOB的周长为38、如图，以正方形 ABCD 的对角线 AC 为一边，延长 AB 到E ,使AE = AC , 以AE 为一边作菱形 AEFC ，若菱形的面积为9 •、2，求正方形边长； 9、如图AD 是"ABC 边BC 边上的高线，E 、F 、G 分别是 AB 、BC 、AC 的中点，求 证：四边形EDGF 是等腰梯形；10、如图1,正方形ABCD 边长为1, G 为CD 边上的一个动点(点 正方形ABCD 外作正方形 GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点 H 。

(1) 求证：①厶 BCG ◎△ DCE :②BH 丄DE 。

(2) 当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ?请说明理由。

11、如图，正方形 ABCD 中，过D 做DE // AC ,/ ACE =3 0 °, CE 交AD 于点F ,求证：AE = AF ;12、如图，在"ABC 中，/ BAC =90 , AD 丄 BC 于 D , CE 平分/ ACB ，交 AD 于G ,交AB 于E , EF 丄BC 于F ，求证：四边形 AEFG 是菱形；G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边向D C图10DCE 12题13、如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分/ BAF , E为BC中点，求证:14、已知△ ABC 中，E、F分别为AB、AC 的中点，CD平分/ BCA 交EF于D, 求证：AD丄DC15、已知：平行四边形ABCD中，AB+BC=11cm，/ A=150 °，平行四边形ABCD的面积是15cm2，求AB , BC。

特殊平行四边形综合题（培优）一．选择题（共9小题）1．如图．任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边上的点，对于四边形E，F，G，H的形状，小聪进行了探索，下列结论错误的是（）A．E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH是菱形B．E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形C．E，F，G，H不是各边中点，四边形EFGH可以是平行四边形D．E，F，G，H不是各边中点，四边形EFGH不可能是菱形2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（）A．14B．12C．24D．483．依次连接四边形ABCD的四边中点得到的图形是正方形，则四边形ABCD的对角线需满足（）A．AC＝BD B．AC⊥BDC．AC＝BD且AC⊥BD D．AC⊥BD且AC与BD互相平分4．顺次连接正方形各边中点所成的四边形的面积与原正方形的面积之比为（）A．1：B．1：C．1：3D．1：25．如图，正方形ABCD中，AE＝BF，下列说法中，正确的有（）①AF＝DE；②AF⊥DE；③AO＝OF；④S△AOD＝S四边形BEOF．A．1个B．2个C．3个D．4个6．顺次连接凸四边形各边中点所得到的四边形是正方形时，原四边形对角线需满足的条件是（）A．对角线相等且垂直B．对角线相等C．对角线垂直D．一条对角线平分另一条对角线7．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB＝35°，那么∠AOB的度数为（）A．35°B．45°C．70°D．110°8．下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝6，则OC＝（）A．12B．C．6D．3二．填空题（共21小题）10．如图，点A、B、C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M、N、P、Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．11．如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④中点四边形MNPQ不可能是正方形；所有结论正确的序号是．12．如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．13．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．14．小明作生成“中点四边形”的数学游戏，具体步骤如下：（1）任画两条线段AB、CD，且AB与CD交于点O，O与A、B、C、D任意一点均不重合．连接AC、BC、BD、AD，得到四边形ACBD；（2）分别作出AC、CB、BD、DA的中点A1，B1，C1，D1，这样就得到一个“中点四边形”．①若AB⊥CD，则四边形A1B1C1D1的形状一定是，这样作图的依据是．②请你再给出一个AB与CD之间的关系，并写出在该条件下得到的“中点四边形”A1B1C1D1的形状．15．如图，矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，依次连接它的各边中点得到第一个四边形E1F1G1H1，再依次连接四边形E1F1G1H1的各边中点得到第二个四边形E2F2G2H2，按此方法继续下去，得到的第n个四边形E n F n G n H n的面积等于．16．已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有个；第2014个图形中直角三角形的个数有个．17．已知：四边形ABCD的面积为1．如图1，取四边形ABCD各边中点，则图中阴影部分的面积为；如图2，取四边形ABCD各边三等分点，则图中阴影部分的面积为；…；取四边形ABCD各边的n（n为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为．18．梯形的高为4cm，中位线长为5cm，则梯形的面积为cm2．19．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下面四个结论：（1）AE＝BF，（2）AE⊥BF，（3）AO＝OE，（4）S△AOB＝S四边，其中正确结论的序号是．形DEOF20．若梯形的面积为12cm2，高为3cm，则此梯形的中位线长为cm．21．已知一个梯形的面积为22cm2，高为2cm，则该梯形的中位线的长等于cm．22．如图，正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF，则下列结论中，①AG＝BF；②OF平分∠CFG；⑤CF﹣BF＝EF；④GF＝OF，正确的有.（填序号）23．如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上一点．EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G，GF＝5，则AE＝．24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，AC＝6，BD＝10，则OE的长为．25．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，AB＝2，BC＝5，则DE ＝．26．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF＝2，则∠EBF＝°，△BEF面积的最小值为．27．在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．若A（﹣4，0），B （0，﹣3），则菱形ABCD的面积是．28．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使得点D落在点D'处，则FC＝．29．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是．30．在数学家吴文俊主编的《“九章算术”与刘徽》一书中，小宇同学看到一道有趣的数学问题：古代数学家刘徽使用“出入相补”原理，即割补法，把筝形转化为与之面积相等的矩形，从而得到“筝形的面积等于其对角线乘积之半”．（说明：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形）请根据如图完成这个数学问题的证明过程．证明：证明：S筝形ABCD＝S△AOB+S△AOD+S△COB+S△COD．易知，S△AOD＝S△BEA，S△COD＝S△BFC，由等量代换可得：S筝形ABCD＝S△AOB++S△COB+＝S矩形EFCA＝AE•AC＝•．三．解答题（共30小题）31．在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；（2）连接BD交MN于点F．①根据题意补全图形；②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论．32．如图，已知在四边形中，AC⊥BD交于点O，E、F、G、H分别是四边上的中点，求证：四边形EFGH是矩形．33．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是（请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．①如图1，求证：AC平分∠BCD；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：想法一：通过∠B+∠D＝180°，可延长CB到E，使BE＝CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；想法二：通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．34．如图，在等边△ABC中，作∠ACD＝∠ABD＝45°，边CD、BD交于点D，连接AD．（1）请直接写出∠CDB的度数；（2）求∠ADC的度数；（3）用等式表示线段AD、BD、CD三者之间的数量关系，并证明．35．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．（1）判断四边形EFGH是何种特殊的四边形，并说明你的理由；（2）要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．36．在正方形ABCD中，点E是边BC上的中点，在边CD上取一点F，使得AE平分∠BAF．（1）依题意补充图形；（2）小玲画图结束后，通过观察、测量，提出猜想：线段AF等于线段BC与线段CF 的和．小玲把这个猜想与同学们进行交流．通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：考虑到AE平分∠BAF，且∠B＝90°．若过点E作EM⊥AF，则易证AM＝AB ＝BC．这样，只需证明FM＝FC即可．因∠EMF＝∠C＝90°，证FM＝FC即证EF平分∠MEC，所以连接EF．想法2：考虑到E是BC中点，若延长AE，交DC的延长线于点G，则易证CG＝AB，则CF+BC＝CF+CG＝FG．要证AF＝BC+CF，只需证F A＝FG即可．想法3：小米在课外小组学习了梯形中位线的相关知识，考虑到正方形ABCD所以有BC ＝AB，因此BC+CF＝AB+CF，是梯形上、下底之和，结合“E是BC中点”，易联想到梯形中位线的性质，从而解决问题．…请你参考上面的想法，帮助小玲证明AF＝BC+CF．（一种方法即可）37．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是，证明你的结论；（2）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．38．（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，连接GF、HD．求证：①FG+BE≥BF；②∠HGF＝∠HDF．39．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC＝10，M是AB的中点，MD⊥DC，D 是垂足，sin∠C＝，求梯形ABCD的面积．40．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BE＝CF，连接AE、BF相交于点G．现给出了四个结论：①AE＝BF；②∠BAE＝∠CBF；③BF⊥AE；④AG＝FG．请在这些结论中，选择一个你认为正确的结论，并加以证明．结论：．41．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD．（1）请再写出图中另外一对相等的角；（2）若AC＝6，BC＝9，试求梯形ABCD的中位线的长度．42．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF长为20，AC与EF交于点G，GF ﹣GE＝5．求AB、CD的长．43．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，点F在DC上，且AD＝a，BC＝b．（1）如果点E、F分别为AB、DC的中点，如图．求证：EF∥BC，且EF＝；（2）如果，如图，判断EF和BC是否平行，并用a、b、m、n的代数式表示EF．请证明你的结论．44．如图，在正方形ABCD中，点E在线段CB的延长线上，连接AE，并将线段AE绕点E 顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF，BD，CF，线段AF与线段BD相交于点M．（1）请写出∠ECF的度数，并给出证明；（2）求证：点M是线段AF的中点；（3）直接写出线段CF，BM和AD的数量关系．45．四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，CE＝CD，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．46．在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，射线CE 交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合）．①求证：∠BCF＝∠BAP；②求证：EA＝EC+EB；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时（BP＜BA），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系．47．如图，在正方形ABCD中，点E是直线AC上任意一点（不与点A，C重合），过点E 作EF⊥BE交直线CD于点F，过点F作FG⊥AC交直线AC于点G．（1）如图1，当点E在线段AC上时，猜想EG与AB的数量关系；（2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，补全图形，并判断（1）中EG与AB的数量关系是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．48．已知正方形ABCD，点E是直线BC上一点（不与B，C重合），∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F．（1）如图1，当点E在线段BC上时，①请补全图形，并直接写出AE，EF满足的数量关系；②用等式表示CD，CE，CF满足的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上，用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系（直接写出即可）．49．如图①，如果四边形ABCD满足AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB'，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是．（2）请你结合图1写出一条完美筝形的性质．（3）当图3中的∠BCD＝120°时，∠AEB′＝．（4）当图2中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有（写出筝形的名称：例筝形ABCD）．50．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明：CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．51．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作射线EF．（1）若∠DAB＝60°，EF∥AB交BC于点H，请在图1中补全图形，并判断四边形ABHE 的形状；（2）如图2，若∠DAB＝90°，EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG，请在图2中补全图形，猜想线段EG，AG，BG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若∠DAB＝α（0°＜α＜90°），EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．请在图3中补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹），直接写出线段EG，AG，BG之间的数量关系（用含α的式子表示）．52．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．（1）小文根据筝形的定义得到筝形边的性质是；（2）小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．求证：．证明：（3）小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是．（写出一条即可）53．如果一个四边形ABCD满足AB＝AD且BC＝CD，则称四边形ABCD为筝形．（1）如图1，连接筝形ABCD的对角线AC、BD交于点H，求证：AC⊥BD．（2）求证：筝形ABCD的面积S＝AC•BD．（3）如图2，在筝形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD，BD＝8，过点B作BF⊥CD于点，交AC于点E，过点F作FM⊥AB于点M，若四边形ABED是菱形，求FM的长．54．已知，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点F为CD上任意一点（不与C、D重合），过点F作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．（1）①依题意补全图1；②线段EF、CF、AE之间的等量关系是．（2）在图1中将△DEF绕点D逆时针旋转，当点F、E、C在一条直线上（如图2）．线段EF、CE、AE之间的等量关系是．写出判断线段EF、CE、AE之间的等量关系的思路（可以不写出证明过程）55．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，射线AP位于该菱形外侧，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，直线DE与直线AP交于F，连接BF，设∠P AB＝α．（1）依题意补全图1；（2）如图1，如果0°＜α＜30°，判断∠ABF与∠ADF的数量关系，并证明；（3）如图2，如果30°＜α＜60°，写出判断线段DE，BF，DF之间数量关系的思路；（可以不写出证明过程）（4）如果60°＜α＜90°，直接写出线段DE，BF，DF之间的数量关系．56．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上，点Q在直线AD上，且∠CPQ ＝120°．（1）如图1，若点P为菱形ABCD的对角线的交点．①依题意补全图1；②猜想PC与PQ的数量关系并加以证明；（2）如图2，若∠CPD＝80°，连接CQ，写出求∠PQD度数的思路．57．在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：EG＝BC；（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：．58．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B 重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC ＝AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．59．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及数量关系．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图3），你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．60．在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：ME＝MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF＝90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB＝．。

九年级上册第一章特殊的平行四边形培优习题（资料编辑：薛思优）一．选择题（共4小题）1．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．若∠BEC=80°，则∠EFD的度数为（）A．20°B．25°C．35°D．40°2．如图，正方形ABCD的边长为2，E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，EM的延长线与CD的延长线交于点F，MG⊥EF，交CD于N，交BC的延长线于G，点P是MG的中点．连接EG、FG．下列结论：①当点E为边AB的中点时，S△EFG=5；②MG=EF；③当AE=时，FG=；④若点E从点A运动到点B，则此过程中点P移动的距离为2．其中正确的结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在正方形ABCD中，四边形IJFH是正方形，面积为S1，四边形BEFG 是矩形，面积为S2，下列说法正确的是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．2S1=3S24．如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为（）A．2 B．C．D．二．填空题（共8小题）5．在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为．6．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…A n分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为cm2．7．在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BE于E，延长AF、EC交于点H，那么下列结论：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．其中正确结论的序号是（多填或错填的得0分，少填的酌情给分）8．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值．9．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C 点的坐标为．11．如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO度．12．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．13．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．三．解答题（共25小题）14．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．15．如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．16．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE、BE，求证：四边形AEBD是矩形．17．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．18．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．点P为矩形外一点且满足AP=PC，AP⊥PC．PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．（1）若AP=，AB=BC，求矩形ABCD的面积；（2）若CD=PM，求证：AC=AP+PN．19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．20．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．（1）若ED：DC=1：2，EF=12，试求DG的长．（2）观察猜想BE与DG之间的关系，并证明你的结论．21．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．证明：△ABG≌△ADE．22．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．23．已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）。

2015年5月29日初二培优材料教师版特殊平行四边形综合1．如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD 于点E，∠1＝∠2.(1) 若CE＝1，求BC的长；(2) 求证：AM＝DF＋ME.第1题2．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且点E、F不与点B、C、D重合．(1) 求证：不论点E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；(2) 当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值．第2题3．如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD 的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．第3题4．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．第4题请回答：BC+DE的值为______________．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF 的度数．5．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2，我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．第5题【问题探究】（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为____________________________．（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．【问题拓展】（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，将∠AEG绕点A顺时针旋转30°，得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′C′，分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．6．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC、CD上，将△CEF沿EF翻折，点C的落点为M（1）如图1，当 CE=5，M点落在线段AD上时，求MD的长（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将△CEF沿EF折叠，①连接BM，△BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此时CE的长，如果不可以，说明理由②连接MD，如图3，求四边形ABMD的周长的最小值和此时CE的长第6题参考答案1．(1) ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AB ∥CD.∴ ∠1＝∠ACD.∵ ∠1＝∠2，∴ ∠ACD ＝∠2.∴ MC ＝MD.∵ ME ⊥CD ，∴ CD ＝2CE.∵ CE ＝1，∴ CD ＝2.∴ BC ＝CD ＝2 (2) 如图，延长AB 、DF 交于点G.∵ F 为边BC 的中点，∴ BF ＝CF ＝12BC.∴ CF ＝CE.在菱形ABCD中，∵ CA 平分∠BCD ，∴ ∠ACB ＝∠ACD.在△CEM 和△CFM 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠MCE ＝∠MCF ，CM ＝CM ，∴ △CEM ≌△CFM(SAS)．∴ ME ＝MF.∵ AB ∥CD ，∴ ∠G ＝∠2.∴ ∠1＝∠G.∴ AM ＝MG .在△BFG 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠G ＝∠2，∠BFG ＝∠CFD （对顶角相等），BF ＝CF ，∴ △BFG ≌△CFD(AAS)．∴ GF ＝DF.∴ GM ＝GF ＋FM ＝DF ＋ME.∴ AM ＝DF ＋ME第1题2．(1) 如图，连结AC.∵ 四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，∴ ∠1＋∠EAC ＝60°.∵ ∠3＋∠EAC ＝60°，∴ ∠1＝∠3.∵ ∠BAD ＝120°，∴ ∠B ＝∠D ＝60°.∴ △ABC 和△ACD 为等边三角形．∴ ∠4＝60°，AC ＝AB.在△ABE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠3，AB ＝AC ，∠ABE ＝∠4，∴ △ABE≌△ACF(ASA)．∴ BE ＝CF (2) 四边形AECF 的面积不变．由(1)得△ABE ≌△ACF ，则S△ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC ，是定值．如图，作AH ⊥BC 于点H ，则BH ＝2，S 四边形AECF ＝S △ABC ＝12BC ·AH ＝12BC ·AB 2－BH 2＝4 3.△CEF 的面积发生变化．由“垂线段最短”可知当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积最小，又∵ S △CEF ＝S 四边形AECF －S △AEF ，则此时△CEF 的面积最大．∴ △CEF 面积的最大值是S 四边形AECF －S △AEF ＝43－12×23×（23）2－（3）2＝ 3 第2题3．（1）证明：在△HDG 和△AEH 中，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠A=90°， ∵四边形EFGH 是菱形， ∴HG=HE ， ∵DG=AH=2，∴Rt △HDG ≌△AEH ， ∴∠DHG=∠AEH ，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形；（2）解：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE∵CD∥AB，∴∠AEG=∠MGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠FGM，在Rt△AHE和Rt△GFM中，∵∠A＝∠M＝90°，∠AEH＝∠FGM，HE＝FG，∴Rt△AHE≌Rt△GFM，∴MF=2，∵DG=x，∴CG=6-x．∴S△FCG=12CG•FM=6-x．4．解决问题：连接AE，CE，如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥FE，BF=AE．∴DC∥FE．∴四边形DCEF是平行四边形．∴CE∥DF．∵AC=BF=DF，∴AC=AE=CE．∴△ACE是等边三角形．∴∠ACE=60°．∵CE∥DF，5．6．解：（1）如图1，作EN⊥AD于点N，∴∠ANE=∠ENM=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，∴∠A=∠B=∠ANE=90°，∴AB=NE=4，AN=BE．∵EC=5，∴BE=3，∴AN=3．∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM=5．在Rt△EMN中，由勾股定理，得MN=3，∴MD=8-3-3=2．答：MD的长为2；（2）①如图2，当∠BME=90°时，菁优网∵∠EMF=90°，∴∠BMF=180°，∴B、M、F在同一直线上．∵F是BC的中点，如图3，当∠BEM=90°时，∴∠MEC=90°∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，∴四边形ECFM是正方形，∴MF=CE=2．∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM，FC=FM．∴EF垂直平分MC，∴MG=CG，∴GF是△CDM的中位线，∴FG∥BD，∴BE=CE．∵BC=8，∴CE=4．在Rt△ABD中，由勾股定理，得。

特殊四边形练习题及答案1．如图所示，将一张边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为（）2A．10 B．45 C．89 D．212．如图2，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，下列结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．其中结论正确的个数是（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个3．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．3 C． D5．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）A．5 B．4 C．3 D．26．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为A1 B．5 D．527．如图，正方形ABCD的边长是4cm，点G在边AB上，以BG为边向外作正方形GBFE，连接AE、AC、CE，则△AEC的面积是 cm2。

8．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CD均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF= ．10．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为．11．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，若点P 在AD 边上，连接BP 、PC ，△BPC 是以PB 为腰的等腰三角形，则PB 的长为 ．12．如图，菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，P 是线段BD 上的一个动点，则PM+PN 的最小值是 ．13．在ABCD 中，ABCDS24=，AE 平分∠BAC ，交BC 于E. 沿AE 将△ABE 折叠，点B的对应点为F ，连结EF 并延长交AD 于G ，EG 将ABCD 分为面积相等的两部分. 则ABE S ∆= .14．如图，矩形ABCD 中，AD=10，AB=8，点P 在边CD 上，且BP=BC ，点M 在线段BP 上，点N 在线段BC 的延长线上，且PM=CN ，连接MN 交BP 于点F ，过点M 作ME ⊥CP 于E ，则EF= .15．如图，已知菱形AMNP 内接于△ABC ，M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC 上，如果AB ＝21 cm ，CA ＝15cm ，求菱形AMNP 的周长.（6分）变式1图PNMC B A16．（本题8分）如图，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF ，EF 与BC 交于点G.（1）求证：ABE CBF △≌△；（2）若50ABE ∠=°，求EGC ∠的大小．17．如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF=DE ，∠A=60°．（1）写出图中一对全等三角形：____________________． （2）求证：△BEF 是等边三角形； （3）若菱形ABCD 的边长为2，设△DEF 的周长为m ，则m 的取值范围为 （直接写出答案）； （4）连接AC 分别与边BE 、BF 交于点M 、N,且∠CBF ＝15º，试说明：222AM CN MN =+ 18．如图所示，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，CE ∥BD ，EB ∥AC ，连接OE ，交BC 于F ． （1）求证：OE=CB ；（2）如果OC: OB=1：2，ABCD 的面积．ADCE GBF19．已知：如图，在中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形?请说明理由．20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，DE∥AB．证明：（1）AE=DC；（2）四边形ADCE为矩形．=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D,交21．如图,已知:在四边形ABFC中，ACBAB于点E,且CF=AE（1）试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;（2）当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.（特别提醒:表示角最好用数字）22．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE ⊥AB于E，OF⊥AD于F．（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由，若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．23．如图，在四边形ABCD 中，点H 是BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ，F ，使EH=FH ，连接BE ，CF ． （1）求证：△BEH ≌△CFH ．（2）当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形？ 请说明理由．24．（1）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF=45°，延长CD 到点G ，使DG=BE ，连结EF ，AG ．求证：EF=FG ． （2）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN 的长．25．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AE=BF ．求证：CE=DF ．图1图226．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．27．【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．28．如图，矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．29．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s．连结PQ，AQ，CP.设点P、Q运动的时间为t（s）.（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形． （2）当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形．（3）分别求出（2）中菱形AQCP 的周长和面积．30．把一个含45°角的直角三角板BEF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B 重合，联结DF ，点M ，N 分别为DF ，EF 的中点，联结MA ，MN ． （1）如图1，点E ，F 分别在正方形的边CB ，AB 上，请判断MA ，MN 的数量关系和位置关系，直接 写出结论；（2）如图2，点E ，F 分别在正方形的边CB ，AB 的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．BFNME CDA FCBEMNAD图1 图231．如图，已知正方形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，E 为AC 上一点，AH ⊥EB 交EB 于点H ，AH 交BD 于点F ．（1）若点E 在图1的位置，判断OE 与OF 的数量关系，并证明你的结论；（2）若点E 在AC 的延长线上，请在图2中按题目要求补全图形，判断OE 与OF 的数量关系，并证明你的结论．32．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点P 在对角线AC 上，一条直角边经过点B ，另一条直角边交边DC 与点E ，求证：PB=PE分析问题：学生甲：如图1，过点P 作PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，垂足分别为M ，N 通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．学生乙：连接DP ，如图2，很容易证明PD=PB ，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD ，就可以证明PB=PE 了．解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P 在对角线AC 上，一条直角边经过点B ，另一条直角边交DC 的延长线于点E ，PB=PE 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．33．如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF=BE ． （1）求证：CE=CF ；（2）在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？ （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B=90°，AB=BC=12，E 是AB 的中点，且∠DCE=45°，求DE 的长； ②如图3，在△ABC 中，∠BAC=45°，AD ⊥BC ，BD=2，CD=3，则△ABC 的面积为 _________ （直接写出结果，不需要写出计算过程）．34．在正方形ABCD 中，点F 是BC 延长线上一点，过点B 作BE ⊥DF 于点E ，交CD 于点G ，连接CE.（1）若正方形ABCD 边长为3，DF=4，求CG 的长； （2）求证：EF+EG=2CE.35．（1）图①是将线段AB 向右平移1个单位长度，图②是将线段AB 折一下再向右平移1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形﹒GEABCDF（2）若长方形的长为a ，宽为b ，请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积﹒（3）如图④，在宽为10m ，长为40m 的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路宽为1m ，求这块菜地的面积﹒36．如图，菱形ABCD 中，点E,M 在A,D 上，且CD=CM ，点F 为AB 上的点，且∠ECF=12∠B（1）若菱形ABCD 的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD 的面积。

第8题图 F D ’ DCBA 特殊的平行四边形一、填空.1、用硬纸片剪一个长为16cm ，宽为12cm 的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形，其中周长最大的是________cm ，周长最小的是________cm ；2、如图，在矩形ABCD 中，已知AD=12,AB=5,P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，那么PE+PF=_____________；3、如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，则□ABCD 的周长为_________；4、如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ：∠BAE=3:1，则∠EAC=_____；5、如图，以△ABC 的三边在BC 的同一侧，分别作三个等边三角形，即△ABD 、△BCE 、△ACF. （1）四边形ADEF 是_________（2）当△ABC 满足条件________________时，四边形ADEF 为矩形. （3）当△ABC 满足条件________________时，四边形ADEF 不存在；6、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长为33+，∠ABC=60o ，则菱形ABCD 的面积为__________；7、已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另外两边之和为31+，则这两边之积为_______；8、如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，则重叠部分△AFC 的面积为____________；二、选择题9、四边形的四条边长分别是a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，且满足a 2+b 2+c 2+d 2=2ab +2cd ，则这个四边形一定是（ ）CBAC BA12cmO 16cm EFP 第2题图MOD第1题图第3题图DBAOEDCABO CBAFEDC第6题图第5题图第4题图D第16题图PDCBA 10、如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ） A 、98B 、196C 、280D 、28411、如图，在矩形ABCD 中，BC=2，AE ⊥BD 于点E ，∠BAE=30o ，那么△ECD 的面积是（ ） A 、32 B 、3 C 、33 D 、23 12、如图，四边形ABCD 中，∠BAD=90o ，AB=BC=32，AC=6，AD=3，则CD 的长是（ ） A 、4 B 、24 C 、23 D 、3313、如图，□ABCD 中，∠ABC=75o ，AF ⊥BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE=2AB ，则∠AED=（ ）A 、60oB 、65oC 、70oD 、75o14、如图，正△AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等，点EF 分别在BC 、CD 上则∠B=（ ） A 、70o B 、75o C 、80o D 、95o15、如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，F 是CD 上的点，已知S △ABE =S △ADF =31S ABCD ，则s s CEFAEF ∆∆的值是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、516、如图，正方形ABCD 外有一点P ，P 在BC 外侧，并在平行线AB 与CD 之 间，若PA=17，PB=2，PC=5，则PD= （ ）A 、52B 、19C 、23D 、17 DCBA第10题图C DBAE第11题图DC BA第12题图F ABAFEDC BE DCBAF EDC第14题图第15题图第13题图D CB AOGF D CBADECBANMC B AEC B P三、证明及解答题17、如图，四边形ABCD中，∠A=120o，∠ABC=90o，AD=3，BC=33，BD=7，求AB的长.18、如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD 相交于点G，求证：GF∥AC.19、如图，等腰三角形ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连结DE，恰有AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数.20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，M是AB的中点，AM=AN，MN∥AC，求证：MN=AC.22如图□ABCD中，DE⊥AB于点E，AB：AD=1:2，M是BC的中点，试判断∠EMC和∠BEM的关系，并说明理由.PB C A N M D C BAPNMQ23、如图，在△ABC 中，∠C=90o ，点M 在BC 上，且BM=AC ；点N 在AC 上，且AN=MC ，AM 与BN 相交于点P ，求∠BPM 的度数.25、如图，已知在□ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于点P 、Q 两点， 求：AP ：PQ ：QC 的值.。

特殊四边形专题训练卷（培优训练）一．选择题1．（4分）平行四边形ABCD中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°2．（3分）平行四边形的两条对角线一定（）A．互相平分B．互相垂直C．相等D．以上都不对3．（3分）下列说法不正确的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形4．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（3分）如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，E在AD上．AD＝m，AE＝n（m ＞n＞0）．将长方形沿着BE折叠，A落在A′处，A'E交BC于点G，再将∠A′ED对折，点D落在直线A′E上的D′处，C落在C′处，折痕EF，F在BC上，若D、F、D′三点共线，则BF＝（）A．m+n B．C．D．m﹣n6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于（）A．18B．16C．15D．147．（3分）如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．16B．12C．24D．188．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（）个．A．1B．2C．3D．49．（3分）有一边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF（如图①）；再沿过点D的折痕将角A翻折，使得点A落在EF的H上（如图②），折痕交AE 于点G，则EG的长度为（）A．4﹣6B．2﹣3C．8﹣4D．4﹣210．（3分）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝9时，点R应运动到（）A．M处B．N处C．P处D．Q处11．（3分）等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（）A．120°B．60°C．45°D．135°12．（3分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，DC+AD＝10，则AB的长为（）A．8B．9C．10D．11二．填空题13．（3分）如图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都＞2，则第n个多边形中，所有扇形面积之和是．（结果保留π）14．（3分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，那么BC＝．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，∠A＝60°，E，F分别是AB，CD 的中点，且EF＝1cm，那么对角线BD＝cm．16．（3分）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为．17．（3分）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为．18．（3分）如果菱形边长为13，一条对角线长为10，那么它的面积为．19．（3分）如图，矩形ABCD的面积为8，它的两条对角线交于点O，以OD、OC为两邻边作第一次变换得到菱形OCED，菱形OCED的对角线交于点O1，同样以O1C、O1E为两邻边作第二次变换得到矩形CFEO1，…，依此类推，第n次变换后，所得到的图形的面积为．20．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．填空：①当t为s时，四边形ACFE是菱形；②当t为s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．三．解答题21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，DE⊥BC于点E，DB⊥AB于点B．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若DB＝2DE，BC＝8，求AB的长．22．（8分）如图，BD是▱ABCD的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、CF于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；（2）已知DM＝2，AN＝3，求AB的长．23．（9分）已知平行四边形ABCD中对角线AC的垂直平分线交AD于点F，交BC于点E．求证：四边形AECF是菱形．证明：∵EF是AC的垂直平分线（已知）∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）．老师说小明的解答不正确（1）能找出小明错误的原因吗？请你指出来．（2）请你给出本题的证明过程．24．（11分）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2，若∠ABC＝90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；（3）如图3，若∠ABC＝120°，请直接写出∠BDG的度数．25．（9分）已知，如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．26．（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在D的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF，BD之间的位置关系为，数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动（如图4）当∠ACB＝时，CF⊥BC（点C，F重合除外）？（3）若AC＝4，BC＝3．在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．27．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD．求证：AF＝DE．28．（14分）已知，如图，AB∥CD，EH⊥AB，垂足为H，若∠1＝50°，则∠E为多少度？29．（8分）已知，如图，在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAD的平分线于E，AE交DC 于F，求证：CE＝AF．。

特殊四边形练习题及答案1．如下图，将一张边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，那么线段MN的长为〔〕2A．10 B．45 C．89 D．212．如图2，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，以下结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．其中结论正确的个数是〔〕．〔A〕1个〔B〕2个〔C〕3个〔D〕4个3．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．那么以下结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的个数是〔〕A．2 B．3 C．4 D．54．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，那么这个最小值为〔〕A．2 B．3 C．335．如图，ABCD 为正方形，O 为AC 、BD 的交点，△DCE 为Rt △，∠CED=90°，∠DCE=30°，假设OE=，那么正方形的面积为〔 〕A ．5B ．4C ．3D ．26．如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为A ．21B ．5C ．1455D ．527．如图，正方形ABCD 的边长是4cm ，点G 在边AB 上，以BG 为边向外作正方形GBFE ，连接AE 、AC 、CE ，那么△AEC 的面积是 cm 2。

矩形、菱形、正方形练习题一、填空题1、已知一个菱形的面积为8萌cm 2,且两条对角线的比为1 :，则菱形短的 对角线长为 __________ 。

2、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm,则它的面积为3、 矩形的对角线 __________________ ,菱形的对角线 ___________________________ , 正方形的对角线 _______________________________________________ .4、 菱形的两条对角线长分别为16、12,则菱形的边长为 ___________ ,面积是 _______ L5、 矩形的两边长分别为6cm 、8cm,那么对角线的长是 __________________ .6、正方形的对角线长是3“cm,则正方形的周长是 ______________ ,面积是 __________ . 8、菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于0,若BD=6, ZBAD=60° ,则菱形的周长 是.9、如图，矩形ABCD 的周长是36cm,E 是 BC 的中点，ZAED=90° , 则 AB=_____________ , BC= __________ .10、 如图，BD 是正方形ABCD 的一再对角线AD=DE,点E 在BD 上， 且AD=DE,则 ZBAE= ___________ .11、 菱形两邻角的度数比为1:2,且边长为1,则两对角线的长分别为 __________ .12、 如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和 13、点M 为矩形ABCD 的边AD 的中点，P为BC 上一点，且PE 丄MC, PF 丄MB,当AB 、AD 满足条件 时，四边形PEMF 是矩形。

二、选择题14、 已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ） A 、AB=CD B 、AC=BD C 、当 AC 丄BD 时，它是菱形 D 、当 ZABC=90° 时，它是矩形15、 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）。

特殊的平行四边形培优训练1.如图菱形ABCD中，对角线AC BD，相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）．2.边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是.3.如图菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．4.已知如图正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AB、BC上的点，若OE⊥OF，AE＝4cm，则CF的长为。

5.如图，矩形1111ＡＢＣＤ的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形2222ＡBＣＤ，再顺次连结四边形2222ＡBＣＤ四边中点得到四边形3333ＡＢＣＤ，依此类推，求四边形n n n nＡＢＣＤ的面积是。

6.如图所示正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7.如图在梯形ABCD中，AD BC∥，AB DC AD==，60C∠=°，AE BD⊥于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证:四边形AEFD是平行四边形;（2）设AE x=，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式．8.如图把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处；（1）求证：B E BF'=；（2）设AE a AB b BF c===，，，试猜想a b c，，之间的一种关系，并给予证明．A DCBO9. （2008兰州）如图，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等； （3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．10. 如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AF 、DE 相交于点G ，则可得得结论：①DE AF =；②DE AF ⊥。

平行四边形培分类优训练一．选择题（共10小题）1．（达州）如图.在四边形ABCD中.∠A+∠D=α.∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P.则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α（河南模拟）如图.DE是△ABC的中位线.F是DE的中点.CF的延长线交AB于点G.则S△CEF：S△DGF等于（）2．A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：13．（无锡）已知：四边形ABCD中.AB=2.CD=3.M、N分别是AD.BC的中点.则线段MN的取值范围是（）A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜D．＜MN≤4．（鄂州）在平面直角坐标系中.正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置.其中点B1在y轴上.点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上.已知正方形A1B1C1D1的边长为1.∠B1C1O=60°.B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015D．（）20145.（渝中区校级模拟）如图.矩形ABCD中.BC=2AB.对角线相交于O.过C点作CE⊥BD交BD于E点.H为BC 中点.连接AH交BD于G点.交EC的延长线于F点.下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④CF=BD．正确的有（）个．A．2 B．3 C．4 D．56．（鹿城区校级二模）如图.在正方形ABCD中.四边形IJFH是正方形.面积为S1.四边形BEFG是矩形.面积为S2.下列说法正确的是（）A．S1＞S2B．S1=S2 C．S1＜S2D．2S1=3S27．（承德县一模）如图.在矩形ABCD中.AB=3.AD=4.点P在AB上.PE⊥AC于E.PF⊥BD于F.则PE+PF等于（）A．B．C．D．8．（瑞安市校级一模）如图.E.F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点.且△ABG.△DCH的面积分别为15和20.则图中阴影部分的面积为（）A．15 B．20 C．35 D．409．（内江期末）如图.点P是正方形ABCD的对角线BD上一点.PE⊥BC于点E.PF⊥CD于点F.连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．（盘锦）已知如图.矩形ABCD中AB=4cm.BC=3cm.点P是AB上除A.B外任一点.对角线AC.BD相交于点O.DP.CP分别交AC.BD于点E.F且△ADE和BCF的面积之和4cm2.则四边形PEOF的面积为（）A．1cm2B．1.5cm2C．2cm2D．2.5cm2二．填空题（共17小题）11．（内江）如图.四边形ABCD和MNPQ都是边长为a的正方形.点A是MNPQ的中心（即两条对角线MP和NQ的交点）.点E是AB与MN的交点.点F是NP与AD的交点.则四边形AENF的面积是12．（广州）如图.四边形ABCD中.∠A=90°.AB=3.AD=3.点M.N分别为线段BC.AB上的动点（含端点.但点M不与点B重合）.点E.F分别为DM.MN的中点.则EF长度的最大值为．13．（无锡）已知：如图.AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线.AD⊥BE.AD=BE=6.则AC的长等于．14．（安徽）如图.在▱ABCD中.AD=2AB.F是AD的中点.作CE⊥AB.垂足E在线段AB上.连接EF、CF.则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．15．（乌鲁木齐）如图.△ABC中.AD是中线.AE是角平分线.CF⊥AE于F.AB=5.AC=2.则DF的长为．16．（南岗区校级一模）如图.AD、BE为△ABC的中线交于点O.∠AOE=60°.OD=.OE=.则AB= ．17．（枣庄）如图所示.DE为△ABC的中位线.点F在DE上.且∠AFB=90°.若AB=5.BC=8.则EF的长为．18．（潮南区一模）如图所示.如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF.再以AE为边作第三个正方形AEGM.…已知正方形ABCD的面积S1=1.按上述方法所作的正方形的面积依次为S2.S3.…S n（n为正整数）.那么第8个正方形面积S8= ．19．（南岗区二模）如图.正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.∠CAB的平分线交BD于点E.交BC于点F．若OE=1.则CF= ．20．（德州）如图.在正方形ABCD中.边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．21．（广安区校级模拟）如图.在菱形ABCD中.∠A=60°.E、F分别是AB.AD的中点.DE、BF相交于点G.连接BD.CG．有下列结论.其中正确的有（填正确结论的序号）．①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2．22．（金城江区一模）如图.点P是矩形ABCD的边AD的一个动点.矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4.那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．23．（锡山区校级三模）如图.矩形ABCD中.点E.F.G.H分别在边AB.BC.CD.DA上.点P在矩形ABCD内．若AB=4cm.BC=6cm.AE=CG=3cm.BF=DH=4cm.四边形AEPH的面积为5cm2.则四边形PFCG的面积为cm2．24．（成都模拟）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放.点A1、A2…A n分别是各正方形的中心.则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为cm2．25．（郑州模拟）如图.在平面直角坐标系中.正方形ABCD顶点A的坐标为（0.2）.B点在x轴上.对角线AC.BD交于点M.OM=.则点C的坐标为．参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2014•达州）如图.在四边形ABCD中.∠A+∠D=α.∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P.则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD中.∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α.∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线.∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α.则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：C．2．（2012•河南模拟）如图.DE是△ABC的中位线.F是DE的中点.CF的延长线交AB于点G.则S△CEF：S△DGF 等于（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1【解答】解：如图.取CG的中点H.连接EH.∵E是AC的中点.∴EH是△ACG的中位线.∴EH∥AD.∴∠GDF=∠HEF.∵F是DE的中点.∴DF=EF.在△DFG和△EFH中..∴△DFG≌△EFH（ASA）.∴FG=FH.S△EFH=S△DGF.又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH.∴S△EFC=3S△EFH.∴S△EFC=3S△DGF.因此.S△CEF：S△DGF=3：1．故选B．3．（2002•无锡）已知：四边形ABCD中.AB=2.CD=3.M、N分别是AD.BC的中点.则线段MN的取值范围是（）A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜D．＜MN≤【解答】解：连接BD.过M作MG∥AB.连接NG．∵M是边AD的中点.AB=2.MG∥AB.∴MG是△ABD的中位线.BG=GD.MG=AB=×2=1；∵N是BC的中点.BG=GD.CD=3.∴NG是△BCD的中位线.NG=CD=×3=.在△MNG中.由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG.即﹣1＜MN＜+1.∴＜MN＜.当MN=MG+NG.即MN=时.四边形ABCD是梯形.故线段MN长的取值范围是＜MN≤．故选D．4．（2015•鄂州）在平面直角坐标系中.正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置.其中点B1在y轴上.点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上.已知正方形A1B1C1D1的边长为1.∠B1C1O=60°.B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015D．（）2014【解答】方法一：解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1.∠B1C1O=60°.B1C1∥B2C2∥B3C3…∴D1E1=B2E2.D2E3=B3E4.∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°.∴D1E1=C1D1si n30°=.则B2C2=（）1.同理可得：B3C3==（）2.故正方形A n B n C n D n的边长是：（）n﹣1．则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014．故选：D．方法二：∵正方形A1B1C1D1的边长为1.∠B1C1O=60°.∴D1E1=B2E2=.∵B1C1∥B2C2∥B3C3…∴∠E2B2C2=60°.∴B2C2=.同理：B3C3=×=…∴a1=1.q=.∴正方形A2015B2015C2015D2015的边长=1×．5．（2013•渝中区校级模拟）如图.矩形ABCD中.BC=2AB.对角线相交于O.过C点作CE⊥BD交BD于E点.H 为BC中点.连接AH交BD于G点.交EC的延长线于F点.下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG ≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①在△BCE中.∵CE⊥BD.H为BC中点.∴BC=2EH.又BC=2AB.∴EH=AB.正确；②由①可知.BH=HE∴∠EBH=∠BEH.又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°.∴∠ABG=∠HEC.正确；③由AB=BH.∠ABH=90°.得∠BAG=45°.同理：∠DHC=45°.∴∠EHC＞∠DHC=45°.∴△ABG≌△HEC.错误；④∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F.又∠ECH=∠CDE=∠BAO.∠BAO=∠BAH+∠HAC.∴∠F=∠HAC.∴CF=BD.正确．正确的有三个．故选B．6．（2012•鹿城区校级二模）如图.在正方形ABCD中.四边形IJFH是正方形.面积为S1.四边形BEFG是矩形.面积为S2.下列说法正确的是（）A．S1＞S2B．S1=S2 C．S1＜S2D．2S1=3S2【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线.∴∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°.∵四边形IJFH是正方形.四边形BEFG是矩形.∴∠AJI=∠CFH=AEF=∠CGF=90°.∴△AIJ 、△AEF 、△CFH 、△CFG 都是等腰直角三角形.设JF=x.则S 1=x 2.根据等腰直角三角形的性质.EF=AF=×2x=x.FG=FC=x. 所以S 2=EF •FG=x •x=x 2.所以S 1=S 2．故选B ．7．（2011•承德县一模）如图.在矩形ABCD 中.AB=3.AD=4.点P 在AB 上.PE ⊥AC 于E.PF ⊥BD 于F.则PE+PF 等于（ ）A ．B ．C ．D ． 【解答】连接PO ，S △ADO =4=S △APO +S △DOPS △APO =2PE AO ⨯ S △OPD =2PF OD ⨯ ∵AO=DO∴S △APO +S △POD =()2PF PE AO +⨯=3 由勾股定理得AC=5()2PF PE AO +⨯=()45PF PE +=3 PE+PF=12/5 8．（2011•瑞安市校级一模）如图.E.F 分别是矩形ABCD 边AD 、BC 上的点.且△ABG.△DCH 的面积分别为15和20.则图中阴影部分的面积为（ ）A ．15B ．20C ．35D ．40【解答】解：连接EF.∵S △ABF =S △EBF ∴S △EFG =S △ABG =15；同理：S △EFH =S △DCH =20∴S 阴影=S △EFG +S △DCH =15+20=35．故选C ．9．（2011春•内江期末）如图.点P是正方形ABCD的对角线BD上一点.PE⊥BC于点E.PF⊥CD于点F.连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：延长FP交AB于点N.延长AP交EF于点M．∵四边形ABCD是正方形．∴∠ABP=∠CBD又∵NP⊥AB.PE⊥BC.∴四边形BNPE是正方形.∠ANP=∠EPF.∴NP=EP.∴AN=PF在△ANP与△FPE中.∵.∴△ANP≌△FPE（SAS）.∴AP=EF.∠PFE=∠BAP（故①④正确）；△APN与△FPM中.∠APN=∠FPM.∠NAP=∠PFM∴∠PMF=∠ANP=90°∴AP⊥EF.（故②正确）；P是BD上任意一点.因而△APD是等腰三角形和PD=2EC不一定成立.（故③⑤错误）；故正确的是：①②④．故选：B．10．（2010•盘锦）已知如图.矩形ABCD中AB=4cm.BC=3cm.点P是AB上除A.B外任一点.对角线AC.BD相交于点O.DP.CP分别交AC.BD于点E.F且△ADE和BCF的面积之和4cm2.则四边形PEOF的面积为（）A．1cm2B．1.5cm2C．2cm2D．2.5cm2【解答】解：已知矩形ABCD.∴△APD的面积+△BPC的面积=矩形ABCD的面积﹣△CPD的面积=4×3﹣×4×3=6（cm2）.∴△AEP的面积+△BFP的面积=（△APD的面积+△BPC的面积）﹣△ADE和BCF的面积之和=6﹣4=2（cm2）. 已知矩形ABCD.∴△AOB的面积=×4×（3×）=3（cm2）.∴四边形PEOF的面积=△AOB的面积﹣（△AEP的面积+△BFP的面积）=3﹣2=1（cm2）．故选A．二．填空题（共17小题）11．（1997•内江）如图.四边形ABCD和MNPQ都是边长为a的正方形.点A是MNPQ的中心（即两条对角线MP和NQ的交点）.点E是AB与MN的交点.点F是NP与AD的交点.则四边形AENF的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：连接AP.AN.点A是正方形的对角线的交点.则AP=AN.∠APF=∠ANE=45°.∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°.∴∠PAF=∠NAE.∴△PAF≌△NAE.∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积.而△NAP的面积是正方形的面积的.正方形的面积为a2.∴四边形AENF的面积为；故选A12．（2015•广州）如图.四边形ABCD中.∠A=90°.AB=3.AD=3.点M.N分别为线段BC.AB上的动点（含端点.但点M不与点B重合）.点E.F分别为DM.MN的中点.则EF长度的最大值为 3 ．【解答】解：∵ED=EM.MF=FN.∴EF=DN.∴DN最大时.EF最大.∵N与B重合时DN最大.此时DN=DB==6.∴EF的最大值为3．故答案为3．13．（2015•无锡）已知：如图.AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线.AD⊥BE.AD=BE=6.则AC的长等于．【解答】解：过D点作DF∥BE.∵AD是△ABC的中线.AD⊥BE.∴F为EC中点.AD⊥DF.∵AD=BE=6.则DF=3.AF==3.∵BE是△ABC的角平分线.AD⊥BE.∴△ABG≌△DBG.∴G为AD中点.∴E为AF中点.∴AC=AF=×3=．故答案为：．14．（2014•安徽）如图.在▱ABCD中.AD=2AB.F是AD的中点.作CE⊥AB.垂足E在线段AB上.连接EF、CF.则下列结论中一定成立的是①②④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．【解答】解：①∵F是AD的中点.∴AF=FD.∵在▱ABCD中.AD=2AB.∴AF=FD=CD.∴∠DFC=∠DCF.∵AD∥BC.∴∠DFC=∠FCB.∴∠DCF=∠BCF.∴∠DCF=∠BCD.故此选项正确；延长EF.交CD延长线于M.∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥CD.∴∠A=∠MDF.∵F为AD中点.∴AF=FD.在△AEF和△DFM中..∴△AEF≌△DMF（ASA）.∴FE=MF.∠AEF=∠M.∵CE⊥AB.∴∠AEC=90°.∴∠AEC=∠ECD=90°.∵FM=EF.∴FC=FM.故②正确；③∵EF=FM.∴S△EFC=S△CFM.∵MC＞BE.∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x.则∠FCE=x.∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x.∴∠EFC=180°﹣2x.∴∠EF D=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x.∵∠AEF=90°﹣x.∴∠DFE=3∠AEF.故此选项正确．故答案为：①②④．（2013•乌鲁木齐）如图.△ABC中.AD是中线.AE是角平分线.CF⊥AE于F.AB=5.AC=2.则DF的长为．15．【解答】解：延长CF交AB于点G.∵AE平分∠BAC.∴∠GAF=∠CAF.∵AF垂直CG.∴∠AFG=∠AFC.在△AFG和△AFC中.∵.∴△AFG≌△AFC（ASA）.∴AC=AG.GF=CF.又∵点D是BC中点.∴DF是△CBG的中位线.∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=．故答案为：．16．（2013•南岗区校级一模）如图.AD、BE为△ABC的中线交于点O.∠AOE=60°.OD=.OE=.则AB= 7 ．【解答】解：如图.过点E作EF⊥AD于F.连接DE.∵∠AOE=60°.∴∠OEF=90°﹣60°=30°.∵OE=.∴OF=OE=×=.在Rt△OEF中.EF===.∵OD=.∴DF=OD+OF=+=.在Rt△DEF中.DE===.∵AD、BE为△ABC的中线.∴DE是△ABC的中位线.∴AB=2DE=2×=7．故答案为：7．17．（2012•枣庄）如图所示.DE为△ABC的中位线.点F在DE上.且∠AFB=90°.若AB=5.BC=8.则EF的长为．【解答】解：∵∠AFB=90°.D为AB的中点.∴DF=AB=2.5.∵DE为△ABC的中位线.∴DE=BC=4.∴EF=DE﹣DF=1.5.故答案为：1.5．18．（2015•潮南区一模）如图所示.如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF.再以AE为边作第三个正方形AEGM.…已知正方形ABCD的面积S1=1.按上述方法所作的正方形的面积依次为S2.S3.…S n （n为正整数）.那么第8个正方形面积S8= 128 ．【解答】解：根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍.已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8=27=128．故答案为128．19．（2014•南岗区二模）如图.正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.∠CAB的平分线交BD于点E.交BC于点F．若OE=1.则CF= 2 ．【解答】解：作EG⊥AB于G.根据角平分线的性质可得.EG=OE=1.又BD平分∠ABC.则∠ABE=45°∴△EBG是等腰直角三角形.可得BE=.则OB=1+.可得BC=2+又∠AFB=90°﹣∠FAB.∠FEB=∠OEA=90°﹣∠FAC.∴∠AFB=∠FEB∴BF=BE=则CF=BC﹣BF=2+﹣=2．20．（2013•德州）如图.在正方形ABCD中.边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形.∴AB=AD.∵△AEF是等边三角形.∴AE=AF.在Rt△ABE和Rt△ADF中..∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）.∴BE=DF.∵BC=DC.∴BC﹣BE=CD﹣DF.∴CE=CF.∴①说法正确；∵CE=CF.∴△ECF是等腰直角三角形.∴∠CEF=45°.∵∠AEF=60°.∴∠AEB=75°.∴②说法正确；如图.连接AC.交EF于G点.∴AC⊥EF.且AC平分EF.∵∠CAF≠∠DAF.∴DF≠FG.∴BE+DF≠EF.∴③说法错误；∵EF=2.∴CE=CF=.设正方形的边长为a.在Rt△ADF中.AD2+DF2=AF2.即a2+（a﹣）2=4.解得a=.则a2=2+.S正方形ABCD=2+.④说法正确.故答案为：①②④．21．（2013•广安区校级模拟）如图.在菱形ABCD中.∠A=60°.E、F分别是AB.AD的中点.DE、BF相交于点G.连接BD.CG．有下列结论.其中正确的有①②（填正确结论的序号）．①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2．【解答】解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形.∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°.故①正确；②∵∠DCG=∠BCG=30°.DE⊥AB.∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG.故可得出BG+DG=CG.即②也正确；③首先可得对应边BG≠FD.因为BG=DG.DG＞FD.故可得△BDF不全等△CGB.即③错误；④S△ABD=AB•DE=AB•（BE）=AB•AB=AB2.即④不正确．综上可得①②正确.共2个．故答案为①②．22．（2013•金城江区一模）如图.点P是矩形ABCD的边AD的一个动点.矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4.那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．【解答】解：过P点作PE⊥AC.PF⊥BD.∵四边形ABCD是矩形.∴AD⊥CD.∴△PEA∽△CDA.∴.∵AC=BD==5.∴…①.同理：△PFD∽△BAD.∴.∴…②.∴①+②得：.∴PE+PF=.即点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是：．故答案为：．23．（2013•锡山区校级三模）如图.矩形ABCD中.点E.F.G.H分别在边AB.BC.CD.DA上.点P在矩形ABCD 内．若AB=4cm.BC=6cm.AE=CG=3cm.BF=DH=4cm.四边形AEPH的面积为5cm2.则四边形PFCG的面积为8 cm2．【解答】解：连接AP.CP.设△AHP在AH边上的高为x.△AEP在AE边上的高为y．则△CFP在CF边上的高为4﹣x.△CGP在CG边上的高为6﹣y．∵AH=CF=2cm.AE=CG=3cm.∴S四边形AEPH=S△AHP+S△AEP．=AH×x×+AE×y×=2x×+3y×=5cm22x+3y=10S四边形PFCG=S△CGP+S△CFP=CF×（4﹣x）×+CG×（6﹣y）×=2（4﹣x）×+3（6﹣y）×=（26﹣2x﹣3y）×=（26﹣10）×=8cm2．故答案为8．24．（2013•成都模拟）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放.点A1、A2…A n分别是各正方形的中心.则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为cm2．【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的.即是.5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4.n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）=cm2．故答案为：．25．（2013•郑州模拟）如图.在平面直角坐标系中.正方形ABCD顶点A的坐标为（0.2）.B点在x轴上.对角线AC.BD交于点M.OM=.则点C的坐标为（6.4）．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E.过点M作MF⊥x轴于点F.连结EM.∴∠MFO=∠CEO=∠AOB=90°.AO∥MF∥CE.∵四边形ABCD是正方形.∴AB=BC.∠ABC=90°.AM=CM.∴∠OAB=∠EBC.OF=EF.∴MF是梯形AOEC的中位线.∴MF=（AO+EC）.∵MF⊥OE.∴MO=ME．∵在△AOB和△BEC中..∴△AOB≌△BEC（AAS）.∴OB=CE.AO=BE．∴MF=（BE+OB）.又∵OF=FE.∴△MOE是直角三角形.∵MO=ME.∴△MOE是等腰直角三角形.∴OE==6.∴A（0.2）.∴OA=2.∴BE=2.∴OB=CE=4．∴C（6.4）．故答案为：（6.4）．26．（2013•荣成市模拟）如图.在正方形ABCD中.AB=1.E、F分别是BC、CD边上点.若CE=CB.CF=CD.则图中阴影部分的面积是．【解答】解：延长GE到M.使GE=EM.连接CG、CM、BM.过C作CN⊥DE于N. ∵E为BC中点.∴BE=EC=.在△BEG和△CEM中∴△BEG≌△CEM（SAS）.∴S△BEG=S△CEM.∵E、F分别为BC、CD中点.∴DG：EG=2：1.∴GM=DG=2EG.∴S△MGC=S△DGC.∴S△DMC=2S△DGC=2×S△DEC.∵S△DEC =×1×=.∴S△DMC =.∴阴影部分的面积S=S正方形ABCD﹣S△DMC=1×1﹣=.故答案为：．. .。

特殊四边形精选培优题一．选择题1．如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥AE交DP 于F，连结BF，CF．下列结论：①EF=AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．42．如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，则S4的值是（）A．4 B．5 C．6 D．73．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BEC =2S△CEF．A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④4．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，过点C作EG的垂线CH，垂足为点H，连接BH，BH=8．有下列结论：①∠CBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4；④DG=2其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）A ．nB ．n ﹣1C ．（）n ﹣1D ．n7．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点P 在AB 上，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE +PF 等于（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，矩形ABCD 中，BC=2AB ，对角线相交于O ，过C 点作CE ⊥BD 交BD 于E 点，H 为BC 中点，连接AH 交BD 于G 点，交EC 的延长线于F 点，下列5个结论：①EH=AB ；②∠ABG=∠HEC ；③△ABG ≌△HEC ；④S △GAD =S 四边形GHCE ；⑤CF=BD ．正确的有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，四边形ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上且BE 平分∠DBC ，O 是BD 中点，直线BE 、DG 交于H ．BD ，AH 交于M ，连接OH ，下列四个结论：①BE ⊥GD ；②OH=BG ；③∠AHD=45°；④GD=，其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．则在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，分别连接DB 、DG 、BG ，∠BDG 的大小是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°11．如图四边形ABCD 是菱形，且∠ABC=60，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，则下列五个结论中正确的是（ ）①若菱形ABCD 的边长为1，则AM +CM 的最小值1；②△AMB ≌△ENB ；③S四边形AMBE =S四边形ADCM；④连接AN，则AN⊥BE；⑤当AM+BM+CM的最小值为2时，菱形ABCD的边长为2．A．①②③B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤二．填空题12．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF ：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．13．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积保持不变；③△CDE面积的最大值为8；④四边形CDFE不可能为正方形；⑤DE长度的最小值为4．其中正确的结论是（填序号）．15．菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为．17．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．18．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM=，则点C的坐标为．19．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2=．20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，则EF=．三．解答题21．如图，等腰直角三角形ABC，过点A在AB左侧作AE⊥AB，并构造正方形AEDB，点F是AC上一点，且AB=AF，过点A作AG平分∠BAC，AH⊥EF，分别交EF于点G，H，连接DG．（1）若AF=2，求CF的长．（2）求证：DG+AG=EG．（3）如图，在等腰直角三角形ABC中，若过点A在AB右侧作AN⊥AB，AM⊥CN，连接BM，直接写出的值．22．已知，点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时，如图1，说明：OE=OF（2）若直线BP绕点B逆时针方向旋转（点P在对角线AC上），如图2，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）直线BP绕点B逆时针方向旋转图3的位置（点P在对角线AC的延长线上），若∠OFE=30°，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？23．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．（1）求证：△CBG≌△CDG；（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，当G点在何位置时四边形AEBD 是矩形？请说明理由并求出点H的坐标．24．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD⊥CF．BD=CF．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，第（1）问结论还成立吗？并说明理由．（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．25．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，将△ABD绕A点逆时针旋转90°，所得到的三角形为，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC （点C、F不重合），并说明理由．26．如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE、连接BE、CE．（1）如图1，若正方形的边长为2，PB=1，求BG的长度；（2）如图2，当P点为BC的中点时，求证：CE=BG；（3）如图3，∠GBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN+DN=AN．27．在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF 与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，28．在矩形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上（点E、C不重合）．（1）如图1，若AB=BC，点M、A重合，E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及的值，并证明你的结论；（2）如图2，且若AB=BC，点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立，请直接写出你的结论．29．如图1，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF．（1）若BE=2EC，AB=，求AD的长；（2）求证：EG=BG+FC；（3）如图2，若AF=5，EF=2，点M是线段AG上的一个动点，连接ME，将△GME沿ME 翻折得△G′ME，连接DG′，试求当DG′取得最小值时GM的长．。