人教版《特殊平行四边形》培优

特殊的平行四边形18.2.1矩形(1)(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.(2)矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，另外矩形的四个角都是直角、矩形的对角线相等.(3)由矩形的性质可知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．1.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点.若CD=5，则EF 等于（）．A.3B.4C.5D.63.如图所示，矩形ABCD 的对角线AC 与数轴重合(点C 在正半轴上)，AB=5，BC=12.若点A 表示的数是-1，则对角线AC ，BD 的交点表示的数是().A.5.5B.5C.6D.6.54.如图所示，在矩形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，∠AOD=60°，OE ⊥AC.若AD=3，则OE 等于().A.1B.2C.3D.45.如图所示，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E.若∠EAO=15°，则∠BOE 的度数为().A.85°B.80°C.75°D.70°7.如图所示，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，点E 为AB 的中点，AD=6，DE=5，则BD= .能力提升培优11.如图所示，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，AE=CF ，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC ，FC=2，则AB 的长为(). A.83B.8C.43D.612.如图所示，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转后得到矩形A ′BC ′D ′.若边A ′B 交线段CD 于点H ，且BH=DH ，则DH 的值是().A.74B.8-23 C. 254D.62 14.如图所示，已知在△ABC 中，AB=BC=8，AC=6，AF ⊥BC 于点F ，BE ⊥AC 于点E ，取AB 的中点D ，则△DEF 的周长为 .16.如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限.如果∠OAB=30°，那么点C的坐标是.21.【攀枝花】如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在矩形OABC中，A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点.若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．判定一个四边形是矩形有三种方法：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3)对角线相等的平行四边形是矩形.注意方法(1)和(3)要先利用平行四边形的判定方法证明四边形是平行四边形．2.下列说法中，正确的是().A.两组对角分别相等的四边形是矩形B.两个角是直角的四边形是矩形C.一个角是直角的平行四边形是矩形D.一个角是直角，一组对边相等的四边形是矩形4.如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，给出下列条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．不能使四边形ABCD成为矩形的是().A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥5.已知四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点.若AC=6，BD=8，则四边形EFGH的面积为().A.48B.24C.12D.条件不足，无法计算能力提升培优11.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是().A.梯形B.矩形C.正方形D.不是平行四边形13.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上一动点，过点D 作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是().A.2.5B.2.4C.2.2D.216.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF中点，则AM的取值范围是．17.如图所示，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE=OF．(2)若CE=12，CF=5，求OC的长．(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．18.2.2菱形(1)重点提示(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.(2)菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角.(3)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对角线所在直线是它的对称轴．夯实基础巩固1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是().A.两组对边分别平行B.两组对角分别相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直4.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接EF，则△AEF的面积是().A.43B.33C.23D. 35.一个菱形的周长为8cm，高为1cm，这个菱形两邻角度数之比为().A.3∶1B.4∶1C.5∶1D.6∶16.如图所示，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为．7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为．（第7题）8.如图所示，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB 于点H，连接OH，则∠DHO= ．能力提升培优11.如图所示，四边形ABCD 是菱形，AC=8，DB=6，DH ⊥AB 于点H ，则DH 等于(). A.245 B. 125C.12D.24 13.如图所示，3个全等的菱形按如图所示的方式拼合在一起，恰好得到一个边长相等的六边形，则菱形较长的对角线与较短的对角线长度之比是(). A.15 B.10C.23D.314.如图所示，在菱形ABCD 中，E 是AB 上的一点，连接DE 交AC 于点O ，连接BO ，且∠AED=50°，则∠CBO= ．15.如图所示，菱形ABCD 的周长为16，面积为12，P 是对角线BD 上一点，分别作点P 到直线AB ，AD 的垂线段PE ，PF ，则PE+PF= ．中考实战演练19.【安徽】如图所示，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4.点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G ，H 在对角线AC 上.若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是().A.25B.35C.5D.620.【本溪】如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE= ．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.6特殊的平行四边形大题专练（分层培优30题，八下人教）A卷基础过关卷（限时50分钟，每题10分，满分100分）1．（2023•肃州区校级开学）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形．（2）若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为2，求AC的长．【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；＝2S△OCD，然后用AC表示出AB、BC，再根据矩形的性质利用三（2）根据菱形的对称性可知S菱形OCED角形的面积公式列方程求解即可．【解析】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形；（2）解：∵四边形OCED是菱形，＝2S△OCD，∴S菱形OCED∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，BC＝AC，＝×AC•AC＝2，∴S菱形OCED解得AC＝．2．（2022•南京模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）求证：∠BAC＝∠DAC．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．【分析】（1）根据SSS证明△ABC≌△ADC，即可解决问题；（2）先证明AD＝CD，根据已知可得AB＝AD＝CB＝CD，利用四边相等即可解决问题；【解析】证明：（1）∵在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形．3．（2022春•沂南县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形ADFE是矩形；（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．【分析】（1）由在平行四边形性质得到AB∥DC且AB＝DC，由平行线的性质得到∠ABE＝∠DCF，根据三角形的判定可证得△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得到AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，可得AE∥DF，根据矩形的判定即可得到结论；（2）由矩形的性质得到EF＝AD＝6，进而求得BE＝CF＝2，BF＝8，由∠ABE＝60°可求得AB＝2BE＝4，由勾股定理可求得DF＝AE＝2，BD＝2，由平行四边形性质得OB＝OD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论．【解析】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥DC且AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF，∴四边形ADFE是矩形；（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝6，∵EC＝4，∴BE＝CF＝2，∴BF＝8，Rt△ABE中，∠ABE＝60°，∴AB＝2BE＝4，∴DF＝AE＝，∴BD＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴OF＝BD＝．4．（2022春•铜官区期末）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．【分析】（1）证明△AOF≌△COE全等，可得AF＝EC，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，且EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，假设BE＝a，根据勾股定理求出a，从而得知EF的长度；【解析】解：∵矩形ABCD，∴AF∥EC，AO＝CO∴∠FAO＝∠ECO∴在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA）∴AF＝EC又∵AF∥EC∴四边形AECF是平行四边形；（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，设BE＝a，则AE＝EC＝3﹣a∴a2+22＝（3﹣a）2∴a＝则AE＝EC＝，∵AB＝2，BC＝3，∴AC＝＝∴AO＝OC＝，∴OE＝＝＝，∴EF＝2OF＝．5．（2022•邢台模拟）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．【分析】（1）先判定△ABD与△BCD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BDE＝∠C＝60°，再求出DE＝CF，然后利用“边边角”证明两三角形全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝CF，全等三角形对应角相等可得∠DBE＝∠CBF，然后求出∠EBF＝60°，再根据等边三角形的判定得解，利用旋转变换解答；【解析】（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2，∴△ABD与△BCD都是等边三角形，∴∠BDE＝∠C＝60°，∵AE+CF＝2，∴CF＝2﹣AE，又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE，∴DE＝CF，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（SAS）；（2）解：△BEF是等边三角形．理由如下：由（1）可知△BDE≌△BCF，∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°，∴△BEF是等边三角形．6．（2022•浑南区二模）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC 于F．（1）求证：OE＝CB；（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）由CE∥BD、EB∥AC可得出四边形OBEC为平行四边形，由菱形的性质可得出∠BOC＝90°，进而可得出四边形OBEC为矩形，根据矩形的性质即可证出OE＝CB；（2）设OC＝x，则OB＝2x，利用勾股定理可得出BC＝x，结合BC＝OE＝2，可求出x的值，进而可得出OC、OB的值，再利用菱形的面积公式即可求出结论．【解析】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC为矩形，∴OE＝CB．（2）解：设OC＝x，则OB＝2x，∴BC＝＝x．∵BC＝OE＝2，∴x＝2，∴OC＝2，OB＝4，＝AC•BD＝2OC•OB＝16．∴S菱形ABCD7．（2021春•柳南区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案．（2）根据矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．【解析】解：（1）在矩形ABCD中，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．（2）由（1）可知：OA＝OB，∵∠AOB＝120°，∴∠DBA＝30°，∵AD＝2，∴AB＝AD＝6．8．（2022秋•礼泉县期末）按如图所示的方法分别以AB和AC为边作正方形ABDE和正方形AGFC，连接CE、BG，求证：△ACE≌△AGB．【分析】由“SAS”可证△EAC≌△BAG．【解析】证明：∵四边形ABDE和四边形AGFC均为正方形，∴AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠CAG＝90°，∴∠EAC+∠CAB＝∠CAB+∠BAG，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC与△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS）．9．（2022秋•毕节市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB．（1）试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论；（2）当∠ABC＝　45　°时，四边形ADCE为正方形．【分析】（1）根据平行可以证明四边形ADCE是平行四边形，由直角三角形的性质可求得AE＝EC，进而得出四边形ADCE为菱形；（2）根据题意可知当四边形ADCE为正方形时，等腰直角三角形的三线合一性即可求得∠ABC．【解析】解：（1）四边形ADCE为菱形，理由如下：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE为平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴DA＝DC，∴平行四边形ADCE为菱形；（2）若四边形ADCE为正方形，∴CD⊥AB，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴Rt△ACB是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．故答案为：45．10．（2022秋•汉台区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N，连接BM、DN．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若四边形BNDM的周长为52，MN＝10，求BD的长．【分析】【分析】（1）证△MOD≌△NOB，得出OM＝ON，由OB＝OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；（2）由菱形的周长得到菱形的边长BM＝13，由菱形的性质及MN＝10得到OM＝5，在Rt△BOM中由勾股定理得到OB的长，进而得到BD的长．【解析】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO．∵直线MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD．在△MOD和△NOB中，，∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形，∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形；（2）解：∵菱形BNDM的周长为52，∴BN＝ND＝DM＝MB＝13，又∵MN＝10，∴，在Rt△BOM中，由勾股定理得，∴BD＝2OB＝2×12＝24，∴BD＝24．B卷能力提升卷（限时60分钟，每题10分，满分100分）11．（2022秋•南安市期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝24cm．动点E、F分别在边CD、BC上，点E 从点C出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，同时点F从点C出发沿CB边以2cm/s的速度向点B 运动（当点F到达点B时，点E也随之停止运动），连结EF．问：在AB边上是否存在一点G，使得以B、F、G为顶点的三角形与△CEF全等？若存在，求出此时BG的长；若不存在，请说明理由．【分析】分两种情况讨论，由全等三角形的性质列出等式，可求解．【解析】解：存在．设运动时间为ts．则CE＝t cm，CF＝2tcm，BF＝（24﹣2t）cm．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°．当△BGF≌△CEF时，BF＝CF．∴24﹣2t＝2t．∴t＝6．∴BG＝CE＝t＝6（cm）．当△BFG≌△CEF时，BF＝CE．∴24﹣2t＝t．∴t＝8．∴BG＝CF＝2t＝16（cm）．综上所述，在AB边上存在一点G，使得以B，F，G为顶点的三角形与△CEF全等，此时BG的长为6cm 或16cm．12．（2022秋•竞秀区期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E，F分别在OB，OD上，AC＝4，BD＝6．（1）当BE＝DF＝1时，判断四边形AECF的形状并证明；（2）当四边形AECF为菱形时，求平行四边形ABCD的周长．【分析】（1）由已知易得AO＝CO，EO＝FO根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可；（2）根据四边形AECF为菱形时，可得AC⊥BD，利用勾股定理即可求出菱形边长．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴FO＝EO，∴四边形AECF是平行四边形，∵OB＝OD＝3，BE＝DF＝1，∴OE＝OF＝2，∵OA＝OC＝2，∴AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，又∵，，∴，∴平行四边形ABCD的周长＝．13．（2023•惠阳区校级开学）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8．①求菱形ABCD的面积．②求四边形ABED的周长．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE ＝BC，根据勾股定理得到DE＝＝6，于是得到结论．【解析】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形．（2）解：①菱形ABCD中，CB＝CD，∴∠CBD＝∠BDC，∵∠BDC+∠CDE＝90°，∠CBD+∠BED＝90°，∴∠EDC＝∠CED，∴CD＝CE＝5，∴BE＝10，∴，∵S△ABD＝S△BDC＝S△EDC，＝S△BDE＝6×8＝24；∴S四边形ABCD＝AD+AB+BE+DE＝5+5+10+6＝26．②C四边形ABED14．（2022秋•平昌县校级期末）如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长．【分析】（1）由CF＝BE，可得EF＝BC，即EF＝AD，结合AD∥BC，可得四边形AEFD是平行四边形，再结合AE⊥BC，可得平行四边形AEFD是矩形；（2）在菱形ABCD中，BC＝CD，可得CF＝BF﹣BC＝16﹣CD，在Rt△CFD中，有，即可求解．【解析】解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝CD＝AB，∵CF＝BE，∴CF+EC＝BE+EC，∴EF＝BC，∴EF＝AD，∵AD∥BC，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）在菱形ABCD中，BC＝CD，∵BF＝16，∴CF＝BF﹣BC＝16﹣CD，∵在矩形AEFD中，∠F＝90°，∵DF＝8，∴在Rt△CFD中，，解得：CD＝10．15．（2022秋•南关区校级期末）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝6，则▱ABCD的面积为　27　．【分析】（1）先证四边形BFDE是平行四边形，再由DE⊥AB，可得结论；（2）由含30°角的直角三角形的性质得AE＝AD＝2，DE＝AE＝2，再由矩形的性质得BF＝DE ＝2，∠ABF＝90°，然后求出AB＝BF＝6，即可求解．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴CD﹣CF＝AB﹣AE，∴DF＝BE且DC∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形BFDE是矩形；（2）解：∵∠DAB＝60°，AD＝6，DE⊥AB，∴∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝3，DE＝AE＝3，由（1）得：四边形DFBE是矩形，∴BF＝DE＝3，∠ABF＝90°，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝∠DAB＝30°，∴AB＝BF＝×3＝9，∴▱ABCD的面积＝AB×DE＝9×3＝27．故答案为：27．16．（2022秋•渠县校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC＝40°，则当∠EBA＝　25　°时，四边形BFDE是正方形．【分析】（1）由菱形的性质得出AB＝CB，由等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠BCA，证出∠BAE＝∠BCF，由SAS证明△BAE≌△BCF即可；（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，，证出OE＝OF，得出四边形BFDE是菱形，证明△OBE是等腰直角三角形，得出OB＝OE，BD＝EF，证出四边形BFDE是矩形，即可得出结论．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∴180°﹣∠BAC＝180°﹣∠BCA，即∠BAE＝∠BCF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS）；（2）解：若∠ABC＝40°，则当∠BEA＝25°时，四边形BFDE是正方形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，∵∠EBA＝25°，∴∠OBE＝25°+20°＝45°，∴△OBE是等腰直角三角形，∴OB＝OE，∴BD＝EF，∴四边形BFDE是矩形，∴四边形BFDE是正方形；故答案为：25．17．（2022秋•郑州期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①直接写出：当AE＝　4　cm时，四边形CEDF是菱形（不需要说明理由）；②当AE＝　7　cm时，四边形CEDF是矩形，请说明理由．【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；（2）①证△CDE是等边三角形，推出CE＝DE，再根据菱形的判定推出即可．②求出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，再根据矩形的判定推出即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△CFG和△DEG中，，∴△CFG和△DEG（ASA），∴FG＝EG，又∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形．（2）解：①当AE＝4cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，∠CDE＝∠B＝60°，∵AE＝4cm，∴DE＝AD﹣AE＝6cm，∴DE＝CD，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴平行四边形CEDF是菱形，故答案为：4；②当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由如下：如图，过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6cm，∴BM＝AB＝3cm，∵AE＝7cm，∴DE＝AD﹣AE＝3cm＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴平行四边形CEDF是矩形，故答案为：7．18．（2022秋•通川区期末）已知如图，M为正方形ABCD边AB上一点，P为边AB延长线上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE∥MN交AD于E，连接EM，CN，DN．（1）求证：DM＝MN；（2）求证：EM∥CN．【分析】（1）在线段AD上截取DF＝MB，连接FM，根据正方形的性质可知△FAM是等腰直角三角形，可得∠DFM＝135°，根据BN平分∠CBP，可得∠MBN＝135°，再证明∠BMN＝∠FDM，可得△NMB≌△MDF（ASA），即可得证；（2）根据同角的余角相等，可得∠DEC＝∠AMD，根据正方形的性质可得△EDC≌△MAD（ASA），可得CE＝DM＝MN，易证四边形EMNC是平行四边形，即可得证．【解析】证明：（1）在线段AD上截取DF＝MB，连接FM，如图所示：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，∵DF＝BM，∴AF＝AM，∴△FAM是等腰直角三角形，∴∠AFM＝45°，∴∠MFD＝135°，∵BN平分∠CBP，∠CBP＝90°，∴∠CBN＝45°，∴∠MBN＝135°，∴∠DFM＝∠MBN，∵DM⊥MN，∴∠NMB+∠AMD＝90°，∵∠AMD+∠ADM＝90°，∴∠NMB＝∠MDF，在△NMB和△MDF中，，∴△NMB≌△MDF（ASA），∴DM＝MN；（2）∵CE∥MN，DM⊥MN，∴DM⊥CE，∴∠DEC+∠EDM＝90°，∵∠AMD+∠EDM＝90°，∴∠DEC＝∠AMD，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝AD，∠EDC＝∠MAD＝90°，在△EDC和△MAD中，，∴△EDC≌△MAD（ASA），∴EC＝DM，∵DM＝MN，∴EC＝MN，∵EC∥MN，∴四边形EMNC为平行四边形，∴EM∥CN．19．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝6，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，则平行四边形ABCD的面积为　27　．【分析】（1）根据已知条件先证明四边形AECF为平行四边形，再根据∠AEC＝90°即可得证；（2）由BF平分∠ABC，可求得AB＝AF，在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，则∠BAE＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质，求得BE，再求出AE，由已知BE＝DF进而即可求得AD即可得到答案．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，BC∥AD，又∵BE＝DF，∴BC﹣BE＝AD﹣DF，即EC＝AF，∵EC∥AF，EC＝AF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．（2）解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，∵BC∥AD，∴∠AFB＝∠FBC，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB＝6，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，AB＝6，∴∠BAE＝30°∴，∴FD＝BE＝3，∴AD＝AF+FD＝9，∴，故答案为；．20．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A 作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接DF、CF．（1）求证：四边形ABDF为平行四边形；（2）求证：四边形ADCF为矩形．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE＝∠DBE，根据线段中点的定义得到AE＝DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AF＝BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝90°，于是得到结论．【解析】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS），∴AF＝BD，∴四边形ABDF为平行四边形；（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF为矩形．C卷培优压轴卷（限时70分钟，每题10分，满分100分）21．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝2时，直接写出EA的长．【分析】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC＝90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．【解析】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形．又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．∴四边形ODEC是矩形．（2）解：∵Rt△ADO中，∠ADO＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD＝AD＝，AO＝3，∴AC＝6，EC＝，∴AE＝．22．（2022秋•礼泉县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接CE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）连接AE，若DB＝6，AC＝8，求AE的长．【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC＝90°，即可得出结论；（2）由（1）知OD＝CE＝BD＝3，然后由矩形的性质得∠OCE＝90°，最后由勾股定理即可得出答案．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝OC，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵∠DOC＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，DO＝OB＝BD＝3，由（1）得：四边形OCED为矩形，∴CE＝OD＝3，∠OCE＝90°，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝＝，即AE的长为．23．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝θ（0°＜θ＜90°）．连接DE，过B作BF⊥DE于F，连接AF，CF．（1）若θ＝60°，求∠BED的度数；（2）当θ变化时，∠BED的大小会发生变化吗？请说明理由；（3）试用等式表示线段DE与CF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）θ＝60°时，△ABE是等边三角形，可得∠AEB＝60°＝∠EAB，由四边形ABCD是正方形，可求出∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠EAD）÷2＝15°，即得∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝45°；（2）由四边形ABCD是正方形，得∠BAD＝90°，AB＝AD，可得∠AED＝＝45°﹣θ，根据AE＝AB，∠EAB＝θ，可得∠AEB＝＝90°﹣θ，故∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝45°；（3）过C作CG⊥CF交FD延长线于G，证明△BCF≌△DCG（AAS），得BF＝DG，CF＝CG，知FG＝CF，而△BEF是等腰直角三角形，有EF＝BF，即可证明DE＝CF．【解析】解：（1）θ＝60°时，如图：∵AB＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°＝∠EAB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝60°+90°＝150°，AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠EAD）÷2＝15°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°；（2）当θ变化时，∠BED的大小不会发生变化，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵∠EAB＝θ，AB＝AE，∴AE＝AD，∠EAD＝90°+θ，∴∠AED＝＝45°﹣θ，∵AE＝AB，∠EAB＝θ，∴∠AEB＝＝90°﹣θ，∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝（90°﹣θ）﹣（45°﹣θ）＝45°；（3）线段DE与CF的数量关系为：DE＝CF，证明如下：过C作CG⊥CF交FD延长线于G，如图：∵BF⊥DE，∴∠BFC+∠CFD＝90°，∵CG⊥CF，∴∠CFD+∠G＝90°，∴∠BFC＝∠G，∵∠BCD＝∠FCG＝90°，∴∠BCF＝∠DCG，∵BC＝CD，∴△BCF≌△DCG（AAS），∴BF＝DG，CF＝CG，∴△FCG是等腰直角三角形，∴FG＝CF，由（2）知，∠DEB＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，∴EF＝DG，∴EF+FD＝DG+FD，即DE＝FG，∴DE＝CF．24．（2023•深圳模拟）如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，连接AD．（1）下列条件：①D是BC边的中点；②AD是△ABC的角平分线；③点E与点F关于直线AD对称．请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件，并写出证明过程；（2）若四边形AEDF是菱形，且AE＝2，CF＝1，求BE的长．【分析】（1）证四边形AEDF 是平行四边形，∠ADE ＝∠DAF ，再由条件②证AE ＝DE ，或由条件③证AE ＝AF ，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AF ＝DF ＝DE ＝AE ＝2，再证△BDE ∽△BCA ，得＝，即可解决问题．【解析】解：（1）∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∠ADE ＝∠DAF ，能证明四边形AEDF 是菱形的条件为：②或③，证明如下：条件②，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠DAE ＝∠DAF ，∴∠ADE ＝∠DAE ，∴AE ＝DE ，∴平行四边形AEDF 是菱形；条件③，∵点E 与点F 关于直线AD 对称，∴AE ＝AF ，∴平行四边形AEDF 是菱形；（2）∵四边形AEDF 是菱形，∴AF ＝DF ＝DE ＝AE ＝2，∴AC ＝AF +CF ＝2+1＝3，∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA ，∴＝，即＝，解得：BE ＝4，即BE 的长为4．25．（2022秋•安丘市校级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，G是CD边上一点，连接BG交AC于E，过点A作AM⊥BG，垂足M，AM交BD于点F．（1）求证：OE＝OF．（2）若H是BG的中点，BG平分∠DBC，求证：DG＝2OE．【分析】（1）由正方形的性质得OA＝OB，∠AOF＝∠BOE＝90°，由AM⊥BG，得∠AME＝90°，则∠OAF＝∠OBE＝90°﹣∠AEM，即可证明△AOF≌△BOE，则OE＝OF；（2）由三角形的中位线定理得DG＝2OH，OH∥DG，所以∠FOH＝∠CDB＝45°，则∠FOH＝∠EOH＝45°，所以∠OCB＝∠FOH，而∠CBG＝∠DBG，则∠CBG+∠OCB＝∠DBG+∠FOH，所以∠OEH＝∠OHE，则OH＝OE，所以DG＝2OE．【解析】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BC，AC＝BD，AC⊥BD，∴OA＝OB，∠AOF＝∠BOE＝90°，∵AM⊥BG，∴∠AME＝90°，∴∠OAF＝∠OBE＝90°﹣∠AEM，在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE（ASA），∴OE＝OF.（2）如图2，∵H为BG的中点，O为BD的中点，∴DG＝2OH，OH∥DG，∵CB＝CD，∠BCD＝90°，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∴∠FOH＝∠CDB＝45°，∵∠BOC＝90°，∴∠FOH＝∠EOH＝45°，∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠OCB＝∠FOH，∵BG平分∠DBC，∴∠CBG＝∠DBG，∴∠CBG+∠OCB＝∠DBG+∠FOH，∴∠OEH＝∠OHE，∴OH＝OE，∴DG＝2OE．26．（2022春•南谯区校级月考）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题；（2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形；②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE；（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得矩形EMCN，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，∴CE⊥CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝9．∵CG＝3，∴CE＝6，连接EG，∴EG＝＝＝3，∴DE＝EG＝3．∴正方形DEFG的边长为3．27．（2022春•沂水县期中）（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．【分析】（1）由折叠性质得AD＝AD′，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA′D是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA′D为正方形；（2）连接C′E，证明Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，得∠C′EA＝∠EC′B′，便可得结论．【解析】（1）证明：∵ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AD＝AE＝A′E＝A′D，∴四边形AEA′D是菱形，∵∠A＝90°，∴四边形AEA′D是正方形；（2）解：MC′＝ME．证明：如图1，连接C′E，由（1）知，AD＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，又EC′＝C′E，在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中，，∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL），∴∠C′EA＝∠EC′B′，∴MC′＝ME．28．（2022秋•迎江区校级期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F 分别在边BC、CD上，且EF＝BE+DF，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小明探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是　∠BAE+∠FAD＝∠EAF．　．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，且EF＝BE+DF，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系为　　．【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF即可得出结论．（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF即可得出结论．（3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，在通过角的和差即可得到结论．【解析】解：（1）结论：∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF即可得出结论．在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+DF，DG＝BE，∴EF＝BE+DF＝DG+DF＝GF，∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+DF＝DG+DF＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+DF＝DG+DF＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE＝∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠FAE+∠DAB＝360°，∴．故答案为：．29．（2022秋•宜春期末）【问题解决】在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图1，点E是正方形ABCD内一点，BE＝2，EC＝4，DE＝6．你能求出∠BEC的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BEC绕点C逆时针旋转90°，得到△DE'C，连接EE'，求出∠BEC的度数；思路二：将△DEC绕点C顺时针旋转90°，得到△BE'C，连接EE'，求出∠BEC的度数．（1）请参考小明的思路，写出两种思路的完整解答过程．【类比探究】（2）如图2，若点E是正方形ABCD外一点，EB＝8，EC＝2，DE＝6，求∠BEC的度数．【分析】（1）思路一：根据旋转的性质可得CE＝CE'＝4，BE＝DE'＝2，∠ECE'＝90°，则∠EE'C＝45°，根据勾股定理可得EE'2＝CE2+CE'2＝32，再根据勾股定理的逆定理可得∠DE'E＝90°，即可求解；思路二：根据旋转的性质可得CE＝CE'＝4，DE＝BE'＝6，∠ECE'＝90°，则∠CEE'＝45°，EE'2＝CE2+CE'2＝32，根据勾股定理逆定理得出∠BEE'＝90°，即可求解；（2）用和（1）一样的方法即可求解．【解析】解：（1）思路一：如图，∵△BEC绕点C逆时针旋转90°，得到△DE'C，∴CE＝CE'＝4，BE＝DE'＝2，∠ECE'＝90°，∴∠EE'C＝45°，EE'2＝CE2+CE'2＝32，∵EE'2+DE'2＝22+32＝62＝DE2，∴∠DE'E＝90°，∴∠BEC＝∠DE'C＝∠DE'E+∠EE'C＝45°+90°＝135°；思路二：如图：∵将△DEC绕点C顺时针旋转90°，得到△BE'C，∴CE＝CE'＝4，DE＝BE'＝6，∠ECE'＝90°，∴∠CEE'＝45°，EE'2＝CE2+CE'2＝32，∵EE'2+BE2＝22+32＝62＝BE'2，∴∠BEE'＝90°，∴∠BEC＝∠BEE'+∠CEE'＝45°+90°＝135°；（2）将△BEC绕点C逆时针旋转90°，得到△DE'C∵△BEC绕点C逆时针旋转90°，得到△DE'C，∴CE＝CE'＝2，BE＝DE'＝8，∠ECE'＝90°，∴∠EE'C＝45°，EE'2＝CE2+CE'2＝8，∵，∴∠DE'E＝90°，∴∠BEC＝∠DE'C＝∠DE'E﹣∠EE'C＝90°﹣45°＝45°．30．（2022秋•邗江区校级期末）综合与实践．（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为　MN＝AM+CN　．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系．。

八年级下学期期末复习：《平行四边形》培优训练一．选择题1．在▱ABCD中，已知AB＝6，AD为▱ABCD的周长的，则AD＝（）A．4 B．6 C．8 D．102．在平行四边形ABCD中，AE与DE交于点E，若AE平分∠BAD，AE⊥DE，则（）A．∠ADE＝30°B．∠ADE＝45°C．∠ADC＝2∠ADE D．∠ADC＝3∠ADE 3．下列说法中能判定四边形是矩形的是（）A．有两个角为直角的四边形B．对角线互相平分的四边形C．对角线相等的四边形D．四个角都相等的四边形4．如图，菱形ABCD的面积为96，正方形AECF的面积为72，则菱形的边长为（）A．10 B．12 C．8 D．165．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（）A．26°B．38°C．42°D．52°6．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AE＝12，则线段FG的长是（）A．2 B．4 C．5 D．67．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（）A．2cm B．4cm C． cm D．2cm8．将正方形ABCD与正方形BEFG如图摆放，点G恰好落在线段AE上．已知AB＝，AG＝1，连接CE，则CE长为（）A．B．C．D．3.59．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2 B．3 C．3或5 D．4或510．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且AB＝AE，过点A 作AF⊥BE，垂足为F，交BD于点G．点H在AD上，且EH∥AF．若正方形ABCD的边长为2，下列结论：①OE＝OG；②EH＝BE；③AH＝2﹣2；④AG•AF＝2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E、F是三边的中点，则△DEF的周长是．12．如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为．13．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点F，交BC边于点E，已知AB＝6，AD＝8，则CE的长为．14．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF ＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝9，直线MN平分平行四边形ABCD的面积，分别交边AD、BC于点M、N，若△BMN是以MN为腰的等腰三角形，则BN ＝．16．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，DE＝4BE，连接CE，过点E作EF⊥CE 交AB的延长线于点F，若AF＝8，则正方形ABCD的边长为．17．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC 于点E，连接EF．若四边形ABEF的周长为16，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是．18．如图，将边长为13的菱形ABCD沿AD方向平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为点G，GD的延长线交EF于点H，已知BD＝24，则GH＝．19．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD与于点M，过点D 作DN⊥AB于点N，在DB的延长线上取一点P，PM＝DN，若∠BDC＝70°，则∠PAB的度数为．20．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，DG⊥EF于点H，交BC于点G，点P 在线段BG上．若∠PEF＝45°，AE＝CG＝5，PG＝5，则EP＝．三．解答题21．如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，DC ＝BF ，以BF 为边在△ABC 外作等边三角形BEF ．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形．（2）△ABC 的边长是6，当点D 是BC 三等分点时，直接写出平行四边形CDEF 的面积．22．如图，正方形ABCD 边长为4，点O 在对角线DB 上运动（不与点B ，D 重合），连接OA ，作OP ⊥OA ，交直线BC 于点P ．（1）判断线段OA ，OP 的数量关系，并说明理由．（2）当OD ＝时，求CP 的长．（3）设线段DO ，OP ，PC ，CD 围成的图形面积为S 1，△AOD 的面积为S 2，求S 1﹣S 2的最值．23．已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CE＝12，∠FCE＝60°，∠AFE＝90°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD 长为半径做弧，交EF于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．24．问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线．（1）求证：△ABE≌△DAF．（2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为．25．老师布置了一个作业，如下：已知：如图1▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O求证：四边形AECF是菱形．某同学写出了如图2所示的证明过程，老师说该同学的作业是错误的，请你解答下列问题：（1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；（2）请你给出本题的正确证明过程．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，AD＝AE且∠BAC＝∠DAE．（1）若ED平分∠AEC，求证：CE∥AD；（2）若∠BAC＝90°，且D在BC中点时，试判断四边形A DCE的形状，并说明你的理由．27．正方形ABCD，点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE．（1）如图1，连EF，若EF⊥AC，4AF＝3AC，AB＝4，求△AEF的周长；（2）如图2，若AF＝AB，过点F作FG⊥AC交CD于G，点H在线段FG上（不与端点重合），连AH．若∠EAH＝45°，求证：EC＝HG+FC．28．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；（2）求证：BD＝AB+AE．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∵AD＝（AB+BC+CD+AD），∴AD＝（2AD+12），解得：AD＝8，∴BC＝8；故选：C．2．解：∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠CDA＝180°，∵AE⊥DE，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠BAE+∠EDC＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠ADE＝∠EDC，即∠ADC＝2∠ADE，故选：C．3．解：A、有3个角为直角的四边形是矩形，故错误；B、对角线互相平分的平行四边形是矩形，故错误；C、对角线相等的平行四边形，故错误；D、四个角都相等的四边形是矩形，故正确；故选：D．4．解：连接EF、BE、DF．∵四边形AECF是正方形，∴∠AEC＝90°，∠AEF＝45°．又△ABE≌△CBE（SSS），∴∠AEB＝∠CEB＝（360°﹣90°）÷2＝135°．∴∠AEB+∠AEF＝180°，∴B、E、F三点共线．同理可证D、F、E三点共线，∴BD过点E、F．∵AC2＝72，∴AC＝12．又AC•BD＝96，∴BD＝16．则菱形的边长为＝10．故选：A．5．解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD，∴∠A＝∠DCA＝26°，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26°+26°＝52°．故选：D．6．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴＝，∴FG＝AF，∵CG∥AB，AB＝2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AG＝AE＝6，∴FG＝AG＝2．故选：A．7．解：∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC＝×8＝4cm，BO＝OD，∴AO＝BO＝4cm，∴△ABO是等边三角形，∴AB＝AO＝4cm，故选：B．8．解：如图1所示，分别过点A、C作EB的垂线，交EB的延长线于点K、M，过点B作BH垂直AE，交AE于点H，设BH＝GH＝a，则有a2+（1+a）2＝（）2，解得a＝1，∴BG＝，AE＝3，∴AK＝EK＝，BK＝，∵∠AKB＝∠M＝90°，∠MBC＝∠BAK，BC＝AB，∴△ABK≌△BCM（AAS），∴CM＝，EM＝，∴CE＝故选：A．9．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故选：C．10．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OB，∴∠AOG＝∠BOE＝90°，∵AF⊥BE，∴∠FGB＝90°，∴∠OBE+∠BGF＝90°，∠FAO+∠AGO＝90°，∵∠AGO＝∠BGF，∴∠FAO＝∠EBO，在△AFO和△BEO中，，∴△AGO≌△BEO（ASA），∴OE＝OG．②∵EH⊥AF，AF⊥BE，∴EH⊥BE，∴∠BEH＝90°，如图1，过E作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则MN⊥AD，MN⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠EAM＝45°，∴△ENC是等腰直角三角形，∴EN＝CN＝DM，∵AD＝BC，∴AM＝EM＝BN，∵∠NBE+∠BEN＝∠BEN+∠HEM＝90°，∴∠NBE＝∠HEM，∴△BNE≌△EMH（ASA），∴EH＝BE，故②正确；③如图2，Rt△ABC中，AB＝BC＝2，∴AC＝2，∴EC＝AC﹣AE＝2﹣2，∵AC＝AB＝AE，∴∠AEB＝∠ABE，∴∠EBC＝∠AEH，由②知：EH＝BE，∴△BCE≌△EAH（SAS），∴AH＝CE＝2﹣2；故③正确；④Rt△AME中，AE＝2，∠EAM＝45°，∴AM＝BN＝，∵∠NBE＝∠BAF，∠AFB＝∠ENB＝90°，∴△ABF∽△BEN，∴，∴AF•BE＝AF•AG＝AB•BN＝2，故④正确；本题正确的有：①②③④，4个，故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵点D、E、F是三边的中点，∴DE＝AC，DF＝AB，EF＝BC，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝AC+AB+BC＝（AC+AB+BC）＝（3+4+5）＝6，故答案为：6．12．解：连接EG、FG，∵CE，BF分别是△ABC的高线，∴∠BEC＝90°，∠BFC＝90°，∵G是BC的中点，∴EG＝FG＝BC＝5，∵D是EF的中点，∴ED＝EF＝3，GD⊥EF，由勾股定理得，DG＝＝4，故答案为：4．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∠B＝∠ADC＝∠DCE＝90°，∴AC＝＝10，∵DE⊥AC，∴∠CFE＝90°，∵∠DCF＝∠ACD，∴△CDF∽△CAD，∴＝，∴CF＝＝＝3.6，∵∠ECF＝∠ACB，∴△CEF∽△CAB，∴＝，∴CE＝＝4.5；故答案为：4.5．14．解：①∵F是BC的中点，∴BF＝FC，∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，∴∠AFB＝∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，∴∠BAF＝∠DAF，∴2∠BAF＝∠BAD，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAF＝2∠C故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF＝∠C，∵F为BC中点，∴BF＝CF，在△MBF和△ECF中，，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠BAE＝90°，∵FM＝EF，∴EF＝AF，故②正确；③∵EF＝FM，∴S△AEF ＝S△A FM，∴S△ABF ＜S△AEF，故③错误；④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，∴∠EFA＝180°﹣2x，∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠CEF＝90°﹣x，∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，故答案为：①②④．15．解：如图，过点C作CE⊥AD于E，过点N作NF⊥AD于F，过点B作BG⊥AD，与DA的延长线交于点G．∵直线MN平分平行四边形ABCD的面积，∴AM＝CN，设AM＝CN＝x，则EF＝x，BN＝9﹣x∵∠ABC＝45°，AB＝4，∴GB＝GA＝4，DE＝4，∴MF＝5﹣2x，在Rt△BGM中，BM2＝42+（4+x）2，在Rt△NFM中，MN2＝42+（5﹣2x）2，∵△BMN是以MN为腰的等腰三角形，∴①当MN＝MB时，易证Rt△MFN≌Rt△MGB（HL），MF＝MG，即5﹣2x＝x+4，解得x＝，即CN＝，∴BN＝BC﹣CN＝9﹣＝②当MN＝BN时，MN2＝BN2，∴42+（5﹣2x ）2＝（9﹣x ）2，解得x 1＝4，x 2＝﹣（不符合题意，舍去），MN 2＝42+（5﹣2x ）2＝16+（5﹣2×4）2＝25，∴MN ＝5，∴BN ＝5故答案为或5．16．解：如图所示：过点E 作EM ⊥BC ，EN ⊥AB ，分别交BC 、AB 于M 、N 两点，且EF 与BC 相交于点H ．∵EF ⊥CE ，∠ABC ＝90°，∠ABC +∠HBF ＝180°，∴∠CEH ＝∠FBH ＝90°，又∵∠EHC ＝∠BHF ，∴△ECH ∽△BFH （AA ），∴∠ECH ＝∠BFH ，∵EM ⊥BC ，EN ⊥AB ，四边形ABCD 是正方形，∴四边形ENBM 是正方形，∴EM ＝EN ，∠EMC ＝∠ENF ＝90°，在△EMC 和△ENF 中∴△EMC ≌△ENF （AAS ）∴CM ＝FN ，∵EM ∥DC ，∴△BEM ∽△BDC ，∴．又∵DE＝4BE，∴＝，同理可得：，设BN＝a，则AB＝5a，CM＝AN＝NF＝4a，∵AF＝8，AF＝AN+FN，∴8a＝8解得：a＝1，∴AB＝5．故答案为：5．17．解：由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，则∠1＝∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BE∥AF，∠BAF＝∠C＝60°，∴∠2＝∠BEA，∴∠1＝∠BEA＝30°，∴BA＝BE，∴AF＝BE，∴四边形AFEB为平行四边形，△ABF是等边三角形，而AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形；∴BF⊥AE，AG＝EG，∵四边形ABEF的周长为16，∴AF＝BF＝AB＝4，在Rt△ABG中，∠1＝30°，∴BG＝AB＝2，AG＝BG＝2，∴AE＝2AG＝4，∴菱形ABEF的面积＝BF×AE＝×4×4＝8；故答案为：8．18．解：连接DE，连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD和四边形DCEF是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝B D＝12，AC⊥BD，AB∥CD∥EF，AB＝AD＝CD＝DF＝CE＝13，AD∥CE，∴OA＝＝＝5，∠GAD＝∠F，四边形ACED是平行四边形，∴DE＝AC＝2OA＝10，在△ADG和△FDH中，，∴△ADG≌△FDH（ASA），∴DG＝DH，∵EG⊥AB，∴∠BGE＝∠GEF＝90°，∴DE＝DG＝DH，∴GH＝2DE＝20，故答案为：20．19．解：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD，∵BD＝CD，∴BD＝BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴∠AMB＝∠DNB＝90°，在△ABM与△DBN中，∴△ABM≌△DBN（AAS），∴AM＝DN，∵PM＝DN，∴△AMP是等腰直角三角形，∴∠MAP＝∠APM＝45°，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB＝70°，∴∠PAB＝∠ABD﹣∠P＝25°，故答案为：25°20．解：过点F作FM⊥AB于点M，连接PF、PM，如图所示：则FM＝AD，AM＝DF，∠FME＝∠MFD＝90°，∵DG⊥EF，∴∠MFE＝∠CDG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝DC＝AD，∴FM＝DC，在△MFE和△CDG中，，∴△MFE≌△CDG（ASA），∴ME＝CG＝5，∴AM＝DF＝10，∵CG＝PG＝5，∴CP＝10，∴AM＝CP，∴BM＝BP，∴△BPM是等腰直角三角形，∴∠BMP＝45°，∴∠PMF＝45°，∵∠PEF＝45°＝∠PMF，∴E、M、P、F四点共圆，∴∠EPF＝∠FME＝90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠BPE+∠CPF＝90°，∴∠BEP＝∠CPF，在△BPE和△CFP中，，∴△BPE≌△CFP（AAS），∴BE＝CP＝10，∴AB＝AE+BE＝15，∴BP＝5，在Rt△BPE中，由勾股定理得：EP＝＝＝5；故答案为：5．三．解答题（共8小题）21．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠EFB＝60°，∴∠ABC＝∠EFB，∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），∵DC＝EF，∴四边形EFCD是平行四边形；（2）解：过E作EH⊥BC交CB的延长线于H，∵△ABC和△BEF是等边三角形，∴∠ABC＝∠EBF＝60°，∴∠EBH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴EH＝BE＝BF＝CD，∵点D是BC三等分点，∴当CD＝BC＝2时，平行四边形CDEF的面积＝2×＝2，当CD＝BC＝4时，平行四边形CDEF的面积＝4×2＝8，综上所述，平行四边形CDEF的面积为2或8．22．解：（1）OA＝OP，理由是：如图1，过O作OG⊥AB于G，过O作OH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC，∴OG＝OH，∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90°，∴四边形OGBH是正方形，∴BG＝BH，∠GOH＝90°，∵∠AOP＝∠GOH＝90°，∴∠AOG＝∠POH，∴△AGO≌△PHO（ASA），∴OA＝OP；（2）如图2，过O作OQ⊥CD于Q，过O作OH⊥BC于H，连接OC，∴∠OQD＝90°，∵∠ODQ＝45°，∴△ODQ是等腰直角三角形，∵OD＝，∴OQ＝DQ＝1，∵AD＝CD，∠ADO＝∠CDO，OD＝OD，∴△ADO≌△CDO（SSS），∴AO＝OC＝OP，∵OH⊥PC，∴PH＝CH＝OQ＝1，∴PC＝2；（3）如图3，连接OC，过O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，由（2）知：△AOD≌△COD，∴S△AOD ＝S△COD，∴S1﹣S2＝S1﹣S△COD＝S△POC＝＝＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝2时，S1﹣S2有最大值是4．23．证明：（1）∵由已知得：AC＝CD，AB＝DB，由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，∴∠ACB＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB，又∵AC＝CD，AB＝DB，∴AC＝CD＝DB＝BA，∴四边形ACDB是菱形，∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形（2）过点A作AG⊥CE于G∵四边形ACDB是菱形∴AB＝AC，AB∥CD∴∠FAB＝∠FCE＝60°∴∠E＝∠FBA＝30°∴CE＝2CF AB＝2AF∵CE＝12∴CF＝6，CA＝4在Rt△ACG中，可得AG＝，∴菱形ACDB的面积＝CD▪AG＝4×＝24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，AB＝DA，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）；（2）解：BF＝2GH；理由如下：∵△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF+∠BAG＝∠BAD＝90°，∴∠ABE+∠BAG＝90°，∴∠BGF＝∠ABE+∠BAG＝90°，在Rt△BFG中，GH是边BF的中线，∴BF＝2GH；问题拓展：解：∵tan ∠ABE ＝＝＝，tan ∠DAF ＝＝＝，∴∠ABE ＝∠DAF ， ∵∠DAF +∠BAG ＝∠BAD ＝90°，∴∠ABE +∠BAG ＝90°，∴∠AGB ＝90°，∴∠BGF ＝90°，在Rt △BFG 中，GH 是边BF 的中线，∴BF ＝2GH ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，BC ＝AD ＝6，CD ＝AB ＝4，∴CF ＝CD ﹣DF ＝1，∴BF ＝＝＝，∴GH ＝BF ＝；故答案为：． 25．解：（1）能；该同学错在AC 和EF 并不是互相平分的，EF 垂直平分AC ，但未证明AC 垂直平分EF ，需要通过证明得出；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠FAC ＝∠ECA ．∵EF 是AC 的垂直平分线，∴OA ＝OC ．∵在△AOF 与△COE 中，∴△AOF ≌△COE （ASA ）．∴EO ＝FO ．∴AC 垂直平分EF ．∴EF 与AC 互相垂直平分．∴四边形AECF是菱形．26．解：（1）证明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED．又∵ED平分∠AEC，∴∠DEC＝∠AED．∴∠ADE＝∠DEC．∴CE∥AD；（2）四边形ADCE是正方形，理由如下：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°．又∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠DAE＝180°．∴AE∥CD．又∵∠BAC＝90°且D是BC的中点，∴AD＝CD．∴AE＝AD．∴AE＝CD∴四边形ADCE是平行四边形．∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是正方形．27．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，∴AC＝AB＝4，∵4AF＝3AC＝12，∴AF＝3，∴CF＝AC﹣AF＝，∵EF⊥AC，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF＝CF＝，CE＝CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE＝＝2，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝2++3＝2+4；（2）证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，∴CM＝CG，CG＝CF，∴BM＝DG，∵AF＝AB，∴AF＝AD，在Rt△AFG和Rt△ADG中，，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），∴FG＝DG，∴BM＝FG，∵∠BAC＝∠EAH＝45°，∴∠BAE＝∠FAH，∵FG⊥AC，∴∠AF H＝90°，在△ABE和△AFH中，，∴△ABE≌△AFH（ASA），∴BE＝FH，∵BM＝BE+EM，FG＝FH+HG，∴EM＝HG，∵EC＝EM+CM，CM＝CG＝CF，∴EC＝HG+FC．28．解：延长AH、BC相交于点M，∵▱ABCD∴CD＝AB＝4，CD∥AB∵CH＝2∴DH＝CD＝2∵CD∥AB∴∠MHC＝∠MAB，∠MCH＝∠MBA∴△MCH∽△MBA∴∴＝∴MH＝AH，BM＝2BC∵△ABO为等边三角形∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB＝4∴∠DO H＝∠AOB＝60°∴∠ODH＝∠OBA＝60°，∠OHD＝∠OAB＝60°∴∠DOH＝∠ODH＝∠OHD∴△DOH是等边三角形∴OH＝OD＝DH＝2∴MH＝AH＝OA+OH＝4+2＝6，EM＝OE+OH+MH＝10 ∵OD＝OE＝2∴AE＝OA﹣OE＝4﹣2＝2∴点E是OA的中点∵△ABO为等边三角形∴BE⊥OA，∠ABE＝30°∴BE＝AE＝2在Rt△BEM中，∠BEM＝90°∴BE2+EM2＝BM2∴（2）2+102＝BM2∴BM＝4∴BC＝2（2）∵△ABO为等边三角形∴AB＝OB由（1）知，AE＝OE＝OD∵BD＝OB+OD∴BD＝AB+AE。

《特殊平行四边形习题精选》1、矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°，则∠BOE=________°2、菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，△AOB 的周长为33 ，∠ABC=60º，则菱形ABCD 的面积为__________3、如图，矩形ABCD 长为a ，宽为b ，若s 1=s 2=21(s 3+s 4)，则s 4等于（ ）（A ）ab 83 （B ）ab 43 （C ）ab 32 （D ）ab214、菱形ABCD 中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF=_________°5、点M 、N 分别在正方形ABCD 的边CD 、BC 上，，已知△MCN 的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN 的度数。

6、如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF=DF.7、如图，在平行四边形ABCD 中，BC = 2AB ，E 为BC 的中点，求∠AED 的度数；D C BA MNA B CDOE A B C D E FS1S2S4S3A B C DEF FEDCB A8、如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边，延长AB 到E ，使AE = AC ，以AE 为一边作菱形AEFC ，若菱形的面积为29，求正方形边长；9、如图AD 是⊿ABC 边BC 边上的高线，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、AC 的中点，求证：四边形EDGF 是等腰梯形；10、如图1，正方形ABCD 边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点H 。

（1）求证：①△BCG ≌△DCE ；②BH ⊥DE 。

（2）当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？请说明理由。

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．问题发现：（1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长．问题探究：（2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度．问题解决：（3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点(1052,1052)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，353）(0,0)E ，(5,5)F ．【解析】试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分．（2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．试题解析：（1）作图如下：（2）∵(6,7)P ，(4,3)O '，∴设:6PO y kx =+'，67{43k b k b +=+=，2{5k b ==-， ∴25y x =-，交x 轴于5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 交BC 于11,62M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2211563522MN ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．∵(1052,102)P --在直线y x =上，∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ，设:BC y kx b =+，(8,2)(2,8)B C ，82{28k b k +=+=，1{10k b =-=， ∴直线:10BC y x =-+，联立10{y x y x =-+=，得55x y =⎧⎨=⎩， ∴(0,0)E ，(5,5)F ．2．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．（2）根据互补三角形的定义证明即可．（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①边长为、、的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，∴△DBI和△ABC是互补三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积3．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求证：AF=BF+EF．【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB=AD，进而得到∠BAG与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出△ABF≌△DAE；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF，等量代换可得证.【详解】∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°∵DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=90°又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF ．∵BF ∥DE ，∴∠AFB=∠DEG=∠AED ．在△ABF 与△DAE 中，AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△DAE （AAS ）．∴BF=AE ．∵AF=AE+EF ，∴AF=BF+EF ．点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．4．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ．①求证：四边形BFDE 是菱形；②直接写出∠EBF 的度数；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH 3；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．②∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠EBD ，∵EB ＝ED ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴∠ABD ＝2∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB ＝90°，∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，∴∠EBF ＝60°．（2）结论：IH ＝3FH ．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，∴∠JDH ＝∠FGH ，在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，∴BE ＝IM ＝BF ，∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB 为边向外作等边△ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）S 平行四边形ADBC =32． 【解析】【分析】 （1）在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点，则CE=12AB ，BE=12AB ，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF ≌△BEC ，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE =∠D=60度.所以FC ∥BD ，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD ∥BC ，即FD//BC ，则四边形BCFD 是平行四边形.（2）在Rt △ABC 中，求出BC ，AC 即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∵E为AB的中点，∴AE=BE，又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC，在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=12AB，BE=12AB，∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°，又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°，又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°，∴FC∥BD，又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AF=3，AC=33，∴S平行四边形BCFD=3×33=93，S△ACF=12×3×33=93，S平行四边形ADBC=2732．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.6．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度7．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC＝2，则C，F两点间的距离为．【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，证明见解析； (3)2．【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH＝90°，由此得证．（3）如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】(1)AE＝CG，AE⊥GC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE，CG，∠1＝∠2∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AHG＝180°﹣(∠1+∠3)＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥GC．(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠5＝∠4；又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE＝180°﹣90°＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠6+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴∠CEH+∠7＝90°，∴∠EHC＝90°，∴AE⊥GC．(3)如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．∵BE＝CE＝1，AB＝CD＝2，∴AE＝DE＝CG═DG＝FG5∵DE＝DG，∠DCE＝∠GND，∠EDC＝∠DGN，∴△DCE≌△GND(AAS)，∴GCD＝2，∵S△DCG＝12•CD•NG＝12•DG•CM，∴2×25，∴CM＝GH45，∴MG＝CH22CG CM355，∴FH ＝FG ﹣FG ＝5， ∴CF ＝22FH CH +＝22535()()55+＝2． 故答案为2．【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．如图①，在矩形ABCD 中，点P 从AB 边的中点E 出发，沿着E B C --速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C 后停止运动，点Q 是AD 上的点，10AQ =，设PAQ ∆的面积为y ，点p 运动的时间为t 秒，y 与t 的函数关系如图②所示.(1)图①中AB = ，BC = ，图②中m = .(2)当t =1秒时，试判断以PQ 为直径的圆是否与BC 边相切?请说明理由:(3)点p 在运动过程中，将矩形沿PQ 所在直线折叠，则t 为何值时，折叠后顶点A 的对应点A '落在矩形的一边上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，证明见解析；（3）t=12、5、173. 【解析】【分析】 （1）由题意得出AB=2BE ，t=2时，BE=2×2=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，得出BC=18，当t=0时，点P 在E 处，m=△AEQ 的面积=12AQ×AE=20即可； （2）当t=1时，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出34PQ 为直径的圆的圆心为O'，作O'N ⊥BC 于N ，延长NO'交AD 于M ，则MN=AB=8，O'M ∥AB ，MN=AB=8，由三角形中位线定理得出O'M=12AP=3，求出O'N=MN-O'M=5＜圆O'的半径，即可得出结论；（3）分三种情况：①当点P 在AB 边上，A'落在BC 边上时，作QF ⊥BC 于F ，则QF=AB=8，BF=AQ=10，由折叠的性质得：PA'=PA ，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，由勾股定理求出22AQ QF '-，得出A'B=BF-A'F=4，在Rt △A'BP 中，BP=4-2t ，PA'=AP=8-（4-2t ）=4+2t ，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，由折叠的性质得：A'P=AP，证出∠APQ=∠AQP，得出AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；③当点P在BC边上，A'落在CD边上时，由折叠的性质得：A'P=AP，A'Q=AQ=10，在Rt△DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理求出DA'=6，得出A'C=CD-DA'=2，在Rt△ABP和Rt△A'PC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=22-2t，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）∵点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，∴AB=2BE，由图象得：t=2时，BE=2×2=4，∴AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，∴BC=22-4=18，当t=0时，点P在E处，m=△AEQ的面积=12AQ×AE=12×10×4=20；故答案为8，18，20；（2）当t=1秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下：当t=1时，PE=2，∴AP=AE+PE=4+2=6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴PQ=2222106234AQ AP+=+=，设以PQ为直径的圆的圆心为O'，作O'N⊥BC于N，延长NO'交AD于M，如图1所示：则MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，∵O'为PQ的中点，∴O''M是△APQ的中位线，∴O'M=12AP=3，∴O'N=MN-O'M=534∴以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：①当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF⊥BC于F，如图2所示：则QF=AB=8，BF=AQ=10，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=18，由折叠的性质得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，∴A'F=22AQ QF'-=6，∴A'B=BF-A'F=4，在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，解得：t=12；②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，连接AA'，如图3所示：由折叠的性质得：A'P=AP，∴∠APQ'=∠A'PQ，∵AD∥BC，∴∠AQP=∠A'PQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理得：22108-，又∵BP=2t-4，∴2t-4=6，解得：t=5；③当点P在BC边上，A'落在CD边上时，连接AP、A'P，如图4所示：由折叠的性质得：A'P=AP ，A'Q=AQ=10，在Rt △DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理得：DA'=22108-=6，∴A'C=CD-DA'=2， 在Rt △ABP 和Rt △A'PC 中，BP=2t-4，CP=BC-BP=18-（2t-4）=22-2t ，由勾股定理得：AP 2=82+（2t-4）2，A'P 2=22+（22-2t ）2，∴82+（2t-4）2=22+（22-2t ）2，解得：t=173； 综上所述，t 为12或5或173时，折叠后顶点A 的对应点A′落在矩形的一边上． 【点睛】 四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.9．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）(62,6)-；（2）(333,333)+；（3）323323AP +.【解析】【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt △BA′D 中，∠OBC ＝45°，A′B ＝626，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；（2）过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC′的中点，所以PK＝1OC′＝3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围．2【详解】解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四边形OABC是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B，∵OB＝62，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45°，∴A′B＝626-，∴BD＝（626=-，-）×21262∴CD＝6﹣（1262-，-）=626∴BC与A′B′的交点D的坐标为（662-，6）；（2）如图②，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，∵∠OC′B′＝90°，∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N＝∠C′B′N，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），当α＝60°时，∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM＝30°，∴C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，∴点B′的坐标为333,333+；（3）如图③，连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，∵P 为线段BC′的中点，∴PK ＝12OC′＝3， ∴P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，∵AK ＝32，∴AP 最大值为323+，AP 的最小值为323-，∴AP 长的取值范围为323323AP -+.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹．10．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且S △ACD =S △BCD ．应用：如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF ，AF 与BE 交于点O ．（1）求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；（2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积．探究：在△ABC 中，∠A=30°，AB=4，点D 在线段AB 上，连接CD ，△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到△A′CD ，若△A′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2．【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2．考点：四边形综合题．。

BCEDA F AB C DEF GHAB C DE初二数学培优卷―特殊的平行四边形一、知识点（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形菱形：有一组邻边相等的平行四边形正方形：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形（注：矩形、菱形、正方形的定义既是性质又是判定） （2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质（3）矩形的判定：有三个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；菱形的面积等于对角线乘积的半二、例题：例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF ，求AE 的长。

例2、如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于G ，求证：AB 与EF 互相平分。

例3、如图，以正方形ABCD 的DC 边为一边向外作一个等边三角形，①求证：△ABE 是等腰三角形②求∠BAE 的度数 三、训练题： 1、选择题（1） 平行四边形的周长等于56cm ，两邻边长的比是3:1，那么这平行四边形的较长的边长为（ ）。

（A ）10.5cm （B ）21cm（C ）42cm （D ）14cm（2） 平行四边形两邻角的平分线交成的角为（ ）。

（A ）锐角（B ）直角（C ）钝角（D ）不确定（3） 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）。

（A ）一组对角相等（B ）两条对角线互相垂直（C ）两条对角线互相平分（D ）一对邻角的和为180° （4） 下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ）（A ）邻角互补（B ）内角和为360（C ）对角线相等（D ）对角线互相垂直 （5） 在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OF ⊥AB,若AC=2AD ，OF=9cm ，那么BD 的长为（ ） （A ）180cm （B ）9 3 cm（C ）36cm (D)18 3 cm（6） 在菱形ABCD 中,∠D :∠A=5:1,若菱形的周长为80cm,则菱形的高DE=( ) (A)20cm (B)10cm (C)10 3 cm (D)20 3 cm（7） 菱形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，AM ⊥AB 交BD 于M 点，且∠DAM=14∠BAD 则四个内角的度数分别为（ ）。

学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理二、知识概念（一）菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2、菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．3、菱形的面积计算②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．考点一：菱形的性质与判定例1、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．4例2、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例3、如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．考点二：矩形的性质与判定例1、矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等例2、矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（）A．B．C．D．例3、如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．考点三：正方形的性质与判定例1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角相等例2、如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4C．8﹣4D．+1例3、已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE．求证：（1）EF=FP=PQ=QE；（2）四边形EFPQ是正方形．考点四：线段和最短问题例1、矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）例2、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，）C．（，）D．（，）考点五：折叠问题例1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．6例2、如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E．（1）求证：△BEA≌△DEF；（2）若AB=2，AD=4，求AE的长．实战演练➢课堂狙击1、下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是对称轴C．对角线相等D．对角线互相平分2、如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE的长为cm，则对角线BD的长为（）A．2cm B．3cm C．cm D．2cm3、如图，在菱形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．∠1=∠2B．AC⊥BDC．AB=AD D．AC═BD4、如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．30°5、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB、OC，点E在线段BC上（点E不与点B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC 于N，则EM+EN的值为（）A．6B．1.5C．D．7、如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE的最小值是（）A．B．C．D．8、如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．9、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在DG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，求CH的长．➢课后反击1、在平面中，下列命题为真命题的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形2、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，则此菱形的面积为（）A．48cm2 B．24cm2C．18cm2D．12cm23、如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（）A．4.5B．5C．6D．94、已知菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠DAO=30°，点D的坐标为（0，2），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路线，以每秒1个单位长度的速度在菱形ABCD的边上移动，当移动到第2016秒时，点P的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．（2，0）D．（0，2）5、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．6、如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1 O1的对角线交BD于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC2016O2016的面积为（）A．B．C．D．7、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．直击中考1、【2016•广安】下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内；②有一个角是直角的四边形是矩形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④两边及一角对应相等的两个三角形全等；⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、【2016•广东】如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A．B．2C．+1D．2+13、【2016•遵义】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BDC．AC=BD D．∠BAC=∠DAC4、【2009•深圳】如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=10，则DE的长度是（）A．3B．5C．D．5、【2006•淮安】如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）A．S=2B．S=2.4 C．S=4D．S与BE长度有关6、【2015•遵义】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．重点回顾1、菱形、矩形、正方形的性质与判定；2、最短问题与翻折问题的解决。

八年级〔下〕特殊平行四边形培优一．选择题〔共13小题〕1．〔2021?达州〕如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，那么∠P=〔〕A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α2．〔2021?河南模拟〕如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，那么S△CEF：S△DGF等于〔〕A．2：1B．3：1C．4：1D．5：13．〔2005?湖州〕如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于 AB，AC于点E，F．假设=6，那么△ABC的边长为〔〕A．B．C．D．14．〔2002?无锡〕：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，那么线段MN的取值范围是〔〕第1页〔共27页〕A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤5．〔2021?鄂州〕在平面直角坐系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、ABCD⋯按如所示的方式放置，其中点B在y上，点C、E、E、C、E、E、C⋯33311122343在x上，正方形A1B1C1D1的1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3⋯正方形A2021B2021C2021D2021的是〔〕A．〔〕2021B．〔〕2021C．〔〕2021D．〔〕20216．〔2021?渝中区校模〕如，矩形ABCD中，BC=2AB，角相交于O，C点作CE⊥BD交BD于E点，H BC中点，接AH交BD于G点，交EC的延于F点，以下5个：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有〔〕个．A．2 B．3 C．4 D．57．〔2021?重模〕如，正方形 ABCD中，点E是角BD上一点，点 F是BC上一点，点G是CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，接AE并延交CD于G，接AF、EF、FG．出以下五个：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S△ABF=S△FCG；④AF=EF；⑤∠AFB=∠AEB．其中正确的个数是〔〕A．5个B．4个C．3个D．2个第2页〔共27页〕8．〔2021?鹿城区校级二模〕如图，在正方形ABCD中，四边形IJFH是正方形，面积为S1，四边形BEFG是矩形，面积为S2，以下说法正确的选项是〔〕A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．2S1=3S29．〔2021?承德县一模〕如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，那么PE+PF等于〔〕A．B．C．D．10．〔2021?瑞安市校级一模〕如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，那么图中阴影局部的面积为〔〕A．15 B．20 C．35 D．4011．〔2021春?内江期末〕如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出以下五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正确结论的个数是〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个12．〔2021?盘锦〕如图，矩形ABCD中AB=4cm，BC=3cm，点P是AB上除A，B外任一点，对角线AC，BD相交于点O，DP，CP分别交AC，BD于点E，F且△ADE和BCF的面积之和 4cm2，那么四边形P EOF的面积为〔〕第3页〔共27页〕A．1cm2B．2C．2cm2D．213．〔1997?内江〕如图，四边形ABCD和MNPQ都是边长为 a的正方形，点A是MNPQ的中心〔即两条对角线MP和NQ的交点〕，点E是AB与MN的交点，点F是NP与AD的交点，那么四边形AENF的面积是〔〕A．B．C．D．二．填空题〔共17小题〕14．〔2021?广州〕如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3 ，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点〔含端点，但点M不与点B重合〕，点E，F分别为DM，MN的中点，那么EF长度的最大值为．15．〔2021?无锡〕：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，那么AC的长等于．16．〔2021?安徽〕如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，那么以下结论中一定成立的是．〔把所有正确结论的序号都填在横线上〕①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．第4页〔共27页〕17．〔2021?乌鲁木齐〕如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，那么DF的长为．18．〔2021?南岗区校级一模〕如图，AD、BE为△ABC的中线交于点O，∠AOE=60°，OD= ，OE= ，那么AB= ．19．〔2021?枣庄〕如下图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，假设AB=5，BC=8，那么EF的长为．20．〔2021?凉山州〕菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如下图，顶点B〔2，0〕，∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E〔0，﹣1〕，当EP+BP最短时，点P的坐标为．21．〔2021?天水〕正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，那么点A3的坐标为．第5页〔共27页〕22．〔2021?潮南区一模〕如所示，如果以正方形ABCD的角AC作第二个正方形ACEF，再以AE作第三个正方形AEGM，⋯正方形ABCD的面S1=1，按上述方法所作的正方形的面依次S2，S3，⋯Sn〔n正整数〕，那么第8个正方形面S8=．23．〔2021?南区二模〕如，正方形 ABCD的角AC、BD相交于点O，∠CAB的平分交BD于点E，交BC于点F．假设OE=1，CF= ．24．〔2021?德州〕如，在正方形ABCD中，2的等三角形AEF的点E、F 分在BC和CD上，以下：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是〔把你正确的都填上〕．25．〔2021?广安区校模〕如，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，接BD，CG．有以下，其中正确的有〔填正确的序号〕．①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2．第6页〔共27页〕26．〔2021?金城江区一模〕如，点P是矩形ABCD的AD的一个点，矩形的两条AB、BC的分3和4，那么点P到矩形的两条角AC和BD的距离之和是．27．〔2021?山区校三模〕如，矩形ABCD中，点E，F，G，H分在AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．假设AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四形AEPH的面 5cm2，四形PFCG的面cm2．28．〔2021?成都模〕将n个都1cm的正方形按如所示的方法放，点A、A⋯A12分是各正方形的中心，n个的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面的和cm2．29．〔2021?州模〕如，在平面直角坐系中，正方形ABCD点A的坐〔0，2〕，B点在x上，角AC，BD交于点M，OM= ，点C的坐．第7页〔共27页〕参考答案与试题解析一．选择题〔共13小题〕1．〔2021?达州〕如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，那么∠P=〔〕A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣〔∠A+∠D〕=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=〔∠ABC+∠BCD〕= 〔360°﹣α〕=180°﹣α，那么∠P=180°﹣〔∠PBC+∠PCB〕=180°﹣〔180°﹣α〕= α．应选：C．2．〔2021?河南模拟〕如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB 于点G，那么S△CEF：S△DGF等于〔〕A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1【解答】解：如图，取CG的中点H，连接EH，∵E是AC的中点，∴EH是△ACG的中位线，∴EH∥AD，∴∠GDF=∠HEF，F是DE的中点，∴DF=EF，在△DFG和△EFH中，，∴△DFG≌△EFH〔ASA〕，∴FG=FH，S△EFH=S△DGF，又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，∴S△EFC=3S△EFH，∴S△EFC=3S△DGF，因此，S△CEF：S△DGF=3：1．应选B．第8页〔共27页〕3．〔2005?湖州〕如，在等△ABC中，M、N分是AB，AC的中点，D MN上任意一点，BD，CD的延分交于AB，AC于点E，F．假设=6，△ABC的〔〕A．B．C．D．1【解答】解：点A作直PQ∥BC，延BD交PQ于点P；延CD，交PQ于点Q．∵PQ∥BC，∴△PQD∽△BCD，∵点D 在△ABC的中位上，∴△PQD与△BCD的高相等，∴△PQD≌△BCD，∴PQ=BC，AE=ACCE，AF=ABBF，在△BCE与△PAE中，∠PAE=∠ACB，∠APE=∠CBE，∴△BCE∽△PAE，= ⋯①同理：△CBF∽△QAF，= ⋯②①+②，得：+ = ．∴+ =3，又∵=6，AC=AB，∴△ABC的= ．故C．4．〔2002?无〕：四形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分是AD，BC的中点，段MN的取范是〔〕第9页〔共27页〕A．1＜MN ＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤【解答】解：接BD，M作MG∥AB，接NG．∵M是AD的中点，AB=2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位，BG=GD，MG=AB=×2=1；∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，∴NG是△BCD的中位，NG=CD=×3=，在△MNG中，由三角形三关系可知NGMG＜MN＜MG+NG，即1＜MN＜+ 1，∴＜MN＜，当MN=MG+NG，即MN=，四形ABCD是梯形，故段MN的取范是＜MN≤．故D．5．〔2021?鄂州〕在平面直角坐系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、ABCD⋯按如所示的方式放置，其中点B在y上，点C、E、E、C、E、E、C⋯33311122343在x上，正方形A1B1C1D1的1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3⋯正方形A2021B2021C2021D2021的是〔〕A．〔〕2021B．〔〕2021C．〔〕2021D．〔〕2021【解答】方法一：第10页〔共27页〕解：如所示：∵正方形A1B1C1D1的1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3⋯∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D11122=〔〕1，E =CDsin30°=，BC同理可得：B3C3==〔〕2，故正方形AnBnCnDn的是：〔〕n﹣1．正方形A2021202120212021的是：〔2021．故：D．B D〕方法二：∵正方形A1B1C1D1的1，∠B1C1O=60°，∴D1E1=B2E2=，C∥BC∥BC⋯∴∠EBC=60°，∴BC=，同理：∵B1 1223322222B3C3=×=⋯∴a1=1，q=，∴正方形B2021D2021的=1×．A202120216．〔2021?渝中区校模〕如，矩形ABCD中，BC=2AB，角相交于O，C点作CE⊥BD交BD于E点，HBC中点，接AH交BD于G点，交EC的延于F点，以下5个：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有〔〕个．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①在△BCE中，∵CE⊥BD，HBC中点，∴BC=2EH，又BC=2AB，∴EH=AB，正确；②由①可知，BH=HE∴∠EBH=∠BEH，又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°，∴∠ABG=∠HEC，正确；③由AB=BH，∠ABH=90°，得∠BAG=45°，同理：∠DHC=45°，∴∠EHC＞∠DHC=45°，∴△ABG≌△HEC，；④作AM⊥BD，AM=CE，△AMD≌△CEB，∵AD∥BC，∴△ADG∽△HGB，∴=2，即△ABG的面等于△BGH的面的2倍，根据不能推出△ AMG的面等于△ABG的面的一半，第11页〔共27页〕即S△GAD≠S四边形GHCE，∴④错误⑤∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，又∠ECH=∠CDE=∠BAO，∠BAO=∠BAH+∠HAC，∴F=∠HAC，∴CF=BD，正确．正确的有三个．应选B．7．〔2021?重庆模拟〕如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点 F是边BC上一点，点G是边CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，连接AE并延长交CD于G，连接AF、EF、FG．给出以下五个结论：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S△ABF=S△FCG；④AF=EF；⑤∠AFB=∠AEB．其中正确结论的个数是〔〕A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：①∵BE=2DE∴=∴∵AB=CD∴DG=CD∴DG=CG故本选项正确②设BF=1，那么CF=2，AB=AD=3，DG=CG=过点E作AB的平行线，交AD于M，交BC于N，可得四边形MNCD是矩形，△AME∽△ADG，且相似比为AD=3，∴AM=2，DM=1，NC=1，那么BN=BC﹣NC=2，FN=BN﹣BF=1，∵MD∥BN，∴△MDE∽NBE，且相似比，∴ME=1，EN=2，在Rt△EFN中，EF= = ，在Rt△AME中，AE= = ，在Rt△ABF中，AF= ，∴AE2+EF2=AF2，∴∠AEF=90°，∵AG= =∴EG=，第12页〔共27页〕∴tan∠AGF==2，又tan∠FGC=，∴∠FGC≠∠AGF，故本选项错误③∵×=∴S△ABF=SFCG故本选项正确④连接EC，过E点作EH⊥BC，垂足为H，由②可知AF=，∵BE=2ED，∴BH=2HC，EH=CD=2，又∵CF=2BF，∴H为FC的中点，FH=1，∴在Rt△HEF中：∵EF===AF=∴AF=EF故本选项正确．⑤过A点作AO⊥BD，垂足为O，∵，∴Rt△ABF∽Rt△AOE，∴∠AFB=∠AEB．故本选项正确．应选B．8．〔2021?鹿城区校级二模〕如图，在正方形ABCD中，四边形IJFH是正方形，面积为S，1四边形BEFG是矩形，面积为S2，以下说法正确的选项是〔〕A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．2S1=3S2 【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°，∵四边形 IJFH是正方形，四边形BEFG是矩形，第13页〔共27页〕∴∠AJI=∠CFH=AEF=∠CGF=90°，∴△AIJ、△AEF、△CFH、△CFG都是等腰直角三角形，设JF=x，那么S1=x2，根据等腰直角三角形的性质， EF= AF= ×2x=x，FG= FC= x，所以S2=EF?FG= x? x=x2，所以S1=S2．应选B．9．〔2021?承德县一模〕如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，那么PE+PF等于〔〕A．B．C．D．【解答】解：设AP=x，PB=3﹣x．∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC；∴△AEP∽△ABC，故= ①；同理可得△BFP∽△DAB，故= ②．①+②得= ，∴PE+PF=．应选B．10．〔2021?瑞安市校级一模〕如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，那么图中阴影局部的面积为〔〕A．15 B．20 C．35 D．40【解答】解：连接EF，∵S△ABF=S△EBF∴S△EFG=S△ABG=15；同理：S△EFH=S△DCH=20∴S阴影=S△EFG+S△DCH=15+20=35．应选C．11．〔2021春?内江期末〕如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出以下五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正确结论的个数是〔〕第14页〔共27页〕A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．∵四边形ABCD是正方形．∴∠ABP=∠CBD又∵NP⊥AB，PE⊥BC，∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF，NP=EP，∴AN=PF在△ANP与△FPE中，∵，∴△ANP≌△FPE〔SAS〕，∴AP=EF，∠PFE=∠BAP〔故①④正确〕；△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM∴∠PMF=∠ANP=90°∴AP⊥EF，〔故②正确〕；P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形和PD=2EC不一定成立，〔故③⑤错误〕；故正确的选项是：①②④．应选：B．12．〔2021?盘锦〕如图，矩形ABCD中AB=4cm，BC=3cm，点P是AB上除A，B外任一点，对角线AC，BD相交于点O，DP，CP分别交AC，BD于点E，F且△ADE和BCF的面积之和4cm2，那么四边形PEOF的面积为〔〕A．1cm2B．2C．2cm2D．2【解答】解：矩形ABCD，∴△APD的面积+△BPC的面积=矩形ABCD的面积﹣△CPD的面积=4×3﹣×4×3=6cm2〕，∴△AEP的面积+△BFP的面积=〔△APD的面积+△BPC的面积〕﹣△ADE和BCF的面积之和=6﹣4=2〔cm2〕，矩形ABCD，∴△AOB的面积= ×4×〔3×〕=3〔cm2〕，第15页〔共27页〕2∴四边形PEOF的面积=△AOB的面积﹣〔△AEP的面积+△BFP的面积〕=3﹣2=1〔cm〕．13．〔1997?内江〕如图，四边形ABCD和MNPQ都是边长为 a的正方形，点A是MNPQ的中心〔即两条对角线MP和NQ的交点〕，点E是AB与MN的交点，点F是NP与AD的交点，那么四边形AENF的面积是〔〕A．B．C．D．【解答】解：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，那么AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，∴∠PAF=∠NAE，∴△PAF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，正方形的面积为 a2，∴四边形AENF的面积为；应选A二．填空题〔共17小题〕14．〔2021?广州〕如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3 ，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点〔含端点，但点M不与点B重合〕，点E，F分别为DM，MN的中点，那么EF长度的最大值为 3 ．【解答】解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB== 6，第16页〔共27页〕∴EF的最大值为3．故答案为3．15．〔2021?无锡〕：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，那么AC的长等于．【解答】解：过D点作DF∥BE，∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，∵AD=BE=6，那么DF=3，AF==3，∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，∴△ABG≌△DBG，∴G为AD中点，∴E为AF中点，∴AC=AF= ×3= ．故答案为：．16．〔2021?安徽〕如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB上，连接EF、CF，那么以下结论中一定成立的是①②④．〔把所有正确结论的序号都填在横线上〕①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．【解答】解：①∵F是AD的中点，AF=FD，∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，第17页〔共27页〕F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF〔ASA〕，∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，那么∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠A EF，故此选项正确．故答案为：①②④．17．〔2021?乌鲁木齐〕如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，那么DF的长为．【解答】解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，在△AFG和△AFC中，∵，∴△AFG≌△AFC〔ASA〕，∴AC=AG，GF=CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF= BG= 〔AB﹣AG〕= 〔AB﹣AC〕= ．故答案为：．第18页〔共27页〕18．〔2021?南岗区校级一模〕如图，AD、BE为△ABC的中线交于点O，∠AOE=60°，OD= ，OE= ，那么AB= 7 ．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AD于F，连接DE，∵∠AOE=60°，∴∠OEF=90°﹣60°=30°，∵OE=，∴OF=OE= ×= ，在Rt△OEF中，EF= = = ，∵OD=，∴DF=OD+OF=+ = ，在Rt△DEF中，DE= = = ，∵AD、BE为△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE=2×=7．故答案为：7．19．〔2021?枣庄〕如下图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，假设AB=5，BC=8，那么EF的长为．第19页〔共27页〕【解答】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，∴DF=，∵DE为△ABC的中位线，∴DE= BC=4，∴EF=DE﹣，故答案为：．20．〔2021?凉山州〕菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如下图，顶点B〔2，0〕，∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E〔0，﹣1〕，当EP+BP最短时，点P的坐标为〔〕．【解答】解：连接ED，如图，∵点B关于OC的对称点是点∵四边形OBCD是菱形，顶点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，B〔2，0〕，∠DOB=60°，∴点D的坐标为〔1，〕，∴点C的坐标为〔3，〕，∴可得直线OC的解析式为：y= x，∵点E的坐标为〔0，﹣1〕，∴可得直线ED的解析式为：y=〔1+〕x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为〔〕，故答案为：〔〕．21．〔2021?天水〕正方形OABC、AABC、AABC，按如图放置，其中点A 、A、12223312在x轴的正半轴上，点B、B、B在直线y=﹣x+2上，那么点A的坐标为〔，0〕．123第20页〔共27页〕【解答】解：正方形OA1B1C1的t，B1〔t，t〕，所以t=t+2，解得t=1，得到B1〔1，1〕；正方形A1222的2，得到2A B C a，B〔1+a，a〕，a=〔1+a〕+2，解得a=B 〔〕；正方形A2A3B3C3的b，B3〔+b，b〕，b=〔+b〕+2，解得b=，得到B3〔，〕，所以A3〔，0〕．故答案〔，0〕．22．〔2021?潮南区一模〕如所示，如果以正方形ABCD的角AC作第二个正方形ACEF，再以AE作第三个正方形AEGM，⋯正方形ABCD的面S1=1，按上述方法所作的正方形的面依次S2，S3，⋯Sn〔n正整数〕，那么第8个正方形面S8=128．【解答】解：根据意可得：第 n个正方形的是第〔n 1〕个的倍；故面是第〔n1〕个的2倍，第一个面1；那么第8个正方形面S8=27=128．故答案128．23．〔2021?南区二模〕如，正方形ABCD的角AC、BD相交于点O，∠CAB的平分交BD于点E，交BC于点F．假设OE=1，CF=2．【解答】解：作EG⊥AB于G，根据角平分的性可得，EG=OE=1，又BD平分∠ABC，∠ABE=45°第21页〔共27页〕∴△EBG是等腰直角三角形，可得BE=，那么OB=1+，可得BC=2+又∠AFB=90°﹣∠FAB，∠FEB=∠OEA=90°﹣∠FAC，∴∠AFB=∠FEB∴BF=BE=那么CF=BC﹣BF=2+ ﹣=2．24．〔2021?德州〕如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，以下结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④〔把你认为正确的都填上〕．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF〔HL〕，∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即a2+〔a﹣〕2=4，解得a=，那么a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为：①②④．第22页〔共27页〕25．〔2021?广安区校模〕如，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，接BD，CG．有以下，其中正确的有①②〔填正确的序号〕．①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2．【解答】解：①由菱形的性可得△ABD、BDC是等三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG〔30°角所直角等于斜一半〕BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；③首先可得BG≠FD，因BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③；A BD =AB?DE=AB?〔BE〕=AB?AB=AB2，即④不正确．④S上可得①②正确，共2个．故答案①②．26．〔2021?金城江区一模〕如，点P是矩形ABCD的AD的一个点，矩形的两条AB、BC的分3和4，那么点P到矩形的两条角AC和BD的距离之和是．【解答】解：P点作PE⊥AC，PF⊥BD，∵四形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴△PEA∽△CDA，∴，∵AC=BD==5，∴⋯①，同理：△PFD∽△BAD，∴，∴⋯②，∴①+②得：，∴PE+PF=，即点P到矩形的两条角AC和BD的距离之和是：．第23页〔共27页〕故答案：．27．〔2021?山区校三模〕如，矩形 ABCD中，点E，F，G，H分在AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．假设AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四形AEPH的面5cm2，四形PFCG 的面8cm2．【解答】解：接AP，CP，△AHP在AH上的高x，△AEP在AE上的高y．△CFP在CF上的高 4 x，△CGP在CG上的高 6 y．AH=CF=2cm，AE=CG=3cm，∴S四边形AEPH=S△AHP+S△AEP．=AH×x×+AE×y×=2x×+3y×=5cm22x+3y=10S四边形PFCG=S△CGP+S△CFP=CF×〔4 x〕×+CG×〔6 y〕×=2〔4 x〕×+3〔6 y〕×=〔26 2x 3y〕×=〔26 10〕×=8cm2．故答案8．28．〔2021?成都模〕将n个都1cm的正方形按如所示的方法放，点A1、A2⋯An分是各正方形的中心，n个的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面的和cm2．第24页〔共27页〕【解答】解：由题意可得阴影局部面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面积和为×4，n个这样的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面积和为×〔n﹣1〕= cm2．故答案为：．29．〔2021?郑州模拟〕如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为〔0，2〕，B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM= ，那么点C的坐标为〔6，4〕．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连结EM，∴∠MFO=∠CEO=∠AOB=90°，AO∥MF∥CE，∵四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠ABC=90°，AM=CM，∴∠OAB=∠EBC，OF=EF，MF是梯形AOEC的中位线，∴MF=〔AO+EC〕，∵MF⊥OE，∴MO=ME．∵在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC〔AAS〕，∴OB=CE，AO=BE．∴MF=〔BE+OB〕，又∵OF=FE，∴△MOE是直角三角形，第25页〔共27页〕∵MO=ME，∴△MOE是等腰直角三角形，∴OE= =6，∴A〔0，2〕，OA=2，BE=2，OB=CE=4．C〔6，4〕．故答案为：〔6，4〕．30．〔2021?荣成市模拟〕如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别是BC、CD边上点，假设CE= CB，CF= CD，那么图中阴影局部的面积是．【解答】解：延长GE到M，使GE=EM，连接CG、CM、BM，过C作CN⊥DE于N，∵E为BC中点，BE=EC=，在△BEG和△CEM中第26页〔共27页〕∴△BEG≌△CEM〔SAS〕，∴S△BEG=S△CEM，∵E、F分别为BC、CD中点，∴DG：EG=2：1，∴GM=DG=2EG，∴S△MGC=S△DGC，∴S△DMC=2S△DGC=2×S△DEC，∵S△DEC= ×1×= ，∴S△DMC= ，∴阴影局部的面积S=S正方形ABCD﹣S△DMC=1×1﹣= ，故答案为：．第27页〔共27页〕。

第1讲平行四边形性质与判定基础回顾（一）平行四边形性质l.用两个全等的三角形拼成一个四边形，则下列说法正确的是( )A.一定是平行四边形B.可能是平行四边形C.一定不是平行四边形D.以上说法都不对2.在□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AC＝6，BD＝4，则AB的取值范围是（）A. AB＞1B.AB＞2C.1＜AB＜5D.2＜AB＜103．如图，□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于F，若AB＝4，AD＝7，则DF＝ ( )A.5 B．4 C.6 D．34.如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：DE＝BF.5.如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，过O点的直线分别与AB、CD交于E、F两点.(1)求证：OE＝OF；(2)若E、F分别在AD、CB的延长线上，其余条件不变，(1)中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论．6.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm．点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，几秒钟后四边形ABQP是平行四边形？7．□ABCD中，AC与BD相交于点O，AB AC，∠DAC＝045，AC＝2，求BC的长．60，BF＝2，DE＝3，DF与AE交于点G.8.如图口ABCD中，AF⊥BC于F，AE⊥DC于E，∠B＝0试判断△AFG的形状并予以证明．9．如图O为口ABCD的对角线AC的中点，过O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F 在直线MN上且OE＝OF.(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE＝∠NCF.（二）平行四边形判定10．如图，在口ABCD中，E，F为BD上的点，BF＝DE，那么四边形AECF是什么四边形？11．（2010恩施州）如图，口ABCD中，AE＝CF，M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形MFNE是平行四边形．12.如图，在口ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH.求证：EG与FH互相平分.13.如图，在口ABCD中，E、F分在AD、BC上，AE＝CF，AF与BE交于G，CE与DF交于H，猜想EF与GH之间的关系，并证明你的猜想．135，连CE交AD于F14.如图，E是口ABCD内一点．ED⊥CD，EB⊥BC，∠AED＝0(l)求证：∠ADE＝∠ABE；(2)求证；△BCE为等腰直角三角形.15.如图，E是口ABCD内一点，已知DE AD，∠CBE＝∠CDE，∠BCE＝045.延长CE交AD、BA的延长线于F、G,连接BF.(1) BE＝CD；(2) BC－DE.16.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于F，连接AC、BF.(1)求证：AB＝CF；(2)四边形ABFC是什么四边形？并说明理由.方法运用17.如图，在△ACB中，∠ACB＝090，CD AB.(1)若AC＝8，BC＝6，求AD的长；(2)若DE平分∠ADC，DF平分∠CDB，分别交AC、BC于F、F点，求证：CE＝CF.18.如图，口ABCD中，AB＝4，BC＝2，EB、CF平分∠ABC、∠BCD，交直线AD于E、F，求EF.S.19.在口ABCD中，AD＝12，BD＝10，AC＝26，求ABCD问题探究20．已知等腰△ABC和等腰△ADE，CA＝CB，AD＝AE，∠ACB＝∠DAE，点C、A、D在同一直线上，点E、B在直线CD的异侧，以线段AB和AD为邻边作口ABFD，连接CE、CF.60，则∠CFE＝_________；(1)如图1，若∠ACB＝∠DAE＝090，则∠CFE＝_________；(2)如图2，若∠ACB＝∠DAE＝0α，求∠CFE.(3)如图3，若∠ACB＝∠DAE＝060，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，21.（2012．沈阳）已知，如图1，∠MON＝04，在∠NON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，B不与点O重合），且AB＝3120．∠APB＝0(1)求AP的长；(2)求证：点P在∠MON的平分线上；(3)如图2，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．①当AB⊥OP时，请直接．．写出四边形CDEF的周长的值；t的取值范围．②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接．．写出第2讲 中位线专题一．结合全等构造中位线1.如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD ，垂足为D 点，点E 为AB 的中点，（1）求证：DE ∥BC ;（2）若AC ＝8，BC ＝5，求DE 的长.2.如图，梯形ABCD 中，E ，F 分别为对角线BD ，AC 的中点，求证：（1）EF ∥CD ，(2)EF ＝21(CD －AB ).3.如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ， H 为FG 的中点，连接DH ，DH 交BC 于M ． （1）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（2）若AB ＝BF ＝2，∠BAE ＝60°，求四边形BFHM 的面积．4.如图，在□BCFD 的对角线CD 的延长线上取一点E ，连接FE 并延长至A 点，使EA ＝EF ，连接AB ，求证：CE ∥AB .5.如图，□ABCD 的周长为a ，延长AB 至E ，使BE ＝BC ，BN ⊥EC 于N ，连MN ，求MN .6.如图，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，∠ABD ＝20°，∠BDC ＝100°，E 、F 、M 分别为AD 、BD 、BC 的中点，求EFFM.7.如图，在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝7，BE 平分∠ABC ，AE ⊥BE ，点F 是AC 的中点，连EF ，求EF .8.如图，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，AB 的中垂线交AB 于N ，交EF 于M ，求证：MN ＝21(BF －AE ).9.如图，AD ∥BC ，∠B ＋∠BCD ＝90°，连AC ，M 、N 、P 分别为AD 、BC 、AC 的中点， （1）求证：MP ⊥NP ； (2) 若AB ＝6，CD ＝8，求MN 的长.10.如图，BF 是△ABC 的角平分线，AM ⊥BF 于M ，CE 平分△ABC 的外角，AN ⊥CE 于N ， (1) 求证：MN ∥BC ； (2) 若AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，求MN 的长.二．寻找中点，产生两次中位线11.已知△ACB 、△CEF 都为等腰直角三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，∠ACB ＝90°，连BE 、AF ,点M 、N 分别为AF 、BE 的中点. (1)如图1，求证： AE ＝2MN ；(2)将△CEF 绕C 点顺时针旋转一个锐角至图2，（1）中结论是否成立，试证明你的结论.12. 已知△ACB 、△CEF 都为等腰直角三角形，∠AED ＝∠ACB ＝90°，点D 在AB 上， 连CE ，M 、N 分别为BD 、CE 的中点. (1)求证：MN ＝21CE ； 4． 如图，将△ADE 绕A 点逆时针旋转一个锐角，（1）中结论是否仍成立，并证明. 5． 求证：MN ⊥CE .13.己知△ACB 为等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,点E 在AC 上,EF 丄AC 交AB 于F ,连BE 、CF .M 、N 分别为CF 、BE 的中点. （1）如图1,则CEMN＝___________,并说明理由； （2）如图2,将△AEF 绕点A 顺时针旋转45°,（1）中的结论是否成立？并加以证明； （3）如图3,将△AEF 绕A 点顺时针旋转一个锐角,则上述结论是否仍成立？（画图不证明）14.如图1,已知等腰直角△ABC 和等腰直角△BEF ,∠ABC ＝∠BEF ＝90°,点F 在边BC 上,点M 为AF 的中点，连EM .（1）①在图1中画出△BEF 关于直线BE 成轴对称的三角形；②求证：CF ＝2ME ;（2）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转至如图2的位置，其它条件不变,（1）中的结论②是否仍成立?请证明你的结论；（3）如图3,过B 作BS 丄ME 于S ，若ES ＝2，BS ＝4，CF ＝10，则S 四CFEB 的面积为________（直接写出结果）.第三讲 矩形的性质与判定专题训练基础回顾 一．矩形初步1.如图，矩形ABCD ，沿对角线BD 向上翻折，使点C 落在点F 处，连AF . (1) 求证：AF ∥BD ； (2) 若AB ＝6，BC ＝8，求AF 的长.2.如图，矩形ABCD 中，AC ＝2AB ，AE 平分∠DAB ，求∠OEA .3. 如图，矩形ABCD 中，EF ⊥CE ，EF ＝CE ，DE ＝4，矩形的周长为32，求CF 的长.4. 如图，矩形ABCD 中，点P 在BC 边上，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，AB ＝6，BC ＝8，运用上题结论，求PE ＋PF 的值.5. 如图，矩形ABCD ，∠AOD ＝120°，OD ＝2，求AB 、AD .6. 如图，矩形ABCD ，CE ⊥BD ，DE ＝31BE ＝2，求BC 和CD 的长.7. 如图，矩形ABCD中，AE平分∠DAB，∠EAC＝15°，求∠BOE.8. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿AC折叠到△ACE，AE交BC于F，求S△ACF.二．矩形的判定9.顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形EFGH，要使四边形EFGH是矩形，需添加的条件是____________，并画图给予证明.10.如图，AB＝BC，AD⊥BC于D，点P为AB上的动点，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为E，F.（1）求证：PE＋PF＝AD；(2) 若P点在AB的延长线上，问PE、PF、AD有怎样的关系，画图证明；11.如图，E、F、G、H分别为AB、AD、CD、PC的中点，（1）问四边形EFGH的形状；（2）若AC⊥BD，则（1）中四边形的形状如何？12.如图，BE 平分△ABC 的外角，BF 平分∠ABC ，AE ⊥BE 于E 点，AF ⊥BF 于F 点， （1）求证：四边形AEBF 是矩形； （2）求证：EF ∥BC .三．矩形的性质与判定13.如图，矩形ABCG 中，点D 是AG 的中点，DE ⊥CD 交AB 于E ，BE ＝BC ，连CE 交BD 于F ，求证：（1）BD ＝CD ；(2)∠BDC ＝45°；（3）DE ＝DF ；(4)21=∆∆DEF ADE S S .14. 如图，矩形ABCG 中，点D 为AG 上一点，且BD ＝BC ，ED 平分∠ADB ，交AB 于E ，BN ∥DE ，交CE 于N .（1）求证：CD ⊥DE ； (2) 求证：EN ＝CN ； (3) 求证：∠AED ＝∠BEC .15. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，AB ＝6，AD ＝8. (1) 求BD 的长； （2）求AE 的长.16. 如图，四边形ABEC中，∠BAC＝∠E＝90°，AD⊥BE于点D,(1) 若BD＝3，求AD－CE的值；(2) 若S四ABEC＝16，在（1）中，求AB的长.17. 如图，矩形ABCD中，E在BC上，AB＝3，AD＝5，CE＝1，DF⊥AE于F，求DF的长.问题探究18.已知等腰三角形ABC和DBE的底角共顶点，AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE，以线段AD和AC为邻边作□ACFD，连接CE.(1)如图1，B、D、C依次在同一条直线上，若∠BAC＝∠BDE＝60°，则∠ECF＝_______;(2) 如图2，B、D、C依次在同一条直线上，若∠BAC＝∠BDE＝90°，则∠ECF＝_______; 请你完成（1），（2）两个命题，并从中任选一个进行证明.19.已知等腰△ABC 和等腰△ADE ，CA ＝CB ，AD ＝AE ，∠ACB ＝∠DAE ＝α，以AB 和AD 为邻边作□ABFD ，连接CE 、CF .(1)如图1，当α＝90°，且C 、A 、D 依次在同一条直线上，求∠CFD ＝_______，CFEF＝_______ (2)如图2，当α＜90°，且C 、A 、D 不在同一条直线上，求∠CFE ，并证明.20. 如图，AB ∥CD ，∠D ＝90°，AB ＝AC ，AE ＝AD ，且∠CAE ＝90°，连BE 交AC 于F 点. (1) 求证：BF ＝EF ；(2) 如图2，若点N 为BC 的中点，求BDFN. (3) 如图3，若点M 为AE 的中点，BM 交AC 于点P ，求BPMP.第4讲斜边上的中线专题一、知直角和中点，构造斜边上的中线1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，CE为△ACB的中线，若AC＝16，BC＝12，求CE、CD的长.2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，M为AB的中点，MN⊥DE于N.（1）求证：EN＝DN. （2）当∠C大于90°时，画图证明上述结论仍然成立.3.如图，正方形ABCD，点P为CD上一动点，AP交BC延长线于E，N为PE的中点. （1）问CM与CN有何位置关系，并证明.（2）若P点在DC的延长线上，其它不变，问上结论是否仍成立，画图证明.4.如图，Rt△ABC，∠BAC＝90°，M为BC的中点，过A点任作直线l（与BC边相交），BD ⊥l于点D，CE⊥l于点E.（1）求证：MD＝ME；（2）当直线l与线段BC不相交时，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论.5.如图，已知ABCD中，AE⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为E、N，且AE＝BE，AN、BD交于点O，∠ADB＝15°.（1）求证：∠FAO＝45°；（2）求证：DF＝22AE.6.如图，Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点，连EF、OE. （1）如图1，∠EAF＝α，求∠OEF；（2）如图2，若∠EAF＝α，求∠OEF.7.如图，△ACB为等腰直角三角形，△PBE也为等腰直角三角形，M为AP的中点.（1）求证：CE＝2CM；（2）若△PBE绕B点旋转一个锐角，问以上结论是否成立，并画图证明.8.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D点，AF平分∠BAC交CD、CB于E、F.（1）若AC＝8，BC＝5，求CE的长；（2）若M、N分别为AC、EF的中点，求证：DM ＝MN.6．如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，CD ⊥AB 于D ，E 为AB 的中点. 求证：DE ＝21BC .二、知等腰和中点，产生直角构造斜边上的中线. 10.已知，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，点N 为AB 的中点. （1）如图1，过N 作NM ⊥CD 于M ，求证：CM ＝DM ；（2）如图2，过A 、B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，求证：CE ＝DF ；（3）如图3，在（2）的条件下，将△ABC 沿直线AB 翻折，问（2）中结论是否仍成立？请证明你的结论.11.已知，矩形ABCD ，AB ＝4，BE 、CF 分别平分∠ABC ，∠BCD ，交AD 于E 、F ，BE 、CF 相交于G 点，EG ＝22，求BC 的长.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点，PM 、QN 的中点分别为E 、F .求证：EF ∥AB .第5讲 菱形一、菱形的判定1.如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，ED ⊥BC 交AC 于F ，DF ∥AB 交AC 于F .求证：四边形AFDE 为菱形.2.如图，□ABCD ，AE 、BF 分别为∠A 、∠B 的平分线.求证：四边形ABEF 为菱形.3.若四边形ABCD的中点四边形为矩形，则四边形ABCD需满足条件_________________，并画图证明.4.若四边形ABCD的中点四边形为菱形，则四边形ABCD需满足条件__________________，并画图证明.5.如图矩形ABCD的对角线相交于O点，E、F分别在AD、BC上，EF过O点，EF⊥BD. （1）判定四边形DEBF的形状；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形DEBF的周长.6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CH⊥AB于H，交AD于F，DE⊥AB于E.（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AC＝8，AB＝10，求EF的长.二、菱形的性质7.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AC＝43，求菱形的周长.8.如图，菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝15°，求∠CEF.9.如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G.（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形.10.如图，菱形ABCD，∠A＝60°，M、N分别在AD、DC上，且∠BMN＝60°.（1）求证：BM＝MN；（2）若M、N分别在DA、CD的延长线，上述结论是否成立，请说明理由.11.已知菱形ABCD，∠BAD＝120°，BD＝43.（1）求AB的长；（2）E、F分别在BC、CD上，且∠EAF＝60°，求CE＋CF；（3）当点E 在BC 何位置时，S △AEF 最小并说明理由，并求出最小值.12.如图，□ABCD 中，BC ＝2CD ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，若∠EFD ＝k ∠AEF ，求k 的值.13.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H .（1）求证：△AED ≌△DFB ； （2）求证：S 四边形BCDG ＝43CG 2.第7讲 平行四边形、矩形、菱形（全国各地中考题汇编)—、平行四边形1.(2012乌鲁木齐）如图，在周长为20中，AB ＜AD ，AC 与BD 交于点O , OE丄BD ，交 AD 于点E ，求△ABE 的周长.2.(2012乌鲁木齐）如图,E 、F对角线AC 上的两点，且BE //DF ，求证：BF =DE .3.(2011中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BE //DF ,若∠EBF =45°， 求∠EDF 的度数.4.(2012河南）如图 ，在菱形ABCD 中，AB =2, ∠DAB = 60°,点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边 上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD ，AN .(1)求证：四边形AMDN 是平行四边形；(2)填空：① 当AM 的值为 时，四边形AMDN 是矩形；② 当AM 的值为 时，四边形AMDN 是菱形.二、矩形、菱形5.(2012吉林）如图1，在△ABC 中，AB =AC , D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边，连接 AD ，EC .(1) 求证：△ADC ≌△ECD(2) 如图2，若BD =CD , 求证：四边形ADCE 是矩形.B B6.(2012西宁）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =12，BD =16，E为AD的中点，点P在x轴上移动.小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为（一5，0)和(5, 0).求出其余所有符合这个条件的P点的坐标.7.(2012宁夏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE丄AC于E，∠EDC: ∠EDA=1 : 2，且AC=10，求DE的长.8. (2012兰州）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°, ∠B=∠D=90°.在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时，求∠AMN+∠ANM的度数.9.(2011中， DAB=60°，AB=2AD,点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG//BD，交CB的延长线于点G.(1) 求证：四边形DEBF是菱形；(2) 请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明.10. (2011甘肃兰州）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD (AD＞AB),将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE.(1) 求证：四边形AFCE是菱形；cm，求△ABF的周长；(2) 若AE=10cm ,△ABF的面积为24211.(2011南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm, E是AB中点，且DE丄AB,求菱形ABCD 的面积.12.(2011的边DC延长到点E, CE=DC,连接AE，交BC于点F.(1) 求证：△ABF≌△ECF(2) 若∠AFC=2∠D，连接AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形.13.(2011哈尔滨）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, ∠AOB= 60°, AB = 5,求AD的长.14. (2011株洲）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO 的延长线交BC于Q. (1) 求证：OP=OQ;(2) 若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D 重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形.问题探究15.在平行四边形ABCD中，∠A=∠DBC,过点D作DE =DF, 且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC, N、P分别为EC、BC的中点，连接NP.(1) 如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；(2) 如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1)中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1)中的结论.16. 如图1,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG，使B点正好落在CD上的点E 处，连BE.(1) 求证：∠BAE =2∠CBE.(2) 如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN，AF, 试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论；(3) 若AB=5，BC=3,直接写出BG的长第8讲 正方形专题（一)一、正方形与全等1. (2011沈阳）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且AE =EF =F A .(1) 求证：△ABE ≌△ADF ; (2) 求证：CE =CF ;(3) 求证：∠AEB =75°; (4) 求证：CEF ADF ABE S S S ∆∆∆=+.2. (2011贵阳）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ,延长BE 交边AD 于点F .(1) 求证：△ADE ≌△BCE ; (2) 求∠AFB 的度数.3. (2010青岛）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE =AF .(1) 求证：BE =DF ;(2) 连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM 、FM .判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论.4. (2010长沙）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED.(1) 求证：△BEC≌△DEC;(2) 延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数.5. (2010乌鲁木齐）如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE,且与正方形外角平分线AG交于点P.(1) 当点E坐标为（3，0)时，试证明GE=EP;(2) 如果将上述条件“点E坐标为（3，0)”改为“点E坐标为(t,0) (t＞0)”，结论CE=EP是否仍然成立，请说明理由；(3)在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M 的坐标；若不存在，说明理由.二、正方形与勾股定理结合6. (2012攀枝花）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC 上一动点，求PE+PB的最小值.7. (2011重庆）如图，正方形ABCD 中，AB =6,点E 在边CD 上，且CD =3DE .将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ,连结AG 、CF .(1) 求证：△ABG ≌△AFG ; (2) 求证：BG =GC ;(3) 求证：AG //CF ; (4) 求 PGC S ∆.8.如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，AF 交BD 于H ，EH 丄AF 交BC 于E ,连AE .(1) 求证：∠EAF =45°;(2) 连EF ，作∠EFC 的平分线FG 交AE 的延长线于G ，连CG ，求证：CG: (3) 在(2)的条件下，若F 是DC 的中点，AB =4，直接写出EG 的长DADADA方法运用(一）知45°作垂线构造等腰直角三角形9. 如图，正方形ABCD .点E 为正方形外一点，△ADE 为等边三角形，连BE ，AM 丄DE 交BE 于P 点，连CP .（1）求∠APB 的大小； （2）求证：AP 丄CP .10.如图，将上题中的条件“等边三角形△ADE ”改为“AE =AD ”，且点E 在正方形内部，上述两个结论是否仍成立，并证明.BC(二）线段和差的常规处理方法11.已知正方形ABCD ,点E 、F 分别为边BC 、AB 上一点，且CE =BF . （1）如图1，求证：DE 丄CF ;（2）如图2，若BG =BF ,CF 交BD 于Q 点，QG 交DE 于P 点，求证：PE =PG ; : （3）如图2，若H 为PD 的中点，在（2)中，求CQ BQDQ+的值，如图（2).B ADC EAD问题探究12. 如图，四边形ABCD，AD//BC,点E在AB上，点F在BC上，∠EDF =a，EM//BC 交DF于M点.（1）如图1，当四边形ABCD是正方形，a=45°时，求证：EM=AE+CF;（2）如图2，当四边形ABCD是等腰梯形，边AB=AD=AC, ∠BAD=120°, a= 60°时，(1)中结论是否仍成立？请说明理由.DAB CEB13.(2010武汉4月调考)如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP 的延长线上取点E，使AG=GE,连接BE，CE.(1) 求证：BE=BC;（2）∠CBE的平分线交AE于点N点，连接DN . 求证：BN+DN;（3) 若正方形的边长为2,当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为 .第9讲正方形专题（二）—、利用正方形边角关系寻找全等三角形1. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG，连BE，M为BE的中点. O1、O2分别为BD、EG 的中点，连 O 1M 、O 2M .(1) O 1M =O 2M ; (2) O 1M ⊥O 2M .AB 2. 如图，正方形ABCD 中，P 为CD 中点，连P A 、PB ，P A 与BD 交于E 点， 求证：CE 丄PB.AB3. 已知正方形ABCD ，点P 在CD 上，以BP 为边长作正方形BPEF ，连DF 交BC 于M 点.(1) 如图1，若 PD =2CP ,求证：CM =CP ;(2) 如图2，若正方形BPEF 在线段BC 的左侧，求证：DE 丄BD (你能用多种方法证明吗？）DA二、二倍角的常规处理方法4. 如图，正方形ABCD ，边长为2，BF 平分∠CBE .(1) E 为AD 的中点，求CF 的长； (2) 若点E 为AD 上动点，求AE CFBE+.CB5. 如图，正方形ABCD ，E 点为CD 的中点，点F 在边AD 上，DE =2DF . 求证：∠BFD = 2∠BEC .6. 如图，正方形ABCD ，E 、F 分别为DC 、BC 的中点，连BE 、AF 交于M 点，连DM .(1) 求证AF 丄BE ; (2) 求证∠CAF =CDM ∠21.AB三、7. 如图，在正方形ABCD 中，∠EAF =45°,交BC 于E ，交CD 于F . AE 、AF 交正方形对角线于M 、N .求证：① AN 丄EN ; ② AN 丄NEAB8. 如图，正方形ABCD ，过A 作直线AE ，过D 作DG 丄AE ，AG =GE ,连结DE .(1) 求证：DE =DC;(2) 若∠CDE 的平分线交EA 的延长线于F 点，连接BF . 求证：DF A =FB .F9. 如图，正方形ABCD 中，P 为CD 上一动点、，过C 作CM 丄AP 交AP 于M 并延长AP ，使AM = MN ， 连接BD 交AN 于E ，连结CN .(1) 求证：CN =BD ; (2) 连结BM 、DM ,试探究边BM 、DM 与MN 之间的数量关系.NAB10. 如图，P 为正方形ABCD 边AD 上一点，以BP 为腰作等腰Rt △BPQ , M 为BD 延长线上一点，PB =PM .(1) 求证：PD 平分∠MPQ ; (2) 连结DQ ，试求BD DQDP-的值;(3) 若正方形的边长为4，P 为AD 中点，请直接写出线段BM 的长度为 .AB11.如图，P 是边长为4的正方形ABCD 的边BC 上任一点，过B 作BG 丄AP 于G ，过C 作CE 丄AP 于 E ,连BE .(1) 若P 是BC 的中点，求CE 的长；(2) 当P 在BC 上运动时，（不与B 、C 重合），求AG CEBE-的值；(3) 当PB = 时，△BCE 是等腰三角形.AD四、12. 如图，正方形ABCD ，沿EF 折叠，使点B 正好落在CD 上G 点处，若EF =13，AB =12.求BE 的长.13. 如图，正方形ABCD ，点E 在AD 上，以BE 为边作等腰直角三角形△BEF ，FM 丄BC ,垂足为M .(1) 若AB =4，AE =1 ,求FM 的长.(2) 连BD 、DF ,问BD 、DF 、DE 三者之间存在怎样关系并证明.AB14. 如图，正方形ABCD ，点E 在正方形外侧且DE =CD ，DH ⊥AE ,垂足为H 交CE 于M.(1) 求证： CMD =45°; (2) 求证：AM +CM (3) 若正方形的边长为2, P 点为AD 的中点，求DM 的长.AB15. 如图，正方形ABCD ，点P 为BC 上一动点，将AP 绕P 点顺时针旋转90°至PE ，过E 点作EF 丄 BC 垂足为F 点.(1) 求证：BP =CF ; (2) 求证：线段AE 的中点一定在直线BD 上； (3) 若P 点在CB 的延长线，试证明上述两结论是否成立，画图证明.FAB第10讲 正方形专题（三)—、正方形常规问题证明1. (2011武汉4月调考）如图，在正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，点B '与点B 关于AE 对称， B B ' 与AE 交于点F ，连接 AB '、DB '、CB '、FC .(1) 求证：AB '=AD ; (2) 求证：B FC '∆为等腰直角三角形； (3) 求D B C '∠的度数.2. 如图，正方形ABCD ，点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F .(1) 如图，写出线段AF 、BF 、EF 之间的数量关系； (不要求写证明过程)(2) 如图，若点G 是BC 的中点，探究AE 、BE 、EF 之间的关系并证明；(3) 如图，若点O 是BD 的中点，连OF ,求EFOF的比值.二、2倍的证明转化为等腰直角的证明3. 如图，点M为正方形ABCD边AD上一点，点N为正方形内一点，且MN⊥BN, MN=BN, BN的延长线交CD于E，连CN.(1) 求证：∠BCN =45°; (2) 求证：MD.A4. 如图.正方形ABCD中，点E为AB上一点，点F为CB延长线上一点，且BE=BF, CE 的延长线交AF于N，CM丄NB于M,(1) 求证：CN丄AF; (2) 求证：∠MNC =45°; (3) 求证：AN.三、正方形与旋转5. 如图1，四边形ABCD、四边形DEFG都是正方形，显然图中有AG=CE, AG丄CE.(1) 当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG==CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(2) 当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，求证：AG丄CH;(3) 在（2)的条件下，当AD=4, DG,求CH的长.6. 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形.M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连AM、CM、EN.(1) 求证：△AMB≌△ENB;(2) ①当M点在何处时，AM+CM的值最小？②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？并说明理由.(3) 当AM+BM+CM1时，求正方形的边长.EE7. 如图，正方形ABCD中，点E在CD上，点F在CB的延长线上，DE =BF,连EF.(1) 求证：EF ; (2) 若EN平分∠FEC 交AC于M，交BC于N，求证：AF=AM;(3) 在(2)的条件下，若AD=4，BF =1,直接写出CN的长.N AB C8. 如图1,正方形ABCD中，点E为CD的中点，连AE,点F在AE上，CF=BC,连BF. (1) 求证：BF丄AE; (2) 如图2，CM平分∠FCD交BF的延长线于M,连AM, 求证：AM⊥CM.(3) 在(2)的条件下，BM交AD于点G,若AB=4, AG=2时，直接写出CM的长 .9. 如图，点O为正方形ABCD的中心，点E、F分别在DA、CD的延长线上，AE=DF,连BE、AF.(1) 求证：BE丄AF;(2) 延长F A交BE于G，连OG，求∠OGF的度数;(3) 在(2)中，若AEAB=求OG的长.图1 图2BC第11讲正方形综合（四）—证明与计算一、遇“45°”作垂线构造等腰直角三角形1. 如图1，P为正方形ABCD边BC上的一点，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F. （1）求证：AF=BE；（2）如图2，Q为AP延长线上一点，∠FDQ=45°，延长BE交AD的延长线于点M，延长BQ交DC的延长线于点N，连接MN，求证：AM－CN=MN；（3）在（2）的条件下，若正方形的边长为2，P为BC边的中点，请直接写出线段MN的长为.2. 如图1，正方形ABCD中，点M在AB上，点N在CD上，点P在BC上，MN ⊥AP于E.（1）求证：AP=MN；（2）如图2，点F在MN上，若EF=EA，连CF，点G为CF的中点，连DG，求证：DE；（3）在（2）的条件下，若DA=DE，且32DN=，BM=2，求DG的长.二、遇“和差”延长或截取3. 如图1，P 为正方形ABCD 边CD 延长线上一点，BH ⊥AP 交PA 的延长线于点H ，E 为PH 延长线上一点，AH =HE ，连接BE 、CE . （1）求证：∠BCE =∠BEC ；（2）如图2，过E 作PE 的垂线交CB 的延长线于点F ，求证：EF EP +； （3）在（2）的条件下，若正方形的边长为2，DP =1，请直接写出线段CE 的长为 .4. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，BD =CD ，DE ⊥CD 交AB 于E 点，BD 交CE 于点F .（1）求证：BC =2AD ；（2）探究：CE －BE 与AE 之间的数量关系，并证明；（3）若BC =BE ，AD =1，则=ABCD S 梯形 （直接写出结果）.11.遇“角平分线”作垂线5.如图，正方形ABCD，点E在CD延长线上，点M在BA的延长线上，MA=ME，ME交BC 的延长线于点P.（1）求证：∠M=2∠DAE；（2）求证：DE+PE=PB；（3）若DE=1，CD=4，直接写出PM的长.6.如图，M、N分别为边长为1的正方形ABCD边CB、DC延长线上的点，若DN－BM=MN. （1）如图1，求证：∠MAN=45°；+；（2）如图2，若DP⊥AN交AM于P，求证：PA PC（3）如图2，若C为DN的中点，直接写出PC的长为.7.如图1，在平面直角坐标系中，A（a，b）在第一象限内，且a、b满足条件：b a-=AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，E为OB上一点，过A作AF⊥AE交x轴于F，连接EF. （1）求证：△AEF为等腰三角形；（2）ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，求ADEF的值；（3）如图2，P是CE的中点，若BP⊥PK交∠BAC的外角平分线于K，求BPBK的值.。

特殊平行四边形综合题（培优）一．选择题（共9小题）1．如图．任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边上的点，对于四边形E，F，G，H的形状，小聪进行了探索，下列结论错误的是（）A．E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH是菱形B．E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形C．E，F，G，H不是各边中点，四边形EFGH可以是平行四边形D．E，F，G，H不是各边中点，四边形EFGH不可能是菱形2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（）A．14B．12C．24D．483．依次连接四边形ABCD的四边中点得到的图形是正方形，则四边形ABCD的对角线需满足（）A．AC＝BD B．AC⊥BDC．AC＝BD且AC⊥BD D．AC⊥BD且AC与BD互相平分4．顺次连接正方形各边中点所成的四边形的面积与原正方形的面积之比为（）A．1：B．1：C．1：3D．1：25．如图，正方形ABCD中，AE＝BF，下列说法中，正确的有（）①AF＝DE；②AF⊥DE；③AO＝OF；④S△AOD＝S四边形BEOF．A．1个B．2个C．3个D．4个6．顺次连接凸四边形各边中点所得到的四边形是正方形时，原四边形对角线需满足的条件是（）A．对角线相等且垂直B．对角线相等C．对角线垂直D．一条对角线平分另一条对角线7．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB＝35°，那么∠AOB的度数为（）A．35°B．45°C．70°D．110°8．下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝6，则OC＝（）A．12B．C．6D．3二．填空题（共21小题）10．如图，点A、B、C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M、N、P、Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．11．如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④中点四边形MNPQ不可能是正方形；所有结论正确的序号是．12．如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．13．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．14．小明作生成“中点四边形”的数学游戏，具体步骤如下：（1）任画两条线段AB、CD，且AB与CD交于点O，O与A、B、C、D任意一点均不重合．连接AC、BC、BD、AD，得到四边形ACBD；（2）分别作出AC、CB、BD、DA的中点A1，B1，C1，D1，这样就得到一个“中点四边形”．①若AB⊥CD，则四边形A1B1C1D1的形状一定是，这样作图的依据是．②请你再给出一个AB与CD之间的关系，并写出在该条件下得到的“中点四边形”A1B1C1D1的形状．15．如图，矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，依次连接它的各边中点得到第一个四边形E1F1G1H1，再依次连接四边形E1F1G1H1的各边中点得到第二个四边形E2F2G2H2，按此方法继续下去，得到的第n个四边形E n F n G n H n的面积等于．16．已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有个；第2014个图形中直角三角形的个数有个．17．已知：四边形ABCD的面积为1．如图1，取四边形ABCD各边中点，则图中阴影部分的面积为；如图2，取四边形ABCD各边三等分点，则图中阴影部分的面积为；…；取四边形ABCD各边的n（n为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为．18．梯形的高为4cm，中位线长为5cm，则梯形的面积为cm2．19．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下面四个结论：（1）AE＝BF，（2）AE⊥BF，（3）AO＝OE，（4）S△AOB＝S四边，其中正确结论的序号是．形DEOF20．若梯形的面积为12cm2，高为3cm，则此梯形的中位线长为cm．21．已知一个梯形的面积为22cm2，高为2cm，则该梯形的中位线的长等于cm．22．如图，正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF，则下列结论中，①AG＝BF；②OF平分∠CFG；⑤CF﹣BF＝EF；④GF＝OF，正确的有.（填序号）23．如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上一点．EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G，GF＝5，则AE＝．24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，AC＝6，BD＝10，则OE的长为．25．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，AB＝2，BC＝5，则DE ＝．26．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF＝2，则∠EBF＝°，△BEF面积的最小值为．27．在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．若A（﹣4，0），B （0，﹣3），则菱形ABCD的面积是．28．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使得点D落在点D'处，则FC＝．29．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是．30．在数学家吴文俊主编的《“九章算术”与刘徽》一书中，小宇同学看到一道有趣的数学问题：古代数学家刘徽使用“出入相补”原理，即割补法，把筝形转化为与之面积相等的矩形，从而得到“筝形的面积等于其对角线乘积之半”．（说明：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形）请根据如图完成这个数学问题的证明过程．证明：证明：S筝形ABCD＝S△AOB+S△AOD+S△COB+S△COD．易知，S△AOD＝S△BEA，S△COD＝S△BFC，由等量代换可得：S筝形ABCD＝S△AOB++S△COB+＝S矩形EFCA＝AE•AC＝•．三．解答题（共30小题）31．在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；（2）连接BD交MN于点F．①根据题意补全图形；②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论．32．如图，已知在四边形中，AC⊥BD交于点O，E、F、G、H分别是四边上的中点，求证：四边形EFGH是矩形．33．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是（请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．①如图1，求证：AC平分∠BCD；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：想法一：通过∠B+∠D＝180°，可延长CB到E，使BE＝CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；想法二：通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．34．如图，在等边△ABC中，作∠ACD＝∠ABD＝45°，边CD、BD交于点D，连接AD．（1）请直接写出∠CDB的度数；（2）求∠ADC的度数；（3）用等式表示线段AD、BD、CD三者之间的数量关系，并证明．35．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．（1）判断四边形EFGH是何种特殊的四边形，并说明你的理由；（2）要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．36．在正方形ABCD中，点E是边BC上的中点，在边CD上取一点F，使得AE平分∠BAF．（1）依题意补充图形；（2）小玲画图结束后，通过观察、测量，提出猜想：线段AF等于线段BC与线段CF 的和．小玲把这个猜想与同学们进行交流．通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：考虑到AE平分∠BAF，且∠B＝90°．若过点E作EM⊥AF，则易证AM＝AB ＝BC．这样，只需证明FM＝FC即可．因∠EMF＝∠C＝90°，证FM＝FC即证EF平分∠MEC，所以连接EF．想法2：考虑到E是BC中点，若延长AE，交DC的延长线于点G，则易证CG＝AB，则CF+BC＝CF+CG＝FG．要证AF＝BC+CF，只需证F A＝FG即可．想法3：小米在课外小组学习了梯形中位线的相关知识，考虑到正方形ABCD所以有BC ＝AB，因此BC+CF＝AB+CF，是梯形上、下底之和，结合“E是BC中点”，易联想到梯形中位线的性质，从而解决问题．…请你参考上面的想法，帮助小玲证明AF＝BC+CF．（一种方法即可）37．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是，证明你的结论；（2）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．38．（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，连接GF、HD．求证：①FG+BE≥BF；②∠HGF＝∠HDF．39．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC＝10，M是AB的中点，MD⊥DC，D 是垂足，sin∠C＝，求梯形ABCD的面积．40．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BE＝CF，连接AE、BF相交于点G．现给出了四个结论：①AE＝BF；②∠BAE＝∠CBF；③BF⊥AE；④AG＝FG．请在这些结论中，选择一个你认为正确的结论，并加以证明．结论：．41．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD．（1）请再写出图中另外一对相等的角；（2）若AC＝6，BC＝9，试求梯形ABCD的中位线的长度．42．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF长为20，AC与EF交于点G，GF ﹣GE＝5．求AB、CD的长．43．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，点F在DC上，且AD＝a，BC＝b．（1）如果点E、F分别为AB、DC的中点，如图．求证：EF∥BC，且EF＝；（2）如果，如图，判断EF和BC是否平行，并用a、b、m、n的代数式表示EF．请证明你的结论．44．如图，在正方形ABCD中，点E在线段CB的延长线上，连接AE，并将线段AE绕点E 顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF，BD，CF，线段AF与线段BD相交于点M．（1）请写出∠ECF的度数，并给出证明；（2）求证：点M是线段AF的中点；（3）直接写出线段CF，BM和AD的数量关系．45．四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，CE＝CD，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．46．在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，射线CE 交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合）．①求证：∠BCF＝∠BAP；②求证：EA＝EC+EB；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时（BP＜BA），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系．47．如图，在正方形ABCD中，点E是直线AC上任意一点（不与点A，C重合），过点E 作EF⊥BE交直线CD于点F，过点F作FG⊥AC交直线AC于点G．（1）如图1，当点E在线段AC上时，猜想EG与AB的数量关系；（2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，补全图形，并判断（1）中EG与AB的数量关系是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．48．已知正方形ABCD，点E是直线BC上一点（不与B，C重合），∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F．（1）如图1，当点E在线段BC上时，①请补全图形，并直接写出AE，EF满足的数量关系；②用等式表示CD，CE，CF满足的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上，用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系（直接写出即可）．49．如图①，如果四边形ABCD满足AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB'，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是．（2）请你结合图1写出一条完美筝形的性质．（3）当图3中的∠BCD＝120°时，∠AEB′＝．（4）当图2中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有（写出筝形的名称：例筝形ABCD）．50．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明：CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．51．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作射线EF．（1）若∠DAB＝60°，EF∥AB交BC于点H，请在图1中补全图形，并判断四边形ABHE 的形状；（2）如图2，若∠DAB＝90°，EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG，请在图2中补全图形，猜想线段EG，AG，BG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若∠DAB＝α（0°＜α＜90°），EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．请在图3中补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹），直接写出线段EG，AG，BG之间的数量关系（用含α的式子表示）．52．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．（1）小文根据筝形的定义得到筝形边的性质是；（2）小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．求证：．证明：（3）小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是．（写出一条即可）53．如果一个四边形ABCD满足AB＝AD且BC＝CD，则称四边形ABCD为筝形．（1）如图1，连接筝形ABCD的对角线AC、BD交于点H，求证：AC⊥BD．（2）求证：筝形ABCD的面积S＝AC•BD．（3）如图2，在筝形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD，BD＝8，过点B作BF⊥CD于点，交AC于点E，过点F作FM⊥AB于点M，若四边形ABED是菱形，求FM的长．54．已知，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点F为CD上任意一点（不与C、D重合），过点F作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．（1）①依题意补全图1；②线段EF、CF、AE之间的等量关系是．（2）在图1中将△DEF绕点D逆时针旋转，当点F、E、C在一条直线上（如图2）．线段EF、CE、AE之间的等量关系是．写出判断线段EF、CE、AE之间的等量关系的思路（可以不写出证明过程）55．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，射线AP位于该菱形外侧，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，直线DE与直线AP交于F，连接BF，设∠P AB＝α．（1）依题意补全图1；（2）如图1，如果0°＜α＜30°，判断∠ABF与∠ADF的数量关系，并证明；（3）如图2，如果30°＜α＜60°，写出判断线段DE，BF，DF之间数量关系的思路；（可以不写出证明过程）（4）如果60°＜α＜90°，直接写出线段DE，BF，DF之间的数量关系．56．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上，点Q在直线AD上，且∠CPQ ＝120°．（1）如图1，若点P为菱形ABCD的对角线的交点．①依题意补全图1；②猜想PC与PQ的数量关系并加以证明；（2）如图2，若∠CPD＝80°，连接CQ，写出求∠PQD度数的思路．57．在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：EG＝BC；（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：．58．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B 重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC ＝AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．59．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及数量关系．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图3），你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．60．在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：ME＝MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF＝90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB＝．。

2015年5月29日初二培优材料教师版特殊平行四边形综合1．如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD 于点E，∠1＝∠2.(1) 若CE＝1，求BC的长；(2) 求证：AM＝DF＋ME.第1题2．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且点E、F不与点B、C、D重合．(1) 求证：不论点E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；(2) 当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值．第2题3．如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD 的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．第3题4．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．第4题请回答：BC+DE的值为______________．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF 的度数．5．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2，我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．第5题【问题探究】（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为____________________________．（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．【问题拓展】（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，将∠AEG绕点A顺时针旋转30°，得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′C′，分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．6．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC、CD上，将△CEF沿EF翻折，点C的落点为M（1）如图1，当 CE=5，M点落在线段AD上时，求MD的长（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将△CEF沿EF折叠，①连接BM，△BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此时CE的长，如果不可以，说明理由②连接MD，如图3，求四边形ABMD的周长的最小值和此时CE的长第6题参考答案1．(1) ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AB ∥CD.∴ ∠1＝∠ACD.∵ ∠1＝∠2，∴ ∠ACD ＝∠2.∴ MC ＝MD.∵ ME ⊥CD ，∴ CD ＝2CE.∵ CE ＝1，∴ CD ＝2.∴ BC ＝CD ＝2 (2) 如图，延长AB 、DF 交于点G.∵ F 为边BC 的中点，∴ BF ＝CF ＝12BC.∴ CF ＝CE.在菱形ABCD中，∵ CA 平分∠BCD ，∴ ∠ACB ＝∠ACD.在△CEM 和△CFM 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠MCE ＝∠MCF ，CM ＝CM ，∴ △CEM ≌△CFM(SAS)．∴ ME ＝MF.∵ AB ∥CD ，∴ ∠G ＝∠2.∴ ∠1＝∠G.∴ AM ＝MG .在△BFG 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠G ＝∠2，∠BFG ＝∠CFD （对顶角相等），BF ＝CF ，∴ △BFG ≌△CFD(AAS)．∴ GF ＝DF.∴ GM ＝GF ＋FM ＝DF ＋ME.∴ AM ＝DF ＋ME第1题2．(1) 如图，连结AC.∵ 四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，∴ ∠1＋∠EAC ＝60°.∵ ∠3＋∠EAC ＝60°，∴ ∠1＝∠3.∵ ∠BAD ＝120°，∴ ∠B ＝∠D ＝60°.∴ △ABC 和△ACD 为等边三角形．∴ ∠4＝60°，AC ＝AB.在△ABE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠3，AB ＝AC ，∠ABE ＝∠4，∴ △ABE≌△ACF(ASA)．∴ BE ＝CF (2) 四边形AECF 的面积不变．由(1)得△ABE ≌△ACF ，则S△ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC ，是定值．如图，作AH ⊥BC 于点H ，则BH ＝2，S 四边形AECF ＝S △ABC ＝12BC ·AH ＝12BC ·AB 2－BH 2＝4 3.△CEF 的面积发生变化．由“垂线段最短”可知当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积最小，又∵ S △CEF ＝S 四边形AECF －S △AEF ，则此时△CEF 的面积最大．∴ △CEF 面积的最大值是S 四边形AECF －S △AEF ＝43－12×23×（23）2－（3）2＝ 3 第2题3．（1）证明：在△HDG 和△AEH 中，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠A=90°， ∵四边形EFGH 是菱形， ∴HG=HE ， ∵DG=AH=2，∴Rt △HDG ≌△AEH ， ∴∠DHG=∠AEH ，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形；（2）解：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE∵CD∥AB，∴∠AEG=∠MGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠FGM，在Rt△AHE和Rt△GFM中，∵∠A＝∠M＝90°，∠AEH＝∠FGM，HE＝FG，∴Rt△AHE≌Rt△GFM，∴MF=2，∵DG=x，∴CG=6-x．∴S△FCG=12CG•FM=6-x．4．解决问题：连接AE，CE，如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥FE，BF=AE．∴DC∥FE．∴四边形DCEF是平行四边形．∴CE∥DF．∵AC=BF=DF，∴AC=AE=CE．∴△ACE是等边三角形．∴∠ACE=60°．∵CE∥DF，5．6．解：（1）如图1，作EN⊥AD于点N，∴∠ANE=∠ENM=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，∴∠A=∠B=∠ANE=90°，∴AB=NE=4，AN=BE．∵EC=5，∴BE=3，∴AN=3．∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM=5．在Rt△EMN中，由勾股定理，得MN=3，∴MD=8-3-3=2．答：MD的长为2；（2）①如图2，当∠BME=90°时，菁优网∵∠EMF=90°，∴∠BMF=180°，∴B、M、F在同一直线上．∵F是BC的中点，如图3，当∠BEM=90°时，∴∠MEC=90°∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，∴四边形ECFM是正方形，∴MF=CE=2．∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM，FC=FM．∴EF垂直平分MC，∴MG=CG，∴GF是△CDM的中位线，∴FG∥BD，∴BE=CE．∵BC=8，∴CE=4．在Rt△ABD中，由勾股定理，得。

《特殊平行四边形》 数学周末辅导培优特训1.下列命题中，不正确的是（ ）A .对角线相等的平行四边形是矩形B .有一组邻边相等的四边形是菱形C .四个角相等的四边形是矩形D .对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形2.如图，在 ABCD 中，对角线AC ⊥AB ，O 为AC 的中点，经过点O 的直线交AD 于E 交BC 于F ，连结AF 、CE ，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE 是菱形，下列条件：①OE ＝OA ；②EF ⊥AC ；③E 为AD 中点，正确的有（ ）个A . 0B . 1C . 2D . 3（第2题图） （第3题图） （第4题图） （第5题图） 3.如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的角平分线分别交AB 、BD 于M 、N 两点．若AM ＝2，则线段BN 的长为（ ） A .22B .C . 22D . 14.如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，若将矩形折叠，使C 点与A 点重合，则EF=（ ） A .47 B . 415 C . 215 D . 275.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，CE 、DF 交于G ，连接AG 、HG ．下列结论：①CE ⊥DF ；②AG ＝AD ；③∠CHG ＝∠DAG ；④HG ＝21AD ．其中正确的有（ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个6.如图，点A ，B 在直线l 上两点，以AB 为边作菱形ABCD ，M 、N 分别是BC 和CD 的中点，NP ⊥AB 于点P ，连接MP ，若∠D =140°，则∠MPB 的度数为（ ） A . 100° B . 110° C . 120° D . 130°（第6题图） （第7题图） （第8题图） 7.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，过点D 作DE ∥AC ，且DE ＝ 21AC ，连接CE 、OE ，连接AE 交OD 于点F ，若AB ＝2，∠ABC ＝60° ， 则AE 的长为（ ）A . 3B . 5C . 7D . 228.如图，正方形ABCD 中，P 为对角线上的点，PB =AB ，连PC ，作CE ⊥CP 交AP 的延长线于E ，AE 交CD 于F ，交BC 的延长线于G ，则下列结论：①E 为FG 的中点；②FG 2=4CF •CD ；③AD =DE ；④CF =2DF ．其中正确的个数是（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. 如图，矩形ABCD 的面积为1， 对角线交于点O ；以AB 、AO 为邻边作平行四边形AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB 、AO 1为邻边作平行四边形AO 1C 2B …；依此类推，则平行四边形AO 2014C 2015B 的面积为（ ）（第9题图） （第10题图）10.如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点F 是AB 的中点，E 为BC 边上一点，且EF ⊥ED ，连结DF ，M 为DF 的中点，连结MA ，ME ．若AM ⊥ME ，则AE 的长为（ ） A . 5 B . C . D .11.如图，四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，AB =6，对角线AC 与BD 相较于点O ，点E 在AC 上，若OE =23 ，则CE 的长为________（第11题图） （第12题图） （第13题图） （第14题图）12.如图,两个长宽分别为7CM 、3CM 的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是________． 13.如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，P 是AD 上不与A 、D 重合的一动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，E 、F 为垂足，则PE +PF 的值为________．14.如图，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且CE =DF ，BF 与DE 交于点G ，若BG =2，DG =4，则CD 长为________．15.如图，在矩形ABCD 中， 5=AD ， 8=AB ，点E 为射线DC 上一个动点，把DEF ∆沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为________．（第15题图） （第16题图） （第17题图） 16.如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠B 是锐角，AE ⊥BC 于点E ，M 是AB 的中点，连结MD ，ME ．若∠EMD =90°，则BE 的值为________．17.（4分）正方形ABCD 的CD 边长作等边△DCE ,AC 和BE 相交于点F ，连接DF .求 ∠AFD 的度数.18.（8分）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为E.（1）求证：DE=AB；（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求AG的长.19.（9分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=2，求菱形BEDF的面积．20.（9分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC 于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝10，BF＝24，CE＝7，求四边形ABCD的面积．21.（12分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB=GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB=2，AG= 2，求EB的长．22.（12分）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是由△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根，且OC＞BC.（1）求直线BD的解析式.（2）求△OFH的面积.（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.23.（12分）如图1，过正方形ABCD的顶点A作直线AE，作DG⊥AE于点G，若G是AE的中点，连接DE．（1）求证：ED＝AB；（2）如图2，若∠CDE的平分线交EA的延长线于F点，连接BF，求证：DF＝2F A+FB；（3）若正方形的边长为2，连接FC，交AB于点P．当P为AB的中点时，请直接写出AF的长．答案：一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案B C D B D B C C C B二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.题号11 12 13 14 15 16答案 5 或. 或10 1-3三、解答题（本大题有8小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17.【答案】解：∵∠BCD=90°，∠DCE=60°，∴∠BCE=150°，∵四边形ABCD为正方形，△DCE为等边三角形,∴BC=BE，∴∠CBE=∠CEB=15°，在△CBF和△CDF中，CF=CF，∠BCF=∠DCF，BC=CD,∴△CBF≌△CDF（S A S），∴∠CDF=∠CBE=15°，又∵∠DCF=45°，且∠AFD为△CDF的外角,∴∠AFD=∠DCF+∠CDF=15°+45°=60° .18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=AD=DC=BC，AD∥BC，∴∠EAD=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，∴△ADE≌△F AB(AA S)，∴DE=AB。

第18章 平行四边形第2节 《特殊的平行四边形》同步培优训练一、选择。

1．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE△AC ，DF△AB ，下列四个判断中不正确的是( )A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若△BAC ＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD 平分△BAC ，则四边形AEDF 是矩形D ．若AD△BC 且AB ＝AC ，则四边形AEDF 是菱形2．如图，正方形ABCD 中，AE ＝AB ，直线DE 交BC 于点F ，则△BEF ＝（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°3．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE AD BCE ⊥∠=︒，.若2AE =，则边BC 的长为( )A B C D ． 4．已知在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，//AD BC ，下列判断中错误的是（ ）A ．如果AB CD =，AC BD =，那么四边形ABCD 是平行四边形B ．如果//AB CD ，AC BD =，那么四边形ABCD 是矩形C ．如果AD BC =，AC BD ⊥，那么四边形ABCD 是菱形D ．如果AO BO =，AC 垂直平分BD ，那么四边形ABCD 是正方形 5．如图，将一张长方形纸片ABCD 按图中方式折叠，若AE ＝3，AB ＝4，BE ＝5，则重叠部分的面积为( )A ．6B ．8C ．10D ．12 6．如图，在菱形ABCD 中，AB =5，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC:BD =3:4，AE ⊥CD 于点E ，则AE 的长是（ ）A ．4B ．245C ．5D ．125 7．在四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）A ．BC CD =B ．AB CD =C ．90D ∠=︒ D ．AD BC = 8．如图所示，矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，15CAE ︒∠=，则下面的结论：①ODC ∆是等边三角形；②=2BC AB ；③135AOE ︒∠=；④AOE COE S S ∆∆=，其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如图，在菱形ABCD 中，80BAD ∠=，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结BF ，则ABF ∠等于( )A ．30°B ．35°C ．40°D ．45° 10．如图，菱形ABCD 中，过顶点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于E 点，已知134A ∠=︒，则BEC ∠的大小为( )A ．23︒B ．28︒C ．62︒D ．67︒二、填空。

人教版八年级数学18.2 特殊的平行四边形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（）A．对角线相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对边相等2. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（）A．15︒或30︒B．30︒或45︒C．45︒或60︒D．30︒或60︒3. （2020·菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（）A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是()A. AB＝ADB. AC⊥BDC. AC＝BDD. ∠BAC＝∠DAC5. （2020台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②6. （2020·襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．当AB＝CD时，四边形ABCD 是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形7. 如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．8. （2020·黑龙江龙东）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，OH ＝4，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．72B ．24C ．48D ．969. （2020·滨州）下列命题是假命题的是（ ）A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直的矩形是正方形C ．对角线相等的菱形是正方形D ．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形10. （2020·达州）如图，∠BOD =45°，BO=DO ，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点E ，连接OE 交AD 于点F .下列4个判断：①OE 平分∠BOD ；②OF=BD ；③DF=AF ；④若点G 是线段OF 的中点，则△AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题（本大题共6道小题）11. 正方形有 条对称轴．12. 如图，矩形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒，求BOE ∠=EODC BA13. 如图，已知E 、F分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别DCA B F EO与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠=．NMFEDCBA14. 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______.ABCDEF15. 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE ∆的面积为GFEDCB A16. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG . 其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)三、解答题（本大题共5道小题）17. 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE=DF ，连结AE ，AF.求证：AE=AF.18.如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8AB =，10BC =，求EC 的长．BDCAEF19. 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE ∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA20. 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA21. 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA人教版 八年级数学 18.2 特殊的平行四边形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】C【解析】利用三角形的中位线定理，可得中点四边形有如下结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形；对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形．由此可知，该题选项C 符合题意．4. 【答案】C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．5. 【答案】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B ，C ，D 错误，故选：A ．【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．6. 【答案】B【解析】由平行四边形的对角线互相平分，知A选项正确；由有一个角是直角的平行四边形是矩形，知C选项正确；由对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，知D选项正确；由一组邻边相等的平行四边形是菱形，知B选项错误（因为B选项中是一组对边相等了），故选B．7. 【答案】添加的条件是BE=DF(答案不唯一)．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABD=∠BDC，又∵BE=DF(添加)，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF．8. 【答案】C【解析】本题考查了菱形的性质，对角线互相垂直平分以及直角三角形的斜边上中线的性质，解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积．故选：C．9. 【答案】D【解析】本题考查了正方形的判定，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形是真命题，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，因此本题选D．10. 【答案】A【解析】由矩形的性质可知：BE=DE=BD，∠OAD=∠BAD=90°，在△ODE和△OBE中，BO=DO，BE=DE，OE=OE，所以△ODE≌△OBE，∠OED=∠OEB=90°，∠OBD=∠ODB=67.5°，∠BOE=∠DOE=22.5°，故①正确；在R t△AOD中，∠BOD=45°，∴OA=AD，在R t△ABD中，∠BAD=90°，∠OBD=67.5°，所以∠BDA=22.5°，在△BDA和△FOA中，∠BDA=∠FOA，OA=AD，∠OAD=∠BAD=90°，所以△BDA≌△FOA，所以OF=BD，故②正确；如答图，过点F作FQ⊥OD于点Q，由角平分线的性质得AF=FQ，由题可知∠ADO=45°，所以△FDQ是等腰直角三角形即DF=AF，故③正确；如答图，AG=OG=OF，所以OG=DE，由题意可得△OAG≌△DAE，所以∠OAG=∠DAE，AG=AE，又由∠OAG＋∠GAF=90°可得∠GAE=90°，所以△GAE是等腰直角三角形，故④正确．二、填空题（本大题共6道小题） 11. 【答案】412. 【答案】75︒.【解析】∵四边形ABCD 是矩形 ∴90DAB ABC OA OB ∠=∠=︒=，∵AE 平分BAD ∠，所以1452BEA BAD ∠=∠=︒ ∴BA BE = ∵1560CAE BAC ∠=︒∠=︒， 所以ABO ∆为等边三角形 ∴60OB AB BE ABO ==∠=︒，，所以30OBE ∠=︒ ∴()1180752BOE OBE ∠=︒-∠=︒13. 【答案】100︒【解析】如图，连结AC ．NMFEDCBA14. 【答案】连接CE ，作过B 、E 点的AC 垂线，垂足分别为H ,G ,则四边形BEGH是矩形，1122GE BH AC AE ===， 所以30GAE ∠=︒,所以15EAB ∠=︒．AB CDEFG H15.【解析】过E 作EH CD ⊥交CD 延长线于H ，CDE ADG DEH DAG EH AG S S ∆∆∆∆==≌，，GQD C ABF E O16. 【答案】①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴EDFD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S △FGH ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.三、解答题（本大题共5道小题）17. 【答案】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，∠B=∠D ，∵BE=DF ，∴△ABE ≌△ADF ，∴AE=CF ．18. 【答案】由题意可知，AD AF =，DE EF =． ∵8AB =，10BC =，AB BF ⊥∴6BF === ∴4CF =∵CE CF ⊥，DE EF = ∴222DE CE CF =+∴222(8)43CE CE CE -=+⇒=19. 【答案】⑴ ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．又∵ACE ∆是等边三角形，∴EO AC ⊥，即DB AC ⊥． ∴平行四边形ABCD 是菱形．⑵ ∵ACE ∆是等边三角形，∴60AEC ∠=︒．∵EO AC ⊥，∴1302AEO AEC ∠=∠=︒．∵2AED EAD ∠=∠，∴15EAD ∠=︒．∴45ADO EAD AED ∠=∠+∠=︒． 四边形ABCD 是菱形，∴290ADC ADO ∠=∠=︒ ∴四边形ABCD 是正方形．20. 【答案】首先证明：GDH GHD ∠=∠．因为DE BC DE BC =∥，，所以四边形BCED 为平行四边形， 14∠=∠，又BD FD =，所以1123452∠=∠=∠=⨯︒，134452∠=∠=⨯︒，BC GC CD ==．因此，DCG ∆为等腰三角形，故()11351804522CDG ︒∠=︒-︒=． 又451359039022GHD ︒︒∠=︒-∠=︒-=，所以CDG GHD ∠=∠．从而GD GH =．21. 【答案】12【解析】过C 作CG AD ⊥于G ，连接EG 、FG ．∵AE BC ⊥，FM AE ⊥，∴FM ∥EC 又∵EM AF ⊥，CD AF ⊥，∴EM ∥CF ∴四边形EMFC 为平行四边形，∴MF EC = 又∵AE BC ⊥，CG AD ⊥且BC ∥AD ∴90EAG AGC GCE AEC ∠=∠=∠=∠=︒ ∴四边形AGCE 为矩形∴EC AG =，EG AC =，∴MF AG = 又∵MF ∥AG∴四边形AGFM 为平行四边形，∴GF AM = ∵AM EF ⊥，∴GF EF ⊥，即90GFE ∠=︒∴GF =12AM ==GMF E DC BA。