巧解线性规划中最优解的问题
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１ １
且｛一 ３ ０ 则Ｚ ２ 的 小 于 【 ２＋ ≥ ， ＝ ＋ 最 值等
Ｙ≥Ｘ
直 线 Ｙ＝一 ＋ ｚ应 与 边 界 线 Ａ Ｂ或 Ａ Ｃ或 Ｂ 重 Ｃ
ｍ ｍ
Ａ．２
Ｂ． ３
Ｃ． ５
Ｄ． ９
合 ． 要使 目标 函数取得 最小值 ，只 能与直 线 Ａ 而 Ｃ重
２ １ 年第 ｌ 期 ００ ２
福建 中学数 学
３ ５
又 由 ． 关于直 线 Ｘ＝７对称 ， 厂 ） （
可得 ｆ ７ ） （ 一Ｘ ＝ｆ（ ＋Ｘ 化 为 ／（ ：ｆ（４一ｔ ， ７ ）， ｆ ） １ ） 故有 ｆ １ 一 ） ｆ ６ ｆ ， （４ ｆ＝一 （ 一 ） 可化 为 ｆ ｔ １） 厂 ｆ ， （＋ ６ ＝＿ ） （ 即得 ｌ 是 ｆ ｘ 的一个 周期 ． ６ （）
１ １
解析 本题是线性规划 的最优解 问题最典 型的 形 式 ．易 知 ：目标 函数 的最 优解 个 数为 一个 ，其可 行 域 有 三 条 边 界 线 ， ① Ｘ＝１，② Ｘ ２ ＋３ 一 ｙ ＝０，
规律 ４ 奇偶性 加奇 偶性 可推 出新 的奇偶 性 由于 奇偶 性 从 图象 角度 看 其实 就 是对 称 性 ，故
此规 律也 可说成 两个 对称 性可推 出新 的对 称性 ．
例 ５ （０ ９年高考 全 国卷 Ｉ・ ｌ 题 改 编） 函 ２０ 理 １ 数 ｆ ｘ 的 定义 域 为 Ｒ ，若 ｆ ｘ ） ｆｘ ） （） （＋１与 （一１都是 奇
多结 论 ． 有 关 函数 奇偶 性 、 对 称性 和 周期 性 之 间 的规 律
还 有 不少 ，但 这 里 已经 没 有 必要 一 一 罗列 了 ．正 所
谓“ 人 以鱼 不 如授人 以渔 ” 只要 能做 到恰 当地表 达 授 ， 已知条 件 ，并且 在 它们 之 间架起 一道 桥 梁 ，那么 新 的性 质 也 就应 运 而 生 了 ．掌握 了这种 通 性通 法 ，我 们甚 至可 以不 必记住 那 些具 体 的定理 和规律 ． 最 后再举 一高 考题 作为 应用 ． 已 知 定 义 在 Ｒ 上 的 函 数 Ｙ＝ｆ（）满 足 条 件 ｘ
一
个 或无 数个 ．一般 地有 ：
例 １ （００年 高考 福建 卷 ・ ５ ２１ 文 ）若 ， Ｙ∈Ｒ ，
（）最优解 个数 为一 个 时 ，可在 可行 域 的边界 １
３ ６
ｆ Ｘ≥１
福建 中学数学
２ １ 年第 ｌ ００ ２期
意义 ． 为使 目标 函数 Ｚ ＋ ｙ的最 优解有 无数 多个 ， ： ｍ
化 为 ｆ ｔ＝一 （２ ） （ ） ＿ 一 一ｔ ， 厂
③ 函数 ｆｘ 是偶 函数 ； （） ④ 函数 ｆｘ 在 Ｒ 上是单 调 函数 ． （） 在上 述 四个命题 中 ，真命 题 的序号 是— — 解 ． 容 易 看 出 ①② 正 确 ， 由 第 二 个 条 件
故 有 一 ２ ｔ＝一 一 一 ） ｆ（ 一 ） 厂（２ ｆ ，易 得 ｆ ｔ ４ ＝ｆ ｔ （＋ ） （ ）． 因此 ４是 ｆｘ 的一 个周期 ． （） 这 是第一 个结 论 ，也是规 律 ３的体 现 ． 继 续 寻 找 结 论 ， 由 － 一 １… ｆ ｘ ） ４ 是 厂 一 ） （ （ １和 ｆ ｘ 的一 个周 期 ，可 得 ＿ 一 一１ ） ｆ ｘ ＋ ） （） 厂 Ｘ ＋４ … （ １ ４ ， （
说 明④ 错 ． 即得 答 案 ：① ②③ ．
巧 解 线 性 规 划 中最优（６ １０ ３２ ０ ） 交点 处取得 ； （）最优解 个 数为无 数个 时 ，可 在可 行域 的一 ２ 条 边 界 上取 得 ，此 时 目标 函数 所对 应 的直 线 与这 条
②函数ｆｘ 的图象关于点（÷ ０对称； （ ） 一， ）
斗
解 由－Ｊ ） 奇 函数得 ／ 一 ＋１＝ － ＋）， 厂ｆ 为 （＋１ （ ） 一 １ 厂
化 为 ／ ，＝－ （ 一 ） （ ） ｆ ２ ｔ， 又 由 ｆ ｘ １为奇 函数 得 ， －（Ｘ １… ｆ ｘ ） （一） 厂一 — ） （ １ ，
Ｙ Ｉ 一 是奇 函 数 可得 ／（ ） ／ 一 ，为 厂 ） 一 一 ＝一 ）
１
了能和第一个条件联立， 将其化为一 （ ＝ （ 一 ） ｆｘ ／ 三 ， ）
Ｚ
联立得／一 一 ） 厂 ， （ 为偶函数， （ 丢＝ （＋ ） 故ｆｘ ） 同时
Ｚ
即 ＿一 ＋３＝一 （ ３ ，因此 第 二 个 结论 为 ＿ ３ 厂 ｘ ） ｌ ＋ ） （ 厂 厂 ＋） （ 是奇 函数 或者 说 ｆｘ 关于 点 （，） 称 ． （） ３ ０对 继 续利用 这种“ 二为一 ” 合 的推 导方法 ， 得到 更 可
在线 性 规 划 问题 中 ，线 性 约束 条 件 所确 定 的 可
利 用 以 上两 个 结论 来 处理 近 年 高考 题 中的线 性
规 划客 观 题 ，简洁 明快 ，达 到化 繁 为 简 的 目的 ，下 面举 例说 明 ．
行 域包 括 其边 界 ，则 目标 函数 的最 优 解 个数 往 往 是
边 界重合 ．
近 几 年来 ，在各 省 高 考试 卷 中 ，线 性 规划 问题
以选 择题 或填 空 题 的形 式 出现 ，而线 性 目标 函数 的
最优解是考查 的重点 ．此类问题的常规解法是借助 图形 平移 直线 求 最值 ， 因而需 要 严格 作 图 ，否 则 很 容易 导致错 误 的结果 ．
函数 ，则 有何结 论？
ｆ ＋ ）一（ ， ＝ 一 ） （ 要＝厂 ） 且Ｙ ／ 是奇函 给出 ｘ 数， 以
‘ ｔ
分 析 从 以上 问题 的解 决不 难发 现 ，不 管条件 如
何奇 特 ，只要 有针 对 性地 将 两 个条 件合 二为 一 ，即
可破解 ．
下 四个命 题 ： ① 函数 ｆｘ 是 周期 函数 ； （）
且｛一 ３ ０ 则Ｚ ２ 的 小 于 【 ２＋ ≥ ， ＝ ＋ 最 值等
Ｙ≥Ｘ
直 线 Ｙ＝一 ＋ ｚ应 与 边 界 线 Ａ Ｂ或 Ａ Ｃ或 Ｂ 重 Ｃ
ｍ ｍ
Ａ．２
Ｂ． ３
Ｃ． ５
Ｄ． ９
合 ． 要使 目标 函数取得 最小值 ，只 能与直 线 Ａ 而 Ｃ重
２ １ 年第 ｌ 期 ００ ２
福建 中学数 学
３ ５
又 由 ． 关于直 线 Ｘ＝７对称 ， 厂 ） （
可得 ｆ ７ ） （ 一Ｘ ＝ｆ（ ＋Ｘ 化 为 ／（ ：ｆ（４一ｔ ， ７ ）， ｆ ） １ ） 故有 ｆ １ 一 ） ｆ ６ ｆ ， （４ ｆ＝一 （ 一 ） 可化 为 ｆ ｔ １） 厂 ｆ ， （＋ ６ ＝＿ ） （ 即得 ｌ 是 ｆ ｘ 的一个 周期 ． ６ （）
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解析 本题是线性规划 的最优解 问题最典 型的 形 式 ．易 知 ：目标 函数 的最 优解 个 数为 一个 ，其可 行 域 有 三 条 边 界 线 ， ① Ｘ＝１，② Ｘ ２ ＋３ 一 ｙ ＝０，
规律 ４ 奇偶性 加奇 偶性 可推 出新 的奇偶 性 由于 奇偶 性 从 图象 角度 看 其实 就 是对 称 性 ，故
此规 律也 可说成 两个 对称 性可推 出新 的对 称性 ．
例 ５ （０ ９年高考 全 国卷 Ｉ・ ｌ 题 改 编） 函 ２０ 理 １ 数 ｆ ｘ 的 定义 域 为 Ｒ ，若 ｆ ｘ ） ｆｘ ） （） （＋１与 （一１都是 奇
多结 论 ． 有 关 函数 奇偶 性 、 对 称性 和 周期 性 之 间 的规 律
还 有 不少 ，但 这 里 已经 没 有 必要 一 一 罗列 了 ．正 所
谓“ 人 以鱼 不 如授人 以渔 ” 只要 能做 到恰 当地表 达 授 ， 已知条 件 ，并且 在 它们 之 间架起 一道 桥 梁 ，那么 新 的性 质 也 就应 运 而 生 了 ．掌握 了这种 通 性通 法 ，我 们甚 至可 以不 必记住 那 些具 体 的定理 和规律 ． 最 后再举 一高 考题 作为 应用 ． 已 知 定 义 在 Ｒ 上 的 函 数 Ｙ＝ｆ（）满 足 条 件 ｘ
一
个 或无 数个 ．一般 地有 ：
例 １ （００年 高考 福建 卷 ・ ５ ２１ 文 ）若 ， Ｙ∈Ｒ ，
（）最优解 个数 为一 个 时 ，可在 可行 域 的边界 １
３ ６
ｆ Ｘ≥１
福建 中学数学
２ １ 年第 ｌ ００ ２期
意义 ． 为使 目标 函数 Ｚ ＋ ｙ的最 优解有 无数 多个 ， ： ｍ
化 为 ｆ ｔ＝一 （２ ） （ ） ＿ 一 一ｔ ， 厂
③ 函数 ｆｘ 是偶 函数 ； （） ④ 函数 ｆｘ 在 Ｒ 上是单 调 函数 ． （） 在上 述 四个命题 中 ，真命 题 的序号 是— — 解 ． 容 易 看 出 ①② 正 确 ， 由 第 二 个 条 件
故 有 一 ２ ｔ＝一 一 一 ） ｆ（ 一 ） 厂（２ ｆ ，易 得 ｆ ｔ ４ ＝ｆ ｔ （＋ ） （ ）． 因此 ４是 ｆｘ 的一 个周期 ． （） 这 是第一 个结 论 ，也是规 律 ３的体 现 ． 继 续 寻 找 结 论 ， 由 － 一 １… ｆ ｘ ） ４ 是 厂 一 ） （ （ １和 ｆ ｘ 的一 个周 期 ，可 得 ＿ 一 一１ ） ｆ ｘ ＋ ） （） 厂 Ｘ ＋４ … （ １ ４ ， （
说 明④ 错 ． 即得 答 案 ：① ②③ ．
巧 解 线 性 规 划 中最优（６ １０ ３２ ０ ） 交点 处取得 ； （）最优解 个 数为无 数个 时 ，可 在可 行域 的一 ２ 条 边 界 上取 得 ，此 时 目标 函数 所对 应 的直 线 与这 条
②函数ｆｘ 的图象关于点（÷ ０对称； （ ） 一， ）
斗
解 由－Ｊ ） 奇 函数得 ／ 一 ＋１＝ － ＋）， 厂ｆ 为 （＋１ （ ） 一 １ 厂
化 为 ／ ，＝－ （ 一 ） （ ） ｆ ２ ｔ， 又 由 ｆ ｘ １为奇 函数 得 ， －（Ｘ １… ｆ ｘ ） （一） 厂一 — ） （ １ ，
Ｙ Ｉ 一 是奇 函 数 可得 ／（ ） ／ 一 ，为 厂 ） 一 一 ＝一 ）
１
了能和第一个条件联立， 将其化为一 （ ＝ （ 一 ） ｆｘ ／ 三 ， ）
Ｚ
联立得／一 一 ） 厂 ， （ 为偶函数， （ 丢＝ （＋ ） 故ｆｘ ） 同时
Ｚ
即 ＿一 ＋３＝一 （ ３ ，因此 第 二 个 结论 为 ＿ ３ 厂 ｘ ） ｌ ＋ ） （ 厂 厂 ＋） （ 是奇 函数 或者 说 ｆｘ 关于 点 （，） 称 ． （） ３ ０对 继 续利用 这种“ 二为一 ” 合 的推 导方法 ， 得到 更 可
在线 性 规 划 问题 中 ，线 性 约束 条 件 所确 定 的 可
利 用 以 上两 个 结论 来 处理 近 年 高考 题 中的线 性
规 划客 观 题 ，简洁 明快 ，达 到化 繁 为 简 的 目的 ，下 面举 例说 明 ．
行 域包 括 其边 界 ，则 目标 函数 的最 优 解 个数 往 往 是
边 界重合 ．
近 几 年来 ，在各 省 高 考试 卷 中 ，线 性 规划 问题
以选 择题 或填 空 题 的形 式 出现 ，而线 性 目标 函数 的
最优解是考查 的重点 ．此类问题的常规解法是借助 图形 平移 直线 求 最值 ， 因而需 要 严格 作 图 ，否 则 很 容易 导致错 误 的结果 ．
函数 ，则 有何结 论？
ｆ ＋ ）一（ ， ＝ 一 ） （ 要＝厂 ） 且Ｙ ／ 是奇函 给出 ｘ 数， 以
‘ ｔ
分 析 从 以上 问题 的解 决不 难发 现 ，不 管条件 如
何奇 特 ，只要 有针 对 性地 将 两 个条 件合 二为 一 ，即
可破解 ．
下 四个命 题 ： ① 函数 ｆｘ 是 周期 函数 ； （）
