太原理工大学研究生期末考试组合数学2012年答案

2012考研数二真题答案第一题：解析：本题考查的是集合的基本概念和运算。

给出的条件是集合A={2,3,4,5,6}，集合B={1,3,5,7,9}，我们需要求出(A∪B)∩(A-B)的结果。

首先，求并集A∪B，即将A和B中的元素合并，并去除重复的元素。

得到A∪B={1,2,3,4,5,6,7,9}。

其次，求差集A-B，即是在A中去掉与B中重复的元素。

得到A-B={2,4,6}。

最后，求交集(A∪B)∩(A-B)，即将A∪B和A-B的结果中相同的元素找出来。

得到(A∪B)∩(A-B)={2,4,6}。

因此，答案为{2,4,6}。

第二题：解析：本题考查的是概率基本知识。

已知事件A发生的概率P(A)=0.8，事件B发生的概率P(B)=0.5，需要求事件A和B同时发生的概率P(A∩B)。

根据概率的定义，事件A和B同时发生的概率为事件A和B的交集的概率。

即，P(A∩B)=P(A)×P(B)。

代入已知条件，P(A∩B)=0.8×0.5=0.4。

因此，答案为0.4。

第三题：解析：本题考查的是函数的性质和零点的概念。

已知函数f(x)满足f(x+f(x))=1，我们需要求函数f(x)的零点。

零点即是函数在该点的取值为0的点。

即，求解方程f(x)=0。

由已知条件得f(x+f(x))=1，代入f(x)=0，得f(x+0)=1。

因此，f(x+0)=1，即f(x)=1。

所以，函数f(x)的零点为x=1。

第四题：解析：本题考查的是极限的计算。

已知数列{an}的通项公式为an=(n+1)^2/n^2，需要求该数列的极限lim(n→∞)an。

要求数列的极限lim(n→∞)an，即是当n趋于无穷大时，数列的通项an的极限值。

计算：lim(n→∞)an=lim(n→∞)((n+1)^2/n^2)=lim(n→∞)(n^2+2n+1)/n^2=lim(n→∞)(1+2/n+1/n^2)=1+0+0=1因此，数列{an}的极限为1。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C 【解析】：221lim1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直的22l i m 11x x x x →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn - 【答案】：C【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()xxnxx xnxx xnxf x e e en e een e enen =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限0(,)limx y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（B ）若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)lim x y f x y x y→→+存在【答案】：【解析】：由于(,)f x y 在()0,0处连续，可知如果22(,)limx y f x y x y→→+存在，则必有00(0,0)lim (,)0x y f f x y →→==这样，2200(,)limx y f x y x y→→+就可以写成2200(,)(0,0)limx y f x y f x y∆→∆→∆∆-∆+∆，也即极限2200(,)(0,0)limx y f x y f x y∆→∆→∆∆-∆+∆存在，可知00lim0x y ∆→∆→=，也即(,)(0,0)00f x y f x y o∆∆-=∆+∆+。

2012数二考研真题答案2012年的数学二真题是考研数学复习中的重要一环，对于考生来说，掌握这些真题的答案是非常重要的。

在本文中，我们将深入探讨2012年数学二真题的答案，为考生提供一些参考和指导。

首先，我们来看一道选择题。

题目如下：已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，对于任意x∈[0,1]，均有0≤f(x)≤1，那么函数f(x)在区间[0,1]上至少有几个不动点？要解答这道题，我们可以通过分析函数图像来得到答案。

根据题目中给出的条件，我们可以确定函数f(x)在区间[0,1]上是递增的，且在x=0和x=1处取得最小值和最大值。

因此，函数f(x)至少有两个不动点，即x=0和x=1。

接下来，我们来看一道填空题。

题目如下：设A是3阶方阵，且满足A^2-3A+2I=0，其中I为3阶单位矩阵，则A的特征值为______。

要解答这道题，我们需要运用矩阵的特征值和特征向量的概念。

根据题目中给出的条件，我们可以得到A^2-3A+2I=0。

将该方程进行化简，得到A^2-3A=-2I。

根据矩阵的特征值和特征向量的定义，我们知道特征值是使得矩阵与特征向量相乘等于特征向量的常数。

因此，我们可以得到特征值为2和1。

最后，我们来看一道计算题。

题目如下：已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，求f(x)的极值点。

要解答这道题，我们需要求出函数f(x)的导数，并令导数等于0，求出其极值点。

首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)=3x^2-6x+3。

然后，令f'(x)=0，解方程得到x=1。

将x=1带入函数f(x)，得到f(1)=0。

因此，函数f(x)在x=1处取得极小值。

通过以上三道题目的解答，我们可以看出，解题的关键在于理解题目的要求，灵活运用所学的数学知识和方法。

在考研数学复习中，做真题是非常重要的，通过做真题可以提高解题能力和应试技巧。

因此，考生在备考过程中，应该多做一些真题，并对答案进行仔细分析和总结。

2012年研究生入学考试数学三真题解析（纯word ）版一、 1. 解析：C 由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线 由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线由11lim ,12x y x →-=≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）2. 解析： A2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!x x nx x x nx x x nxn f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--选（A ） 3. 解析：B原式=2220()dx f x y dy+⎰4. 解析：D1211~,n n αα-且11(1)nn n α∞--∑绝对收敛.131.22α-α∴>>即又21(1)n n n α∞-=-∑条件收敛.02112αα∴<-≤⇒≤<322α∴<<，选D5. 解析：C343400c c αα⎛⎫⎪+= ⎪⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例.1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C或134134011,,0110c c c ααα-=-=134,,ααα∴线性相关，选C6. 解析：B111100100100110110110000001001Q P Q AQ P AP , ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100110011011100012001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100110110010002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选B.7. 解析：D1,0,1)()()0,x y x y f x y f x f y <<⎧==⎨⎩（，其他22{1}(,)4D DS P X Y f x y d D S πΩ+≤=σ==⎰⎰，选8. 解析：B212~(0,2)~(0,1)X X X X N N --σ⇒23422~(0,2)~(0,1)X X X X N N +-+-σ⇒~(1)X X t -即1234~(1),2X X t X X -+-选B二、 9.解析：e解：原式=tan 11cos sin tan 14lim (1(tan 1))x x xx x x π---→⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=41sin cos limcos cos sin x x x x x ee π→-⋅-=10. 解析： 40[()]()(1)(0)x dyf f x f x dx dyf f dx ''''===-而1()2x f x '<=时，(1)(0) 2. 4.x dyf f dx=∴-===于是11. 解析：2x dzdx dy==-解：令ρ=则(,)220(),(0,1)1f x y x y f ρ-+-==(,)12(1)0()f x y x y ρ-=--+(0,1)(0,1)2,(0,1)1,2.x y f f dzdx dy ''==-∴=-12. 解析：4 ln2 解：12014(4)S x x dx x dxx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰1324ln 24ln 222=-+-=13. 解析：-27 解：|||| 3.B A =-=-**2||||||3||27.BA B A A =⋅=-⋅=-14.解析：34解：()()()(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==- AC φ= ，ABC φ∴=.1()32(|)21()43P AB P AB C P C ∴===-.三、 15.解析：原式222cos 22cos 41lim x xx x ee x -+-→-=⋅2430022cos 2(sin )lim lim 4x x x x x x x x →→-+-==2011cos 1lim .2312x x x →-==16.解析：xDe xydxdy⎰⎰1xxe dx ydy=⎰1122001111(1)0222xx x x e dx e x e dx =-=-⎰⎰ 2111121(22)022222x e e e x x e ---=--+=-=.17.解析：1）设成本函数为(,),C x y 则(,)202,x x C x y '=+对x 积分得，2(,)20(),4x C x y x y +ϕ=+再对y 求导有，(,)()6y C x y y y'ϕ'==+，再对y 积分有，21()62y y y c ϕ=++所以，221(,)20642x C x y x y y c=++++ (0,0)10000,10000,C c =∴= 于是221(,)2061000042x C x y x y y =++++2）若50x y +=，则50(250)y x x =-≤≤，代入到成本函数得221()206(50)(50)1000042x C x x x x =++-+-+=2336115504x x -+所以，令3()360,24,26,2C x x x y '=-===得总成本最小为(24,26)11118C =3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24,26)32,x C '=即在要求总产量为50件时，在甲产品为24件时，改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222() dx x y dy+⎰（B）222()dx f x y dy+⎰（C）2221() dx x y dy+⎰⎰（D）2221() dx x y dy+⎰⎰（4）已知级数11(1)ninα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12<α≤1（C ）1<α≤32（D ）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22｛1｝（ ）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（ ）（A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ（D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim(tan)x x xxπ-→（10）设函数01(),(()),21,1xdyxf x y f f xdxx x=⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求___________.（11）函数(,)z f x y=满足10,xy→→=则(0,1)dz=_______.（12）由曲线4yx=和直线y x=及4y x=在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11 (),(),23P AB P C==则CP AB（）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos4limx x xe ex-→-（16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy⎰⎰，其中D为由曲线y y==所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2 x（万元/件）与6+y（万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y（万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx++≥+-<< -（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x"'+-=及()()2x f x f x e '+=1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt =-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b=有无穷多解，求a，并求Ax b=的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x xT T=A A的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y -ρ与.（23）（本题满分10分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度； （2）()E U V +.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

2012研究生管理学试题一、单项选择题(在备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题后的括号内，每小题1分，共20分)1.管理的二重属性是指( )：CA.科学性与艺术性B.自然属性和科学属性C.自然属性与社会属性D.科学属性与社会属性2.根据马斯洛的需要层次理论，人的行为主要由（）决定。

DA.需求层次B.激励程度C.精神状态D.主导需求3.计划决策的关键是( )。

CA确定目标 B评价各种方案 C选择方案 D制订派生计划4.木桶原理是下列原理中( )的形象说法。

AA限定因素原理 B许诺原理 C灵活性原理 D改变航道原理5．管理需要信息沟通，而信息沟通必须具备的三个关键要素是（）。

CA.传递者、接收者、信息渠道B.发送者、传递者、信息内容C.发送者、接收者、信息内容D.发送者、传递者、接收者6.对于处于高层的管理人员，三种技能的重要性，按以下顺序排列( )。

DA.概念技能，技术技能，人际技能B. 技术技能，要领技能，人际技能C. 概念技能，人际技能，技术技能D. 人际技能，技术技能，要领技能7.管理宽度按算术级数增加时，主管人员和下属间的关系将以( )。

DA等比级数增加 B等比级数减少 C几何级数增加 D几何级数减少8.“人际关系学说”创建的基础是（）。

AA.霍桑试验B.技术分析C.数学模型D.权变学说9.被称为"斯隆模型"的组织结构是（）。

BA.直线型组织结构B.职能型组织结构C.事业部制组织结构D.矩阵结构10.“社会人”的基本假设之一是( )。

DA人们把追求感情当成主要目的 B人是最勤奋的C人是为完成组织目标而工作的 D人的工作动机主要由社会需求而引起11.判断一个组织分权程度的主要依据是（）。

DA.按地区设置多个区域性部门B.设置多个中层的职能机构C.管理幅度、管理层次增加D.命令权的下放程度12．如果你是公司的总经理，你将授予哪种人以决策和行动的权力？( )BA.参谋人员B.直线人员C.咨询人员D.一线员工13．事业部制的主要特点是( )。

2012年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）B （4）D （5）D （6）D （7）C （8）B 二、填空题（9）1 （10）π4（11）0 （12）x （13）(1,0)− （14）27− 三、解答题（15）（Ⅰ）1a =.（Ⅱ）1k =. （16）(1,0)为极大值点,极大值为12e −.(1,0)−为极小值点,极小值为12e−−.（17）()22π2,e 13S V ==−. （18）1615. （19）（Ⅰ）()e xf x =.（Ⅱ）(0,0). （20）略.（21）（Ⅰ）略. （Ⅱ）1lim 2n n x →∞=. （22）（Ⅰ）41a −.（Ⅱ）当1a =时无解.当1a =−时,TT(1,1,1,1)(0,1,0,0)k =+−x ，k 为任意常数.（23）（Ⅰ）1a =−.（Ⅱ）正交变换矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q ，标准形222326f y y =+.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】由题可知,22(1)1(1)(1)x x x x y x x x ++==−−+,故1lim ,x y →=∞所以1x =为垂直渐近线; 又由lim 1x y →∞=,故1y =为水平渐近线,无斜渐近线,故曲线渐近线的条数为2.（2）【答案】A.【解答】因为2100()(0)(e 1)(e 2)(e )(0)lim lim(1)(1)!x x nx n x x f x f n f n x x−→→−−−−'===−−，所以选A. （3）【答案】B.【解答】因为0(1,2,)n a n >=，所以数列{}n S 单调递增.如果{}n S 有界，由单调有界收敛准则知数列{}n S 极限存在，而1n n n a S S −=−，则1lim lim()0n n n n n a S S −→∞→∞=−=，即数列{}n a 收敛. 由此可知数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分条件. 反之，若{}n a 收敛，{}n S 未必收敛，例如，取1n a =(1,2,)n =，n S n =无上界，故选B. （4）【答案】D. 【解答】因为22π21πe sin d 0,x I I x x −=<⎰故21I I <；222π3π31π2πe sin d e sin d x x I I x x x x −=+⎰⎰22ππ(π)(2π)0esin d e sin d 0x x x x x x ++=−+>⎰⎰，故31I I >.所以选D.(5)【答案】D. 【解答】因为(,)0,f x y x∂>∂所以,固定y 值由12>x x 得1121(,)(,)>f x y f x y ，同理当(,)0,f x y y∂<∂固定x 值由12<y y 得2122(,)(,)>f x y f x y ,所以有答案D.（6）【答案】D.【解答】由二重积分的区域对称性可知π1552πsin 2(1)d d d (1)d πDxx y x y x x y y −−=−=−⎰⎰⎰⎰.(7)【答案】C.【解答】由已知可得134,,0,=ααα所以134,,ααα线性相关,选C. (8)【答案】B.【解答】1223123100(,,)(,,)110001Q ααααααα⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，故11100110001−−⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ ，1100100100100100110110010110010001001002001002−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P AP ，所以选B.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】1.【解答】方程21e yx y −+=两边分别对x 求导，得d d 2e d d y y yx x x−= ①， 由0=x ，0=y ，得d 0d x yx==. 对①式两边再对x 求导，得22222d d d 2e e d d d y y y y y x x x ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭， 由0=x ，0=y ，d 0d x yx==，得22d 1d x yx==.（10）【答案】π4. 【解答】2222111lim ()12n n n n n n →∞++++++122222*********πlim ...lim d 14121111n n n i x n n x n i n n n n →∞→∞=⎛⎫ ⎪ ⎪=++=== ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑⎰. （11）【答案】0. 【解答】因为1(ln ),z f x y =+所以211,z z f f x x y y ∂∂−''==⇒∂∂20z zx y x y∂∂+=∂∂.（12）【答案】x .【解答】由题知该方程可化为d 3d x xy y y+=,为一阶线性微分方程,带入公式求解可得 3xy y C =+,带入初始条件可得0C =,最终可得结果.（13）【答案】(1,0)−. 【解答】由曲率公式()3/221y k y ''='+，曲线方程代入公式可得.（14）【答案】27−.【解答】由初等矩阵的性质可知010100001B PA A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,所以,**27BA PAA ==−.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分） 解:（Ⅰ）0011sin lim 1lim 1sin sin x x x x x x x x x →→+−⎛⎫−=−=⎪⎝⎭,1a =.（Ⅱ）221000sin 1()sin sin sin lim lim lim sin k k k x x x x x xf x a x x x x x x x x x x x+→→→+−−−+−−== 22110001(sin )(1)1cos 2lim lim lim (2)(2)k k k x x x xx x x x x k x k x +++→→→−+−===++， 因为它们为同阶无穷小量，所以1k =.（16）（本题满分10分）解:()()22222221e0,e0x y x y ffx xy xy++−−∂∂=−==−=∂∂，可解得1,0.x y =⎧⎨=⎩或1,0.x y =−⎧⎨=⎩. 因为22222222222222222(3)e,(1)e ,(1)e xy x y x y f f f x x x y y x xyx y+++−−−∂∂∂=−=−=−∂∂∂∂，所以当1,0.x y =⎧⎨=⎩时,11222e ;0;e A B C −−=−==−.又因为20,0AC B A −><,所以(1,0)为极大值点,极大值为12e−.同理当1,0.x y =−⎧⎨=⎩时,验证可得其为极小值点,极小值为12e −−.（17）（本题满分12分）解:设切点(,)A a b ,切线方程斜率为k ，则1k a=,ln b a =,并且(0,1)与A 两点共线,直线方程为1b ka −=,由此解得221e ,2,ea b k ===.切线方程:211,e y x =+与x 轴交于B 坐标为(1,0),直线AB 的方程22:(1)e 1AB l y x =−−,则 区域D 的面积22e 2e2222112(1)2ln d ln e 1e 12e 1e 1D x x x S x x x x x ⎛⎫−−⎡⎤=−=−−=+−+= ⎪⎢⎥−−⎣⎦⎝⎭⎰区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积()()22e 22212(1)2ππln d e 1e 13x V x x ⎡⎤−⎛⎫=−=−⎢⎥⎪−⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰.（18）（本题满分10分）解:如图，利用极坐标计算，由cos ,sin .x r r r θθ=⎧⎨=⎩，得π1cos 0d d cos sin d Dxy r r r r θσθθθ+=⎰⎰⎰⎰π401sin cos (1cos )d 4θθθθ=+⎰ π401cos (1cos )d cos 4θθθ=−+⎰141116cos (1)d 415t t t t θ−=+=⎰.（19）（本题满分10分）解:（Ⅰ）由()()2()0,f x f x f x '''+−=可知特征方程为220λλ+−=,通解为yxO2πD1cos r θ=+212e e x x y C C −=+,将其带入方程()()2e f x f x ''+=,可得2122e 5e 2e x x x C C −+=， 121,0C C ==.所以()e x f x =.（Ⅱ）由220()()d xy f x f t t =−⎰,得22'2e e d 1,xxt y x t −=+⎰2222202e e d 4e e d 2xxxt xt y t x t x −−''=++⎰⎰,令0,0y x ''==,当0x >时，0y ''>；当0x <时，0y ''<. 所以(0,0)为其拐点.（20）（本题满分11分）证明：令21()ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+−−−<<−，则有()()f x f x =−，为偶函数.所以只需讨论0x >即可.()2211212()lnsin ln sin 11111x x x x f x x x x x x x x x x x +−+'=+−−=+−−−+−−−， ()()22422416(1)()cos 1,()sin 11x x f x x f x x x x −'''''=−−=+−−.当01x <<时，()0f x '''>，则()f x ''单调递增，且(0)2f ''=，所以()0f x ''>. 所以，当01x <<时，()f x '单调递增，且(0)0f '=，所以()f x 递增，且(0)0f =， 所以，当01x <<时，结论成立.同理，在10x −<<时，结论成立.（21）（本题满分11分） 解: （Ⅰ）令1()1,nn n F x x x x −=+++−则12()(1)21n n n F x nx n x x −−'=+−+++，所以该函数在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增.因为1111()102222n n n F =++−=−<, (1)10n F n =−>,所以有零点定理可知方程在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个实根.又函数单调,所以有且仅有一个实根. （Ⅱ）先证明单调性.()()11111111(1)(1)00n n n n n n n n n n n n n n n n F x F x x x x x x x x −−++++++−=++−−++−=+>,而函数()n F x 单调,所以1n n x x +>,所以数列{}n x 单调递减.又1,12n x ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以数列是有界的.因此数列收敛,且lim 0n n n x →∞=.所以由1(1)1101nn n n n n nn nx x x xx x −−++−=−=−,两端取极限可得1lim 2n n x →∞=.（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）4221(1)(1)A =−=−+a a a ；（Ⅱ）由题可知当0A =时，解得1=a 或1=−a .当1a =时，增广矩阵作初等变换得，()1100101101|0011000002⎛⎫⎪−⎪→ ⎪⎪−⎝⎭A β，()()|r r <A A β，故方程组无解；当1a =−时，增广矩阵作初等变换得，()1001001011|0011000000−⎛⎫⎪−−⎪→ ⎪− ⎪⎝⎭A β，()()|3r r <=A A β，方程组有解，并可求得通解为T T (1,1,1,1)(0,1,0,0)x =+−k ，其中k 为任意常数.（23）（本题满分11分）解: （Ⅰ）由二次型的秩为2,知T()2r =A A ,故()2r =A ，对A 作初等变换，1011010110111000101000a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→⎪ ⎪−+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ，可得1a =−.（Ⅱ）当1a =−时，得T202022224⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A .()()T 2020*******λλλλλλλ−−⎛⎫ ⎪−=−−=−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭E A A ，可得T A A 的特征值1230,2,6λλλ===.当10λ=时，解方程组T(0)−E A A x =0，得相应的特征向量()T11,1,1=−α；当22λ=时，解方程组T(2)−E A A x =0，得相应的特征向量()T21,1,0=−α；当36λ=时，解方程组T(6)−E A A x =0，得相应的特征向量()T31,1,2=α.因为特征值各不相等，所以特征向量相互正交，故只需单位化，得()T111,1,13=−β，()T 211,1,02=−β，()T 311,1,26=β.于是得到正交矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q . 在正交变换=x Qy 下，二次型的标准型为222326f y y =+.。

最新太原理⼯⼤学研究⽣期末考试组合数学答案1. 填空(本题共20分，共10空，每空2分)1) 三只⽩⾊棋⼦和两只红⾊棋⼦摆放在5*5的棋盘上，要求每⾏每列只放置⼀个棋⼦，则共有 1200 种不同的摆放⽅法。

答案：1200!525=?C 2) 在(5a 1-2a 2+3a 3)6的展开式中，a 12?a 2?a 33的系数是 -81000 。

答案：810003)2(5!3!1!2!632-=?-3) 有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第⼀组数⾥的最⼩数⼤于第⼆组的最⼤数，共有121+?-n n 种⽅案。

4) 六个引擎分列两排，要求引擎的点⽕的次序两排交错开来，试求从⼀特定引擎开始点⽕有 12 种⽅案。

答案：12121213=??C C C5) 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有 320 个。

6) 要举办⼀场晚会，共10个节⽬，其中6个演唱节⽬，4个舞蹈节⽬。

现要编排节⽬单，要求任意两个舞蹈节⽬之间⾄少要安排⼀个演唱节⽬，则共可以写出 604800 种不同的节⽬单。

答案：604800!4!637=??C 7) 把n 男n ⼥排成⼀只男⼥相间的队伍，共有2)!(2n ? 种排列⽅法；若围成⼀圆桌坐下，⼜有)2/()!(22n n ? 种⽅法。

8) n 个变量的布尔函数共有nn2 个互不相同的。

9) 把r 个相异物体放⼊n 个不同的盒⼦⾥，每个盒⼦允许放任意个物体，⽽且要考虑放⼊同⼀盒中的物体的次序，这种分配⽅案数⽬为),1(r r n P -+ 。

答案：),1()!1()!1()1()2)(1(r r n P n r n r n n n n -+=--+=-+++2. (本题10分)核反应堆中有α和β两种粒⼦，每秒钟内⼀个α粒⼦分裂成三个β粒⼦，⽽⼀个β粒⼦分裂成⼀个α粒⼦和两个β粒⼦。

若在时刻t=0时，反应堆中只有⼀个α粒⼦，问t=100秒时反应堆中将有多少个α粒⼦？多少个β粒⼦？解: 设t 秒钟的α粒⼦数位a t ，β粒⼦数为b t , 则==+==---0,12300111b a b a b b a t t t t t)(3,03210211*==+==---b b b b b b a t t t t t（*）式的特征⽅程为0322=--x x ，解得3,121=-=r r ，即tt t A A b 3)1(21?+-?=代⼊初始值3,010==b b ，解得43,4321=-=A A tt t b 343)1(43?+-?-=∴ 111343)1(43---?+-?-==t t t t b a)13(43),13(4310010099100-=+=∴b a3. (本题共10分，共2⼩题，每⼩题5分)①设1212n a a a n n P P P =，12,,n P P P 是互不相同的素数，设求能除尽n 的正整数数⽬为多少？解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数P i 从0到a i ，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数⽬为)1()1)(1(21+++n a a a 个。

B 第 1 页 共 6 页 考试方式： 闭卷 太原理工大学 《组合数学》试卷（B ） 适用班级 硕士研究生 考试日期 2012.07.02 时间 120 分钟 共 6 页 一．填空题(每个空3分，共30分) 1． 序列},1,1,1{ 的指母函数是 。

2 有2个相同的红球，3个相同的白球排成一圈不同的排列方式有 种。

3． n 个变量的布尔函数共有 个互不相同。

4． 将6个不同的球放入4个相同的盒子里，并且无空盒，则不同的方案数有 种。

5．在边长为1的正三角形内任意10点必有两点，其距离不超过 。

6． 从1到300整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有 个。

7． 把n 男n 女排成一行男女相间的队伍，共有 种排列方法。

8． 3只白色棋子和2只红色棋子摆放在5*5的棋盘上，要求每行每列只放置一个棋子，则共有 种不同的摆放方法。

9． 83)1(x x 的展开式中，x 的一次项的系数是 。

10．按照字典序，排列4517632的下一个排列是 。

B 第 2 页 共 6 页二．(10分) 求解非齐次递推关系⎩⎨⎧==≥=+---1,02,3961021a a n a a a n n n nB 第 3 页 共 6 页三．（10分）用母函数求下式之和：n n n n n C n C C C 113121210+++++ ．并给出组合意义。

四．（10分）正四面体每个面均为正三角形，现用红、蓝、黄，绿四种颜色为四个面着色，在空间转动能重合为同一着色方案。

问不同着色方案数为多少？五．（10分）求1，3，5，7，9这五个数可以组成多少个不同的n位数，其中要求3和7出现次数为偶数。

B第4 页共6 页B 第 5 页 共 6 页六．（10分）求正整数n=18900的因子个数。

并证明一整数是另一整数的平方的必要条件是它的因子数目为奇数。

七．（10分）求满足条件204321=+++x x x x ，511≤≤x ，702≤≤x ，623≤≤x ，844≤≤x 的整数解向量的个数。

2012年cmo试题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-1)的值。

A. -2B. 0C. 2D. 4答案：A2. 计算下列几何体的体积。

A. 正方体B. 圆柱C. 圆锥D. 球体答案：B二、填空题3. 已知一个等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。

答案：134. 一个三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α + β + γ = 180°，若α = 60°，β = 50°，则γ = _______。

答案：70°三、解答题5. 已知点A(1,2)和点B(4,6)，求线段AB的中点坐标。

答案：中点坐标为(2.5, 4)6. 证明：若a > b > 0，则a^2 > b^2。

答案：证明如下：因为a > b > 0，所以a - b > 0。

两边平方得(a - b)^2 > 0，即a^2 - 2ab + b^2 > 0。

所以a^2 > b^2。

四、证明题7. 证明：若a、b、c为实数，且a^2 + b^2 = c^2，则a、b、c满足勾股定理。

答案：证明如下：已知a^2 + b^2 = c^2，根据勾股定理，若a、b、c为直角三角形的三边，则a^2 + b^2 = c^2成立。

因此，a、b、c满足勾股定理。

五、应用题8. 某工厂生产一批产品，已知每件产品的成本为50元，销售价格为80元，若要使利润达到10000元，问需要生产多少件产品？答案：设需要生产x件产品，则利润为(80 - 50)x = 10000，解得x = 200。

因此，需要生产200件产品。

六、综合题9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求函数的极值点。

答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x，令f'(x) = 0，解得x = 0或x = 2。

检验二阶导数f''(x) = 6x - 6，可知x = 0处为极大值点，x = 2处为极小值点。

2012年考研数学(一)试题答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）A （8）D 二、填空题（9）e x（10）π2（11）++i j k （12）312（13）2 （14）34三、解答题 （15）略.（16）(1,0)为极大值点,极大值为12e−.(1,0)−为极小值点,极小值为12e−−.（17）222111ln ,(1,0)(0,1),()(1)10.x xx S x x x xx ⎧+++∈−⎪=−−⎨⎪ 3 , = ⎩（18）()ln(sec tan )sin f t t t t =+−,面积π4S =. （19）π42−. （20）（Ⅰ）41a −.（Ⅱ）T T1,(1,1,1,1)(0,1,0,0)a k =−=+−x ,k 为任意常数.（21）（Ⅰ）1a =−.（Ⅱ）正交变换矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q ，标准形222326f y y =+. （22）（Ⅰ）14.（Ⅱ）23−.（23）（Ⅰ）22261(;)e 6πz f z σσσ−=.（Ⅱ）22113n i i Z n σ==∑.（Ⅲ）略.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】由曲线方程及渐近线的定义可知,22(1)1(1)(1)x x x x y x x x ++==−−+,故1lim ,x y →=∞所以1x =为垂直渐近线;又由lim 1x y →∞=,故1y =为水平渐近线,无斜渐近线,故曲线渐近线的条数为2，所以选C.（2）【答案】A.【解答】因为2100()(0)(e 1)(e 2)(e )'(0)lim lim(1)(1)!x x nx n x x f x f n f n x x−→→−−−−===−−,所以选A.（3）【答案】B. 【解答】设22(,)(0,0)(,)limx y f x y k x y →=+,由于(,)f x y 在(0,0)处连续,则(0,0)0f =,故2000(,0)(0,0)(,0)lim lim lim 0x x x f x f f x kx x x x →→→−===,同理0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→−=, 故2222(,)(0,0)(,)(0,0)(,)000limlim0x y x y f x y x yk x y x y →→−−⋅−⋅=+=+，则(,)f x y 在点(0,0)处可微，所以答案选B. （4）【答案】D. 【解答】因为22π21πe sin d 0,x I I x x −=<⎰故21I I <；222π3π31π2πe sin d e sin d x x I I x x x x −=+⎰⎰22ππ(π)(2π)00e sin d e sin d 0x x x x x x ++=−+>⎰⎰，故31I I >.所以选D.（5）【答案】C.【解答】由已知可得134,,0,=ααα所以134,,ααα线性相关,所以选D. （6）【答案】B.【解答】1223123100(,,)(,,)110001Q ααααααα⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，111100100110110001001−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q AQ P AP100100100100110010110010001002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=−= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以答案选B. （7）【答案】A.【解答】由条件可知,X Y 的概率密度函数,又二者独立所以其联合密度函数为(4)4e ,0,0(,)()()x y X Y x y f x y f x f y −+⎧>>==⎨ 0 ,⎩其他,从而{}(4)(4)0014ed d d 4e d 5x y x y x x yP X Y x y x y +∞+∞−+−+<<<===⎰⎰⎰⎰,所以选A.（8）【答案】D.【解答】设,X Y 分别为所截成的两段的长度,则由题意得{}11P X Y +==,由此可知二者绝对负相关，所以选D.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】e x.【解答】由()()2()0,f x f x f x '''+−=可知特征方程为220λλ+−=,故由方程的解的结构可知其通解为212e e xxy C C −=+，将其带入方程''()()2e f x f x +=，可得121,0C C ==.（10）【答案】π2. 【解答】222d x x x x −⎰()π2222π02111d (1)1d(1)t x x x xt t t −=−=−−+−+⎰⎰ππ2222ππ22ππ1d 1d 022t t t t t −−=−+−=+=⎰⎰. （11）【答案】++i j k . 【解答】令,zu xy y=+则2(2,1,1)(2,1,1)(2,1,1)(2,1,1)11;1;1⎛⎫∂∂∂===−=== ⎪∂∂∂⎝⎭u u z u y x x y y z y .（12）【答案】312. 【解答】由1=−−z x y 得1,1,x y z z ''=−=−曲面在xoy 面上的投影为 (){}:,01,01D x y x y x ≤−，则()()2222''23d 1d d 3d d 12x y DDy s y z z x y y x y ∑=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. （13） 【答案】2.【解答】矩阵Tαα的特征值为1,0,0,则Tαα−E 的特征值为0,1,1.又因为Tαα−E 为实对称矩阵,必可相似对角化,故其秩等于非零特征值的个数，为2. （14）【答案】34. 【解答】,A C 互不相容,()0P ABC =,()()()3(|)1()4()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C −===−.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）证明：令21()ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+−−−<<−，则有()()f x f x =−，为偶函数.所以只需讨论0x >即可.()2211212()lnsin ln sin 11111x x x x f x x x x x x x x x x x +−+'=+−−=+−−−+−−−， ()()22422416(1)()cos 1,()sin 11x x f x x f x x x x −'''''=−−=+−−.当01x <<时，()0f x '''>，则()f x ''单调递增，且(0)2f ''=，所以()0f x ''>. 所以，当01x <<时，()f x '单调递增，且(0)0f '=，所以()f x 递增，且(0)0f =， 所以，当01x <<时，结论成立.同理，在10x −<<时，结论成立.（16）（本题满分10分）解:()()2222222e10,e0,xy x y ff x xy xy ++−−∂∂=−==−=∂∂ 可解得11,00x x y y ==−⎧⎧⎨⎨==⎩⎩.因为22222222222222222(3)e,(1)e ,(1)e ,x y x y x y f f f x x x y y x xyx y+++−−−∂∂∂=−=−=−∂∂∂∂所以当1,0x y =⎧⎨=⎩时,11222e ;0;e A B C −−=−==−.又因为20,0AC B A −><,所以(1,0)为极大值点,极大值为12e−.同理当1x y =−⎧⎨=⎩时,验证可得其为极小值点,极小值为12e −−.（17）（本题满分10分） 解：因为21()lim()n n n u x x u x +→∞=，所以当21x <时收敛.当1x =±时，222004434432121n n n n n n n x n n ∞∞==++++=++∑∑发散，所以收敛域为(1,1)−. 设()222220002124432()(21)212121n n nn n n n n n S x x x n x n n n ∞∞∞===++++⎡⎤===++⎢⎥+++⎣⎦∑∑∑， 令()2212002()21,(),21nnn n S x n xS x x n ∞∞===+=+∑∑因为，()22112()d 21d ,1xxnn n n x S t t n t t x x ∞∞+===+==−∑∑⎰⎰ 所以，()21221()(11)1x S x x x +=−<<−.又因为，21202(),21n n xS x x n ∞+==+∑ 则[]22202()2(11),1n n xS x x x x ∞='==−<<−∑ 所以，[]220021()d d ln (11)11xx x tS t t t x t x +'==−<<−−⎰⎰，故21()ln (11)1x xS x x x +=−<<−. 因此，当0x ≠时，211()ln 1x S x x x+=−. 当0x =时，12(0)1,(0)2S S ==，则(0)3S =.所以222111ln ,(1,0)(0,1)()(1)10x xx S x x x x x ⎧+++∈−⎪=−−⎨⎪ 3 , = ⎩.（18）（本题满分10分）解：设切点坐标为((),cos )f t t ,则切线方程为sin cos (())'()ty t x f t f t −=−− 当0y =时可得()cos ()sin f t tx f t t'=+,则22()cos cos 1sin f t t t t '⎛⎫+= ⎪⎝⎭,2sin π(),0cos 2t f t t t '=<， 从而可得2sin ()d ln(sec tan )sin cos tf t t t t t C t==+−+⎰,再由(0)0=f 得0=C ,因此()ln(sec tan )sin f t t t t =+−,再计算面积2π()d ()4S y t x t π==⎰.（19）（本题满分10分）解：补充曲线1L ：沿y 轴由点(2,0)到点(0,0),则D 为由曲线L 与1L 围成的封闭区域. 由格林公式可得，1123233d (2)d 3d (2)d L L L I x y x x x y y x y x x x y y +=++−−++−⎰⎰222(313)d d (2)d Dx x x y y y =+−−−⎰⎰⎰2ππd d 2d π4422Dx y y y =−=−−=−⎰⎰⎰.（20）（本题满分11分）解：（Ⅰ）4221(1)(1)A =−=−+a a a ；（Ⅱ）由题可知当0A =时，解得1=a 或1=−a .当1a =时，增广矩阵作初等变换得，()1100101101|0011000002⎛⎫⎪− ⎪→ ⎪⎪−⎝⎭A β，()()|r r <A A β，故方程组无解；当1a =−时，增广矩阵作初等变换得，()1001001011|0011000000−⎛⎫⎪−−⎪→ ⎪− ⎪⎝⎭A β， ()()|3r r <=A A β，方程组有解，并可求得通解为T T (1,1,1,1)(0,1,0,0)x =+−k ，其中k 为任意常数.（21）（本题满分11分）解: （Ⅰ）由二次型的秩为2,知T()2r =A A ,故()2r =A ，对A 作初等变换，1011010110111000101000aa a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪−+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ， 可得1a =−.（Ⅱ）当1a =−时，得T202022224⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A .()()T 2020*******λλλλλλλ−−⎛⎫ ⎪−=−−=−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭E A A ，可得TA A 的特征值1230,2,6λλλ===.当10λ=时，解方程组T(0)−E A A x =0，得相应的特征向量()T11,1,1=−α；当22λ=时，解方程组T(2)−E A A x =0，得相应的特征向量()T21,1,0=−α；当36λ=时，解方程组T(6)−E A A x =0，得相应的特征向量()T31,1,2=α.因为特征值各不相等，所以特征向量相互正交，故只需单位化，得()T 111,1,13=−β，()T 211,1,02=−β，()T311,1,26=β.于是得到正交矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q . 在正交变换=x Qy 下，二次型的标准型为222326f y y =+.（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）由表格数字可知1{2}{0,0}{2,1}4P X Y P X Y P X Y ====+=== （Ⅱ）X 的概率分布为X 0 1 2 P121316故23EX =.XY 的概率分布为XY 0 1 2 4P712 13112故23EXY =.Y 的概率分布为Y 0 1 2 P131313故1EY =,可得252,33EY DY ==,而 2(,)3Cov X Y Y EXY EXEY DY −=−−=−.（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）因为,X Y 相互独立且分别服从正态分布,所以Z 服从正态分布;又2()0,3EZ E X Y DZ DX DY σ=−==+=,所以Z 的概率密度函数为2261()e 6πz f z σσ−=.（Ⅱ）设似然函数为22261211(,;)e (1,2,...,)2π3i z nn i L z z z i n σσσ−=⎛⎫⎪== ⎪⎝⎭∏ 取对数222211ln ()ln(6π)ln 226nii n n L zσσσ==−−−∑，并求导2222221d ln ()1d()26()nii L n zσσσσ==−+∑，令22d ln ()0d L σσ=，得22113n i i z n σ==∑,所以2σ的最大似然估计量22113n i i Z n σ==∑； （Ⅲ）因为()22222111130333n ii E EZ nEZ n n σσσ====+=∑， 所以2σ为2σ的无偏估计量.。