八上培优半角模型

半角模型（八上人教版）知识导航夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。

其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。

学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型．已知如图：1. 12=AOB 2∠∠ 2. OA OB =。

连接FB ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置， 连接F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。

模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； 夹半角模型分类： （1）90度夹45度；（2）120度夹60度；（3）2α夹α．题型一 90度夹45度例1.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠B =∠C =∠D =90°，AB =BC =CD =AD ，E 在BC 上，F 在CD 上，且∠EAF =45°，求证：（1）BE +DF =EF （2）∠AEB =∠AEF ．例2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，45∠=︒．EAF（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH EF⊥于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．例3. 如图，正方形ABCD中，1AB=，以线段BC、CD上两点P、Q和方形的点A为顶点作正方形的内接等边APQ∆的边长．∆，求APQ例4.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且45EAF ∠=︒．猜测线段EF 、BE 、FD 三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证明）结论： ．（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；例5. 如图， 在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点， 且12EAF BAD ∠=∠． 求证：EF BE FD =+．例6.（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且45EAF ∠=︒，把ADF ∆绕着点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，请直接写出图中所有的全等三角形；（2）在四边形ABCD中，AB AD=，90∠=∠=︒．B D①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2EAF BAD∠=∠，求证：EF BE DF=+；②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2EAF BAD∠=∠，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．例7. 已知在正方形ABCD中，45∠绕点A顺时针旋转．∠=︒，EAFEAF（1）当点E，F分别在边CB，DC上时（如图①)，线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当EAF∠绕点A旋转到如图②的位置时，线段BE，DF和EF之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想．例8. 已知如图1，四边形ABCD 是正方形，45EAF ∠=︒．（1）如图1，若点E 、F 分别在边BC 、CD 上，延长线段CB 至G ，使得BG DF =，若3BE =，2BG =，求EF 的长；（2）如图2，若点E 、F 分别在边CB 、DC 延长线上时，求证：EF DF BE =−．（3）如图3，如果四边形ABCD 不是正方形，但满足AB AD =，90BAD BCD ∠=∠=︒，45EAF ∠=︒，且7,6DF EF ==，请你直接写出BE 的长．例9. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的一点，90∠=︒，且EF交正AEF方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，当点E是BC的中点时，猜测AE与EF的关系，并说明理由．（2）如图2，当点E是边BC上任意一点时，（1）中所猜测的AE与EF的关系还成立吗？请说明理由．题型二120度夹60度例1. 已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N分别是AB、AC上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN．例2. 如图，D是等边三角形ABC外一点，且满足DB DC∠=︒，M，N分BDC=，120别是AB，AC上的点，且60∠绕点D旋转时，MN，BM，CN的∠=︒，当MDNMDN关系是否发生变化？请简述理由．例3. 如图，等边ABCMDN∠=︒，其∠=︒，现有60∆的边长为2，且DB DCBDC=，120两边分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，将MDN∠绕着D点旋转，使得M，N 始终在边AB和边AC上．试判断在这一过程中，AMN∆的周长是否发生变化，若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．例4. 如图①，ABC∠=︒的等腰三角形，以D为BDC∆是顶角120∆是等边三角形，BDC顶点作60︒的角，它的两边分别与AB，AC交于点M和N，连结MN．（1）探究：BM，MN，NC之间的关系，并加以证明；（2）若点M，N分别在射线AB，CA上，其他条件不变，再探究线段BM，MN，NC 之间的关系，在图②中画出相应的图形，并就结论说明理由．例5. 在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形∠=︒，BD DCBDC=，探究：当M、N分别在直线MDNABC外一点，且60∠=︒，120AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM DN=时，BM、NC、MN之间的数量关系；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM DN≠时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．例6. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=BC，E、F分别在AD、DC延长线上，且∠EBF=60°，求证：AE=EF+CF．例7. 在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是（2）当点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个接刘海成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=2，则Q=__________（用含有L的式子表示）题型三2α夹α例1.（1）如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，说明理由．（2）在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当AB AD =，180B D ∠+∠=，12EAF BAD ∠=∠时，EF BE DF =+成立吗？请直接写出结论．例2. 如图，在四边形ABDC 中，M 、N 分别为AB 、AC 上的点，若∠BAC +∠BDC =180°，例3. 如图，若四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且3BE =，4DF =，12EAF BAD ∠=∠，求EF 的长度．例4.（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，若EF BE FD =+． 求证：12EAF BAD ∠=∠ （2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠，试探究线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系，证明你的结论．例5. 问题背景：（1）如图①：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E ，F分别是BC，CD上的点，且60EAF∠=︒．探究图中线段BE，FE，FD之间的数量关系，请在右面横线上直接写出结论．（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB AD=，180B ADC∠+∠=︒．E、F分别是BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．。

八上培优5 半角模型 方法：截长补短往往出现90。

套45°的情况，或者120°套60°的情况。

还有2 求证的结论一般是线段的和与差。

解决的方法是：截长补短构造勤学早和新观察均有专题。

勤学早在第 49页，新观察在第34页，新观察培优 也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。

这些题大同小异，只是图形 略有变化而已。

证明过程一般要证明两次全等。

4.如图 1.在四边形 ABCD 中. AB=AD / B+Z D=180，E 、F 分别是边 BC CD上的点，且/ BAD 二龙EAF全等三角形。

旋转移位造全等，翻折分割构全等。

截长法，补短法。

图形中, 套的情况。

求五边形ABCD 的面积.(1)求证：EF 二BE+DF(2)在(1)问中，若将△ AEF 绕点A 逆时针旋转，当点 E 、F 分别运动到BC顶点作一个60°的角，角的两边分别交 AB AC 于E 、F 两点，连接EF ，探索 线段BE CF EF 之间的数量关系，并加以证明.勤学早第40页试题1. (1)如图，已知 AB=?AC, / BAC=90，?/?MAN=4°5 ,过点 C 作 NC?t AC 交AN 于点N,过点B 作BM 垂直AB 交AM 于点M,当/ MANS / BAC 内部时，求 证：BM+CN?=MN;G,使 BG 二CN 连接 AG 证^ABd A ACN(SAS)「AN 二AC /CD 延长线上时，如图 2所示，试探究EF 、BE DF 之间的数量关系.mi3.如图3, 在四边形 ABDC 中, Z B+Z C=180，DB=DC / BDC=120，以 D 为证明:延长MB 到点 FAE国2BAG二，/ NAC. !_•••/ GAM M GAB + / BAM=^ CAN+/ BAM=4°= L / MAN,<△ AMNm AMG(SAS),'二MN= MG= BM + BG= B十NC.证明二：（此证明方法见新观察培优第27页例3）⑵如图，在（1）的条件下，当AM和AN在AB两侧时，⑴的结论是否成立？请说明理由.解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略.基本模型二120 °套60 °2. 如图，△ ABC中,CA=CB,Z ACB=120 ,E 为AB上一点，/ DCE=60 , / DAE二120°，求证:DE=BE 证明:（补短法）延长EB至点F,使BF=AD连接CF，则△ CBF^A CAD △CED^A CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如图,△ ABC中,CA=CB,Z ACB=120，点E为AB上一点，/ DCE MDAE=60 °，求证:AD+DE= BE.证明：（截长法）在BE上截取BF=AD连接CF,易证△ CBF^A CAD△ CE医ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版27 页例4如图，△ ABC是边长为1的等边三角形，△ BDC是顶角，/ BDC= 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB AC于M N,连结MN,试求△ AMN的周长.分析:由于/ MDN=60 , / BDC=120，所以/ BDMf Z CDN=60，注意至J DB=DC考虑运用“旋转法”将/ BDM RnZ CDN移到一起，寻找全等三角形。

欢迎共阅八上培优5 半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。

还有2α套α的情况。

求证的结论一般是线段的和与差。

解决的方法是：截长补短构造全等三角形。

旋转移位造全等，翻折分割构全等。

截长法，补短法。

勤学早和新观察均有专题。

勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。

这些题大同小异，只是图形略有变化而已。

证明过程一般要证明两次全等。

2. 如图，△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点，∠DCE=60°,∠DAE= 120°，求证:DE=BE证明:(补短法)延长EB至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF≌△CAD，△CED≌△CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3.如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°，点E为AB上一点，∠DCE=∠DAE= 60°，求证:AD+DE= BE.证明:(截长法)在BE上截取BF=AD,连接CF，易证△CBF≌△CAD，△CED≌ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版27页例4如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角，∠BDC= 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于M、N, 连结MN, 试求△AMN的周长.分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°，所以∠BDM十∠CDN=60°，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法”将∠BDM和∠CDN移到一起，寻找全等三角形。

另一方面,△AMN的周长AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优68页例5 如图，点A、B(2,0)在x轴上原点两侧, C在y轴正半轴上, OC平分∠ACB.(1)求A点坐标;2（3）AM=FM+OF成立，理由：如图所示，在AM上截取AN=OF，连EN．∵A（4，4），∴AE=OE=4，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，∴△EAN≌△EOF（SAS），（1）求证：∠PAC=∠PBC ；（2）作PE ⊥BC 于E ，若AC=5，BC=11，求S△PCE ：S △PBE ；（3）若M 、N 分别是边AC 、BC 上的点，且∠MPN=12∠APB ，则线段AM 、MN 、BN 之间有何数量关系，并说明理由．解：（1）如图1，过点P 作PE ⊥BC 于，∵PE ⊥BC ，CP 是∠BCD 的平分线，∴PE=PF ，∠PCF=∠（3）如图3，在BC 上截取BQ=AM ，在△PMA 和△PQB 中， ∴△PMA ≌△PQB ， ∴PM=PQ ，∠MPA=QPB ， ∴∠APM+∠QPA=∠APQ+∠QPB ， 即：∠APB=∠MPQ ， ∵∠MPN=12∠APB ，∴∠MPN=12∠MPQ ，∴∠MPN=∠QPN ，∴△MPN ≌△QPC ， ∴MN=QN ， ∴BN=AM+MN ． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平分线的定义，解（1）的关键是判断出PE=PF ，解（2）的关键是求出CE=CF=3，解（3）的关键是构造全等三角形判断出∠APB=∠MPQ ，是一道中等难度的中考常考题．∴∠EAC=∠GBA在△GBA 与△EAC 中， ∠GBA ＝∠EAC AB ＝CA∠GAB ＝∠ECA ， ∴△GBA ≌△EAC ， ∴CE=AG ；②如图1，取BF 的中点K 连接AK ， ∵BF=2AF ，1解决问题；（2）如图2，在BF上取BK=AF ，连接AK ， ∵∠BFE=∠BAF+∠ABF ，。

八年级数学全等三角形“半角”模型一、什么叫半角模型定义：我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

1、常见的图形正方形，正三角形，等腰直角三角形等。

2、解题思路① 将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形；② 证明与半角形成的三角形全等；③ 通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。

二、基本模型1、正方形内含半角例题1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。

例题1图证明：将△ADF 绕点 A 顺时针旋转90° ，使点 D 与点 B ，点 F 与点 G 重合（△ADF ≌ △ABG），如下图所示：例题1旋转图在△AGE 和△AFE 中∵ AG = AF , ∠GAE = ∠EAF = 45° ， AE = AE∴ △AGE ≌ △AFE ∴ GE = EF∵ GE = GB + BE = DF + BE∴ EF= BE + DF2、等边三角形内含半角例题2、如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D 是△ABC 外一点，DB = DC 且∠BDC = 120° ，∠EDF = 60° ，DE ，DF 分别交 AB ，AC 于点 E , F 。

求证： EF = BE + CF例题2图证明：将△BDE 绕点 D 旋转至△CDG ，使△BDE ≌ △CDG（注：题目中已知条件 DB = DC 且∠BDC = 120°，易证∠EBD = ∠GCD = 90°，F、C、G 三点共线）例题2旋转图在△EDF 和△GDF 中∵ ED = GD , ∠EDF = ∠GDF = 60° ， DF = DF∴ △EDF ≌ △GDF ∴ EF = GF∵ GF = GC + CF = BE + CF∴ EF = BE + CF3、等腰直角三角形内含半角例题3、如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，点 D ,E 在 BC 上，且满足∠DAE = 45° 。

《八年级数学期中培优》全等、等腰与勾股综合：手拉手模型、半角模型与鸡爪模型应用1．在△ABC 和△DEC 中，AC =BC ，DC =EC ，∠ACB =∠ECD =90°． （1）如图1，当点A 、C 、D 在同一条直线上时，AC =12，EC =5．①求证：AF ⊥BD ， ②求AF 的长度；（2）如图2，当点A 、C 、D 不在同一条直线上时．求证：AF ⊥BD ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF 并延长CF 交AD 于点G ，∠AFG 是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数，若不是，请说明理由．2、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=900，D 在AB 边上一点。

（1）求证：△ACE ≌ △BCD ；(2)已知：AD=5，BD=12. 求：DE 的长.GF EDCBAAB CDEFFEDCBA图1 图2 图33、如图，ΔABC ，ΔCDE 是边等三角形，C 为线段AE 上一不动点，下列结论：①CN ∥AB ；②AD=BE ；③∠AOE=120°；④CM=CN ；⑤OC 平分∠AOE ；⑥OB+OC=OA ；⑦DM=CN 其中正确的有4、（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合）连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分OAMNDECB别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．5、在△ABC中，AB=AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC=30，则∠DCE= ．（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D在直线BC上（不与B、C重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．6、将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题：（1）如图1，直角△ABC中，AB=AC ，∠BAC=90°，D为BC边上的一点，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，作AE平分∠DAF交BC于E，请证明：BD2+CE2=DE2；（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是64cm2，则AC长是 cm；（3）如图3，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=2，BD=3，求CD的长．7. 阅读理解：（1）如下图，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=________。

夹半角模型培优辅导讲义模块一夹半角的模型夹半角模型分类：（1）90度夹45度（2）120度夹60度（3）2α夹α题型一90度夹45度【例1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，E在BC上，F在CD上，且∠EAF=45°，求证：（1）BE+DF=EF（2）∠AEB=∠AEF【练】在例1的条件下，若E在CB延长线上，F在DC延长线上，其余条件不变，证明：（1）DF-BE=EF（2）∠AEB+∠AEF=180°【例2】已知△ABC为等腰三角形，∠ACB=90°，M、N是AB上的点，∠MCN=45°，求证：AM2+BN2=MN2【练】在例2中，若M在BA延长线上，N在AB上，其余条件不变，试探究AM、BN、NM 之间的关系．【知识扩充】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如：【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F为CD中点，点E在BC上，且∠EAF=45°，求证：点E为线段BC靠近B的三等分点．【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F为CD中点，点E在BC上，点E为线段BC靠近B的三等分点，求证：∠EAF=45°．【变式3】已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，M是AD的中点，在CM的右侧作∠MCN=45°交BD于点N，求证：N是线段BD靠近D的三等分点．【变式4】已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，M是AD的中点，N是线段BD靠近D的三等分点，求证：．∠MCN=45°．题型二120度夹60度【例3】已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N分别是AB、AC 上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN．【练】如图，四边形ABCD 中，∠A =∠BCD =90°，∠ADC =60°，AB =BC ，E 、F 分别在AD 、DC 延长线上，且∠EBF =60°，求证：AE =EF +CF ．【拓】（汉阳12期中）在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ．D 为△ABC 外一点，且∠MDN =60°，∠BDC =120°，BD =DC ．探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系以及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．（1）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM =DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是____________________；此时LQ =_________________；（不必证明） （2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（1）问的两个接刘海成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN =2，则Q =__________（用含有L 的式子表示）题型三 2α夹α【例4】如图，在四边形ABDC 中，M 、N 分别为AB 、AC 上的点，若∠BAC +∠BDC =180°，BD =DC ，∠MDN =21∠BDC ，求证：BM +CN =MN ．【练】如图，在例4的条件下，若M 、N 分别为BA 延长线、AC 延长线上的点，∠BAC +∠BDC =180°，BD =DC ，∠MDN =21∠BDC ，探究：线段BM 、CN 、MN 的数量关系．模块二 夹半角模型的构造备注：以下题目可能会使用到勾股定理【例5】（2012年武珞路八上期中）如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（a ，0），B点的坐标为（b ，0），且a 、b 满足0121442=+-+-a a b a ，若D （0，4），EB ⊥OB 于B ，且满足∠EAD =45°，试求线段EB 的长度．【例6】（2014年粮道街八上期中）如图，在平面直角坐标系中，点A （0，b ），点B （a ，0），点D （d ，0），且a 、b 、d 满足0)2(312=-+-++d b a ，DE ⊥x 轴且∠BED =∠ABD ，BE 交y 轴于点C ，AE 交x 轴于点F ．（1）求点A 、点B 、点D 的坐标；（2）求点E 、点F 的坐标；（3）如图，过P （0，-1）作x 轴的平行线，在该平行线上有一点Q （点Q 在点P 的右侧）使∠QEM =45°，QE 交x 轴于点N ，ME 交y 轴的正半轴于点M ，确定PQ MQ AM -的值．【例7】点A （a ，0）、B （0，b ）分别在x 轴、y 轴上，且0962=+-+-a a b a ．（1）求a ，b 的值（2）如图1，若线段AB 的长为23，点C 为y 轴负半轴上的一点，且射线CA 平分△AOB 的外角∠BA x ，求点C 的坐标．（3）如图2，取点D （0,2）并连接AD ，将△AOD 烟直线AD 折叠得到△ADE ，过点B 作y 轴的垂线BF 交射线DE 的延长线于F 点，连接AF ，求BF 的长．第3讲 【课后作业】 夹半角1．（2015年洪山区八中期中）如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上的任意一点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°得△AB 1E ，∠EA 1E 的平分线交BC 边于点F ，求证：△CFE 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半．2．如图△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连接MN ，则△AMN 的周长为__________．3．已知如图，五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°． 求证：（1）AD 平分∠CDE ； （2）∠BAE =2∠CAD ．4．如图，平面直角坐标系中，已知A （a ，4）、B （b ，0），且满足09612=+-+-b b a（1）求A、B两点的坐标（2）若点A在第一象限内，且△ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标．（3）如图，点N（1，0）、R（4，3），点P为线段AN上的一动点，连接PR，以PR为一边作∠PRM=45°，交x轴于点M，连PM，请问点P在运动的过程中，线段PM、AM、BM直线有怎样的数量关系，证明你的结论．。

八上培优5 半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。

还有2α套α的情况。

求证的结论一般是线段的和与差。

解决的方法是：截长补短构造全等三角形。

旋转移位造全等，翻折分割构全等。

截长法，补短法。

勤学早和新观察均有专题。

勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。

这些题大同小异，只是图形略有变化而已。

证明过程一般要证明两次全等。

下面是新观察第34页1~4题1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF．3.如图，∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE 的面积.ACBFEACBFED4．如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系．3.如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．勤学早第40页试题1.（1）如图，已知AB= AC, ∠BAC=90°，∠MAN=45°,过点C作NC ⊥AC交AN于点N，过点B作BM 垂直AB交AM于点M，当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN =MN;NNGBAN证明: 延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG= ,∠NAC. L∵∠GAM=∠GAB + ∠ BAM=∠CAN+ ∠BAM=45°= L∠MAN,证△AMN≌△AMG(SAS), '∴MN= MG= BM + BG= BM十NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)(2)如图,在(1)的条件下，当AM和AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立?请说明理由.F解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略.基本模型二 120°套 60°2. 如图，△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°,E 为AB 上一点，∠DCE=60°,∠DAE= 120°， 求证:DE=BECF证明:(补短法)延长EB 至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF ≌△CAD ， △CED ≌△CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3.如图,△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°，点E 为AB 上一点，∠DCE=∠DAE= 60°， 求证:AD+DE= BE.CBAECBAE F证明:(截长法)在BE 上截取BF=AD,连接CF ，易证△CBF ≌△CAD ， △CED ≌ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版27页例4如 图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角，∠BDC= 120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N, 连结MN, 试求△AMN 的周长.A BDP分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°，所以∠BDM十∠CDN=60°，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法”将∠BDM和∠CDN移到一起，寻找全等三角形。

例：如图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°。

求证：EF=BE+DF；解析：延长CB到G，使GB=DF，连接AG，证△ABG≌△ADF，得∠3=∠2，AG=AF，进而求证△AGE≌△AFE，可得GB+BE=EF，所以DF+BE=EF特征描述：过等腰△ABC(AB=AC)顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。

这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.题型识别：“等线段、共顶点、半角度”解决方法：①以公共顶点为中心，旋转三角形，使得相等的两线段重合；②找出两组全等三角形，得到对应的边角相等关系。

如图，在正方形ABCD的边BC，CD上分别有点E，F，∠EAF=45°，AH⊥EF．求证：AH=AB；分析：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，根据旋转的性质可得DF =BG ，AF =AG ，∠DAF =∠BAG ，然后求出∠EAF =∠EAG =45°，再利用“边角边”证明△AEF 和△AEG 全等，根据全等三角形对应边上的高相等可得AH =AB ．证明：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，由旋转的性质得，DF =BG ，AF =AG ，∠DAF =∠BAG ．∵∠F AG =∠BAG +∠BAF =∠DAF +∠BAF =∠BAD =90°，∠EAF =45°，∴∠EAF =∠EAG =45°．在△AEF 和△AEG 中，AF AG EAF EAG AE AE =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△AEG （SAS ），∵AH 、AB 分别是△AEF 和△AEG 对应边上的高，∴AH =AB ．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：___________．（2）如图2：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°．点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点C ，使DG =BE ，连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是___________．请你帮小王同学写出完整的证明过程．（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：___________；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将直角三角板中45°角的顶点放在点C处，并将三角板绕点C旋转，三角板的两边分别交AB边于D、E两点（点D在点E的左侧，并且菁优网点D不与点A重合，点E不与点B重合），设AD=m，DE=x，BE=n．（1）判断以m、x、n为三边长组成的三角形的形状，并说明理由；（2）当三角板旋转时，找出AD、DE、BE三条线段中始终最长的线段，并说明理由．倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题．（1）如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．完成解题过程．解：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上．（2）类比猜想请，同学们研究：如图（2），在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当∠BAD =120°，∠EAF =60°时，还有EF =BE +DF 吗？请说明理由．如图，在等腰直角△ABC 的斜边AB 上任取两点M 、N ，使∠MCN =45°，记AM =m ，MN =n ，BN =k ．试猜想：以m 、n 、k 为边长的三角形的形状是（在下列括号中选择）__________．（锐角三角形；钝角三角形；直角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等边三角形）已知：如图1在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45度．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若12MBN ABC ∠=∠，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若12MBN ABC ∠=∠仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．。

第九章半角模型模型1【倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形】已知如图：2∠2=12∠AOB；②OA=OB。

连接F′B，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。

模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。

模型实例例1．如图，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC 于点M、N。

（1）求证：BM+DN=MN；（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB。

例2．在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC。

探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。

（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。

例3．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD。

求证：EF=BE-FD。

热搜精练1．如图，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线，∠MAN=45°。

求证：MN=DN-BM。

2．已知，如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°。

探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系。

小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得劲解决。

请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。

专题15半角模型证全等1．【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　EF＝BE+DF　．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．【解答】（1）解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG．∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝45°，∴∠CBF+∠CBG＝45°．在△EBF与△GBF中，∵，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF＝GF，∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10．2．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN 绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A＝∠C在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AE＝，CF＝，∵∠MBN＝60°，BE＝BF，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF＝EF，∴AE＝CF＝，∴AE+CF＝EF；（2）证明：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，∴BE＝BG，AE＝CG，∠A＝∠BCG，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴点A与点C重合，∵∠A＝∠BCF＝90°，∴∠BCG+∠BCF＝180°，∴点G、C、F三点共线，∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠ABE＝∠CBG，∴∠GBF＝60°，在△GBF与△EBF中，，∴△GBF≌△EBF（SAS），∴FG＝EF，∴EF＝AE+CF；（3）解：不成立，EF＝AE﹣CF，理由如下：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，∴AE＝CG，由（2）同理得，点C、F、G三点共线，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴点A与点C重合，∠ABE＝∠CBG，∴BG＝BE，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝120°，∴∠CBG+∠CBE＝∠GBE＝120°，∵∠MBN＝60°，∴∠GBF＝60°，在△BFG与△BFE中，，∴△BFG≌△BFE（SAS），∴GF＝EF，∴EF＝AE﹣CF．3．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是　2＜AE＜8　；则中线AD的取值范围是　1＜AD ＜4　；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF　＞　EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF ＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF　＝　EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝　2a　（用含α的代数式表示）.【解答】解：（1）在△ADC与△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝3，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜AE＜8，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4；（2）如图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG，∵点D是BC的中点，∴DB＝DC，∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF，∵ED⊥FD，FD＝GD，∴EF＝EG，在△BEG中，BE+BG＞EG，∴BE+CF＞EF，故答案为：＞；（3）BE+DF＝EF，如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠D，又∵CB＝CD，BG＝DF，∴△CBG≌△CDF（SAS），∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠DCF+∠BCE＝70°，∴∠BCE+∠BCG＝70°，∴∠ECG＝∠ECF＝70°，又∵CE＝CE，CG＝CF，∴△ECG≌△ECF（SAS），∴EG＝EF，∵BE+BG＝EG，∴BE+DF＝EF，故答案为：＝；（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，若BE+DF＝EF，则EG＝EF，∴△ECF≌△ECG（SSS），∴∠ECG＝∠ECF，∴∠BCD＝2∠ECF＝2α，故答案为：2α．4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD．【解答】证明：延长CB至M，使BM＝FD，连接AM，如图所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°，∴∠ABM＝∠D，在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE，∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF，在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴EF＝ME，∵ME＝BE+BM，∴EF＝BE+FD．5．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE ≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为　EF＝BE+DF　．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系，为什么？（3）如图3，点A在点O的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AO＝BO，点A 沿正东方向移动249米到达E处，点B沿北偏东50°方向移动334米到达点F处，从点O观测到E、F之间的夹角为70°，根据（2）的结论求E、F之间的距离．【解答】解：（1）EF＝BE+DF；证明：如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF；（2）EF＝BE+DF仍然成立．证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝20°+90°+（90°﹣60°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣20°）+（60°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝583米．6．阅读下面材料：小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC 上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．请回答：在图2中，∠FCE的度数是　90°　，DE的长为 ．参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．【解答】解：如图2，∵∠ACF＝∠B＝45°，∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，在Rt△EFC中，∵CF＝BD＝3，CE＝1，∴EF＝＝＝，∴DE＝，故答案为90°；；如图3，猜想：EF＝BE+FD．理由如下：如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADG+∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上，∵∠DAG＝∠BAE，∴∠GAE＝∠BAD，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠EAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+FD＝BE+DF，∴EF＝BE+FD．7．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF＝45°．猜测线段EF、BE、FD三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证明）结论：　EF＝BE+FD　．（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；【解答】解：（1）延长CB到G，使BG＝FD，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．故答案为：EF＝BE+FD；（2）结论成立，应为EF＝BE+DF，在CD的延长线上截取DG＝BE，（如图）∵BE＝DG，AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠FAG，AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AFG（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG＝EB+DF．8．“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　EF＝BE+FD　．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．9．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2，理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，在△DCG与△DBE中，，∴△DCG≌△DBE（SAS），∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，又∵DE⊥DF，∴FD垂直平分线段EG，∴FG＝FE，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠FCG＝90°，在△CFG中，CG2+CF2＝FG2，∴EF2＝BE2+CF2；（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC，理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，∴∠MBD＝∠C，在△BDM和△CDF中，，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，在△DEM和△DEF中，，∴△DEM≌△DEF（SAS），∴EF＝EM，∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD，若∠EAF＝55°，求∠BAD的度数．【解答】解：延长FD到G使DG＝BE，连接AG，如图，∵∠B+∠D＝180°，∠ADG+∠D＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠GAD，∵EF＝BE+FD，∴EF＝DG+DF＝GF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠FAG＝55°，∵∠BAE＝∠GAD，∴∠BAD＝∠EAG＝2∠EAF＝110°．11．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．【解答】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．12．在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，现将一个30°角的顶点落在点A处．（1）如图①，当该角的两边分别与BC、CD边相交于E、F时．求证：EF＝BE+DF；（2）现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与BC、CD边的延长线相交于点F，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段BE与DF之间的等量关系，并加以证明．（利用图②进行探索）【解答】解：（1）如图①，延长CB到H点，使BH＝DF，连接AH，∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，∴∠D+∠B＝180°，∵∠ABE+∠ABH＝180°，∴∠ABH＝∠D，∵AD＝AB，BH＝DF，∴在△ABH和△ADF中，，∴△ABH≌△ADF（SAS），∴AH＝AF，∠HAB＝∠FAD，∵∠DAB＝60°，∠FAE＝30°，∴∠FAD+∠BAE＝30°，∴∠BAE+∠HAB＝30°，即∠HAE＝30°，在△HAE和△EAF中，，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴HE＝EF，∵HE＝HB+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+DF；（2）（1）中的结论不成立，如图②，在BC上截取BH＝DF，在△ABH与△ADF中，，∴△ABH≌△ADF，∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，∴∠EAF＝30°，∴∠BAH+∠EAD＝30°，∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠HAE＝30°，在△HAE与△FAE中，，∴△HAE≌△FAE，∴HE＝EF，∵BE＝BH+HE，∴BE＝DF+EF．13．【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A 逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：　EF＝BE+DF　．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【结论应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东60°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏西20°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向以50海里/小时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离．直接写出结果．【解答】解：问题背景：EF＝BE+DF，证明如下：如图1，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF；探索延伸：如图2，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合，则△ADF≌△ABG，∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，DF＝GB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF，（SAS）∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+FD；结论应用：如图3，连接EF，∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∴∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠A+∠B＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+FB成立．即，EF＝AE++FB＝1×30+1×50＝80（海里）答：此时两舰艇之间的距离为80海里．。