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计算力学2-2

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第二章--计算流体力学的基本知识

第二章--计算流体力学的基本知识

第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。

这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。

2.1计算流体力学简介2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。

20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。

数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。

从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。

数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。

数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。

自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。

最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。

航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。

流体运动的规律由一组控制方程描述。

计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。

但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。

计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。

计算流体力学是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程(Euler或Navier-Stokes方程)以发现各种流动现象规律的学科。

2022年中考物理专项《力学计算》配套练习附答案(2)功 功率 机械效率(附答案)

2022年中考物理专项《力学计算》配套练习附答案(2)功 功率 机械效率(附答案)

C．此次简易斜面装置的机械效率为 50%D．斜面是一种省力杠杆
【答案】D
【解析】A.做的总功：W 总＝Fs＝1200N×5m＝6000J，A 错。 B.做功的功率为：P＝W 总/t=6000J/300s＝20W，B 错。
C.重物的重力：G＝mg＝240kg×10N/kg＝2400N，李军对重物做的有用功：W 有用＝Gh＝2400N ×2m＝4800J，简易斜面装置的机械效率：η＝W 有/W 总×100%=4800J/6000J×100%＝80%，C 错。
队成员李军在一次行动中需要帮老百姓把一个质量为 240kg 的重物搬到 2m 高的车上。为了 省力采用 5m 的长木板搭了一个斜面〔如下图〕。用 1200N 的力用了 5min 将重物匀速推到
车上。关于此简易斜面装置，以下说法中正确的选项是〔 〕
A．他对重物做了 4800J 的功 B．他做功的功率为 16W
9.〔2021 乐山 25〕如下图，一款新型无人驾驶电动汽车，总质量为×103kg，在性能测试中，
沿平直的公路匀速行驶，行驶过程中汽车受到的阻力为总重力的倍，〔g 取 10N/kg〕求：(1)
汽车匀速行驶的速度；(2)汽车受到的牵引力；(3)此过程中汽车牵引力所做的功和做功功率。 【答案】(1)10m/s (2)1.5×103N (3)2.7×106J1.5×104W 【解析】(1)汽车行驶的路程×103m，汽车行驶的时间 t=3min=180s,汽车匀速行驶的速度：
(3)箱子所受阻力×600N=120N，箱子向左匀速直线运动，由二力平衡可得推力的大小：
F=f=120N,推力做的功：W=FS=120N×15m=1800J，推力做功的功率：P=W/t=1800J/30s=60W。
答：(1)箱子所受的重力是 600N；(2)箱子运动的速度是；(3)推力对箱子做功的功率是 60W。

流体力学课件2-2

流体力学课件2-2

四. 压强的度量单位
• 定义式： （N/m2 ; Pa)
1公斤力/米2 = 9.8 N/m2
• 液柱高度：
h = P/γ
(m)
• 大气压：
1标准物理大气压(atm)=1.033公斤力/厘米2=101325帕 1工程大气压(at)=98000帕=10mH20=735.6mmHg
• 大气压与大气压强：
面打孔，接出一端开口与大气相通的玻璃管，即为测压管。
测压管内的静止液面上
p = 0 ，其液面高程即为
pA /
测点处的 z p ，所以
pB /
叫测压管水头。
zA
zB
O
O
• 测静压只须一根测压管
如果容器内的液体是静
止的，一根测压管测得
的测压管水头也就是容
器内液体中任何一点的
pA /
测压管水头。如接上多
O
A
A点相 对压强
A点绝
B
对压强
相对压强基准 B点真空压强
B点绝对压强
绝对压强基准
O
• 今后讨论压强一般指
相对压强，省略下标， 记为 p，若指绝对压强 则特别注明。
压强
大气压强 pa
O
A
A点相 对压强
A点绝
B
对压强
相对压强基准 B点真空压强
B点绝对压强
绝对压强基准
O
方程的物理意义：
三. 位置水头、压强水头、测压管水头
X 0;Y 0; Z g
代入压力差公式
dp (Xdx Ydy Zdz)
积分得： p gz C '
积分常数根据液体自由表面上的边界条件确定：
z z0 ; p p0
C' p0 gz0

计算力学2--弹性力学二维及三维问题的加权残值法解

计算力学2--弹性力学二维及三维问题的加权残值法解

第二章弹性力学二维及三维问题的加权残值法解§2-1 引言我们知道在弹性力学中，如果有一个平面体（如薄板）受到平行于该平面体中面的外力的作用，于是就在该平面体中产生了也平行于中面的内力，这就构成了弹性平面应力问题。

如果有一棱柱形的物体，两端受到垂直于棱柱轴线且沿柱轴不变的外力作用，垂直于柱轴的棱柱体的切片中的应力变形状态就属于平面应变状态，亦即构成了弹性平面应变问题。

弹性平面问题在工程技术问题中遇见较多，如深梁，平面弯曲的直梁，曲梁及变截面梁，受中面静力作用或惯性力等作用的各种形状的板及盘，平板开孔挖槽的应力集中问题，开孔剪力墙，厚壁筒，各种管道，水坝，隧道，涵洞，机械零件的切片，弹性平面的接触问题都属于这类问题。

研究弹性平面体的应力变形问题的分析方法具有重要的实际意义。

弹性物体中长，宽，高都属于等量级的，如房屋基础，机器底座，厚板及厚壳，无限大及半无限大弹性体，及一切实体结构物的应力和变形的问题需应用弹性力学三维理论方法进行分析。

在一般情况下，这种弹性体在外力作用之后，物体中任一点有三个位移分量，六个独立的应力分量和六个应变分量，比较复杂。

无论弹性平面问题或是三维问题，解析法一般只能分析几何形状比较规则，载荷作用情况及边界条件比较简单的弹性体。

外形，载荷和边界条件比较复杂的弹性平面体或三维固体需依靠如差分法，有限元法等数值诸方法才能进行分析，其中以应用有限单元法更为广泛。

有限单元法发展已有30余年历史，比较成熟，应用广泛，且有现成的计算机程序可用，但是这种方法以离散后的结构物代替原有的结构物，抛弃可用的解析解太多，程序复杂，输入的工作量大，对于计算机要求较高，误差难估。

特别将有限元方法用于解弹性三维问题，工作量比较巨大。

所以，发展一种与有限元法并行，可供选择应用的数值计算方法很有必要。

自从1978年以来，国内将加权残值法用于弹性平面问题，已有较多的开发研究工作。

西南交大徐文焕及陈虬首先将加权残值法用于解算弹性平面问题和三维问题，此后浙江大学丁浩江、谢贻权及范本隽等在加权残值法中对于直角坐标平面问题作了重要的补充并又发展了极坐标弹性平面问题解法，计算效果良好。

材料力学第二章 轴向拉伸和压缩

材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
伸长 l2 0.24mm 缩短
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
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本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆

材料力学第2章答案

材料力学第2章答案
问：（1）用这一试验机作拉断试验时，试样直径最大可达多大？
（2）若设计时取试验机的安全因数 n = 2 ，则杆 CD 的横截面面积为多少？
8
（3）若试样直径 d = 10 mm ，今欲测弹性模量 E ，则所加载荷最大不能超过多少？
解（1） σ
2-5 何谓失效？极限应力、安全因数和许用应力间有何关系？何谓强度条件？利用强度 条件可以解决哪些形式的强度问题？
答 失效（包括强度失效、刚度失效和稳定性失效）是指构件不能正常工作。 许用应力=极限应力/安全因数。 利用强度条件可以解决强度校核、截面设计和确定许用载荷等。
2-6 试指出下列概念的区别：比例极限与弹性极限；弹性变形与塑性变形；延伸率与正 应变；强度极限与极限应力；工作应力与许用应力。
α = 90° τ 90° = 0
2-5 图 示 拉 杆 沿 斜 截 面 m − m 由 两 部 分 胶 合 而 成 ， 设 在 胶 合 面 上 许 用 拉 应 力 [σ ] = 100 MPa ，许用切应力[τ ] = 50 MPa 。并设胶合面的强度控制杆件的拉力。问：
（1）为使杆件承受最大拉力 F ，角α 的值应为多少？ （2）若杆件横截面面积为 4 cm2，并规定α ≤ 60° ，确定许用载荷[F ] 。
∑ Fx = 0 ， FCx = 0
图（c）
∑ M D = 0 ， FC'y = 0
图（b）
∑ M B = 0 ， FN1 = 10 kN （拉）
∑ Fy = 0 ， FN2 = 20 kN （拉）
6
σ1
=
FN1 A1
=
4FN1 πd12
=
4 ×10 ×103 π ×102 ×10−6
= 127 MPa

土力学答案计算题

第二章2-2、有一饱和的原状土样切满于容积为21.7cm 3的环刀内.称得总质量为72.49g.经105℃烘干至恒重为61.28g.已知环刀质量为32.54g.土粒比重为2.74.试求该土样的湿密度、含水量、干密度及孔隙比（要求汇出土的三相比例示意图.按三相比例指标的定义求解）。

解：3/84.17.2154.3249.72cm g V m =-==ρ%3954.3228.6128.6149.72=--==S W m m ω 3/32.17.2154.3228.61cm g V m S d =-==ρ 069.149.1021.11===S V V V e 2-3、某原状土样的密度为1.85g/cm 3.含水量为34%.土粒相对密度为2.71.试求该土样的饱和密度、有效密度和有效重度（先推导公式然后求解）。

解：（1）VV m WV s sat ρρ⋅+=W S m m m += S W m m =ω 设1=S m ρω+=∴1V WS S S V m d ρ=WS W S S S d d m V ρρ⋅=⋅=∴1()()()()()()3W S S W S S W W satcm /87g .1171.20.341171.285.1d 11d 11d 111d 11111=+⨯+-⨯=++-=+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-++=∴ρωρωρωρωρρωρρωρρρωρW S d 有（2）()3'/87.0187.1cm g VV V V V V V m V V m W sat W V Ssat WV W V W S S W S S =-=-=+-=-+-=-=ρρρρρρρρρ （3）3''/7.81087.0cm kN g =⨯=⋅=ργ 或3'3/7.8107.18/7.181087.1cmkN cm kN g W sat sat sat =-=-==⨯=⋅=γγγργ2-4、某砂土土样的密度为1.77g/cm 3.含水量9.8%.土粒相对密度为2.67.烘干后测定最小孔隙比为0.461.最大孔隙比为0.943.试求孔隙比e 和相对密实度Dr.并评定该砂土的密实度。

工程力学答案第2章

工程力学（第2版）第2章 平面力系题库：主观题（1-10）道 + 计算题（11-36）道 + 填空题（37-52）道 + 选择题（53-69）道 + 判断题（70-85）道 一、主观题2-1 如何利用几何法和解析法求平面汇交力系的合力？答案：利用几何法时，可根据力的平行四边形法则或作力多边形得到合力；利用解析法时，可先求Rx x Ry y F F F F ⎧=⎪⎨=⎪⎩∑∑，进而得到()()()()cos ,,cos ,RRx Ry x y R Rx R R Ry RF F F F F F i F F F j F F ⎧=+=+⎪⎨⎪==⎩∑∑ 知识点：2.1节 参考页：P19-P20 学习目标：1 难度：12-2 指出思考题2-2图的各图中，哪个是力系的合力？答案：图（a ），1F 是合力；图（b ），合力为零；图（c ），2F 是合力。

知识点：2.1节 参考页：P19-P20 学习目标：1 难度：22-3 用解析法求合力时，若选不同的直角坐标轴，所得的合力是否相同？答案：当选择不同的坐标轴时，所得力的投影不同，但合力的大小和方向是相同的。

知识点：2.1节 参考页：P20 学习目标：1 难度：22-4 已知某一平面一般力系向A 点简化得到的主矢50 N AF '=，主矩20 N m A M =⋅，试求原力系向B 点简化结果。

其中20 mm AB =。

答案：50 N BA F F ''==0350cos302010 N m A B M F -⎛⎫'=⨯⨯=⋅ ⎪⎝⎭()20 N m A B A B M M M F ⎛⎫'=+=+⋅ ⎪⎝⎭知识点：2.3节参考页：P24 学习目标：3 难度：22-5 思考题2-5图所示力F 和力偶,F F ⎛⎫''' ⎪⎝⎭对轮的作用有何不同？设轮轴静止，2F F F '''=-=。

大连理工计算力学教学大纲

专业名称计算力学专业代码：080120 授予工学硕士学位一、培养目标具有良好综合素质，德、智、体全面发展，掌握坚实的计算力学基础理论和系统的专门知识，成为具有科学研究、教学工作能力并能独立解决力学实际问题的高层次工程科技研究人才。

二、学科、专业及研究方向简介计算力学是以现代力学、应用数学为基础，以计算机为工具，以求解现代工程和科学技术中的力学问题为目标，研究离散化理论和先进计算方法的一门应用基础性学科，它伴随计算机的出现而兴起和发展，在机械工程、能源工程、海洋工程、陆地运输、材料加工、航空航天以及新兴的纳米和生物等领域都具有广泛需求并获得了成功的应用。

本专业主要研究计算力学的基本理论和方法、先进的数值计算技术、结构优化的现代理论和方法、工程CAE系统和软件开发。

主要研究方向设有：1). 结构优化与反问题的理论与数值方法研究结构尺寸、形状、拓扑、布局优化的理论与方法；反问题求解的理论与方法2). 结构静动力学与随机力学研究结构静动力响应的高效算法、结构随机响应分析的理论与高效算法3). 高性能数值方法与工程应用研究有限元、边界元、离散元、无网格法等高性能数值计算方法以及工程应用，研究多场耦合问题求解的理论与方法4). 工程计算CAE软件系统研究工程数据库理论、有限元前后处理算法、CAE工程软件系统的研制和程序开发5). 先进材料计算力学研究微纳尺度元器件、晶体材料、高分子材、生物材料宏微观多尺度力学行为数值模拟的理论与方法6). 计算结构工程数值计算方法在机械工程、能源工程、海洋工程、陆地运输、材料加工、航空航天等领域的工程应用三、培养方式及学习年限1、培养方式: 研究生教学和学位论文。

2、学习年限:2年半。

四、课程设置与学分实行学分制，学分要求不低于30分。

具体课程设置见附表。

五、科学研究及学位论文要求按校系统一要求。

学位论文工作是全面培训硕士生树立严谨的科学作风、掌握科学研究的基本方法和培养独立工作能力的重要环节。

结构力学求解器上机指导

一．输入结构体系结点,1,0,0结点,2,0,1结点,3,1,1结点,4,1,0结点,5,1,2结点,6,2.5,0结点,7,2.5,2.5单元,1,2,1,1,0,1,1,1 单元,2,3,1,1,1,1,1,0 单元,4,3,1,1,0,1,1,1 单元,3,5,1,1,1,1,1,1 单元,5,7,1,1,1,1,1,1 单元,6,7,1,1,1,1,1,0 结点支承,1,4,0,0,0 结点支承,4,4,0,0,0 结点支承,6,6,0,0,0,0END1、定义节点点击，或者使用“命令”菜单下的“节点”：定义----预览---应用三个数字分别表示“结点数和坐标”2、定义单元点击，或者使用“命令”菜单下的“单元”定义----预览---应用此处的3点与2、4、5都有连接，所以在杆端的连接方式要分别注意57和67对应的7点可以是“57刚接刚接”“67刚接铰接”也可以是“57刚接铰接”“67刚接铰接”3、显示单元方向点击“显示”菜单下的“单元方向”4、定义节点支撑点击或者是“命令”菜单下的“位移约束”指导学生分析“支座方向”5、结束当前命令命令菜单---问题定义----结束当前问题----确定出现end二，几何组成此题注意1节点支撑的方向结点,1,0,0结点,2,0.4,0结点,3,0.6,0结点,4,1,0结点,5,0.2,0.5结点,6,0.8,0.5结点,7,0.35,0.3结点,8,0.65,0.3单元,1,2,1,1,0,1,1,0单元,2,3,1,1,0,1,1,0单元,3,4,1,1,0,1,1,0单元,1,5,1,1,0,1,1,1单元,5,6,1,1,1,1,1,1单元,6,4,1,1,1,1,1,0单元,2,7,1,1,0,1,1,0单元,7,5,1,1,0,1,1,0单元,8,6,1,1,0,1,1,0单元,3,8,1,1,0,1,1,0单元,7,8,1,1,0,1,1,0结点支承,1,2,-90,0,0结点支承,4,1,0,0END1、几何组成的自动求解点击“求解菜单”----“几何组成”点击“静态显示”点击“动态显示”2、智能求解点击“求解菜单”----“几何构造”----“计算”学生分析：此结构怎样改成几何不变体系，是否可以在2点或者3点加一个支座三、静定结构计算（求弯矩图、轴力图、剪力图、支座反力）结点,1,0,0结点,5,8,0结点填充,1,5,3,2,1结点生成,1,4,2,4,1,0,-1.5单元,1,2,1,1,0,1,1,1单元,2,3,1,1,1,1,1,0单元,3,4,1,1,0,1,1,1单元,4,5,1,1,1,1,1,0单元,2,6,1,1,0,1,1,1单元,6,7,1,1,1,1,1,0单元,7,8,1,1,0,1,1,1单元,8,4,1,1,1,1,1,0结点支承,1,1,0,0结点支承,7,3,0,0,0结点支承,5,1,0,0单元荷载,1,1,1,1/2,90单元荷载,4,1,1,1/2,901、节点填充、结点生成定义结点填充结点生成（注意结点码增量，码增量）2、输入单元荷载点击单元荷载,1,1,1,1/2,90单元荷载,4,1,1,1/2,90点击“标注”-----“均布质量”3、弯矩图，轴力图，剪力图菜单“求解”----“内力计算”点击“结构”或者“单元”分别出现整体弯矩图和单根杆件的弯矩图点击可以把图形比例扩大或者缩小同理可以得出剪力图和弯矩图点击可以计算出每根杆件的内力4、支座反力计算点击出现以下界面点击“约束反力值”和“显示”可以计算出约束反力点击“输出”会计算所有杆件的内力表和所有支座反力表四、桁架结构求内力点击“求解”---“截面法”此命令只适合桁架结构，不适合梁、刚架、组合结构都不符合新教程习题2-2新教程习题4-2此题不需要用截面法求解直接点击“求解”---“几何组成”只有是几何不变才可以计算内力“求解”---“内力计算”---轴力---单元（或结构）---支座反力---输出，就可以得到轴力表格组合结构内力计算4-5直接点击“求解”---“几何组成”只有是几何不变才可以计算内力点击“求解”—“组合结构”可以用“图文解”和“文本解”分别解题五、简单操作技巧1、“单步显示”，能够非常直接的显示每一个步骤2、单行命令错误“删除单行命令”----点击“回车”，把光标放到需要修改的位置进行修改3、文本输入：绘出杆件长度、标注出荷载类型荷载、大小、荷载单位，EI、EA等等数值六、均布荷载的方向七、使用变量和算术表达式2、3、变量定义,L=2,H=L/2结点,1,0,0结点,2,0,H结点,3,L,H结点,4,L,0单元,1,2,1,1,1,1,1,1单元,2,3,1,1,1,1,1,1单元,3,4,1,1,1,1,1,1结点支承,1,6,0,0,0,0结点支承,4,6,0,0,0,0单元荷载,1,3,1,0,1,90变量定义,E=2.6e5,A=0.4*0.6,I=0.4*0.6**3变量定义,EA=E*A,EI=E*I单元材料性质,1,3,EA,EI,0,0,-1点击“标注”—抗压刚度---“抗弯刚度”4、求内力（弯矩、轴力、剪力和支座反力如前所示）5、位移计算点击“求解”---位移计算---结构---或者单元6、覆盖命令八、添加尺寸和输入文本点击“命令”---“尺寸线”用老结构力学习题7-6-1来标注也可以直接用鼠标点击图形中的位置，再调整标注进行从命令菜单中---文本九、简单公式的输入需要点击“公式”无需点击“公式”4F P {Eq：4F_P}十、：影响线结点填充,1,5,3,2,1结点生成,1,4,2,4,1,0,-1.5单元,1,2,1,1,0,1,1,1单元,2,3,1,1,1,1,1,0单元,3,4,1,1,0,1,1,1单元,4,5,1,1,1,1,1,0单元,2,6,1,1,0,1,1,1单元,6,7,1,1,1,1,1,0单元,7,8,1,1,0,1,1,1单元,8,4,1,1,1,1,1,0结点支承,1,1,0,0结点支承,7,3,0,0,0结点支承,5,1,0,0输入影响线参数点击“命令”---“其他参数”---“影响线”---“应用”点击“求解”---“影响线”分别求解1、2、3、4截面中点的弯矩影响线修改参数光标放在命令行的行末尾然后点击出现和前面一样的影响线参数菜单把“弯矩”改成“剪力”，再点击“”然后点击“求解”---“影响线”---“应用”，即求出剪力影响线十一、弯曲杆件的计算。

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e s
B s = [B s1
B s1 L B s1 ]
dN i B si = [ ,− N i ] dx
精确积分：
−1 l/2 l/2 1 l / 2 l 2 / 3 − l / 2 l 2 / 6 GA Ke s = 1 − l / 2 kl − 1 − l / 2 2 2 l / 2 l / 6 − l / 2 l / 3
§2.2 Timoshenko 梁单元
算例分析
悬臂梁自由端受集中力偶和集中力作用情况
P
M
§2.2 Timoshenko 梁单元
算例分析
结果分析
集中力偶M 集中力P
Pl 3 δ = 4 EI
4(1 + υ ) h 2 2 1 + 5 l
§2.2 Timoshenko 梁单元
如果 K 和K 都按照精确积分计算， 最后 得到的K s 和K b + K s都是非奇异矩阵。所以 我们尝试对K 进行精确积分，而对 K 进 行减缩积分。
e b e s
e b
e s
§2.2 Timoshenko 梁单元
解决剪切自锁问题的三种方法
（2）减缩积分
lGA 1 T K = B s B s dξ ∫ − 1 2k
Timoshenko梁单元
0 0 0 1 EI e = Kb l 0 0 0 − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1
−1 l/2 l/2 1 l / 2 l 2 / 3 − l / 2 l 2 / 6 GA Ke s = − l / 2 1 kl − 1 − l / 2 2 2 l / 2 l / 6 − l / 2 l / 3
2( x − xc ) ξ= l
−1 ≤ ξ ≤ 1
( x2 − x1 ) 其中： xc = 2
结点变量： wi , θ i
i = 1,2
§2.2 Timoshenko 梁单元
Timoshenko梁单元
w = ∑ N i wi
i =1
2
θ = ∑ N iθ i
i =1
2
(Lagrange插值)
2 ) Θ(K e h b = 2 e Θ(K s ) l
Θ(K e h 2 b) 对于细长梁当 → 0, 0 → l Θ(K e s)
§2.2 Timoshenko 梁单元
剪切自锁现象
h 对于细长梁当 → 0 时： l
(K b + K s )a = f → K sa = f
又因为 Θ(K e 所以 a → 0 s ) = lbhE → ∞，
B B b dξ
T b
lGA 1 T K = B s B s dξ ∫ − 1 2k
e s
其中： B b = [B b1 B b 2 L B bn ]
B s = [B s1
B s 2 L B sn ]
dN i B bi = [0,− ] dx
dN i B si = [ ,− N i ] dx
§2.2 Timoshenko 梁单元
§2.2 Timoshenko 梁单元
解决剪切自锁问题的三种方法
（2）减缩积分 例如，对于二结点单元，取 2 个高斯点得到的高 斯积分是精确积分，减缩积分可以取1 个高斯点
1 l / 2 GA Ke s= kl −1 l / 2 l / 2 −1 l / 2 l2 / 3 −l / 2 l2 / 6 −l / 2 1 −l / 2 l2 / 6 −l / 2 l2 / 3
第二章
梁单元
2004年3月3日
第二章 梁单元 §2.1 一维经典梁单元 §2.2 Timoshenko 梁单元 §2.3 二维相对自由度梁单元
§2.2 Timoshenko 梁单元
考虑剪切变形的Timoshenko梁
经典梁:
dw − θ＝0 dx
考虑剪切变形的梁:
dw − θ＝γ dx
由于考虑剪切变形的影响， 横截面转角 θ 与梁 的挠度 w 独立变化……
§2.2 Timoshenko 梁单元
刚体平移 刚体转动
常剪切应变
常弯曲应变
§2.2 Timoshenko 梁单元
Timoshenko梁单元的收敛性
(2) 完备性 结论：二结点单元插值函数中不包含纯弯 曲变形，不能满足收敛性条件。三 结点单元可以满足收敛性条件。
作业 8.2 9.5
谢谢！
Timoshenko梁单元的收敛性
考查插值函数是否满足协调性和完备性要求 (1) 协调性 泛函中对未知场函数的最高阶导数等于1， 即属于C0型连续，显然满足。
§2.2 Timoshenko 梁单元
Timoshenko梁单元的收敛性
(2) 完备性 从力学含义讲，插值函数的完备性要 求其中至少包含下列四种形式的变形
l
l
l
1 d 2w 2 1 GA 2 Π p ( w，γ ) = ∫ EI ( 2 ) dx + ∫ γ dx − ∫ q( x)wdx 2 dx 2 k 0 0 0
dw −Qw + M 0 dx 0
l
l
§2.2 Timoshenko 梁单元
解决剪切自锁问题的三种方法
插值方案：对于n个结点的单元，将w按n-1次多项 式插值，将 γ 按照n-2次多项式插值
显然，秩 ( K e s) = 3
ˆ e) =1 秩 (K s
1 l / 2 ˆ e = GA K s kl −1 l / 2
l / 2 −1 l2 / 4 −l / 2 −l / 2 1 l2 / 4 −l / 2
l /2 l 2 / 4 −l / 2 l 2 / 4
−1 ≤ ξ ≤ 1
1 N1 = (1 − ξ ) 2
1 N 2 = (1 + ξ ) 2
§2.2 Timoshenko 梁单元
Timoshenko梁单元
w = [N1 0 N 2 0] a e
θ = [0 N1 0 N 2 ] a e
a e = {w1 θ1 w2 θ 2 }
⊥
§2.2 Timoshenko 梁单元
l
l
注意：（1）横截面转角 θ 与梁的挠度 w 独立变化 （2） 在泛函中，θ 与 w只要求连续即可, 这样就将经典梁的 C1问题⇒C0问题
1 GA ＝α ，上述过程 （3）在泛函中，若取 2 k
也可以按照罚函梁单元
Timoshenko梁单元
Timoshenko梁单元的主要 特点是挠度 w和截面的转 角θ各自独立插值 无量纲坐标变换：
Timoshenko梁单元
将插值函数代入修正的变分原理得到：
Ka = f
K = ∑Ke
e
f = ∑f e
e
e Ke = Ke + K b s
a = ∑ ae
e
弯曲应变能刚度矩阵
剪切应变能刚度矩阵
§2.2 Timoshenko 梁单元
Timoshenko梁单元
lEI K = 2
e b
∫
1
−1
(K b + K s )a = f → K sa = f
又因为 Θ(K e 所以 a → 0 s ) = lbhE → ∞，
为了得到问题的非零解， 我们希望K s 奇异， 而K b + K s 奇异非。 如何实现呢？
§2.2 Timoshenko 梁单元
解决剪切自锁问题的三种方法
（3）减缩积分
3 bh E e Θ(K b ) = Θ( EI / l ) = l
2 Θ(K e ) = Θ ( GAl / kl ) = lbhE s
§2.2 Timoshenko 梁单元
剪切自锁现象
K =K +K
e e b e s 3 bh E e Θ(K b ) = Θ( EI / l ) = l 2 Θ(K e ) = Θ ( GAl / kl ) = lbhE s
§2.2 Timoshenko 梁单元
剪切自锁现象……
e Ke = Ke + K b s
0 0 0 1 EI = l 0 0 0 − 1
−1 l/2 l/2 1 0 0 2 2 GA l / 2 l / 3 − l / 2 l / 6 0 − 1 ＋ − l / 2 1 kl − 1 − l / 2 0 0 2 2 0 1 l / 2 l / 6 − l / 2 l / 3
§2.2 Timoshenko 梁单元
考虑剪切变形的Timoshenko梁
1 dθ 1 GA dw Π p (θ , w) = ∫ EI ( ) 2 dx + ∫ − θ dx − ∫ q( x) wdx 2 dx 2 k dx 0 0 0
l l l 2
dw −Qw + M 0 dx 0
§2.2 Timoshenko 梁单元
解决剪切自锁问题的三种方法
（2）减缩积分 如果单元结点数为 n，插值函数就是n-1次多项 式，被积函数就是 2n-2次多项式，所以如果取 2n-2 个高斯点，相应的高斯积分就是精确积分。 为了使单元刚度矩阵的奇异性增加， 采用减缩 积分方案，即仅取 2n-3一个高斯点进行计算。
问题：单元刚度矩阵奇异的增加，能否使的整体 刚度矩阵出现奇异性呢？
§2.2 Timoshenko 梁单元
解决剪切自锁问题的三种方法
（2）减缩积分
结论： 如果 对K 进行精确积分，而对 K 进行减缩 ˆ 奇异，而K + K ˆ 非 积分，最终可以使得 K
s b s e b e s
奇异。 ……
三种方法都可以有效地避免剪切自锁问题，在 单元结点数相同的前提下，可以证明这三种方 案等效，比较普遍使用的方法为减缩积分。