2020届天津市宁河区芦台一中2017级高三高考二模考试数学试卷及解析

天津市宁河县2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A．52B ．1C ．2D ．0【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值. 【详解】若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-如图：当3,12x y ==时函数取最大值为2 故答案选C 【点睛】求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 2．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃= B ．R R C B C A ⊆C ．A B =∅ID ．R R C A C B ⊆【答案】B【解析】 【分析】根据正弦函数的性质可得集合A ，由集合性质表示形式即可求得A B ⊆，进而可知满足R R C B C A ⊆. 【详解】依题意，{}|sin 21|,4A x x x x k k Z ππ⎧⎫====+∈⎨⎬⎩⎭； 而|,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭()212|,,4242n n x x n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或()21|,,442n x x n n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或，故A B ⊆， 则R R C B C A ⊆. 故选：B. 【点睛】本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.3．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,4] B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]【答案】D 【解析】 【分析】易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4121a x x =++-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】易知函数1()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴02n ≤≤，问题转化为：使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即223(1)2(1)4412111x x x a x x x x ++-++===++-+++在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4121y x x =++-+在区间[]0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤. 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.4．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ）A ．1B ．2C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果. 【详解】由题可知：()11i a bi +=+， 即1a ai bi +=+，所以1,1a b ==则212a bi i +=+==故选：D 【点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.5．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．1【答案】D 【解析】 【分析】推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可. 【详解】由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=，()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由于当10x -≤≤时，()21f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 7．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】C 【解析】 【分析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.8．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先求31(1)x-的展开式，再分类分析(2)mx -中用哪一项与31(1)x-相乘，将所有结果为常数的相加，即为31(2)(1)mx x--展开式的常数项，从而求出m 的值.【详解】31(1)x -展开式的通项为313311()(1)r r r r r r r T C C x x--+=⋅-=⋅-，当(2)mx -取2时，常数项为0322C ⨯=，当(2)mx -取mx -时，常数项为113(1)3m C m -⨯⨯-=由题知238m +=，则2m =. 故选：A. 【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2)mx -所取的项要进行分类讨论，属于基础题.9．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项. 【详解】对于A 选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A 选项错误. 对于B 选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B 选项错误. 对于C 选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C 选项错误.对于D 选项，甲的总得分45334322+++++=分，乙的总得分54545427+++++=分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D 选项正确. 故选：D 【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.10．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 11．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 【答案】D 【解析】 【分析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 收益203020103030604030305030所以7月收益最高，A 选项说法正确；4月收益最低，B 选项说法正确；16-月总收益140万元，712-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C 选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100-=万元，所以D 选项说法错误.故选D. 【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.12．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =R I ð A ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年2020届天津市滨海新区2017级高三高考二模考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}13,5A =,,{}2,3,4B =,则集合U A B 是( ) A. {1,3,5,6}B. {1,3,5}C. {1,3}D. {1,5} 【答案】D【解析】利用补集和交集的定义可求出集合U A B . 【详解】集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}13,5A =,,{}2,3,4B =,则{}1,5,6U B =, 因此,{}1,5U AB =. 故选：D.2.设x ∈R ,则“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】 分别求解|2|1x ->和2430x x -+>,观察解集的关系即可得出结果.【详解】解：|2|1x ->等价于2121x x ->-<-或,即31x x ><或；2430x x -+>的解为31x x ><或,解集相等,所以“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的充分必要条件.故选：C.3.某校有200位教职员工,其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计,每周锻炼时间在[10,12]小时内的人数为（ ）A. 18B. 36C. 54D. 72【答案】B【解析】 由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[10,12]小时内的频率,由此能求出每周锻炼时间在[10,12]小时内的人数．【详解】由频率分布直方图得：每周锻炼时间在[10,12]小时内的频率为：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝0.18, ∴每周锻炼时间在[10,12]小时内的人数为：200×0.18＝36．故选：B ．4.函数()()311x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由x →+∞时,()f x 的趋向性判断选项即可 【详解】由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x x x e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ；又因()()()33311211x x x e f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →,。

天津市宁河县2019-2020学年高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线222:14x y C m -=的焦距为45，则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A ．2B ．4C ．19D ．219【答案】B【解析】【分析】根据焦距即可求得参数m ，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】 因为双曲线222:14x y C m-=的焦距为45， 故可得()22425m +=，解得216m =，不妨取4m =；又焦点()25,0F ，其中一条渐近线为2y x =-， 由点到直线的距离公式即可求的4545d ==.故选：B.【点睛】 本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺【答案】A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的 四棱锥的体积 由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺．故选A ． 【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．3．在ABC V 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，(0,0)AN AC μλμ=>>u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．72【答案】B【解析】【分析】由M ，P ，N 三点共线，可得11122λμ+=，转化11()22λμλμλμ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式，即得解.【详解】因为点P 为BC 中点，所以1122AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 又因为AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u u r u u u r ， 所以1122AP AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ． 因为M ，P ，N 三点共线， 所以11122λμ+=，所以111111()122 222222λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫⎛⎫+=++=++++⨯⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…，当且仅当,11122λμμλλμ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即1λμ==时等号成立，所以λμ+的最小值为1．故选：B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.4．已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，点M为棱1DD的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为（）A．3πB．23πC．πD．43π【答案】A【解析】【分析】根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.【详解】如图所示：设内切球球心为O，O到平面ACM的距离为d，截面圆的半径为r，因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1，又因为O AMC M AOCV V--=，所以1233AMC AOCd S S⨯⨯=V V，又因为()()221122526,221222AMC AOCS S=⨯-==⨯=V V所以1233d ⨯=，所以3d =，所以截面圆的半径r ==233S ππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【答案】B【解析】【分析】根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x+1）=f （1-x ），便可推出f （x+4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1．【详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-；∴(2)()()f x f x f x +=-=-；∴(4)()f x f x +=；∴()f x 的周期为4；∵[0,1]x ∈时，()2x f x m =-；∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=；∴1m =；∴[0,1]x ∈时，()21x f x =-；∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.6．已知集合{(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】C【解析】【分析】集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【详解】由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立y 2y x =，2x =，整理得215x =，即x =±，当x =时，20y x =<，不满足题意；故方程组有唯一的解55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故55A B ⎧⎫⎛⎪⎪⋂= ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 故选：C.【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.7．i 是虚数单位，21i z i =-则||z =（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】C【解析】【分析】由复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，即可求解.【详解】由22(1)1,||1i i z i z i+==-+=-故选:C.【点睛】本题考查复数的除法和模，属于基础题.8．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A B C ．2 D ．5【答案】D【解析】【分析】 先化简得31i,55z =+再求||z 得解. 【详解】 2i 2i(13i)31i,13i 1055z -===++所以||z =. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12- D ．12 【答案】B【解析】【分析】 依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a ，即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数，得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ）， ∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．10．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=，PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π 【答案】D【解析】【分析】由题意画出图形，找出△PAB 外接圆的圆心及三棱锥P ﹣BCD 的外接球心O ，通过求解三角形求出三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径，则答案可求.【详解】如图；设AB 的中点为D ；∵PA 2=，PB 14=，AB ＝4，∴△PAB 为直角三角形，且斜边为AB ，故其外接圆半径为：r 12=AB ＝AD ＝2； 设外接球球心为O ；∵CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，∴CD ⊥AB 可得CD ⊥面PAB ；且DC 226CA AD =-=.∴O 在CD 上；故有：AO 2＝OD 2+AD 2⇒R 2＝（6-R ）2+r 2⇒R 6=； ∴球O 的表面积为：4πR 2＝4π25036π⨯= ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.11．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<…，则()R A B U ð=（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x x 剟C ．{|10}x x -<…D ．{|1}x x -…【答案】D【解析】【分析】 先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()R A B U ð【详解】 {|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.12．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）A ．69人B ．84人C ．108人D ．115人 【答案】D【解析】【分析】先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得500名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.【详解】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100453223--=人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x 人，则10050023x=，解得115x =人. 故选：D【点睛】本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,2]-∞-（B ）[2,)-+∞（C ）(,2]-∞（D ）[2,)+∞解析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，,A B A A B =⊆,所以满足2a ≥，所以答案选择D.知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算 难度系数：22．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限解析：22=(12i)14434z i i i +=++=-+，所以复数对应的点（-3,4）点在第二象限。

知识点;推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方 难度系数：23．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A（B）2（C（D）2解析：双曲线的渐近线方程为b y x a =±，2222222,,5,5,bc a b c a e e a∴==+===，所以答案为C知识点：解析几何---------圆锥曲线--------双曲线 难度系数：34．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A ∈，且4A ∈ （BA ，且4A ∈ （C ） 2A ∈，且A （DAA的正方形，高为4的正四棱锥，所以每=D 。

知识点：立体几何-------空间几何体----------空间几何体的三视图和直观图 难度系数：25．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：平面向量a ，b ，c 均为非零向量，()0⋅-=a b c ，可以得出=b c 或者()⊥-a b c ；所以为必要不充分条件。

天津市部分区2020年高三质量调查试卷（二）数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)10．221916x y -= 11．2- 12． 13．2 14．2；10 15．920-三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16．解：（1）依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2:2:3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别 抽取2人、2人、3人． ……………………………………………………………3分 （2）（ⅰ）依题意，得随机变量X 的所有可能取值为2，3，4．………………4分所以，45247()(2,3,4)k kC C P X k k C -⋅===．…………………………………………5分 因此，所求随机变量X 的分布列为………………………………………………10分故随机变量X 的数学期望为1020520()2343535357E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………11分 （ⅱ）依题意，设事件B 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”.则有M B C =U ，且B 与C 互斥. 由①知，()(2),()(3)P B P X P C P X ====，所以6()()(2)(3).7P M P B C P X P X ===+==U ………………………13分 故事件M 发生的概率为67． ……………………………………………………14分 17.（1）证明：因为()2=31n n S a -（n ∈N *）， ①所以，当2n ≥时，有()-1-12=31n n S a -， ② ……………………………1分 ①-②得()()112=3n n n n S S a a ----， 即12=33n n n a a a --，所以1=3n n a a -（n ∈N *，2n ≥）．………………………3分 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． …………………………………………4分 又由①得()112=31S a -，所以13a =． …………………………………………5分所以111333n n nn a a q --==⨯=． …………………………………………………7分（2）解：由题意及（1）得()()21213=-=-n n n b n a n ． ………………………8分 所以()121333213=⨯+⨯++-⋅L n n T n ， ③所以()()23131333233213+=⨯+⨯++-⋅+-⋅L n n n T n n ， ④ …………10分 ③-④，得()1231213232323213+-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅L n n n T n………………12分()()11231323333213+=-+++++--⋅L n n n()()()1133132213621331++-=-+⨯--⋅=----n n n n n ， …………14分故()1313n n T n +=+-． …………………………………………………………15分18.（1）证明：因为AB //CD ，90∠=oBAD ，所以90ADC ∠=o.又因为1==AD CD ，所以ACD ∆是等腰直角三角形,所以AC =45CAD ∠=o ． …………………………………………………2分又因为90∠=oBAD ，45ABC ∠=o，所以90ACB ∠=o，即AC BC ⊥． ………………………………………………3分 因为⊥PC 底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥.又PC AC C =I ,所以BC ⊥平面PAC ． ………………………………………6分 （2）解：在Rt ∆ABC 中, 45ABC ∠=o，AC =BC =由（1）知，BC ⊥平面PAC ，所以BPC ∠是直线PB 与平面PAC所成的角，则sin BPC ∠=． ………7分 在Rt ∆PBC 中, sin 3BC PB BPC ===∠所以2PC ==． ……………………………………………………8分【方法一】以点C 为原点，分别以,,AC CB CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． …………………………9分 则()()()()0,0,0,0,0,2,,C P A B . 因为E 为PB的中点，所以0,12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以(),0,2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．…………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2y z ⎧=+=⎩ 令2y =，得0,x z ==(0,2,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()0,1,0n =r为平面PAC 的一个法向量． ……………13分所以cos ,m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --…………………………………15分 【方法二】以点C 为原点，分别以,,CB CA CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． ………………………9分 则()()())0,0,0,0,0,2,,C P A B.因为E 为PB的中点，所以012E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以(),2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ． …………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2x z =+=⎩ 令2x =，得0,y z ==．所以(2,0,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()1,0,0n =r为平面PAC 的一个法向量.………………13分所以cos ,3m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --……………………………………15分 19.（1）解：设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c （0c >），则26c =，所以3c =． ……………………………………………………………1分因为直线AB 过C 的焦点1F ，且2ABF ∆的周长是， 所以()()()2112224AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =． ……………………………………………………………………2分 所以2221899b a c =-=-=． …………………………………………………3分所以，椭圆C 的方程是221189x y +=． ……………………………………………4分（2）（ⅰ）证明：由题意得，直线OP ：1y k x =，直线OQ ：2y k x =. 因为直线,OP OQ 与圆M 相切，=,化简，得22210010(6)260x k x y k y --+-=； 同理，得222020020(6)260x k x y k y --+-=．……………………………………6分所以12,k k 是一元二次方程2220000(6)260x k x y k y --+-=的两实数根，则有20122066y k k x -⋅=-．………………………………………………………………7分又因为点00(,)M x y 在C 上，所以22001189x y +=，即2200192y x =-， 所以()22001222001136122662x x k k x x --===---（定值）． ……………………………9分 （ⅱ）解：22OP OQ +是定值，且定值为27． ……………………………10分 理由如下：【方法一】设),(,),(2211y x Q y x P .由（1）、（2）联立方程组122,1,189y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得212122112118,1218.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ …………11分 所以2221112118(1)12k x y k ++=+． …………………………………………………12分同理，得2222222218(1)12k x y k ++=+． ……………………………………………13分 由（2）知1212k k =-， 所以2222221122OP OQ x y x y +=+++2212221218(1)18(1)1212k k k k ++=+++ 22112211118(1())18(1)211212()2k k k k +-+=+++-2121275412k k +=+27=， 所以22=27OP OQ +（定值）．……………………………………………15分 【方法二】设),(,),(2211y x Q y x P , 由（2）知1212k k =-，所以2222121214y y x x =． ………………………………11分 因为),(,),(2211y x Q y x P 在C 上，所以221122221,1891,189x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即 2211222219,219.2y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ………………………………12分 所以22221212111(9)(9)224x x x x --=，整理得221218x x +=， 所以222212121199922y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………14分 故有22=27OP OQ +（定值）.………………………………………………15分 20.解：（1）由题意,得()()()()sin cos 4cos sin 2sin 4x x x f x e x x e x x e x '=-+++=+，………1分所以()04f '=．因为()03f =，所以()340y x -=-，即所求曲线()=y f x 在点()()0,0f 处的切线方程为430x y -+=． ………3分 （2）易知，函数()h x 的定义域为R ，()2sin '=+g x x ， 且有()()''=-h x f x ()'ag x()()()()2sin 4sin 22sin 2=+-+=-+x x e x a x e a x ．……………5分由于sin 20+>x 在∈x R 上恒成立，所以①当0≤a 时，20->xe a 在∈x R 上恒成立，此时()0'>h x ，所以，()h x 在区间(),-∞+∞上单调递增． ……………………………………7分 ②当0>a 时，由()0'>h x ，即20->xe a ，解得ln2>ax ； 由()0'<h x ，即20-<xe a ，解得ln2<a x . 所以，()h x 在区间,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭a 上单调递减； 在区间ln,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 上单调递增． ………………………………………9分 （3）易知，cos 0+-≤xx mx e等价于cos 0--≤x e x x m .设()cos ϕ=--x x e x x m （50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ）．…………………………………10分 由题意，对50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，不等式cos 0+-≤x x m x e 恒成立， 只需()max 0ϕ≤x ． ………………………………………………………………11分 易得()()cos sin 1'ϕ=--x x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x . 令()()cos sin 1=--x t x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ， 所以()()2sin '=-x t x e x ． ……………………………………………………13分 显然，当50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0'≤t x 恒成立. 所以函数()t x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减，所以()()00≤=t x t ， 即()0'ϕ≤x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 恒成立．……………………………………………14分 所以，函数()ϕx 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减. 所以有()()max 010ϕ=ϕ=-≤x m ， …………………………………………15分 所以1≥m .故所求实数m 的取值范围是[)1,+∞． …………………………………………16分。

2020年天津市部分区高考数学二模试卷(含答案解析)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12020年天津市部分区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设集合0，，2，，，则A. B. C. D. 0，2.已知命题p：，，则命题p的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，3.已知i为虚数单位，若复数的实部为，则A. B. C. D.4.函数是定义在R上的奇函数，且当时，为常数，则A. B. C. D.5.若，，则A. 0B.C. 1D.6.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 11B. 13C. 15D. 177.已知，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.8.若函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是A. B. C. D.9.已知函数函数若关于x的方程有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.双曲线的右焦点为，且一条渐近线方程是，则该双曲线的方程是______．11.若的展开式中的常数项为，则实数______．12.已知点在直线上，则的最小值为______．13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则______．14.如图，点O是长方体的中心，E，F，G，H分别为其所在棱的中点，且记棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，则______；若该长方体的体积为120，则四棱锥的体积为______．15.16.17.在梯形ABCD中，，，，，若点M在线段BD上，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）18.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”每位学生只能参加一个小组，以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．19.应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？20.若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．21.记X表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X的分布列和数学期望；22.设M为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M发生的概率．23.24.25.26.27.28.29.30.已知各项均为正数的数列，满足31.求证：为等比数列，并写出其通项公式；32.设，求数列的前n项和．33.34.35.36.37.38.39.如图，四棱锥中，底面四边形ABCD是直角梯形，底面ABCD，，，，，E为PB的中点．40.求证：平面PAC；41.若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．42.43.44.45.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，其焦距为6，过的直线与C交于A，B两点，且的周长是．46.求C的方程；47.若是C上的动点，从点是坐标系原点向圆作两条切线，分别交C于P，Q两点．已知直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为，．48.求证：为定值；49.试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．50.51.52.53.54.55.56.57.已知函数，函数，其中是自然对数的底数．58.求曲线在点处的切线方程；59.设函数，讨论的单调性；60.若对任意，恒有关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．61.62.64.65.66.-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】进行交集和并集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．【解答】解：0，，2，，，0，1，2，，．故选：B．2.答案：C解析：解：因为命题p：，，是特称命题，故命题p的否定是：，；故选：C．直接根据命题的特点，求出结论即可．本题考查命题的否定，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：D解析：解：的实部为，，即．，则．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于求得a，进一步求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，函数为定义在R上的奇函数，且时，则，解得，则当时，令，则，即有，所以当时，故，故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得，进而求得当时函数的解析式，进而可得的值本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于中档题．5.答案：A解析：解：，，又，则，即，则，故选：A．由角的范围和，可求出，进而可求余弦值．本题考查三角函数给值求角，注意角的范围，以及给角求值，属于基础题．6.答案：B解析：解：设等差数列的公差为d，，，，，联立解得：，，则．故选：B．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：，，，．故选：C．由，，可得a，b都小于0，再与比较大小即可得出关系，c大于0．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：由，，得，，即函数的单调递减区间为，，在区间单调递减，且，即，得，，即，，，当时，，由得，在区间有零点，满足，当时，，得综上：，故选：D．利用余弦函数的单调性和零点，求得的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据余弦函数的单调性和零点性质建立不等式关系是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：作出函数和的图象如图：由图可知，当时，不满足题意，则；当直线经过点B时，，此时与函数图象有3个交点，满足；当为的切线时，设切点，则，故有，解得，即有切点为，此时与有3个交点，满足题意；综上：当，故选：B．利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数零点个数的判断和应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．10.答案：解析：解：双曲线的右焦点为，，又有一条渐近线方程是，，，，解得，，双曲线的标准方程为．故答案为：．由题可知，，，再结合，解得，，于是求得双曲线的方程．本题考查双曲线标准方程的求法、基本几何性质，考查学生的运算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得的常数项为，则实数，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.答案：解析：解：由题意可得，，则，当且仅当且即，时取等号，故答案为：由已知直接利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．13.答案：解析：解：，，即，由正弦定理可得：，，可得，即，．故答案为：．利用两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan A，进而可求cos A的值．本题主要考查了两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：2 10解析：解：如图，点O是长方体的中心，为的中点，平面，平面平面，在平面内，过O作则平面，则，且，又棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，；设，则，，，即正方形EFGH的边长为，则面积为，则．故答案为：2；10．由点O是长方体的中心，得O为的中点，在平面内，过O作，证明平面，可得，且，得到；设，则，再把四棱锥的体积用含有a与l的代数式表示，即可求得四棱锥的体积．本题考查长方体与棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．15.答案：解析：解：因为在梯形ABCD中，，，，，，令，，，．．，代入上式得：，所以，当时，的最小值为．故答案为：．以为基底，并且设，，然后用基底将表示出来，最终把问题转化为关于的函数，求其最小值即可．本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算问题．同时考查学生利用化归思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．16.答案：解：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别抽取2人、2人、3人．分依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，分所以，分X 2 3 4P分故随机变量X的数学期望为分依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”．则有，且B与C互斥．由知，，，所以分故事件M发生的概率为分解析：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，采用分层抽样方法从中抽取7人，即可得出结论．依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，4，利用超几何分布列计算公式，即可得出分布列，进而得出数学期望依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”，可得，且B与C互斥．由知，，，即可得出．本题考查了超几何分布列与数学期望、分层抽样、互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：证明：因为，所以，当时，有，由得，即，所以，所以数列是公比为2的等比数列．又由得，解得：所以；解：由题意及得，所以，所以，由，得，故．解析：由，两式相减整理得所以，从而证明其为等比数列，进而可求其通项公式；由求得，再利用错位相减法求其和即可．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.答案：解：证明：因为，，所以．又因为，所以是等腰直角三角形，所以，．又因为，，所以，即．因为底面ABCD，平面ABCD，所以．又，所以平面PAC．解：在中，，，所以．由知，平面PAC，所以是直线PB与平面PAC所成的角，则．在中，，所以．【方法一】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．【方法二】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．解析：推导出由此能证明平面PAC．法一：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．法二：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：设椭圆C：的焦距为，则，所以．因为直线AB过C的焦点，且的周长是，所以，所以．所以．所以，椭圆C的方程是．证明：由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，所以，化简，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，则有．又因为点在C上，所以，即，所以定值．解：是定值，且定值为27．理由如下：方法一设，由、联立方程组解得所以．同理，得．由知，所以，所以定值．方法二设，，由知，所以．因为，在C上，所以，即所以，整理得，所以．故有定值．解析：根据题意可得，解得a，b，进而得椭圆C的方程．由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，所以又因为点在C上，所以，进而定值．方法一设，联立方程组解得P点的坐标，进而得同理，得，由知，所以，化简可得出结论．方法二设，，由知，所以因为，在C上，所以，即两式相乘，化简，再代入化简即可得出结论．本题考查椭圆方程，定值问题，在解题过程中关键是细心进行运算化简，属于中档题．20.答案：解：由题意，得，所以．因为，所以，即所求曲线在点处的切线方程为．易知，函数的定义域为R，，且有．由于在上恒成立，所以当时，在上恒成立，此时，所以，在区间上单调递增．当时，由，即，解得；由，即，解得．所以，在区间上单调递减；在区间上单调递增．易知，等价于．设由题意，对时，不等式恒成立，只需．易得，．令，，所以．显然，当时，恒成立．所以函数在上单调递减，所以，即在恒成立．所以，函数在上单调递减．所以有．所以．故所求实数m的取值范围是．解析：求出，通过然后求解切线方程．求出，通过当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性即可．设转化为对时，不等式恒成立，只需利用函数的导数，构造函数，二次导函数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后推出结果．本题考查导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，二次导函数的应用，是难题．。

2020年天津市宁河区芦台一中高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本题共9个小题，每题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，有一个是正确的）1．（5分）已知R 为实数集，2{|10}A x x =-„，1{|}B x l x =…，则()(R A B =⋂ð )A ．{|10}x x -<„B ．{|01}x x <„C ．{|10}x x -剟D ．{|10x x -剟或1}x =2．（5分）已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝为( ) A ．02x ∃>，380x -„ B ．2x ∀>，380x -„C ．02x ∃„，380x -„ D ．2x ∀„，380x -„3．（5分）8()x x-的二项展开式中，2x 的系数是( )A ．70B ．70-C ．28D ．28-4．（5分）设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．（5分）函数1()||1xf x ln x-=+的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．6．（5分）在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为1F，2F，点P是C的右支上一点，连接1PF与y轴交于点M，若1||2||(FO OM O=为坐标原点），12PF PF⊥，则双曲线C的渐近线方程为()A．3y x=±B．3y x=±C．2y x=±D．2y x=±8．（5分）已知函数()3(0)0,,362f x sin x cos xπωωωπ⎛⎫⎡⎤=++>⎤⎡⎪⎦⎣⎢⎥⎝⎭⎣⎦在上的值域为，则实数ω的取值范围为()A．11[,]63B．12[,]33C．1[,]6+∞D．12[,]239．（5分）在四边形ABCD中，//AD BC，2AB=，5AD=，3BC=，60A∠=︒，点E在线段CB的延长线上，且AE BE=，点M在边CD所在直线上，则AM MEu u u u r u u u rg的最大值为( )A．714-B．24-C．514-D．30-二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）10．（5分）设121iz ii-=++，则||z=．11．（5分）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则(2)P X<=；随机变量X的数学期望EX=．12．（5分）如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD-，该四棱锥的体积为42，则该半球的体积为．13．（5分）过点(2,2)M的直线1与圆22280x y x+--=相交于A，B两点，则||AB的最小值为；此时直线1的方程为．14．（5分）已知a，b均为正数，且1a b+=，2112aab+-的最小值为．15．（5分）已知函数231,0()26,0ax xf x xlnx x x⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x的方程()()0f x f x+-=恰有四个不同的解，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，且cos 2cos a Ab B=-． （Ⅰ）求a c． （Ⅱ）若4b =，1cos 4C =，求ABC ∆的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos(2)3C π+的值．17．（15分）如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点 （Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ； （Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为21，若存在求出EN 的长，若不存在说明理由．18．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，F 为其右焦点，1111B A B F =u u u u r u u u u r g ，且该椭圆的离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点1A 作斜率为k 的直线1交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交直线4x =于点D ，直线2A D 与椭圆C 的另一个交点为G ，直线OG 与直线1A D 交于点H ．若11A P A H λ=u u u r u u u u r ，求λ取值范围．19．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(,)n n S 在函数122x y +=-的图象上．()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 设数列{}n b 满足：10b =，1n n n b b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和公式；()III 在第()II 问的条件下，若对于任意的*n N ∈不等式1n n b b λ+<恒成立，求实数λ的取值范围．20．（16分）已知函数21()2x f x e ax x =-+，其中1a >-． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设21()()2h x f x ax x lnx =+--，求证：()2h x >；（Ⅲ）若21()2f x x x b ++…对于x R ∈恒成立，求b a -的最大值．2020年天津市宁河区芦台一中高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共9个小题，每题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，有一个是正确的）1．（5分）已知R 为实数集，2{|10}A x x =-„，1{|}B x l x =…，则()(R A B =⋂ð )A ．{|10}x x -<„B ．{|01}x x <„C ．{|10}x x -剟D ．{|10x x -剟或1}x =【解答】解：R Q 为实数集，2{|10}{|11}A x x x x =-=-剟?， 1{|}{|01}B x l x x x ==<厔，{|0R C B x x ∴=„或1}x >，(){|10}R A B x x ∴=-I 剟ð．故选：C ．2．（5分）已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝为( ) A ．02x ∃>，380x -„ B ．2x ∀>，380x -„C ．02x ∃„，380x -„ D ．2x ∀„，380x -„【解答】解：已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝是2x ∀>，38x -„， 故选：B ． 3．（5分）8(x的二项展开式中，2x 的系数是( )A ．70B ．70-C ．28D ．28- 【解答】解：根据二项式定理，8(x-的通项为38218(1)r rrr T C x -+=-gg ，当3822r -=时，即4r =时，可得2570T x =．即2x 项的系数为70， 故选：A ．4．（5分）设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：因为2log 3(1,2)a =∈，42log 6log 6(1,2)b ==∈，且a b >，0.10.115(0,1)5c -==∈， 所以c b a <<． 故选：A ．5．（5分）函数1()||1xf x ln x-=+的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：函数1()||1xf x ln x-=+， 可知11()||||()11x xf x ln ln f x x x+--==-=--+，函数是奇函数，排除选项A ，C ， 当0x >时，1||11x x-<+，1||01xln x -<+， 对应点在第四象限，排除D ． 故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在ABC ∆中，cos cos sin sin A B A B A B <⇔>⇔>， 故“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充要条件， 故选：C ．7．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若1||2||(FO OM O =为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．3y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±【解答】解：由题意双曲线的图形如图，设1PF m =，2PF n =，点P 是C 的右支上一点， 连接1PF 与y 轴交于点M ，若1||2||(FO OM O =为坐标原点），12PF PF ⊥， 可得：112OM n OF m ==，所以2m n =，2n a =，所以4m a =， 可得22222164444a a c a b +==+， 解得2ba=， 所以双曲线的渐近线方程为：2y x =±． 故选：C ．8．（5分）已知函数()3(0)0,362f x sin x cos x πωωωπ⎛⎫⎡=++>⎤⎡ ⎪⎦⎣⎢⎝⎭⎣在上的值域为，则实数ω的取值范围为( )A ．11[,]63B ．12[,]33C ．1[,]6+∞D ．12[,]23【解答】解：因为函数3133()sin()cos cos cos cos 3sin()6223f x x x x x x x x x ππωωωωωωωω=++=++=++，在[0，]π上，[33x ππω+∈，]3πωπ+． 若()f x 在[0，]π上的值域为3[2，3]，则3sin()[3x πω+∈，1]，∴2233πππωπ+剟，求得1163ω剟， 故选：A ．9．（5分）在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME u u u u r u u u rg 的最大值为() A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【解答】解：如图：；因为：在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒， 点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =；2AE BE AB ∴===；∴四边形AECD 为平行四边形；且AD u u u r 与DC u u u r所成角为60︒． 设DM xDC =u u u u r u u u r ，∴222()()()[(1)](1)[(1)]4620AM ME AD DM MC CE AD xDC x DC AD AD x x DC x x AD DC x x =++=+--=-+-+--=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g ；Q 对称轴为34x =，开口向下 34x ∴=时，AM ME u u u u r u u u r g 的最大值为：233714()620444-⨯+⨯-=-．故选：A ．二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上） 10．（5分）设121iz i i-=++，则||z = 1 ．【解答】解：21(1)222 1(1)(1)i iz i ii i ii i i--=+=+=-+=++-Q，||1z∴=．故答案为：1．11．（5分）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则(2)P X<=4960；随机变量X的数学期望EX=．【解答】解：X表示取得次品的个数，~(10X，3，2)的超几何分布，12337733101049(2)60C C CP XC C<=+=，320.610EX==g，故答案为：49,0.66012．（5分）如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD-，该四棱锥的体积为42，则该半球的体积为423π．【解答】解：设球的半径为R，则底面ABCD的面积为22R，Q半球内有一内接正四棱锥S ABCD-42，∴2142233R R⨯⨯=，322R∴=∴该半球的体积为3144223V Rπ=⨯．42．13．（5分）过点(2,2)M的直线1与圆22280x y x+--=相交于A，B两点，则||AB的最小值为4；此时直线1的方程为．【解答】解：Q圆22280x y x+--=，即22(1)9x y-+=，圆心(1,0)C，半径为3，点(2,2)M在圆内，20221MCk-==-，要使||AB的值最小，则MC AB⊥，此时||MC=，||4AB==；直线l的斜率为12-，则直线l的方程为12(2)2y x-=--，即260x y+-=．故答案为：4；260x y+-=．14．（5分）已知a，b均为正数，且1a b+=，2112aab+-【解答】解：因为1a b+=，所以2221()11222a a ab a bab ab b a+++-=-=+…，当且仅当2a bb a=，即1a=、2b=时取等号，15．（5分）已知函数231,0()26,0ax xf x xlnx x x⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x的方程()()0f x f x+-=恰有四个不同的解，则实数a的取值范围是(2,0)-．【解答】解：已知定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的函数231,0()26,0ax xf x xlnx x x⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若()()0f x f x+-=在定义域上有四个不同的解等价于231ay xx=++关于原点对称的函数231ay xx=-+-与函数()26(0)f x lnx x x=->的图象有两个交点，联立可得226310alnx x xx-+-+=有两个解，即23263a xlnx x x x=-++，0x>，可设23()263g x xlnx x x x=-++，0x>，2()32129g x lnx x x'=+-+，2()1812120g x xx''=+-=…，可得()g x'在(0,)+∞递增，由g'（1）0=，可得01x<<时，()0g x'<，()g x递减；1x>时，()0g x'>，()g x递增，即()g x 在1x =处取得极小值且为2-，作出()y g x =的图象，可得20a -<<时，226310alnx x x x-+-+=有两个解， 故答案为：(2,0)-．三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，且cos 2cos a Ab B=-． （Ⅰ）求a c． （Ⅱ）若4b =，1cos 4C =，求ABC ∆的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos(2)3C π+的值．【解答】解：()I 因为cos sin 2cos sin a A Ab B B==-， 所以2sin sin cos sin cos A A B B A -=，所以2sin sin cos sin cos sin()sin A A B B A A B C =+=+=， 由正弦定理可得，sin 1sin 2a A c C ==； ()II 由余弦定理可得，22116448a a a+-=， 整理可得，232160a a +-=， 解可得，2a =， 因为15sin C =所以1115sin 241522ABC S ab C ∆==⨯⨯=；()III 由于15115sin 22sin cos 24C C C ===，27cos22cos 18C C =-=-．所以1317315735cos(2)cos2sin 2()3228C C C π--+=-=⨯--⨯=． 17．（15分）如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点 （Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ； （Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为21，若存在求出EN 的长，若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC 中点P ，连结MP 、FP ，ABC ∆Q 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点，//EF MP =∴，∴四边形EFPM 是平行四边形，//FP EM ∴，EM ⊂/Q 平面ACF ，FP ⊂平面ACF ，//EM ∴平面ACF ．（Ⅱ）解：取AB 中点O ，连结CO ，FO ，Q 在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点， FO ∴⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0B ，1，0)，(3C 0，0)，(0E ，1，1)，(0F ，0，1)， (3BC =u u u r 1-，0)，(0BE =u u u r ，0，1)，(0BF =u u u r，1-，1)，设平面BCE 的法向量(n x =r，y ，)z ，则30n BC x yn BE z⎧=-=⎪⎨==⎪⎩u u u rrgu u u rrg，取1x=，得(1n=r，3，0)，设平面BCF的法向量(m a=r，b，)c，则30m BC a bm BF b c⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u rrgu u u rrg，取1a=，得(1,3,3)m=r，设二面角E BC F--的平面角为θ，则||27cos||||47m nm nθ===r rgr rg g．∴二面角E BC F--的余弦值为27．（Ⅲ）解：假设在线段EF上是存在一点N，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为21，设EN t=．则(0N，1t-，1)，(3CF=-u u u r，1t-，1)，平面BCF的法向量(1,3,3)m=r，2|||33|27|cos,|||||4(1)7CF m tCF mCF m t-∴<>===+-u u u r ru u u r gru u u r rg g，整理得2(1)16t-=-，无解，∴线段EF上是不存在一点N，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为2121．18．（15分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为1A、2A，上、下顶点分别为1B，2B，F为其右焦点，1111B A B F=u u u u r u u u u rg，且该椭圆的离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点1A 作斜率为k 的直线1交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交直线4x =于点D ，直线2A D 与椭圆C 的另一个交点为G ，直线OG 与直线1A D 交于点H ．若11A P A H λ=u u u r u u u u r，求λ取值范围．【解答】解：（Ⅰ）1(,0)A a -，1(0,)B b ，(,0)F c ， 11(,)B A a b =--u u u u r ，1(,)B F c b =-u u u u r，由1111B A B F =u u u u r u u u u r g ，得21b ac -=，又12c a =，222a b c =+，解得：2a =，b =1c =．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（Ⅱ）设直线1:(2)(0)A D y k x k =+>，则与直线4x =的交点(4,6)D k ， 又2(2,0)A ，∴设直线2:3(2)A D y k x =-，联立223(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得2224(112)964840k k x k +-+-=．解得22242(112k G k -+，212)112kk -+， 联立22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2268(34k P k -+，212)34k k +， 直线26:121kOG y x k -=-，联立26121(2)k y x k y k x -⎧=⎪-⎨⎪=+⎩，解得22242(125k H k -++，212)125k k +， Q 11A P A H λ=u u u r u u u u r ，(2P x ∴+，)(2P H y x λ=+，)H y ， P H y y λ∴=，∴22222125129443344343P H y k k y k k k λ++-====-+++，函数24()343f k k =-+在(0,)+∞上单调递增， 5()(3f k λ∴=∈，3)．19．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(,)n n S 在函数122x y +=-的图象上．()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 设数列{}n b 满足：10b =，1n n n b b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和公式；()III 在第()II 问的条件下，若对于任意的*n N ∈不等式1n n b b λ+<恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：()I 由题意可知，122n n S +=-． 当2n …时，1122(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， 当1n =时，1111222a S +==-=也满足上式， 所以2(*)n n a n N =∈．⋯（3分）()II 由()I 可知12(*)n n n b b n N ++=∈，即12(*)k k k b b k N ++=∈． 当1k =时，1212b b +=，⋯①当2k =时，2322b b +=，所以2322b b --=-，⋯② 当3k =时，3432b b +=，⋯③当4k =时，4542b b +=，所以4542b b --=-，⋯④⋯ ⋯当1k n =-时(n 为偶数），112n n n b b --+=，所以1121n n n b b n ----=-⋯- 以上1n -个式子相加，得2341122222n n b b -+=-+-+⋯+ 112[1(2)]2(12)221(2)333n n n ----+===+--，又10b =，所以，当n 为偶数时，2233n n b =+．同理，当n 为奇数时，2341122222n n b b --+=-+-+⋯- 12[1(2)]221(2)3n n----==--， 所以，当n 为奇数时，2233n n b =-．⋯（6分）因此，当n 为偶数时，数列{}n b 的前n 项和12n n T b b b =++⋯+2342222222222()()()()()3333333333n =-+++-+++⋯++ 2122212(12)2233331233n n n +-=++⋯+==--g ； 当n 为奇数时，数列{}n b 的前n 项和121n n n T b b b b -=++⋯++2122222222()()()()33333333n n -=-+++⋯+++- 21222224()333333n n +=++⋯+-=-． 故数列{}n b 的前n 项和()()1122332433n n n n T n ++⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数．⋯（8分）()III 由()II 可知()()22332233n n nn b n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数， ①当n 为偶数时，111122221333222222233n n n n n n n b b ++++++===+-+-，所以1n n bb +随n 的增大而减小，从而，当n 为偶数时，1n n b b +的最大值是231bb =．②当n 为奇数时，111122221333222222233n n n n n n n b b ++++--===-+++，所以1n n b b +随n 的增大而增大，且1113112222n n n b b ++=-<<+．综上，1nn b b +的最大值是1． 因此，若对于任意的*n N ∈，不等式1n n b b λ+<恒成立，只需1λ>， 故实数λ的取值范围是(1,)+∞．⋯（13分） 20．（16分）已知函数21()2x f x e ax x =-+，其中1a >-． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设21()()2h x f x ax x lnx =+--，求证：()2h x >；（Ⅲ）若21()2f x x x b ++…对于x R ∈恒成立，求b a -的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，21()2x f x e x x =-+， 则()1x f x e x '=-+，所以(0)0f '=，又因为()10x f x e ''=+>，所以()f x '在R 上为增函数， 因为(0)0f '=，所以当0x >时，()0f x '>，()f x 为增函数， 当0x <时，()0f x '<，()f x 为减函数，即函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞；（Ⅱ）2211()22x x h x e ax x ax x lnx e lnx =-++--=-，则令1()()x x h x e x ϕ='=-，则ϕ（1）10e =->，1()202ϕ=<，所以()x ϕ在区间(0,)+∞上存在唯一零点， 设零点为0x ，则01(,1)2x ∈，且001x e x =，当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(x x ∈，)+∞，()0h x '>， 所以函数()h x 在0(0,)x 递减，在0(x ，)+∞递增， 000001()()x h x h x e lnx lnx x =-=-…，由001x e x =，得00lnx x =-，所以0001()2h x x x =+…， 由于01(,1)2x ∈，0()2h x >，从而()2h x >；（Ⅲ）因为21()2f x x x b ++…对于x R ∈恒成立，即x e ax x b --…对于x R ∈恒成立，不妨令()x g x e ax x =--， 因为()(1)x g x e a '=-+，1a >-， 所以()0g x '=的解为(1)x ln a =+，则当(1)x ln a >+时，()0g x '>，()g x 为增函数， 当(1)x ln a <+时，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()g x 的最小值为((1))1(1)(1)g ln a a a ln a +=+-++， 则1(1)(1)b a a ln a --++„，不妨令ϕ（a ）1(1)(1)a ln a =-++，1a >-，则ϕ'（a ）(1)10ln a =-+-=，解得11a e =-+，所以当11a e <-+时，ϕ'（a ）0>，ϕ（a ）为增函数，当11a e >-+时，ϕ'（a ）0<，ϕ（a ）为减函数，所以ϕ（a ）的最大值为11(1)1e e ϕ-+=+，则b a -的最大值为11e+．。