4.1一元二次方程

一元2次方程实数根的判定一元二次方程是一种形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c 为常数，x为未知数。

它的一般解可以通过求根公式得到，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

在求解一元二次方程时，我们根据方程的根的性质可以进行一系列判定。

一元二次方程的实数根的判定包括以下几个方面：1.判别式一元二次方程的判别式是b^2-4ac。

通过判别式的正负可以判断方程有无实数根，且可以确定方程的根的种类，即：（1）当判别式大于零，即b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当判别式等于零，即b^2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当判别式小于零，即b^2-4ac<0时，方程没有实数根。

此时方程的解为复数。

2.方程的系数与根的关系一元二次方程的系数与根的关系可以通过韦达定理得到。

根据韦达定理可知：一元二次方程的两个根之和等于-b/a，两个根的乘积等于c/a。

通过系数与根的关系可以判断方程的根的情况，包括：（1）当系数b和c的符号相同时，两个根的符号相反，即一正一负；（2）当系数b和c的符号不同时，无法确定根的符号。

3.方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0。

在方程的一般形式中，a、b、c分别代表方程的系数，通过比较方程的系数可以得到一些结论：（1）当a=0时，方程的形式为bx+c=0，此时方程化为一次方程，有一个实数根；（2）当a≠0且b=0时，方程的形式为ax^2+c=0，此时方程可以化简为一元一次方程，有一个实数根；（3）当a≠0且b≠0时，方程为一元二次方程，根据判别式的正负可以得到方程的实数根的情况。

4.解的范围对于有实数根的一元二次方程，解的范围是实数集。

实数集是包括有理数和无理数的集合。

一元二次方程的解既可以是有理数，也可以是无理数。

总结起来，一元二次方程实数根的判定可以通过以下几个方面进行判断：判别式的正负、方程的系数与根的关系、方程的一般形式以及解的范围。

苏科版数学七年级上册4.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是苏科版数学七年级上册第四单元的第一节内容。

本节内容主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。

教材通过引入生动有趣的故事情境，激发学生的学习兴趣，让学生在情境中感受数学与生活的紧密联系。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握一元二次方程的知识，为学生后续学习函数、不等式等知识打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础，掌握了方程、不等式等基本概念。

但学生对于一元二次方程的理解和应用还需加强。

通过本节课的学习，学生需要能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现一元二次方程的解法规律，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的概念、解法及应用。

2.难点：一元二次方程的解法及其在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入生动有趣的故事情境，激发学生的学习兴趣，让学生在情境中感受数学与生活的紧密联系。

2.启发式教学法：引导学生观察、分析、归纳，发现一元二次方程的解法规律。

3.小组合作学习：培养学生团队合作意识，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的故事情境课件，引导学生进入学习状态。

2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习使用。

3.板书设计：设计简洁明了的板书，帮助学生理解和记忆一元二次方程的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个生动有趣的故事情境，引导学生进入学习状态。

例如，讲述一个关于国王奖励国际数学家的问题，引发学生对数学的兴趣。

75 1 x 2 108
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一元二 次方程
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
讲授新课
知识点 一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么 x (8 – 2x)
地毯中央长方形图案的长为
x
x
(8 - 2x)m,宽为 (5 - 2x) m,根据
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0.
特点: 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
根据题意有，
0
3 4
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.

只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程叫做一元二次方程（英文名：quadratic equation of one unknown）。

一元二次方程的标准形式（即所有一元二次方程经整理都能得到的形式）是ax^2+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。

求根公式：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。

1方程定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程(quadratic equation of one variable 或a single-variable quadratic equation)。

一元二次方程有三个特点：(1)有且只含有一个未知数；(2)且未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。

(两边都是整式）要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。

若是，再对它进行整理。

如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

里面要有等号，且分母里不含未知数。

b^2-4ac求解任何一元二次方程，都可以直接用求根公式x=(-b±√b^2-4ac)/2a。

其中是根的判别式。

也可以用其他特殊方法求根。

2方程形式2.1一般式y=ax²+bx+c（a、b、c是实数，a≠0）配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a两根式a(x-x1)(x-x2)=0公式法x=(-b±√b^2-4ac)/2a求根公式2.2十字相乘法x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）3解法3.1分解因式法因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

如1.解方程：x²+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)²=0解得：x1= x2=-12.解方程x（x+1）-2（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0即x-2=0 或x+1=0∴x1=2，x2=-13.解方程x²-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴x1=-2，x2= 23.2十字相乘法公式：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+2b+a-b- 2=ab+a+b²-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)公式法（可解全部一元二次方程）求根公式首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b²-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b²-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b²-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a来求得方程的根配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x²+2x－3=0解：把常数项移项得：x²+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x²+2x+1=4因式分解得：（x+1)²=4解得：x1=-3,x2=1用配方法的小口诀：二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当开方法（可解部分一元二次方程）如：x²-24=1解：x²=25x=±5∴x1=5 x2=-5均值代换法（可解部分一元二次方程）ax²+bx+c=0同时除以a，得到x²+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。