2015-2016学年江苏省南通市海安县高一(上)期末数学试卷及答案

一、等差数列选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ）A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 2．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72B ．90C ．36D ．453．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n -B ．nC ．21n -D ．2n4．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2205．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（ ）A ．350B ．351C ．674D ．6756．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 8．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24B ．36C ．48D ．649．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．711．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24B ．39C ．104D ．5212．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24013．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．43C ．4D ．4-14．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸15．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S16．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）A ．20B ．17C ．18D ．1917．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．918．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S >D ．70S <，且80S <19．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．420．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（ ） A ．177B ．83 C ．143D ．103二、多选题21．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >22．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列23．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =24．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．225．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．426．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6527．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1229．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=， 整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=.A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++， ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ． 【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 2．B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 3．B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，所以111a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a n n =+-⨯=，故选：B. 4．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 5．A 【分析】先利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.6．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ． 【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-， 所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．7．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 8．B 【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B 9．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C 10．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 11．D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ． 12．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 13．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 14．D【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 15．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B. 16．C 【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果． 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈， 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=． 故选：C ． 17．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ．18．A【分析】 根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断.【详解】依题意，有170a a +>，180a a +<则()177702a a S +⋅=> ()()188188402a a S a a +⋅==+<故选：A .19．B【分析】 由题意可得221114n n a a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果 【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n n a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列， 所以2114(1)43nn n a =+-=-， 因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==， 所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题20．D【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果.【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， 所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D【点睛】思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， （2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =.二、多选题21．ABC【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=， 对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确；对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <， 所以614a a <，故选项D 不正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.22．ABC【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断.【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确； 数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC23．ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】 由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．24．ABC【分析】 根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n -<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】 根据不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立， 由12+n 递减，且1223n <+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n <-恒成立， 由12n -第增，且31222n≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC .【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 25．BD【分析】 利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减， 可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1n n a a -的最大值为3． 故选：BD ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．ABC【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC.【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.27．AD【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项.【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾.②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈. 28．ACD【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =->，解出即可判断D. 【详解】 设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-， 10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误； 对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d d S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.29．ABC【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：A B C【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．30．CD【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案；【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=， ∴129291529()2902a a S a +===， 故选：CD.【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．如果集合=A {}0242=+-x mx x 中只有一个元素，则实数m 的值为（ ）A ．0 错误！未找到引用源。

B ．1 错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

2D ．0或2 【答案】D【解析】试题分析：集合A 只有一个元素，即方程2420mx x -+=只有一个根．0m =时， 方程变形为420x -+=，必有一个根；0m ≠时，要使方程2420mx x -+=只有一个根，则16420m ∆=-⨯⨯=，解得2m =．综上可得0m =或2m =．故D 正确． 【考点】1集合的元素；2方程的根．【易错点睛】本题重点考查方程根的个数问题，属容易题．但在做题时极容易将方程2420mx x -+=误看做一元二次方程，只注意到使其判别式等于0时此方程只有一个根，而忽视二次项系数m 是否为0．当0m =时此方程为一次方程，一次方程必有一个根．注意当二次项系数含参数时一定要讨论其是否为0，否则极易出错．2．已知全集{}4,3,2,1,0,1-=M ，且{}4321，，，=B A ，{}32，=A ，则=)(A C B U （ ）A ．{}41， B ．{}1 C ．{}4 D ．φ 【答案】A【解析】试题分析：由题意分析可得1，4必在集合B 内，2，3可能在集合B 内．由已知可得{}1,0,1,4U C A =-，所以(){}1,4U B C A = ．故A 正确． 【考点】集合的运算．3．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为（ ）A ．31B ．21C ．32D ．43【答案】C【解析】试题分析：甲乙同学各自在一个小组时共有6种可能，甲乙同学在同一组时共有3种可能，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为62633P ==+．故C 正确．试卷第2页，总14页【考点】古典概型概率．4．已知函数1)2)(2+++=mx x m x f （为偶函数，则)(x f 在区间()∞+，1上是（ ）A ．先增后减B ．先减后增C ．减函数D ．增函数 【答案】D【解析】试题分析：因为函数()f x 为偶函数，所以()200022m m m m +≠⎧⎪⇒=⎨-=⎪+⎩．所以()221f x x =+．所以函数()221f x x =+的图像是开口向上以y 轴为对称轴的抛物线，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增．故D 正确．【考点】1偶函数的性质；2二次函数的单调性．【方法点睛】本题主要考查偶函数的性质和二次函数单调性问题，难度一般．偶函数的图像关于y 轴轴对称，在本题中由此可求得m 的值．二次函数的单调性由开口方向和对称轴同时决定．5．若以下程序框图的输出结果为120，则判断框中应填写的判断条件为（ ）A ．?5<iB ．?5>iC ．?6>iD ．?5≥i 【答案】B【解析】试题分析：根据框图的循环结构依次可得: 122,213T i =⨯==+=；236,314T i =⨯==+=；6424,415T i =⨯==+=；246120,516T i =⨯==+=，此时应跳出循环输出120T =．所以判断框中应填入5?i >．故B 正确． 【考点】程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件输出“120T =”，否则很容易出现错误．在给出程序框图有输出结果而需要填判断框时只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件，此时即可得出判断框中所填内容．6．已知函数⎩⎨⎧<+≥-=4)),2((4,1)(x x f f x x x f ，则=)3(f （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】试题分析：()()()()()35514413f f f f f ==-==-=．故C 正确． 【考点】分段函数求值．7．若a 是从区间[]2,0中任取的一个实数， b 是从区间[]3,0中任取的一个实数，则概率是（ ）A ．32B ．65C ．31D ．61【答案】A【解析】试题分析：试验的全部结果构成的区域（如图）为边长分别为2和3的矩形，面积为236⨯=．其中满足a b <的结果构成的区域为图中阴影部分，其面积为162242-⨯⨯=．则所求概率为4263P ==．故A 正确． 【考点】几何概型．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率，难度一般．几何概型的概率为长度比或面积比或体积比．所以应先根据已知条件作出满足初始条件的点所构成的可行域，再在其中标注出其中满足b a <的点构成的可行域．分别计算出其面积．即可求得所求概率．8．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，1x ，2x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，21S ，22S 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（ ）试卷第4页，总14页A ．1x >2x ，21S ＜22S B ．1x ＝2x ，21S >22S C ．1x ＝2x ，21S ＝22S D ．1x ＝2x ，21S <22S【答案】B【解析】试题分析：181315151722156x +++++==；291415151621156x +++++==；()()()()()()222222211538151315151515151715221563S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，()()()()()()222222221379151415151515151615211563S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦．故B 正确．【考点】平均数，方差．9．函数54ln )(2++-=x x x x f 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】试题分析：函数()2ln 45f x x x x =-++的零点个数等价于函数ln y x =图像与函数245y x x =--图像的交点个数问题．由数形结合可知函数ln y x =图像与函数245y x x =--图像有2个交点．所以函数()f x 有2个零点．故C 正确．【考点】1函数零点；2转化思想．10．向顶角为0120的等腰三角形ABC （其中BC AC =）内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为（ ） A ．33π B ．93πC ．21D ．3π【答案】B【解析】试题分析：令1AC BC ==，则111sin1202ABC S ∆=⨯⨯⨯= ．满足AC AM <的点M 所在区域的面积为230136012ππ⨯⨯=．所以所求概率为9Pπ==．【考点】几何概型．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率，难度一般．因为几何概率的值为比值所以边长的取值对结果没有影响，为计算方便不妨令等腰三角形两腰长为1，从而可得此三角形的面积．AM小于AC时点M所在区域为以A为圆心以AC为半径的圆且在三角形内部的扇形部分，可得此扇形面积．扇形面积与三角形面积的比值即为所求．11．如果奇函数)0)((≠=xxfy在()0,∞-∈x时，1)(+=xxf，那么使0)2(<-xf成立的x的取值范围是（）A．()()∞+∞-31,B．()1,-∞-()1,0C．()()3,00,∞-D．()1,∞-()32，【答案】D【解析】试题分析：因为()y f x=为奇函数，所以()()f x f x-=-，即()()f x f x=--．x>时0x-<，()()()11f x f x x x=--=--+=-．()()()1,01,0x xf xx x+<⎧⎪∴=⎨->⎪⎩．()2020210xf xx-<⎧∴-<⇔⎨-+<⎩或20210xx->⎧⎨--<⎩1x⇒<或23x<<．故D正确．【考点】1奇函数；2不等式．12．若函数)2(log)(2xxxfa-=）且1,0(≠>aa在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21内恒有0)(>xf，则函数)(xf的单调递增区间是（）A．()0，∞- B．⎪⎭⎫⎝⎛∞-41， C．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21D．⎪⎭⎫⎝⎛∞+，41【答案】A【解析】试题分析：2200x x x->⇒<或12x>．函数()f x的定义域为试卷第6页，总14页()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．要使区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21内恒有0)(>x f ，只需()min 0f x >当1a >时，此时存在33log log 1048a a f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭．故舍．当01a <<时，又函数22y x x =-在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 此时()()1log 10a f x f >==恒成立，符合题意． 综上可得01a <<．因为函数22y x x =-在(),0-∞上单调递减；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又01a <<所以函数)(x f 的单调递增区间(),0-∞．故A 正确． 【考点】对数函数单调性；二次函数单调性；复合函数单调性．二、填空题13．若六进制数)6(510k （k 为正整数）化为十进制数为239，则=k ． 【答案】3 【解析】试题分析：()321061051606656216652216239k k k k =⨯+⨯+⨯+⨯=++=+=， 解得3k =．【考点】进位制．14．幂函数1222)33)(+-+-=m mx m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．【答案】2【解析】试题分析：由题意可知2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =．当1m =时，()0f x x =，在区间()0,+∞上为常数1，不具有单调性，故舍； 当2m =时，()f x x =，在区间()0,+∞上单调递增，符合题意． 综上可得2m =．【考点】1幂函数的概念；2函数的单调性．【思路点睛】本题主要考查幂函数的概念和函数的单调性，难度一般．根据幂函数的定义: a y x =叫做幂函数，可知2331m m -+=，从而可得m 的值．将其分别代入()f x 验证是否满足()f x 在区间()0,+∞上单调递增．15．函数)(x g 是函数)2(log )(-=x x f a )1,0(≠>a a 且的反函数，则函数)(x g 的图象过定点 ． 【答案】()3,0【解析】试题分析：()3log 10a f == ，∴函数()()log 2a f x x =-的图像过定点()3,0．所以函数()g x 的图像过定点()0,3．【考点】互为反函数的性质．【思路点睛】本题重点考查对数函数过定点和互为反函数的性质问题，属容易题．根据对数公式log 10a =可求得()f x 所过的定点．因为互为反函数的两个函数图像关于y 轴对称，所以函数()f x 图像过的定点()00,x y 关于y 轴的对称点()00,y x 即为函数()g x 的图像过的定点．16．0x 是x 的方程x a a x log =)10(≠>a a ，且的解，则0,1,x a 这三个数的大小关系是 ． 【答案】10<<x a【解析】试题分析：当1a >时，由数形结合可知函数x y a =的图像与函数log a y x =的图像无交点，所以此时方程log x a a x =无解，不合题意故舍； 当01a <<时，由数形结合可知函数x y a =的图像与函数log a y x =的图像只有一个交点，即此时方程log x a a x =只有一个解0x ．由数形结合分析可知00001,0log 1x x a x a <<<=<，又01a <<，0000log 1log 1log log 1x a a a a x a x a ∴<<⇔<<⇒>>． 综上可得10<<x a ．【考点】1指数函数，对数函数图像；2对数不等式；3数形结合思想．三、解答题17．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时试卷第8页，总14页生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：（1）如果y 对x 有线性相关关系，求回归方程；（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？参考公式：x b y aˆˆ-=，∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((ˆ∑∑==--=ni ini ii x n xyx n yx 1221【答案】（1）52107ˆ-=x y；（2）机器的运转速度应控制在7614转/秒内． 【解析】试题分析：（1）根据已给公式求,x y ，再求ˆb，ˆa 从而可求得回归方程．（2）根据题意解不等式ˆ10y≤即可求得所求． 试题解析：解：（1）设所求回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则由上表可得 12=x ，8=y ，107ˆ=b， 52107128ˆˆ-=⨯-=-=x b y a ∴回归方程为52107ˆ-=x y ．（2）由y ≤10得1052107ˆ≤-=x y，解得7614≤x ， 所以机器的运转速度应控制在7614转/秒内．【考点】线性回归方程．18．（1）计算20325.0)43()2(2)27102(2)1615(--÷+⨯-⨯-π（2）计算3log 28log 318log 3log 4913662742log --+⋅-【答案】（1）0；（2）3． 【解析】试题分析：（1）根据指数的性质及运算法则即可求得其值； （2）根据对数的性质及运算法则即可求得其值．试题解析：解：（1）20325.0)43()2(2)27102(2)1615(--÷+⨯-⨯-π232)34(2)2764(21681÷-⨯-=- 22)43(2)43(249⨯-⨯-=0=（2）3log 28log 318log 3log 4913662742log --+⋅-3log 2log 23664log 3++-=6log 246+-=12+=3=【考点】1指数的性质及运算法则；2对数的性质及运算法则．19．已知集合A 是函数][))(2(log )(a x a x x g a ---=)1,0(≠>a a 且的定义域，集合B 和集合C 分别是函数x x f 39)(-=的定义域和值域。

寒假开学高一数学练习一、填空题1. 已知集合M ＝｛1，m ＋2,m 2＋4}，且5∈M ,则m 的值为____________．1或32.如果错误!＝错误!，那么tan α＝____________． 23.已知角α（0≤α≤2π）的终边过点错误!，则α＝____________．错误!4。

设向量a 、b 满足｜a ｜＝25，b ＝（2,1）,且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为____________．(－4,－2)5. 设常数a∈R ，集合A ＝｛x|（x －1）（x －a)≥0}，B ＝｛x ｜x≥a－1｝．若A∪B＝R ,则a 的取值范围为______________．（－∞，2］解析：当a≤1时，A ＝{x ｜x≤a 或x≥1}，显然符合A∪B＝R ；当a 〉1时，A ＝{x|x≤1或x ≥a ｝，则a －1≤1，∴ a ≤2。

∴ 1<a ≤2。

综上，a ≤2.6。

已知函数f （x ）＝sin(x ＋θ）＋错误!cos(x ＋θ)错误!是偶函数,则θ的值为________．错误!解析：据已知可得f （x)＝2sin 错误!，若函数为偶函数，则必有θ＋错误!＝k π＋错误!（k∈Z ）,又由于θ∈错误!,故有θ＋错误!＝错误!，解得θ＝错误!，经代入检验符合题意．7。

函数y ＝错误!的值域为____________．错误!8.函数2tan 2cos sin )(x x c x bx x a x f +-+= 若3)2(=-f ,则=)2(f 5 9. 已知a 2x ＝错误!－1，则错误!的值为____________．2错误!－110. 已知函数f （x ）对任意的实数满足:f(x ＋3）＝－错误!,且当－3≤x 〈－1时,f(x)＝－(x ＋2)2，当－1≤x 〈3时,f(x)＝x 。

则f （1)＋f(2)＋f （3）＋…＋f （2 016）＝________．336解析:∵ 对任意x∈R ,都有f （x ＋3)＝－错误!，∴ f （x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－错误!＝－错误!＝f(x ），∴ f(x)是以6为周期的周期函数．∵ 当－3≤x〈－1时，f （x ）＝－（x ＋2)2,当－1≤x<3时，f(x)＝x ，∴ f(1)＝1，f(2）＝2,f （3)＝f （－3)＝－1，f （4)＝f(－2)＝0,f(5）＝f （－1）＝－1，f （6）＝f （0）＝0.∴ f （1)＋f(2）＋…＋f （6）＝1，∴ f(1)＋f(2）＋…＋f(6）＝f （7)＋f （8）＋…＋f(12）＝…＝f(2 011）＋f(2 012）＋…＋f （2 016)＝1，∴ f （1）＋f(2）＋…＋f(2 016)＝1×2 0166＝336.11。

2015-2016学年江苏省南通市海安县高三（上)期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分）1．设集合A=｛x|x＞1｝,B={x｜x2＜9｝，则A∩B=．2．设a,b∈R,i为虚数单位，若（a+bi）•i=2﹣5i，则ab的值为．3．在平面直角坐标系xOy,已知双曲线﹣=1(a＞0，b＞0)的一个渐近线的方程为y=x,则该双曲线的离心率为．4．已知一组数据9.8，10.1,10，10。

2，9。

9,那么这组数据的方差为．5．如图是一个算法流程图,运行后输出的结果是．6．若函数是偶函数，则实数a的值为．7．正四棱锥的底面边长为2cm，侧面与底面所成二面角的大小为60°，则该四棱锥的侧面积为cm2．8．将函数f（x）=sin(2x+φ）（0＜φ＜π)的图象向右平移2个单位后得到的函数图象关于原点对称，则实数φ的值为．9．二次函数y=f（x）=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应如表：x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 0 6则关于x的不等式f(x）≤0的解集为．10．在正五边形ABCDE中，已知•=9，则该正五边形的对角线的长为．11．用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木,则取出黑色积木的概率是．12．若函数f（x）=的最小值为f(0），则实数a的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣1，0),Q(2，1),直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b,c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，将函数y=﹣(x∈[0，2]）的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角θ，若∀θ∈［0，a］，旋转后所得的曲线都是某个函数的图象,则a 的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15．已知θ∈（，），sin（θ﹣）=．（1）求sinθ的值;(2）求cos(2θ+）的值．16．如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证:（1）DE∥平面AA1C1C;（2）BC1⊥AB1．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0)的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2)设A(﹣2,0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．18．如图，扇形AOB是一个植物园的平面示意图，其中∠AOB=，半径OA=OB=1km，为了便于游客观赏，拟在圆内铺设一条从入口A到出口B的观赏道路，道路由弧，线段CD，线段DE和弧组成，且满足：=，CD∥AO．DE∥OB，OD∈［，]（单位：km)，设∠AOC=θ．（1）用θ表示CD的长度,并求出θ的取值范围；(2）当θ为何值时，观赏道路最长?19．已知公差不为0的等差数列{a n｝的首项为1,前n项和为S n,且数列{｝是等差数列．（1）求数列｛a n}的通项公式；(2）设lgb n=（n∈N*）,问：b1，b k，b m（k，m均为正整数,且1＜k＜m）能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能,请说明理由．20．设a为正实数，函数f（x）=ax,g(x)=lnx．(1）求函数h(x）=f（x）•g（x）的极值；（2)证明：∃x0∈R，使得当x＞x0时,f(x）＞g(x)恒成立．四、选做题从21-24题中任选2个小题，每小题10分,共20分21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C,若DB=DC，求证：CA=AO．22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．23．已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣）﹣4=0，求圆心的极坐标．24．设a，b是非负实数，求证:a3+b3≥（a2+b2）．25．一批产品共10件,其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验:方式一：一次性随机抽取2件；方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；记抽取的不合格产品数为ξ．（1）分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；（2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x,设点A(﹣t，0），B（t,0）（t＞0),过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，（P在Q的上方）．（1）若t=1,直线PQ的倾斜角为，求直线PA的斜率；（2）求证:∠PAO=∠QAO．2015-2016学年江苏省南通市海安县高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合A={x｜x＞1}，B=｛x|x2＜9}，则A∩B={x｜1＜x＜3｝．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的性质和不等式的性质求解．【解答】解：∵集合A=｛x｜x＞1}，集合B={x|x2＜9}=｛x|﹣3＜x＜3}，∴集合A∩B={x|1＜x＜3}．故答案为：｛x｜1＜x＜3}．2．设a，b∈R，i为虚数单位，若（a+bi）•i=2﹣5i，则ab的值为10．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由（a+bi）•i=2﹣5i，得﹣b+ai=2﹣5i，即可求出a、b的值，则答案可求．【解答】解：由(a+bi）•i=2﹣5i，得﹣b+ai=2﹣5i,即a=﹣5，b=﹣2．则ab=﹣5×(﹣2）=10．故答案为：10．3．在平面直角坐标系xOy，已知双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的一个渐近线的方程为y=x，则该双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程y=±x，由题意可得b=a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0,b＞0)的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线的方程为y=x，可得b=a，即有c==2a,即有e==2．故答案为:2．4．已知一组数据9。

2014-2015学年江苏省南通市海安县实验中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上）1．（5分）已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N=．2．（5分）若，则=．3．（5分）下列对应中，表示函数的有．①x→，x∈N；②x→，x∈R；③x→y，其中y=x2+1，x∈N，y∈N；④x→y，其中y=﹣2x+1，x∈{﹣1，0，1}，y∈{0，1，2，3}．4．（5分）设函数f（x）=则f（f（2））=．5．（5分）函数y=﹣的单调增区间是和．6．（5分）已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）=10，则f（2）=．7．（5分）设a＞0且a≠1，则函数f（x）=a1﹣x+4的图象恒过点．8．（5分）已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）=1+2x，则当x＞0时，f（x）=．9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f （x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为．10．（5分）已知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数y=a x+b的图象必定不经过第象限．11．（5分）关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解，则实数a的值是．12．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么解析式为y=x2，值域是{1，4}的“同族函数”有个．13．（5分）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是．14．（5分）设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C （C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=﹣|x﹣m2|+m2，且f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是．二、解答题：（本大题包括6小题，共90分.请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程）15．（14分）已知集合A={x||x|≤3}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}，m∈R．（1）若m=3，求（C U A）∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．16．（14分）（1）计算：；（2）已知x+x=2，求的值．17．（15分）（1）求函数y=2x﹣3+的值域（2）已知奇函数y=f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，且满足不等式f（x ﹣3）+f（x2﹣3）＜0，求实数x的取值范围．18．（15分）某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？19．（16分）已知函数（1）用定义证明f（x）在R上单调递增；（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．20．（16分）已知函数y=x+有如下性质：如果a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）若函数y=x+（x＞0）的值域是[6，+∞），求实数m的值；（2）若把函数f（x）=x2+（a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a）．（ⅰ）求g（a）的表达式；（ⅱ）若g（a）≥t2﹣mt﹣1对所有的a＞0，m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．2014-2015学年江苏省南通市海安县实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上）1．（5分）已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N={0，1，2} ．【解答】解：∵M={0，x}，N={1，2}，且M∩N={1}，∴x=1，即M={0，1}，则M∪N={0，1，2}，故答案为：{0，1，2}2．（5分）若，则=．【解答】解：∵，∴，解得=．则=．故答案为：．3．（5分）下列对应中，表示函数的有①③．①x→，x∈N；②x→，x∈R；③x→y，其中y=x2+1，x∈N，y∈N；④x→y，其中y=﹣2x+1，x∈{﹣1，0，1}，y∈{0，1，2，3}．【解答】解：①x→，x∈N；满足函数的定义，①正确；②x→，x∈R；当x=﹣1时，没有意义，不满足函数的定义，②不正确；③x→y，其中y=x2+1，x∈N，y∈N；满足函数的定义，③正确；④x→y，其中y=﹣2x+1，x∈{﹣1，0，1}，y∈{0，1，2，3}．函数的值域与实际相矛盾，④不正确．故答案为：①③．4．（5分）设函数f（x）=则f（f（2））=﹣3．【解答】解：函数f（x）=，则f（2）=4+2﹣6=0．f（f（2））=f（0）=﹣3．故答案为：﹣3．5．（5分）函数y=﹣的单调增区间是（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）．【解答】解：向左平移1个单位，可得函数y=﹣的图象，而函数y=﹣的单调增区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），可知函数y=﹣的单调增区间是（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）．6．（5分）已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）=10，则f（2）=﹣26．【解答】解：由f（x）=x5+ax3+bx﹣8，可令g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx，可知：g（﹣x）=f（﹣x）+8=﹣g（x），∴f（﹣2）+8=﹣[f（2）+8]，∴f（2）=﹣16﹣10=﹣26．故答案为﹣26．7．（5分）设a＞0且a≠1，则函数f（x）=a1﹣x+4的图象恒过点（1，5）．【解答】解：因为指数函数恒过（0，1），所以在函数f（x）=4+a1﹣x（a＞0且a≠1）中，当x=1时，f（1）=4+a0=5．∴函数f（x）=4+a1﹣x（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（1，5）．故答案为：（1，5）．8．（5分）已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）=1+2x，则当x＞0时，f（x）=1﹣2x．【解答】解：由题意，设x＞0，则﹣x＜0，代入已知式子可得f（﹣x）=1﹣2x，又因为y=f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=1﹣2x，故当x＞0时，f（x）=1﹣2x．故答案为：1﹣2x9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f （x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．【解答】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0∴f（﹣1）=0则当x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）﹣f（﹣x）＜0当x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）10．（5分）已知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数y=a x+b的图象必定不经过第一象限．【解答】解：当0＜a＜1，b＜﹣1时，函数y=a x+b的图象如下图所示：由图可得函数的图象必定不经过第一象限，故答案为：一11．（5分）关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解，则实数a的值是1．【解答】解：构造函数y1=|x2﹣1|，y2=a，画出函数的图形，如图所示则可得关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解时，a=1故答案为：112．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么解析式为y=x2，值域是{1，4}的“同族函数”有9个．【解答】解：由题意，与解析式为y=x2，值域是{1，4}的“同族函数”的定义域可以为：{1，2}，{1，﹣2}，{﹣1，2}，{﹣1，﹣2}，{1，﹣1，2}，{1，﹣1，﹣2}，{1，﹣2，2}，{﹣1，﹣2，2}，{﹣1，1，2，﹣2}共9个．故答案为：9．13．（5分）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是．【解答】解：依题意，有a＞1且2﹣a＞0，解得1＜a＜2，又当x＜1时，（2﹣a）x+1＜3﹣a，当x≥1时a x≥a，因为f（x）在R上单调递增，所以3﹣a≤a，解得a≥综上：≤a＜2故答案为：．14．（5分）设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C （C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=﹣|x﹣m2|+m2，且f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是．【解答】解：若f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，则当x∈[0，+∞）时，f（x+10）≤f（x），即﹣|x+10﹣m2|+m2≤﹣|x﹣m2|+m2即|x+10﹣m2|≥|x﹣m2|，则m2≤5，解得m∈[﹣，]．故答案为：[﹣，]．二、解答题：（本大题包括6小题，共90分.请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程）15．（14分）已知集合A={x||x|≤3}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}，m∈R．（1）若m=3，求（C U A）∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）解出集合A中的绝对值不等式得到﹣3≤x≤3，所以c U A={x|x ＞3或x＜﹣3}当m=3时，集合B={x|2＜x＜7}，所以（C U A）∩B={x|3＜x＜7}；（2）由A∪B=A得到A⊇B，当B=∅，即m﹣1≥2m+1，解得m≤﹣2；当B≠∅，即有m＞﹣2，且m﹣1≥﹣3且2m+1≤3，解得m＞﹣2且m≤1，所以实数m的取值范围为m≤1．16．（14分）（1）计算：；（2）已知x+x=2，求的值．【解答】解：（1）原式=；（2）∵，∴两边平方：，∴x+x﹣1=2，两边平方得：x2+x﹣2=2，两边平方得：x4+x﹣4=2，∴原式=．17．（15分）（1）求函数y=2x﹣3+的值域（2）已知奇函数y=f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，且满足不等式f（x ﹣3）+f（x2﹣3）＜0，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）设，则，…2分原函数可化为，所以y≤4…5分所以原函数的值域为（﹣∞，4]…7分（2）由题意得得…9分又因为f（x）是奇函数，所以f（x﹣3）＜﹣f（x2﹣3）=f（3﹣x2）…11分又f（x）在（﹣3，3）上是减函数所以x﹣3＞3﹣x2，即x2+x﹣6＞0解得x＞2或x＜﹣3…13分综上得…15分．18．（15分）某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：设每桶水在原来的基础上上涨x元，利润为y元，由表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x元后，日销售的桶数为480﹣40（x﹣1）=520﹣40x＞0，所以0＜x＜13，则利润y=（520﹣40x）x﹣200=﹣40x2+520x﹣200=﹣40（x﹣6.5）2+1490，其中0＜x＜13，所以当x=6.5时，利润最大，即当每桶水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元．19．（16分）已知函数（1）用定义证明f（x）在R上单调递增；（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．【解答】（1）解：设x1＜x2且x1，x2∈R，则，∵，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上单调递增；（2）∵f（x）是R上的奇函数，∴，即，解得m=1；（3）由，∴D=（m﹣2，m），∵D⊆[﹣3，1]，∴，∴m的取值范围是[﹣1，1]．20．（16分）已知函数y=x+有如下性质：如果a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）若函数y=x+（x＞0）的值域是[6，+∞），求实数m的值；（2）若把函数f（x）=x2+（a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a）．（ⅰ）求g（a）的表达式；（ⅱ）若g（a）≥t2﹣mt﹣1对所有的a＞0，m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由已知，函数在上是减函数，在上是增函数，∴，∴，3m=9，∴m=2．（2）（ⅰ）令x2=t，∵x∈[1，2]，∴t∈[1，4]．则．于是原题即求f（t）在[1，4]上的最小值．①当，即a＞16时，f（t）在[1，4]上是减函数，此时；②当，即1≤a≤16时，；③当，即0＜a＜1时，f（t）在[1，4]上是增函数，此时g（a）=f（1）=1+a．综上，；（ⅱ）由①得当a＞0时，g（a）＞1，∴要使g（a）≥t2﹣mt﹣1对所有的a＞0，m∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣mt ﹣1≤1，即t2﹣mt﹣2≤0对所有的m∈[﹣1，1]恒成立．令h（m）=t2﹣mt﹣2，则，即，解得﹣1≤t≤1．∴实数t的取值范围是[﹣1，1]．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

江苏省海安高级中学高一数学周练卷姓名： 班级： 得分：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知函数)0)(6cos()(>-=ωπωx x f 的最小正周期为,5π则=ω . 2．已知3(,0),sin ,25παα∈-=-则cos()πα-＝________． 3．扇形OAB 的面积是1cm 2，半径是1cm ，则它的中心角的弧度数为 ． 4.将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位,再向下平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ． 5．用二分法求函数43)(--=x x f x 的一个零点，其参考数据如下：据此，可得方程0)(=x f 的一个近似解(精确到0．Ol)为 ． 6.若角α的终边落在射线)0(≥-=x x y 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-=_________． 7．若函数21()54x f x x ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 8．函数()()1022log ≠>+-=a a x y a 且的图象恒过定点P ．若角α的终边经过点P ，则=αtan .9.如果4x π≤,那么函数2()cos sin f x x x =+的最小值是 ． 10．已知1sin cos 5αα+=-，且(,0)απ∈-，则1tan tan αα-= ． 11．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有1212()()0f x f x x x -<-.设(4)a f =，12(25b f -=，21(log ),8c f =则c b a ,,的大小关系为 .（用“<”连结）．12.下列结论：函数y =tan 2x 在区间(-π，π)上是增函数；②当),1(+∞∈x 时，函数221,x y x y ==的图象都在直线x y =的上方；③定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=+2，则()6f 的值为0；④若函数()||x x f -=，若)2()1(2f m f <--，则实数),1()1,(+∞--∞∈ m .其中所有正确结论的序号为 .13.已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m += ．14．对于在区间[],a b 上有意义的两个函数)()(x n x m 与，如果对于区间[],a b 中的任意x 均有1|)()(|≤-x n x m ，则称)()(x n x m 与在[],a b 上是“密切函数”，[],a b 称为“密切区间”，若函数43)(2+-=x x x m 与32)(-=x x n 在区间[],a b 上是“密切函数”，则b a -的最大值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)记函数)32(log )(2-=x x f 的定义域为集合M ，函数)1)(3()(--=x x x g 的定义域为集合N ．求：（1）集合M ，N ；（2）集合N M ，()R C M N .16．(本题满分14分)已知函数2()2sin 1f x x x θ=+-，1[]2x ∈ （1）当6πθ=时，求()f x 的最大值和最小值；（2）若()f x 在1[]2x ∈上是单调增函数，且[0,2)θπ∈，求θ的取值范围．17．（本小题满分15分）有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时５元；乙中心按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）90元，超过30小时的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.（1）设在甲中心健身x 小时的收费为)(x f 元)4015(≤≤x ，在乙中心健身活动x 小时的收费为)(x g 元)4015(≤≤x ，试求函数)(x f 和)(x g 的解析式；（2）问：选择哪家比较合算？为什么？18.（本小题满分15分）已知函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭. （1）若0a >，求()y f x =的单调递增区间；（2）是否存在常数,a b Q ∈,使得()y f x =在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤-⎣⎦?若存在,求出对应的a 和b ;若不存在,说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数1()log 1a mx f x x -=-(0,1,1)a a m >≠≠是奇函数． （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）当(,2)x n a ∈-⊆(1,)+∞时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n .20.(本小题满分16分)定义在D 上的函数()f x ，如果满足；对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界．已知函数()124x xf x a =++ ，12()12xx g x -=+． （1）当1a =时，求函数()f x 在(0,)+∞上的值域，并判断函数()f x 在(0,)+∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）求函数()g x 在[0,1]上的上界T 的取值范围；（3）若函数()f x 在(,0]-∞上是以3为上界的函数，求实数a 的取值范围．。

2015级暑假初高中衔接内容测试数 学 试 题班级___________ 姓名__________一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．） 1．916的平方根是___________． 2．对任意不相等的两个数,a b ，定义一种运算※如下：a ※b =a b a b +-，如3※2=32532+=-，那么17※8=___________． 3．分解因式：12x ²-x -1= ．(3x -1)(4x +1)4．设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，则e =____________．2 5．如果关于x 一元二次方程220x kx -+=中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率P =___________．236． 如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β，若10α=︒，则的度数β是___________．50︒7．如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分3个小扇形的面积和为___________．38π（第7题）（第8题）8．上表给出的是某年某月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程的思想来研究，你发现这三个数的和不可能是 ________________CA ．69B ．54C ．40D ．27 9．若5x =11111111x x x x x x x x +--++-=++-+--______ __．10．对于正数x ，规()1x f x x =+，例如33(3)134f ==+，1113()13413f ==+，日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 151617 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 29 30B DCαβA计算1111()()()()(1)(2)(3)(4)(5)5432f f f f f f f f f ++++++++ =______ __． 411．已知函数y=ax 2＋bx ＋c (a≠0)的图象经过点(－1,3)和(1,1)两点，若0＜c ＜1，则a 的取值范围是______ 1<a <2 __．12．函数2231y x x =++的图象关于点（1,0）对称的图象所对应的函数解析式是__________． y =-2x 2+11x -1513．方程221x x+=解的情况是 ____A__ __． A ．仅有一正根 B ．有两正根 C ．有一正根和一负根 D ．无解14．对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这 个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图1中的三角形被一个圆所覆盖，图2中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：⑴ 边长为1cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； ⑵ 边长为1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； ⑶ 长为2cm ，宽为1cm 的矩形被两个半径都为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ，这两个圆的圆心距是 cm ．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩112,0x y =⎧⎨=⎩ 220,1.x y =⎧⎨=-⎩ 16．（本题满分14分）30 价格 先化简，再求值：已知21x =+，求221121x x x x x x x+⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭的值． 解：当21x =+时，2222222111111()21(1)(1)(1)(1)2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++---⎛⎫-÷=-⋅=⋅==- ⎪--+----⎝⎭17．（本题满分14分）已知12,x x 是方程2520x x --=两个实数根，求： (1)1211x x + (2) 3312x x + 答案： (1) ; (2)155 18．（本题满分16分）如图，一艘轮船以每小时20km 的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西030方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西060方向，当轮船到达灯塔C 正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离。

2015-2016学年江苏省南通市海安县高三（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合A={x |x ＞1}，B={x |x 2＜9}，则A∩B= ．2．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若（a +bi ）•i=2﹣5i ，则ab 的值为 ． 3．在平面直角坐标系xOy ，已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一个渐近线的方程为y=x ，则该双曲线的离心率为 ．4．已知一组数据9.8，10.1，10，10.2，9.9，那么这组数据的方差为 ． 5．如图是一个算法流程图，运行后输出的结果是 ．6．若函数是偶函数，则实数a 的值为 ．7．正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面与底面所成二面角的大小为60°，则该四棱锥的侧面积为 cm 2．8．将函数f （x ）=sin （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移2个单位后得到的函数图象关于原点对称，则实数φ的值为 ． 9．二次函数y=f （x ）=ax 2+bx +c （x ∈R ）的部分对应如表： x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣10 1 2 3 y 60 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣40 6 则关于x 的不等式f （x ）≤0的解集为 ．10．在正五边形ABCDE 中，已知•=9，则该正五边形的对角线的长为 ．11．用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是 ．12．若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围是 ．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣1，0），Q（2，1），直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是 ．14．在平面直角坐标系xOy中，将函数y=﹣（x∈[0，2]）的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角θ，若∀θ∈[0，a]，旋转后所得的曲线都是某个函数的图象，则a的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15．已知θ∈（，），sin（θ﹣）=．（1）求sinθ的值；（2）求cos（2θ+）的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ： +=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C 经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P ，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．18．如图，扇形AOB是一个植物园的平面示意图，其中∠AOB=，半径OA=OB=1km，为了便于游客观赏，拟在圆内铺设一条从入口A到出口B的观赏道路，道路由弧，线段CD，线段DE 和弧组成，且满足：=，CD∥AO．DE∥OB，OD∈[，]（单位：km），设∠AOC=θ．（1）用θ表示CD的长度，并求出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，观赏道路最长？19．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，且数列{}是等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设lgb n =（n∈N*），问：b1，b k，b m（k，m均为正整数，且1＜k＜m）能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由．20．设a为正实数，函数f（x）=ax，g（x）=lnx．（1）求函数h（x）=f（x）•g（x）的极值；（2）证明：∃x0∈R，使得当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．四、选做题从21-24题中任选2个小题，每小题10分，共20分21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．23．已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆心的极坐标．24．设a，b是非负实数，求证：a3+b3≥（a2+b2）．25．一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方式一：一次性随机抽取2件；方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；记抽取的不合格产品数为ξ．（1）分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；（2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x，设点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，（P在Q的上方）．（1）若t=1，直线PQ 的倾斜角为，求直线PA的斜率；（2）求证：∠PAO=∠QAO．2015-2016学年江苏省南通市海安县高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=　{x|1＜x＜3}　．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的性质和不等式的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，集合B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴集合A∩B={x|1＜x＜3}．故答案为：{x|1＜x＜3}．2．设a，b∈R，i为虚数单位，若（a+bi）•i=2﹣5i，则ab的值为　10　．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由（a+bi）•i=2﹣5i，得﹣b+ai=2﹣5i，即可求出a、b的值，则答案可求．【解答】解：由（a+bi）•i=2﹣5i，得﹣b+ai=2﹣5i，即a=﹣5，b=﹣2．则ab=﹣5×（﹣2）=10．故答案为：10．3．在平面直角坐标系xOy ，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个渐近线的方程为y=x，则该双曲线的离心率为　2　．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程y=±x，由题意可得b=a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线的方程为y=x，可得b=a，即有c==2a，即有e==2．故答案为：2．4．已知一组数据9.8，10.1，10，10.2，9.9，那么这组数据的方差为　0.02　．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先计算数据的平均数，代入方差公式，可得答案．【解答】解：9.8，10.1，10，10.2，9.9的平均数为10，故方差s2= [（9.8﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.9﹣10）2]=0.02，故答案为：0.025．如图是一个算法流程图，运行后输出的结果是　25　．【考点】程序框图．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到结果为s=1，n=3，此时满足判断框的条件经过第二次循环得到结果为s=4，n=5，此时满足判断框的条件经过第三次循环得到结果为s=9，n=7，此时满足判断框的条件经过第四次循环得到结果为s=16，n=9，此时满足判断框的条件，经过第四次循环得到结果为s=25，i=11，此时不满足判断框的条件，执行输出s，即输出25，故答案为：25．6．若函数是偶函数，则实数a 的值为　﹣　．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f （﹣）=f （），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x +）+sin（x ﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f （﹣）=f （），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．7．正四棱锥的底面边长为2cm，侧面与底面所成二面角的大小为60°，则该四棱锥的侧面积为　8　cm2．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD边长为2cm，侧面VAB与底面ABCD所成二面角的大小为60°，过V作平面ABC的垂线VO，交平面ABC于O点，过O作OE⊥AB，交AB于E，连结VE，则∠VEO是二面角V﹣AB﹣C的平面角，由此示出VE=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．【解答】解：如图，在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD边长为2cm，侧面VAB与底面ABCD所成二面角的大小为60°，过V作平面ABC的垂线VO，交平面ABC于O点，过O作OE⊥AB，交AB于E，连结VE，则∠VEO是二面角V﹣AB﹣C的平面角，∴∠VEO=60°，∵OE=AE=BE=1，∴VE==2，∴cos =，∴该四棱锥的侧面积S=4×（）=8．故答案为：8．8．将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移2个单位后得到的函数图象关于原点对称，则实数φ的值为　4﹣π　．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移2个单位后，得到y=sin[2（x﹣2）+φ]=sin（2x﹣4+φ）的图象，再根据得到的函数图象关于原点对称，∴﹣4+φ=kπ，k∈Z，则实数φ的值为4﹣π，故答案为：4﹣π． 9．二次函数y=f （x ）=ax 2+bx +c （x ∈R ）的部分对应如表：x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣10 1 2 3 y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣40 6 则关于x 的不等式f （x ）≤0的解集为　[﹣3，2]　．【考点】二次函数的性质．【分析】由表中数据可看出f （x ）过点（﹣3，0），（0，﹣6），（2，0），将这三点的坐标分别带入f （x ）便可得出关于a ，b ，c 的方程组，可解出a ，b ，c 的值，从而可以解一元二次不等式f （x ）≤0，这样即可得出该不等式的解集．【解答】解：根据条件知，f （x ）过点（﹣3，0），（0，﹣6），（2，0）；∴； 解得；∴f （x ）=x 2+x ﹣6； ∴解x 2+x ﹣6≤0得，﹣3≤x ≤2； ∴f （x ）≤0的解集为[﹣3，2]．故答案为：[﹣3，2]．10．在正五边形ABCDE 中，已知•=9，则该正五边形的对角线的长为　3　．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设该正五边形的边长为x ，由于•=9，可得x•2xcos36°•cos36°=9，即可得出该正五边形的对角线的长2xcos36°．【解答】解：设该正五边形的边长为x ，∵•=9，∴x•2xcos36°•cos36°=9，∴x=，∴该正五边形的对角线的长2xcos36°=．故答案为：3．11．用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是　　．【考点】归纳推理．【分析】由图形可知各图形中的黑色积木和白色积木分别成等差数列，求出积木总个数，使用古典概型的概率计算公式计算概率．【解答】解：由图可知第1个图形由1个黑色积木，6个白色积木，第二个图形有2个黑色积木，10个白色积木，第三个图形有3个黑色积木，14个白色积木，依此类推，故图形中的黑色积木数组成一个等差数列，公差为1，白色积木数组成一个等差数列，公差为4．从而前8个图形共有黑色积木个数为8×1+=36，共有白色积木个数为8×6+ =160．∴取出黑色积木的概率P==．故答案为．12．若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围是　[0，3]　．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x﹣a）2为减函数，当x＞0时，求出函数f（x）的最小值f（1）≥f（0），进而得到实数a的取值范围．【解答】解：若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x﹣a）2为减函数，故a≥0；当x＞0时，f′（x）=1﹣=，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1，即当x=1时函数取得极小值同时也是最小值f（1）=1﹣ln1+5+a=6+a，则满足f（1）≥f（0），即6+a≥a2，得a2﹣a﹣6≤0，解得：﹣2≤a≤3，∵a≥0，∴0≤a≤3综上所述实数a的取值范围是[0，3]，故答案为：[0，3]．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣1，0），Q（2，1），直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH 的取值范围是 ．【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b，c成等差数列，可得a（2x+y）+c（y+2）=0，令，可得直线l：ax+by+c=0，恒经过定点M（1，﹣2）．由于PH⊥l，可得点H在以PM为直径的圆上，其圆心C（0，﹣1）．圆的方程为：x2+（y+1）2=8．则|QC|﹣r≤|QH|≤|QC|+r．【解答】解：直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b，c成等差数列，∴ax +y+c=0，化为a（2x+y）+c（y+2）=0，令，解得x=1，y=﹣2．∴直线l：ax+by+c=0，恒经过定点M（1，﹣2）．∵PH⊥l，∴点H在以PM为直径的圆上，其圆心C（0，﹣1）．圆的方程为：x2+（y+1）2=8．|QC|=2．∴|QC|﹣r≤|QH|≤|QC|+r，线段QH 的取值范围是．故答案为：．14．在平面直角坐标系xOy中，将函数y=﹣（x∈[0，2]）的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角θ，若∀θ∈[0，a]，旋转后所得的曲线都是某个函数的图象，则a的最大值为　60°　．【考点】曲线与方程．【分析】确定函数在x=0处，函数图象的切线斜率，可得倾斜角，从而可得结论．【解答】解：由题意，函数图象如图所示，函数在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数．设函数在x=0处，切线斜率为k，则k=f'（0）∵f'（x）=•，∴k=f'（0）=，可得切线的倾斜角为30°，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90°，也就是说，最大旋转角为90°﹣30°=60°，即θ的最大值为60°．故答案为：60°二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15．已知θ∈（，），sin（θ﹣）=．（1）求sinθ的值；（2）求cos（2θ+）的值．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式求得sinθ的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，两角和的余弦，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵θ∈（，），sin（θ﹣）=，∴θ﹣∈（，π），cos（θ﹣）=﹣=﹣．∴sinθ=sin[（θ﹣）+]=sin（θ﹣）cos+cos（θ﹣）sin=+（﹣•）=﹣．（2）结合（1）可求cosθ=﹣=﹣，∴sin2θ=2sinθcosθ=2•（﹣）•（﹣）=，cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2•=，∴cos（2θ+）=cos2θ•cos﹣sin2θsin =﹣=．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．【解答】证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ： +=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C 经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P ，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得a2﹣b2=1，代入已知点，可得a，b的方程，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设P（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到P的轨迹方程，由题意和圆相交的条件，结合离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，又代入点（，1），可得+=1，解方程可得a=，b=，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意方程可得F（﹣1，0），设P（x，y），由PA=PF，可得=•，化简可得x2+y2=2，由c=1，即a2﹣b2=1，由椭圆+=1和圆x2+y2=2有交点，可得b≤2≤a，又b=，可得2≤a ≤，即有离心率e=∈[，]．18．如图，扇形AOB是一个植物园的平面示意图，其中∠AOB=，半径OA=OB=1km，为了便于游客观赏，拟在圆内铺设一条从入口A到出口B的观赏道路，道路由弧，线段CD，线段DE 和弧组成，且满足：=，CD∥AO．DE∥OB，OD∈[，]（单位：km），设∠AOC=θ．（1）用θ表示CD的长度，并求出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，观赏道路最长？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）根据三角形的角和边的关系，利用正弦定理，求得用θ表示OD和CD的长度，利用CD的取值范围，即可求得θ的取值范围；（2）首先将道路长度L（θ）表达成θ的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，从而可以求得θ=时，观光道路最长．．【解答】解：（1）AE=EB，CD∥AO．DE∥OB，∴∠AOD=，于是在△OCD中，OC=1，∠AOB=，∠AOC=θ．∠COD=﹣θ，由正弦定理可知：===2R，===，∴OD=sinθ，CD=sin （﹣θ），∵OD∈[，]，即≤sinθ≤，∴≤sinθ≤，∵0＜θ≤，∴，故CD=sin （﹣θ），（），（2）由（1）可知，观赏道理长L=2（+CD）=2θ+sin （﹣θ），（），∴L=2θ+2cosθ﹣sinθ，L′=2﹣2sinθ﹣cosθ，=2﹣cos（θ﹣），L′=0，得cos（θ﹣）=，，θ=，∵当时，＜θ﹣≤﹣，L′=2﹣cos（θ﹣）＜0，∴当θ=时，L取得最大值，即观赏道路最长．19．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，且数列{}是等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设lgb n =（n∈N*），问：b1，b k，b m（k，m均为正整数，且1＜k＜m）能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（1）根据等差数列的定义与通项公式、前n项和公式，结合题意求出通项a n；（2）假设存在正整数组k和m，使b1、b k，b m成等比数列，得出lgb1，lgb k lg，b m成等差数列，由此求出满足条件的正整数k和m的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），因为a1=1，所以a2=1+d，a3=1+2d，从而S2=2+d，S3=3+3d，因为数列{}是等差数列，所以2×=+，即=1+，化简得d2﹣d=0，而d≠0，所以d=1；故a n=a1+（n﹣1）d=n；（2）假设存在正整数组k和m，使b1、b k、b m成等比数列，则lgb1，lgb k，lgb m成等差数列，于是=+，所以m=3m （﹣）…（*）；易知k=2，m=3满足（*）；因为k≥3，且k∈N*时，﹣=＜0；数列{}（k≥3，k∈N）为递减数列，于是﹣≤﹣＜0，所以，当k≥3时，不存在正整数k和m满足（*）；综上，当且仅当k=2，m=3时，b1，b k，b m成等比数列．20．设a为正实数，函数f（x）=ax，g（x）=lnx．（1）求函数h（x）=f（x）•g（x）的极值；（2）证明：∃x0∈R，使得当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）h（x）=ax•lnx，（a＞0），则h′（x）=a（lnx+1），令h′（x）＞0，解得：x ＞，令h′（x）＜0，解得：0＜x ＜，∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴h（x）极小值=h （）=﹣，无极大值；（2）g（x）=lnx，f（x）=ax，（x＞0），（a＞0）则g′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与g（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a ＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a ＜时，g（x）与f（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．四、选做题从21-24题中任选2个小题，每小题10分，共20分21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A 的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．23．已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆心的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，展开为：ρ2+2×（ρsinθ﹣ρcosθ）﹣4=0，利用即可得出．【解答】解：∵圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，展开为：ρ2+2×（ρsinθ﹣ρcosθ）﹣4=0，∴x2+y2+2y﹣2x﹣4=0，配方为（x﹣1）2+（y+1）2=6．可得圆心坐标（1，﹣1），化为极坐标．24．设a，b是非负实数，求证：a3+b3≥（a2+b2）．【考点】分析法和综合法．【分析】作差，再进行因式分解，分类讨论，即可证得结论．【解答】证明：由a，b是非负实数，作差得a 3+b3﹣（a2+b 2）=a2（﹣）+b 2（﹣）=（﹣）[（）5﹣（）5]．当a≥b时，≥，从而（）5≥（）5，得（﹣）[（）5﹣（）5]≥0；当a＜b时，＜，从而（）5＜（）5，得（﹣）[（）5﹣（）5]＞0．所以a3+b3≥（a2+b2）．25．一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方式一：一次性随机抽取2件；方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；记抽取的不合格产品数为ξ．（1）分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；（2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）方式一中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从超几何分布ξ～H（2，3，10），计算对应的概率；列出频率分布表；方式二中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从二项分布ξ～B（2，），计算对应的概率；列出频率分布表；（2）计算方式一与方式二中的数学期望（平均数），比较结果即可．【解答】解：（1）方式一中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从超几何分布，ξ～H （2，3，10），于是P（ξ=0）==；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；因此ξ的频率分布可表示为下表：ξ0 1 2P方式二中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从二项分布，ξ～B（2，），于是P（ξ=0）=••=；P（ξ=1）=••=；P（ξ=2）=••；因此ξ的频率分布可表示为下表：ξ0 1 2P（2）由（1）知，方式一中ξ的数学期望（平均数）为E（ξ）=0×+1×+2×=，方式二中ξ的数学期望（平均数）为E（ξ）=2×=，所以，两种方式抽到的不合格品平均数相等．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x，设点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，（P在Q的上方）．（1）若t=1，直线PQ 的倾斜角为，求直线PA的斜率；（2）求证：∠PAO=∠QAO．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由题意写出直线PQ的方程，和抛物线联立，求得P的坐标，代入斜率公式得答案；（2）设直线PQ的方程为x=my+t，联立直线方程和抛物线方程求得P，Q的坐标，由斜率公式求得k PA=﹣k QA，从而得到∠PAO=∠QAO．【解答】（1）解：若t=1，直线PQ 的倾斜角为，则直线PQ的方程为y=x﹣1，解方程组，得P （），∵A（﹣1，0），∴直线PA 的斜率；（2）证明：∵直线PQ过点B（t，0），且与抛物线相交于P，Q两点，∴可设直线PQ的方程为x=my+t，联立方程组，得y2﹣4my﹣4t=0．解得：y=2m，于是P （），Q （），∴直线PA 的斜率=，同理，直线QA 的斜率，可得k PA=﹣k QA，则：∠PAO=∠QAO．高考帮——帮你实现大学梦想！　20 / 21。

江苏省南通中学2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分．1．（5 分）若角 120°的终边上有一点（﹣4，a），则a 的值是____________.．2．（5 分）若 f（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期是π，其中ω＞0，则ω的值是____________.3．（5 分）化简：sin13°cos17°+sin17°co s13°=____________.4．（5 分）已知向量=（14，0），=（，），则与的夹角的大小为____________.5．（5 分）已知 cosθ•tanθ＜0，那么角θ是第象限角____________.6．（5 分）已知向量=（1，1），=（2，n），若| + |=| ﹣|，则 n=____________.7．（5 分）（1+tan1°）（1+tan44°）=____________.8．（5 分）把函数 y=3sin（2x+ ）的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为 f（x）=____________. 9．（5 分）函数 f（x）=sinx﹣a 在区间[ ，π]上有 2 个零点，则实数 a 的取值范围____________.10．（5 分）已知函数 f（x）=asinx+btanx+1，满足 f（）=7，则 f（﹣）=____________.11．（5 分）在△ ABC 中，有命题：①﹣= ；②+ + = ；③若（+ ）•（﹣）=0，则△ ABC 为等腰三角形；④若△ ABC 为直角三角形，则•=0．上述命题正确的是（填序号）____________.12．（5 分）已知函数 y=tan + ，则函数的定义域是____________.13．（5 分）已知，，与的夹角为 45°，要使与垂直，则λ=____________.14．（5 分）在△ ABC 中，∠B= π，D 是 BC 边上任意一点（D 与 B、C 不重合），且2+ 2﹣2= •﹣2 •，则∠A 等于____________.二、解答题：本大题共6 小题，共90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14 分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，1+sinα），且•=﹣1．（1）求 tanα的值；（2）求的值．16．（14 分）已知=（1，2），=（﹣3，2），当k 为何值时：（1）k + 与﹣3 垂直；（2）k + 与﹣3 平行，平行时它们是同向还是反向？17．（14 分）已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，（1）求出函数 f（x）的解析式；（2）若将函数 f（x）的图象向右移动个单位得到函数 y=g（x）的图象，求出函数 y=g（x）的单调增区间及对称中心．18．（16 分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且| ﹣|= ．（1）求 sin（﹣α）cos（2π﹣β）﹣sin（π+α）cos（β﹣）的值；（2）若 cosα= ，且 0＜β＜α＜，求β的值．19．（16 分）某休闲农庄有一块长方形鱼塘 ABCD，AB=50 米，BC=25 米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊 OE、EF 和 OF，考虑到整体规划，要求 O 是 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 上，且∠EOF=90°．（1）设∠BOE=α，试将△ OEF 的周长 l 表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为 4000 元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．20．（16 分）如图，已知扇形周长 2+ π，面积为，且| + |=1．（1）求∠AOB 的大小；（2）如图所示，当点 C 在以 O 为圆心的圆弧上变动．若=x +y ，其中 x、y∈R，求 xy 的最大值与最小值的和；（3）若点 C、D 在以 O 为圆心的圆上，且= ．问与的夹角θ取何值时，•的值最大？并求出这个最大值．江苏省南通中学2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分．1．（5 分）若角 120°的终边上有一点（﹣4，a），则a 的值是4 ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用任意角的三角函数的定义，求出它的正切值，即可得到 a 的值．解答：解：由题意可知：tan120°= ，所以 a=4故答案为：4点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．2．（5 分）若 f（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期是π，其中ω＞0，则ω的值是 2．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期公式进行求解即可．解答：解：∵f（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期是π，∴T= ，解得ω=2，故答案为：2点评：本题主要考查三角函数的周期的计算，根据周期公式是解决本题的关键．3．（5 分）化简：sin13°cos17°+sin17°cos13°= ．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用两角和的正弦函数公式的逆应用，即可得到特殊角的三角函数值即可．解答：解：sin13°cos17°+cos13°sin17°=sin30°= ；故答案为：．点评：本题是基础题，考查两角和的正弦函数的应用，送分题．4．（5 分）已知向量=（14，0），=（，），则与的夹角的大小为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的坐标表示，以及向量的夹角公式，由夹角的范围计算即可得到．解答：解：由向量=（14，0），=（，），可得=14 ，| |=14，| |= =2，则 cos＜，＞= = = ，由 0≤＜，＞≤π，可得与的夹角的大小为．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和向量的夹角公式，主要考查夹角的大小，属于基础题．5．（5 分）已知 cosθ•tanθ＜0，那么角θ是第第三或第四象限角．考点：象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义；弦切互化．专题：阅读型．分析：本题考查了正、余弦函数与正切函数转化关系以及由三角函数值判断角所在的象限．根据 cosθ•tanθ＜0，结合同角三角函数关系运算，及三角函数在各象限中的符号，我们不难得到结论．解答：且 cosθ≠0∴角θ是第三或第四象限角故答案为：第三或第四点评：准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键，其口决是“第一象限全为正，第二象限负余弦，第三象限负正切，第四象限负正弦．”6．（5 分）已知向量=（1，1），=（2，n），若| + |=| ﹣|，则 n=﹣2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用向量的平方即为模的平方的性质，可得=0，再由向量的或塑料件的坐标表示，计算即可得到．解答：解：若| + |=| ﹣|，则（+ ）2=（﹣）2，即有+2 = ﹣2 ，即为=0，由向量=（1，1），=（2，n），则 2+n=0，解得 n=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，属于基础题．7．（5 分）（1+tan1°）（1+tan44°）=2．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：先利用两角和的正切公式求得（1+tan1°）（1+tan44°）=2．解答：解：∵（1+tan1°）（1+tan44°）=1+tan1°+tan44°+tan1°•tan44°=1+tan（1°+44°）[1﹣tan1°•tan44°]+tan1°•tan44°=2．故答案为：2．点评：本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于中档题．8．（5 分）把函数 y=3sin（2x+ ）的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为 f（x）=3sin2x．考点：函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：把函数 y=3sin（2x+ ）的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为：f（x）=3sin[2（x ﹣）+ ]=3sin（2x﹣+ ）=3sin2x．故答案为：3sin2x．点评：本题主要考查 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．（5 分）函数 f（x）=sinx﹣a 在区间[ ，π]上有 2 个零点，则实数 a 的取值范围≤a＜1．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：函数 f（x）=sinx﹣a 在区间[ ，π]上有 2 个零点可转化为函数 y=sinx 与 y=a 有两个不同的交点，作图象求解．解答：解：作函数 y=sinx 在区间[ ，π]上的图象如下，从而可得，sin ≤a＜1；即≤a＜1；故答案为：≤a＜1．点评：本题考查了函数零点与函数图象的应用，属于基础题．10．（5 分）已知函数 f（x）=asinx+btanx+1，满足 f（）=7，则 f（﹣）=﹣5．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据解析式得出 f（x）+f（﹣x）=2，求解即可．解答：解：∵f（x）=asinx+btanx+1，∴f（﹣x）=﹣asinx﹣btanx+1f（x）+f（﹣x）=2∵f（）=7，∴f（﹣）=2﹣7=﹣5，故答案为：﹣5点评：本题考查了函数的性质，整体的运用，属于中档题，注意观察，得出函数性质．11．（5 分）在△ ABC 中，有命题：①﹣= ；②+ + = ；③若（+ ）•（﹣）=0，则△ ABC 为等腰三角形；④若△ ABC 为直角三角形，则•=0．上述命题正确的是②③（填序号）．考点：平面向量数量积的运算；向量的三角形法则．专题：平面向量及应用．分析：在△ ABC 中，有命题：①﹣= ，即可判断出正误；②由向量的加法可知：+ + = ，正确；③由（+ ）•（﹣）=0，可得，即可判断出正误；④虽然△ ABC 为直角三角形，但是没有给出哪一个角为直角，因此•=0 不一定正确．解答：解：在△ ABC 中，有命题：①﹣= ，因此不正确；②+ + = ，正确；③若（+ ）•（﹣）=0，则，因此△ ABC 为等腰三角形，正确；④若△ ABC 为直角三角形，没有给出哪一个角为直角，因此•=0 不一定正确．综上可得：只有②③．故答案为：②③．点评：本题考查了向量的三角形法则及其运算、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5 分）已知函数 y=tan + ，则函数的定义域是{x|﹣4≤x≤4 且 x≠kπ+ ，k∈Z}．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据三角函数的性质，结合二次根式的性质得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：﹣4≤x≤4 且 x≠kπ+，（k=﹣1，0，），故答案为：{x|﹣4≤x≤4 且 x≠kπ+ ，（k=﹣1，0）}．点评：本题考查了三角函数的性质，考查了二次根式的性质，是一道基础题．13．（5 分）已知，，与的夹角为 45°，要使与垂直，则λ=2．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．分析：由已知中，，与的夹角为 45°，代入向量数量积公式，我们可以计算出•值，又由与垂直，即（）•=0，我们可以构造出一个关于λ的方程，解方程即可求出满足条件的λ值．解答：解：∵，，与的夹角为 45°，∴•=2••co s45°=2若与垂直，则（）•=λ（•）﹣=2λ﹣4=0解得λ=2故答案为：2点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量数量积的性质及其运算，其中根据与垂直，则其数量积（）•=0，构造出一个关于λ的方程，是解答本题的关键．14．（5 分）在△ ABC 中，∠B= π，D 是 BC 边上任意一点（D 与 B、C 不重合），且2+ 2﹣2= •﹣2 •，则∠A 等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：作AO⊥BC，垂足为O，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．设A （0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0）．由2+ 2﹣2= •﹣2 •，可得2+ 2﹣2 •= ，化为，化简可得 b=﹣c，进而得出．解答：解：作AO⊥BC，垂足为O，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．设A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．∵2+ 2﹣2= •﹣2 •，∴2+ 2﹣2 •= ，∴，∴b2+a2=d2+a2+（d﹣b）（c﹣d），即（b﹣d）（b+d）=（d﹣b）（d﹣c），又 b﹣d≠0，∴b+d=d﹣c，∴b=﹣c，∴点 B（b，0）和 C（c，0）关于原点对称，∴△ABC 为等腰三角形．∴AB=AC，∵∠B= ，∴∠A=π﹣= ．故答案为：．闰土教育祝您成功第10 页共18 页点评：本题考查了向量的数量积运算性质、余弦定理、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6 小题，共90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14 分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，1+sinα），且•=﹣1．（1）求 tanα的值；（2）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）由两向量的坐标及两向量数量积为﹣1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理求出 tanα的值即可；（2）原式分子分母除以 cosα，利用同角三角函数间基本关系化简，把 tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵向量=（cosα，﹣1），=（2，1+sinα），且•=﹣1，∴2cosα﹣1﹣sinα=﹣1，即 2cosα=sinα，则 tanα=2；（2）∵tanα=2，∴原式= = =﹣1．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．16．（14 分）已知=（1，2），=（﹣3，2），当k 为何值时：（1）k + 与﹣3 垂直；（2）k + 与﹣3 平行，平行时它们是同向还是反向？考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得k + 和﹣3 的坐标，由k + 与﹣3 垂直可得它们的数量积等于0，由此解得 k 的值．（2）由k + 与﹣3 平行的性质，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得 k 的值．再根据k + 和﹣3 的坐标，可得 k + 与﹣3 方向相反．解答：解：（1）由题意可得k + =（k﹣3，2k+2），﹣3 =（10，﹣4），由k + 与﹣3 垂直可得（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）（﹣4）=0，解得 k=19．（2）由k + 与﹣3 平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得 k=﹣，此时，k + =﹣+ =（﹣，），﹣3 =（10，﹣4），显然 k + 与﹣3 方向相反．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．17．（14 分）已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，（1）求出函数 f（x）的解析式；（2）若将函数 f（x）的图象向右移动个单位得到函数 y=g（x）的图象，求出函数 y=g（x）的单调增区间及对称中心．考点：函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．分析：（1）通过函数的图象求出振幅，周期，以及 b．求出函数 f（x）的解析式；（2）利用平移变换的运算求出函数 y=g（x）的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心．解答：解：（1）由题意，，∴，T=4π，∴，x=﹣时，y=2，可得：2= ，∵|φ|＜，∴φ= ，函数的解析式为：．（2），增区间，k∈Z，即，k∈Z；增区间，k∈Z，当，k∈Z；解得，k∈Z．对称中心k∈Z点评：本题考查三角函数的解析式的求法，平移变换以及正弦函数的单调区间，对称中心的求法，考查计算能力．18．（16 分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且| ﹣|= ．（1）求 sin（﹣α）cos（2π﹣β）﹣sin（π+α）cos（β﹣）的值；（2）若 cosα= ，且 0＜β＜α＜，求β的值．考点：运用诱导公式化简求值；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）利用数量积运算性质、模的计算公式、两角和差的余弦公式即可得出；（2）由 0＜β＜α＜，，可得，，sin（α﹣β）= ．利用 sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）即可得出．解答：解：（1）∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），∵| ﹣|= ，∴= ，化为 cos（α﹣β）= ．∴sin（﹣α）cos（2π﹣β）﹣sin（π+α）cos（β﹣）=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β）= ．（2）∵0＜β＜α＜，，∴，= ，∴sin（α﹣β）= = ．∴sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）= ﹣= ．∴．点评：本题考查了数量积运算性质、模的计算公式、两角和差的正弦余弦公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（16 分）某休闲农庄有一块长方形鱼塘 ABCD，AB=50 米，BC=25 米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊 OE、EF 和 OF，考虑到整体规划，要求 O 是 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 上，且∠EOF=90°．（1）设∠BOE=α，试将△ OEF 的周长 l 表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为 4000 元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．考点：函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）要将△ OEF 的周长 l 表示成α的函数关系式，需把△ OEF 的三边分别用含有α的关系式来表示，而OE，OF，分别可以在 Rt△ OBE，Rt△ OAF 中求解，利用勾股定理可求 EF，从而可求．（2）要求铺路总费用最低，只要求△ OEF 的周长 l 的最小值即可．由（1）得 l= ，α∈[ ，]，利用换元，设 sinα+cosα=t，则 sinαcosα= ，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．解答：解：（1）∵在 Rt△ BOE 中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=在 Rt△ AOF 中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，∴OF= ．又∠EOF=90°，∴EF= = ，∴l=OE+OF+EF= ．当点 F 在点 D 时，这时角α最小，此时α= ；当点 E 在 C 点时，这时角α最大，求得此时α= ．故此函数的定义域为[ ，]；（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△ OEF 的周长 l 的最小值即可．由（1）得，l= ，α∈[ ，]，设 sinα+cosα=t，则 sinαcosα= ，∴l= =由 t=sinα+cosα= sin（α+ ），又≤α+ ≤，得，∴，从而当α= ，即 BE=25 时，l min=50（+1），所以当 BE=AF=25 米时，铺路总费用最低，最低总费用为 200000（+1）元．点评：本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．20．（16 分）如图，已知扇形周长 2+ π，面积为，且| + |=1．（1）求∠AOB 的大小；（2）如图所示，当点 C 在以 O 为圆心的圆弧上变动．若=x +y ，其中 x、y∈R，求 xy 的最大值与最小值的和；（3）若点 C、D 在以 O 为圆心的圆上，且= ．问与的夹角θ取何值时，•的值最大？并求出这个最大值．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义；弧度制的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）设扇形的半径为 r，∠AOB=θ．利用扇形面积计算公式与弧长公式可得，解得即可；（2）如图所示，建立直角坐标系．则 A（1，0），B ．设 C（cosα，sinα）. ．由于=x +y ，可得，可得 xy= + ，即可得出最值．（3）设C（cosα，sinα），由= ，可得 D（﹣cosα，﹣sinα），由（2）可得：•= •（﹣cosα﹣1，﹣sinα）= ﹣．由α∈[0，2π），可得∈，∈[﹣1，1]．可得•的最大值为，当= ，取得最大值．此时= ，= ．再利用向量夹角公式可得 cosθ= = ，即可得出．解答：解：（1）设扇形的半径为 r，∠AOB=θ．∵扇形周长 2+ π，面积为，∴，解得．∴∠AOB= ．（2）如图所示，建立直角坐标系．则 A（1，0），B ．设 C（cosα，sinα）. ．∵=x +y ，∴，解得，∴xy= + = + = + ，∵，∴∈．∴∈，∴xy∈[0，1]．∴xy 的最大值与最小值的和为 1．（3）设 C（cosα，sinα），∵= ，∴D（﹣cosα，﹣sinα），由（2）可得：•= •（﹣cosα﹣1，﹣sinα）= ﹣=﹣﹣﹣== ﹣．∵α∈[0，2π），∴∈，∴∈[﹣1，1]．∴•的最大值为，当= ，即时，取得最大值．此时= ，= ．∴= ，= ，= = ．∴cosθ= = = ，∴．∴与的夹角θ= ，•的值最大为．点评：本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、扇形的弧长与面积计算公式、三角函数化简与计算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

南通市2015届高三上学期期末考试数学试题数 学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．. 1. 已知集合{2,1},{1,2,3}A B =--=-，则A B = .2. 已知复数z 满足()341(i z i +=为虚数单位，则z 的模为 .3. 某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 .4. 函数2()lg(23)f x x x =-++的定义域为 .5. 有图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 .6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为 .7. 底面边长为2，高为的正四棱锥的侧面积为 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物线24y x =焦点的双曲线的方程是9. 在平面直角坐标系xOy 中，记曲线2(,2)m y x x R m x=-∈≠-1x =处的切线为直线.若直线在 两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 . 10. 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若()(0)2y f x πϕϕ=-<<是偶函数，则ϕ= .11. 在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >.若122360,100a a a a +≤+≤，则155a a +的最大值为 .12. 已知函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .13. 如上图，圆O 内接∆ABC 中，M 是BC 的中点，3AC =.若4AO AM ⋅=，则AB = . 14. 已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且1|23|,12(),11(),222 x x f x f x x --≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩2()3y xf x =-在区间 ()12015，上的零点个数为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本小题满分14分）在∆ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知cos cos 2cos .b C c B a A +=()1求角A 的大小；()2若3,AB AC ⋅=，求∆ABC 的面积.16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4,AC BC CC M ⊥=是棱1CC 上的一点.()1求证：BC AM ⊥；()2若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M .17. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为()0,b ，且∆12BF F 是边长为2的等边三角形.()1求椭圆的方程；()2过右焦点2F 的直线与椭圆交于,A C 两点，记∆2ABF ，∆2BCF 的面积分别为12,S S .若122S S =，求直线的斜率.18. （本小题满分16分）在长为20m ，宽为16m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台圆心为点)C ，展厅入口位于长方形的长边的中间，在展厅一角B 点处安装监控摄像头，使点B 与圆C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内如图阴影所示.()1若圆盘半径为，求监控摄像头最小水平视角的正切值；()2过监控摄像头最大水平视角为60，求圆盘半径的最大值. 注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角.19. （本小题满分16分） 若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知函数3()3ln 1().f x ax x x a R =+-∈ ()1当0a =时，求()f x 的极值；()2若()f x 在区间1(,)e e上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.20. （本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .若()*1122n na n N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”. ()1若数列{}n a 的前n 项和为()()2*134n S n n n N =+∈，证明：{}n a 是“紧密数列”； ()2设数列{}n a 是公比为q 的等比数列.若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求.q 的取值范围.数学Ⅱ附加题部分注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。