浙江省黄岩中学高中数学《2.2.1向量的加法及其几何意义》练习题 新人教版必修4

2．2.1向量加法运算及其几何意义[教材研读]预习课本P80～83，思考以下问题1．向量的加法如何定义？2．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？3．向量加法的运算律有哪两条？[要点梳理]1．向量加法的定义及运算法则2.向量加法的运算律[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．两个向量相加结果可能是一个数量．()2．两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．()3．任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( ) [★答案★] 1.× 2.× 3.×题型一 向量加法及其几何意义思考：如图，已知向量a ，b ，分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量a ＋b .提示：作法1：在平面内任取一点O ， 作OA→＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b .作法2：在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，连接OC ，则OC→＝OA →＋OB →＝a ＋b .如图1，图2，图3所示，求作向量和．[思路导引]作向量和时既可用三角形法则也可用平行四边形法则，注意三角形法则是首尾相接，而平行四边形法则需有相同的始点．[解]如图中①，②所示，→＝a，然后作AB＝b，首先作OA→＝a＋b.则OB如图③所示，作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，再作CD →＝c ，则AD →＝AC→＋CD →＝(a ＋b )＋c ， 即AD →＝a ＋b ＋c .应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n 个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n 个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n 个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单． 【温馨提示】 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．(1)区别：①三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．(2)联系：①当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；②三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．[跟踪训练]如图，已知a 、b 、c ，求作向量a ＋b ＋c .[解] 在平面内任取一点O ，如图所示．作OA→＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c . 题型二 向量加法运算思考：式子AB→＋BA →＝0正确吗？ 提示：AB→＋BA →的和为零向量，即AB →＋BA →＝0，0不能写成0，故式子AB→＋BA →＝0不正确． 化简下列各式：(1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →； (2)(AB→＋DE →)＋CD →＋BC →＋EA →. [思路导引] 利用三角形法则首尾相接．[解] (1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋(DF →＋F A →)＝AD→＋DA →＝0. (2)(AB→＋DE →)＋CD →＋BC →＋EA → ＝(AB→＋BC →)＋(CD →＋DE →)＋EA → ＝AC →＋CE →＋EA → ＝AE →＋EA → ＝0.解决向量加法运算时应关注的两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0。

[A.基础达标]1．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 为矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD 是平行四边形．故选D. 2．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.3. 如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝( )A.CD →B.OC →C.DA →D.CO →解析：选B.OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →.4．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →解析：选C.设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.5．已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反解析：选A.a ∥b 且|a |＞|b |＞0，所以当a ，b 同向时，a ＋b 的方向与a 相同，当a ，b 反向时，因为|a |＞|b |，所以a ＋b 的方向仍与a 相同．6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →7．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________.解析：因为|OA →|＝|OB →|且∠AOB ＝90°，所以|a ＋b |为以OA →，OB →为两邻边的正方形的对角线的长，所以|a ＋b |＝3 2.答案：328．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________． 解析：由图知|BC →＋BA →|＝|BD →|.|BC →＋AB →|＝|AD →＋AB →|＝|AC →|， ∴|BD →|＝|AC →|.∴四边形ABCD 为矩形． 答案：矩形9．2014年12月28日在搜救亚航失联客机中，我国海上救援中心派出一架救援直升飞机对婆罗洲和勿里岛之间的气象条件进行实地侦察，该飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到达B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．解：如图所示，设AB →，BC →分别是直升飞机的两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →.在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km.在Rt △ACD 中，|AC →|＝ |AD ―→|2＋|DC ―→|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°方向，且距离A 地40 3 km 处．10．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →， ∴AB →＝DC →.∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形．[B.能力提升]1．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2|AO →|＝2|AB →|＝2.故选B.2．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →解析：选C.因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →.3．若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝a ＋b .又因为|OA →|＝8，|OB →|＝8，所以|OC →|＝|a ＋b |＝8 2. 又因为∠AOC ＝45°，所以a ＋b 的方向是北偏东45°.答案：82 北偏东45°4．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋CA →|＝|BC →|； ③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°，所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ，所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|.②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 答案：①②③5．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，在平行四边形OACB 中，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|CO →|＝300 N ，所以|OA →|＝|CO →|cos 30° ＝150 3 N ， |OB →|＝|CO →|cos 60°＝150 N.所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6．(选做题)如图，已知向量a ，b ，c ，d ，(1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a |＝2，e 为单位向量，求|a ＋e |的最大值． 解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →.因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)． 由图可知当B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， |OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.。

2．2．1向量的加法及其几何意义 练习二一、 选择题1、以下命题〔1〕如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同；〔2〕三角形ABC 中，必有AB ＋BC ＋CA ＝0；〔3〕假设AB ＋BC ＋CA ＝0，那么A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点；〔4〕假设a 、b 均为非零向量，那么｜a ＋b ｜与｜a ｜＋｜b ｜一定相等. 其中真命题的个数为〔 〕A 、0B 、1C 、2D 、32、河中水流自西向东每小时10ｋｍ，小船自南岸沿正北方向行驶，每小时走，那么该船实际行驶方向及速度为〔 〕A 、北偏东30度方向，速度为20/km hB 、东偏北30度方向，速度为20/km hC 、东偏北30度方向，速度为/hD 、北偏东30度方向，速度为/h3、向量〔AB ＋MB 〕＋〔BO ＋BC 〕＋OM 化简后等于〔 〕A 、CB B 、ABC 、ACD 、AMC4、假设｜AB ｜＝8，｜AC ｜＝5，那么｜BC ｜的取值范围是〔 〕A 、[]3,8B 、〔3，8〕C 、[]3,13D 、〔3，13〕5、,,A B C 不共线,230OA OB OC ++=，那么AOB BOC COA ∠∠∠、、中〔 〕A. 至少有一个是锐角B. 至少有两个是钝角C. 至多有一个是钝角D. 三个都是钝角6、如图，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，那么EF 等于〔 〕A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH AG +D ．GH BG +7、在ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，那么以下等式中不正确的选项是〔 〕A ．c b a =+B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =-8、在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，那么 MC MB MA -+等于〔 〕A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4二、填空题9、假设向量a 、b 满足｜a ｜＝8，｜b ｜＝12，那么｜a ＋b ｜的最小值是 .当非零向量a 、b 〔a 、b 不共线〕满足 时，能使a ＋b 平分a 、b 间的夹角.10、在四边形ABCD 中，假设||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,那么四边形ABCD 的形状是.11、c b a ,,的模分别为1、2、3，那么||c b a ++的最大值为三、解答题12、O 为正三角形ABC 的中心，求证：OA ＋OB ＋OC ＝013、求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形.14、在正六边形ABCDEF 中，AB ＝a ，AF ＝b ，求AC ，AD ，AE .15、△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++答案：一、选择题1、B；2、D；3、C；4、C；5、B；6、C；7、B；8、C二、填空题9、4；｜a｜＝｜b｜10、菱形11、6三、解答题12、证明：根据平行四边形法那么，作出OE＝OB＋OC，易知OBFC是菱形，OE平分∠BOC.由正三角形性质得∠AOC＝∠BOC＝120O，故∠EOC＝60O.∴∠AOE＝180O，∴A、O、E三点共线.∴｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜＝｜OE｜.∴OE＋OA＝0∴OA＋OB＋OC＝013、证明：设四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AO＝OC，DO＝OB.由向量加法的三角形法那么知：AB＝AO＋OB，DC＝DO＋OC，又AO＝OC，DO＝OB，所以AB＝DC.即AB＝DC，且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形.14、解：如图，连结FC交AD于O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO 均是平行四边形.〔解法一〕根据向量的平行四边形法那么有AO ＝AB ＋AF ＝a ＋b .在平行四边形ABCO 中， AC ＝AO ＋AB ＝a ＋b ＋a ＝2a ＋b ，又由于AO ＝BC ，∴BC ＝a ＋b .或由向量加法的三角形法那么，可得 AC ＝AB ＋BC ，∴AC ＝a ＋a ＋b ＝2a ＋b ；由正六边形的知识知，AD ＝2AO ＝2a ＋2b ；又AE ＝AD DE +且DE ＝－AB ，∴AE ＝AD －AB ＝2a ＋2b －a ＝a ＋2b . 〔解法二〕∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ，AD ＝2AO ，AO ＝BC ，CD ＝AF ， ∴AD ＝2BC ，2BC ＝AB ＋BC ＋CD ，∴BC ＝AB ＋CD ＝AB ＋AF ＝a ＋b .∴AC ＝AB ＋BC ＝a ＋a ＋b ＝2a ＋b ；AD ＝AC ＋CD ＝2a ＋2b ； AE ＝AF ＋FE ＝AF ＋BC ＝b ＋a ＋b ＝a ＋2b .〔解法三〕∵AC ＝AF ＋FC ，而FC ＝2AB ，∴AC ＝AF ＋2AB ＝2a ＋b ； AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋AF ＝2a ＋2b ； AE ＝AF ＋FC CD DE ++＝AF ＋2AB ＋AF －AB ＝2AF ＋AB ＝a ＋2b .15、解：设P 、Q 、R 分别是BC 、CA 、AB 的中点，那么 00000121212,,,3333330.,,0,30,OA CB BA OB AC CB OC BA AC OA OB OC BA AC CB O O A O B O C OO OA OB OC O =+=+=+++=++=++==++=故反之设为重心则可知故0.O 与重合。

§2.2 平面向量的线性运算2．2.1 向量加法运算及其几何意义一、选择题1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( ) A ．向东南航行 2 km B ．向东南航行2 km C ．向东北航行 2 kmD ．向东北航行2 km2. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可4．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2 C. 3D.55．若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB →＋AC →|＝2，则△ABC 的形状是( ) A ．正三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形D ．等腰直角三角形6．已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD →D.AC →＋AD →＝DC →7．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0 B.BE → C.AD →D.CF →8．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →，则四边形ABCD 为( ) A ．正方形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．菱形二、填空题9．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.10．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 11．已知|OA →|＝3，|OB →|＝3，∠AOB ＝90°， 则|OA →＋OB →|＝________.12．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________________________. 三、解答题13．如图所示，试用几何法分别作出向量BA →＋BC →，CA →＋CB →.答案精析1．A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.D 8．C [AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∵AO →＝OC →，DO →＝OB →， ∴AB →＝DC →.] 9．0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0. 10．1解析 在菱形ABCD 中，连接BD ， ∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形， 又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1， |BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 11．32解析 以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ， 由∠AOB ＝90°，|OA →|＝|OB →|＝3，所以该四边形为正方形，则|OA →＋OB →|＝32＋32＝3 2. 12．0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0.13．解 以BA ，BC 为邻边作▱ABCE ，根据平行四边形法则，可知BE →就是BA →＋BC →.以CB ，CA 为邻边作▱ACBF ，根据平行四边形法则，可知CF →就是CA →＋CB →.。

必修四第二章 平面向量2．2．1 向量的加法1．【题目】对任意向量a 、b ，在下式中：①a ＋b ＝b ＋a ；②(a ＋b )＋c ＝b ＋(a ＋c )；③|a ＋b |＝|a |＋|b |；④|a ＋b |≤|a |＋|b |，恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 【题目】正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝c ，BC →＝b ，则|a ＋b ＋c |为( )A ．0 B.2 C ．3 D ．223．【题目】当非零向量a ，b 满足__________时，a ＋b 平分a 与b 的夹角．4.【题目】1.在Rt △ABC 中，若∠A ＝90°，|AC →|＝2，|AB →|＝3，则AC →＋AB →的模等于( ) A.13B ．22C ．3D ．55.【题目】已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →；③OA →＋OC →＋BO →＋CO →；④AB →＋CA →＋BD →＋DC →.其中结果为0的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46.【题目】①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么，a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③ 若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．37..【题目】已知正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|等于________．．8.【题目】下列等式不正确的是( )．①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →≠0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →.A ．②③B ．②C ．①D ．③9.【题目】下列等式不成立的是( )．A ．a ＋0 ＝aB ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2AB →D.AB →＋BC →＝AC →10.【题目】已知四边形ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是( )．A.AB →＋BC →＝CA →B.AB →＋AC →＝BC →C.AC →＋BA →＝AD →D.AC →＋AD →＝DC →参考答案：1. 因为向量加法满足交换律，结合律，所以①，②恒成立，|a ＋b |＝|a |＋|b |仅有a 与b 同向时成立，所以③不恒成立．由向量模的几何定义知④恒成立．【答案】C2. |a ＋b ＋c |＝|2c |＝2|c |＝2 2.【答案】D3.当以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形时，a ＋b 平分a 与b 的夹角，所以应填|a |＝|b |.【答案】|a |＝|b |.4.由题意知|AB →＋AC →|＝|AB →|2＋|AC →|2＝22＋32＝13【答案】A5.①AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0.②(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝AB →＋MB →＋BM →＝AM →＋MB →＝AB →≠0.③OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝OA →＋BO →≠0.④AB →＋CA →＋BD →＋DC →＝AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0.其中结果为0的有两个．【答案】B6.①不正确，当a ＋b ＝0时，不成立．②正确，③不正确．当A 、B 、C 共线时，不成立．④不正确．因为|a ＋b |≤|a |＋|b |.【答案】B7.|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|2AC →|＝2 2.【答案】228.①满足向量加法的交换律与结合律，①正确．AB →＋BA →＝AA →＝0，②不正确．DC →＋AB →＋BD →＝DC →＋(AB →＋BD →)＝DC →＋AD →＝AD →＋DC →＝AC →，③正确．【答案】B°9.显然A 、B 正确对于D ，利用加法三角形法则可知AB →＋BC →＝AC →正确【答案】C10.对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，∴AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →【答案】C。

向量加法运算及其几何意义专题训练2.2.1向量加法运算及其几何意义一、选择题（共10小题,每题5分,共50分） 1.下列等式错误的是( ) A.a ＋0＝0＋a ＝a B.AB →＋BC →＋AC →＝0C.AB →＋BA →＝0D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →2.如图所示,在四边形ABCD 中,AC →＝AB →＋AD →,则四边形ABCD 为( )A ．矩形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形3.如图所示,在平行四边形ABCD 中,BC →＋DC →＋BA →等于( )A.BD →B.DB →C.BC →D.CB →4.设P 是△ABC 所在平面内的一点,BC →＋BA →＝2BP →,则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝05.在四边形ABCD 中,AC →＝AB →＋AD →,则( )A.四边形ABCD 一定是矩形B.四边形ABCD 一定是菱形C.四边形ABCD 一定是正方形D.四边形ABCD 一定是平行四边形6.如图,正六边形ABCDEF 中,BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →7.向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.CB → B.AB → C.AC → D.AM →8.在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度等于( ) A ．2 5 B ．45 C ．12 D ．69.已知平行四边形ABCD,设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a,且b 是一非零向量,则下列结论:△a △b ；△a ＋b ＝a ；△a ＋b ＝b ；△|a ＋b |<|a |＋|b |.其中正确的是( )A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△10.若向量a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，( )A ．a △b 且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量，且方向相反C ．a ＋b ＝0D ．无论什么关系都可以二、填空题（共4小题,每题5分,共20分）11.设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量,则下列结论正确的有________.(将正确答案的序号填在横线上) △a △b ；△a ＋b ＝a ；△a ＋b ＝b ；△|a ＋b |<|a |＋|b |．12.在边长为1的等边三角形ABC 中，|AB →＋BC →|＝________，|AB →＋AC →|＝________．13.已知OA → ＝3，OB → ＝3，△AOB ＝90°，则OA →＋OB →＝________.14.若G 为△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________. 三、解答题（共2小题,每题15分,共30分） 15.已知图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力F1＝24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力F2＝12N，求F1和F2的合力．16.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.向量加法运算及其几何意义答案与解析一、选择题（共10小题,每题5分,共50分） 1.下列等式错误的是( )A.a ＋0＝0＋a ＝aB.AB →＋BC →＋AC →＝0 C.AB →＋BA →＝0 D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →解析AB →＋BC →＋AC →＝AC →＋AC →＝2AC →≠0，故B 错．答案 B2.如图所示,在四边形ABCD 中,AC →＝AB →＋AD →,则四边形ABCD 为( )A ．矩形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形解析△AC →＝AB →＋AD →，△DC →＝DA →＋AC →＝DA →＋AB →＋AD →＝DA →＋AD →＋AB →＝AB →，即DC →＝AB →．△四边形ABCD 为平行四边形．答案 C3.如图所示,在平行四边形ABCD 中,BC →＋DC →＋BA →等于( )A.BD →B.DB →C.BC →D.CB →解析BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →．答案 C4.设P 是△ABC 所在平面内的一点,BC →＋BA →＝2BP →,则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0解析因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，则PC →＋P A →＝0. 答案 B5.在四边形ABCD 中,AC →＝AB →＋AD →,则( )A.四边形ABCD 一定是矩形B.四边形ABCD 一定是菱形C.四边形ABCD 一定是正方形D.四边形ABCD 一定是平行四边形解析由向量加法的平行四边形法则可知,四边形ABCD 必为平行四边形．答案 D6.如图,正六边形ABCDEF 中,BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →解析BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝BF →＋CB →＝CF →，所以选D. 答案 D7.向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.CB → B.AB → C.AC → D.AM →解析(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BO →)＋OM →＋MB →＋BC →＝AO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AM →＋MB →＋B C →＝AB →＋BC →＝AC →.故选C. 答案 C8.在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD→＋AC →的长度等于( ) A ．2 5 B ．45 C ．12 D ．6解析因为AB →＋AD →＝AC →,所以AB →＋AD →＋AC →的长度为AC →的模的2倍,故答案是4 5. 答案 B9.已知平行四边形ABCD,设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a,且b 是一非零向量,则下列结论:△a △b ；△a ＋b ＝a ；△a ＋b ＝b ；△|a ＋b |<|a |＋|b |.其中正确的是( )A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△解析△在平行四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，BC →＋DA →＝0，△a 为零向量，△零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，△△△正确，△△错误．答案 A 10.若向量a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，( )A ．a △b 且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量，且方向相反C ．a ＋b ＝0D ．无论什么关系都可以解析因为|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以由向量加法的三角形法则知，a △b 且a 与b 方向相同．答案 A 二、填空题（共4小题,每题5分,共20分）11.设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量,则下列结论正确的有________.(将正确答案的序号填在横线上) △a △b ；△a ＋b ＝a ；△a ＋b ＝b ；△|a ＋b |<|a |＋|b |．解析由条件得：(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝0＝a ，故填△△．答案△△12.在边长为1的等边三角形ABC 中，|AB →＋BC →|＝________，|AB →＋AC →|＝________．解析易知|AB →＋BC →|＝|AC →|＝1，所以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，则|AB →＋AC →|＝|AD →|＝2|AB →|×sin 60°＝2×1×32＝3．答案 1 313.已知OA → ＝3，OB → ＝3，△AOB ＝90°，则OA →＋OB →＝________.解析△ OA → ＝OB → ，且△AOB ＝90°，△ OA →＋OB → 是以OA →，OB →为两邻边的正方形的对角线长，△ OA →＋OB →＝3 2. 答案 3214.若G 为△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________. 解析延长AG 至E 交BC 于D 使得AG ＝GE ，则由重心性质知D 为GE 中点,又为BC 中点,故四边形BGCE为平行四边形．△GE →＝GB →＋GC →.又GA →＝－GE →，△GA →＋GB →＋GC →＝0. 答案 0三、解答题（共2小题,每题15分,共30分） 15.已知图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力 F 1 ＝24N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力 F 2 ＝12N ，求F 1和F 2的合力．解如图所示,根据向量加法的平行四边形法则,得到合力F ＝F 1＋F 2＝OC →.在△OCA 中, F 1 ＝24,AC →＝12,△OAC ＝60°,△△OCA ＝90°.△ OC →＝12 3. △F 1与F 2的合力为12 3N,与F 2成90°角竖直向上． 16.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证 A B →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明:AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，△AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.因为PB →和QC →大小相等、方向相反，所以PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.。

§2.2.3向量数乘运算及其几何意义【学习目标、细解考纲】1、掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。

2、了解两个向量共线的含义。

3、理解和应用向量数乘的运算律。

【知识梳理、双基再现】1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作a λr ，它的长度与方向规定如下：（1）||a λr =___________________________________; （2）当________________时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当____________时，a λr 的方向与a r 方向相反，当_____________时，a λr =O u r 。

2、向量数乘和运算律，设,λμ为实数。

（1）()a λμ=r _____________________________________________；（2）()a λμ+=r __________________________________________；（3）()a b λ+=r r __________________________________________；（4）()a λ=r ____________________=________________________；（5）()a b λ-=r r _________________________________________；3、⎧⎪⎨⎪⎩向量的加法向量的线性运算向量的减法向量的数乘对于任意向量a r ,b r ，任意实数12λμμ、、恒有2a b λμμr r 1（+）=_________________________。

4、两个向量共线（平行）的等价条件，如果(0)a a b ≠r r r 与共线，那么_________________。

【小试身手、轻松过关】1、(4) 2.5a -⨯r =___________。

2.2.1向量加法运算及其几何意义一、选择题1. 【题文】如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC DC BA ++等于 ()A. BDB. DBC. BCD. CB2．【题文】在△ABC 中，AB a = ，BC b = ，则a b +等于（ ）A ．CAB ．BCC ．ABD ．AC3．【题文】在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 一定是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形4．【题文】若四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是（ ）A ．AB BC AC += B ．AB AC BC += C ．AC BA BD += D ．AC AD DC +=5．【题文】已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则+a b 表示( )AB ．向东南航行2 km CD ．向东北航行2 km6.【题文】已知 a ，b 为非零向量，且+=+a b a b ，则( )A ．a b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．=a bD ．a ，b 无论什么关系均可7．【题文】如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP OQ +=（ ）A ．OHB ．OGC ．FOD ．EO8. 【题文】如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD BC ，则OA+BC AB +=()A.CDB.OCC.DAD.CO二、填空题9．【题文】在平行四边形ABCD 中，若BC BA BC AB +=+，则四边形ABCD 是________．10．【题文】已知3=a ，5=b ，则向量+a b 模长的最大值是____．11．【题文】已知3AB = ，5BC = ，则AC的取值范围是________三、解答题12．【题文】设表示“向东走19km ”，表示“向西走5km ”，表示“向北走10 km ”，d表示“向南走5km ”，试说明下列向量的意义．（1）a a + ；（2）a b + ；（3）a c + ；（4）b d + ；（5）b c b ++ ；（6）d a d ++ ．13．【题文】在水流速度为10 km/h的河中，如果要使船以的速度与河岸成直角地横渡，求船行驶速度的大小与方向．14．【题文】求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．2.2.1向量加法运算及其几何意义参考答案与解析1.【答案】C【解析】()0BC DC BA BC DC BA BC BC ++=++=+=.考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易2.【答案】D【解析】∵在△ABC 中，AB a = ，BC b = ，∴a b AB BC AC +=+=．故选D ．考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易3.【答案】D【解析】在四边形ABCD 中，∵AC AB AD =+ ，AC AB BC =+，∴AD BC =，∴AD BC ，AD BC =，∴四边形ABCD 是平行四边形．故选D ．考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易4.【答案】A【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴AB BC AC += ，AB AC BC +≠，AC BA BD +≠ ，AC AD DC +≠，故选A ．考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】较易5.【答案】A【解析】如图所示，设AD = a ，AB =b ，由向量加法的平行四边形法则可知四边形ABCD 为正方形，且AC =+= a b ，π4BAC ∠=，故选A.考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般6.【答案】A【解析】由+=+a b a b 可知，a 与b 必共线且方向相同，故选A.考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般7.【答案】C【解析】设a OP OQ =+，以OP 、OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP 、OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a OP OQ =+ ，由于和FO长度相等，方向相同，∴a FO =，故选 C ．考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般8.【答案】B【解析】=OA+BC AB OA+AB BC OC +=+.考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】选择题 【难度】一般9.【答案】矩形【解析】由图知BC BA BD +=.又BC AB AD AB AC +=+= ，∴BD =AC .∴四边形ABCD 为矩形． 考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】填空题 【难度】一般10.【答案】【解析】∵358≤++==+a b a b ，∴+a b 的最大值为. 考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】填空题 【难度】较易11.【答案】[]2,8【解析】8AC AB BC AB BC =+≤+=，且2AC AB BC AB BC =+≥-=. ∴28AC ≤≤.考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】填空题 【难度】一般12.【答案】详见解析【解析】表示“向东走19km ”，表示“向西走5km ”，表示“向北走10 km ”，d表示“向南走5km ”，故（1）a a +表示“向东走了38km ”；（2）a b +表示“向东走了14km ”；（3）a c +表示“先向东走了19km ，再向北走了10 km ”；（4）b d +表示“先向西走了5km ，再向南走了5km ”；（5）b c b ++表示“先向西走了10 km ，再向北走了10 km ”； （6）d a d ++表示“先向东走了19km ，再向南走了10 km ”.考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】解答题 【难度】较易13.【答案】船行驶速度为20 km/h ，方向与水流方向成120︒角【解析】如图，OA 表示水流方向，OB 表示垂直于对岸横渡的方向，OC表示船行驶的方向，由OB OC OA =+ ，及OA CB =且90OBC ∠=︒，知20OC = ，120AOC ∠︒＝，即船行驶速度为20 km/h ，方向与水流方向成120︒角．考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】解答题 【难度】较易14.【答案】详见解析【解析】证明：要证明三个向量首尾相连构成三角形，只要证明三个向量的和为即可．如图所示：设△ABC 的三边对应的向量为BC = a ，CA = b ，AB =c ，那么+a b 0+=c ，设D 、E 、F 分别为三边BC ，CA ，AB 的中点，于是中线对应的向量分别为12AD AB BD =+=+ c a ，12BE BC CE =+=+ a b ， CF CA AF =+ 12=+b c ，∴()102AD BE CF ++=+++++= a b c a b c .∴AD BE CF ++=，故结论得证，即三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．考点：向量的加法及其几何意义. 【题型】解答题 【难度】一般。

学习资料专题2.2.1向量加法运算及其几何意义5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.如图2-2-1所示，在圆O中，向量、、是( )图2-2-1A.有相同起点的向量B.单位向量C.模相等的向量D.相等的向量解析：指定大小和方向后就可以确定一个向量，不能说某些向量是有相同起点的，A错；本题中没有给定向量的长度是1，所以不能说它们是单位向量，B错；这三个向量的方向是不同的,所以不是相等的向量，D错；这三个向量的模都是圆的半径，所以它们的模相等.答案：C2.(1)把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P，则这些向量的终点构成的几何图形为_____________________.(2)把平行于直线l的所有单位向量的起点平行移动到直线l上的点P，这些向量的终点构成的几何图形为___________________.(3)把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l上的点P，这些向量的终点构成的几何图形为___________________.解析：向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点.(1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.应填：一个圆.(2)因为平行于直线l的所有单位向量只有两个方向，故这样的单位向量只有两个，起点为P，则终点应为：直线l上与P的距离相等的两个点.(3)因为平行于直线l的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为：直线l上的任意一点.答案：(1)一个圆.(2)直线l上与点P的距离相等的两个点.(3)直线l上的任意一点.3.如图2-2-2，试作出向量a与b的和a+b.图2-2-2解析：如图，首先作=a，再作=b，则=a+b.4.若a =“向北走8 km”，b =“向东走8 km”，则|a +b |=__________；a +b 的方向是___________. 解析：如图所示.答案：28 东北方向10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.如图2-2-3，正方形ABCD 的边长为1，则|AD DC BC AB +++|等于( )图2-2-3A.1B.2C.3D.22解析：|+++|=|2|=2||=22.答案：D2.如图2-2-4，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( )图2-2-4 A.CA BC AB =+ B.BC AC AB =+ C.AD BA AC =+ D.DC AD AC =+解析：由三角形法则和平行四边形法，可知=+,A 错；=+，B 错；=+，D 错.只有C 是正确的.答案：C3.已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a +b 的方向( ).A.与向量a 方向相同B.与向量a 方向相反C.与向量b 方向相同D.与向量b 方向相反解析：已知a 平行于b ，如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a 的方向相同;如果它们的方向相反，因为a 的模大于b 的模，所以它们的和仍然与a 的方向相同. 答案：A4.如图2-2-5所示，已知向量a ，b ，c ，d ，求向量a +b +c +d .图2-2-5解：在空间中任取一点O ，作OA =a ，AB =b ，BC =c ，CD =d ，则OD =a +b +c +d .5.如图2-2-6所示，已知向量a 、b 、c ，求作向量a +b +c .图2-2-6解：如图，首先作=b ，再作=a ,=c 则=a +b +c .30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知平行四边形ABCD ，设(CD AB +)+(DA BC +)=a ，而b 是一非零向量，则下列结论正确的有( )①a ∥b ②a +b =a ③a +b =b ④|a +b |＜|a |+|b |A.①③B.②③C.②④D.①②解析：在平行四边形ABCD 中，CD AB +=0，DA BC +=0，所以a 为零向量，零向量和任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确.答案：A2.向量a 、b 都是非零向量，下列说法不正确的是( )A.向量a 与b 同向，则向量a +b 与a 的方向相同B.向量a 与b 同向，则向量a +b 与b 的方向相同C.向量a 与b 反向，且|a |＜|b |，则向量a +b 与a 的方向相同D.向量a 与b 反向，且|a |＞|b |，则向量a +b 与a 的方向相同解析：向量a 与b 反向，且|a |＜|b |，则向量a +b 的方向应该和模较大的向量相同，即和b 的方向相同，所以C 错.答案：C3.a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则下列说法正确的是( )A.a ∥b ，且a 与b 方向相同B.a 、b 是共线向量C.a =-bD.a 、b 无论什么关系均可解析：当两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a 、b 的方向都不相同，且|a +b |＜|a |+|b |；向量a 与b 同向时，a +b 的方向与a 、b 的方向都相同，且|a +b |=|a |+|b |；向量a 与b 反向且|a |＜|b |时，a +b 的方向与b 的方向相同(与a 方向相反)，且|a +b |=|b |-|a |.答案：A4.在平行四边形ABCD 中，下列式子： ①+=；②+=；③=+；④=+；⑤CD BC AB AD ++=；⑥CA DC AD +=.其中不正确的个数是( )A.1B.2C.4D.6 解析：=+，所以⑥错，其他各项都是正确的.答案：A5.下列命题①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a +b 的方向必与a 、b 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有++=0； ③若++=0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a +b |与|a |+|b |一定相等.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析：①假命题.当a +b =0时，命题不成立;②真命题;③假命题.当A 、B 、C 三点共线时也可以有CA BC AB ++=0;④假命题.只有当a 与b 同向时，相等，其他情况均为|a +b | ＞|a |+|b |. 答案：B6.如图2-2-7所示，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点.下列结论正确的是( )图2-2-7 A.=，= B.=+ C.+=+ D.=++解析：因为AD OD AO =+，AD CD AC =+，所以CD AC OD AO +=+.答案：C7.已知向量a 、b ，比较|a +b |与|a |+|b |的大小.解：(1)当a 、b 至少有一个为零向量时，有|a +b |=|a |+|b |;(2)当a 、b 为非零向量且a 、b 不共线时，有|a +b |＜|a |+|b |；(3)当a 、b 为非零向量且a 、b 同向共线时，有|a +b |=|a |+|b |；(4)当a 、b 为非零向量且a 、b 异向共线时，有|a +b |＜|a |+|b |.8.已知四边形ABCD ，对角线AC 与BD 交于点O ，且AO=OC ，DO=OB.求证：四边形ABCD 是平行四边形.证明：由已知得=,=.∵=+=+=,且A 、D 、B 、C 不在同一直线上.故四边形ABCD 是平行四边形.9.轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了40 n mile(海里)到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40 n mile 到达C 处.求此时轮船与A 港的相对位置.解：设、分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合位移，+=. 在Rt △ADB 中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，||=40 n mile ，所以||=20 n mile ，||=320n mile.在Rt △ADC 中，∠ADC=90°，||=60 n mile ，所以|34060)320(22=+ n mile.因为||=2||，所以∠CAD=60°.答：轮船此时位于A 港东偏北60 °，且距A 港340 n mile 的C 处.。

2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义一、基础达标1．下列三个命题：①若a ＋b ＝0，b ＋c ＝0，则a ＝c ；②AB →＝CD →的等价条件是点A 与点C重合，点B 与点D 重合；③若a ＋b ＝0且b ＝0，则－a ＝0.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 B解析 ①中，∵a ＋b ＝0，∴a 、b 的长度相等且方向相反．又b ＋c ＝0，∴b 、c 的长度相等且方向相反，∴a 、c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ，①正确．②中，当AB →＝CD →时，应有|AB →|＝|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定要有点A 与点C 重合，点B 与点D 重合，故②错．③显然正确．2．如图在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →答案 C3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可答案 A4.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A.BD →B.DB →C.BC →D.CB →答案 C解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.5．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →答案 D解析 因为点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以点M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则知OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，故OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →.6．已知|OA →|＝|OB →|＝1，且∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝________.答案 3解析 如图所示，OA →＋OB →＝OC →，|OA →＋OB →|＝|OC →|，在△OAC 中，∠AOC ＝30°，|OA →|＝|AC →|＝1，∴|OC →|＝ 3.7．设O 是△ABC 内任一点，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．证明：OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →.证明 如图所示，因为OA →＝OD →＋DA →，OB →＝OE →＋EB →，OC →＝OF →＋FC →，所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →＋DA →＋EB →＋FC →.因为D ，E ，F 分别为各边的中点，所以DA →＋EB →＋FC →＝12(BA →＋CB →＋AC →)＝0. 所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →.二、能力提升8．已知四边形ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是( )A.AB →＋BC →＝CA →B.AB →＋AC →＝BC →C.AC →＋BA →＝AD →D.AC →＋AD →＝DC →答案 C解析 对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，∴AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →.9．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．答案 20,4解析 当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4.10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______.答案 0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0，∴GA →＋GB →＋GC →＝0.11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．解 如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5.∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53， |OC →|＝|OB →|sin 30°＝10， ∴水流速度大小为5 3 km /h ，船实际速度为10 km/h.12．已知四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平形四边形．证明 如图所示．AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →.又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →，∴AB ∥DC ，且AB ＝DC ，∴四边形ABCD 为平形四边形．三、探究与创新13．在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．解 如图所示，设AB →、BC →分别是直升飞机两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →，在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ，在Rt △ACD 中， 22||||||AC AD DC =+＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处.。

2.2.1 平面向量的加法及其几何意义一、选择题：1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】 A【解析】 依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A ．2．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝( )A ．CD →B ．OC → C ．DA →D ．CO →【答案】 B【解析】 OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →.故选B 。

3．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A ．OH →B ．OG →C ．FO →D ．EO →【答案】 C【解析】 设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.故选Ｃ。

4.下列命题中正确的个数为( )(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么(a ＋b )∥a ；(2)在平行四边形ABCD 中，必有BC →＝AD →；(3)若BC →＝AD →，则A ，B ，C ，D 为平行四边形的四个顶点；(4)若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |≤|a |＋|b |.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 D【解析】 (1)正确；(2)在平行四边形ABCD 中，BC ∥AD ，且BC ＝AD ，所以BC →＝AD →，正确；(3)A ，B ，C ，D 可能共线，所以错误；(4)为向量的三角不等式，所以正确．故选Ｄ。

５．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有( )A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形【答案】 D【解析】 由AC →＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 一组对边平行且相等，故为平行四边形．故选Ｄ。

评估训练 新人教A 版必修41．下列等式不正确的是( )．①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →≠0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →.A ．②③B ．②C ．①D ．③解析 ①满足向量加法的交换律与结合律，①正确． AB →＋BA →＝AA →＝0，②不正确． DC →＋AB →＋BD →＝DC →＋(AB →＋BD →)＝DC →＋AD → ＝AD →＋DC →＝AC →，③正确． 答案 B2．下列等式不成立的是( )． A ．a ＋0 ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2AB →D.AB →＋BC →＝AC →解析 显然A 、B 正确对于D ，利用加法三角形法则可知AB →＋BC →＝AC →正确． 答案 C3．已知四边形ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是( )．A.AB →＋BC →＝CA →B.AB →＋AC →＝BC →C.AC →＋BA →＝AD →D.AC →＋AD →＝DC →解析 对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，∴AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →. 答案 C4．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________. 解析 ∵菱形ABCD 的边长为2，∴|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →|＝2. 答案 25．化简下列各向量：(1)AB →＋BC →＝________. (2)AB →＋BC →＋CA →＝________. (3)PQ →＋OM →＋QO →＝________.答案 (1)AC →(2)0 (3)PM →6．设在平面内给定一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF →＝HG →.证明 如图所示，连接AC .在△ABC 中，由三角形中位线定理知， EF ＝12AC ，EF ∥AC ，同理HG ＝12AC ，HG ∥AC .所以|EF →|＝|FG →|且EF →和HG →同向， 所以EF →＝HG →. 综合提高限时25分钟7．(xx·随州高一检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )． A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →解析 OB →＋OC →＝2OD →，∴2OA →＋2OD →＝0.∴AO →＝OD →. 答案 A8．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( )． A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同D ．与向量b 方向相反解析 a ∥b 且|a |>|b |>0，所以当a 、b 同向时，a ＋b 的方向与a 相同，当a 、b 反向时，∵|a |>|b |，∴a ＋b 的方向仍与a 相同． 答案 A9．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________(图形)．解析 如图所示，BC →＋BA →＝BD →， BC →＋AB →＝AC →，又|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|， ∴|BD →|＝⎪⎪⎪⎪AC →，则ABCD 是矩形． 答案 矩形10．已知|OA →|＝|OB →|＝1，且∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝________.解析 如图所示，OA →＋OB →＝OC →， |OA →＋OB →|＝|OC →|，在△OAC 中，∠AOC ＝30°，|OA →|＝|AC →|＝1，∴|OC →|＝ 3. 答案311．如图所示，在正八边形ABCDEFGH 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EF →＝e ，(1)试用已知向量表示FB →；(2)试用已知向量表示CG →. 解 (1)由图可知，FB →＝－BF →＝－(b ＋c ＋d ＋e )；(2)由图可知，CG →＝c ＋d ＋e ＋FG →＝c ＋d ＋e －BC →＝c ＋d ＋e －b .12．(创新拓展)如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解 如图，在▱OACB 中，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°， 则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°∠OAC ＝90°，设向量OA →、OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|OC →|＝300 N ，∴|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150(N)．∴与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60 °角的绳子的拉力是150 N.20005 4E25 严36164 8D44 资26788 68A4 梤B40183 9CF7 鳷I{I24109 5E2D 席32592 7F50 罐36441 8E59 蹙•28936 7108 焈 28043 6D8B 涋。

向量加法运算及其几何意义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分，共30分)1.(2013·万州高一检测)在平行四边形ABCD中，++等于( )A. B. C. D.2.已知下列各式：①++；②(+)++；③+++；④+++.其中结果为0的个数是( )A.1B.2C.3D.43.若a，b为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A.若向量a与b方向相反，且|a|>|b|，则向量a+b与a的方向相同B.若向量a与b方向相反，且|a|<|b|，则向量a+b与a的方向相同C.若向量a与b方向相同，则向量a+b与a的方向相同D.若向量a，b不共线时，向量a+b的方向与向量a，b的方向都不相同且|a+b|<|a|+|b|4.已知||=|a|=3，||=|b|=3，∠AOB=60°，则|a+b|= ( )A. B.3 C.2 D.35.(2013·济南高一检测)在平行四边形ABCD中，若|+|=|+|，则四边形ABCD是( )A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定二、填空题(每小题8分，共24分)6.根据图示填空，其中a=，b=，c=，d=.(1)a+b+c= .(2)b+d+c= .7.矩形ABCD中，||=，||=1，则向量++的长度等于.8.设P为□ABCD所在平面内一点，则①+=+；②+=+；③+=+中成立的序号为.三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.如图，O为正六边形ABCDEF的中心，试通过计算用图中有向线段表示下列向量的和：(1)+.(2)+.(3)+.10.如图，已知向量a，b，c，d，(1)求作a+b+c+d.(2)设|a|=2，e为单位向量，求|a+e|的最大值.11.(能力挑战题)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，求证：||2=|+|2+|+|2.答案解析1.【解析】选A.由向量加法的平行四边形法则可知+=，所以++=+=.2.【解析】选B.①++=0②(+)++=③+++=④+++=0【变式备选】对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是( )A.+B.++C.++D.++【解析】选C.+=.++=+=，++=+=，++=++=.3.【解析】选B.由向量加法的三角形法则可知选项A，C，D中的说法都是正确的；对于选项B，因为a与b方向相反，|a|<|b|，所以a+b与b的方向相同，与a的方向相反，故B不正确.4.【解析】选D.在平面内任取一点O，作=a，=b，以a，b为邻边作□OACB，则=a+b.由图形可知，||=2×3×sin60°=3.5.【解析】选B.因为四边形ABCD为平行四边形.所以+=，+=，又|+|=|+|，所以||=||，所以该平行四边形ABCD为矩形.6.【解析】(1)a+b+c=++=.(2)b+d+c=++=++=.答案：(1)(2)7.【解析】因为ABCD是矩形，所以+=，所以++=+.如图所示，过点C作=，则+=，所以|++|=||=2||=2=2=4.答案：48.【解题指南】分别对等式的两端用向量加法的平行四边形法则求和向量，然后利用平行四边形对角线互相平分的性质分析两侧和向量是否相等.【解析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAEC，则PE与AC交于AC的中点O，同样以PB，PD为邻边作平行四边形PBFD，对角线BD与PF交于BD的中点O′，则O与O′重合，所以+=+.答案：②9.【解析】(1)因为四边形OABC是平行四边形，所以+=.(2)因为BC∥AD∥FE，BC=FE=AD，所以=，=，所以+=+=.(3)因为||=||，且与反向，所以利用三角形法则可知+=0.10.【解析】(1)在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，=d，则=a+b+c+d.(2)在平面内任取一点O，作=a，=e，则a+e=+=，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，||即|a+e|最大，最大值是3.【举一反三】本题中，求|a+e|的最小值.【解析】由图示可知当点B在点B2时，O，A，B2三点共线，||即|a+e|最小，最小值是1.11. 【证明】如图，由于∠BAC=90°，AD⊥BC，因此，若以DB，DA为邻边作矩形ADBE，则||=||，且+=，所以|+|2=||2=||2.同理|+|2=||2，所以|+|2+|+|2=||2+||2=||2.。

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2．2.1 向量加法运算及其几何意义课时目标1。

理解向量加法的法则及其几何意义。

2。

能用法则及其几何意义,正确作出两个向量的和．1．向量的加法法则(1）三角形法则如图所示,已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作AB→＝a,错误!＝b，则向量________叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝错误!＋错误!＝________。

上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______。

(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作错误!＝a,错误!＝b,则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝______________.(2)结合律:（a＋b）＋c＝______________________.一、选择题1．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”,则a＋b表示( ) A．向东南航行错误! km B．向东南航行2 kmC．向东北航行错误! km D．向东北航行2 km2．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )A。

高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义练习新人教A 版必修4110612[A 基础达标]1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( ) A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →解析：选A .因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A .2．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝( )A.CD →B.DC →C.DA →D.DO →解析：选B.OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝DO →＋OA →＋AB →＋BC →＝DA →＋AB →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →.3．若向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向北航行 3 km ”，则向量a ＋b 表示( )A ．向东北方向航行2 kmB ．向北偏东30°方向航行2 kmC ．向北偏东60°方向航行2 kmD ．向东北方向航行(1＋3)km 解析：选B.如图，易知tan α＝13，所以α＝30°.故a ＋b 的方向是北偏东30°.又|a＋b |＝2 km ，故选B.4.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3解析：选B.由正六边形知FE →＝BC →， 所以AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， 所以|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2.故选B.5．(2019·云南曲靖一中检测)向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向 B ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与b 同向 C ．若a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向 D ．若a 与b 同向，则a ＋b 与b 同向解析：选B.a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向，所以B 错；a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向，也与b 同向．6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 答案：AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________． 解析：在菱形ABCD 中，连接BD ，因为∠DAB ＝60°，所以△BAD 为等边三角形， 又因为|AB →|＝1，所以|BD →|＝1， 所以|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 答案：18．已知平行四边形ABCD ，设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a ，且b 是一非零向量，给出下列结论： ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |. 其中正确的是________．解析：因为在平行四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，BC →＋DA →＝0，所以a 为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．答案：①③9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD 的形状：(1)AD →＝BC →；(2)AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|.解：(1)因为AD →＝BC →，所以AD ∥BC ，AD ＝BC ， 所以四边ABCD 是平行四边形．(2)因为AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD 是菱形．10．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |. 解：如图，因为|OA →|＝|OB →|＝3，所以四边形OACB 为菱形，连接OC ，AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D . 因为∠AOB ＝60°，所以AB ＝|OA →|＝3. 所以在Rt △BDC 中，CD ＝332.所以|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3.[B 能力提升]11．已知有向线段AB →，CD →不平行，则( ) A ．|AB →＋CD →|>|AB →| B ．|AB →＋CD →|≥|CD →| C ．|AB →＋CD →|≥|AB →|＋|CD →| D ．|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|解析：选D.由向量加法的几何意义得||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，等号当且仅当a ，b 共线的时候取到，所以本题中，|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|.12．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋CA →|＝|BC →|； ③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°， 所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ， 所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|. ②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 答案：①②③13．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°， 则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N.所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝150 3(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150(N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.14．(选做题)如图，已知向量a ，b ，c ，d .(1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a|＝2，e 为单位向量，求|a ＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →， 因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， |OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.。

人教版必修四2.2.1 向量的加法运算及其几何意义（练)一、选择题1．在四边形ABCD中，错误!＝错误!＋错误!，则四边形ABCD一定是( )A．矩形 B．菱形C．正方形D．平行四边形［答案］D[解析］在四边形ABCD中，错误!＝错误!＋错误!,又错误!＝错误!＋错误!，∴错误!＝错误!,∴四边形ABCD是平行四边形．2．向量（AB→＋错误!)＋(错误!＋错误!）＋错误!等于（)A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误![答案] C［解析] 原式＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋0＝错误!.3．若a,b为非零向量，则下列说法中不正确的是( ）A．若向量a与b方向相反,且｜a｜>｜b｜,则向量a＋b与a的方向相同B．若向量a与b方向相反,且｜a|〈|b|，则向量a＋b与a的方向相同C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同［答案] B［解析] ∵a与b方向相反，|a｜〉|b｜，∴a＋b与a的方向相反，故B不正确．4．已知｜错误!|＝8，|错误!｜＝5，则|错误!|的取值范围是（) A．[5,13] B．［3,13］C．［8，13] D．［5，8][答案] B［解析] 当错误!与错误!异向时,｜错误!｜可取最大值13；当错误!与错误!同向时，|错误!|可取最小值3。

所以｜错误!|的取值范围是［3,13]．[点评] 先作出AB→,由于错误!的方向未定，以A为圆心|错误!|为半径作圆，则此圆上任一点均可为C点，∴3≤|BC→|≤13.5．已知平行四边形ABCD，设错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝a，而b是一非零向量，则下列结论正确的有（）①a∥b②a＋b＝a③a＋b＝b④｜a＋b｜〈｜a|＋｜b｜A．①③ B．②③C．②④ D．①②[答案] A[解析］在平行四边形ABCD中,错误!＋错误!＝0，错误!＋错误!＝0，所以a为零向量，零向量和任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确．6．a、b为非零向量，且｜a＋b|＝｜a|＋|b|，则下列说法正确的是（)A．a与b方向相同B．a∥bC．a＝－bD．a与b的关系不确定［答案］A[解析］当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a、b 的方向都不相同，且｜a＋b｜〈|a|＋｜b｜；向量a与b同向时，a ＋b的方向与a、b的方向都相同，且｜a＋b｜＝|a｜＋｜b|;向量a与b反向且｜a｜〈｜b｜时，a＋b的方向与b的方向相同(与a方向相反),且|a＋b|＝|b|－｜a｜.7．在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点．下列结论正确的是( )A.错误!＝错误!，错误!＝错误!B。