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一、解答题
1．（2020·湖南省高三考试）设函数()()2
1f x x bx b R =-+∈，()()()
,0,0f x x F x f x x ⎧>⎪
=⎨
->⎪⎩.
（1）如果()10f =，求()F x 的解析式；
（2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）()2221,0
21,0
x x x F x x x x ⎧-+>=⎨-+-<⎩（2）(]
[),22,k ∈-∞-+∞
【解析】（1）因为()10f =，所以110b -+=，即2b =.
所以()22
21,0
21,0x x x F x x x x ⎧-+>=⎨-+-<⎩
. （2）因为()2
1f x x bx =-+为偶函数，所以0b =，即()2
1f x x =+.
因为()()g x f x kx =-有零点，所以方程210x kx +-=有实数根. 所以240k ∆=-≥， 所以(]
[),22,k ∈-∞-+∞.
2．（2020·全国高三专题练习）已知函数3
()sin f x x x =-，()f x '为()f x 的导函数.
（1）求()f x 在0x =处的切线方程；
（2）求证：()f x '在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上有且仅有两个零点.
【答案】（1）y x =；（2）证明见解析. 【解析】（1）()2
cos 3,f x x x '=-()01f '=，
又()00f =，所以切点为()0,0.
故()f x 在0x =处的切线方程为y x =；
（2）2()cos 3,f x x x '=-因为()f x '
为偶函数，且()01f '=，
则只需证明()f x '在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上有且仅有一个零点即可.
()sin 6f x x x ''=--，
当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭时()0f x ''<， 故()f x '
在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减， 因为()010f '=>，2
3022f ππ⎛⎫⎛⎫'=-⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 由零点存在定理，可知存在00,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
使得()00f x '=， 所以()f x '在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上有且仅有一个零点， 因此()f x '在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上有且仅有两个零点.
3．（2020·安徽省高三期末）已知函数1
()(2)x
f x e a x x
=++
+在区间(1,0)-内存在零点． （1）求a 的范围； （2）设22
e
a >
，1
221,()x x x x <是()f x 的两个零点，求证：122x x -<． 【答案】（1）0a >（2）证明见解析
【解析】（1）由题意，方程1
e (2)0x a x x
++
+=在区间(1,0)-有解， 即方程2e (1)0x x a x ++=在区间(1,0)-有解，
设函数2()e (1)x g x x a x =++，即g()x 在区间(1,0)-存在零点． 因为()(1()e )2x g x x a '=++，
①若0a >，则e 20x a +>，10x +>，()0g x '>成立，
g()x 在区间(1,0)-单调递增，
(0)0g a =>，1
(1)0e g -=-<，(0)(1)0g g ⋅-<，
所以g()x 在区间(1,0)-存在零点；
②若0a =，则()e 0x g x x '=<，g()x 在(1,0)-内单调递减，
且()(0)0g x g a >==，所以g()x 在区间(1,0)-无零点； ③若0a <，则e 0x x <，2(1)0a x +<， 当(1,0)x ∈-时，()0g x '<，()(1)0g x g <-< 故g()x 在区间(1,0)-无零点； 综上所述，0a >． （2）由（1）可知，
2
2
e a >
时，g()x 在区间(,1)-∞-单调递减，在区间(1,)-+∞单调递增， 且g()x 在区间(1,0)-存在一个零点； 又22
(2)0e
g a -=-
+>，(2)(1)0g g -⋅-<， 所以g()x 在区间(2,1)--也存在一个零点， 从而2120x x -<<<， 所以122x x -<，不等式得证．
4．（2020·安徽省高三月考）已知函数()()()3211
1323
a f x x a x x a R =-++-∈. （1）若1a >，求函数()f x 的极值；
（2）当01a << 时，判断函数()f x 在区间[]0,2上零点的个数. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】（1）∵()()3211
1323
a f x x a x x =
-++-， ∴()()()2
1111f x ax a x a x x a ⎛⎫'=-++=-- ⎪⎝
⎭，
因为1a >，所以1
01a
<
<， 当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：
