1.2.3充要条件及其应用

高中数学选修1-1知识点总结归纳常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题1、命题：一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、命题的构成：在数学中，命题通常写成“若p ，则q ”的形式。

其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。

1.1.2四种命题3、互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做互逆命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。

如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.4、互否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，，那么另一个叫做原命题的否命题。

如果原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、互逆否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。

如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、以上总结概括：1.1.3四种命题间的相互关系7、四种命题间的相互关系：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间原命题若p ，则q 逆命题若q ，则p 否命题若p ⌝，则q ⌝逆否命题若q ⌝，则p⌝原命题逆命题否命题逆否命题互为逆否互为逆否互逆互否互否若p ⌝，则q⌝若q ⌝，则p⌝若p ，则q若q ，则p互逆的相互关系：8、四种命题的真假性：一般地，四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题和互否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆否命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

命题判断、充分条件、必要条件类型题数学思想：集合与补集，数型结合、正难则反一、判断命题的真假例1：（正面）设集合A，B，有下列四个命题。

①A⊈B⇔与对任意x∈A，都有x∉B；②A⊈B⇔A∩B=φ；③A⊈B⇔B⊆A⊆⊆A⊈B⇔⊆⊆x⊆A⊆⊆⊆x⊆B⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆ ⊆ ⊆点评：正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要。

例2：判断下列命题的真假.（反面）（1）若a>b，则ac2>bc2；（2）正项等差数列的公差大于零。

解：（1）假命题，当c=0时，ac2=b c2；（2）假命题，如数列20，17，14，11，8.点评：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可。

例3：（利用等价命题判断命题的真假）命题“若a>-6，则a>-3”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为A.1B.2C.3D.4因为原命题为假命题，所以其逆否命题为假命题。

因为其逆命题若“a>-3，则a>-6”为真命题，故选B。

点评：因为原命题与其逆否命题的真假性保持一致，原命题的否命题与原命题的逆命题也互为逆否命题，所以判断原命题与其逆命题、否命题、逆否命题的真假性时，只需判断两组逆否命题中的各一个命题的真假性即可。

四种命题中，真命题的个数只能是0，2或4个。

二、判断充分条件、必要条件以及充要条件的方法例4：（集合思想）已知p:|x|<1.q:x2+x-20<0，试判断┐p是┐q的什么条件。

解：设p、q对应集合P，Q，则P={x|-1<x<1），Q={x|-5<x<4）.因为P⫋Q，所以p=>q，且q⇏p，所以p是q的充分不必要条件。

所以┐q➩┐p，┐p⇏┐q，所以┐p是┐q的必要不充分条件。

点评：若给出两个条件，通过数轴或者veen图得到两个条件的范围大小，从而得出结论。

考试范围：文科：必考内容：必修①②③④⑤+选修1-1，1—2选考内容：无选考内容理科：必考内容：必修①②③④⑤+选修2—1,2—2,2—3选考内容（三选二）：选修4-2，4—4,4—5文、理科必考内容：数学①必修第一章集合与函数概念1。

1 集合1。

1。

1 集合的含义与表示1。

1。

2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2 函数及其表示1。

2.1 函数的概念1。

2。

2 函数的表示法1.3 函数的基本性质1。

3。

1 单调性与最大（小）值1.3。

2 奇偶性第二章基本初等函数(I）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算2。

1。

2 指数函数及其性质2。

2 对数函数2。

2。

1 对数与对数运算2.2.2 对数函数及其性质2。

3 幂函数第三章函数的应用3。

1 函数与方程3.1。

1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2 函数模型及其应用3。

2.1 几类不同增长的函数模型3。

2.2 函数模型的应用实例数学②必修第一章空间几何体1。

1 空间几何体的结构1.1。

1 柱、锥、台、球的结构特征1.1.2 简单组合体的结构特征1。

2 空间几何体的三视图和直观图1。

2。

1 空间几何体的三视图1.2.2 空间几何体的直观图1.2.3 平行投影与中心投影1.3 空间几何体的表面积与体积1.3。

1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3。

2 球的体积和表面积第二章点、直线、平面之间的位置关系2。

1 空间点、直线、平面之间的位置关系2。

1。

1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2。

1。

4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2。

1 直线与平面平行的判定2.2。

2 平面与平面平行的判定2.2。

3 直线与平面平行的性质2.2。

4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3。

1 直线与平面垂直的判定2。

1.2.3充分条件、必要条件素养目标·定方向课程标准学法解读1．理解充分条件、必要条件的意义．2．理解充分不必要、必要不充分和充要条件的意义．3．掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法．4．掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的简单应用.1．分清命题的条件和结论，正确判断条件与结论之间的推出关系，理解充分条件、必要条件．2．结合所学的判定定理与性质定理来理解充分条件与必要条件．3．养成“充要关系”与“集合关系”间的转化意识，就容易判断充要关系或探求充要关系中的参数问题．4．养成用“逻辑用语”和同学交流的习惯，从而提高交流的严谨性和准确性.必备知识·探新知基础知识1．形如“如果p，那么q”的命题命题真假“如果p，那么q”是真命题“如果p，那么q”是假命题推出关系由p可以推出q 由p推不出q记法p⇒q p q读法p推出q p推不出q 2．充分条件与必要条件推出关系__p⇒q__p q p⇔q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件p与q互为充要条件设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.结论p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)p是q的必要不充分条件(q是p的充分不必要条件)p与q互为充要条件p是q的既不充分也不必要条件(q是p的既不充分也不必要条件)p，q的关系p⇒q且q p q⇒p且p q p⇔q p q且p p集合A B B A A＝B A⊆/B且B⊆/A命题真假“若p，则q”是真命题，且“若q，则p”是假命题“若p，则q”是假命题，且“若q，则p”是真命题“若p，则q”是真命题，且“若q，则p”是真命题“若p，则q”是假命题，且“若q，则p”是假命题思考：用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤是什么？提示：(1)判定“若p，则q”的真假．(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．基础自测1．“a＋b<0”是“a<0，b<0”的(C)A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：当a与b异号且负数绝对值大时，也有a＋b<0，所以“a＋b<0”“a<0，b<0”，显然“a<0，b<0”⇒“a＋b<0”．所以“a＋b<0”是“a<0，b<0”的必要不充分条件．2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(B)A．x<0，y<0B．x<0，y>0C．x>0，y>0D．x>0，y<0解析：第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0.3．命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(B)A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件解析：由命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，得|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b，能推出|a|＝|b|，故p是q的必要条件．4．设集合M＝(0,3]，N＝(0,2]，那么“a∈M”是“a∈N”的__必要__条件．解析：由于N M，所以“a∈N”⇒“a∈M”，所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件．5．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的__充分__条件． 解析：因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，所以a ∈B 且a ≠1，所以a ＝2或3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分条件．关键能力·攻重难类型 充分条件、必要条件、充要条件的判断 ┃┃典例剖析__■典例1 指出下列各题中p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．(1)p ：x －3＝0，q ：(x －2)(x －3)＝0；(2)p ：m －n ＝0，m ，n ∈R ，q ：nm ＝1，m ，n ∈R ；(3)p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c ； (4)p ：a >b ，q ：ac >bc .解析：(1)x －3＝0⇒(x －2)(x －3)＝0，但(x －2)(x －3)＝0x －3＝0，故p 是q 的充分不必要条件．(2)由nm＝1得n ＝m ，即m －n ＝0，反之，当m ＝n ＝0时，满足m －n ＝0，但nm ＝1不成立，即p 是q 的必要不充分条件．(3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c ，且a ＋c >b ＋c ⇒a >b ，故p 是q 的充要条件． (4)a >bac >bc ，且ac >bca >b ，故p 是q 的既不充分也不必要条件．典例2 a ∈(－∞，－32]是方程ax ＋3＝0在[－1,2]上有实数根的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件思路探究：方程ax ＋3＝0的实数根是x ＝－3a ，解－1≤－3a ≤2要用到分式不等式，这对于我们来说比较难，不妨考虑从“方程ax ＋3＝0在[－1,2]上有实数根”的等价形式“直线y ＝ax ＋3在[－1,2]上与x 轴有交点”入手，这样我们得到的都是一次不等式，很容易求出来．解析：“方程ax ＋3＝0在[－1,2]上有实数根”等价于“直线y ＝ax ＋3在[－1,2]上与x轴有交点”，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＋3≤02a ＋3≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a ＋3≥0，2a ＋3≤0，解得a ≥3或a ≤－32.故易得a ∈(－∞，－32]是方程ax ＋3＝0在[－1,2]上有实数根的充分不必要条件．归纳提升：充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1．定义法(1)分清哪个是条件，哪个是结论．(2)判断“如果p ，那么q ”及“如果q ，那么p ”的真假． (3)根据(2)得出结论．2．集合法：写出集合A ＝{x |p (x )}及B ＝{x |q (x )}，利用集合间的包含关系进行判断． 3．等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．4．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．┃┃对点训练__■1．用“充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要”填空．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，y >2是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >4，xy >4的__充分不必要__条件； (2)α＝β是1α2＝1β2的__既不充分也不必要__条件；(3)x ＋y ≠3是x ≠1或y ≠2的__充分不必要__条件．解析：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，y >2，结合不等式性质易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >4，xy >4，反之不成立，如x ＝12，y ＝10，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >4，xy >4，但⎩⎨⎧ x >2，y >2不成立，所以⎩⎨⎧ x >2，y >2是⎩⎨⎧x ＋y >4，xy >4的充分不必要条件．(2)当α＝β＝0时，1α，1β均不存在；当1α2＝1β2时，取α＝1，β＝－1，但α≠β，所以α＝β是1α2＝1β2的既不充分也不必要条件． (3)原问题等价于判断“x ＝1且y ＝2是x ＋y ＝3的________条件”，故x ＋y ≠3是x ≠1或y ≠2的充分不必要条件．类型充要条件的证明┃┃典例剖析__■典例3证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.思路探究：分清充分性与必要性，理清证明方向．解析：先证充分性．由ac<0，可得Δ＝b2－4ac>0，则方程有两个不等实根x1与x2.由ac<0，可得a，c异号，则x1·x2＝c2＋bx＋c＝0(a≠0)a<0，则x1，x2一正一负，即方程ax有一个正根和一个负根．再证必要性．由方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1，x2异号，得x1x2＝ca<0，则ac<0.归纳提升：充要条件的证明思路证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．以证明“p成立的充要条件为q”为例．(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.证明的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．┃┃对点训练__■2．已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(※)，判断a＋b＋c＝0是否是方程(※)有一个根为1的充要条件．证明：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程(※)有一个根为1，所以a＋b＋c＝0⇒方程(※)有一个根为1，因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.所以方程(※)有一个根为1⇒a＋b＋c＝0，从而a ＋b ＋c ＝0⇔方程(※)有一个根为1，因此a ＋b ＋c ＝0是方程(※)有一个根为1的充要条件． 类型 利用充分、必要、充要条件求参数范围 ┃┃典例剖析__■典例4 若p ：0<x <3是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__[3，＋∞)__.思路探究：p 是q 的充分不必要条件→p ⇒q ，且qp →列不等式求解解析：由题意得p ：0<x <3；q ：x <m ＋32.在数轴上表示出(0,3)和(－∞，m ＋32)，如图所示，由题意知p ⇒q ，qp ，则m ＋32≥3，解得m ≥3，即m 的取值范围是[3，＋∞)．归纳提升：根据充分、必要、充要条件求参数的取值范围的步骤 (1)记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}．(2)根据题中条件将问题转化为集合之间的关系：若p 是q 的充分不必要条件，则M N ；若p 是q 的必要不充分条件，则N M ；若p 是q 的充要条件，则M ＝N .(3)根据集合间的关系列关于参数的不等式(组)． (4)解不等式(组)即可得参数的取值范围． ┃┃对点训练__■3．若p ：x 2＋x －6＝0是q ：ax ＋1＝0的必要不充分条件，则实数a 的值为__－12或13__.解析：由x 2＋x －6＝0，可得x ＝2或x ＝－3. 对于ax ＋1＝0，当a ＝0时，方程无解； 当a ≠0时，x ＝－1a .由题意知pq ，q ⇒p ，则可得a ≠0，此时应有－1a ＝2或－1a ＝－3，解得a ＝－12或a ＝13.综上可知，a ＝－12或a ＝13.易混易错警示 混淆充分条件与必要条件 ┃┃典例剖析__■典例5 使不等式(2x ＋1)(x －3)≥0成立的一个充分不必要条件是( C )A ．x ≥0B ．x <0或x >2C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3错因探究：本题容易颠倒充分性和必要性，认为要在选项中找出{x |x ≤－12或x ≥3}是谁的真子集，从而误选B ．事实上，{x |x ≤－12或x ≥3}是结论q ，我们要找的是条件p ，且条件p 满足p ⇒q 和qp ，即要找集合{x |x ≤－12或x ≥3}的真子集．解析：由(2x ＋1)(x －3)≥0得x ≤－12或x ≥3，选项中只有{－1,3,5}{x |x ≤－12或x ≥3}，即只有“x ∈{－1,3,5}”是“不等式(2x ＋1)(x －3)≥0成立”的充分不必要条件． 误区警示：在解答问题时务必看清题干中的问题，明确哪个是条件，哪个是结论，然后根据充分、必要、充要条件的概念进行判断．学科核心素养 命题成立的充分、必要、充要条件的探求问题 ┃┃典例剖析__■(1)寻求充分、必要条件的思路①寻求q 的充分条件p ，即求使q 成立的条件p ； ②寻求q 的必要条件p ，即求以q 为条件可推出的结论p . (2)充要条件的探求方法①探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：方法一：先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立．方法二：变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件． ②求一个命题的充要条件时，往往要从两个方面进行求解，一是充分性，二是必要性． ③在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集．典例6 x ∈(0,2)成立的一个必要不充分条件是( B )A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)(2)求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．思路探究：(1)依题意知本题是寻找一个“选项”，使得该“选项”⇒“题干”，但“题干”“选项”．(2)首先讨论二次项的系数a 是否为零，在a ≠0时，利用判别式和根与系数的关系求解．解析：(1)显然选项A 为充要条件．因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“x ∈(0,2)”的一个必要不充分条件．易知C ，D 均不正确．(2)由于二次项系数是字母，因此，首先要对方程ax 2＋2x ＋1＝0判定是一元一次方程还是一元二次方程．①当a ＝0时，为一元一次方程，其根为x＝－12，符合要求；②当a ≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0即4－4a ≥0从而a ≤1；又设方程ax 2＋2x ＋1＝0的根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1·x 2＝1a.ⅰ.因为方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个正根、一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a <0⇒a <0；ⅱ.方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件是⎩⎨⎧a ≤1，－2a <0，1a>0⇒0<a ≤1，综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.课堂检测·固双基1．“－1<x <6”是“－12<x <3”成立的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为(－12，3)(－1,6)，所以“－1<x <6”是“－12<x <3”成立的必要不充分条件．2．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( D ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“a >b ”推不出“a 2>b 2”，例如，2>－3，但4<9；“a 2>b 2”也推不出“a >b ”，例如，9>4，但－3<2.3．若“x >a ”是“x >2”的充分条件，则实数a 的取值范围是__[2，＋∞)__. 解析：由题意得(a ，＋∞)⊆(2，＋∞)，所以a ≥2.4．函数y ＝kx ＋b 的图像经过第一、二、三象限的充要条件是__k >0，b >0__. 解析：函数y ＝kx ＋b 的图像经过第一、二、三象限的充要条件是k >0，b >0.5．已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解析：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件， 即[1－m,1＋m ][－2,10]，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为(0,3]．。

《1.2.3 充分条件、必要条件》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：通过本次作业，学生应能够：1. 理解并区分充分条件和必要条件的概念；2. 掌握判断充分、必要条件的方法；3. 能够应用充分条件、必要条件的概念解决实际问题。

二、作业内容：1. 概念理解：请同学们完成一份小测试，其中包括一些关于充分条件、必要条件概念的题目。

题目应涵盖各种类型的题目，包括选择题、填空题和解答题，以检查学生对概念的理解程度。

2. 案例分析：提供几个实际生活中的案例，要求同学们判断哪些条件是必需的，哪些条件是充分的，从而明确什么是充分条件，什么是必要条件。

例如，学生需思考：如果要买一部新手机，哪些条件是必需的（即必要的）？而买一部新手机又需要哪些充分的条件？3. 推理练习：提供一组推理题目，考察学生是否能在不直接观察的情况下，根据已有的信息推断出一些条件的存在或缺失。

题目可以涉及各种情况，如因果关系、实验结果等。

4. 开放性题目：给学生留一些开放性的题目，比如，根据所学知识，设计一个满足一定条件的场景，并说明这些条件的作用。

这样的题目有助于培养学生的创新思维和问题解决能力。

三、作业要求：1. 独立完成：所有作业都必须由学生独立完成后提交；2. 答案准确：请同学们在回答问题时提供详细的推理过程和答案；3. 认真对待：同学们应认真对待每一个作业题目，理解题目的意图和要求。

四、作业评价：1. 作业批改：教师将对所有提交的作业进行批改，记录学生的错误和理解不透彻的地方；2. 分数评定：根据学生完成情况，给出相应的分数，用以评估学生对充分条件、必要条件的理解程度；3. 个性化反馈：针对学生在作业中暴露出的问题，提供个性化的反馈和建议，帮助学生更好地理解和应用充分条件、必要条件的概念。

五、作业反馈：1. 学生提交作业后，教师将向学生提供反馈，包括对作业的整体评价和建议的改进方向；2. 学生应根据教师的反馈进行自我反思，找出自己理解不透彻的地方，并思考如何改进和提高；3. 学生可以随时向教师提出疑问，教师将及时给予解答和指导。