化归思想在高中数学解题过程中的应用分析

高中数学解题中化归思想的运用化归思想是高中数学解题过程中的一种重要思维方法。

它通过转化问题的表达方式，简化问题的结构，从而找到更容易理解和解决的方法。

化归思想的运用，可以大大提高解题的效率和准确性。

下面我将以2000字的篇幅，详细介绍化归思想在高中数学解题中的运用。

一、化归思想的基本概念和原理化归思想是指将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而易于理解和解决。

化归有两种常见的表现形式：一是通过等价变换，将问题转化为同类问题或更简单的问题；二是通过数值代换，将问题转化为已知的问题。

化归思想的基本原理是将复杂问题拆解成简单问题，并找到各个简单问题之间的联系和规律，从而解决复杂问题。

化归思想在高中数学解题中的应用非常广泛，以下列举几个典型的例子来说明。

1. 方程求解化归思想在方程求解中经常被使用。

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果我们能将其化为一个平方差的形式，例如(x+m)^2+n=0，那么就可以轻松求解出x的值。

同样，对于其他类型的方程，也可以使用化归思想，将其转化为已知的方程类型，从而求得解的值。

2. 几何图形的性质证明在几何学中，化归思想可以用于证明几何图形的性质。

对于一个三角形ABC，要证明三边的中线交于一点，可以将三边的中线延长至交于一点D，然后使用向量运算或者相似三角形的性质，证明BD=DC，从而得出结论。

3. 数列求和在数列求和中，化归思想也经常被使用。

当要求解一个等差数列的前n项和时，可以通过化归将其转化为求解一个等差数列的平方和的问题，从而得到更简单的解法。

同样，在等比数列的求和中也可以使用化归思想，将其转化为求解一个等比数列的前n项和的问题。

4. 不等式的证明在不等式证明中，化归思想也可以起到很好的作用。

要证明一个不等式的真假性，可以将其化为一个等价的不等式，然后根据该不等式的性质，通过化归运算得到结论。

同样，在不等式的证明中，也可以使用化归思想将复杂的不等式化为简单的不等式，从而更容易进行证明。

化归思想在高中数学解题过程中的应用分析高中数学是学生学习数理知识的关键阶段，也是培养学生思维能力和逻辑推理能力的重要阶段。

在数学解题过程中，化归思想起着至关重要的作用。

化归思想是一种将问题进行简化、归纳和类比的思维方式，它可以帮助学生在解题过程中找到规律，做到举一反三，提高求解问题的能力。

本文将从化归思想的概念、在高中数学解题中的应用以及化归思想对学生数学思维的培养等方面进行分析和探讨。

一、化归思想的概念化归思想是指将一个有困难的问题转化成为一个相对简单的问题，然后利用简单问题的解题方法解答复杂问题的一种思维方式。

化归思想是数学思维中的一种重要方法，它可以帮助学生把握问题的本质，从而更好地理解和解决问题。

化归思想的核心是找到问题之间的联系和规律，将复杂的问题简化成易解的问题，从而为解决问题提供了思维途径和方法。

化归思想是高中数学解题中十分重要的一环。

在学习数学的过程中，学生们往往会遇到各种各样的难题，有些问题看似复杂，但经过化归思想的分析和转化，往往可以找到解题的新思路，大大提高解题效率。

1. 几何证明在高中数学的几何学中，几何证明是一个十分重要的内容。

几何证明需要学生具备严密的逻辑推理能力和丰富的几何知识。

很多几何证明问题在表面上看似复杂，但通过化归思想可以将其简化成一些基本的几何知识和定理，从而能够更好地解决问题。

在证明一个定理时，学生可以利用化归思想将大问题分解成一系列小问题，逐个地进行推导和证明，从而逐步解决整个问题。

这种分而治之的思维方式，有助于学生更好地理解和掌握几何知识，提高学生的证明能力。

2. 代数方程解题在高中数学学习中，代数方程是一个重要的内容，学生需要具备解方程的能力。

有些代数方程问题看似复杂，需要学生有一定的数学思维和技巧才能解决。

在解决代数方程问题时，学生可以运用化归思想将问题简化，找出方程中的规律和特点，从而更好地解题。

对于一个复杂的代数方程问题，学生可以尝试将其化简成一系列简单的代数方程，逐步解决每一个小问题，最终得到整体的解答。

高中数学教学中化归思想的应用案例分析（北师大版）引言：在高中数学教学中，化归思想是一个非常重要的数学思想。

化归思想即将一个问题转化为另一个易于解决的问题，通常是通过变形和等价转化来简化问题的解决过程。

在北师大版高中数学教材中，化归思想在各个章节和各种类型的题目中都有所体现，并且在解题过程中起到了积极的作用。

本文将以北师大版高中数学教材中的一些典型案例为例，分析化归思想在高中数学教学中的应用，并探讨化归思想对学生数学能力培养的作用。

一、化归思想在求解多项式函数的零点问题中的应用在高中数学中，求解多项式函数的零点是一个常见的问题。

化归思想在这个问题中发挥了重要的作用。

在解决一个二次多项式函数的零点问题时，可以利用化归思想将二次多项式函数表示成完全平方式，然后利用完全平方式的性质来求解零点。

设f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，可以利用化归思想将f(x)表示成完全平方式，即f(x)=a(x+m)^2+n，其中m=-b/(2a)，n=c-(b^2/(4a))。

这样，求解零点问题就变成了求解完全平方式的零点问题，进而简化了求解过程。

二、化归思想在解析几何中的应用在高中数学教学中，解析几何是一个重要的内容。

化归思想在解析几何中的应用也是非常广泛的。

在解决平面几何问题时，可以利用化归思想将一些复杂的几何问题转化为简单的代数问题，然后通过代数计算来解决问题。

在求解一个三角形的面积时，可以利用向量等代数方法将面积表示成某些线段的函数，然后通过计算这些线段的长度来求解面积，这样可以简化问题的解决过程，同时也可以提高学生的计算能力。

另一个例子是在解决数学归纳法的问题时，也可以利用化归思想将一个复杂的归纳问题转化为一个简单的归纳问题。

在证明数学归纳法的基本性质时，可以利用化归思想将一个复杂的数学归纳问题转化为一个简单的数学归纳问题，然后通过简单的数学归纳来证明原问题。

化归思想在高中数学函数学习中的运用
化归思想是高中数学函数学习中的重要内容之一，通过运用化归思想，可以将复杂的问题化简为简单的形式，从而更容易解决问题。

在高中数学的函数学习中，化归思想主要运用在以下几个方面。

在函数的定义和性质的学习中，化归思想可以用来证明和推导函数的一些重要性质。

可以通过化归思想证明函数的奇偶性、周期性等性质，从而更深入地了解函数的特点和性质。

化归思想还可以用来求解复合函数的值域和定义域等问题，通过化归的方法，将复杂的函数化简为简单的形式，从而更易解决问题。

化归思想在函数的图像的研究中也起到了关键作用。

通过将函数进行化归，可以将其图像与标准函数进行比较，从而更加清晰地了解函数的性质和变化规律。

通过将函数进行平移、伸缩和翻转等变换，可以研究函数的平移、伸缩和翻转对其图像的影响，从而进一步深入地理解函数的性质。

在函数的应用问题中，化归思想也发挥着重要的作用。

通过将复杂的实际问题进行化归，可以将其化简为简单的数学模型，从而更轻松地求解实际问题。

在最优化问题中，可以通过将目标函数进行化归，将约束条件进行化简，从而更容易求解最优解。

化归思想在高中数学教学中的应用发布时间：2022-11-16T03:43:51.867Z 来源：《中小学教育》2022年7月第14期作者：陈礼波[导读] 化归的思想在数学学科中作为一种非常有效重要的解题思路，还是在教学中应当积极应用的基本数学思维方式。

陈礼波湖南省娄底市双峰县第一中学摘要：化归的思想在数学学科中作为一种非常有效重要的解题思路，还是在教学中应当积极应用的基本数学思维方式。

学生在学习高中阶段的数学知识时，难免会遇到不同的问题和难关，高中数学教师针对这一情况除了要让学生牢固掌握解固定模式数学题的方法，更应该通过化归思想的引入将解决数学问题有效方法向学生进行传授，进而为其后续学习奠定坚实的基础。

本文对化归思想概述先进行了分析，随后提出了几点化归思想在数学教学中的应用路径。

关键词：化归思想；高中数学教学；应用策略引言：在核心素养的背景下，数学教师在组织开展课堂教学时，不应仅仅只进行数学知识、解题技能的讲授，还应对学生数学思想进行培养和锻炼，并尽可能将其渗透到课堂整体的过程和环节之中。

在数学课堂的引入并应用化归思想，能够让学生在学习数学的过程中对自身学习的效率以及水平进行有效的提高，除此之外对其数学思维进行培养，以实现学科核心素养的最终养成目标。

一、化归思想相关概述化归思想指的是，把一个较难、繁杂的问题转化得更容易、更简便、更简单解决的问题，其中的“化归”即是一种十分重要的解题思想，又是最基本的数学思维策略之一，除此之外还是十分有效的数学思维方式之一。

化归思想方法从实质上来说，就是采用某种手段将要进行研究、解决的相关数学问题，通过一些变换使其进行转化，最终对其进行更容易解决的方法。

化归思想在数学学科中，会将复杂的问题变成简单的问题，把难解的问题变成更容易求解的问题，把未解决的问题变成已经解决的问题。

总的来说，化归思想在数学学科中可以说是无处不在的。

二、在高中数学教学中引入应用化归思想的方法分析（一）应用于基础知识教学教师将化归思想引入到高中数学的教学中之后，首先要做的是将其运用在数学基础知识的教学中，以实现对学生知识基础的有效夯实，进而促进其数学素养的形成。

化归思想在高中数学中的应用分析化归思想是数学中的一种重要思维方式和方法，它在高中数学教学中具有重要的应用价值。

通过化归思想，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题能力，培养逻辑思维能力和数学思维能力。

本文将从概念理解、教学应用和案例分析三个方面对化归思想在高中数学中的应用进行深入分析。

一、概念理解化归思想是指将一个较为复杂的问题化简为一个更简单的问题，然后再逐步解决这个简单问题的过程。

在数学中，化归思想常常用于解决复杂的问题，或者化解难以理解的概念。

通过化归思想，可以使一些抽象的概念更加具体，一些复杂的问题更加简单，从而帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

在高中数学中，化归思想常常用于解决复杂的代数问题、几何问题以及概率问题等。

当遇到一个复杂的代数方程组时，可以通过逐步化简，将其化为一元方程，然后再逐步解决，从而得到解。

又如，在解决一个复杂的几何证明问题时，可以通过化归思想将问题化简为一个简单的几何问题，然后再逐步推导，最终得到证明。

化归思想在高中数学中的应用，为学生提供了一种重要的解题思路和方法，有助于培养学生的逻辑思维能力和数学解题能力。

二、教学应用在高中数学教学中，化归思想常常被运用到课堂教学和解题训练中。

教师可以通过丰富多样的教学方法和案例分析，引导学生运用化归思想解决实际问题，提高学生的数学思维和解题能力。

1. 课堂教学在日常的数学教学中，教师可以通过讲解和实例分析，引导学生理解化归思想的基本概念和方法。

通过引入一些生动有趣的例子，让学生在轻松愉快的氛围中掌握化归思想的应用技巧。

在解决一个复杂的代数方程时，教师可以通过引入一个贴近学生生活的例子，让学生从实际问题出发，逐步体会化归思想的应用。

通过课堂讲解和学生互动，帮助学生掌握化归思想，并能够熟练运用到实际问题的解决中。

2. 解题训练三、案例分析下面通过几个案例进行详细分析，以进一步说明化归思想在高中数学中的应用。

1. 代数方程组的解法已知方程组\[\begin{cases}x+y=8 \\x-y=2\end{cases}\]通过使用化归思想解题，可以将方程组的求解过程化简为以下几个步骤：从而得到方程组的解为 x=5，y=3。

解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。

GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。

教学篇•方法展示化归思想在高中数学解题过程中的应用分析刘旭东（甘肃省天水市秦州区汪川中学，甘肃天水）高中数学学习当中，化归思想是一种重要的解题策略，其内涵即将未知问题转化为已知问题，达到化难为易、化繁为简的目的，以此来全面提升学生的学习积极性，让数学难题不再成为学生望而生畏的枷锁，最终全面提升数学的学习效率。

同样，化归思想更多的是透过问题的表面直接探清其本质，能够让教师在传递知识的过程中更好地将知识点呈现在学生面前，帮助学生更好地吸收知识，并极大地提升解题效率。

一、数学解题中正和反的转化高中数学的很多问题都可以利用化归思想解决，关键就在于化归思想的多变性，相对于初中，高中数学教学内容和难度都进一步增大，其计算过程更为烦琐复杂，解题思路也更加多变，这就对学生的解题思维提出了更高的要求。

例如在进行概率知识的讲解时，部分概率问题都可以利用特定的概率事件解决，但是这种事件当中又包含大量的其他可能性，如果学生以此计算，就会增加计算量，白白浪费掉大量时间，对学习效率也带来了一定影响，所以老师在教学中不妨试试通过化归思想来进行正和反的转化，让学生的思维更加开阔，学会从多方面来进行问题思考。

如一例题为：在射击比赛当中每一位枪手射中的概率为0.9，现在他连续射数次，其射中目标的概率都是相互独立的，那么该枪手在四次射击当中至少命中目标一次的概率为多少？对于这类概率题，如果学生一味按照正常的思维进行解答，那么无疑会让问题变得更加复杂，这是由于至少击中一次的可能包含一次到四次的四种不同情况，学生通常会用举例多项的方式来解决该问题，但是为了提升解题效率，教师就可以引领学生采用化归思想，将题目中的“至少击中一次”转变为其对立事件“一次都未击中”来进行解答，利用对立事件之和为1迅速得出正确答案。

二、数学解题中简单和复杂的转化1.在实际高中数学教学中，教师可以利用自己丰富的教学经验设计出一些题材较为常见的化归思想问题进行讲解，这种方式不仅可以让学生现学现用，巩固自己所学的知识，还可以锻炼学生利用化归思维进行实际解题的能力。

2018年1月解法探究>教学--参谋化归思想在高中数学教学中的应用!苏州大学附属中学吴进数学思想的掌握不是/蹴而就，而是需要经历/个 较为漫长的过程，因此在日常的教学中，教师要有意地 反复向学生讲解各种数学思想方法，使学生潜移默化中 掌握数学思想，最终实现灵活运用数学思想的目标.而 化归思想作为解决数学问题的基本思想，它在高中数学 中占据着非常崇高的位置，因此本文中，笔者结合多年 的教学实践经验，探究了化归思想渗透的教学策略.一、 研读教科书，提炼隐含的化归思想化归思想往往会隐含在教科书的基础知识中，因此 作为/线的教育工作者，要正确对待教科书，深人挖掘、提炼教科书中隐含的化归思想，而在课堂上，教师要合 理地运用化归思想，引导学生用“已掌握知识”同化“新 知识”，帮助学生强化对于新知识的理解和掌握.例如，“函数的单调性”章节中，首先映人师生眼帘的是学生较 为熟悉的“一次函数”“二次函数”的图像.深人研读教科 书发现，本节的教学素材就是基本的函数图像，并遵照 由“形”到“数”、由“特殊”到“一般”的原则，让学生通过 /次函数、二次函数的图像发现图像上升、下降过程中 的规律，在此基础上，推广到“函数单调性”的定义.整体 来讲，本章节内容可以分为三个阶段:观察图像、归纳规 律、得到结论，并且每个阶段的活动，都是学生认知上的 升华，且整个过程环环相扣，让学生“润物细无声”地完 成学习目标.二、 关注通性通法，奠定化归思想解题的基础“通性通法”是化归思想解决数学问题的基础，换言 之，“通性通法”与化归思想具有/样的普遍意义.通过 查阅文献发现，通性通法的知识就是化归思想教学中的 本原问题、标准问题，而在日常的数学教学中，教师要注重本原文本和标准型问题的分析与教学，引导学生将对 象转化为熟悉的问题，从而提高解题的效率和正确率. 从数学问题的类型来讲，确实呈现多样性，但是就数学 思想和本质来讲，是不变的.因此，只要抓住问题的本 质，就能够实现“以不变应万变”，更能够将知识与能力 融为/体.例如，在学习“数系”时，为了掌握“复数系”的运算法则，笔者通过研究整数系、有理数系、实数系的运 算规律和运算性质这/“通性这样不仅能够消除学生对于“复数系”的陌生感，还能够加深学生对于“复数系”的理解!三、引导发散思维，提高学生的迁移能力要想学生更好地领悟“化归思想”，就要采用“启发 式”教学，使学生从不同角度思考问题、解答题目，进而 使学生的活跃思维得带培养，同时还能够使学生运用 “化归思想”的能力得到锻炼和提升.在考试、练习中，经 常会遇到变式类比的题目，这就要求学生能够做到“活 学/题，贯通一类”，而解决变式类比的题目最注重的就 是能够合理地运用化归思想.例1关于"的方程丨"-2l+l"+ll=a有解，求实数a的取 值范围.—2"+1，"）—1，解析：设/(")=丨"-2丨+丨"+1丨，则有/(") = $3，-1 """2,2"—1，">2.结合已知条件可以将问题转化成为函数（")的值域.通—2"%1，"）—1，过分类讨论、计算r")='3，-1"""2,得出r") (3.2"—1，">2，所以实数a的取值范围为a(3.课堂上，笔者讲解完例1后，紧接着给出了两个变 式，分别为变式1、变式2.具体如下：高中版十炎，？75教学参谋解法探究2018年1月变式1关于!的不等式1!-2|+|!+1!%有解，求实数 %的取值范围.解析：设函数/ (!)(丨！-2|+丨！+1|，则有/ (!) =—2!$1，！）—1，'3，-1"!"2,由已知条件可知，存在!使不等式|!-2|+|!+2!—1，！>2.1!%成立.通过运算，得出（！）！3,即|!-2|+|!+1|能取大 于或者等于3的所有实数.所以，当%取任何实数时，不等 式|!- 2|+|!+1!%有解.变式2关于!的不等式|!-2|+|!+1!%恒成立，求实数%的取值范围.解析：由已知可知，实2%不大于|!-2|+|! + 1|的所有 值.设函数9!)=丨!-2|+丨!+1|，则有/(!)!3.所以，实数%的 取值范围Y %" 3.评注:例1、变式1、变式2是题目的变式类比，也是化 归思想的具体应用之一.这三个题目是根据方程有解、 不等式有解、不等式恒成立求参数的取值范围问题，而 解决这类问题的关键就是将问题转化成为函数的最值 问题.变式类比的题目在日常的练习和考试中经常遇到， 它的解决确实需要能够灵活运用化归思想.而一题多 解、正难则反的题目也较为常见，而解决问题也需要运 用到化归思想.因此作为一线的教育工作者，要为学生 创造和谐、愉悦的氛围，万不能禁锢学生的思维，还要注 重引导学生的发散思维，进而使学生的迁移能力得到锻 炼和培养，更能够提高学生解决问题的能力.四、联系新旧知识，帮助学生构建知识网络哪一个知识点都不是孤立存在的，因此在日常的教 学中，教师要尽可能实现“温故知新”，使学生的大脑中 形成具有自身特色的知识网络.从某种角度来讲，学习 的过程就是原有认知结构逐步扩张的过程.而高中阶段 的数学内容是小学、初中数学知识的扩张和完善，而高 中数学知识的显著特点就是各分支之间的联系更为紧 密，导致学生学习的难度更大，甚至部分学生认为数学 知识本身就存在矛盾性.但是，若能够合理地运用化归 思想将新旧知识联系起来，将新知识转化成为旧知识， 这样不仅能够加快学生学习新知的速度，还能够使学生 尽快地将新知融人到已有的知识网络中，进而使学生的 学习效率和质量得到提高.作为一线的教育工作者，一 定要认识到数学知识的零散，更要能够合理地运用数学思想，将零碎的知识吸附到一起，形成完善、科学的知识 结构.例如，等差数列和等比数列的通项公式.基本性质 及前!项和都可看成其递推关系的推广和应用.但是，由 于受到各种因素的影响，大多数学生会认为等差数列、 等比数列是两个独立的知识点，两者之间联系并不紧 密，甚至部分学生认为等差数列和等比数列之间毫无关 系.而作为一线的教育工作者，就要做到联系新旧知识， 使学生就数列的相关内容，形成一个完善的知识结构 图，如图1.图1知识结构图五、分析反馈信息，开展针对性、目的性教学教师的“教”是为学生的“学”提供服务的，因此作为 一线的教育工作者，要学会聆听学生的意见和反馈，更 重要的是，教师要认识到学生反馈信息的重要性，并能 够结合班级学生的实况，分析反馈信息，从而开展具有 针对性、目的性的教学.在日常的教学中，教师要尊重学 生的个性差异，尽可能为学生提供展现自身“闪光点”的 空间与平台，同时还要尽可能弥补学生自身的不足，从 而激发学生的学习兴趣，树立学好数学的自信心，进而 使学生学习数学的能力得到提升.学习过程就是逐步解 决问题的过程，因此学生出现问题时，教师不要急于讲 解，更不要直接告知答案，而是要结合学生的特点，采用 恰当的教学方式，最终解决问题，整个过程中有助于学 生形成具有自身特色的学习策略.例如，在学习“函数性质”这一章节内容时，笔者以 “一次函数”和“二次函数”为载体，了解了班级学生相关 知识的掌握情况.对于基础较好的学生，笔者让学生思 考课后的“探索与研究”，为学习“导数”奠定基础；而对76 十•？炎，？高中版2018年1月解法探究>教学--参谋高考三视图问题常考题型及处理策略!华中师范大学第一附属中学程季康三视图问题是立体几何的人门内容，也是高考数学中的一个重要考点.翻阅近年来的高考试卷，三视图问题是高考的必考内容;在学习之余，结合近年的高考真题，我总结近年来高考对三视图的考查主要有以下几个 方面，现分类例析，供参考：一、判断几何体的三视图问题给出一个几何体的直观图，然后根据几何体的形 状判断其三视图的问题.由于其难度较小，因此这类 直接判断型问题高考基本没有涉及过.但在2013年和 2014年的高考中，曾以空间直角坐标系中点的坐标来表 示几何体，利用考生的想象能力来判断几何体的三视图 的问题.例1(2014年湖北卷)在如图1所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2,2,0)，（1，2，1)，（2,2,2)，给出编号为①②③④的四 个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）.① ②③④图1(A)①和② （B)③和①(C)④和③ （D)④和②解析：如图2,将四面体放人正方体中，四面体）- 即坐标系中四个点所围成的四面体，显然可以看出 其正视图为④，俯视图为②，故选D.图2""""""""""""""""""""""""""""""""""于基础较为差的学生，笔者则通过“启发式”的教学方 法，引导学生完成“函数性质”的研究，在有必要的情况 下，可以花费2!5分钟的时间，帮助学生复习初中阶段学 过的“一次函数”和“二次函数”的相关性质，在此基础上 在引导学生研究函数性质，进而认识到研究函数性质的 一般方法.综上所述，教科书是课堂教学的主要载体，所以作 为一线的教育工作者，要深人研读教科书，挖掘、提炼蕴 含的化归思想，进而使学生的综合素养和数学技能得到 锻炼和提升.同时，在日常教学的课堂上，教师应在日常 教学过程中有意地反复向学生讲解化归思想方法，使学 生逐渐达到一定的认识高度，最终能自觉地运用.除此 之外，教师还应该注重反思，及时分析学生的反馈信息，不断地创新和完善教学方法，开展具有针对性、目的性的教学，真正地贯彻“以生为本”的教学理念，落实素质教育.参考文献：1. 戴海林.迁移性教学—“等比数列性质的探究”教学设计[J].中小学数学&高中版），2014(04).2. 孙西洋.中学数学化归思想方法的教学策略$J%.江 苏教育，2013(02).3. 任兴发.化归思想在高中函数教学中的应用研究[D].内蒙古师范大学，2013.4. 倪晨旭.例谈化归思想在高中数学解题中的应用[J].新课程（下），2017(06).高中版十炎，？77。

化归思想在高中数列通项公式中的应用数列是数学中的基础概念，它所研究的是按一定规律排列的一列数。

而数列的公式则是数列的核心之一，它可以表达数列的通项公式，将数列中的每一项都使用一个公式代替。

高中数学中，我们通常通过化归思想来推导数列的通项公式，下面将介绍化归思想在高中数列通项公式中的应用。

一、化归思想的概念化归是指将一个复杂问题转化为一个简单问题的思想和方法。

在数学中，化归思想也称作“约化方法”。

化归思想的主要作用是将复杂的计算问题简化，从而更方便解决。

在高中数学中，我们通常将化归思想应用于数列、函数等问题中，通过简化问题，更加轻松地解决问题。

在高中数学中，求解数列通项公式是重要的任务之一。

在这个过程中，化归思想可以帮助我们简化我们要解决的问题。

下面，我们将介绍化归思想在高中数列通项公式中的应用。

1.等差数列等差数列是指数列中每一项与它前一项的差值相等的数列。

比如：1，3，5，7，9，…… 就是一个等差数列，它的公差为2。

对于一个等差数列，我们可以使用化归思想来推导出它的通项公式。

下面以1，3，5，7，9，……为例：第n项：an=2n-1也就是说，这个等差数列的任意一项可以表示为2n-1。

其中n代表着它在数列中的位置。

3.斐波那契数列通项公式：an = (1/sqrt(5)) * ( ((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n )三、总结化归思想在高中数学中是非常重要的，这种思想可以使我们更好地理解和认识数学中的问题。

对于数列通项公式的推导，化归思想可以帮助我们简化问题，从而得出更加简单易懂的公式。

通过不断练习化归思想，相信大家可以更好地掌握数学知识，取得更好的成绩。

化归思想在高中数学函数学习中的运用化归思想是数学中常见且重要的思想方法之一，它在高中数学函数学习中有着广泛的运用。

化归思想通过将复杂的问题转化为简单的问题，从而更好地理解和解决函数的性质和应用。

本文将从函数的基本性质、函数图像和函数的应用三个方面介绍化归思想在高中数学函数学习中的具体的运用。

化归思想在函数的基本性质中的运用。

函数的基本性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等，这些性质是研究函数的重要基础。

在求解函数的基本性质中，化归思想可以通过等价变形、代入等方法将问题转化为简单的形式。

对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，要求该函数的顶点，可以先通过求导的办法得到导函数y'=2ax+b，令y'=0，解得x=-\frac{b}{2a}，即可得到x坐标，再将x代入原方程求得对应的y坐标，从而得到顶点。

这里通过将问题转化为代数方程求解的方式，简化了求解的过程，提高了求解的效率。

化归思想在函数图像的研究中的运用。

对于函数的图像研究，化归方法可以将复杂的曲线转化为简单的曲线，从而更好地进行分析和研究。

对于一元高次函数y=x^n (n>0)，为了研究其图像特点，可以先将x的取值范围限制在正数或负数上，然后通过变换坐标轴的方式，得到相应的图像。

在具体研究时，可以通过改变n的值，比较不同情况下曲线的图像特点，从而深入理解函数的性质和特点。

由于一元高次函数的图像较为复杂，通过化归思想可以提取其重要特征，从而更好地进行分析和讨论。

化归思想在函数的应用中的运用。

函数的应用是数学学科的重要组成部分，通过将实际问题抽象为数学问题，然后通过函数的性质和方法进行求解，从而得到问题的解答。

在函数的应用中，化归思想可以将复杂的实际问题转化为简单的数学问题，从而更好地进行求解。

在函数的最值问题中，可以通过化归思想将问题转化为函数的极值问题，然后通过求导和讨论函数的单调性，得到函数的最值点。

这种化归思想的运用，既减小了问题的复杂度，又提高了求解的效率和准确性。

化归思想在高中数学解题中的应用分析作者：莫京宇来源：《中学课程辅导·教学研究》2017年第08期摘要：数学对于高中课程当中尤为重要，学习数学的关键在于对数学知识的掌握和拥有良好且正确的解题思想。

在数学解题应用中，如等价交换思想、数形结合思想、函数思想等这些良好的解题思想我们都可以称之为化归思想。

本文就化归思想在高中数学解题中的实际应用作出简要分析。

关键词：化归思想；高中数学；应用前言：化归思想，一种化熟悉为陌生，化未知为己知的思想。

这种思想在生活中被我们习惯性地应用着，一个人的成长离不开化归思想，它是我们思考一切问题的基本习惯。

同样，在高中数学领域也离不开化归思想，关于它在高中数学解题中的应用，我认为可以分为五个方面进行，即在不等式中的应用，在数列中的应用，在函数中的应用和在几何中的应用。

一、化不等式为等式化归思想在不等式当中的应用表现最为明显的是化不等式为等式。

因为等号两端的数值相同，根据这一点我们可以进行具体的运算，进而得出答案。

举个例子：题目为若不等式kx-4=2的解集是x1≤x≤3，则实数k是多少。

通过观察题目可以解析出kx-4=2的两个根为1，3 即k-4=23k-4=2 ，可以解得k=2。

在这个问题中，我们利用化归思想将端点之进行带入，在等号成立的情况下将题解开。

在所有高中数学的不等式的问题之中，只要我们能够找到不等式之间的关系，将不等式转化为等式，问题就都能够被解开[1]。

二、转化为等差数列或等比数列数列是高中数学学习当中的重点，同时也是高考数学的必考内容。

同样，化归思想在高中数学数列题型当中也有很好的应用，主要是根据题目内容将其转化为等差数列或等比数列，然后利用所学习的公式求得答案[2]。

1.在等差数列当中的应用在高中数学的等差数列习题当中，经常出现的像an-an-1=fn这种等差数列的递推公式，我们通常可以利用叠加方法来进行解题。

举个例子。

题目为已知an-an-1=n-1，求an。

数理化解题研究2021年第07期总第500期探讨化归思想在高中数学解题中的应用傅永忠(浙江省东阳市外国语学校322100)摘 要：化归思想是重要的数学思想，通过问题转换顺利解决问题，提高数学解题效率.数学解题中应用 化归思想，要结合实际情况进行选择，切实发挥化归思想的作用.本文结合数学解题实践，分析数学解题中如 何有效应用化归思想，提高数学教学质量.关键词:数学解题；化归思想；函数中图分类号：G632文献标识码:A 文章编号：1008 -0333(2021)07 -0008 -02数学解题能力，即通过数学知识进行数学运算的能 力，这也是高中数学教学的重要任务.需要数学教师在讲 解习题基础上，理解与掌握数学思想，灵活解决数学问 题，形成良好解题能力，顺利落实教学目标，促进课堂教 学质量与效率的提升.一、 动静转化函数解题中运用化归思想,直接表现为动与静的转 换.函数反映生活中的变量关系,属于典型数学模型，体 现事物运动与变化的规律.学生学习函数知识时,要引导 学生利用发展眼光看待变量间的关系，从题干中提取出 数学因素与变量间的关系.利用化归思想将静态文字描述转化为动态的变量关系,通过运动观点对函数性质进 行研究，顺利解决数学问题.例1比较吨2与呃厶的大小.解题思路 解决这道题目可以运用化归思想,通过 函数静与动的转化解决问题.数学教师先让学生观察两个函数，明确其静止数值，通过化归思想构造相应的函 数.也就是对比两个数值的形式差异,构造对数函数/( % )-log 3%，将其看成自变量2到5之间的对应函数值,数值呈现动态化.最后，通过函数/ (% ) - log 3 %在定义域(0,+8 )为单调递增，顺利解决问题.即log 3 1 < log 35.二、 数形转化数学化归思想的表现形式就是数形结合.数形转化, 也就是有效结合函数解析式与函数图象,将抽象难以理 解的函数问题转为直观性强、可以观察的数学解题方法. 数学思维有许多常用的方法,而形和数与思维的结合具有数学学科的特殊性，是解决许多数学问题的有效方法. 抽象定量关系的可视化是直观的，易于理解和接受.将视觉数 字量化并将其转换为数学运算通常会降低难度,使数学知识更加容易理解.数形结合法的最大特点就是直观与简洁，同时 还更为形象，符合高中生的思维特点与接受能力与传统高中数学教学方法相比,数形结合方法更能吸引学生注意力，快 速、准确解决高中数学问题.例2已知两个函数：y 1 -3sin %,y 2 - ―^,%取值范围为2 - %(-1W %W5),两个函数所有交点横坐标的和为( ).解题思路 求函数y 1 - 3sin %和y 2 - 一在(- 1 W %2 - %W5)的交点和，最常用的方法就是构建方程组，求出方程 3sin % -^^的解.这个方程中有分式和三角函数,运算时难度较大,无法求出交点横坐标.如果利用图1画出函数 图象，可以直接观察到在区间内函数交点共有6个,6个 交点和点(2,0)形成3组对称点,也就是对称点的中点, 利用中点坐标公式直接求出横坐标的和.三、拓展延伸很多学生学习数学概念时,并未做出相应的延伸与 探究，满足于简单掌握概念的表面含义，没有主动对其进收稿日期：2020 -12 -05作者简介:傅永忠(1974. 10 -)，从事数学教学研究.—8—2021年第07期总第500期数理化解题研究行深层次的延伸，解题时无法灵活运用数学定理与概念.(3a-1)%+4a,%<1,、例3已知函数/(%)-'在区间lo g a%，%》1(-8,+s)为减函数，那么实数a的取值范围().A.(O’1)B.[o’；)C.[7’；)D.[7，1)解答这道题目时,很多学生受到各方面因素影响直接选择B.这种错误情况的出现,根本原因在于学生没有熟练掌握函数单调性的性质,没有对函数整体单调性进行考虑，实质就是学生没有理解函数单调性.当%》1时，函数/(%)-log a%单调递减=>0<a<1,当%<1时,/(%)-(3a-1)%+4a单调递减=a<：，此时’函数在定义域内呈现单调递减’当%-1时，(3a-1)%+4a M log a%=a M 1，得出最终答案；W a<1，因此C为正确答案•我们要注意一个问题，数学解题并不是简单地获得最终答案，而是可以从解题过程中逐步领会与掌握新的数学知识点，对自身数学知识体系进行完善.实际上，中学生最容易忽视反思这一步骤.大部分学生只觉得做题正确即可,但做题后需要总结与反思解题思路，检查与回顾整个思路，深入理解这类题目.此外，很多数学题都存在“一题多解”的情况，但一些学生并没有理会这一情况,并未寻求多角度解决问题，小知识点混淆,容易出现错误•这就需要学生继续整理与归纳，逐步形成完整的知识脉络,提高数学素养水平,大幅度提升数学解题效率.四、转化递推公式高中数学试题中最常见的一类习题就是特征方程，这类题型可以运用相应技巧解决，如a“+1-也+他j二阶递推式计算通项公式，可以将特征方程%2-p%+q进行快速求解如果方程本身存在两个不相同的实数根%1,%2,可以据此构造出两个等比数列：｛a”+1-%1a”｝与｛a”+1-%2a”｝，求出通项：｛a”+1-%1a”｝与｛a”+1-%2a”｝，并将a”+1，a”当做未知数求出相应的表达式，最后再用待定系数法求出a”的表达式•如，教师为激发学生数学学习兴趣,特意设计了一组数列，且该数列具有以下特点：例4已知数列为1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8, 16,…，可以发现,数列第一项为1,紧连两项为1,2,之后三项为1,2,4等•现知N为该数列的前”项和,且N为2的整数幂，求最小整数N为以下哪一个().A.440B.330C.220D.110解决这道数学题目时,常规解题方式首先要对其中的规律进行观察，与数列计算公式结合起来,通过计算大量数据得到最终的答案,对学生运算能力要求较高•但这时引入构造方程方法，可以将复杂问题简单化处理,这是培养学生数学思维能力与提高运算能力的有效途径.五、构造函数法高中数学日常习题练习，要熟练运用各类解题技巧•1.求导法高中数学解题时最常见的方法就是求导法,这个方法最常用于函数问题的解决.例5求函数/(%)二2%+4-%+3的值域.求解函数值域时,要充分利用函数的各类性质,如图象、单调性及奇偶性等，本题函数带根号,利用图象求解困难,可以借助求导的方式进行解答.2%+4M0,因为｛解得%M-2,函数/(%)的定义域为%+3M0,[-2,+8),所以厂(％)二1-—」.丿2%+42%+32丿2%+4%+3所以当广(%)>0时，有%>-4,所以函数(%)在定义区间[-2,+8)上单调递增/(%)mm-/(-2)--1.所以函数/(%)值域为[-1,+8)•2.构造法该法是高中解题时最常用的一种方法，主要用来构造方程、向量、坐标等，是解题的关键•学生需要凭借自己敏锐的观察力和经验寻找解题突破口,根据题目要求构造出合适的函数,满足解题需要,完成构造,正确解答.比如在学习三角函数时,主要锻炼学生对公式、定律的选取和应用，对其属性实现灵活转换,再配以三角定律，实现对学生数学建模能力的培养•数学教师要在课堂上引导学生利用三角函数知识解决数学问题.如,数学教师可以结合相关知识点设计相应数学问题：例6函数f(%)-sin2%-cos2%-23sin%cos%(%e R),求函数f(%)的最小正周期及单调递增区间•解决这道题目过程中，引导学生构建出相应的函数模型,并利用①-2,函数/(%)最小周期为罗,求出函数单调递增区间.总之，高中数学解题中应用化归思想可以丰富学生的解题思路，推动学生数学知识体系的建设•化归思想的应用，可以简化解题过程,提高数学解题效率，为类似研究提供借鉴.参考文献：[1]苏昀昕.化归思想在高中数学解题过程中的应用分析[J].学周刊，2019(32)：103.[2]于美芳.化归思想在高中数学解题过程中的应用分析[J].数学学习与研究，2019(13)：134.[3]吴必潜.高中数学解题中的化归方法及其教学模式初探[J].数学学习与研究，2019(01)：130.[责任编辑:李璟]—9—。

试论化归思想在高中数学教学中的应用随着教育教学方式的不断变革和优化，思想方法和理念也在不断地更新和发展。

化归思想作为解决问题和推理的重要思维工具，在高中数学教学中具有重要的应用价值。

本文将对化归思想在高中数学教学中的应用进行探讨。

一、化归思想的概念化归思想又称通用性思想，是初步解决复杂问题时的一种模式或模型。

通过将问题从最具体的情况逐渐化为相对通用的情况，从而减少问题的复杂度，使其更容易理解和解决。

化归思想在数学中的应用主要采用“从特殊到一般”的方法，即先通过具体的例子探究问题，再逐步推广到普遍情况。

通过这种方式，化归思想能够帮助学生更好地理解数学问题和概念，并提高其解决数学问题的能力和水平。

1.解决数学问题数学是一门极其抽象的学科，其中充满着各种各样的难题和疑难。

而化归思想正是解决这些问题的有效思维工具。

在高中数学教学中，教师可以通过提供一些具体而实用的例子，让学生逐步掌握化归思想的运用方法，以便更好地应用于实际问题的解决。

举例来说，在初中阶段，学生学习了求解一元一次方程的方法，而在高中学习中又会涉及到模拟实际问题的情况下，需要通过一元一次方程来解决。

这时，化归思想就起到了至关重要的作用，让学生能够更好地通过数学方法解决实际问题。

2.提高数学思维能力通过化归思想的学习和应用，学生也能够提高自己的数学思维能力。

化归思想能够让学生更好地理解数学问题，并能够更加清晰地把握数学概念和问题的本质。

通过这种方式，学生能够提高自己的逻辑思维能力，以及更好地运用数学知识解决实际问题的能力。

在数学学习中，化归思想也能够提高学生对复杂问题的分析解决能力，帮助学生更加高效地解决数学问题，也更好地为高中学习的其他领域打下基础。

三、化归思想的教学策略化归思想是一个非常实用和易于掌握的思维模式，也是许多高中数学问题的重要工具。

为了更好地教授化归思想，教师需要合理运用教学策略，使学生可以更好地理解和掌握这种思考模式。

1.提供实用而具体的例子在教学中，教师可以通过提供实用而具体的例子来帮助学生理解化归思想。

化归思想在高中数学教学中的运用崔孝禹(浙江省宁波市至诚学校ꎬ浙江㊀宁波㊀３１５０００)摘㊀要:数学是高中生学习生涯中不可缺少的关键课程.许多高中生表示对数学学习有恐惧心理ꎬ此种恐惧感随着学习难度的增加而增加ꎬ甚至有部分学生已经选择放弃学习.基于此教育现状ꎬ文章主要以人教版高中数学为例ꎬ对化归思想在高中数学教学中的运用进行分析ꎬ以期起到提升高中数学课程教学质量的效果.关键词:化归思想ꎻ高中ꎻ数学ꎻ教学ꎻ运用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ｂ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１７)２１－０００９－０２收稿日期:２０１７－０６－０１作者简介:崔孝禹(１９８０.１０－)ꎬ男ꎬ黑龙江齐齐哈尔人ꎬ中学一级ꎬ大学本科ꎬ从事高中数学教学与研究.㊀㊀化归思想作为数学学习的基础思想ꎬ在高中教材中十分常见ꎬ并已经渗透至数学教育思想中.将其与相关数学思想进行对比ꎬ化归思想更加贴合高中生的学习思维ꎬ学习起来也比较简单.由此我们可以看出化归思想的教育地位ꎬ教师需要在课堂教学活动中应用化归思想ꎬ以此来切实提升高中数学课程教学质量.㊀㊀一㊁化归思想在高中数学教学中的运用价值(一)化归思想是高中数学思想的基础化归思想作为基础性数学思想ꎬ也是形成数学思想的理论基础ꎬ渗透至各种数学思想中.如:数学思想中数形结合思想ꎬ主要是指将数量与具体形状进行合理转化的过程ꎻ函数与方程思想则是借助函数与方程㊁不等式之间的合理转换来解决现实问题ꎻ分类讨论思想则是将原本整合的几项内容分解成为几个分支ꎬ在解决现实问题的基础上有效整理全局的一种数学思想.除此之外ꎬ还有许多数学思想如换元㊁补集法等都是化归思想的实际体现.由此我们可以看出大部分数学思想在使用过程中都利用了化归思想ꎬ由此我们可以认定化归思想是数学思想中理论基础.(二)化归思想是学生比较喜闻乐见的数学思想化归思想主要是指在数学教学活动中将全新知识转换为已有知识基础随即进行解决问题的一种数学思想.高中生在经历小学㊁初中数学课程学习后ꎬ自身已经具备一定学习基础ꎬ并形成一定数学思维ꎬ对化归思想产生一定认知与了解ꎬ因此学生更加乐于接受并掌握此思想ꎬ高中数学教师在日常教育活动中不仅需要关注理论知识的教育ꎬ还需要注重与现实生活的衔接ꎬ以此来有效培养高中生的化归思想ꎬ进而不断提升高中数学课程教学质量ꎬ培养学生的数学核心素养ꎬ从整体上提升学生运用所学知识解决现实问题的能力.(三)有助于提升学生应用数学知识解决问题的能力数学课程的学习自身就是不断将新知识内化迁移的过程ꎬ在实际内化过程中ꎬ运用新知识解决现实问题ꎬ可以有效帮助学生构建数学知识体系ꎬ提升学生对新知识的掌握应用能力.与此同时ꎬ通过在高中数学教学中应用化归思想ꎬ高中生可以将现实生活中遇到的问题转换为数学问题ꎬ将错综复杂的问题条件整理成为简单的数学条件ꎬ将自己比较生疏的问题转化成熟悉的问题ꎬ这样一来学生就可以顺利解决数学问题.㊀㊀二㊁化归思想在高中数学教学中的运用(一)深度挖掘数学教材中的化归思想内容众所周知ꎬ数学思维的精髓在于化归思想ꎬ其是前人经过长时间的总结归纳得出的物质结晶ꎬ化归思想不是简单的定义公式ꎬ而是以现有数据结果为理论基础ꎬ深入剖析数据内涵ꎬ将其规律进行有效整合的数学思维.其要求学生需要将不同阶段知识进行逐一细化ꎬ挖掘知识间内涵的关联ꎬ以此充分发挥化归思想的学习作用.在实际教学过程中ꎬ教师必须要深度剖析教材内容ꎬ从中提取价值信息ꎬ进而有意识引导学生运用其思想解决现实问题.如:过圆外一点Ｐ(ａꎬｂ)向圆ｘ２＋ｙ２＝Ｒ２引两切线ꎬ求经过两切点的直线方程.分析ꎬ设直线与圆的切点分别为Ａ㊁Ｂꎬ则｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜.Ａ㊁Ｂ两点可以看作是以Ｐ为圆心切线长为半径的圆上的点ꎬ此圆的方程是:(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝ａ２＋ｂ２－Ｒ２ꎬ９即ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－２ｂｘ＋Ｒ２＝０.①故Ａ㊁Ｂ两点可看作圆①与已知圆ｘ２＋ｙ２＝Ｒ２的交点ꎬ直线ＡＢ为两圆的相交弦所在直线.令公共弦的方程为:ｘ２＋ｙ２＋λ(ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－２ｂｙ＋Ｒ２)＝０ꎬ即(λ＋１)ｘ２＋(λ＋１)ｙ２－２ａλｘ－２ｂλｙ＋λＲ２－Ｒ２＝０.又上式为直线ꎬʑλ＋１＝０ꎬλ＝－１.所求直线方程为ａｘ＋ｂｙ＝Ｒ２.(二)奠定扎实基础ꎬ构建数学知识框架奠定扎实数学学习基础ꎬ自主构建数学知识结构ꎬ作为进行化归的知识前提.其一ꎬ在日常教育活动中需要关注对数学概念㊁公式㊁数学模型等内容的讲解ꎬ使学生具备扎实的知识基础ꎬ掌握问题原有模型ꎬ只有这样学生才可以在学习活动中自主进行知识的转换ꎬ实现预期的学习目标.其二ꎬ教师需要在实际教学过程中注重对教材中出现的数学思想归纳整理.只有这样才可以使学生更容易掌握数学知识.学生在做题过程中也比较容易找到解题思路ꎬ及时对问题中相关要素进行整合.其三ꎬ教师可以采用结构图的形式对高中数学教材知识进行总结ꎬ为化归思想的使用奠定扎实的理论基础.(三)注重学生化归意识的培养高中教育阶段数学课程不应该只关注对学生基础知识与解题方法的教育ꎬ而是侧重培养学生的数学思想ꎬ强化学生化归思想应用能力.如:在教学活动中创设化归教育情境ꎬ结合针对性数学问题ꎬ吸引学生的注意力ꎬ在学习过程中引导学生关注化归思想.教师也可以在教育活动中对数学条件进行任意调换ꎬ使学生充分体验化归思想ꎬ注重知识解答过程的讲解ꎬ引导学生自主总结解题经验ꎬ进而切实强化学生的化归意识.综上所述ꎬ对于高中数学课程而言ꎬ化归意识的形成对提升学生数学能力具有一定帮助ꎬ作为提升高中数学课程教育质量的物质前提ꎬ教师必须要提高自我对其的重视.在日常教育活动中积极创新课堂教学ꎬ引导学生充分利用化归思想解析问题ꎬ进而从根本上提升高中生的数学学习能力.㊀㊀参考文献:[１]苏远.高中数学教学中化归思想的应用案例分析[Ｊ].现代阅读(教育版)ꎬ２０１４(２１):１１６.[２]夏小又.浅议化归思想在高中数学解题中的运用[Ｊ].读与写(教育教学刊)ꎬ２０１７(０１):１１８.[３]韩蕾.高中数学教学中运用化归思想的案例分析[Ｊ].教育教学论坛ꎬ２０１４(３９):１０５－１０６.[责任编辑:杨惠民]关注学生能力差异㊀巧妙设置梯度教学王㊀铮(江苏省苏州市吴江汾湖经济开发区高级中学ꎬ江苏㊀苏州㊀２１５２１１)摘㊀要:每个学生都具有不同的能力特点ꎬ在数学学习中自然也会产生差异性的效果.为了让每个学生都能获得适合自己的学习效果ꎬ梯度教学的适用就显得至关重要了.笔者查阅了大量理论资料ꎬ结合教学实践中出现的能力差异现象ꎬ总结出了一些行之有效的梯度教学设计方法.关键词:高中数学ꎻ差异ꎻ梯度中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ｂ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１７)２１－００１０－０２收稿日期:２０１７－０６－０１作者简介:王铮(１９８１.７)ꎬ男ꎬ江苏泰州人ꎬ中教一级ꎬ大学本科ꎬ数学教学与研究.㊀㊀一㊁于函数教学中设置梯度ꎬ关注能力差异对于高中阶段的学生来讲ꎬ函数知识已经毫不陌生了.从初中阶段开始ꎬ无论是函数知识本身ꎬ还是函数思想方法ꎬ就已经高频率地出现在学生们的数学学习过程当中了.因此ꎬ学生们在函数学习中所呈现出的能力差异ꎬ也已经经过了较长一段时间的沉积了ꎬ必须引起教师们的高度重视.例如ꎬ为了让不同能力状态的学生都能够在函数学习中完成应有程度的训练ꎬ我特意为大家设计了这样一道练习题:现有函数ｆ(ｘ)＝１２ａｘ２－(２ａ＋１)ｘ＋２ｌｎｘ(ａɪＲ).(１)如果曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在ｘ＝１处和ｘ＝３处的切线是相互平行的ꎬ那么ａ的值是多少?(２)函数ｆ(ｘ)的单调区０１。

高中数学解题中化归思想的运用
化归思想是高中数学解题中经常运用的一种方法。

它通过将复杂问题转化为简单问题来进行求解，从而简化问题的处理过程，提高问题的解决效率。

在高中数学中，化归思想主要应用在代数、几何和数列等知识点的解题过程中。

在代数方面，化归思想通常用于化简问题中的复杂式子。

在求解复杂的方程或不等式时，我们可以通过适当的变量代换或等式变形，将原来复杂的式子化简为简单的形式。

这样可以减少计算的复杂性，更容易找到问题的解。

化归思想还可以帮助我们发现问题中的规律和性质，从而更加深入地理解数学中的代数概念。

在几何方面，化归思想主要用于解决几何问题中的相似性和等价性。

在证明几何定理时，我们可以通过构造新的几何图形，将原问题转化为已知的几何定理或已有的几何性质来证明。

这样，可以将原来复杂的证明过程简化为已知的结论，提高证明的效率。

化归思想还可以帮助我们发现几何图形之间的关系，从而辅助我们解决几何问题。

高中数学教学中化归思想的应用案例分析（北师大版）化归思想是数学中非常重要的一个概念，在高中数学教学中有着广泛的应用。

下面，我们以北师大版高中数学教材为例，分析一下其中的一些应用案例。

已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+1，求证f(x)=x。

这个例子中，我们可以通过化归的思想来进行求解。

我们可以取n为任意正整数，然后可以得到f(x+n)=f(x)+n。

接下来，我们可以通过数学归纳法来证明f(x)=x。

这个例子就很好地展示了化归思想在函数方程中的应用。

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2-n+1，求证{n(n+1)a_n}为等差数列。

在这个例子中，我们可以通过化归的思想来进行求证。

我们可以得到{n(n+1)a_n}=[n(n+1)][n^2-n+1]=n(n+1)(n^2-n+1)。

接下来，我们可以将{n(n+1)(n^2-n+1)}进行化简，得到{n(n+1)(n^2-n+1)}=[(n^2+n)(n^2-n+1)]=[(n^2+n)(n^2+n)-(n^2+n)]=[(n^2+n)^2-(n^2+ n)]-[n^2+n]=[(n^2+n-1)^2-n^2]-(n^2+n)=[(n^2+n-1)^2-(n^2+n)], 由此可知{n(n+1)(n^2-n+1)}是一个等差数列。

这个例子展示了化归思想在数列问题中的应用。

最后是在数和问题中的应用。

数和是高中数学中的一类问题，也可以通过化归思想来进行求解。

在北师大版高中数学第二册的《数和》一章中，有一个案例是这样的：已知正整数n的各位数字之和为15，求n的最小值。

在这个例子中，我们可以通过化归的思想来进行求解。

我们可以假设n的各位数字依次为a_1，a_2，...，a_m。

由于n的各位数字之和为15，所以有a_1+a_2+...+a_m=15。

接下来，我们可以通过数学推导来得到n的最小值为105。

这个例子展示了化归思想在数和问题中的应用。